ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Βηθεσδά Κασιδιάρης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. γ) = χ y. ίνονται οι κύκλοι (, R) και (, ρ) που δεν έχουν κοινά σηµεία. διάκεντρος τέµνει τους κύκλους στα σηµεία και Ν αντίστοιχα. ν είναι κοινό εφαπτόµενο τµήµα των δύο κύκλων, να αποδείξετε α) Το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. β) Ν K Ν 3. ύο κύκλοι (,R) και (,R/3) εφάπτονται εσωτερικά. πό το φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα και του κύκλου (,R/3). α) Να υπολογίσετε σε µοίρες τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. γ) Να αποδείξετε ότι =. 4. πό το σηµείο τοµής δύο κύκλων φέρνουµε τρεις ευθείες που τέµνουν τον ένα κύκλο στα σηµεία, και και τον άλλο κύκλο στα σηµεία, και. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ισογώνια. 5. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε ɵ 0 == 40 και η διχοτόµος του. Στην πλευρά παίρνουµε σηµείο τέτοιο ώστε να είναι =. Να αποδείξετε α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο. γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. δ) + = 6. ίνεται τρίγωνο. ν η διάµεσός του και το ύψος του είναι ίσα και Ν η προβολή του σηµείου στην πλευρά, τότε: α) Να αποδείξετε ότι Ν=// β) Να υπολογίσετε σε µοίρες το µέτρο της οξείας γωνίας που σχηµατίζουν η διάµεσος και το ύψος του τριγώνου. Ν ΠΙΙ: ΠΠΠΣ ΘΝΣΙΣ/ ΥΙ ΥΤΤΥ Σελίδα 1 από 9

2 7. ίνεται κύκλος κέντρου και µία χορδή αυτού. Προεκτείνoυµε την και προς τα δύο της άκρα και στις προεκτάσεις παίρνουµε σηµείο προς το µέρος του και σηµείο προς το µέρος του έτσι ώστε να ισχύει =. Φέρουµε τη διάµεσο του τριγώνου και την προεκτείνουµε κατά Ν=. Να δείξετε i. Τα τρίγωνα και είναι ίσα. ii. Ν είναι η µεσοκάθετος του. iii. Το τετράπλευρο Ν είναι ρόµβος. K Ν 8. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και εγγεγραµµένο στον κύκλο (, R) και είναι Ρ=. Να αποδείξετε i. Τα τρίγωνα Ρ και είναι ίσα. ii. To τρίγωνο Ρ είναι ισόπλευρο. Ρ ii. =+ 9. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 0 ( = 90 ), = και =. Να αποδείξετε α) ɵ 0 = 90 β) 0 = ίνεται τρίγωνο, ένα σηµείο στην πλευρά του και ένα σηµείο στην πλευρά του. Τα τµήµατα και τέµνονται στο. ν = και = να αποδείξετε α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) 11. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και το µέσο της πλευράς. Φέρουµε και έστω, τα µέσα των και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α. HZ// και HZ. β. H. γ.. ΠΙΙ: ΠΠΠΣ ΘΝΣΙΣ/ ΥΙ ΥΤΤΥ Σελίδα από 9

3 1. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( =90 ο ) και ο εγγεγραµµένος κύκλος του. ν,, είναι τα σηµεία επαφής του κύκλου µε τις πλευρές, και αντίστοιχα και Ρ η κάθετη στην, να αποδείξετε Ρ= 45 α) ɵ 0 β) ευθεία Ρ είναι µεσοκάθετος της γ) ɵ 0 Ρ= 90 Ρ 13. Σε ένα παρ/µο είναι 0 = 60 και η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την στο σηµείο. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β) αν να δείξετε ότι =. γ) αν =µ., όπου µ R, να βρείτε την τιµή του µ. 14. Στο διπλανό σχήµα δίνεται κύκλος (, R) και η εγγεγραµµένη γωνία 0 = 30. εφαπτοµένη του κύκλου αυτού στο τέµνει την ευθεία στο. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. β) Να δείξετε = γ) ν είναι το αντιδιαµετρικό σηµείο του να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές ίνεται τετράγωνο και ένα εσωτερικό σηµείο της διαγωνίου του. ατασκευάζουµε το τετράγωνο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Να δείξετε α) το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο. β). γ) το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. 16. Σε τρίγωνο φέρουµε το ύψος και τη διάµεσο. Στις ηµιευθείες, παίρνοµε τα σηµεία, αντίστοιχα έτσι ώστε = και =. είξτε α) = β) = γ) το είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΠΙΙ: ΠΠΠΣ ΘΝΣΙΣ/ ΥΙ ΥΤΤΥ Σελίδα 3 από 9

4 17. ίνεται τρίγωνο µε 0 = και τα µέσα,ν,ρ των πλευρών του, και αντίστοιχα. Έξω από αυτό κατασκευάζουµε τα τετράγωνα και Ν. Να αποδείξετε α) Τα σηµεία,, είναι συνευθειακά. β) Ρ=Ρ γ) Τα σηµεία Ρ,Ν, είναι συνευθειακά. δ) Ρ=Ρ Ν Ρ 18.ίνεται τραπέζιο (//) µε < και τα µέσα και των διαγωνίων του και, αντίστοιχα. πό το φέρνουµε την ε 1 κάθετη στην και από το την ε κάθετη στην. ν είναι το µέσο της να δείξετε α) ι ε 1 και ε τέµνονται σε ένα σηµείο. β) ε 1 και ε γ) η µεσοκάθετος της βάσης διέρχεται από το σηµείο. ε ε Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο (=90 ο ). Παίρνουµε ένα εσωτερικό σηµείο του ύψους και φέρνουµε το τµήµα. κάθετη από το προς τη τέµνει την ευθεία στο Θ. παράλληλη από το προς τη Θ τέµνει τη στο. Να αποδείξετε α) β) γ) Το τετράπλευρο Θ είναι παραλληλόγραµµο. Θ 0. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( 0 = 90 ) µε 0 = Στην πλευρά παίρνουµε σηµείο τέτοιο ώστε =. πό το φέρνουµε την κάθετη στη. Να αποδείξετε α) = β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. γ) 0 = Θεωρούµε ένα κύκλο (,R) και τρεις ίσες χορδές του, και. Στην προέκταση της προς το παίρνουµε τµήµα =. Να αποδείξετε α) = β) ΠΙΙ: ΠΠΠΣ ΘΝΣΙΣ/ ΥΙ ΥΤΤΥ Σελίδα 4 από 9

5 . ίνεται ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ( 0 = 90 ) και έξω από αυτό µια ευθεία ε, που διέρχεται από το. Φέρνουµε τα κάθετα τµήµατα και Ν προς την ε και το ύψος του τριγώνου. Να δείξετε α) == β) Ν=+Ν γ) Το τρίγωνο Ν είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ε Ν 3.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο (=). ατασκευάζουµε τα τετράγωνα και Θ. ν είναι το µέσο της να αποδείξετε α) =Θ β) = γ) Θ δ) Θ= ε) ι και τέµνονται πάνω στην. ; Θ 4. ίνεται ένας και δύο κάθετες χορδές του και. αλούµε το αντιδιαµετρικό σηµείο του. Να αποδείξετε α) // β) = 5. Θεωρούµε ηµικύκλιο διαµέτρου και στην προέκταση της προς το ένα σηµείο. πό το φέρνουµε το εφαπτόµενο τµήµα του ηµικυκλίου αυτού. διχοτόµος της γωνίας ɵ τέµνει τη χορδή στο. Να αποδείξετε ɵ 0 = 45 ω 6. Έστω ένα παραλληλόγραµµο. Έξω από αυτό κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα και. Να αποδείξετε α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. β) 0 = 60 γ) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 7. ίνεται τραπέζιο (//) εγγεγραµµένο σε κύκλο (,R) του οποίου η πλευρά είναι διάµετρος. ακτίνα τέµνει την διαγώνιο στο. Να δείξετε α) Το είναι ισοσκελές. β) = 3 ɵ ΠΙΙ: ΠΠΠΣ ΘΝΣΙΣ/ ΥΙ ΥΤΤΥ Σελίδα 5 από 9

6 8. ίνεται τραπέζιο (//) µε =3, και, τα µέσα των διαγωνίων του και αντίστοιχα. α. Να αποδείξετε ότι το είναι παραλληλόγραµµο. β. ν επί πλέον το είναι ισοσκελές, να αποδείξετε ότι το είναι ορθογώνιο. 9. ίνεται τετράγωνο και το µέσο της. Στην προέκταση της ηµιευθείας παίρνουµε σηµείο Θ ώστε Θ= και έστω το σηµείο που η τέµνει την Θ. είξτε ότι : α. Θ= β. = γ. = δ. η ευθεία είναι κάθετη στην Θ. ; Θ ο 30. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) ˆ = φέρνουµε το ύψος και τη κάθετη στην και τη κάθετη στην. ν η διάµεσος τέµνει τη στο να αποδείξετε α. ˆ ˆ = β. τα τρίγωνα και είναι ίσα. γ. το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο. δ. = 31. ίνεται τραπέζιο µε 0 == 90, = και = 3 ɵ. πό το φέρουµε κάθετη στη που τέµνει την στο σηµείο και την στο. πίσης φέρουµε την που τέµνει τη στο σηµείο. Να δείξετε α. ɵ 0 = 45 β. = γ. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 1 δ. = 4 3. ίνεται τρίγωνο. πό το µέσο της γράφουµε ευθύγραµµο τµήµα ίσο και παράλληλο προς την και ένα άλλο ίσο και παράλληλο προς τη (τα σηµεία και βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο που ορίζεται από τη και το σηµείο ). Να αποδείξετε α. τα σηµεία,, βρίσκονται στην ίδια ευθεία β. = γ. η περίµετρος του τριγώνου ισούται µε την περίµετρο του. ΠΙΙ: ΠΠΠΣ ΘΝΣΙΣ/ ΥΙ ΥΤΤΥ Σελίδα 6 από 9

7 33. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο (=) και, τα µέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. πό το φέρνουµε κάθετη στην που τέµνει την στο. και από το φέρνουµε κάθετη στην που τέµνει την στο. α. είξτε ότι =. β. δείξτε ότι =. γ. είξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. δ. άν οι και τέµνονται στο δ.1. δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. δ.. δείξτε ότι η ευθεία είναι µεσοκάθετος του. δ.3. δείξτε ότι η ευθεία είναι µεσοκάθετος του. δ.4. δείξτε ότι το είναι σηµείο της διχοτόµου της γωνίας. 34. ίνεται τρίγωνο µε 0 = 45 και ɵ 0 = 30. ν είναι το µέσο της και να αποδείξετε: α. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β. 0 = πό το µέσο της υποτείνουσας ορθογώνιου τρίγωνου ( 0 = 90 ) και > φέρνουµε κάθετη προς την, η οποία τέµνει την πλευρά στο σηµείο. ν τα τρίγωνα και είναι ίσα, να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ( 00). 36. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και τα ύψη του και. ν το είναι µέσο της πλευράς, τότε: α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β. ν, είναι τα µέσα των και αντίστοιχα και επιπλέον ισχύει =6cm και ZH=cm, να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου. γ. Να εξετάσετε αν το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο. 37. ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και το ύψος του. Στην προέκταση της προς το παίρνουµε τµήµα =. α) Να δειχθεί ότι =. β) ν, να δειχθεί ότι =. γ) ν η πλευρά του τριγώνου είναι 4cm και, να υπολογίσετε το τµήµα. ΠΙΙ: ΠΠΠΣ ΘΝΣΙΣ/ ΥΙ ΥΤΤΥ Σελίδα 7 από 9

8 38. Στο διπλανό σχήµα (αστέρι) τα τρίγωνα που σχηµατίζονται είναι τυχόντα. Να δείξετε ɵ ɵ = 180 E 39. ίνεται κύκλος µε κέντρο, µια διάµετρός του και ένα σηµείο του διαφορετικό από τα και. ι εφαπτόµενες του κύκλου στα και τέµνονται στο. Να δείξετε α. Το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο. β. // γ. O 40. Θεωρούµε κύκλο διαµέτρου. ύο ίσες χορδές του και και ένα εσωτερικό σηµείο του τόξου. ι και τέµνονται στο και οι και τέµνονται στο Θ. Να δείξετε Θ α) Το τετράπλευρο Θ είναι εγγράψιµο. β) Θ γ) Θ // δ) Το ισαπέχει από την και το Θ. 41. ίνεται τετράγωνο. Τα σηµεία και βρίσκονται πάνω στις πλευρές και αντίστοιχα έτσι, ώστε η γωνία =45 ο. ι και τέµνουν τη στα σηµεία και αντίστοιχα. ι και τέµνονται στο και η τέµνει τη στο. Να αποδείξετε α) Τα τετράπλευρα και είναι εγγράψιµα. β) και γ) δ) 0 = ίνεται τρίγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο µε κέντρο. Φέρουµε το ύψος του και τη διάµετρο.. ν είναι η προβολή του στην, να δείξετε α. Το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο. β. // γ. ΠΙΙ: ΠΠΠΣ ΘΝΣΙΣ/ ΥΙ ΥΤΤΥ Σελίδα 8 από 9

9 43. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο 0 ( = 90 ), µέσο της και η µεσοκάθετος από το τέµνει την στο.ν µέσο του να βρεθούν οι γωνίες του. 44. ΠΙΙ: ΠΠΠΣ ΘΝΣΙΣ/ ΥΙ ΥΤΤΥ Σελίδα 9 από 9

Σχετικά έγγραφα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό