1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης"

Θέτις Ζαχαρίου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι Το Κ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο Το Ζ είναι ισοσκελές τραπέζιο i Τα τµήµατα Κ και διχοτοµούνται iν) Το ΖΗ είναι ρόµβος Z µέσο του Ζ = Ζ Η Ζ τώρα ω Ζ=Ζ Κ παραλληλόγραµµο αφού οι διαγώνιες του διχοτοµούνται Ζ=ΖΚ οπότε Κ = // = // άρα και το Κ είναι παραλληλόγραµµο συνεπώς = Κ () ο = 90 = () διάµεσος στην υποτείνουσα από (), () Κ = οπότε στο παραλληλόγραµµο Κ οι διαγώνιες είναι ίσες άρα αυτό είναι ορθογώνιο φού το Κ είναι παραλληλόγραµµο το Ζ είναι τραπέζιο Όµως ɵ = 30 ο άρα = θα είναι ίσα άρα το τραπέζιο είναι ισοσκελές i = εποµένως και τα µισά τους Ζ και φού το Κ είναι παραλληλόγραµµο οι διαγώνιες του Κ και διχοτοµούνται iν) φού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και, Η, Ζ είναι µέσα των πλευρών του θα είναι Η = Η = Ζ = Ζ εποµένως το ΖΗ είναι ρόµβος 30 ο Κ

2 . πό το µέσο Λ της πλευράς ισοσκελούς τραπεζίου (//) φέρνουµε παράλληλη προς την η οποία τέµνει την στο. Να δείξετε ότι BM ν = 45 ο τότε = Έστω Ρ το µέσο της τότε το ΡΛ είναι διάµεσος στο τραπέζιο άρα 45ο + ΡΛ // // και ΡΛ= ΡΛ // Λ // ΡΛ παραλληλόγραµµο άρα ΡΛ = και Λ = Ρ = Ρ Λ και επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές έχουµε = άρα Λ = Τώρα στο τρίγωνο είναι η Λ διάµεσος και Λ = ορθογώνιο µε υποτείνουσα την δηλαδή BM. άρα το τρίγωνο είναι ν = 45 ο τότε λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου είναι και ɵ = 45 ο οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι = 45 ο άρα το τρίγωνο ισοσκελές συνεπώς = = = + = ΡΛ = =

3 3. Έστω τρίγωνο και,, Ζ τα µέσα των πλευρών του,, αντίστοιχα Στην προέκταση της Ζ παίρνουµε τµήµα Κ= Ζ. Να δείξετε ότι Το τρίγωνο Κ έχει πλευρές ίσες µε τις διαµέσους του Το είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου Κ i Οι διάµεσοι του Κ είναι ίσες µε τα 4 3 των πλευρών του Προφανώς η πλευρά του τριγώνου Κ είναι διάµεσος στο. Ζ µέσο του Ζ = // Ζ = // µέσο του και επειδή Κ = Ζ θα είναι και Κ= // άρα το Κ είναι παραλληλόγραµµο εποµένως Κ =. AE = ΖΚ είναι παραλληλόγραµµο άρα Ζ = Κ Ζ = ΖΚ φού Κ= // το Κ είναι παραλληλόγραµµο οπότε οι διαγώνιες του διχοτοµούνται εποµένως µεσο του Κ άρα η διάµεσος του τριγώνου Κ µέσο του Ν µέσο του δηλαδή η ΚΝ διάµεσος του τριγώνου Κ Ζ // οπότε, το σηµείο τοµής των και ΚΝ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου Κ i ίναι = + = = + = + Λ = + Λ = Ζ = + = και τέλος ΚΝ= Κ + Ν = + Ζ 3 = + = 4 4 = + 4 = 3 4 Ν Θ Λ Κ

4 4. = + = + = + 4 = 3 4 ίνεται ορθογώνιο και Ρ τυχαίο σηµείο στην, προεκτείνουµε την Ρ κατά Η τµήµα Ρ = Ρ και φέρνουµε Ζ και Η. Να αποδείξετε ότι //, ΖΗ //, i τα σηµεία Ζ, Η, Ρ είναι συνευθειακά. Φέρω την διαγώνιο τότε Ρ µέσο του ΟΡ // Ο µέσο του εποµένως // Το ορθογώνιο άρα Ο = Ο οπότε = () πίσης το ΗΖ ορθογώνιο άρα Κ = ΚΗ Η = () πό το ( αφού // θα είναι = (3) πό τις (), (), (3) έχουµε ότι Η = άρα ΗΖ // i Κ µέσο του ΚΖ // ΗΖ // Κ µέσο του ΡΚ // Ρ µέσο του πειδή λοιπόν ΚΖ // και ΚΡ // µε βάση το υκλείδειο αίτηµα τα σηµεία Κ, Ρ, Ζ θα είναι στην ίδια ευθεία στην οποία βρίσκεται και το Η άρα τα Η, Ζ, Ρ συνευθειακά. Κ Ζ Ρ Ο

5 5. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο και η διάµεσος στην υποτείνουσα ακόµα έστω Η το ύψος στην υποτείνουσα.πό το Η φέρνουµε δείξτε ότι = Η =, = Η και Η άρα Η = Η = 90 ο ακόµα = 90 ο οπότε το Η είναι ορθογώνιο συνεπώς = Η ορθογώνιο διάµεσος στην υποτείνουσα = άρα = Η Κ και Η i Στο ορθογώνιο Η το τρίγωνο ΟΗ είναι ισοσκελές άρα Η = και επειδή Η // θα είναι = συνεπώς Η = όµως Η = σαν οξείες µε κάθετες πλευρές οπότε i ρήκαµε ότι Ο = δηλαδή Η = = και = προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε + = + = 90 ο άρα και η τρίτη γωνία Κ του τριγώνου Κ θα είναι ορθή οπότε

6 6. Θεωρούµε τρίγωνο και εξωτερικά αυτού κατασκευάζουµε τα τετράγωνα ΖΗ και. ν διάµεσος του να δείξετε ότι η είναι κάθετη στην Η και ίση µε το µισό της Η. Προεκτείνω την διάµεσο και στην προέκταση παίρνω τµήµα Θ = τότε το Θ είναι παραλληλόγραµµο διότι οι διαγώνιες του διχοτοµούνται άρα Ι Η Ζ Θ = και + ɵ Θ = 80 ο επίσης έχουµε ότι + Η = 80 ο οπότε ɵ Θ = Η. = = Θ Η = Η = Θ ɵ Η = Θ Θ άρα Θ = Η = Η = Η και = Η ν η προέκταση της τέµνει την Η στο Ι τότε Η προφανής ισότητα + = 90 ο γίνεται + Η = 90 ο Συνεπώς η τρίτη γωνίαι ɵ του τριγώνου Ι Η θα είναι Ι ɵ = 90 ο άρα η ευθεία είναι κάθετη στη Η.

7 7. πό το σηµείο τοµής Ι των διχοτόµων των γωνιών και ɵ τριγώνου φέρουµε παράλληλη στην η οποία τέµνει τις και στα και αντίστοιχα έστω ακόµα ότι = 70 ο είξτε ότι = + Ι ɵ = 5 ο i + ɵ = Ι ɵ Ι διχοτόµος ˆ = ˆ () // ˆΙ = ˆ () (), () ˆ = ˆΙ = Ι Οµοίως = Ι ω Ι φ προσθέτοντας κατά µέλη + = Ι + Ι = πό γνωστή εφαρµογή Ι ɵ = 90 ο + = 90 ο + 35 ο = 5 ο i = 80 ο ˆω και ɵ = 80 ο ˆφ άρα + ɵ = 360 ο ( ˆω + ˆφ ) = 360 ο (80 ο ) = = 360 ο 0 ο = 50 ο = Ι ɵ

8 8. ίνεται τρίγωνο και, Η η διάµεσος και το ύψος που αντιστοιχούν στην πλευρά. Προεκτείνουµε τις και Η έτσι ώστε = και Η = Η. Να αποδείξετε ότι Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο i Η ɵ = Η iν) = = παραλληλόγραµµο = διότι οι διαγώνιες του διχοτοµούνται Η µέσο του Η // µέσο του Η Η // Η άρα ɵ = 90 ο δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο i ορθογώνιο = Η ɵ = Η διάµεσος στην υποτείνουσα iν) πό το παραλληλόγραµµο έχουµε ότι = () επειδή Η µεσοκάθετος του θα είναι και = (). πό τις () και () προκύπτει ότι =

9 9. Έστω τρίγωνο µε = εγγεγραµµένο σε κύκλο κέντρου Ο. πό το µέσο της φέρνουµε που τέµνει τον κύκλο στα Ζ και Η και που τέµνει τον κύκλο στα Λ και K, µε τα Κ και Η προς το ίδιο µέρος της Να δείξετε ότι Τα σηµεία, Ο, είναι συνευθειακά ΖΗ = ΚΛ i KE = Η φού το είναι το µέσο της στο ισοσκελές τρίγωνο η διάµεσος θα είναι µεσοκάθετος της χορδής εποµένως θα διέρχεται από το κέντρο Ο του κύκλου δηλαδή τα σηµεία, Ο, είναι συνευθειακά Κ Ο Ρ Ν Ζ Λ Στο ισοσκελές τρίγωνο η διάµεσος είναι και διχοτόµος άρα = τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα διότι έχουν την κοινή και = άρα = δηλαδή η είναι διχοτόµος της γωνίας ΚΗ οπότε οι αποστάσεις ΟΡ και ΟΝ του Ο από τις πλευρές Κ και Η της γωνίας Κ Η είναι ίσες. Οι αποστάσεις όµως ΟΡ και ΟΝ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΚΛ και ΖΗ και αφού τα αποστήµατα είναι ίσα οι χορδές θα είναι και αυτές ίσες δηλαδή ΖΗ = ΚΛ i Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = ɵ άρα αυτά είναι ίσα οπότε = () πίσης τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΡ και ΟΝ είναι ίσα αφού έχουν την Ο κοινή και = άρα Ρ = Ν () φαιρώντας κατά µέλη από την () την () βρίσκουµε ότι Ρ = Ν (3) πειδή λοιπόν ΖΗ = ΚΛ θα είναι και τα µισά τους ίσα δηλαδή ΚΡ = ΝΗ και λόγω της (3) έχουµε και Κ = Η. Η

10 0. ίνεται παραλληλόγραµµο µε = 0 ο. ν η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την στο µέσο της και είναι το µέσο της, τότε : Να υπολογίσετε την γωνία και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές Να δείξετε ότι = i Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο iν) Να δείξετε ότι = 90 ο ν) ν Ζ να αποδείξετε ότι = Ζ Στο παραλληλόγραµµο οι γωνίες και είναι διαδοχικές άρα + = 80 ο 0 ο + = 80 ο = 60 ο Η είναι διχοτόµος της γωνίας = Ζ // = ɵ άρα = ɵ οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές µε = Το είναι µέσο του άρα = ( = i πειδή = ως µισά των ίσων τµηµάτων και και = θα είναι = δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η γωνία αυτού είναι = 60 ο άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο iν) Στο τρίγωνο η είναι διάµεσος και λόγω του (i = = συνεπώς το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την ν) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ η γωνία = 30 ο άρα Ζ = = Ζ

Σχετικά έγγραφα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό