(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)
|
|
- Ἀναίτις Θεοδοσίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () () (). 0. α) ωνία Κ + γωνία 180. Θ (Κ) γα Άρα 1 () γα Λ Ι ( Κ γ, α). Κ βγ Άρα (Κ) () ( γ). βγ βγ Όµοια βρίσκουµε (Ι), (ΛΘ) β) (ΚΛΘΙ) () + (ΚΛ) + (ΙΘ) + () + (Κ) + (Ι) + βγ (ΛΘ) + γ + β + α βγ βγ βγ α + β + γ + βγ α + (β + γ) ή (ΚΛΘΙ) α + βγ (α + βγ). 1
2 1. α) A + A 180. Άρα (EAH) () γβ 1. γβ β) () () + () + () + () γβηµ0 + γ B A 0 β γβηµ150 + γ + β γβ + γ + β. α) φού τρίγωνο H ισοσκελές, τότε υ (1) και υ. φού στο τρίγωνο, A 0, τότε υ υ και AB υ () πό (1), () έχουµε: + υ + β) υ + 6 γ) υ 1,, υ 1 υ + 6 υ,, υ υ
3 . α) Τα τρίγωνα και έχουν κοινή την γωνία. () Άρα () και 1. () Άρα () E 1, όµως AB Όµοια βρίσκουµε () 1 (), άρα () () () και () β) () () - () - () - () α) () ηµ10 18 cm β) Τα τρίγωνα και έχουν κοινή την γωνία. () Άρα () E A 6 π όπου () () cm 5. α) Τα τρίγωνα Μ και Μ έχουν κοινό ύψος, έστω υ, από την κορυφή Μ. Έτσι: (BM) (Μ) υ υ. γ β Μ γ 1 Όµως β (1) (θεώρηµα διχοτόµων στο, µε διχοτόµο της γωνίας ) (BM) 1 Άρα (Μ) 15
4 (M) β) () Μ () Όµως από την (1) έχουµε: + 1 +,, () (M) Έτσι, από τις (), () έχουµε: () A B 1 6. (Ο) κύκλου) AB ρ ρ (Ο), (Ο) B ρ (Ο) (ρ ακτίνα εγγεγραµµένου A ρ AB + (Ο) + (Ο) ρ (Ο) + (Ο) Όµως + + (), A + Άρα, από (1) και () έχουµε (Ο) + (Ο) (Ο) + (Ο) ρ (1) Σηµείωση: απόδειξη της () είναι απλή λόγω της ισότητας των εφαπτόµενων προς τον κύκλο από σηµείο εκτός αυτού. 7. α) (Θ) (Θ) - () (1) και () () - () () Όµως (Θ) (), διότι έχουν κοινή βάση την και ίσα ύψη από τις κορυφές και Θ την απόσταση των παραλλήλων και. Άρα, από (1), () έχουµε (Θ) () 16
5 β) (Θ) (Θ) + (Θ) () Όµως στο ερώτηµα (α) αποδείξαµε ότι (Θ) () (4) και µε όµοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι (Θ) () (5) Άρα η () λόγω των (4), (5) γίνεται: (Θ) () + () 8. α) Το είναι τραπέζιο (γενικά). Άρα: Z + E Μ. Z + E Άρα () υ Μ υ (1) β) Όµοια µε το ερώτηµα (α) αποδεικνύεται ότι () ΜΘ υ () Όµως ΜΘ Μ () υ Άρα από τις (1), (), () έχουµε: () () // // Μ Θ 9. α) () (Θ) + (Θ). Όµως τα τρίγωνα Θ και Θ έχουν κοινή βάση τους Θ ύψη α - β β) () () υ, άρα () υ 1 (α - β) 4 υ α - β α - β α + β + α EZ + α υ α + β 8 Άρα () - () και ίσα υ 1 + υ. Όµοια () α - β 4 α + β υ υ () β + α 8 υ α + β υ ή 4 υ. 17
6 40. α) , άρα α β + γ Άρα ορθογώνιο στο. β) Τα τρίγωνα (), () είναι όµοια. β γ (AB) γ 15 Άρα: () β 8 1 α 41. Τα τρίγωνα και είναι όµοια. Άρα () Μ 4. () 9 φού () 90 cm, τότε () cm 4. α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα διότι έχουν: i) BB ii) iii) Άρα. 1 Όµοια, άρα το είναι παραλληλόγραµµο. β) ( ) 1, άρα έχουµε () Άρα: ( ) () Όµοια: ( ). Έτσι έχουµε: ( ) () + ( ) + ( )
7 4. Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν κοινή βάση Ο και ίσα ύψη υ από τις κορυφές και (η ισότητα των υψών είναι προφανής λόγω της ισότητας των αντιστοίχων ορθογωνίων τριγώνων που σχηµατίζονται από τα ύψη και τις πλευρές, του παραλληλογράµµου ), άρα είναι ισοδύναµα. 44. ίναι τρίγωνα. Άρα και (αφού ορθογώνιο παραλληλόγραµµο). Άρα + + (1) () () υ υ ( ) υ + υ υ + υ () + υ + ( 1) υ 45. α + v + V 60 (1) v + V () πό την (1) λόγω της () έχουµε α 0, άρα α 10 m. α 8 v α Στο H έχουµε α +,, 6 m Θ Όµως Θ, άρα v α 40,, v 14 m Άρα V m. V 19
8 46. φού Ο Ο A Ο Ο α) Ο Ο ή Ο Ο - Ο Ο Ο - Ο - ή Ο Ο 0, απ όπου Ο 1 cm, Ο 16 cm. 50 φού , τότε τρίγωνο Ο ορθογώνιο στο O. β) () (Ο) - (Ο) cm. 47. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει: µ α υ α, όµως υ α Όµοια µ β α, µ γ α. Άρα µ α + µ + µ β γ α Όµως α 4 () α (1) 4 Άρα η (1) λόγω της () γίνεται: µ α + µ β + µ γ. α. EB υ 48. (EB) A υ (A) (EB) + (A) (EB + A) υ υ υ υ () 140
9 49. () () ή A A 6 ή A 6 1 ή 4 Όµοια βρίσκουµε E 1 α β, E, E γ Όµως: α + β γ, άρα E 1 + E E. 141
10 51. α) () 1 ηµ. Παρατηρούµε ότι αν ηµ γίνει µέγιστο θα έχουµε το µεγαλύτερο δυνατό εµβαδό. Άρα αν 90, τότε ηµ 1 (µέγιστο) και () 600 m. Συνεπώς οι πρόσκοποι πρέπει να σχηµατίσουν τρίγωνο µε γωνία 90. β) () 1 ηµ ,5 m + 70 m για να είναι µέγιστο το πρέπει 5 m. Σηµείωση: ίναι γνωστό ότι το γινόµενο δύο αριθµών µε σταθερό άθροισµα γίνεται µέγιστο όταν οι αριθµοί γίνουν ίσοι. 5. α) () (α + β) β) Τα τρίγωνα, Θ, Θ, είναι προφανώς ίσα και ορθογώνια λόγω της κατασκευής τους (βλ. σχήµα). Άρα Θ Θ γ. β γ 1 Όµως: Θ Θ 1 Άρα , άρα 90. Άρα το Θ είναι τετράγωνο. γ) Προφανώς Θ β β (βλ. (β) ερώτηµα). Άρα () (Θ) (Θ) () (Θ) γ α + β. α αβ 1 1 Θ δ) () γ αβ + 4 αλλά () (α + β) Άρα (α + β) γ + αβ ή α + β + αβ γ + αβ ή α + β γ Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο. 14
11 5. α) () 900 m 60 β) () 600 m () m γ) Όπως φαίνεται από το διπλανό z z ω y x σχήµα, τα τέσσερα οικόπεδα (Ι), (ΙΙ), (ΙΙΙ), (ΙV) έχουν αντίστοιχα IV III II I 0 προσόψεις x, y + ω, z, z στον εθνικό δρόµο και πρέπει να είναι ισεµβαδικά. 60 Z ηλαδή Ι ΙΙ ΙΙΙ ΙV, απ όπου έχουµε: x 0 y 0 + ω 60 z π όπου: z 11,5 (1) x, 5 () y + ω,5 () 0 λλά z + ω + y + x 60, η οποία λόγω των (1), () γίνεται: 11,5 + ω + y +,5 60 ή ω + y 15 (4) Λύνοντας το σύστηµα των () και (4) έχουµε: y 7,5 και ω 7,5 Άρα η περίµετρος των Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV είναι αντίστοιχα 105 m, 150 m, 15 m, 15 m. 14
12 54. α) m Άρα 848,5 m β) E m γ) Το ΚΙ είναι ορθογώνιο τραπέζιο, αφού // ΙΛ και Z 90. πίσης και τα ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ, ΠΝΘ, ΡΠΘ, ΡΣ, ΣΙ. δ) i) (ΚΙ) + IK Κ Όµως Κ Ο - ΟΚ m. Άρα (ΚΙ) m Σ Ι Ρ Κ Ο Π Θ Λ Ν Μ ii) Ι 1,1. 4 Άρα η περίµετρος Π + Κ + ΙΚ + Ι ,1 81,1 m. 55. Φέρνουµε το ύψος και από το ευθεία παράλληλη προς την, την x. Παίρνουµε x τµήµα πάνω στην x ώστε. Το ζητούµενο ορθογώνιο έχει πλευρές,. 144
13 56. φάση: πό το φέρνουµε παράλληλη προς την, την. Το πεντάγωνο µετασχηµατίζεται σε ισοδύναµο τετράπλευρο, το. φάση: Φέρνουµε τη διαγώνιο και από το την //. Το είναι ισοδύναµο µε το τετράπλευρο. 57. Φέρνουµε το ύψος. Πάνω στην προέκταση της παίρνουµε. Το τρίγωνο είναι το ισοδύναµο ορθογώνιο. 58. άν x είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε x 7. Κατασκευάζουµε το x ως µέση x ανάλογο των και 7. Σε ευθεία xy παίρνουµε διαδοχικά x A 7 y 145
14 τα τµήµατα, 7. Με διάµετρο το 10 γράφουµε ηµικύκλιο και στο σηµείο υψώνουµε κάθετο. Το µήκος του είναι η ζητούµενη πλευρά του τετραγώνου. 146
2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =
Ερωτήσεις ανάπτυξης. (ΑΒΓ) = 4 ( ΕΖ) ή ( ΕΖ) = (ΑΒΓ) Θα δείξουµε ότι (ΑΒΓ ) = ΑΓ. Πράγµατι είναι: (Α Γ) = (ΑΒΓ) = Εποµένως (Α Γ) + (ΑΒΓ) =
Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) Επειδή τα Ζ,, Ε είναι µέσα των πλευρών τριγώνου είναι Ζ // Ε και Ε // Ζ. Άρα το τετράπλευρο Ζ Ε είναι παραλληλόγραµµο. Η διαγώνιος ΖΕ του παραλληλογράµµου το χωρίζει σε δύο ισοδύναµα
Ερωτήσεις ανάπτυξης. β) Το Ε ΑΒΓ = 3Ε ΒΟΓ = 3 ΒΓ ΟΗ = = 2. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο:
ρωτήσεις ανάπτυξης. α) πό το ορθογώνιο τρίγωνο, έχουµε: - () λλά R, R, αφού η γωνία 0. () γίνεται: (R) - R R - R R Άρα R cm H πλευρά α του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α 6 cm. β) Το 6 7 cm. B A H O. κεντρική
Απέναντι πλευρές παράλληλες
5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας
3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)
1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι
2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο
1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β
0.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης. ( ) ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και =. ( ) β ποιος είναι ο λόγος β : : : 9 : 4 5 4 4 9 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης
0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β
5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουµε µία διάµετρο του εκατέρωθεν των και και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα = = R. Έστω ΕΜ τέµνουσα του κύκλου τέτοια ώστε Μ = R 7 Να αποδείξετε
1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου
3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ
1 3.4 ΙΙΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜΥ ΡΘΩΝΙΥ ΡΜΥ ΤΕΤΡΩΝΥ ΤΡΠΕΖΙΥ ΙΣΣΚΕΛΥΣ ΤΡΠΕΖΙΥ ΘΕΩΡΙ 1. Ιδιότητες παραλληλογράµµου Το σηµείο τοµής των διαγωνίων του είναι κέντρο συµµετρίας (Το κέντρο συµµετρίας) ι διαγώνιες διχοτοµούνται,
Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην
Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.
6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται
Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.
5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου
5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και έστω, Μ τα µέσα των και αντίστοιχα Οι προεκτάσεις των τµηµάτων Μ και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα Μ και ΜΖ είναι ίσα i Το τετράπλευρο
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο
1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.
1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες
3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ
1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001
Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Να αποδείξετε ότι, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, ισούται µε το γινόµενο των προβολών των κάθετων
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών
6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη
Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ)
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Β και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΕ) 1 β) ( ΕΖ) = (ΑΒ). 4 2. ** Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος τετραπλεύρου
Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ
1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1
Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 31. Μία κυλινδρική δεξαµενή έχει µήκος βάσης 1,56 m. Η δεξαµενή είναι γεµάτη κατά τα 6 7 και περιέχει 75,36 m3 νερό. Να υπολογίσετε το βάθος της δεξαµενής. Να υπολογίσετε
Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001
Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου ΚΦΩΝΗΣΙΣ Ζήτηµα ο Α. Να αποδείξετε ότι, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, ισούται µε το γινόµενο των προβολών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //
1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)
σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η
1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο
1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α
1 ΣΚΗΣΙΣ ΠΝΛΗΨΗΣ 3 η Κ 1. Στο διπλανό σχήµα το τετράπλευρο παριστάνει µία τετράγωνη πλατεία και τα τετράπλευρα ΚΛΘ και ΗΜΡΖ παριστάνουν δύο κήπους. Η πλευρά του είναι 30m και η απόσταση των ΚΛ και ΡΜ είναι
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η)
Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)
σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι
Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................
7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156
1 7.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 ρωτήσεις ατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ε x 1 2 ε 2 ψ 6 ε 2 3 3 ε 4 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 4 x 1,5 ψ 3 4 ε 3 (β) (γ) ε 1
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2
Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι - Κ Ε Φ Λ Ι Ο 2 Τριγωνομετρία ΛΟΟΣ ΕΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ α α β α β α β 1. ν 2, να υπολογίσετε τους λόγους :,, β β β α β 2. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 6 cm και ύψος, να υπολογίσετε τους
1.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Το οµοιόθετο γωνίας : Είναι γωνία ίση µε την αρχική
1 1.4 ΜΙΘΣΙ ΘΩΡΙ 1. Το οµοιόθετο ευθυγράµµου τµήµατος ίναι ευθύγραµµο τµήµα // AB και τέτοιο ώστε = λ, όπου λ ο λόγος οµοιοθεσίας (το κέντρο οµοιοθεσίας να µην ανήκει στν ευθεία ). Το οµοιόθετο γωνίας
2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο
.4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε
ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων
εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων
ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω
1. Γενικά για τα τετράπλευρα
1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική
Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Β.1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Β.1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Στον παρακάτω πίνακα τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ είναι οι πλευρές ενός o ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με Â 90. Να συμπληρώσετε τον πίνακα αυτό. ΑΒ 6 3
5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :
5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5
5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του.
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει μια πλευρά ίση με 48 και το αντίστοιχο σε αυτή την πλευρά ύψος είναι 4,5 dm. Να βρείτε το εμβαδό του παραλληλογράμμου 2. Ένα παραλληλόγραμμο έχει εμβαδό 72 2
3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ
1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 6/ 11/ 2016
εν είναι δυνατή η προβολή αυτής της εικόνας αυτή τη στιγµή. ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:...
ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ
ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1
υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο
ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.
5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ
5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α
1 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚ 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου σε cm είναι = 3x 3, = 3x + 1 και = x και η περίµετρος Π του τριγώνου είναι Π = 8cm. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου. Να δείξτε ότι το τρίγωνο