ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΦΩΤΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ LASER ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΩΤΗΡΙΟΥ ΧΡΙΣΤΙΝΑ Α.Μ. 333 ΑΜΕΣΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΔΕΙΚΤΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Z-SCAN ΓΙΑ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΓΚΑΟΥΣΙΑΝΕΣ ΔΕΣΜΕΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ 1
Στη μητέρα μου
Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω κατά πρώτον τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Πέτρο Περσεφόνη για την επιλογή του θέματος της μεταπτυχιακής διπλωματικής μου εργασίας και την αμέριστη συμπαράστασή του κατά τη διάρκεια της εκπόνησής της. Επίσης θα ήθελα να τον ευχαριστήσω και για την οικονομική στήριξη που μου προσέφερε από το εργαστήριο laser ώστε να καλύψω ένα μεγάλο μέρος των εξόδων μου κατά τη συμμετοχή μου στο διεθνές συνέδριο NN1, που έγινε στην Ουρανούπολη της Χαλκιδικής το 1, όπου παρουσίασα τα αποτελέσματα της διπλωματικής μου εργασίας. Τον καθηγητή μου κ. Β. Γιαννέτα μέλος της τριμελούς επιτροπής ευχαριστώ για την βοήθεια του στην εκπόνηση της παρούσας εργασίας. Ιδιαίτερα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον εκλεγμένο Επίκουρο Καθηγητή του ΕΜΠ κ. Γεώργιο Τσιγαρίδα για την πολύτιμη βοήθεια του στην εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας, τόσο για το πειραματικό, όσο και για το θεωρητικό της μέρος. για το χρόνο που διέθεσε, για τις εύστοχες παρατηρήσεις και συμβουλές, που με βοήθησαν να κατανοήσω και να επιλύσω τα διάφορα προβλήματα που υπήρξαν κατά τη διάρκεια της διεξαγωγής της εργασίας μου καθώς επίσης και για την αμεσότητα του. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τη μητέρα μου Σοφία και την γιαγιά μου Λίτσα που με βοήθησαν οικονομικά όσο καλύτερα μπορούσαν όλα αυτά τα χρόνια που ήμουν φοιτήτρια στην Πάτρα. Επίσης θέλω να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου για την ψυχολογική υποστήριξη τους και την πίστη τους σε μένα. 3
Περιεχόμενα Πρόλογος σελ. 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μη Γραμμική Οπτική Εισαγωγή σελ. 7 1.1 Πόλωση σελ. 8 1. Κυματική εξίσωση για μη γραμμικά υλικά σελ. 9 1.3 Μη γραμμικά φαινόμενα σελ. 1 Α. Γένεση δεύτερης αρμονικής σελ. 1 Β. Γένεση αθροίσματος και διαφοράς συχνοτήτων σελ. 11 Γ. Μη γραμμικά φαινόμενα τρίτης τάξης σελ. 13 Δ. Μη γραμμική απορρόφηση - Οπτικός περιορισμός σελ. 14 1.4 Μη γραμμικός δείκτης διάθλασης σελ. 17 1.5 Η προέλευση του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης σελ. 1 Α. Ηλεκτρονική συνεισφορά σελ. 1 Β. Μοριακός προσανατολισμός σελ. Γ. Θερμικά φαινόμενα σελ. Δ. Φωτοδιαθλαστικότητα (Photorefraction) σελ. 3 Αναφορές σελ. 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η τεχνική Z-scan Εισαγωγή σελ. 5.1 Κυκλικές γκαουσιανές δέσμες σελ. 6. Ελλειπτικές γκαουσιανές δέσμες σελ. 3.3 Το φαινόμενο της αυτό-εστίασης και αυτό-από-εστίασης σελ. 33.4 Η πρώτη θεώρηση της τεχνικής close Z-scan σελ. 4.5 Τεχνική open Z-scan ( μη γραμμική απορρόφηση) σελ. 46.6 Τεχνική Divided aperture Z-scan σελ. 5.7 Μεταγενέστερες τροποποιήσεις της τεχνικής Z-scan σελ. 5.8 Πλεονεκτήματα της τεχνικής Z-scan σελ. 53 Αναφορες σελ. 55 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τεχνική dimension Z-scan ή τεχνική Z-scan με απευθείας μέτρηση των διαστάσεων της δέσμης Εισαγωγή σελ. 56 3.1 Εφαρμογή της τεχνικής σε κυκλικές δέσμες σελ. 57 3. Εφαρμογή της τεχνικής σε ελλειπτικές δέσμες σελ. 61 Αναφορές σελ. 65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Άμεσος υπολογισμός του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης από τις καμπύλες Z-scan στην περίπτωση μιας ελλειπτικής (αστιγματικής) Γκαουσιανής δέσμης Εισαγωγή σελ. 66 4.1 Αριθμητικές προσομοιώσεις σελ. 66 4. Υπολογισμός του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης με τη βοήθεια της νέας πειραματικής σχέσης σελ. 73 4.3 Συμπεράσματα-Πλεονεκτήματα σελ. 74 Αναφορές σελ. 75 5
Πρόλογος Η παρούσα μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία ασχολείται με τον άμεσο υπολογισμό του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης με τη βοήθεια μιας απλής μαθηματικής σχέσης και ενός πίνακα που παράγαμε, εφαρμόζοντας την τεχνικής Ζ-scan με απευθείας μέτρηση των διαστάσεων της δέσμης και τη χρήση ελλειπτικής γκαουσιανής δέσμης. Προτού αναφερθούμε στη μέθοδο υπολογισμού που προτείνουμε, θα γίνει εισαγωγή στη μη γραμμική οπτική, στη συνέχεια θα αναλυθούν οι βασικές μορφές των δεσμών λέιζερ που χρησιμοποιούνται και μετά τα φαινόμενα της αυτό-εστίασης και από-αύτο-εστίασης, που είναι βασικά για την κατανόηση της λειτουργίας της τεχνικής Ζ-scan και της ερμηνείας των καμπυλών Ζ-scan. Έπειτα παρουσιάζεται η τεχνική Ζ-scan και οι διάφορες παραλλαγές της με τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα τους. Κατόπιν μελετάται η μορφή των καμπυλών Ζ-scan με απευθείας μέτρηση των διαστάσεων της δέσμης για κυκλικές και ελλειπτικές Γκαουσιανές δέσμες. Τέλος, εξηγούμε πως μέσω πολλών εξομοιώσεων Ζ-scan που πραγματοποιήσαμε, καταφέραμε να παράγουμε τη μαθηματική σχέση και τον αντίστοιχο πίνακα, που μας φέρνουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα του υπολογισμού του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης ενός υλικού αποφεύγοντας τους επίπονους και χρονοβόρους μαθηματικούς υπολογισμούς του παρελθόντος. 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μη Γραμμική Οπτική Εισαγωγή Η μη γραμμική οπτική είναι ένας κλάδος της οπτικής που έχει να κάνει με οπτικά φαινόμενα τα οποία προκύπτουν από την αλληλεπίδραση σύμφωνης ακτινοβολίας υψηλής έντασης με την ύλη. Δηλαδή, περιγράφει τα φαινόμενα εκείνα στα οποία οι ιδιότητες των υλικών μεταβάλλονται υπό την επίδραση ισχυρού Η/Μ πεδίου, με αποτέλεσμα και η ύλη με τη σειρά της να επηρεάζει το πεδίο με το οποίο αλληλεπιδρά. Πριν από τη δεκαετία του 6, οι μικρές εντάσεις φωτός υποδείκνυαν ένα γραμμικό χαρακτήρα. Έτσι σύμφωνα με την κλασική οπτική: 1. Οπτικές ιδιότητες όπως ο δείκτης διάθλασης ή ο συντελεστής απορρόφησης είναι ανεξάρτητες από την ένταση του φωτός.. Η συχνότητα του φωτός δεν αλλάζει κατά το πέρασμα της μέσα από την ύλη. 3. Το φως δεν αλληλεπιδρά με φως μέσα σε υλικά. 4. Ισχύει η αρχή της υπέρθεσης των κυμάτων. Μετά τη δεκαετία του 6 και την ανακάλυψη των lasers επιτεύχθηκαν μεγάλες εντάσεις φωτός που αποκάλυψαν σε πειράματα ότι: 1. Ο δείκτης διάθλασης εξαρτάται από την ένταση του φωτός.. Το φως δύναται να αλλάζει τη συχνότητα του κατά το πέρασμα του μέσα από την ύλη. 3. Φως αλληλεπιδρά με φως μέσα στα υλικά. 4. Η αρχή της υπέρθεσης των κυμάτων παραβιάζεται. Η μη γραμμική οπτική μελετά την απόκριση των υλικών όταν αυτά εκτίθενται σε ισχυρές ηλεκτρομαγνητικές ακτινοβολίες, όπως για παράδειγμα αυτές των παλμικών λέιζερ. Η μη γραμμικότητα των φαινομένων αυτών έγκειται στο ότι η απόκριση του υλικού εξαρτάται από την ένταση της ακτινοβολίας. 7
1.1 Πόλωση Στη γραμμική οπτική είναι γνωστό ότι αν ένα υλικό τοποθετηθεί σε εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο τότε στο υλικό αυτό επάγεται πόλωση που είναι ανάλογη της εντάσεως του ηλεκτρικού πεδίου. Δηλαδή ισχύει μια σχέση της μορφής: P t (1) ( ) E( t) (1.1) (1) όπου η διηλεκτρική σταθερά του κενού και η γραμμική επιδεκτικότητα του υλικού. Στη μη γραμμική οπτική λόγω των πολύ ισχυρών ηλεκτρικών πεδίων εμφανίζονται και όροι ανωτέρας τάξεως στη σχέση και έτσι παίρνουμε το εξής ανάπτυγμα σε δυνάμεις του ηλεκτρικού πεδίου: P t E t E t E t E t (1.) (1) () (3) 3 ( n) n ( ) [ ( ) ( ) ( )... ( )] () (3),, ( n) είναι οι μη γραμμικές επιδεκτικότητες δεύτερης, όπου τρίτης και n-οστής τάξης αντίστοιχα. Μια πιο κομψή μορφή του παραπάνω τύπου είναι η ακόλουθη: P( t) P( t) P( t) P( t)... P( t) n (1) () (3) ( ) (1.3) (1) (1) () () όπου P( t) E( t) είναι η γραμμική πόλωση και P( t) E( t), (3) (3) 3 ( ) ( ) P( t) E( t), P( t) n n E( t) n είναι οι μη γραμμικές πολώσεις δεύτερης, τρίτης και n-οστής τάξης αντίστοιχα. Τέλος μπορούμε να διαχωρίσουμε το γραμμικό από το μη γραμμικό μέρος της πόλωσης, δηλαδή αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: P( t) P( t) P ( t) (1.4) L NL (1) (1) Όπου P ( ) ( ) ( ) L t P t E t είναι ο γραμμικός όρος της πόλωσης και () (3) ( ) P ( ) ( ) ( )... ( ) n NL t P t P t P t είναι ο μη γραμμικός όρος της πόλωσης. Στο σχήμα που ακολουθεί μπορούμε να παρατηρήσουμε την εξάρτηση της πόλωσης συναρτήσει του ηλεκτρικού πεδίου για γραμμικό και μη γραμμικό μέσο: 8
Σχήμα 1.1: Εξάρτηση της πόλωσης P με το εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο για μη γραμμικό διηλεκτρικό μέσο (συνεχής γραμμή) και για γραμμικό μέσο ( διακεκομμένη). Η διακεκομμένη μαύρη γραμμή στο σχήμα 1.1 αντιστοιχεί στην γραμμική πόλωση PL () t του μη γραμμικού υλικού και, όπως ήταν αναμενόμενο από τη σχέση (1.1), είναι ευθεία. Η συνεχής μπλε γραμμή αντιστοιχεί στο άθροισμα της γραμμικής και μη γραμμικής πόλωσης P( t) L PNL ( t ) του μη γραμμικού υλικού και σύμφωνα με τη σχέση (1.) είναι καμπύλη. 1. Κυματική εξίσωση για μη γραμμικά υλικά Η κυματική εξίσωση για ένα μη γραμμικό υλικό είναι μια μη ομογενής διαφορική εξίσωση που συνήθως παίρνει την ακόλουθη μορφή: n E 1 P E c t c t (1.5) όπου n είναι ο γραμμικός δείκτης διάθλασης του υλικού c η ταχύτητα του φωτός στο κενό 9
x y z ο τελεστής του Laplace. Σημαντικό ρόλο στην παραπάνω εξίσωση έχει ο τελευταίος όρος, από όπου είναι φανερό ότι η μη γραμμική πόλωση οδηγεί στη δημιουργία νέων συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου. Με τη βοήθεια της μη γραμμικής κυματικής εξίσωσης μπορούν να περιγραφούν πολλές μη γραμμικές αλληλεπιδράσεις. 1.3 Μη γραμμικά φαινόμενα Στην περιοχή της γραμμικής οπτικής λαμβάνουν χώρα οι διαδικασίες της γραμμικής απορρόφησης, της ελαστικής και ανελαστικής σκέδασης Raman, της αυθόρμητης και εξαναγκασμένης εκπομπής. Σε υψηλές όμως εντάσεις μπορούν να λάβουν χώρα μη γραμμικές διαδικασίες όπως η γένεση δεύτερης αρμονικής, η γένεση τρίτης αρμονικής, η γένεση αθροίσματος και διαφοράς συχνοτήτων, η μη γραμμική απορρόφηση κ.α. Α. Γένεση δεύτερης αρμονικής Η παραγωγή δεύτερης αρμονικής ήταν το πρώτο μη γραμμικό φαινόμενο που παρατηρήθηκε αμέσως μετά την εφεύρεση των λέιζερ και περιγράφεται ως εξής: Έστω μια μονοχρωματική δέσμη λέιζερ συχνότητας που προσπίπτει σε μη γραμμικό υλικό του οποίου η μη γραμμική () επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης είναι μη μηδενική. Το ηλεκτρικό πεδίο της δέσμης περιγράφεται από μια σχέση της μορφής: i t E( t) E( ) e c. c. (1.6) όπου η συχνότητα του πεδίου και cc.. συμβολισμός που εκφράζει μιγαδική συζυγία έτσι ώστε το ηλεκτρικό πεδίο να είναι πραγματικό. Όπως προαναφέραμε, η μη γραμμική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από () () τη σχέση P( t) E( t) και αν αντικαταστήσουμε σ αυτήν τη σχέση (1.6) προκύπτει: P( t) [ E ( ) e E( ) E ( ) c. c.] (1.7) () () i t * 1
Όπως παρατηρούμε, ο πρώτος όρος δίνει συνεισφορά η οποία αντιστοιχεί σε συχνότητα ταλάντωσης ω, ενώ ο δεύτερος όρος είναι ανεξάρτητος της συχνότητας ω. Επομένως σύμφωνα με τη μη γραμμική κυματική εξίσωση (1.5), ο πρώτος όρος δημιουργεί ένα κύμα με διπλάσια συχνότητα από την αρχική. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται γένεση δεύτερης αρμονικής. Αντίθετα, ο δεύτερος όρος επάγει ένα στατικό ηλεκτρικό πεδίο στο μη γραμμικό μέσο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται οπτική ανόρθωση. Στο σχήμα που ακολουθεί απεικονίζεται η διαδικασία γέννησης δεύτερης αρμονικής με τη βοήθεια ενεργειακού διαγράμματος : Σχήμα 1.: Περιγραφή της διαδικασίας γένεσης δεύτερης αρμονικής με ενεργειακά διαγράμματα. Β. Γένεση αθροίσματος και διαφοράς συχνοτήτων Έστω ότι μια δέσμη λέιζερ η οποία περιέχει δύο συχνότητες ω 1 και ω προσπίπτει σε μη γραμμικό υλικό του οποίου η μη γραμμική () επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης είναι μη μηδενική. Το ηλεκτρικό πεδίο της δέσμης περιγράφεται από μια σχέση της μορφής: i1t it E( t) E ( ) e E ( ) e c. c. (1.8) 1 1 Επομένως, αν αντικαταστήσουμε, η μη γραμμική πόλωση δεύτερης τάξης () () P( t) E( t) γίνεται: 11
P( t) [ E ( ) e E ( ) e () () i1t it 1 1 E ( ) E ( ) e E ( ) E ( ) e i ( 1 ) t * i ( 1 ) t 1 1 1 1 c. c. E ( ) E ( ) E ( ) E ( )] * * 1 1 1 1 (1.9) Όπως παρατηρούμε, οι δύο πρώτοι όροι αντιστοιχούν σε γένεση δεύτερης αρμονικής με συχνότητες ω 1 και ω αντίστοιχα. Οι δύο τελευταίοι όροι αντιστοιχούν στην οπτική ανόρθωση. Ο τρίτος όρος δίνει συνεισφορά η οποία αντιστοιχεί σε συχνότητα ταλάντωσης ω 1 +ω ενώ ο τέταρτος όρος δίνει συνεισφορά η οποία αντιστοιχεί σε συχνότητα ταλάντωσης ω 1 -ω, οι όροι αυτοί είναι υπεύθυνοι για τη δημιουργία δύο κυμάτων με συχνότητες ω 1 +ω και ω 1 -ω αντίστοιχα. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται γένεση αθροίσματος και διαφοράς συχνοτήτων. Ακολουθεί αναπαράσταση των δυο φαινομένων με τη βοήθεια ενεργειακών διαγραμμάτων: Σχήμα 1.3: Περιγραφή της διαδικασίας γένεσης αθροίσματος και διαφοράς συχνοτήτων με ενεργειακά διαγράμματα. Όπως εύκολα μπορεί να γίνει αντιληπτό η γένεση της δεύτερης αρμονικής, που αναλύθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, είναι ειδική περίπτωση της γένεσης αθροίσματος συχνοτήτων. Συγκεκριμένα η περίπτωση της γένεση δεύτερης αρμονικής προκύπτει από τη γένεση αθροίσματος συχνοτήτων αν οι δύο αρχικές συχνότητες θεωρηθούν ίσες (ω 1 =ω =ω). 1
Γ. Μη γραμμικά φαινόμενα τρίτης τάξης Έστω μια μονοχρωματική δέσμη λέιζερ συχνότητας ω που προσπίπτει σε μη γραμμικό υλικό του οποίου η μη γραμμική (3) επιδεκτικότητα τρίτης τάξης είναι μη μηδενική. Tο ηλεκτρικό πεδίο της δέσμης περιγράφεται από μια σχέση της μορφής: it E( t) E( ) e c. c. Επομένως, η μη γραμμική πόλωση τρίτης τάξης (3) (3) 3 P( t) E( t) γίνεται: P( t) [ E ( ) e 3 E ( ) E ( ) e c. c.] (1.1) (3) (3) 3 3i t * i t Όπως παρατηρούμε, ο πρώτος όρος δίνει συνεισφορά η οποία αντιστοιχεί σε συχνότητα ταλάντωσης 3ω, επομένως ο όρος αυτός είναι υπεύθυνος για τη δημιουργία ενός κύματος με τριπλάσια συχνότητα από την αρχική. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται γένεση τρίτης αρμονικής. Ο δεύτερος όρος δίνει συνεισφορά η οποία αντιστοιχεί σε συχνότητα ταλάντωσης ω και επάγει ένα κύμα με συχνότητα ίση με τη συχνότητα του προσπίπτοντος κύματος. Το φυσικό αποτέλεσμα του φαινομένου αυτού είναι η μεταβολή του δείκτη διάθλασης που αντιλαμβάνεται το προσπίπτον κύμα. Ακολουθεί το ενεργειακό διάγραμμα που αντιστοιχεί στο μη γραμμικό φαινόμενο γέννησης τρίτης αρμονικής: Σχήμα 1.4: περιγραφή της διαδικασίας γένεση τρίτης αρμονικής με ενεργειακά διαγράμματα. Αν η δέσμη του λέιζερ δεν είναι μονοχρωματική, τότε η μη γραμμική πόλωση τρίτης τάξης εμφανίζει όρους οι οποίοι δίνουν συνεισφορά που αντιστοιχεί σε διάφορους συνδυασμούς των συχνοτήτων της προσπίπτουσας δέσμης. 13
Έστω ότι μια δέσμη λέιζερ, η οποία περιέχει τρεις συχνότητες ω 1, ω και ω 3, προσπίπτει σε μη γραμμικό υλικό του οποίου η μη γραμμική (3) επιδεκτικότητα τρίτης τάξης είναι μη μηδενική. Το ηλεκτρικό πεδίο της δέσμης περιγράφεται από μια σχέση της μορφής: E( t) E ( ) e E ( ) e E ( ) e c. c. (1.11) i 1t i t i 3 t 1 1 3 3 Επομένως, αντίστοιχα με προηγουμένως η μη γραμμική πόλωση τρίτης (3) (3) 3 τάξης P( t) E( t) περιέχει όρους που είναι υπεύθυνοι για τη γέννηση κυμάτων με συχνότητες: 3ω 1, 3ω, 3ω 3, ω 1 +ω +ω 3, ω 1 +ω -ω 3, ω 1 +ω 3 -ω, ω +ω 3 -ω 1, ω 1 +ω, ω 1 +ω 3, ω +ω 1, ω +ω 3, ω 3 +ω 1, ω 3 +ω, ω 1 -ω, ω 1 -ω 3, ω -ω 1, ω -ω 3, ω 3 -ω 1, ω 3 -ω, ω 1, ω, ω 3. Όλα αυτά τα κύματα αποτελούν νέες συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου, με εξαίρεση τα τρία τελευταία, που σχετίζονται με τη μεταβολή του δείκτη διάθλασης που αντιλαμβάνεται αντίστοιχα κάθε συνιστώσα του προσπίπτοντος κύματος. Δ. Μη γραμμική απορρόφηση - Οπτικός περιορισμός Όταν σε ένα υλικό προσπίπτει δέσμη λέιζερ υψηλής έντασης ο συντελεστής απορρόφησης του υλικού παύει να είναι γραμμικός και δίνεται από τη σχέση: I (1.1) Όπου a o ο συντελεστής γραμμικής απορρόφησης β ο συντελεστής μη γραμμικής απορρόφησης Ο συντελεστής μη γραμμικής απορρόφησης συνδέεται με το φανταστικό μέρος της μη γραμμικής επιδεκτικότητας τρίτης τάξης σύμφωνα με τη σχέση : Όπου 1 cn 96 7 (3) esu Im ( ) 14 (1.13)
c είναι η ταχύτητα του φωτός σε cm/sec n ο γραμμικός δείκτης διάθλασης β ο συντελεστής μη γραμμικής απορρόφησης σε cm/w ω η κυκλική συχνότητα σε sec 1. Η διφωτονική απορρόφηση είναι ένα μη γραμμικό φαινόμενο, που συμβαίνει για μεγάλης έντασης ακτινοβολίας. Ένα άτομο ή μόριο μπορεί να διεγερθεί από μία στάθμη σε μια άλλη υψηλότερης ενέργειας με την απορρόφηση ενός φωτονίου συχνότητας ν (μονοφωτονική απορρόφηση). Η διέγερση αυτή, όμως, μπορεί να γίνει και με την απορρόφηση δύο φωτονίων διπλάσιου μήκους κύματος (δηλαδή συχνότητας ν/), αρκεί αυτά να προσπέσουν σχεδόν ταυτόχρονα στο άτομο ή στο μόριο (με χρονική διαφορά 1-15 1-16 sec), όπως φαίνεται στο σχήμα 1.5. Στην περίπτωση αυτή, επειδή η ενέργεια των φωτονίων είναι η ίδια, η διφωτονική απορρόφηση λέγεται εκφυλισμένη. Στη γενική περίπτωση, κατά την οποία έχουμε πρόσπτωση δύο φωτονίων με διαφορετική ενέργεια αλλά με το συνολικό άθροισμα της ενέργειάς τους ίσο με την ενέργεια του φωτονίου συχνότητας ν, η διφωτονική απορρόφηση ονομάζεται μη εκφυλισμένη. Σχήμα 1.5: α) Διέγερση από μία στάθμη με απορρόφηση ενός φωτονίου (μονοφωτονική διέγερση ). β) Διέγερση από μία στάθμη με απορρόφηση δύο φωτονίων ίδιας συχνότητας (εκφυλισμένη διφωτονική διέγερση ). γ) Διέγερση με απορρόφηση δύο φωτονίων ίδιας συχνότητας ( μη εκφυλισμένη διφωτονική διέγερση ) Αξίζει να σημειώσουμε ότι, στη μονοφωτονική απορρόφηση, η διέγερση γίνεται σε όλον τον όγκο του υλικού απ τον οποίον περνά η 15
ακτινοβολία. Αντίθετα, στη διφωτονική απορρόφηση, η διέγερση συμβαίνει μόνο στο εστιακό σημείο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα 1.6: Μονοφωτονική και διφωτονική διέγερση ενός υλικού. Στις μεγάλες εντάσεις δεν εμφανίζεται μόνο η διφωτονική απορρόφηση, αλλά και η επαγόμενη απορρόφηση (induced absorption) ή ανάστροφα κορέσιμη απορρόφηση (reverse saturable absorption- RSA), διαδικασία που στηρίζεται σε διεγέρσεις μεταξύ πραγματικών και όχι ιδεατών ηλεκτρονικών καταστάσεων. Το φαινόμενο αυτό συνίσταται στην απορρόφηση της ακτινοβολίας από ανώτερες ενεργειακές στάθμες των μορίων, η μετάβαση στις οποίες γίνεται από τις κατώτερες στάθμες. Η μεταφορά των πληθυσμών σε αυτές τις καταστάσεις πρέπει να έχει μεγάλη απόδοση, ενώ η αποδιέγερση σε αυτές πρέπει να είναι αρκετά γρήγορη, ώστε το μόριο να μπορεί να απορροφήσει πάλι. Όταν η ενεργός διατομή απορρόφησης αυτών των καταστάσεων είναι μεγαλύτερη αυτής της κατώτερης (θεμελιώδους), τότε η απορρόφηση των φωτονίων είναι πιθανότερη από αυτές, παρά από τη θεμελιώδη κατάσταση. Το αποτέλεσμα της ταυτόχρονης πλήρωσης των τριών παραπάνω συνθηκών, δηλαδή για τη μεταφορά των πληθυσμών, της γρήγορης αποδιέγερσης και των ενεργών διατομών απορρόφησης, είναι ότι η διαπερατότητα του υλικού φθίνει συναρτήσει της προσπίπτουσας 16
έντασης (ανάστροφα κορέσιμη απορρόφηση). Η κατώτερη κατειλημμένη στάθμη είναι συνήθως η πρώτη singlet S, ενώ η ανώτερη στάθμη μπορεί να είναι είτε singlet είτε triplet. Στο σχήμα που ακολουθεί μπορούμε να παρατηρήσουμε το μηχανισμό της ανάστροφα κορέσιμης απορρόφησης Σχήμα 1.7: Ο μηχανισμός της ανάστροφα κορέσιμης απορρόφησης. Χρησιμοποιώντας τη διφωτονική ή/και την επαγόμενη απορρόφηση, είναι δυνατό να κατασκευασθούν οπτικοί περιοριστές, δηλαδή διατάξεις που αποσβένουν ισχυρές δέσμες λέιζερ, έχοντας σαν αρχή λειτουργίας την μη γραμμική απορρόφηση. 1.4 Μη γραμμικός δείκτης διάθλασης Όπως προαναφέραμε, η μη γραμμική πόλωση τρίτης τάξης είναι υπεύθυνη για τη μεταβολή του δείκτη διάθλασης που αντιλαμβάνεται το 17
προσπίπτον κύμα. Η μη γραμμική πόλωση τρίτης τάξης που αντιστοιχεί σε συχνότητα ω μπορεί να γραφεί με τη μορφή: P( ) 3 ( ;,, ) E( ) E( ) (1.14) (3) (3) Όπου ο συμβολισμός ;,, δηλώνει ότι οι συχνότητες ω, ω, -ω προστίθενται με όλους τους δυνατούς τρόπους και μας δίνουν άθροισμα ίσο με ω. Ο παράγοντας 3 υποδεικνύει ότι υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τρόποι άθροισης των συχνοτήτων που μας δίνουν σαν αποτέλεσμα ω. (3) Επομένως η ολική πόλωση P ( ) που αντιστοιχεί σε συχνότητα ω προκύπτει αν στην παραπάνω σχέση προσθέσουμε τη γραμμική πόλωση, συνεπώς: (3) (1) (3) ( ) ( ) ( ) 3 ( ;,, ) ( ) ( ) P E E E E (1) (3) ( ) ( ) 3 ( ;,, ) E( ) 18 (1.15) Η ποσότητα που βρίσκεται εντός της αγκύλης, μπορεί να θεωρηθεί ως μια ενεργός τιμή της γραμμικής επιδεκτικότητας, η οποία συνδέει την πόλωση του υλικού στη συχνότητα ω με το ηλεκτρικό πεδίο Ε(ω) στην ίδια συχνότητα και συμβολίζεται ως εξής: ( ) 3 ( ;,, ) E( ) (1.16) (1) (1) (3) eff Άρα η ολική πόλωση που αντιστοιχεί σε συχνότητα ω δίνεται από τη σχέση: P ( ) E( ) eff (1.17) (3) (1) Μπορούμε να θεωρήσουμε το δείκτη διάθλασης n ως άθροισμα του γραμμικού δείκτη διάθλασης n o του υλικού (απουσία ισχυρού πεδίου) και της μεταβολής του δείκτη διάθλασης λόγω του οπτικού κύματος δn (όπου δn<< n o ). Δηλαδή: n n n (1.18) Όμως ο δείκτης διάθλασης συνδέεται με την επιδεκτικότητα μέσω της σχέσης:
n (1) 1 eff (1.19) Αντικαθιστώντας την (1.18) στην παραπάνω σχέση προκύπτει: ( n ) 1 eff (1) n (1.) Σύμφωνα με τη σχέση (1.16) για την ενεργό τιμή της γραμμικής επιδεκτικότητας και εφόσον θεωρήσουμε ότι η μεταβολή του δείκτη διάθλασης δn είναι πάρα πολύ μικρή έτσι ώστε το τετράγωνο της να είναι αμελητέο (δn), η σχέση (1.) παίρνει την μορφή: n n n 1 ( ) 3 ( ;,, ) E( ) (1.1) (1) (3) Στην εξίσωση που προέκυψε το γραμμικό μέρος της επιδεκτικότητας (1) 1 ( ) συνδέεται με τον όρο που περιέχει μόνο τον γραμμικό δείκτη διάθλασης, ενώ το μη γραμμικό μέρος της επιδεκτικότητας (3) 3 ( ;,, ) E( ) συνδέεται με τη μεταβολή του δείκτη διάθλασης λόγω της παρουσίας του οπτικού κύματος. Επομένως από την παραπάνω εξίσωση προκύπτουν οι εξής δύο σχέσεις: n (1.) (1) 1 ( ) n (3) 3 ( ;,, ) E( ) n (1.3) Όπως παρατηρούμε από την σχέση (1.3), η μεταβολή του δείκτη διάθλασης είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου E( ). Αν θεωρήσουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο της δέσμης περιγράφεται από μια σχέση της μορφής: it E( t) E( ) e c. c. (1.4) τότε το τετράγωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου συνδέεται με τη μέση τιμή του τετράγωνο του ηλεκτρικού πεδίου, σύμφωνα με τη σχέση: 19
( ) ( ) E t E (1.5) Επομένως η (1.3) γίνεται: n (3) 3 ( ;,, ) E ( t) 4n (1.6) Μπορούμε να εκφράσουμε την μεταβολή του δείκτη διάθλασης συναρτήσει της έντασης της δέσμης, η οποία δίνεται από τον τύπο: n c E ( t) n c E( ) (1.7) και με αντικατάσταση στην (1.6) προκύπτει: n (3) 3 ( ;,, ) 4n c (1.8) Επομένως, οι σχέσεις (1.6) και (1.8) μπορούν να γραφούν στη μορφή: n n E () t (1.9) n n (1.3) Όπου n (3) 3 ( ;,, ) 4n (1.31) και n (3) 3 ( ;,, ) 4n c (1.3) Οι συντελεστές n, n εκφράζουν την εξάρτηση της μεταβολής του δείκτη διάθλασης από την μέση τιμή του τετράγωνο του ηλεκτρικού πεδίου και από την ένταση της δέσμης αντίστοιχα και ονομάζονται μη
γραμμικοί δείκτες διάθλασης. Όπως είναι φανερό, συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις, οι μη γραμμικοί δείκτες διάθλασης συνδέονται με τη σχέση: n n n c (1.33) Τέλος, ο ολικός δείκτης διάθλασης του υλικού n=n +δn σύμφωνα με τις σχέσεις (1.9) και (1.3) δίνεται από τους τύπους: n n n E t () (1.34) n n n (1.35) Θα έπρεπε επίσης να επισημάνουμε, ότι όλα τα παραπάνω αφορούν την περίπτωση που η μη γραμμικότητα στο δείκτη διάθλασης προκαλείται από την ίδια την δέσμη. Υπάρχει όμως και η περίπτωση να μεταβάλλεται ο δείκτης διάθλασης που αντιλαμβάνεται μια δέσμη μικρής έντασης (ασθενής δέσμη), εάν ταυτόχρονα διαδίδεται μια δέσμη μεγάλης έντασης (ισχυρή δέσμη) μέσα στο υλικό. Όμως και σε αυτή την περίπτωση το φαινόμενο περιγράφεται πάλι από μια επιδεκτικότητα τρίτης τάξης, η οποία εκφράζεται συναρτήσει των συχνοτήτων του ασθενούς και του ισχυρού κύματος. 1.5 Η προέλευση του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης Στην επαγωγή του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης συνεισφέρουν διάφοροι φυσικοί μηχανισμοί. Πρέπει να τονίσουμε όμως ότι σε κάθε περίπτωση η απόκριση της ύλης εξαρτάται από την χρονική διάρκεια του παλμού και από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας. Παρακάτω περιγράφονται αναλυτικά οι μηχανισμοί αυτοί. Α. Ηλεκτρονική συνεισφορά Κατά την απόκριση του ηλεκτρονιακού νέφους στο ηλεκτρικό πεδίο του λέιζερ συμβαίνει το εξής: Το ηλεκτρικό πεδίο που διέρχεται μέσα από ένα υλικό παραμορφώνει την ηλεκτρονιακή κατανομή του 1
φορτίου του μέσου με αποτέλεσμα να εμφανιστεί μια μεταβολή στο δείκτη διάθλασης. Για την περιγραφή του μηχανισμού αυτού απαιτείται το μοντέλο του Lorentz. Το μοντέλο αυτό περιγράφει το άτομο ως απλό αρμονικό ταλαντωτή. Η προσέγγιση αυτή δίνει αρκετά καλά αποτελέσματα στην περίπτωση υλικών που παρουσιάζουν γραμμικές ιδιότητες. Στην περίπτωσή της μη γραμμικής οπτικής το μοντέλο του Lorentz τροποποιείται έτσι ώστε να μπορεί να συμπεριλάβει και τη μη γραμμική δύναμη επαναφοράς πάνω στο ηλεκτρόνιο, δηλαδή εφαρμόζονται οι κανόνες της κβαντομηχανικής και συγκεκριμένα η θεωρία διαταραχών. Η παλμική ακτινοβολία διάρκειας παλμού 1- fs διεγείρει συνήθως την ηλεκτρονική απόκριση επειδή στους χρόνους αυτούς (fs) μονάχα η κίνηση των ηλεκτρόνιων μπορεί να διαταραχθεί από την ακτινοβολία. Τυπικές τιμές της μη γραμμικής επιδεκτικότητας τρίτης τάξης χ (3) στην ηλεκτρονική απόκριση είναι της τάξεως 1-16 -1-14 esu. Β. Μοριακός προσανατολισμός Όταν ο χρόνος του παλμού υπερβεί τα λίγα psec τότε στην απόκριση της ύλης είναι δυνατόν να συμμετέχουν και οι ταλαντώσεις και οι περιστροφές (orientational kerr effect) των μορίων. Στη δεύτερη περίπτωση τα μόρια έχουν την τάση να ευθυγραμμίζονται με το ηλεκτρικό πεδίο. Αυτό έχει ως συνέπεια να επέλθει πόλωση του υλικού με αποτέλεσμα να εμφανιστεί μια αλλαγή του δείκτη διάθλασης σε αυτήν τη διεύθυνση. Για αυτό ακριβώς το λόγο οργανικά υγρά, που αποτελούνται από ανισότροπα μόρια, έχουν πολλές φορές αρκετά υψηλή τιμή μη γραμμικού δείκτη διάθλασης. Άλλος μηχανισμός που συνεισφέρει στη μη-γραμμικότητα για παλμούς διάρκειας μερικών ή δεκάδων ps είναι η ανακατανομή των μορίων (molecular redistribution) ο μηχανισμός αυτός οφείλεται στη χωρική ανακατανομή των μορίων καθώς τείνουν να ελαχιστοποιήσουν την ενέργεια της μεταξύ τους αλληλεπίδρασης. Η συνεισφορά της ανακατανομής των μορίων μπορεί να είναι αξιοσημείωτη για σφαιρικά μόρια. Τυπικές τιμές της μη γραμμικής επιδεκτικότητας τρίτης τάξης χ (3) για το μοριακό προσανατολισμό είναι της τάξεως 1-14 1-1 esu. Γ. Θερμικά φαινόμενα Για παλμούς μεγάλης διάρκειας (της τάξης των μs) επικρατούν τα θερμικά φαινόμενα, δηλαδή η αλλαγή των οπτικών ιδιοτήτων του υλικού
λόγω θέρμανσης του. Στην περίπτωση αυτή η απορρόφηση ακτινοβολίας οδηγεί στη θέρμανση του υλικού με αποτέλεσμα τη διαστολή του (ή σε αντίθετη περίπτωση τη συστολή του) και τη μεταβολή της πυκνότητας του, άρα κατ επέκταση εμφανίζεται αλλαγή στο δείκτη διάθλασης. Θερμικά φαινόμενα εμφανίζονται επίσης και για παλμούς μικρής διάρκειας (fs) όταν ο ρυθμός επανάληψης του λέιζερ (repetition rate) είναι μεγάλος (της τάξης των ΜΗz). Δ. Φωτοδιαθλαστικότητα (Photorefraction) Όταν ένα φωτοδιαθλαστικό υλικό τοποθετηθεί μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο εμφανίζονται στο εσωτερικό του φορείς φορτίου (ηλεκτρόνια και οπές). Δημιουργείται έτσι μια χωρική κατανομή φορτίου με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί εσωτερικό ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο υλικό. Με τη σειρά του το ηλεκτρικό αυτό πεδίο οδηγεί σε πόλωση του υλικού με συνέπεια τη μεταβολή του δείκτη διάθλασης. Όλοι οι παραπάνω μηχανισμοί οδηγούν σε μεταβολές στο δείκτη διάθλασης. Προφανώς λοιπόν θα συνεισφέρουν και στη μεταβολή της μη γραμμικής επιδεκτικότητας τρίτης τάξης (3). Στον παρακάτω πίνακα δίνονται μερικές ενδεικτικές τιμές για τη συνεισφορά κάθε μηχανισμού καθώς και το χρόνο που απαιτείται για να αρχίσει να συνεισφέρει ο καθένας από αυτούς. Πίνακας 1.1: Συνεισφορά κάθε μηχανισμού στη μη γραμμική επιδεκτικότητα και ο αντίστοιχος χρόνος απόκρισης. 3
ΑΝΑΦΟΡΕΣ H. A. Kramers, Atti, Congr, Inten, Fis,, 545 (197). R. W. Boyd, Nonlinear Optics, Academic Press, Boston (199). Y. R. Shen, The Principles of Nonlinear Optics, Wiley. CRC handbook of Laser Science and Technology V. 3, CRC press. P. A. Franken, A. E. Hill, C. W. Peters and G. Weinreich, Phys. Rev. Lett., 7, 118 (1961). T. H. Maiman, Nature, 187, 493 (196). P. D. Maker and R. W. Terhune, Phys. Rev. A. 137, 81 (1965). R. L. Sutherland, Handbook of Nonlinear Optics, Second Ed., Marcel Dekker, (3). M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Seventh ed., Cambridge University Press (1999). D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Second Edition, Prentice- Hall, International, (1998). J. P. Gordon, R. C. C. Leite, R. S. Moore, S. P. S. Porto and J. R. Whinnery, J. Appl. Phys., 36, 3 (1965). H. Cabrera, E. Sira, K. Rahn and M. Garcia-Sucre, Appl. Phys. Lett., 94, 51131 (9). P. N. Prasad and D. J. Williams, Introduction to nonlinear optical effects in molecules and polymers, Wiley, (1991). B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, Wiley, (1991). Διδακτορική διατριβή Γ. Τσιγαριίδα, Θεωρητικές επεκτάσεις και πειραματικές βελτιώσεις της τεχνικής Z-scan για μέτρηση του νη γραμμικού δείκτη διάθλασης, Πάτρα 5. 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η τεχνική Z-scan Εισαγωγή Η τεχνική Z-scan προτάθηκε από τους Sheik-Βahae το 199 και αποτελεί βασική τεχνική μέτρησης των οπτικών μη γραμμικών μεγεθών. Με την τεχνική αυτή μπορούμε να προσδιορίσουμε τη μη γραμμική διάθλαση και τη μη γραμμική απορρόφηση υλικών καθώς και το πρόσημό τους. Η τεχνική Z-scan βασίζεται στη μελέτη των μεταβολών που υφίσταται μια δέσμη λόγω της διάδοσης της μέσα από ένα μη γραμμικό υλικό. Οι μεταβολές αυτές μεταφράζονται, μέσω του φαινομένου της αυτοεστίασης, σε αλλαγή των διαστάσεων της δέσμης στο μακρινό πεδίο. Τελικά οι αλλαγές στις διαστάσεις της δέσμης ανιχνεύονται μετρώντας τη μεταβολή της διαπερατότητας (transmittance) της δέσμης που διέρχεται διαμέσου οπής (δηλαδή του ποσοστού της ενέργειας της δέσμης που εξέρχεται ). Η πειραματική διάταξη της τεχνικής φαίνεται σχηματικά στην παρακάτω εικόνα. Σχήμα.1: Πειραματική διάταξη της τεχνικής z-scan 5
Η γκαουσιανή δέσμη εστιάζεται με τη βοήθεια συγκλίνοντος φακού πάνω στο δείγμα (σχήμα.1). Το δείγμα έχει τη δυνατότητα κίνησης κατά μήκος του άξονα διάδοσης της δέσμης, έτσι σε κάθε θέση υφίσταται διαφορετική ένταση ακτινοβολίας. Με τη βοήθεια ενός διαχωριστή δέσμης, η δέσμη χωρίζεται σε δύο μέρη. Στον ένα κλάδο τοποθετείται ένα διάφραγμα και μόνο η ακτινοβολία που διέρχεται από αυτό ανιχνεύεται από το φωτοπολλαπλασιαστή. Στο δεύτερο κλάδο, όλη η ακτινοβολία συγκεντρώνεται από ένα φακό και στη συνέχεια ανιχνεύεται από ένα δεύτερο φωτοπολλαπλασιαστή. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις τεχνικές close Z-scan, open Z-scan και divided Z-scan αφού πρώτα αναλύσουμε τις δύο βασικές μορφές δεσμών laser, οι οποίες είναι οι κυκλικές γκαουσιανές και οι ελλειπτικές γκαουσιανές δέσμες, και τα φαινόμενα της αυτό-εστίασης και από-αυτό-εστίασης..1 Κυκλικές γκαουσιανές δέσμες Η πιο βασική μορφή μιας δέσμης λέιζερ είναι αυτή στην οποία η κατανομή της έντασης σε ένα επίπεδο κάθετο στην διάδοση της είναι μορφής Gauss. H πιο απλή-ιδανική μορφή δέσμης που μπορεί να προκύψει από ένα αντηχείο λέιζερ είναι αυτή που παρουσιάζει ακτινική συμμετρία. Στην περίπτωση αυτή η δέσμη ονομάζεται κυκλική γκαουσιανη. Τα βασικά χαρακτηριστικά μιας κυκλικής γκαουσιανής δέσμης η οποία διαδίδεται στην διεύθυνση του άξονα z φαίνονται στα παρακάτω σχήματα: Σχήμα. (α): Τα βασικά χαρακτηριστικά μιας γκαουσιανής κυκλικής δέσμης 6
Σχήμα. (β): Σχηματική παράσταση γκαουσσιανής δέσμης με τα χαρακτηριστικά της μεγέθη. Οι δύο βασικοί παράμετροι οι οποίοι ορίζουν πλήρως μια γκαουσιανή δέσμη είναι ο κυματάρυθμος k και η ελάχιστη ακτίνα της δέσμης w. Βάσει αυτών των παραμέτρων μπορούμε να ορίσουμε άλλα τρία μεγέθη: την ακτίνα της δέσμης w(z), την ακτίνα καμπυλότητας του κυματοπακέτου της δέσμης R(z) και τη μεταβολή της φάσης Θ(z) κατά τον άξονα διάδοσης σε μια τυχαία θέση z. Η ακτίνα της δέσμης w(z) ορίζεται ως η απόσταση από τον άξονα z μέχρι τα σημεία όπου η ένταση πέφτει στο 1/e της τιμής της. Άρα η w είναι η μικρότερη δυνατή απόσταση από τον άξονα z και για τις κυκλικές γκαουσιανές δέσμες η w αντιστοιχεί στο σημείο z= του άξονα διάδοσης, όπως φαίνεται στο σχήμα. (α). Οι παραπάνω παράμετροι σχετίζονται μεταξύ τους σύμφωνα με τους τύπους που ακολουθούν: z w( z) w 1 zr zr R( z) z z 1 z ( z) tan zr (.1) (.) (.3) 7
Όπου z R είναι το μήκος Rayleigh που δίνεται από τη σχέση: z R kw n w (.4) Όπου n ο γραμμικός δείκτης διάθλασης του υλικού στο οποίο διαδίδεται η δέσμη. το μήκος κύματος της δέσμης στο κενό. Παρατηρώντας την σχέση.1 μπορούμε να δώσουμε έναν εναλλακτικό ορισμό για το μήκος Rayleigh,ο οποίος είναι ο εξής: Μήκος Rayleigh ονομάζουμε την απόσταση από την εστία όπου η ακτίνα της δέσμης γίνεται φορές μεγαλύτερη από την ελάχιστη τιμή της w. Απόδειξη: Θέτουμε z=z R στη σχέση.1 και προκύπτει: z R w( zr ) w 1 w 11 w zr (.5) Όπως φαίνεται από το σχήμα.3 η γκαουσιανή δέσμη αποκλίνει με γωνία: 1wz ( ) w 1 z / z 1 R z z (.6) θ tan tan Όμως για μεγάλες τιμές του z μπορούμε να κάνουμε τις εξής προσέγγιση: z/z R >>1 (=) άρα η.6 γίνεται: 1 z / z z / z z / z R R R 8
z w ( ) z w θ tan tan tan 1 R 1 1 z zr wn (.7) Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γωνία απόκλισης μιας κυκλικής γκαουσιανής δέσμης. Εικόνα.3: Kυματοπακέτο ακτίνας καμπυλότητας R(z) μιας κυκλικής γκαουσιανής δέσμης. Τελικά, παρατηρώντας τη σχέση.7 συμπεραίνουμε ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ελάχιστη ακτίνα w τόσο μικρότερη είναι η γωνία απόκλισης της κυκλικής γκαουσιανής δέσμης. Το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου, όταν η δέσμη διαδίδεται κατά μήκος του άξονα z και το σημείο ελάχιστης ακτίνας αντιστοιχεί στο z= (σχήμα.3), περιγράφεται από την εξίσωση: w r ikr E( r, z, t) E( t) exp exp exp ikz i( z) w( z) w ( z) R( z) (.8) Όπου () E t είναι μια συνάρτηση που περιγράφει την χρονική εξέλιξη του πεδίου, δηλαδή την αργή μεταβολή του πλάτους του πεδίου. Η αντίστοιχη ένταση της κυκλικής δέσμης υπολογίζεται από τον ακόλουθο τύπο: 9
nc w r ( r, z, t) E( r, z, t) ( t) exp w( z) w ( z) (.9) Όπου nc ( t) E ( t ) (.1) είναι η μέγιστη τιμή της έντασης της κυκλικής γκαουσιανής δέσμης.. Ελλειπτικές γκαουσιανές δέσμες H ανάλυση που κάναμε μέχρι τώρα στηρίχθηκε στην υπόθεση ότι, η δέσμη παρουσιάζει ακτινική συμμετρία (κυκλική γκαουσιανή δέσμη). Όμως η ακτινική συμμετρία δεν ισχύει πάντοτε στην πράξη, αφού και μια μικρή απευθυγράμμιση του αντηχείου του λέιζερ μπορεί να δημιουργήσει αστιγματισμό. Αστιγματισμός είναι το φαινόμενο σύμφωνα με το οποίο έχουμε ξεχωριστές εστίες κατά τα επίπεδα xz και yz. Επιπλέον, είναι πιθανόν να μην έχουμε την ίδια τιμή για την ελάχιστη ακτίνα στους άξονες x και y. Στην περίπτωση αυτή η δέσμη ονομάζεται ελλειπτική γκαουσιανή δέσμη. Τα βασικά χαρακτηριστικά μιας ελλειπτικής γκαουσιανής δέσμης η οποία διαδίδεται στην διεύθυνση του άξονα z φαίνονται στα επόμενα τρία σχήματα: Σχήμα.4: Γενική μορφή της ελλειπτικής γκαουσιανής δέσμης. Εμφάνιση αστιγματισμού, παρατηρούμε τις δύο διαφορετικές θέσεις των εστιών z ox και z oy. 3
Σχήμα.5: Kυματοπακέτο ακτίνας καμπυλότητας R y (z) μιας ελλειπτικής γκαουσιανής δέσμης. Η περιοχή της εστίας κατά τον άξονα y. Σχήμα.6: Kυματοπακέτο ακτίνας καμπυλότητας R χ (z) μιας ελλειπτικής γκαουσιανής δέσμης. Η περιοχή της εστίας κατά τον άξονα χ. Όπως στις κυκλικές έτσι και στις ελλειπτικές γκαουσιανές δέσμες έχουμε κάποιες βασικές παραμέτρους. Οι πέντε βασικοί παράμετροι οι οποίοι ορίζουν πλήρως μια ελλειπτική γκαουσιανή δέσμη είναι ο κυματάρυθμος k, οι ελάχιστες ακτίνες w ox, w oy των κύριων ημιαξόνων της δέσμης και z ox, z ox οι θέσεις των εστιών κατά τους άξονες x,y αντίστοιχα. Βάσει αυτών των παραμέτρων μπορούμε να ορίσουμε άλλα τρία μεγέθη: τα μήκη των κύριων ημιαξόνων της δέσμης w x,y (z) κατά τους άξονες x και y, τις κύριες ακτίνες καμπυλότητας του 31
κυματοπακέτου της δέσμης R χ,υ (z) και τη μεταβολή της φάσης Θ(z) κατά τον άξονα διάδοσης σε μια τυχαία θέση z. Οι ελάχιστες ακτίνες της ελλειπτικής δέσμης w ox, w oy ορίζονται, αντίστοιχα με την περίπτωση της κυκλικής δέσμης, ως οι αποστάσεις από το κέντρο της δέσμης μέχρι τα σημεία όπου η ένταση πέφτει στο 1/e της τιμής της για x=y=, όπως φαίνεται στα σχήματα.5 και.6. Οι παραπάνω παράμετροι σχετίζονται μεταξύ τους σύμφωνα με τους εξής τύπους: z z xy, w x, y ( z) w x, y 1 z Rxy, (.11) z R, R, ( ) (, ) 1 xy x y z z z x y z z xy, 1 1 z z 1 z z x 1 y ( z) tan tan zr z x Ry (.1) (.13) Όπου z Rx και z Ry είναι τα μήκη Rayleigh κατά τους άξονες x και y, τα οποία δίνονται από τη σχέση: z R xy, kw n w x, y x, y (.14) Όπως προαναφέραμε, οι βασικές παράμετροι k, w ox, w oy, z ox και z ox είναι πέντε και χαρακτηρίζουν πλήρως την ελλειπτική γκαουσιανή δέσμη. Εδώ πρέπει να θυμηθούμε ότι για τον πλήρη χαρακτηρισμό της κυκλικής γκαουσιανής δέσμης οι βασικοί παράμετροι ήταν δύο, οι k και w. Η αύξηση του αριθμού των βασικών παραμέτρων οφείλεται στο γεγονός ότι έχουμε διαφορετικές θέσεις και διαστάσεις των εστιών κατά τους άξονες x και y, όπως μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε μελετώντας τα σχήματα.4,.5 και.6. 3
Το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου και η αντίστοιχη ένταση της ελλειπτικής γκαουσιανής δέσμης δίνονται από τους εξής τύπους: w xwy x y E( x, y, z, t) E( t) exp w x( z) w y ( z) w x ( z) w y ( z) ikx iky exp exp ikz i( z) Rx( z) Ry( z) 1/ (.15) nc ( x, y, z, t) E( x, y, z, t) w xwy x y ( t) exp w x( z) w y ( z) w x ( z) w y ( z) Όπου (.16) nc ( t) E ( t ) (.17) είναι η μέγιστη τιμή της έντασης της δέσμης. Η φυσική σημασία του () t είναι ότι αντιστοιχεί στη μέγιστη τιμή έντασης που θα είχε η δέσμη αν δεν υπήρχε ο αστιγματισμός (δηλαδή εάν οι ελάχιστες τιμές των μηκών των κύριων ημιαξόνων κατά τους άξονες x και y εντοπίζονταν στο ίδιο σημείο z ). Τέλος πρέπει να επισημάνουμε ότι η κυκλική γκαουσιανή δέσμη είναι ειδική περίπτωση της ελλειπτικής, αρκεί να υποθέσουμε ότι δεν παρουσιάζονται φαινόμενα αστιγματισμού ( z ox =z oy ) και ότι οι διαστάσεις των εστιών κατά τους άξονες είναι ίσες (w ox = w oy )..3 Το φαινόμενο της αυτό-εστίασης και αυτό-από-εστίασης Η αυτό-εστίαση προκαλεί μετατόπιση της εστίας της δέσμης λόγω της μη γραμμικής διάθλασης. Έστω ότι έχουμε μια γκαουσιανή δέσμη 33
που προσπίπτει σε ένα υλικό με μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n. Άρα ο δείκτης διάθλασης δίνεται από τον τύπο n n n (.18) Όπου Ι η ένταση της δέσμης που περιγράφεται από την εξής σχέση: ( r ) exp r w (.19) Όπως παρατηρούμε από την (.19) η ένταση μειώνεται εκθετικά με την απόσταση από το κέντρο. Στο σχήμα.7 φαίνεται αυτή η μείωση..7 σχήμα: Γκαουσιανή δέσμη λέιζερ. Αν ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης είναι θετικός n >, τότε στο κέντρο της δέσμης όπου η ένταση είναι μέγιστη το υλικό θα παρουσιάζει μέγιστο δείκτη διάθλασης. Όσο προχωρούμε ακτινικά προς τα έξω ο δείκτης διάθλασης θα μειώνεται, ακολουθώντας την εκθετική μείωση της έντασης της δέσμης. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το υλικό στο σημείο από το οποίο διέρχεται η δέσμη να λειτουργεί ως συγκλίνων φακός ο οποίος 34
έχει τη δυνατότητα να εστιάζει ακόμη περισσότερο την ίδια τη δέσμη που προκάλεσε το μη γραμμικό αυτό φαινόμενο της αυτό-εστίασης. Στην αντίθετη περίπτωση, αν δηλαδή θεωρήσουμε το μη γραμμικό δείκτη διάθλασης αρνητικό n <, τότε ο δείκτης διάθλασης του υλικού θα αυξάνεται όσο κατευθυνόμαστε από το κέντρο προς το εξωτερικό της δέσμης. Δηλαδή είναι η ακριβώς αντίθετη περίπτωση από τη προηγούμενη. Το υλικό τότε θα λειτουργήσει ως αποκλίνων φακός με αποτέλεσμα να από-εστιάζει τη διερχόμενη δέσμη. Το φαινόμενο αυτό αναφέρεται ως αυτό-από-εστίαση..8 Σχήμα: Διάθλαση κατά το φαινόμενο της αυτό-από-εστίασης και αυτό-εστίασης. Για n > αν το υλικό είναι λεπτό, η δέσμη θα εστιαστεί εκτός του υλικού (σχήμα.9 β). Ενώ αν το υλικό είναι παχύ ή η ένταση της δέσμης είναι πολύ υψηλή, τότε υπάρχει πιθανότητα η εστίαση της δέσμης να γίνει εντός του υλικού με καταστροφικά αποτελέσματα (σχήμα.9 γ). Για το λόγο αυτόν τα φαινόμενο της αυτό-εστίασης είναι ανεπιθύμητο στα ενεργά υλικά των λέιζερ. Και αυτό γιατί η ενέργεια της δέσμης συγκεντρώνεται σε μία πολύ μικρή περιοχή με αποτέλεσμα να υπάρχει σοβαρός κίνδυνος καταστροφής του υλικού. 35
(β) Σχήμα.9: Το φαινόμενο της αυτό-εστίασης. (α) Το ενεργό μήκος διάδοσης της δέσμης μέσα στο μη γραμμικό υλικό για n >. (β) Η εστίαση εκτός του υλικού (λεπτό δείγμα). (γ) Η εστίαση εντός του υλικού (παχύ δείγμα). Στο σχήμα.9 υποθέσαμε ότι η δέσμη είναι παράλληλη, όμως αυτό συμβαίνει σε μια ιδανική περίπτωση, στην πραγματικότητα η δέσμη θα αποκλίνει, με γωνία απόκλισης θ beam 1 tan wn (.) 36
Στην περίπτωση που η δέσμη δεν είναι παράλληλη αλλά εστιάζεται μέσω κάποιου φακού, η επίδραση της αυτοεστίασης εξαρτάται από τη θέση του δείγματος σε σχέση με την εστία. Εάν το υλικό έχει θετικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n > και είναι τοποθετημένο αριστερά από την εστία, τότε το φαινόμενο της αυτό-εστίασης τείνει να μετατοπίσει την εστία προς τα αριστερά (το υλικό δρα ως συγκλίνων φακός) αυξάνοντας έτσι τη διάμετρο της δέσμης στο μακρινό πεδίο (σχήμα.1 α). Αν το υλικό είναι τοποθετημένο δεξιά της εστίας, η αυτό-εστίαση τείνει να ευθυγραμμίσει τη δέσμη (δηλαδή να μετατοπίσει την εστία προς τα αριστερά), οπότε θα μειωθεί η διάμετρος της δέσμης στο μακρινό πεδίο (σχήμα.1 β). Σχήμα.1: Οι επιπτώσεις της αυτό-εστίασης στις διαστάσεις της δέσμης στο μακρινό πεδίο για υλικό με θετικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n >. (α) Όταν αυτό είναι τοποθετημένο αριστερά από την εστία. (β) Όταν αυτό είναι τοποθετημένο δεξιά από την εστία.. Οι συνεχείς γραμμές δείχνουν την πορεία που θα είχε η δέσμη αν δεν υπήρχε το μη γραμμικό υλικό στην περιοχή της εστίας της δέσμης. 37
Σχήμα.11: Καμπύλη μεταβολής της ακτίνας της δέσμης σε σχέση με τη θέση του μη γραμμικού υλικού για υλικό με θετικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n >. Εάν το υλικό έχει αρνητικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n < και είναι τοποθετημένο αριστερά από την εστία, τότε το φαινόμενο της αυτό-από-εστίασης τείνει να μετατοπίσει την εστία προς τα δεξιά (δηλαδή το υλικό δρα ως αποκλίνων φακός) μειώνοντας έτσι τη διάμετρο της δέσμης στο μακρινό πεδίο (σχήμα.1 α). Αν το υλικό είναι τοποθετημένο δεξιά της εστίας, η αυτό-από-εστίαση τείνει να μετατοπίσει την εστία προς τα δεξιά, οπότε θα αυξηθεί η διάμετρος της δέσμης στο μακρινό πεδίο (σχήμα.1 β). (α) 38
(β) Σχήμα.1: Οι επιπτώσεις της αυτοε-στίασης στις διαστάσεις της δέσμης στο μακρινό πεδίο για υλικό με αρνητικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n <. (α) Όταν αυτό είναι τοποθετημένο αριστερά από την εστία. (β) Όταν αυτό είναι τοποθετημένο δεξιά από την εστία.. Οι συνεχείς γραμμές δείχνουν την πορεία που θα είχε η δέσμη αν δεν υπήρχε το μη γραμμικό υλικό στην περιοχή της εστίας της δέσμης. Σχήμα.13: Καμπύλη μεταβολής της ακτίνας της δέσμης σε σχέση με τη θέση του μη γραμμικού υλικού για υλικό με θετικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n <. 39
Επομένως, καθώς το μη γραμμικό υλικό κινείται στην περιοχή της εστίας της δέσμης, προκαλεί μεταβολή των διαστάσεών της στο μακρινό πεδίο και κατ επέκταση μεταβολή της ενέργειας της δέσμης που διέρχεται διαμέσου μίας οπής. Αυτό αποτελεί τη βάση της τεχνικής z- scan. Σχήμα.14: Σχηματική αναπαράσταση της αυτό-εστίασης μιας δέσμης σε ένα υλικό..4 Η πρώτη θεώρηση της τεχνικής close Z-scan Η πρώτη εκδοχή της τεχνικής z-scan βασίζεται στη μέτρηση της ισχύος που διέρχεται μέσα από μια στενή οπή ( ή αλλιώς διαπερατότητα), που έχει τοποθετηθεί σε μεγάλη απόσταση από την έξοδο του δείγματος, καθώς το δείγμα κινείται στην εστιακή περιοχή εμπρός και πίσω από τη θέση της εστίας της δέσμης. Η μεταβολή της διαπερατότητας οφείλεται στη μεταβολή των διαστάσεων της δέσμης. Η αύξηση των διαστάσεων της δέσμης συνεπάγεται τη μείωση της διαπερατότητας διότι διέρχεται λιγότερη ενέργεια από την σταθερή οπή. Στην αντίθετη περίπτωση, η μείωση των διαστάσεων της δέσμης συνεπάγεται την αύξηση της διαπερατότητας. Μια πειραματική διάταξη της τεχνικής z-scan με βάση την διαπερατότητα παρουσιάζεται στο σχήμα που ακολουθεί: 4
Σχήμα.15: Πειραματική διάταξη της τεχνικής z-scan με βάση τη διαπερατότητα (αρχική εκδοχή). BS είναι ο διαχωριστής δέσμης (Beam Splitter). D 1, D 1 είναι ανιχνευτές ενέργειας. Σύμφωνα με το σχήμα.15, μια γκαουσιανή κυκλική δέσμη αποκόπτεται μέσω ενός διαχωριστή δέσμης BS. Το ένα μέρος της οδηγείται στο μετρητή ενέργειας D 1 ώστε να καταγράφεται η ενέργεια της δέσμης κάθε χρονική στιγμή (με αυτόν τον τρόπο μειώνεται η ευαισθησία σε μικρομεταβολές της ενέργειας). Το άλλο μέρος της εστιάζεται μέσω ενός φακού πάνω σε ένα λεπτό δείγμα με μη γραμμικό υλικό. Στο μακρινό πεδίο, δηλαδή σε απόσταση από την εστία πολύ μεγαλύτερη από το μήκος Rayleigh, υπάρχει τοποθετημένο ένα διάφραγμα το οποίο μέσω μιας στενής κυκλικής οπής επιτρέπει να περάσει ένα μικρό μέρος της δέσμης, της οποίας η ενέργεια καταγράφεται από ένα δεύτερο ανιχνευτή D. Έτσι μετακινώντας το δείγμα στην περιοχή της εστίας, η δέσμη ανοίγει και κλείνει λόγω του φαινόμενου της αυτό-εστίασης. Επομένως, το ποσοστό της ενέργειας που διέρχεται από την οπή αλλάζει κάθε φορά, με αποτέλεσμα να παράγονται καμπύλες της μορφής του σχήματος.16 που ακολουθεί: 41
(α) (β) Σχήμα.16: Καμπύλες z-scan (α) για θετικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n > και (β) για αρνητικό δείκτη διάθλασης n <. 4
Όπως παρατηρούμε από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις, οι καμπύλες z-scan εμφανίζουν ένα μέγιστο (peak) και ένα ελάχιστο (valley). Η σειρά με την οποία θα εμφανιστούν εξαρτάται από το πρόσημο του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης του υλικού. Όταν ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης είναι θετικός n > παρουσιάζεται πρώτα το ελάχιστο και στη συνέχεια το μέγιστο ( valley-peak ) σχήμα.16 (α). Όταν ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης είναι αρνητικός n < παρουσιάζεται πρώτα το μέγιστο και στη συνέχεια το ελάχιστο ( peakvalley ) σχήμα.16 (β). Στο σχήμα που ακολουθεί μπορούμε να παρατηρήσουμε τις δύο προηγούμενες γραφικές παραστάσεις σε κοινό διάγραμμα για δύο υλικά με δείκτη διάθλασης διαφορετικού πρόσημου: Σχήμα.17: Καμπύλες z-scan για θετικό n > και αρνητικό n < μη γραμμικό δείκτη διάθλασης. Στο επόμενο σχήμα θα αναλύσουμε την περίπτωση κατά την οποία ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης είναι αρνητικός n <. Επομένως, η δέσμη θα υφίσταται αυτό-από-εστίαση διερχόμενη μέσα από αυτό. 43
Σχήμα.18: Αλλαγή της διαμέτρου της δέσμης καθώς αυτή διέρχεται από ένα μη γραμμικό δείγμα το οποίο κινείται στον άξονα διάδοσης της και παρουσιάζει αρνητικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n <. Στο σχήμα.18 το δείγμα παρουσιάζεται σε διαφορετικές θέσεις πάνω στον άξονα διάδοσης της εστιασμένης δέσμης. Θα εξηγήσουμε παρακάτω τι συμβαίνει σε κάθε θέση: Στo σχήμα α) δεν έχει τοποθετηθεί δείγμα S στη διάταξη, φαίνεται απλά μια εστιασμένη, μέσω φακού L, γκαουσσιανή δέσμη 44
που προσπίπτει σε ένα διάφραγμα Α. H διάμετρος της δέσμης στο διάφραγμα είναι W A. Πίσω από το διάφραγμα υπάρχει ανιχνευτής D. Mε F συμβολίζεται το εστιακό επίπεδο του φακού. Στο σχήμα β) το δείγμα έχει τοποθετηθεί στη διάταξη, αλλά βρίσκεται μακριά από το εστιακό επίπεδο. Στη περίπτωση αυτή η ένταση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας είναι μικρή και τα φαινόμενα αυτό-από-εστίασης είναι αμελητέα, έτσι η ακτίνα της δέσμης στο διάφραγμα θα είναι ίδια με την περίπτωση όπου δεν είχαμε εισάγει το δείγμα και η κανονικοποιημένη διαπερατότητα θα ισούται με την μονάδα (κανονικοποιημένη διαπερατότητα = διαπερατότητα μετά την εισαγωγή δείγματος / διαπερατότητα χωρίς δείγμα ). Στο σχήμα γ) το δείγμα έχει τοποθετηθεί λίγο πριν το εστιακό επίπεδο, εκεί η ένταση της ακτινοβολίας αυξάνει σημαντικά, επάγοντας μη-γραμμικά φαινόμενα. Η αυτό-από-εστίαση σε αυτή την περιοχή εμφανίζεται έντονα με αποτέλεσμα το δείγμα να μπορεί να θεωρηθεί ότι συμπεριφέρεται σαν αποκλίνων φακός. Αυτό έχει σαν συνέπεια την μετατόπιση της εστίας δεξιά, με αποτέλεσμα, όπως φαίνεται και στο σχήμα, η δέσμη να φτάνει στο διάφραγμα με μικρότερη διάμετρο από ότι προηγουμένως W A1 <W A. Κατά συνέπεια η ακτινοβολία που περνά από την οπή του διαφράγματος αυξάνει (διότι είναι αυξημένη και η ένταση της δέσμης στη θέση του διαφράγματος). Επομένως, η κανονικοποιημένη διαπερατότητα είναι μεγαλύτερη της μονάδας και η γραφική παράσταση κανονικοποιημένη διαπερατότητα θέση δείγματος παρουσιάζει μέγιστο όταν το δείγμα φτάσει κοντά στο εστιακό επίπεδο. Στο σχήμα δ) το δείγμα βρίσκεται στο εστιακό επίπεδο, η κανονικοποιημένη διαπερατότητα θα είναι μονάδα διότι, ένας φακός από-εστιάζει ελάχιστα τη δέσμη που διέρχεται από έναν άλλο φακό, όταν αυτός βρίσκεται στο εστιακό επίπεδο του πρώτου. Στο σχήμα ε) το δείγμα έχει βρεθεί μετά το εστιακό επίπεδο. Τα αποτελέσματα της αυτό-από-εστίασης αναστρέφονται. Η δέσμη ανοίγει με αποτέλεσμα αυτή να έχει μεγαλύτερη διάμετρο στη θέση του διαφράγματος. Η ενέργειά της μειώνεται με συνέπεια η ανιχνευόμενη ακτινοβολία να έχει τιμή χαμηλότερη από αυτή που είχε στη περίπτωση που δεν είχε τοποθετηθεί το δείγμα. Άρα η κανονικοποημένη διαπερατότητα είναι μικρότερη της μονάδας και 45
η γραφική παράσταση κανονικοποημένη διαπερατότητα θέση δείγματος παρουσιάζει ελάχιστο. Έτσι συνολικά προκύπτει η μορφή peak - valley όπως είχε προαναφερθεί (σχήμα.16 β ). Προφανώς, όταν το δείγμα μετακινηθεί πιο μακριά από την εστία, το ηλεκτρικό πεδίο που υφίσταται είναι μικρό για να προκαλέσει μη γραμμικά φαινόμενα με αποτέλεσμα να μην παρατηρηθεί καμία διαφορά σε σχέση με τη περίπτωση α) στην οποία δεν υπήρχε δείγμα στη διάταξη. Στη περίπτωση που το υπό μελέτη δείγμα παρουσιάζει θετικό συντελεστή μη γραμμικής διάθλασης, το υλικό που εξετάζεται λειτουργεί σαν συγκλίνων φακός με αποτέλεσμα να εμφανίζεται το φαινόμενο της αυτό-εστίασης. Επομένως, όταν το δείγμα βρίσκεται κοντά στο εστιακό επίπεδο του φακού, πριν την εστία, προκαλεί μετατόπιση της εστίας προς τα αριστερά με αποτέλεσμα την αύξηση των διαστάσεων της δέσμης στο μακρινό πεδίο και τη μείωση της διαπερατότητας (εμφανίζεται ελάχιστο στη γραφική παράσταση). Όταν όμως το υλικό τοποθετηθεί μετά την εστία τείνει να ευθυγραμμίσει τη δέσμη στο μακρινό πεδίο, οπότε έχουμε αύξηση της διαπερατότητας (εμφανίζεται μέγιστο στη γραφική παράσταση). Έτσι συνολικά προκύπτει η μορφή valley - peak όπως είχε προαναφερθεί (σχήμα.16 α ). Η μέτρηση της διαπερατότητας, στην πράξη, παρουσιάζει πολλά μειονεκτήματα. Συγκεκριμένα απαιτεί πολύ καλή ευθυγράμμιση του συστήματος και είναι ευαίσθητη σε μικρομεταβολές της θέσης της δέσμης και της ενέργειας της δέσμης. Επίσης, απαιτούνται πολύπλοκοι αριθμητικοί υπολογισμοί για την ανάλυση των πειραματικών αποτελεσμάτων διότι θα πρέπει να γίνει ολοκλήρωση της έντασης στην επιφάνεια της οπής. Τέλος η ανίχνευση των μεταβολών που προκαλεί η αυτοεστίαση σε μια ελλειπτική Γκαουσιανή δέσμη είναι εξαιρετικά δύσκολο να γίνει μέσω ενός σταθερού ανοίγματος, αφού η μη γραμμικότητα έχει διαφορετική επίδραση σε κάθε ημιάξονα.5 Τεχνική open Z-scan ( μη γραμμική απορρόφηση) Στη πειραματική διάταξη της τεχνικής z-scan του σχήματος.15 αφαιρέσουμε το διάφραγμα (οπή) και στη θέση του τοποθετούμε ένα φακό, ο οποίος συλλέγει όλη την ακτινοβολία που διέρχεται από το δείγμα και την οδηγεί στον ανιχνευτή. Η διάταξη σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται open z-scan και μας παρέχει πληροφορίες για τη μη γραμμική 46
απορρόφηση του υπό μελέτη δείγματος. Η ονομασία open=ανοιχτό οφείλεται στο γεγονός ότι δεν χρησιμοποιούμε πέτασμα. Δηλαδή μετριέται η διαπερατότητα του δείγματος σαν συνάρτηση της έντασης της προσπίπτουσας δέσμης, η οποία μεταβάλλεται καθώς το δείγμα κινείται στην περιοχή της εστίας. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, τη διφωτονική απορρόφηση και την κορέσιμη απορρόφηση. Για ένα υλικό που παρουσιάζει ιδιότητες οπτικού περιοριστή (διφωτονική απορρόφηση ή ανάστροφα κορέσιμη απορρόφηση), παρατηρούμε ότι καθώς το δείγμα πλησιάζει προς το εστιακό επίπεδο του φακού, η διαπερατότητα μειώνεται και στο σημείο z= (εστία) παρουσιάζει ελάχιστο. Αυτό συμβαίνει διότι, σύμφωνα με τον οπτικό περιορισμό, αύξηση της έντασης οδηγεί σε αύξηση της μη γραμμικής απορρόφησης του υλικού και επομένως μείωση της διαπερατότητας του. Δηλαδή στην περιοχή της εστίας τα άτομα του δείγματος απορροφούν, μη γραμμικά, μέρος της δέσμης που προσπίπτει στο δείγμα με αποτέλεσμα να ελαχιστοποιείται η διαπερατότητα. Μια καμπύλη open z- scan της διαπερατότητας συναρτήσει της θέσης του δείγματος, για υλικό που παρουσιάζει ιδιότητες οπτικού περιοριστή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα.19: Καμπύλη open z-scan για δείγμα με συμπεριφορά οπτικού περιοριστή. 47
Αντίθετα για ένα υλικό που παρουσιάζει ιδιότητες κορέσιμου απορροφητή, παρατηρούμε ότι καθώς το δείγμα πλησιάζει προς το εστιακό επίπεδο του φακού, η διαπερατότητα αυξάνεται και στο σημείο z= (εστία) παρουσιάζει μέγιστο. Στην περίπτωση αυτή ο συντελεστής απορρόφησης του υλικού φτάνει σε κορεσμό λόγω της έντασης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Παρατηρούμε δηλαδή μείωση του συντελεστή απορρόφησης όταν αυξάνεται η ένταση της ακτινοβολίας, με αποτέλεσμα την αύξηση της διαπερατότητας. Μια καμπύλη open z- scan και μια καμπύλη close z-scan της διαπερατότητας συναρτήσει της θέσης του δείγματος, για υλικό που παρουσιάζει ιδιότητες κορέσιμου απορροφητή φαίνονται στο επόμενο σχήμα. Σχήμα.: Καμπύλη open z-scan (κόκκινη) και καμπύλη close z-scan (μαύρη) για δείγμα με συμπεριφορά κορέσιμου απορροφητή. Παρακάτω παρουσιάζονται σε κοινό διάγραμμα τρεις καμπύλες open z-scan για υλικό που παρουσιάζει ιδιότητες οπτικού περιοριστή (διφωτονική απορρόφηση) για τρεις διαφορετικές τιμές έντασης της δέσμης λέιζερ. Από το σχήμα.1 μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι αυξανομένης της έντασης το ελάχιστο στην καμπύλη της διαπερατότητας παίρνει όλο και μικρότερες τιμές. Αυτό συμβαίνει γιατί όταν αυξάνεται η ένταση της δέσμης λέιζερ, αυξάνεται και η μη γραμμική απορρόφηση του υλικού, άρα μειώνεται η διαπερατότητα. 48
Σχήμα.1: Καμπύλες open z-scan με τις ίδιες πειραματικές συνθήκες για τρείς διαφορετικές εντάσεις της δέσμης λέιζερ για δείγμα με συμπεριφορά οπτικού περιοριστή. Οι καμπύλες open z-scan που μπορούμε να παρατηρήσουμε στο σχήμα. αντιστοιχούν σε αρνητική και θετική μη-γραμμική απορρόφηση. Σχήμα.: Πειραματικές καταγραφές open aperture Z-scan για θετικό και αρνητικό συντελεστή μη γραμμικής απορρόφησης αντίστοιχα. 49
.6 Τεχνική Divided aperture Z-scan Σε αρκετές περιπτώσεις, όταν μελετούνται οι μη γραμμικές οπτικές ιδιότητες υλικών με τη τεχνική Z-scan, η μη γραμμική απορρόφηση μπορεί να μην είναι αμελητέα σε σχέση με τη μη γραμμική διάθλαση του δείγματος που μελετάται. Όταν η μη γραμμική απορρόφηση του δείγματος, είναι αμελητέα ο προσδιορισμός του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης γίνεται μέσω των καταγραφών της Closed aperture Z-scan ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφηκε σε προηγούμενη παράγραφο. Στις περιπτώσεις όμως που η συνεισφορά της μη γραμμικής απορρόφησης δεν είναι αμελητέα και δεν μπορεί να αγνοηθεί κατά τον προσδιορισμό των μη γραμμικών οπτικών παραμέτρων του υλικού, τότε ο προσδιορισμός της σταθεράς n δεν μπορεί να γίνει μέσω των Closed aperture Z-scan. Αυτό συμβαίνει διότι όπου υπάρχει συνεισφορά από τη μη γραμμική απορρόφηση, η επίδραση της στη μορφή της καμπύλης της closed aperture Ζ-scan αποδεικνύεται ότι οδηγεί σε ελάττωση των κορυφών (peaks) και αύξηση των κοιλάδων (valleys). Το φαινόμενο αυτό μπορούμε να το παρατηρήσουμε στο σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα.3: Επίδραση της μη γραμμικής απορρόφησης στη μορφή της closed aperture Ζ-scan. (α) αντιστοιχεί σε β= cm/gw. (β) σε β=6 cm/gw. 5
Το πρόβλημα έγκειται στο γεγονός ότι ενώ οι καταγραφές της Open aperture Z-scan οφείλονται καθαρά σε φαινόμενα μη γραμμικής απορρόφησης οι καταγραφές της Closed aperture Z-scan μπορεί να οφείλονται τόσο σε φαινόμενα μη γραμμικής διάθλασης αλλά και μη γραμμικής απορρόφησης. Η επίδραση της μη γραμμικής απορρόφησης στην καμπύλη της Closed aperture Z-scan μπορεί να αναιρεθεί, αν διαιρεθεί η καταγραφή της Closed aperture με την καμπύλη της Open aperture. Οπότε προκύπτει μία νέα καμπύλη η λεγόμενη Divided aperture Z-scan. Η Divided aperture Z-scan παρουσιάζει την ίδια ακολουθία με τη Closed aperture Z-scan valley-peak ή peak-valley όπως και η Closed aperture αλλά είναι απαλλαγμένη από την επίδραση της μη γραμμικής απορρόφησης. Το σφάλμα που υπεισέρχεται στον προσδιορισμό του n είναι της τάξεως του ±1% σε σχέση με το αν στο υλικό μετρούσαμε μόνο μη γραμμική διάθλαση. Στο σχήμα.4 παρουσιάζεται η διαδικασία της αναίρεσης της επίδρασης της μη γραμμικής απορρόφησης στην καταγραφή της Closed aperture Z-scan και πως προκύπτει τελικά η Divided aperture: Σχήμα.4: Διαίρεση του σήματος που καταγράφεται στη Closed aperture με το σήμα που καταγράφεται στην Open aperture για να προκύψει η Divided aperture Z-scan και να προσδιοριστεί το πρόσημο και το μέτρο του n. Παρατηρείται ότι και στην open aperture και στη closed aperture Z-scan καταγράφονται ελάχιστα της κανονικοποιημένης διαπερατότητας και ότι δεν διακρίνεται αν το υλικό έχει θετικό ή 51
αρνητικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης. Με τη διαίρεση όμως του σήματος που καταγράφεται στη Closed aperture με αυτό που καταγράφεται στην Open aperture βλέπουμε ότι στη Divided aperture εμφανίζεται αρκετά καθαρά ένα ελάχιστο ακολουθούμενο από ένα μέγιστο και άρα το δείγμα έχει θετικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης. Τέλος, οφείλουμε να επισημάνουμε ότι η προϋπόθεση που πρέπει να ισχύει για να προσδιοριστεί ο n από τη Divided aperture είναι η εξής: Η μη γραμμική απορρόφηση του υλικού πρέπει να είναι αρκετά μικρότερη από τη μη γραμμική διάθλαση..7 Μεταγενέστερες τροποποιήσεις της τεχνικής Z-scan Η μέχρι τώρα ανάλυση έχει επικεντρωθεί στην περίπτωση μιας κυκλικής Γκαουσιανής δέσμης σε συνδυασμό με κυκλικό άνοιγμα. Στο παρελθόν έχουν προταθεί αρκετές εκδοχές της τεχνικής Z-scan, οι οποίες διαφοροποιούνται είτε ως προς το είδος της δέσμης που χρησιμοποιείται, είτε ως προς το σχήμα του ανοίγματος, είτε τέλος ως προς και τα δύο προηγούμενα μαζί. Το 1993 αποδείχθηκε ότι η χρήση μιας δέσμης με επίπεδη κατανομή έντασης μπορεί να αυξήσει την ευαισθησία της μεθόδου κατά.5 περίπου φορές. Παρόμοια αποτελέσματα έχουμε και με τη χρήση Gaussian-Bessel δεσμών και δεσμών τύπου Airy. Το 1994 προτάθηκε η μέθοδος eclipsing Z-scan (εκλειπτικό Z- scan). Η καινοτομία της μεθόδου αυτής είναι ότι έγινε χρήση ενός δίσκου, ο οποίος αποκόπτει το κεντρικό μέρος της δέσμης, αντί της οπής. Αποδείχτηκε ότι αυτή η αντικατάσταση μπορεί να αυξήσει σημαντικά την ευαισθησία της τεχνικής. Η χρήση ελλειπτικών δεσμών ή η χρήση παχέων δειγμάτων αυξάνει επίσης την ευαισθησία της Z-scan, αλλά και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις παρουσιάζονται σημαντικές δυσκολίες στη θεωρητική ή πρακτική εφαρμογή των μεθόδων. Σύμφωνα με την εργασία των Bridges, ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης ενός υλικού μπορεί να προσδιοριστεί σε σχέση με κάποιο άλλο υλικό αναφοράς. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχουν περιορισμοί όσον αναφορά το πάχος του δείγματος και το προφίλ της δέσμης (διάρκεια και ρυθμός επανάληψης παλμών). Θα πρέπει όμως, κάθε φορά, να βρεθεί υλικό αναφοράς με γνωστό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης για το μήκος κύματος και το χρονικό προφιλ της χρησιμοποιούμενης δέσμης λέιζερ. 5
Σε μια άλλη τροποποίηση της βασικής τεχνικής αντικατέστησαν την σταθερή οπή με CCD κάμερα. Με αυτόν τον τρόπο εξασφάλισαν μεγαλύτερη ακρίβεια στις μετρήσεις. Επίσης για μη διαφανή δείγματα έχει προταθεί μια ακόμη παραλλαγή, σύμφωνα με την οποία η μέτρηση της μη γραμμικότητας πραγματοποιείται μέσω της ανακλώμενης και όχι της διερχόμενης δέσμης. Τέλος, η τεχνική μπορεί να εφαρμοστεί χρησιμοποιώντας δύο δέσμες διαφορετικού μήκους κύματος. Αυτό δίνει τη δυνατότητα μέτρησης των μη εκφυλισμένων συνιστωσών της μη γραμμικής επιδεκτικότητας ανάλογα με την πόλωση των δύο δεσμών. Επιπλέον, στην περίπτωση που η μία δέσμη υφίσταται καθυστέρηση σε σχέση με την άλλη είναι δυνατόν να μετρηθεί και η χρονική εξέλιξη της μη γραμμικότητας. Η πειραματική διάταξη της τεχνικής αυτής φαίνεται σχηματικά στην παρακάτω εικόνα. Σχήμα.5: Διάταξη Z-scan με δύο δέσμες η οποία παρέχει τη δυνατότητα διεξαγωγής πειραμάτων χρονικής εξέλιξης..8 Πλεονεκτήματα της τεχνικής Z-scan Η τεχνική Z-scan έχει πολλά πλεονεκτήματα έναντι άλλων πειραματικών τεχνικών της μη-γραμμικής οπτικής, τα σημαντικότερα εξ αυτών αναφέρονται παρακάτω: Το σημαντικότερο πλεονέκτημα είναι ότι μας παρέχει άμεσα τη γνώση του πρόσημου της μη γραμμικής διάθλασης, σε αντίθεση με άλλες τεχνικές όπως η τεχνική ΟΚE και η τεχνική Four wave mixing 53
που μας παρέχουν μονάχα την απόλυτη τιμή της μη γραμμικής διάθλασης και το πρόσημο προσδιορίζεται με άλλο τρόπο. Γνωρίζουμε δηλαδή, κατά την διάρκεια του πειράματος, αν η δέσμη κατά τη διέλευσή της μέσα από το δείγμα, υφίσταται αυτό-εστίαση (n >) ή αυτό-από-εστίαση (n <). Με τη τεχνική z-scan μπορεί να υπολογισθεί ο συντελεστής μη γραμμικής απορρόφησης. Επίσης, από τις γραφικές παραστάσεις της open-aperture Z-scan που φαίνονται στον ηλεκτρονικό υπολογιστή, κατά την διάρκεια του πειράματος, μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα κατά πόσο το υλικό λειτουργεί ως κορέσιμος απορροφητής (παρουσιάζει μέγιστο) ή ως ανάστροφα κορέσιμος απορροφητής (παρουσιάζει ελάχιστο). Ένα επιπλέον πλεονέκτημα της τεχνικής z-scan είναι η σχετικά απλή πειραματική διάταξη. Χρησιμοποιεί μονάχα μια δέσμη και δεν χρειάζεται δείγμα αναφοράς, όπως στις περισσότερες από τις άλλες τεχνικές που μετρούν συνήθως σχετικά και όχι απόλυτα μεγέθη. Η τεχνική z-scan λοιπόν παρουσιάζει πολλά πλεονεκτήματα, γι αυτό και αποτελεί μια από τις σημαντικότερες μεθόδους της μη γραμμικής οπτικής για το χαρακτηρισμό και την έρευνα της μη γραμμικής οπτικής απόκρισης. 54
ΑΝΑΦΟΡΕΣ M. Sheik-Bahae, A. A. Said, T. H. Wei, D. Hagan, and E.W. Van Stryland, IEEE J. of Quant. Electr. 6, 76-769 (199). Wang, J., Sheik-Bahae, M., Said, A., Hagan, D., V. Stryland, J. Opt. Soc. Am. B, 11, 19-117 (1994). Sheik-Bahae, M., Said, A., Hagan, Soileau, M., D., V. Stryland, E., Opt. Eng. 3, 18-135 (1991) Διδακτορική διατριβή Γ. Τσιγαριίδα, Θεωρητικές επεκτάσεις και πειραματικές βελτιώσεις της τεχνικής Z-scan για μέτρηση του νη γραμμικού δείκτη διάθλασης, Πάτρα 5. CRC Handbook of Laser Science and Technology, V.3, CRC Press, (). R. W. Boyd, Nonlinear Optics, Academic Press, Boston (199). P. B. Chappie, J. Staromlynska, and R. G. McDuff, J. Opt. Soc. Am. B 11, (1994). W. Zhao, P. Palffy-Muhoray, Appl. Phys. Lett. 63, 1613 (1993). W. Zhao, P. Palffy-Muhoray, Appl. Phys. Lett. 65, 673(1994). P. P. Ho, R. R. Alfano, Phys. Rev. A, 17 (1979). G. Mayer, F. Gires, C. R. Acad. Sci. 58, 39 (1963). D. Maker, R. W. Terhune, C. W. Savage, Phys. Rev. Lett. 1, 57 (1964). R. L. Sutherland, Handbook of Nonlinear Optics, Second Ed., Marcel Dekker, (3) G. R. Meredith, B. Buchalter, and C. Hanzlik, J. Chem. Phys., 78, 1543, (1973) M. E. Orczyk, M. Samoc, J. Swiatkiewicz, M. Tomoaia-Cotisel, and P. N. Prasad, Appl. Phys. Lett. 6, 837 (199). G. Tsigaridas, M. Fakis, I. Polyzos, M. Tsibouri, P. Persephonis, V. Giannetas, J. Opt. Soc. Am. B, 67 676 (3). G. Tsigaridas, M. Fakis, I. Polyzos, P. Persephonis, V. Giannetas, Appl. Phys. B 76, 83 86 (3). G. Tsigaridas, M. Fakis, I. Polyzos, P. Persephonis, V. Giannetas, Appl. Phys. B 77, 71 75 (3). G. Tsigaridas, M. Fakis, I. Polyzos, P. Persephonis, V. Giannetas, Opt. Commun. 5,53 (3). 55
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τεχνική dimension Z-scan ή τεχνική Z-scan με απευθείας μέτρηση των διαστάσεων της δέσμης Εισαγωγή Η τεχνική Z-scan στηρίζεται στο φαινόμενο της αυτό-εστίασης, η κύρια επίδραση του οποίου είναι η μεταβολή των διαστάσεων της δέσμης στο μακρινό πεδίο. Ωστόσο, στην αρχική εκδοχή της τεχνικής Z-scan αλλά και στις μετέπειτα τροποποιήσεις η μετρούμενη ποσότητα δεν ήταν οι διαστάσεις της δέσμης αλλά η διαπερατότητα της ενέργειας διαμέσου ανοίγματος. Η μέτρηση της διαπερατότητας, στην πράξη, παρουσιάζει αρκετά μειονεκτήματα. Συγκεκριμένα απαιτεί πάρα πολύ καλή ευθυγράμμιση του συστήματος και είναι ευαίσθητη σε μικρομεταβολές της θέσης της δέσμης και της ενέργειας της. Επίσης, απαιτούνται πολύπλοκοι αριθμητικοί υπολογισμοί για την ανάλυση των πειραματικών αποτελεσμάτων διότι θα πρέπει να γίνει ολοκλήρωση της έντασης στην επιφάνεια της οπής. Τέλος, η ανίχνευση των μεταβολών που προκαλεί η αυτό-εστίαση σε μια ελλειπτική γκαουσιανή δέσμη (και κυρίως αστιγματική) είναι εξαιρετικά δύσκολο να πραγματοποιηθεί μέσω ενός σταθερού ανοίγματος, γιατί η μη γραμμικότητα έχει διαφορετική επίδραση σε κάθε ημιάξονα με αποτέλεσμα να αλλάζει η ελλειπτικότητα της δέσμης καθώς το υλικό κινείται στην περιοχή της εστίας. Επομένως δεν υπάρχει συμμετρία μεταξύ του ανοίγματος και της διατομής της δέσμης, πράγμα το οποίο δυσκολεύει πολύ την εφαρμογή της μεθόδου τόσο σε θεωρητικό όσο και σε πειραματικό επίπεδο. Συγκεκριμένα, όταν δεν υπάρχει συμμετρία, αυξάνεται σημαντικά η ευαισθησία σε μικρομεταβολές της θέσης της δέσμης και η πολυπλοκότητα των αριθμητικών υπολογισμών που απαιτούνται για την εύρεση της διαπερατότητας. Γι αυτούς τους λόγους χρησιμοποιείται μια νέα τεχνική Z-scan με απευθείας μέτρηση των διαστάσεων της δέσμης, η οποία ξεπερνάει τα προβλήματα της τεχνικής με μέτρηση της διαπερατότητας και μπορεί να εφαρμοστεί το ίδιο εύκολα τόσο σε κυκλικές όσο και σε ελλειπτικές δέσμες. Στην πράξη αυτό μπορεί να γίνει με χρήση μιας CCD κάμερας σε συνδυασμό με έναν αναλυτή του προφίλ της δέσμης (laser beam analyzer), ο οποίος είναι ένα ηλεκτρονικό σύστημα ικανό να καταγράφει τη διατομή της δέσμης και να εκτελεί κάποιους υπολογισμούς, όπως 56
μέτρηση των διαστάσεων με διάφορες μεθόδους, μέτρηση της ελλειπτικότητας, της απόκλισης, κλπ. 3.1 Εφαρμογή της τεχνικής σε κυκλικές δέσμες Η τεχνική Z-scan με απευθείας μέτρηση των διαστάσεων της δέσμης (dimension Z-scan) εφαρμόστηκε πρώτα σε μια κυκλική γκαουσιανή δέσμη έτσι ώστε τα αποτελέσματα να είναι άμεσα συγκρίσιμα με αυτά της κλασσικής μεθόδου με τη μέτρηση της διαπερατότητας.. Στην περίπτωση αυτή, η μετρούμενη ποσότητα είναι η «ακτίνα της δέσμης» r q, η οποία ορίζεται ως η απόσταση από τον άξονα (r=) όπου η ένταση πέφτει σε ένα ορισμένο ποσοστό q της μέγιστης τιμής της, δηλαδή της I για r=. Η παράμετρος αυτή είναι αντίστοιχη της ακτίνας της δέσμης και γι αυτό χρησιμοποιούμε την ίδια ονομασία βάζοντας εισαγωγικά. Μάλιστα, για q=1/e =.1353 η r q συμπίπτει με την γνωστή ακτίνα της γκαουσιανής δέσμης w(z). Στο σχήμα που ακολουθεί μπορούμε να παρατηρήσουμε την «ακτίνα της δέσμης» r q. Σχήμα 3.1: Η ακτίνα της δέσμης r q η οποία ορίζεται ως η απόσταση από το κέντρο ως το σημείο όπου η ένταση πέφτει σ ένα ορισμένο ποσοστό q της τιμής κορυφής της. 57
Η τιμή του ποσοστού q επιλέγεται έτσι ώστε να μεγιστοποιείται ο λόγος του σήματος προς το θόρυβο και δεν είναι σταθερή, αλλά εξαρτάται από την πειραματική διάταξη που χρησιμοποιούμε κάθε φορά. Συγκεκριμένα, για μικρές τιμές του q, δηλαδή όταν η ακτίνα υπολογίζεται κοντά στα άκρα της δέσμης, έχουμε μεν έντονες μεταβολές των διαστάσεων της δέσμης, δηλ. υψηλό σήμα, από την άλλη όμως αυξάνει και ο θόρυβος, διότι για χαμηλά επίπεδα της έντασης οι μετρήσεις επηρεάζονται από τον θόρυβο του υποβάθρου. Αντίθετα, για μεγάλες τιμές του q, δηλαδή όταν η ακτίνα υπολογίζεται κοντά στον άξονα της δέσμης, έχουμε μεν συμπίεση του θορύβου, από την άλλη όμως οι μεταβολές των διαστάσεων της δέσμης είναι λιγότερο έντονες, μειώνεται δηλαδή και το σήμα. Επομένως, ανάλογα με την ευαισθησία στο θόρυβο που παρουσιάζει η πειραματική διάταξη, θα πρέπει να επιλεγεί κατάλληλα η τιμή του q, ώστε να μεγιστοποιείται ο λόγος σήματος προς θόρυβο. Η ακτίνα r q μπορεί να υπολογιστεί με την επίλυση της εξίσωσης που ακολουθεί: c n q, D, t; ( t) rq, D, t; ( t) E rq, D, t; ( t) (3.1) Όπου,, ; q ( ) r D t t η ένταση της δέσμης σε απόσταση D από το δείγμα E r D t t το αντίστοιχο ηλεκτρικό πεδίο,, ; q ( ) Η παράμετρος () t είναι η επαγόμενη από το μη γραμμικό υλικό διαφορά φάσης στην εστία, η οποία χρησιμοποιείται για να τονίσει την εξάρτηση της ακτίνας r q από τη μη γραμμικότητα, και δίνεται από τη σχέση που ακολουθεί: ( t) kn L kn ( t) L (3.) eff Όπου k ο κυματάρυθμος η μεταβολή του δείκτη διάθλασης λόγω της μη γραμμικότητας n L eff το ενεργό πάχος του υλικού eff 58
n ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης () t η ένταση της δέσμης στην εστία Επομένως, εάν ληφθεί πειραματικά μια σειρά μετρήσεων της ακτίνας r q καθώς το δείγμα κινείται κοντά στην περιοχή της εστίας, η επαγόμενη φάση () t και κατά συνέπεια ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης n μπορούν να προσδιοριστούν εφαρμόζοντας (κάνοντας fitting) την εξίσωση (3.1) στα πειραματικά σημεία. Μια πειραματική διάταξη αυτής της τεχνικής παριστάνεται στο σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα 3.: Πειραματική διάταξη της τεχνικής Z-scan με απευθείας μέτρηση των διαστάσεων της δέσμης. Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε και από το σχήμα 3. η δέσμη από το λέιζερ εστιάζεται μέσω ενός φακού σε ένα λεπτό δείγμα, το οποίο κινείται στην περιοχή της εστίας της δέσμης. Για κάθε θέση του δείγματος καταγράφεται η ακτίνα της δέσμης μέσω μιας CCD κάμερας σε συνδυασμό με ένα σύστημα ανάλυσης δέσμης, Στην κάμερα έχουν τοποθετηθεί φίλτρα ουδέτερης πυκνότητας (Neutral Density filters, ND) ώστε να μειωθεί η ένταση της δέσμης στα κατάλληλα επίπεδα για βέλτιστη λειτουργία της κάμερας. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το αποτέλεσμα των μετρήσεων της ακτίνας για κυκλική γκαουσιανή δέσμη όταν το υλικό έχει θετικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης που δρα ως συγκλίνων φακός. 59
Σχήμα 3.3: Καμπύλη Z-scan κυκλικής γκαουσιανής δέσμης για υλικό με θετικό μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n >. Παρατηρούμε ότι καθώς το υλικό κινείται στην περιοχή της εστίας, η δέσμη ανοίγει και κλείνει λόγω του φαινομένου της αυτό-εστίασης. Συγκεκριμένα, όταν βρίσκεται πριν την εστία, προκαλεί μετατόπιση της εστίας προς τα αριστερά με αποτέλεσμα την αύξηση των διαστάσεων στο μακρινό πεδίο και την εμφάνιση μέγιστου στη γραφική παράσταση. Αντίθετα όταν το υλικό βρίσκεται μετά την εστία, τείνει να ευθυγραμμίσει τη δέσμη στο μακρινό πεδίο και η γραφική παράσταση παρουσιάζει ελάχιστο. Σύμφωνα με όλα τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι, τα αποτελέσματα συμπίπτουν με αυτά της κλασσικής μεθόδου, διότι καθώς οι διαστάσεις της δέσμης αυξάνουν μειώνεται η τιμή της διαπερατότητας και αντίστροφα. Τέλος αξίζει να αναφέρουμε ότι το σύστημα μέτρησης (CCD κάμερας σε συνδυασμό με σύστημα ανάλυσης δέσμης) παρέχει τη δυνατότητα για ταυτόχρονη διεξαγωγή και ανοιχτού Z-scan εφόσον η μέτρηση της ολικής ενέργειας της δέσμης για κάθε θέση του δείγματος μπορεί να πραγματοποιηθεί πολύ εύκολα. Κατ αυτόν τον τρόπο η μέτρηση του πραγματικού και του φανταστικού μέρους της τρίτης τάξης επιδεκτικότητας μπορεί να γίνει ταυτόχρονα από την ίδια συσκευή μέτρησης. Επομένως, η μέθοδος μας παρέχει τη δυνατότητα να μετρήσουμε ταυτόχρονα τον μη γραμμικό δείκτη διάθλασης και τον συντελεστή μη γραμμικής απορρόφησης του δείγματος. 6
3. Εφαρμογή της τεχνικής σε ελλειπτικές δέσμες Όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, η τεχνική Z-scan με μέτρηση της διαπερατότητας παρουσιάζει αρκετά μειονεκτήματα. Η ανίχνευση των μεταβολών που προκαλεί η αυτό-εστίαση σε μια ελλειπτική δέσμη είναι εξαιρετικά δύσκολο να υλοποιηθεί μέσω ενός σταθερού ανοίγματος, διότι η μη γραμμικότητα έχει διαφορετική επίδραση σε κάθε ημιάξονα. Ακόμα και στην περίπτωση που χρησιμοποιείται ελλειπτικό άνοιγμα, δεν μπορεί να υπάρξει συμμετρία και αυτό συμβαίνει γιατί συνήθως η ελλειπτικότητα συνοδεύεται από αστιγματισμό, με συνέπεια η διατομή της δέσμης (ο λόγος των δύο ημιαξόνων) να αλλάζει καθώς το δείγμα κινείται στην περιοχή της εστίας. Επομένως, η μέτρηση των διαστάσεων της δέσμης είναι πολύ πιο ακριβής και εύκολη σε σύγκριση με τη μέτρηση της διαπερατότητας. Οι διαστάσεις μιας ελλειπτικής δέσμης είναι τα μήκη των κύριων ημιαξόνων x q, y q τα οποία ορίζονται ως η απόσταση του κέντρου (x=, y=) από τα σημεία στα οποία η ένταση πέφτει σε ένα ορισμένο ποσοστό q της έντασης κορυφής της δέσμης. Όπως και στις κυκλικές δέσμες, η τιμή του ποσοστού q επιλέγεται έτσι ώστε να μεγιστοποιείται ο λόγος του σήματος προς το θόρυβο και δεν είναι σταθερή, αλλά εξαρτάται από την πειραματική διάταξη που χρησιμοποιούμε κάθε φορά. Στο σχήμα που ακολουθεί μπορούμε να παρατηρήσουμε το προφίλ της έντασης της ακτινοβολίας για μια ελλειπτική γκαουσιανή δέσμη, το οποίο προήλθε από μια CCD κάμερα: Σχήμα 3.4: Το προφίλ της έντασης μιας ελλειπτικής γκαουσιανής δέσμης για λόγο q =.1, τα χρώματα αντιπροσωπεύουν το μέγεθος της έντασης. 61
Στα δεξιά του σχήματος 3.4 δίνεται η αντιστοιχία των τιμών της έντασης με τα διάφορα χρώματα που απεικονίζονται στο σχήμα. Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε, στο κέντρο της δέσμης (λευκό κόκκινο) η ένταση είναι μέγιστη, ενώ καθώς προχωράμε προς τα άκρα (πράσινο γαλάζιο μπλε) η ένταση συνεχώς μειώνεται. Η μαύρη καμπύλη που μπορούμε να διακρίνουμε είναι η έλλειψη της οποίας μετράμε το μήκος των κύριων ημιαξόνων. Σε αυτήν την πειραματική μέτρηση η ένταση στα άκρα της έλλειψης είναι 1% της έντασης στο κέντρο (ένταση κορυφής), άρα ο λόγος q είναι.1. Τα μήκη των κύριων ημιαξόνων μπορούν να υπολογισθούν θεωρητικά από την επίλυση των εξισώσεων που ακολουθούν: c n q,, D, t; ( z, t) xq,, D, t; ( zs, t) E xq,, D, t; ( zs, t) c n q,, D, t; ( z, t) Όπου q, q,, ; ( ) x y D t t η ένταση της δέσμης σε απόσταση D από το δείγμα E x, y, D, t; ( t ) το αντίστοιχο ηλεκτρικό πεδίο q q ( zs, t ) η μετατόπιση φάσης λόγω της μη γραμμικότητας στο επίπεδο του δείγματος και δίνεται από τη σχέση που ακολουθεί: ( z, t) kn( z, t) L kn ( z, t) L (3.5) s s eff s eff Όπου k ο κυματάρυθμος n z t η μεταβολή του δείκτη διάθλασης (, ) s L eff το ενεργό πάχος του υλικού n ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης ( zs, t ) η ένταση της δέσμης στο επίπεδο του δείγματος zs δηλώνει τη θέση του δείγματος s, yq, D, t; ( zs, t) E, yq, D, t; ( zs, t) s 6
Η πειραματική διάταξη είναι ίδια με αυτή που χρησιμοποιήθηκε για την μέτρηση της ακτίνας r q σε μια κυκλική δέσμη (σχήμα 3.), μόνο που αυτή τη φορά αντί της ακτίνας μετρώνται τα μήκη των κύριων ημιαξόνων της ελλειπτικής δέσμης. Στο σχήμα που ακολουθεί παριστάνεται η καμπύλη Z-scan για μια ελλειπτική γκαουσιανή δέσμη: Σχήμα 3.5: Καμπύλη Z-scan με μέτρηση της ακτίνας για ελλειπτική δέσμη με διατομή (λόγος των δύο ημιαξόνων) ίση με w / w 1,4. oy ox Στο σχήμα 3.5 παρατηρούμε τις μεταβολές των μηκών των κυρίων ημιαξόνων μιας ελλειπτικής δέσμης με διαφορετική ελάχιστη ακτίνα σε κάθε ημιάξονα. Αυτό έχει ως επακόλουθο την διαφορετική επίδραση του μη γραμμικού υλικού στον κάθε ημιάξονα της δέσμης όταν το δείγμα κινείται στην περιοχή της εστίας της. Η μορφή των καμπύλων είναι ίδια με την περίπτωση της κυκλικής δέσμης και η εξήγηση είναι η ίδια με αυτή που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο, μόνο που τώρα υπάρχουν δύο καμπύλες αντί για μία. Η μάυρη καμπύλη είναι η καμπύλη Z-scan που αντιστοιχεί στον ημιάξονα x, ενώ η κόκκινη στον y. Επίσης, είναι εμφανές από το σχήμα ότι η καμπύλη που αναφέρεται στον ημιάξονα x έχει μεγαλύτερη απόσταση μεγίστου ελαχίστου και είναι πιο στενή σε σύγκριση με την αντίστοιχη καμπύλη 63
για τον y. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η ελάχιστη ακτίνα για τον x ημιάξονα είναι μεγαλύτερη από την ελάχιστη ακτίνα για τον y woy w. ox Στο επόμενο σχήμα μπορούμε να παρατηρήσουμε το αποτέλεσμα των μετρήσεων για μια ελλειπτική γκαουσιανή δέσμη που παρουσιάζει αστιγματισμό: Σχήμα 3.6: Καμπύλη Z-scan με μέτρηση της ακτίνας για ελλειπτική αστιγματική γκαουσιανή δέσμη με αστιγματισμό R=1. Όπως μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε από το σχήμα 3.6 έχουμε διαφορετικό σημείο εστίασης για τον κάθε ημιάξονα λόγω του αστιγματισμού. Ο οριζόντιος διαχωρισμός των δύο καμπύλων είναι περίπου ίσος με την απόσταση των δύο εστιών της ελλειπτικής δέσμης. Επίσης, πρέπει να σημειώσουμε ότι όσο μεγαλώνει ο αστιγματισμός, τόσο μεγαλώνει και η απόσταση μεταξύ των δύο καμπύλων (όπως και η απόσταση μεταξύ των δύο εστιών κατά τους άξονες x και y). Τέλος, αξίζει να επισημάνουμε ότι εάν η δέσμη θεωρούνταν κυκλική, όπως είναι η συνήθης πρακτική, όλα αυτά τα χαρακτηριστικά θα χάνονταν και προφανώς η τιμή της μη γραμμικότητας δεν θα υπολογιζόταν με αρκετή ακρίβεια. 64
ΑΝΑΦΟΡΕΣ M. Sheik-Bahae, A. A. Said, T. H. Wei, D. Hagan, and E.W. Van Stryland, IEEE J. of Quant. Electr. 6, 76-769 (199). Wang, J., Sheik-Bahae, M., Said, A., Hagan, D., V. Stryland, J. Opt. Soc. Am. B, 11, 19-117 (1994). Sheik-Bahae, M., Said, A., Hagan, Soileau, M., D., V. Stryland, E., Opt. Eng. 3, 18-135 (1991) Διδακτορική διατριβή Γ. Τσιγαριίδα, Θεωρητικές επεκτάσεις και πειραματικές βελτιώσεις της τεχνικής Z-scan για μέτρηση του νη γραμμικού δείκτη διάθλασης, Πάτρα 5. G. Tsigaridas, M. Fakis, I. Polyzos, P. Persephonis, V. Giannetas, Appl. Phys. B 76, 83 86 (3). G. Tsigaridas, M. Fakis, I. Polyzos, P. Persephonis, V. Giannetas, Appl. Phys. B 77, 71 75 (3). G. Tsigaridas, M. Fakis, I. Polyzos, P. Persephonis, V. Giannetas, Opt. Commun. 5,53 (3). W. Zhao, P. Palffy-Muhoray, Appl. Phys. Lett. 63, 1613 (1993). W. Zhao, P. Palffy-Muhoray, Appl. Phys. Lett. 65, 673(1994). 65
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Άμεσος υπολογισμός του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης από τις καμπύλες Z-scan στην περίπτωση μιας ελλειπτικής (αστιγματικής) Γκαουσιανής δέσμης Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε μια απλή και εύκολη μέθοδο για τον άμεσο υπολογισμό του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης στην περίπτωση της τεχνικής Ζ-Scan με ελλειπτικές (αστιγματικές) γκαουσιανές δέσμες. Η μέθοδος αυτή αναφέρεται στην τεχνική Z-scan με απευθείας μέτρηση των διαστάσεων της δέσμης (dimension Z-scan). Όπως αναφέραμε και σε προηγούμενο κεφάλαιο, μέχρι τώρα για να προσδιορίσουμε τον μη γραμμικό δείκτη διάθλασης ενός υλικού, έπρεπε να μετρήσουμε τη διαπερατότητα με το κλασσικό-αρχικό Ζ-scan και έπειτα να κάνουμε fitting των πειραματικών δεδομένων στους θεωρητικούς τύπους. Η όλη διαδικασία ήταν πολύ εξειδικευμένη και οι μαθηματικοί υπολογισμοί ήταν χρονοβόροι και δύσκολοι, σε αντιδιαστολή με την μέθοδο που θα παρουσιάσουμε παρακάτω, η οποία απαιτεί ελάχιστο χρόνο και εύκολους μαθηματικούς υπολογισμούς. Ανακαλύψαμε μέσω πολλών εξομοιώσεων Z-scan ότι η μη γραμμική μετατόπιση φάσης Δφ είναι ανάλογη με την απόσταση μεγίστου-ελαχίστου της καμπύλης Ζ-scan με βάση τη μεταβολή των διαστάσεων της δέσμης. Επιπλέον, καταφέραμε να εκφράσουμε αναλυτικά τη σχέση αναλογίας για ελλειπτική (αστιγματική) γκαουσιανή δέσμη. Επομένως, μετρώντας την απόσταση peak-valley της καμπύλης Z-scan του υπό μελέτη δείγματος, υπολογίζουμε την μη γραμμική μετατόπιση φάσης Δφ. Η Δφ με τη σειρά της είναι ανάλογη με το μη γραμμικό δείκτη διάθλασης, οπότε φτάνουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα μέσω απλών μαθηματικών σχέσεων. 4.1 Αριθμητικές προσομοιώσεις Πραγματοποιήσαμε αριθμητικές προσομοιώσεις πειραμάτων Z- scan με ελλειπτικές (αστιγματικές) γκαουσιανές δέσμες για διαφορετικές 66
τιμές αστιγματισμού ΔΖ. Η χαρακτηριστική καμπύλη Z-scan μιας τέτοιας δέσμης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα 4.1: Χαρακτηριστική καμπύλη Ζ-scan με μέτρηση της ακτίνας για ελλειπτική γκαουσιανή δέσμη. ΔΖ ο αστιγματισμός της δέσμης. Η οριζόντια απόσταση των δύο καμπυλών είναι περίπου ίση με την τιμή του αστιγματισμού ΔΖ. Επομένως, μπορούμε να ορίσουμε τον αστιγματισμό ως την απόσταση μεταξύ των δύο εστιών της αστιγματικής δέσμης κανονικοποιημένη ως προς τη μέση τιμή του μήκους Rayleigh.Η μέση τιμή του μήκους Rayleigh δίνεται από τον ακόλουθω τύπο: 1 1 kw kw ox oy zr, av ( zr z ) ( ) x Ry (4.1) Όπου z R και z x R τα μήκη Rayleigh κατά τους άξονες x και y y w ox και w oy οι ελάχιστες ακτίνες της δέσμης k ο κυματάρυθμος Η μέτρηση των διαστάσεων της αστιγματικής ελλειπτικής γκαουσιανής δέσμης στο μακρινό πεδίο μας παρέχει πολλές πληροφορίες 67
για το μη γραμμικό δείκτη διάθλασης. Συγκεκριμένα, με τη βοήθεια αριθμητικών προσομοιώσεων μελετήσαμε την εξάρτηση της απόστασης μεγίστου ελαχίστου των καμπύλων Z-scan από τη μη γραμμική μετατόπιση φάσης και βρήκαμε ότι για Δφ 1 η κανονικοποιημένη απόσταση μεγίστου-ελαχίστου της πρώτης καμπύλης Ζ-scan (Δx p-v ) είναι ανάλογη της μη γραμμικής μετατόπισης φάσης Δφ. Στο σχήμα που ακολουθεί παριστάνεται γραφικά το Δx p-v : Σχήμα 4.1: Χαρακτηριστική καμπύλη Ζ-scan με μέτρηση της ακτίνας για ελλειπτική αστιγματική γκαουσιανή δέσμη. Δx p-v η νορμαλισμένη απόσταση μεγίστου-ελαχίστου. Επιπλέον, διαπιστώσαμε ότι ο συντελεστής αναλογίας που συνδέει τα μεγέθη Δx p-v και Δφ είναι συνάρτηση του ποσοστού q (όπου q=i/i ) με βάση το οποίο έχουν οριστεί οι διαστάσεις της δέσμης. Συγκεκριμένα, μετά από μία πληθώρα αριθμητικών προσομοιώσεων καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι ο λόγος x py / μπορεί με πολύ καλή προσέγγιση να γραφεί ως μία διπλή εκθετική συνάρτηση του ποσοστού q. Επομένως, ισχύει η σχέση: py q / t 1 q / t 1 x y A e A e (4.) Όπου 68
η μη γραμμική διαφορά φάσης στο μέσο των δύο εστιών της ελλειπτικής δέσμης Οι παράμετροι y, A 1, A, t 1, και t εξαρτώνται από την τιμή του αστιγματισμού ΔΖ που χαρακτηρίζει τη δέσμη και δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 4.1: Συγκεντρωτικά δεδομένα για τις τιμές των παραμέτρων y, A, 1 τιμών ΔΖ από εώς 1,5. A, t 1, και t για έυρος Στις γραφικές παραστάσεις που απεικονίζονται στα σχήματα που ακολουθούν, μπορούμε να παρατηρήσουμε την εκθετική συνάρτηση του λόγου x py / ως προς το ποσοστό q για μερικές χαρακτηριστικές τιμές του αστιγματισμού (ΔΖ=, ΔΖ=.5, ΔΖ=1. και ΔΖ=1.5). 69