Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο με κέντρο Ο

eema4 - ι 8LO Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Τα τμήματα ΓΖ και ΒΖ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα σημεία Γ και Β αντίστοιχα. Αν το τμήμα ΘΗ είναι κάθετο στο τμήμα ΑΖ στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α} Το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 7} β} Το τετράπλευρο ΑΓΖΒ είναι ρόμβος. γ} Το τετράπλευρο ΒΓΗΘ είναι τραπέζιο, με ΒΘ = ΒΖ και ΘΗ = 2ΒΓ. (Μονάδες 10} ιvυγ~) - (3 2. τ, Γ~ Of Gι1 τ / Α 2-_L ι) 1-/

ΘΕΜΑ 4 - ) f- 6 f- Δίνεται κύκλος (Ο, R) και μια επίκεντρη γωνία του ΑΟΒ ίση με 120. Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία Α και Β τέμνονται στο σημείο Ρ. Θεωρούμε σημείο Μ του τόξου ΑΒ και φέρουμε τις χορδές ΑΜ και ΒΜ, οι οποίες προεκτεινόμενες τέμνουν τις ΡΒ και ΡΑ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Το τρίγωνο ΑΡΒ είναι ισόπλευρο. β) ΜΑΒ + ΜΒΑ = 60. γ) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΡΕΒ είναι ίσα. (Μονάδες 9) Ρ ~Β Q) ρ, ()=:. ρ,3 (vj Lyc>it/W }ιvο -rj.,)cιίq) ω ο 4-=-Ο β-=-ρ ΨQ ~β l~- "' rl 011.Hr Α, -:..f',1 =>υ~ /.; ι < ~ Α~ Β =- :- Α Ι = 'JU-3<J~G> ] -=,:, (Α~ β =- Ο Βι> 4 =: Cυ t,) Υ " ~ ΒΑ =- ~ο - Β,-.:. d)..)- )-'=G-> 1),. /;vι.j (D ~ ~ -===1J Ρ.4 Β ι,(1) 11) ι'f :> ulύtr /"" cι~ - ιwp ώ) Α ο β =-2~J

ΘΕΜΑ4 - '-i">:f-~ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Α (Δ, Ε σημεία της ευθείας ΒΓ). Φέρουμε ΒΖ κάθετη στην ΑΔ και ΒΗ κάθετη στην ΑΕ και θεωρούμε Μ το μέσο του ΒΓ. α) Το τετράπλευρο ΑΖΒΗ είναι ορθογώνιο. β) Η γωνία ΗΖΑ είναι ίση με τη γωνία ΖΑΓ. γ) Η ευθεία ΗΖ διέρχεται από το Μ. δ) ΜΗ- ΑΒ+ΑΓ 2 (Μονάδες 5) J 117_.--:.PιflJ

ΘΕΜΑ4 - lιg/~ Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΔΓ. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΖ της γωνίας ΕΑΒ και τη ΔΗ κάθετη από το Δ προς την ΑΖ, η οποία τέμνει την ΑΕ στο Μ και την ΑΒ στο Ν. α) Τα τρίγωνα ΑΔΝ και ΑΒΖ είναι ίσα. β) ΑΜ=ΑΝ και ΔΕ=ΕΜ. γ)αε=δε+βζ (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) Ζ Α Ν Β ( (

ΘΕΜΑ4 - ~G L <:i Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μέσο της διαμέσου ΒΔ. Στην προέκταση της ΑΕ θεωρούμε σημείο Ζ τέτοιο ώστε ΕΖ=ΑΕ και έστω Θ το σημείο τομής της ΑΖ με την πλευρά ΒΓ. α) Το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο ΒΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. γ) Το σημείο Θ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΔΖ. {Μονάδες 8) {Μονάδες 9) cιj tβ=ed C_01v ιj ιο.. Af:-=-~7. (o-,v >) υ. Su:~oι..Nt~) ΑΖ J:D-1 8() r, Χο τvf ο~ ο.ιι orr tv Α ΒΖΔ #. Α Α D-=; fjγ (η σ Ο Jι~ c(f()j (1) Ε:β-ΕΔ 6) Α-Ε-::: ε-z. ω.,&) Ayv~ /) 13 7 Ο # 'wtr AD//-=- 8-Ζ. -=η fj(//:=βϊ ojv) 1)1.=;; ΑΔ j J.-ι) ί31jγζ #. - - tp ~ ", S "4- r"", 7.- ί:: ιω. Θ " [ t.-f Vi>~ ν1:..? t) '"(.) ο ι1 ο Ι ο ~ ~ ϊj /ψ JfrVCf J ϊ. Ε J~e,vυ) ο., β n J ~ι t-νι)) ( ~ ~ (J IJ ίl # ~ Οι Jι~f J,,_x J-1ι) D/::: Λι..

ΘΕΜΑ 4 - lt+41 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ. Στην προέκταση της ΑΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε έτσι ώστε ΑΕ=ΑΓ. Στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Δ έτσι ώστε ΑΔ = ΑΒ. Αν τα τμήματα ΔΕ και ΒΓ τέμνονται στο Κ και η προέκταση της ΑΚ τέμνει την ΕΓ στο Μ, να αποδείξετε ότι: α) ΒΓ=ΔΕ {Μονάδες 6) β) ΒΚ=ΚΔ {Μονάδες 7) γ) Η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας Α. δ) Η ΑΜ είναι μεσοκάθετος της ΕΓ. Λ ) - ΑJ1 vγ~) '1 J1 )Ο (; Γ J t.<ro ~ -Ζ., J Ε:- r. ι:j1'(

ΘΕΜΑ4-4 i- ~ 3 Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Έστω σημείο Α εξωτερικό σημείο του Λ κύκλου και τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ ώστε να ισχύει ΒΑΓ- 60". Έστω ότι η εφαπτόμενη του κύκλου στο Δ τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. α) Το τετράπλευρο ΑΒΟΓ είναι εγγράψιμο με ΟΑ=20Β. β) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισόπλευρο. γ) 2ΖΒ ΑΖ δ) Το τετράπλευρο ΕΖΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 7) / ψ>φ φry /ι/q OΛ..«Jr, A'Z=Af ~ Α ::.C_) υv1.jlr ό Α-Ζ G ίvvιj}. (i) oj Ζ() = -Ζ () LwJ LytM1 71J>/ 1 /+ Α1:-.1 4-Ζ. ~ J.:::ο 2 {) -:. ;, s;ι c'f"j ιι {'!)J Lz 6 ο ~ )1 δ ) Α f>:: Α r ( υ) Lγ a// z -τ/1) ο '1 wι,1 r i1 f3γ ι vv νκ ι.ο, Α τ, C J..., ""' ϋ lcq.tet ι νυ-1 }/ Jιιι } Α Br-:.. ΒΓ n :::GJ 11. Ι ~ Ι πγ._,.j Α (3Γ.::: 1- 'Ί Ε -:::- C.J ι..0-ι ι ~ tt-,fj) Υ- 1 1:/Jι ί.14v(.ι) ~ F/ Ζ (=/ / βr ιj"' 1 f3 2 if :f Οιιι c /ι,;,(2.) U /ur, β z_ ~ fj () - JCJ 7.. -::: Α-Γ - 11 f. = Ε: Γ (J ~ (9 ~ G) ι vν -τ. Υ Οι/)_

Θέμα 4-11 t-6 2_ Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο ΕΖΗΘ παριστάνει ένα τραπέζι του μπιλιάρδου. Μια μπάλα του μπιλιάρδου ξεκινάει από σημείο Α της μεσοκαθέτου του τμήματος ΕΖ και χτυπώντας διαδοχικά στους τοίχους ΕΘ, ΘΗ, ΗΖ στα σημεία Β, Γ και Δ αντίστοιχα, καταλήγει στο σημείο εκκίνησης Α. Για τη διαδρομή Α ~ Β ~ Γ ~ Δ~ Α που ακολουθεί η μπάλα ισχύει ότι κάθε γωνία πρόσπτωσης σε τοίχο (π.χ η γωνία ΑΒΕ) είναι ίση με κάθε γωνία ανάκλασης σε τοίχο (π.χ η γωνία ΘΒΓ) και η κάθε μια απ' αυτές είναι 45. α) ί. Τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΖΔ είναι ίσα. (Μονάδες 9) 11. Η διαδρομή ΑΒΓΔΑ της μπάλας σχηματίζει τετράγωνο. β) Αν η ΑΖ είναι διπλάσια από την απόσταση του Α από τον τοίχο ΕΖ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΕΖ. ~) Γ-Π- Γ γι7. ΙvΌ ~ Λβ ~Ά!) (D ( f-b::. ΔΖ (9 _., - - ~ _ ι ) β 1. -= _ι e_, - ( f3 ι~ β~) = / 8J - (!..t'? -t'1~/ 1 ι 1 ι.,., Θ rνι Η Ε f=xu f1 β.f ~ # J βv:::. JV Ρι 8:: Α~ J.., )

ΘΕΜΑ4 - ι,1-- 8G Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Φέρουμε τις μεσοκαθέτους μl, μ2 των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, οι οποίες τέμνονται στο μέσο Μ της ΒΓ. α) Λ ί. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Α - 90. (Μονάδες 5) ίί. Το τετράπλευρο ΑΛΜΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 7)... ΛΘ Bl'. Θ. ' Μ 111. ~ -, οπου - το σημειο τομης των Α και ΚΛ. 4 δ) Αν I σημείο της ΒΓ τέτοιο ώστε Bl- ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΘΙΒ 4 είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 7) Α Ι, f Ι ι ) }1 (; f,, -=1) Α μ -= J,t (3 }{ ~ ~ 1. ~ ΑΑ ~ ΡΙΓ!}~ ( ( -- ι, ιι) ι )λ

ΘΕΜΑ 4 - Υ +- 'j ~ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΒΔ διχοτόμο και ΑΚ ύψος, που τέμνονται στο Ε. Η κάθετη από το Ε στην ΑΒ τέμνει τις ΑΒ και ΒΓ στα Η και Ζ αντίστοιχα. Β Γ α) ί. Τα τρίγωνα ΕΗΑ και ΕΚΖ είναι ίσα. ίί. Το τρίγωνο ΒΚΗ είναι ισοσκελές. 111. Η ΒΔ είναι κάθετη στην ΑΖ (Μονάδες 7) β) Αν επιπλέον το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ισοσκελές, να αποδείξετε ότι η

ΘΕΜΑ 4 - i..ι 80 LιJ Έστω κύκλος με κέντρο Ο και διάμετρο ΚΛ=2ρ. Έστω Α σημείο του κύκλου ώστε η ακτίνα ΟΑ να είναι κάθετη στην ΚΛ. Φέρουμε τις χορδές ΑΒ = Al '-== ρ. Έστω Δ και Ε τα σημεία τομής των προεκτάσεων των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα με την ευθεία της διαμέτρου ΚΛ. α) Η γωνία ΒΑΓ είναι 120. β) Τα σημεία Β και Γ είναι μέσα των ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα. (Μονάδες 7) (Μονάδες 9) γ) ΚΙ'= Λl3. Λ (Μονάδες 9) / ~ ο) ->~,, ΘΑ ::: 1) () γ {) () ο Β