117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

Transcript

1 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ Ευθεία (18) ελ Κύκλος (13).ελ Παραβολή (14) ελ Έλλειψη (18).. ελ Τπερβολή (17) ελ. 3-6 Μάρτης 014 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

2 1. Διανύσματα Άσκηση 1 η. ε τρίγωνο ΑΒΓ με θεωρούμε τα σημεία Δ της ΑΒ ώστε και Ε σημείο της ΑΓ ώστε. 3 α) Να υπολογίσετε συναρτήσει των διανυσμάτων, το διάνυσμα β) Να δείξετε ότι η ευθεία ΔΕ τέμνει τη ΒΓ σε ένα σημείο Μ γ) Να υπολογίσετε συναρτήσει των διανυσμάτων, το διάνυσμα Άσκηση η. Έστω α, β διανύσματα με 3, και η γωνία τους α) Αν 60 να βρείτε τα α β, α και β β) Αν α β = - 6 να βρείτε την γωνία Άσκηση 3 η. Έστω ΑΒΓΔ τετράπλευρο και Ι, Κ τα μέσα των ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα. Να εξετάσετε για ποια σημεία Μ ισχύει η σχέση (ΜΑ+ΜΓ) (ΜΒ+ΜΓ)=0 Άσκηση 4 η. Δίνονται τα διανύσματα α =(-1,), β =(4,3) και =(,1) α) Να βρεθούν τα α β, α γ, β (α-γ). Σι παρατηρείτε; β) Να βρεθεί το λ ώστε τα διανύσματα λ α και α +λβ να είναι κάθετα γ) Να βρεθούν τα διανύσματα που είναι κάθετα στο α και έχουν μέτρο δ) Αν ΟΑ=α και ΟΒ=β να βρεθεί σημείο Μ του άξονα xx ώστε : 0 90 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα

3 Άσκηση 5 η Σα διανύσματα α και β έχουν α = και β =1 και γωνία 6 α) Να υπολογίσετε τα α β, α, β, (α+β) (α-β), (3α-β) (α+β) β) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων v=α+β και u=α-β Άσκηση 6 η Σα διανύσματα a,, x i. Να δείξετε ότι 1 x ii. Αν 1 Άσκηση 7 η του επιπέδου ικανοποιούν τη σχέση x x 1 να εκφράσετε το διάνυσμα x ως συνάρτηση των a,, Αν τα διανύσματα α και β είναι κάθετα μεταξύ τους και έχουν ίσα μέτρα, να δείξετε ότι και τα διανύσματα γ=α+β και δ=α-β είναι κάθετα μεταξύ τους και έχουν ίσα μέτρα. Άσκηση 8 η Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α και β για τα οποία ισχύουν: χηματίζουν γωνία 60, (α+β) (α-β) και α+β =7 Άσκηση 9 η Αν, 0 και για κάθε πραγματικό αριθμό. Να δείξετε ότι. Ισχύει το αντίστροφο; Να δοθεί η γεωμετρική ερμηνεία. Άσκηση 10 Αν, 0 και η συνάρτηση : με τιμή x x. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση φ λαμβάνει ελάχιστη τιμή και να βρεθεί η τιμή αυτή. Πότε η τιμή αυτή είναι 0. Άσκηση 11 η Με δεδομένη την σχέση α β α β να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης 8x 6y όταν x y 4 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 3

4 Άσκηση 1 η Για οποιαδήποτε σημεία Μ, Α, Β, Γ ισχύει η σχέση: 0 Άσκηση 13 η Αν για τα διανύσματα α και β είναι 60, α =, β =1, να βρεθεί η προβολή του διανύσματος β πάνω στο διάνυσμα α Άσκηση 14 η Δίνονται τα διανύσματα α =(3,) και β =(,1). Να αναλυθεί το διάνυσμα β σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία είναι παράλληλη στο α Άσκηση 15 η Αν α =(-,1) και β =(1,3), να βρεθούν διανύσματα γ, δ τέτοια ώστε α = γ δ, δ//β και α γ Άσκηση 16 η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=4, ΑΓ=6 και 3 και Μ μέσο ΒΓ i. Τπολογίστε το μήκος της διαμέσου ΑΜ ii. Να δείξετε ότι η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα είναι Άσκηση 17 η Δίνονται τα διανύσματα α, β. Αν ( α +β ) (3 α -β ) και ( α -6β ) ( α + β ) να δείξετε ότι η γωνία των α και β είναι αμβλεία Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 4

5 Άσκηση 18 η Αν α =1, β =, γ = 5 και α+β+γ=0, να δειχθεί ότι α β+β γ+γ α=-4 Άσκηση 19 η Αν α = β = γ =1 και α β+β γ= να δειχθεί ότι: α=β γ Άσκηση 0 η Αν α = β = γ =1 και α+β+γ=0 να βρείτε τις γωνίες των διανυσμάτων, ανά δύο. Άσκηση 1 η Αν α β+1 0 να βρεθεί το διάνυσμα x από την σχέση x+(x α)β=γ Άσκηση η Αν τα σημεία Α, Β, Γ, Δ του επιπέδου για κάθε σημείο Μ του επιπέδου ικανοποιούν τη σχέση :. Να δείξετε ότι ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο. Άσκηση 3 η Αν Α, Β σταθερά σημεία τότε γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία είναι ΑΜ ΑΒ >0 είναι ευθεία κάθετη στην ΑΒ. Άσκηση 4 η Έστω Ο και Α σταθερά σημεία του επιπέδου με ΟΑ =3.Να βρεθεί ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι ΟΜ (ΟΜ-ΟΑ)=7 Άσκηση 5 η Αν ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι ΑΒ ΑΜ+ΑΓ ΑΜ=0 Άσκηση 6 η Να αποδειχθούν και να ερμηνευθούν γεωμετρικά: οι ισοδυναμίες i) α+β = α-β α β ii) (α+β) (α-β) α = β = Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 5

6 Άσκηση 7 η ε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ο νόμος των συνημιτόνων: α =β +γ -βγσυνα Άσκηση 8 η ε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΒΓ= α, ΓΑ =β, ΑΒ =γ να δείξετε ότι: 1 a Άσκηση 9 η Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα μη συγγραμμικά διανύσματα, ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα διανύσματα a, Ασκηση 30 η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ώστε ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=1 ( Ο σημείο του επιπέδου του τριγώνου ΑΒΓ ) και 0 α) Να δείξετε ότι: 0 10 β ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. γ ) Αν Μ τυχαίο σημείο του κύκλου C( 0,1) να δείξετε ότι : MA + MB +MΓ =. Άσκηση 31 η Αν,, 3 3 και a, 0 να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Μ είναι συνευθειακά, ενώ τα σημεία Α,Β,Ν δεν είναι συνευθειακά. Άσκηση 3 η Σα σημεία Α, Β, Γ βρίσκονται στην ίδια ευθεία αν και μόνο αν υπάρχει x ώστε: x 1 x Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 6

7 Άσκηση 33 η Να αποδείξετε ότι τρία σημεία Α,Β,Γ κείνται στην ίδια ευθεία τότε και μόνο,όταν υπάρχουν αριθμοί λ, μ, ν τέτοιοι ώστε: i. λ+μ+ν=0 και ένας τουλάχιστον από τους λ,μ,ν 0 ii. 0 (Ο τυχαίο σημείο του επιπέδου) Άσκηση 34 η Να αποδείξετε διανυσματικά ότι οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου διχοτομούνται. Άσκηση 35 η Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ΑΔ διχοτόμος της γωνίας Να δείξετε ότι. τη συνέχεια να υπολογίσετε το μήκος της διχοτόμου συναρτήσει των πλευρών α, β, γ του τριγώνου ΑΒΓ. Άσκηση 36 η ε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στη πλευρά ΑΒ και στη διαγώνιο ΑΓ θεωρούμε τα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα ώστε. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Μ,Ν βρίσκονται 5 6 στην ίδια ευθεία. Άσκηση 37 η Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με και ΒΔ ύψος του τριγώνου υπολογίστε το διάνυσμα του ύψους ή ά, Άσκηση 38 η Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 7

8 Αν τα διανύσματα του επιπέδου, είναι μη συγγραμμικά,να βρεθεί το διάνυσμα x του επιπέδου ώστε : xa x, Άσκηση 39 η να αποδείξετε ότι : Αν, 0 και μάλιστα η ισότητα ισχύει στη περίπτωση που ή, είναι αντίρροπα. Άσκηση 40 η Αν, διανύσματα του επιπέδου και x x ά ά x να δείξετε ότι: Άσκηση 41 η Αν 0 1, 4, υπολογίστε τον αριθμό Άσκηση 4 η Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διάμεσοι είναι ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ να δείξετε ότι: 0 Άσκηση 43 η Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ με 0 90 με ΑΓ ΒΔ και. Τπολογίστε το λόγο Άσκηση 44 η Δίνονται τρίγωνο ΑΒΓ με. Η διάμεσος ΓΜ είναι κάθετη στη διχοτόμο ΑΔ και i. Τπολογίστε τα διανύσματα διαμέσου και διχοτόμου συναρτήσει των διανυσμάτων, Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 8

9 ii. Να δείξετε ότι Άσκηση 45 η Αν,, γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε τις ανισώσεις : i. 3 ii. 3 Άσκηση 46 η Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι να δείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου δίνεται 1 από το τύπο Άσκηση 47 η Αν, 1, και, 3 1. Να υπολογίστε το εσωτερικό γινόμενο 7. ε τρίγωνο ΑΒΓ είναι, και να δείξετε ότι: και ΓΕ ύψος. Να βρείτε:.1. Σα διανύσματα και.. Σο μήκος του ύψους ΓΕ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 9

10 . Ευθεία 1. Σο σημείο A (3, - 1) είναι κορυφή του τετραγώνου ΑΒΓΔ, του οποίου μία πλευρά έχει εξίσωση: 3x - y - 5 = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών του.. ε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α (- 8, ), Β (7, 4) και Η (5, ) το ορθόκεντρό του. Βρείτε: α) την εξίσωση της ΒΓ και τις συντεταγμένες της κορυφής Γ. β)το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 3. Δίνονται οι ευθείες ε1: (λ + ) x + λy + 3λ - 1 = 0 και ε: (λ - 1) x + λy + 5 = 0. Να βρείτε τον λ, ώστε να είναι ε1 // ε. 4. Δίνονται οι ευθείες ε1: (μ + 1) x + (μ + ) y = 0 και ε: μx - (3μ + ) y + 7 = 0. Να βρείτε τον μ, ώστε η γωνία των ε1 και ε να είναι Να αποδείξετε ότι η εξίσωση y - 3xy - x = 0 παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; 6. Δίνονται η ευθεία (ε): x + y 4=0 και τα σημεία Α(, 5), Β(7, 0). α ) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία (ε). β) Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Β ως προς άξονα συμμετρίας την (ε). γ) Να βρεθεί σημείο Μ της (ε)) ώστε : ΜΑ+ΜΒ= min 7. Θεωρούμε την εξίσωση( ): (λ + λ - 3) x - ( λ + λ - ) y - 5λ - 3λ + 8 = 0 Για ποιες τιμές του λ R η ( ) παριστάνει ευθεία; Από ποιο σημείο διέρχονται οι ευθείες ( ); 8. Οι συντεταγμένες δύο πλοίων Π1, Π είναι Π1 (t - 1, t + ) και Π (3t, 3t - 1) για κάθε χρονική στιγμή t 0. α) Να βρεθούν οι γραμμές πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 10

11 β) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές του t που τα δύο πλοία θα συναντηθούν. γ) Να βρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t = ε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων τη θέση ενός λιμανιού προσδιορίζει το σημείο Α (, 6) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο Π (λ - 1, + λ), λ R. α) Για ποιες τιμές του λ ισχύει: x x ; β) Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι Α, όταν κινείται ευθύγραμμα. γ) Ποια θα είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιμάνι; 10. Βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών(ε) που είναι παράλληλες στην ( 1) : x - 3y - 1 = 0 και οι οποίες ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 1 τ. μ. 11. Δίνεται η ευθεία : 4 0 και τα σημεία Α(, 4) και Β(5, ). Να βρεθεί σημείο Μ της (ε) ώστε max. 1. Δίνονται τα σημεία Α(0, 1) και Β(, 4) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) του επιπέδου ώστε (ΜΑΒ)= τ. μ. 13. Για ποιες τιμές του λ οι ευθείες : : x ( 3) y 6 0 :( 1) x ( 1) y 0 τέμνονται σε σημείο 1 του άξονα y y 14. Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας(ζ) που περνά από την τομή των ευθειών: : x 7y 8 0 :3x y 5 0 και σχηματίζει με την (ε) : x+3y-7=0 γωνία Ο. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 11

12 15. Αν 0 να δείξετε ότι οι εξισώσεις : α(3x+y-9)+β(x+5y+5)=0 είναι ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο Ρ και να βρείτε τον πραγματικό αριθμό γ ώστε η ευθεία (ε): 4x-3y+γ= 0 να διέρχεται από το Ρ. 16. Δίνονται οι ευθείες : :3x 4y 0 :5x1y 0 1 α ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων των ευθειών, 1 β ) Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που περνά από το σημείο Ρ(, -1) και σχηματίζει με τις ευθείες, ισοσκελές τρίγωνο Δίνονται δύο πλευρές ορθογωνίου ΑΒΓΔ, 1 : σημείο Α(1, ). 3x 4y 4 0 : 4x 3y 8 0 και το α ) Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. β ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών του οθογωνίου καθώς και οι συντεταγμένες των άλλων 3 κορυφών του. 18. Αν οι ευθείες : x y 0 : x y 0 y y ω η γωνία των ευθειών, που δεν τέμνονται κάθετα. Να δείξετε ότι: Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

13 Άσκηση 1 η. Κύκλος Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην ευθεία : x y 0 και εφάπτεται στις ευθείες : : 4x 3y 10 0 : 4x 3y Άσκηση η Απάντηση: x y 1 16 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που περνά από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται στις δύο παρακάτω ευθείες : Άσκηση 3 η : x y 9 0 : x y 0 1 Απάντηση: Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες: x y 1 5 x y : 4x 3y 10 0, :3x 4y 5 0 :3x 4y 15 0 Άσκηση 4 η Απάντηση : x y 1 x y α. Να βρείτε την αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε η ευθεία : yx να εφάπτεται. Απ : 1 β. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες από το σημείο 4, στο κύκλο του κύκλου τέμνονται κάθετα. Άσκηση 5 η x y 10 Αν :3x 4y 10 3x y 5 0 i. Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε και μάλιστα όλες οι ευθείες περνούν από σταθερό σημείο Α. ii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται του κύκλου: 4 0 Απ: i.,1 ii. x y 5 0 x y 0 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 13

14 Άσκηση 6 η Από το σημείο 6, 8 φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ, ΜΒ στο κύκλο : x y 5. Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής ΑΒ και η απόσταση του σημείου Μ από την χορδή. Άσκηση 7 η Απάντηση: 6x8y 5 0 και d 7,5 Βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που περνά από το σημείο Α(1, -1) και από τα σημεία τομής των κύκλων: C : x y x y 3 0 C : x y 6x 1y Άσκηση 8 η Αν 0 να αποδείξετε ότι οι κύκλοι : Απάντηση : x y 6x 9y 17 0 C : x y x y a 0 C : x y x y 0 1 τέμνονται ορθογώνια (δηλαδή οι εφαπτόμενες στα σημεία τομή των κύκλων σχηματίζουν ορθή γωνία). Άσκηση 9 η Δίνονται οι εξισώσεις : C : x y x 6y 15 0 :3x y 1 0 i. Να δείξετε ότι ο κύκλος και η ευθεία έχουν δύο κοινά σημεία Α και Β τα οποία να προσδιορίσετε. ii. Αν C C x y : Να δείξετε ότι η εξίσωση C είναι κύκλος για κάθε. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων του C για κάθε iii. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από το σημείο Γ(,0) και τη τομή των C. Απ : 1,,, 7, x3y x y Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 14

15 Άσκηση 10 η Δίνονται η παρακάτω εξίσωση και ο κύκλος C : x 8y 30 x 5y 0 0 C : x y x y Να δείξετε ότι η εξίσωση είναι ευθεία και μάλιστα αυτές περνούν από το ίδιο σημείο Α το οποίο να προσδιορίσετε.. Να βρεθούν οι ευθείες που τέμνουν το κύκλο σε σημεία Β, Γ σχηματίζοντας χορδή ΒΓ= 3 Απάντηση: 1., 4. x 3y 8 0, 3x y Άσκηση 11 η Αν C: x x0 y y0 x, y είναι : x x x x y y y y 1 1 Άσκηση 1 η τότε η εφαπτόμενη σε ένα σημείο του κύκλου Θεωρούμε το 1. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος C και η ευθεία Άσκηση 13 η C : x 1 y 16 ί : y x 3 δεν έχουν κοινά σημεία. Από ένα σημείο Μ της ευθείας φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ και ΜΒ. Να δείξετε ότι όταν το σημείο Μ διαγράφει την ευθεία τότε η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο. Απάντηση : Δίνονται τα σημεία 1, 5, 5, 3, 3. Αν x, y επιπέδου, να αποδείξετε ότι : 70. Αν 85 προσδιορίσετε κέντρο και ακτίνα. 3 4, 5 5 τυχαίο σημείο του να δείξετε ότι το σημείο Μ κινείται σε κύκλο και να 3. Να υπολογίσετε τη γωνία των εφαπτόμενων του κύκλου από το Ρ (0, 3) x1 y 5, γωνία εφαπτόμενων Απ: Μανώλης Ψαρράς Σελίδα

16 Άσκηση 1 η Παραβολή Να βρεθεί η εξίσωση παραβολής με εστία, 1 Άσκηση η Δίνεται η παραβολή p : y 4x. Α. Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της Β. Να βρείτε τις εφαπτόμενες, παραβολή και διευθετούσα : 1 0 Απάντηση : p στο σημείο 9, 6 x xy y Απάντηση: : x3y 9 0 που άγονται από το σημείο 3, 4 p καθώς και την απόσταση d από τη χορδή. στην Απάντηση : 14 5 x y 1 0, x 3y 15 0, d 5 Άσκηση 3 η Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης στη παραβολή p στην ευθεία : y 1x που είναι παράλληλη :3 x y 30 0 καθώς και την απόσταση d της εφαπτομένης 1 από την. Απάντηση : :3 0 d 13 1 Άσκηση 4 η Βρείτε την εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής p : y 0x που έχει το σημείο, 5 ως μέσον. Απάντηση : : 1 0 Άσκηση 5 η Δίνεται η παραβολή p ότι η χορδή ΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο. Άσκηση 6 η Αν οι ευθείες : y px και δύο σημεία της Α, Β ώστε : Να δείξετε Απάντηση : Σο σταθερό σημείο είναι p, 0 1 : y x ά 0 εφάπτονται μιας παραβολής. Βρείτε την εξίσωση της παραβολής. Απάντηση : Είναι η παραβολή p Άσκηση 7 η : y 4x Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 16

17 Δίνεται η παραβολή p : y px. Να δείξετε: Α. Η ευθεία yx εφάπτεται της παραβολής αν και μόνο αν p Β. Ο γεωμετρικός τόπος των εφαπτόμενων στη παραβολή από το σημείο Μ του επιπέδου που σχηματίζουν ορθή γωνία είναι η διευθετούσα : Άσκηση 8 η Αν Α, Β δύο σημεία της παραβολής p τέμνονται στο σημείο Ρ να δείξετε ότι: Άσκηση 9 η x : y px με εστία Ε και οι εφαπτόμενες στα Α, Β p Να βρεθεί ο γ. τ. των σημείων p t, pt, t. Απάντηση : είναι η p : y px Άσκηση 10 η Αν μια μεταβλητή εφαπτομένη της παραβολής C C : y 8x στα σημεία Α, Β να βρείτε το γ. τ. των μέσων Μ Σου ΑΒ. Άσκηση 11 η : y 4x 1 τέμνει τη παραβολή 16 Απάντηση: Είναι η παραβολή y x 3 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών ΑΒ της παραβολής p που είναι παράλληλες στην ευθεία :35 0 Άσκηση 1 η Δίνεται η p : y 1x Απάντηση : Είναι η ευθεία: y : y 4x. Μια χορδή ΑΒ της παραβολής περνά από την εστία Ε. i. Να αποδείξετε ότι το γινόμενο των τετμημένων στα άκρα Α, Β καθώς και το γινόμενο τεταγμένων είναι σταθερό. Απ: x x 1 y y 4 ii. Να βρείτε το γ. τ. των μέσων Μ των χορδών. Απάντηση: y x 1 x 1 Άσκηση 13 η Δίνονται οι παρακάτω εξισώσεις του κύκλου C και της παραβολής p C : x y 4x 8 0 p : y 8x Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 17

18 1) Να βρείτε το κέντρο και τη ακτίνα του C, καθώς και την εστία Ε και τη διευθετούσα (δ) της παραβολής p. Απ:, 0, 4, 1, 0, : x Να βρείτε τα κοινά σημεία Α και Β του κύκλου Cκαι της παραβολής p. Απ:, 4,, 4 ) Να βρείτε τις εφαπτόμενες στα κοινά σημεία Α, Β και να δείξετε ότι τέμνονται κάθετα. Απ: : x y 0, : x y 0, : x y 6 0, : x y 6 0 Άσκηση 14 η Δίνεται η παραβολή y p p C C 4 x με εστία Ε, η διευθετούσα εφαπτόμενη στο που τέμνει τον άξονα σημείο Ρ φέρουμε την ευθεία xx στο σημείο Α και τον το σημείο της x, y 1 1, η yy στο Κ. Από το xx που τέμνει την διευθετούσα στο σημείο Β καθώς και την ευθεία κάθετη της παραβολής στο σημείο Ε που τέμνει τον άξονα στο σημείο Γ κα όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα. Να αποδείξετε: i. ά ί ό. ii. ό ί ί iii. ί ί vi. έ ά E v. x x ί ό xx Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 18

19 Έλλειψη Άσκηση 1 η Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ ενός επιπέδου, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από δύο σημεία Ε,Ε (εστίες) //,όπου δηλαδή και αυτού και δύο ευθείες (διευθετούσες) είναι ένας σταθερός αριθμός 1 (εκκεντρότητα) Αν // και Α, Α δύο σημεία του γ. τ. που ανήκουν στην ευθεία Ε Ε ώστε Α Α= α και η ευθεία E E είναι ο άξονας x x και η κάθετος στο μέσον της Ε Ε=γ είναι ο άξονας y y και x (x, y) ή Μ (x, y) ισχύει η σχέση : a 1 y όπου d χήμα άσκησης 1 να δείξετε ότι για τα τυχαία σημεία Μ. Άσκηση η Για ποιες τιμές του η εξίσωση : 1 παριστάνει έλλειψη. Ποιες είναι οι εστίες 4 3 της έλλειψης ; Απ: 3 1, 0, 1, 0 Άσκηση 3 η Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 19

20 Να βρεθεί ο γ. τ. των μέσων των χορδών ΑΒ της έλλειψης παράλληλες στην ευθεία Άσκηση 4 η Απάντηση : ί Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 0 e.. ί ά έ ί : 1 που είναι a Α. Η ευθεία yx εφάπτεται στην έλλειψη C : 1 αν και μόνο αν a Β. Ο γ. τ. των εφαπτόμενων από το σημείο x, y C : 1 a Άσκηση 5 η είναι ο κύκλος 0 0 C : x y Να βρείτε το γ. τ. των σημείων, Άσκηση 6 η Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτόμενης στην έλλειψη: e που τέμνονται κάθετα στην έλλειψη Απάντηση: είναι η έλλειψη C : 10 που είναι : 1 a παράλληλη στην ευθεία Απ: 3x y x y 10 0 Άσκηση 7 η Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτόμενης στην έλλειψη: e : 4 0 που είναι κάθετη στην ευθεία Απ : x y 5 0 x y 5 0 Άσκηση 8 η α) Από σημείο x1, y1 εκτός της έλλειψης e : 1 άγονται οι εφαπτόμενες,. xx1 yy1 Να δείξετε ότι η εξίσωση της χορδής ΑΒ δίνεται από την εξίσωση: 1 β) Από το σημείο 16, 9 άγονται δύο εφαπτόμενες στην έλλειψη e :3 4 1 Να βρεθεί η απόσταση από τη χορδή της έλλειψης που ορίζουν τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων. Απ : d 18 Άσκηση 9 η Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης e : 1 εφάπτεται της ευθείας : x 4y10 0. Απ: Άσκηση 10 η που περνά από το σημείο 4, 1 x 4y 1 ή

21 Βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης e : 1 που έχει μέσον το σημείο ,. Απ: 9x3y 73 0 Άσκηση 11 η Δίνονται η e : 1, 0 ύ : C1 : x y, C : x y και Μ σημείο του κύκλου C, αν η ΟΜ τέμνει το δεύτερο κύκλο C στο σημείο Ν. Να 1 αποδείξετε ότι οι παράλληλοι προς τους άξονες από τα σημεία Μ, Ν τέμνονται στην έλλειψη. Άσκηση 1 η Μια χορδή της έλλειψης e αποδείξετε ότι η χορδή εφάπτεται του κύκλου C : x y Άσκηση 13 η : 1 φαίνεται από το κέντρο της με ορθή γωνία. Να Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της χορδής της έλλειψης e και άκρα,,, Άσκηση 14 η Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1 1 : 1 δίνεται από την εξίσωση: Να δείξετε ότι τα σημεία τομής των ευθειών x y 1 :3x 5y 15 0 :3x 5y 15 0 Για κάθε βρίσκονται στην έλλειψη : :3x 5y 15 0 Άσκηση 15 η e : 1 και να δείξετε ότι οι ευθείες 5 9 για κάθε εφάπτονται στην έλλειψη Δίνονται η παραβολή p : y 4x και η έλλειψη e : 6 1) Να βρείτε τα κοινά σημεία παραβολής και έλλειψης. 1,, 1, ) Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τέμνονται κάθετα. Άσκηση 16 η Δίνονται ο κύκλος c : 9 και η παραβολή e. p : y 8x. Να βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες σε κύκλο και παραβολή καθώς και η γωνία που σχηματίζουν. 3 3 y x 3 ή y x 3 3 3

22 Άσκηση 17 η Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου 5, 4 με 0, a) Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη,της οποίας να βρείτε την εξίσωση. b) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτόμενης της έλλειψης του ερωτήματος a) στο σημείο 5, 4 με 0, c) Αν με 0, είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτόμενη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο 5, 4 Να αποδείξετε ότι 0 με τους άξονες xx και yy. a) x y 1 b) Άσκηση 18 η Δίνονται η έλλειψη c:9x 16y 144 και δύο σημεία της 4, 0, 0, 3 1) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων της έλλειψης (c) που είναι παράλληλες στη χορδή ΒΓ. ) Να βρεθεί σημείο Α της έλλειψης (c) ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να έχει το μέγιστο δυνατόν εμβαδόν. a) 3x 8y 4 0 ή 3x 8y 4 0 και ), 3 χήμα άσκησης 18 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα

23 Άσκηση 1 η Υπερβολή Άλλος ορισμός της υπερβολής Τπερβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ ενός επιπέδου, των οπίων ο λόγος των αποστάσεων από ένα σημείο Ε (εστία) και μια ευθεία (δ) (διευθετούσα) και είναι ένας σταθερός αριθμός 1 (εκκεντρότητα) Αν ώστε xx ί ά ό ί x x υπάρχει σημείο 0 αν σημείο της αν yy στο μέσον τότε υπάρχουν Ε, 0 0 συμμετρικά ως προς yy όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα ώστε ΧΗΜΑ 1 Η ΑΚΗΗ 0 xx,μ,ζ και Άσκηση η Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 3

24 1 1 * Να δείξετε ότι τα σημεία,, 0 t t t t t ανήκουν στην υπερβολή : 1 a Άσκηση 3 η Αν η εφαπτόμενη της υπερβολής x a y : 1 στο σημείο x, y τέμνει τις ασύμπτωτες στα σημεία Α, Β να δείξετε: i. Μ μέσον του ΑΒ ii. Σο τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν ( ανεξάρτητο της θέσης του σημείου Μ) 0 0 Άσκηση 4 η Δίνονται η έλλειψη : x y 18 και η υπερβολή : 8 8. Να δείξετε ότι έχουν ίδιες εστίες και οι εφαπτόμενες τέμνονται κάθετα στα σημεία τομής των και να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σημεία τομής της έλλειψης (Ε) κα τη υπερβολής (Η). Άσκηση 5 η Απάντηση: y 17 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία : k εφάπτεται στην υπερβολή : 1 a αν k. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής. Β. Βρείτε τις εφαπτόμενες κοινές εφαπτόμενες των κωνικών c c : 9. Απ : Άσκηση 6 η ημείο επαφής, Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 4 x 1 : και εξισώσεις εφαπτόμενων 3 x 7y 15 Να δείξετε ότι η κλίση της εφαπτόμενης στα άκρα μιας χορδής της υπερβολής : 1 που περνά από μια εστία και είναι κάθετη στο κύριο άξονα είναι ίση με την 9 7 εκκεντρότητα της υπερβολής. Άσκηση 7 η Να αποδείξετε ότι για την εξίσωση: c : 1 9 4

25 1) α) Είναι έλλειψη όταν 4 Άσκηση 8 η β) Είναι υπερβολή όταν 4 9 και να δείξετε ότι οι εστίες τόσο των ελλείψεων α) όσο και των ) Αν 13 υπερβολών β) είναι ίδιες ανεξάρτητα της τιμής της σταθεράς. α) Βρείτε τις εστίες,τις κορυφές και τις ασύμπτωτες της υπερβολής c. β) Αν Α και Β οι κορυφές της υπερβολής c του ερωτήματος ) και ΚΛ μια χορδή της υπερβολής που περνά από μια από τις εστίες και είναι κάθετη στο κύριο άξονα βρίσκονται σε έλλειψη. xx να δείξετε ότι τα σημεία τομής Μ των ευθειών ΑΚ και ΒΛ 3 ί 5, 0, 5, 0 έ (4, 0), 4, 0, ύ y x 4 Απ: 9x 16y 144 Τπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τις ασύμπτωτες της υπερβολής : και την ευθεία :9 4 0 Απ: 1.. Άσκηση 9 η Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη Άσκηση 10 η : Απ: 3x y 1 Να δείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τις ασύμπτωτες και τις παράλληλες σε αυτές από ένα σημείο της υπερβολής : 1 a είναι ίσο με Άσκηση 11 η. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης από το σημείο 1, 7 στην υπερβολή : 16. Απ: 5x 3y 16 0, 13x 5y 48 0 Άσκηση 1 η Βρείτε την εξίσωση της χορδής της υπερβολής 3 7 : 1 που έχει το σημείο 3, 1 ως μέσο. Απ: Άσκηση 13 η Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 5

26 Μια ευθεία : 4 0 εφάπτεται στην υπερβολή με εστίες 3, 0 3, 0 Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής. Άσκηση 14 η. Απ: Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων ΡΑ, ΡΒ από το σημείο 3, στην υπερβολή : 9 9 και στη συνέχεια υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ΡΑΒ. Απ: x , 8.. Άσκηση 15 η α) Να δείξετε ότι αν η ευθεία :yx εφάπτεται στην υπερβολή a β) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής κύριο άξονα xx 1 : 1 a τότε που εφάπτεται στις ευθείες : 5x 6y 16 0 :13x 10y Απ: x Άσκηση 16 η Από το σημείο 1, 5 φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΡΑ, ΡΑ στην υπερβολή Να βρεθεί η απόσταση d του σημείου Ρ από την χορδή ΑΒ της υπερβολής. Άσκηση 17 η 4y 16 : Απ: d 10 Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων στην υπερβολή : 1 που είναι κάθετες 0 5 στην ευθεία 4x3y7 0. Απ: 3x 4y 10 0, 3x 4y 10 0 Μάρτης 014 Μανώλης Ψαρράς Μαθηματικός Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 6

27 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 7