Κεφ αλαιο 4 Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση µε τα πειραµατικ α αποτελ εσµατα 4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων Οπως αποδε ιχθηκε στην παρ αγραφο 1.5, ηενεργ ος διατοµ η µιας πυρηνικ ης αντ ιδρασης που πραγµατοποιε ιται µ εσω σχηµατισµο υ σ υνθετου πυρ ηνα, δ ινεται, στη θεωρ ια Hauser - Feshbach, απ ο τηγενικ ησχ εση: ff fffi = ßμ 2 1 ff (2i ff + 1)(2J ff +1) X Jß (2JC ß Tff +1) X J;ß e T fi Jß Te Jß (4.1) οπου μ ff ε ιναι το µ ηκος κ υµατος κατ α de Broglie (σχ εση 1.14) του καναλιο υ εισ οδου ff (ff := a + X), i ff η ιδιοστροφορµ η (spin) του βλ ηµατος a, J ff η ιδιοστροφορµ η του στ οχου X, JC ß η ιδιοστροφορµ η και η οµοτιµ ια (ß) της παραγ οµενης διεγερµ ενης κατ αστασης (entry state) του σ υνθετου πυρ ηνα C, Tff Jß ο συντελεστ ης δι ελευσης για το καν αλι εισ οδου ff, Tfi Jß ο συντελεστ ης δι ελευσης του συγκεκριµ ενου καναλιο υ εξ οδου fi (fi := Y + b) στο οπο ιο αποδιεγε ιρεται ο σ υνθετος πυρ ηνας απ οτηδιηγερµ ενη στ αθµη JC. ß Το αθροισµα P e στον παρονοµαστ η της σχ εσης (4.1) δηλ ωνει αθροιση των συντελεστ ων δι ελευσης Te Jß ολων των δυνατ ων καναλι ων εξ οδου e συµπεριλαµ ανοµ ενου κι αυτο υ της εκποµπ ης fl ακτινο ολ ιας (e := C + fl; Y + b; Z + d;:::). 143
144 4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων Στην παραπ ανω σχ εση (4.1) ολ ογος! = 2J ß C +1 (2i ff + 1)(2J ff +1) ; (4.2) που συχν α αναφ ερεται και ως στατιστικ ος παρ αγοντας µπορε ι να ερµηνευθε ι ως ηζυγισµ ενη η µερικ ηπιθαν οτητα να βρεθε ι οσ υνθετος πυρ ηνας C σε µ ια απ ο τις (2J C +1) υποστ αθµες του, το βλ ηµα σε µ ια απ ο τις(2i ff +1) και ο στ οχος X σε µ ια απ οτις(2j ff +1) υποστ αθµες. Η αθροιση ως προς J και ß στη σχ εση (4.1) ε ιναι αναγκα ια, καθ οσον ο σ υνθετος πυρ ηνας µπορε ι για δεδοµ ενη εν εργεια του βλ ηµατος να σχηµατιστε ι σεστ αθµες διαφορετικ ης ιδιοστροφορµ ης J και διαφορετικ ης, επιπλ εον, οµοτιµ ιας ß και η αντ ιδραση να προχωρ ησει µ εσω ολων αυτ ων των καταστ ασεων. Οπως προκ υπτει απ ο τησχ εση (4.1), ηενεργ ος διατοµ η ff fffi εξαρτ αται µ εσω του μ ff απ ο τηνεν εργεια του βλ ηµατος E (στο κ εντρο µ αζας) και τις µ αζες m a και m X του βλ ηµατος και του στ οχου αντ ιστοιχα. Στην περ ιπτωση της παρο υσας εργασ ιας οι εν λ ογω µ αζες ε ιναι γνωστ ες απ ο πειραµατικ ες µετρ ησεις. Στη γενικ η οµως περ ιπτωση, που πρ επει να υπολογ ισει κανε ις ενεργ ες διατοµ ες µε τη θεωρ ια Hauser - Feshbach για αντιδρ ασεις µε εξωτικο υς στ οχους, πυρ ηνες δηλαδ η πολ υ µακρυ α απ την κοιλ αδα σταθερ οτητας, ε ιναι απαρα ιτητο να γ ινει χρ ηση κ αποιου προτ υπου µαζ ων καθ ως οι ατοµικ ες µ αζες των πυρ ηνων αυτ ων δεν ε ιναι π αντα γνωστ ες απ ο µετρ ησεις. Ε ιναι προφαν ες οτι η σχ εση (4.1) αν αγει τον υπολογισµ ο της ενεργο υδιατοµ ης σε πρ ο ληµα υπολογισµο υ των συντελεστ ων δι ελευσης που εµπλ εκονται στην υπ ο µελ ετη αντ ιδραση. ιερευν ωντας τη σχ εση (4.1) παρατηρε ι κανε ις οτι αυτ η απλοποιε ιται σηµαντικ α οταν απ ο ολα τα δυνατ α καν αλια εξ οδου µ ονο αυτ ο της αποδι εγερσης fl ε ιναι δυνατ ο, οταν δηλαδ η a + X! C?! C + fl. Τ οτε προφαν ως, ισχ υει P e T Jß e = T Jß fl και T Jß fi = Tfl Jß, οπ οτε η (4.1) γρ αφεται ως X ff fffi ß Tff Jß ; (4.3) J;ß που σηµα ινει οτι η ενεργ ος διατοµ η εξαρτ αται ουσιαστικ α µ ονο απ ο τον συντελεστ ηδι ελευσης του καναλιο υεισ οδου ff. Στην περ ιπτωση της παρο υσας εργασ ιας, η παραπ ανω συνθ ηκη πληρο υται σε χαµηλ ες εν εργειες δ εσµης οπου τα αντ ιστοιχα καν αλια (p,n) των αντιδρ ασεων που µελετ ηθηκαν δεν ε ιναι ανοικτ α και συγκεκρι- µ ενα οταν η εν εργεια E p ε ιναι µικρ οτερη απ ο 7.27, 6.02, 2.64 και 4.4 MeV για τις αντιδρ ασεις 84 Sr(p,fl) 85 Y, 86 Sr(p,fl) 87 Y, 87 Sr(p,fl) 88 Y και 88 Sr(p,fl) 89 Y αντ ιστοιχα.
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 145 Στην περ ιπτωση που, πλ ην της αποδι εγερσης fl, ε ιναι ανοικτ ο και ενα αλλο καν αλι εξ οδου, π.χ. το καν αλι (p,n) οπ οτε εχουµε p + X! C?! (C + fl; Y + n), τ οτε το πρ ο ληµα ε ιναι πιο σ υνθετο. Στην περ ιπτωση αυτ ηλ ογω της σχ εσης (4.1), θα ισχ υει: X T ff pfl ß TpX Jß fl Jß (4.4) J;ß Tfl Jß + Tn Jß και X T ff pn ß TpX Jß n Jß (4.5) J;ß Tfl Jß + Tn Jß Απ ο τις παραπ ανω σχ εσεις συν αγεται οτι, στον υπολογισµ ο της ενεργο υδιατοµ ης ff pfl, υπεισ ερχεται πλην των συντελεστ ων δι ελευσης T px του καναλιο υ εισ οδου, ο συντελεστ ης δι ελευσης T fl του καναλιο υ εξ οδου µε αποδι εγερση fl αλλ α καιοσυντελεστ ης T n του καναλιο υεξ οδου µε εκποµπ η νετρον ιου. Για την καταν οηση των πυρηνικ ων παραµ ετρων που υπεισ ερχονται στην εκτ ελεση των σχετικ ων θεωρητικ ων υπολογισµ ων θεωρο υµε στη συν εχεια το ενεργειακ οδι αγραµµα που δ ινεται στο σχ ηµα 4.1 για την αντ ιδραση: p + X! C?! C + fl; Y + n Σχ ηµα 4.1: Ενεργειακ ο δι αγραµµα πυρηνικ ης αντ ιδρασης µε σχηµατισµ ο σ υνθετου πυρ ηνα: a + X! C?! (C + fl;y + b), (Απ ο [Har04]). Απ οτη σ υντηξη του βλ ηµατος a µε το στ οχο X, το σ υστηµα κερδ ιζει εν εργεια Q ff =(m a + m X )c 2 στην οπο ια προστ ιθεται η κινητικ ηεν εργεια E a του βλ η-
146 4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων µατος (στο κ εντρο µ αζας) οπ οτε παρ αγεται ο σ υνθετος πυρ ηνας σε µια διηγερµ ενη στ αθµη (στ αθµη εισ οδου, entry state) µε ιδιοστροφορµ η J και οµοτιµ ια ß µε συνολικ α (2J +1) υποστ αθµες. Προφαν ως, ηεν εργεια δι εγερσης U της στ αθµης εισ οδου δ ινεται απ ο τησχ εση U = Q ff + E a (4.6) Αν θεωρ ησουµε οτι η στ αθµη εισ οδου στον παραγ οµενο σ υνθετο πυρ ηνα C εχει πολ υυψηλ ηεν εργεια δι εγερσης και βρ ισκεται ουσιαστικ α στο συνεχ ες, σε µ ια δηλαδ η περιοχ η ενεργει ων δι εγερσης, οπου οι στ αθµες ε ιναι τ οσο πυκν ες, απ εχοντας µεταξ υ τους λ ιγα ev και δεν µπορο υν να διακριθο υν, τ οτε ε ιναι απαρα ιτητο να γ ινουν υποθ εσεις για την ενεργειακ η κατανοµ η των σταθµ ων αυτ ων ωστε να ε ιναι δυνατ ος ο υπολογισµ ος των συντελεστ ων δι ελευσης T fi. Οι εν λ ογω υποθ εσεις αναφ ερονται στη λεγ οµενη πυκν οτητα πυρηνικ ων καταστ ασεων ρ(u; J) η οπο ια εκφρ αζει την ενεργειακ η κατανοµ η των διεγερµ ενων καταστ ασεων µε ιδιοστροφορµ η J στο συνεχ ες φ ασµα των πυρ ηνων. Ετσι, οταν ο σ υνθετος πυρ ηνας C παρ αγεται σε πολ υ υψηλ ες εν εργειες δι εγερσης, τ οτε ο συντελεστ ης δι ελευσης T fi γρ αφεται T Jß fi (E) = wx i=1 Z U Tfi Jß (E) + Tfi Jß E w (E)ρ(E;J)dE ; (4.7) οπου E w ε ιναι η εν εργεια δι εγερσης µ εχρι την οπο ια οι καταστ ασεις ε ιναι διακριτ ες και U ηµ εγιστη εν εργεια δι εγερσης του σ υνθετου πυρ ηνα (σχ ηµα 4.1). Οπως φα ινεται στο σχ ηµα 4.1, ο τελικ ος πυρ ηνας Y µπορε ι και αυτ ος να παραχθε ι σε καταστ ασεις υψηλ ης εν εργειας δι εγερσης στο δικ ο του συνεχ ες. Συνεπ ως στην περ ιπτωση που, οχι µ ονο το (C; fl) καν αλι ε ιναι ανοιχτ ο, αλλ α καιτο (Y; n), τ οτε στους υπολογισµο υς της ενεργο υ διατοµ ης υπεισ ερχεται η πυκν οτητα πυρηνικ ων καταστ ασεων τ οσο του σ υνθετου οσο και του τελικο υ πυρ ηνα. Προφαν ως οι υποθ εσεις που γ ινονται για την πυκν οτητα των πυρηνικ ων καταστ ασεων πρ επει να συνδεθο υν µε το ενεργειακ ο φ ασµα των εµπλεκ οµενων πυρ ηνων, δηλαδ ηµετηδοµ η τους. Απ ο τους συντελεστ ες δι ελευσης, αυτ ος που περιγρ αφει το καν αλι εξ οδου µε εκποµπ η fl ακτινο ολ ιας T fl χρ ηζει ιδια ιτερης περιγραφ ης. Η αποδι εγερση του σ υνθετου πυρ ηνα µε εκποµπ η ηλεκτροµαγνητικ ης ακτινο ολ ιας περιγρ αφεται ως ενας γιγαντια ιος διπολικ ος συντονισµ ος (Giant Dipole Resonance, GDR) [Gre96]. Σ ενα γιγαντια ιο διπολικ ο συντονισµ οοπυρ ηνας αποδιεγε ιρεται µ εσω µεταπτ ωσεων fl κυρ ιως τ υπου Ε1 και Μ1. Στην πρ ωτη περ ιπτωση, οι κατανοµ ες των πρωτον ιων
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 147 και των νετρον ιων ταλαντ ωνονται σχετικ α µεταξ υ τους µε τρ οπο που φα ινεται στο παρακ ατω σχ ηµα 4.2, ωστε το κ εντρο µ αζας τους να παραµ ενει στο ιδιο επ ιπεδο. Στην περ ιπτωση των µεταπτ ωσεων τ υπου Μ1, θεωρε ιται οτι τα πρωτ ονια και τα νετρ ονια αποκτο υν αντ ιθετες ιδιοστροφορµ ες (spin-flip). Οι (πρωτογενε ις) αποδιεγ ερσεις fl που λαµ ανουν χ ωρα µετ ααπ οαντιδρ ασεις σ υλληψης θεωρε ιται οτι γ ινονται κυρ ιως µ εσω ηλεκτρικ ων διπ ολων, κυριαρχο υν δηλαδ η, οι µεταπτ ωσεις fl τ υπου Ε1. πρωτόνια νετρόνια Σχ ηµα 4.2: Συλλογικ η ταλ αντωση πρωτον ιων και νετρον ιων στον Γιγαντ ιαιο ιπολικ ο Συντονισµ ο (GDR) Ο συντελεστ ης δι ελευσης Tfl X1 για αποδι εγερση µ εσω µεταπτ ωσεων fl τ υπου X1 µε εν εργεια " fl, δ ινεται (βλ. π.χ. [Kop90]) απ ο τηγενικ ησχ εση: T X1 fl (" fl )=2ß" 2L+1 fl ffl X1 (" fl )=2ß" 3 fl f X1 fl (" fl ) (4.8) οπου, ffl X1 ε ιναι η λεγ οµενη συν αρτηση ισχ υος ακτινο ολ ιας fl. Προφαν ως, ο υπολογισµ ος των συντελεστ ων Tfl E1 προ ποθ ετει γν ωση των αντ ιστοιχων συναρτ ησεων ισχ υος ffl E1. Στην περ ιπτωση των µεταπτ ωσεων fl τ υπου Ε1, οι τελευτα ιες προσδιορ ιζονται απ οταδιαθ εσιµα πειραµατικ α δεδοµ ενα για τις ενεργ ες διατοµ ες αντιδρ ασεων φωτοδι ασπασης (κυρ ιως αντιδρ ασεις (fl, xpyn)) που εχουν µετρηθε ι εως τ ωρα για την πλειοψηφ ια των σταθερ ων πυρ ηνων του π ινακα των ισοτ οπων [IAEA00]. Στο σχ ηµα 4.3, δ ινεται ενδεικτικ α ο γιγαντια ιος συντονισµ ος που εχει παρατηρηθε ι σε µετρ ησεις της ολικ ης ενεργο υ διατοµ ης των αντιδρ ασεων (fl,n), (fl,pn) και (fl,2n) στο 89 Υ [Ber67]. Η µορφ η τηςλεγ οµενης καµπ υλης δι εγερσης (excitation function) του εν λ ογω σχ ηµατος ε ιναι χαρακτηριστικ η. Ηκαµπ υλη εµφαν ιζει µια φαρδι α κορυφ ηπερ ιτηνεν εργεια E GDR (εν εργεια γιγαντια ιου συντονισµο υ) µε ε υρος GDR (ε υρος γιγαντια ιου συντονισµο υ). Σε πρ ωτη προσ εγγιση µπορε ικανε ις
148 4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων να περιγρ αψει την καµπ υλη δι εγερσης µε µια συν αρτηση Lorentz, οπως φα ινεται στο σχ ηµα 4.3. Σε µια τ ετοια φαινοµενολογικ η περιγραφ η η συν αρτηση ισχ υος ffl E1 συνδ εεται [Kop90] µε τις παραµ ετρους του γιγαντια ιου συντονισµο υ E GDR (σε MeV), GDR (σε MeV), και ff 1 GDR (σε mb) µ εσω της σχ εσης f E1 fl (" fl)=8:68 10 8 (mb 1 MeV 2 ) ff GDR " fl 2 GDR (" 2 fl E 2 GDR )2 + " 2 fl 2 GDR (4.9) απ ο την οπο ια και προσδιορ ιζεται µε αντικατ ασταση των σχετικ ων πειραµατικ ων δεδοµ ενων για E GDR, GDR και ff GDR του υπ ο µελ ετη πυρ ηνα. Οι αντ ιστοιχοι συντελεστ ες δι ελευσης Tfl E1 προκ υπτουν στη συν εχεια µε εφαρµογ η της σχ εσης (4.8). Γ GDR Lorentzian E GDR =16.79(4) MeV Γ GDR = 3.96(6) MeV lowenergy tail E GDR Σχ ηµα 4.3: Ολικ ηενεργ ος διατοµ η ff[(fl;n)+(fl;pn)+(fl;2n)] για το 89 Y (απ ο [Ber67]). Ηεν εργεια E GDR και το ε υρος GDR του γιγαντια ιου συντονισµο υ προσδιορ ιζεται επειτα απ ο προσαρµογ η συν αρτησης τ υπου Lorentz στα πειραµατικ α σηµε ια σε 16.79(4) και 3.96(6) MeV αντ ιστοιχα. Η παραπ ανω παραµετροπο ιηση της συν αρτησης ισχ υος ffl E1 π ασχει στην περιγραφ η του γιγαντια ιου διπολικο υ συντονισµο υ σε χαµηλ ες εν εργειες, οπως µπορε ι ναδιακρ ινει κανε ις και στο σχ ηµα 4.3. Ειδικ ασεεν εργειες µικρ οτερες του κατωφλ ιου των σχετικ ων αντιδρ ασεων (fl,n), τα λιγοστ α πειραµατικ α δεδοµ ενα της 1 ff GDR :=ff(e = E GDR )
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 149 βι λιογραφ ιας (βλ. π.χ. [Kad83]) δεν µπορο υν να παραµετροποιηθο υν µε µια απλ η συν αρτηση Lorentz 2. Για την αντιµετ ωπιση του προ λ ηµατος αυτο υ εχουν προταθε ι δι αφορες τροποποι ησεις της συν αρτησης Lorentz (βλ. π.χ. [Kop90]). Στους υπολογισµο υς των συντελεστ ων Tfl E1 της παρο υσας εργασ ιας χρησιµοποι ηθηκε η τροποποιηµ ενη συν αρτηση Lorentz του Goriely που περιγρ αφεται στην αναφορ α [Gor98b]. Κατ α τηνενλ ογω αναφορ α, ο συντελεστ ης Tfl E1 υπολογ ιζεται απ ο τησχ εση Tfl E1 (" fl)= 8 NZ e 2 (1 + χ) 3 A μhc mc 2 " 4 fl (" fl) (" 2 fl E 2 GDR )2 + " 2 fl GDR (" fl ) (4.10) Στην τροποποιηµ ενη αυτ η Λορεντζιαν ηεµφαν ιζονται πλην των µεγεθ ων N, Z, A, e, c, m της γνωστ ης σηµειογραφ ιας και η σταθερ α χ (χ:=0.2) αλλ ακαιτολεγ οµενο ε υρος απ οσ εσης (" fl ) (damping width) που υπολογ ιζεται απ ο την εκφραση s 1+(2=3)F 0 (" fl )= 1+2F GDR " 2 fl +4ß2 T 2 NUC " fl E GDR (4.11) οπου F και F 0 ε ιναι σταθερ ες (Migdal constants, βλ. [Kad83]) και T NUC ε ιναι η λεγ οµενη πυρηνικ η θερµοκρασ ια που ορ ιζεται ως q T NUC = (B n " fl )=a: (4.12) Στην τελευτα ια σχ εση, B n ε ιναι η εν εργεια σ υνδεσης νετρον ιου και a ηλεγ οµενη παρ αµετρος πυκν οτητας πυρηνικ ων καταστ ασεων του προτ υπου αερ ιου Fermi που εχει εµπειρικ α παραµετροποιηθε ι [Lef78] ως a = A=8, οπου A ο ατοµικ ος αριθµ ος. Ηεισαγωγ η του εµπειρικο υ ε υρους απ οσ εσης (" fl ) στην παραµετροπο ιηση του γιγαντια ιου διπολικο υ συντονισµο υε ιναι απαρα ιτητη για τη σωστ ηπεριγραφ η του συντονισµο υ στις χαµηλ ες εν εργειες. Ηχρ ηση της τροποποιηµ ενης συν αρτησης Lorentz του Goriely [Gor98b] στους θεωρητικο υς υπολογισµο υς της παρο υσας εργασ ιας ε ιναι επι ε ληµ ενη και αναγκα ια: Ε ιναι επι ε ληµ ενη, δι οτι η εν εργεια δι εγερσης των παραγ οµενων σ υνθετων πυρ ηνων των αντιδρ ασεων που µελετ ηθηκαν κυµα ινεται απ ο 7 εως 12 MeV, ε ιναι δηλαδ η στη χαµηλοενεργειακ η ουρ α του γιγαντια ιου συντονισµο υ και αναγκα ια, καθ οσον στις 3 απ ο τις4 αντιδρ ασεις 2 Ογιγαντια ιος διπολικ ος συντονισµ ος εµφαν ιζεται σε εν εργειες E GDR που ποικ ιλουν απ ο ß 23 MeV για το 16 O µ εχρι ß 14 MeV για το 208 Pb. Τα ε υρη GDR που εχουν µετρηθε ι πειραµατικ α κυµα ινονται απ ο 4 εως και 8 MeV [IAEA00].
150 4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων που µελετ ηθηκαν και συγκεκριµ ενα στις αντιδρ ασεις 84 Sr(p,fl) 85 Y, 86 Sr(p,fl) 87 Y και 87 Sr(p,fl) 88 Y οι παραγ ωµενοι πυρ ηνες ε ιναι ασταθε ις και ως εκ το υτου για τους αντ ιστοιχους γιγαντια ιους συντονισµο υς δεν υπ αρχουν πειραµατικ α δεδοµ ενα. Ητροποποιηµ ενη συν αρτηση Lorentz, που προτ αθηκε απ οτονgoriely [Gor98b] επ εφερε σηµαντικ η βελτ ιωση στην αναπαραγωγ η δεδοµ ενων της συν αρτησης ισχ υος ffl E1 που προ εκυψαν απ ο µετρ ησεις ενεργ ων διατοµ ων του γιγαντια ιου διπολικο υ συντονισµο υ. Ηβελτ ιωση ε ιναι χαρακτηριστικ η για την περ ιπτωση του 210 Pb. Συγκεκριµ ενα, οπως φα ινεται στο σχ ηµα 4.4, η απλ η συν αρτηση Lorentz της σχ εσης (4.9) αδυνατε ι ναπεριγρ αψει τα σχετικ α πειραµατικ α δεδοµ ενα των Kadmenskii et al. [Kad83], σε αντ ιθεση µε την τροποιηµ ενη συν αρτηση Lorentz του Goriely [Gor98b], ηοπο ια αναπαρ αγει τα δεδοµ ενα µε ιδια ιτερη επιτυχ ια. Οι συναρτ ησεις ισχ υος Lorentz Τροποπ. Lorentz Πειραµατικα δεδοµένα f γ E1 (Ε) Ε (MeV) Σχ ηµα 4.4: Πειραµατικ α δεδοµ ενα (σταυρο ι) για τη συν αρτηση ισχ υος f E1 (E) οπως fl προ εκυψαν απ ο µετρ ησεις της ενεργο υ διατοµ ης των Kadmenskii et al. [Kad83] στη χα- µηλοενεργειακ η ουρ α του γιγαντια ιου συντονισµο υτουπυρ ηνα 210 Pb. Η σχετικ ηπροσαρµογ η µε την απλ η συν αρτηση Lorentz που δ ινεται απ ο τησχ εση (4.9) παριστ ανεται µε τετµηµ ενη καµπ υλη, εν ω ηαντ ιστοιχη µε την τροποποιηµ ενη συν αρτηση Lorentz (σχ εση (4.10)) του Goriely [Gor98b] µε συνεχ η καµπ υλη. Η αποτυχ ια της πρ ωτης να αναπαρ αγει τα πειραµατικ α δεδοµ ενα ε ιναι εµφαν ης, σε αντ ιθεσηµετηδε υτερη που τα περιγρ αφει µε χαρακτηριστικ ηεπιτυχ ια. των µεταπτ ωσεων fl τ υπου M1 περιγρ αφονται επ ισης απ ο την κλασσικ η κατανοµ η Lorentz της σχ εσης (4.9). Οι τιµ ες των σχετικ ων παραµ ετρων E GDR και GDR δ ινο-
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 151 νται, αντ ιστοιχα, απ ο τις εµπειρικ ες σχ εσεις E GDR =41A 1=3 και GDR =4MeV, εν ωηff GDR κανονικοποιε ιται ως προς την τιµ η f M1 (" fl )=1.58 A 0.47 για εν εργεια " fl = ±7 MeV. Οι εµπειρικ ες αυτ ες σχ εσεις εχουν προκ υψει απ ο συστηµατικ ηαν αλυση ολων των σχετικ ων µερικ ων πλατ ων ακτινο ολ ιας fli που εχουν µετρηθε ι ως τ ωρα. Στις µετρ ησεις αυτ ες τα µερικ α πλ ατη ακτινο ολ ιας προκ υπτουν απ ο πειρ αµατα σ υλληψης νετρον ιων µε διακριτο υς συντονισµο υς, σ υλληψης θερµικ ων νετρον ιων, πειραµ ατων φωτοδι ασπασης η/και φωτοδι εγερσης (βλ. π.χ. [Kop87]). 4.2 Πυρηνικ απρ οτυπα των θεωρητικ ων υπολογισµ ων 4.2.1 Συντελεστ ες δι ελευσης και οπτικ ο δυναµικ ο Ηπιθαν οτητα δι ελευσης εν ος σωµατιδ ιου µ εσα απ οτηνεπιφ ανεια εν ος πυρ ηνα δ ινεται απ ο τον συντελεστ η δι ελευσης T. Οπιοακρι ης τρ οπος υπολογισµο υ του συντελεστ ηδι ελευσης ε ιναι µ εσω εν ος προτ υπου οπτικο υ δυναµικο υ. Το πρ οτυπο αυτ ο αν αγει την επ ιλυση του πολ υπλοκου προ λ ηµατος της αλληλεπ ιδρασης µεταξ υδ υο πυρ ηνων στο πρ ο ληµα της αλληλεπ ιδρασης δ υο σωµατιδ ιων χωρ ις δοµ η µ εσω εν ος δυναµικο υ U. Το δυναµικ οκαλε ιται οπτικ ο λ ογω της οµοι οτητας που παρατηρε ιται αν αµεσα στη σκ εδαση και την απορρ οφηση των νουκλεον ιων απ ο τον πυρ ηνα - στ οχο µε τις αντ ιστοιχες διεργασ ιες του φωτ ος απ ο µ ια αδιαφαν η σφα ιρα. Το οπτικ ο δυναµικ ο U εξαρτ αται εν γ ενει απ ο τηνεν εργεια του κ εντρου µ αζας, τις ιδιοστροφορµ ες των σωµατιδ ιωνκαιτηναπ οσταση r µεταξ υ τωνκ εντρων µαζ ων τους. Επιπλ εον, επειδ η τοοπτικ ο δυναµικ ο (Ο ) θα πρ επει να περιγρ αφει και τις περιπτ ωσεις της µη ελαστικ ης σκ εδασης κατ ατιςοπο ιες απορροφ αται ρο ηαπ οτοκαν αλι ελαστικ ης σκ εδασης, θα πρ επει να ε ιναι µιγαδικ ο δυναµικ ο. Θεωρ ωντας το καν αλι εισ οδου ff = a + A ηεξ ισωση Schrödinger για σκ εδαση απ ο το οπτικ ο δυναµικ ο U γρ αφεται ως [ μh2 2μ ff r 2 + U(rff)]χ(r) =E ff χ(r) (4.13) οπου μ ff η ανηγµ ενη µ αζα στο κ εντρο µ αζας και χ(r) η ακτινικ η κυµατοσυν αρτηση στο καν αλι εισ οδου ff, E ff ηεν εργεια του κ εντρου µ αζας στο καν αλι εισ οδου. Οταν U =0ηλ υση της (4.13) ε ιναι το επ ιπεδο κ υµα χ = exp(ikr). Οταν U 6= 0 τ οτε η λ υση περι εχει επιπλ εον σκεδαζ οµενα κ υµατα των οπο ιων η ασυµπτωτικ η
152 4.2 Πυρηνικ α πρ οτυπα θεωρητικ ων υπολογισµ ων µορφ ηε ιναι χ ff (r) r!1! exp(ikff r) +f ff ( ; ffi) exp(k ffr) (4.14) r οπου r ηαπ οσταση απ ο τοκ εντρο σκ εδασης, kff το κυµατοδι ανυσµα στο καν αλι εισ οδου ff και f ff ( ; ffi) ε ιναι το πλ ατος σκ εδασης που δ ινεται απ ο τησχ εση Z f ff ( ; ffi) = 1 exp(ik 0 ff r 0 )U(r 0 )χ(kff r 0 )dr 0 (4.15) 4ß Κατ α την σκ εδαση των δ υο σωµατιδ ιων, π εραν των ελαστικ ασκεδαζ οµενων κυµ ατων, υπ αρχουν σκεδαζ οµενα κ υµατα για κ αθε καν αλι εξ οδου fi που αντιστοιχε ισε εκπεµπ οµενο σωµατ ιδιο b και τον τελικ οπυρ ηνα B, δηλαδ η γιακ αθε µη ελαστικ ο καν αλι. Η ασυµπτωτικ η µορφ ηαυτ ων των κυµ ατων ε ιναι χ fi (r) r!1! f fi ( ; ffi) exp(ik fir) (4.16) r Αν για απλο υστευση των σχ εσεων θεωρ ησουµε οτι τα σωµατ ιδια δεν εχουν ιδιοστροφορµ ες, τ οτε η ολικ η στροφορµ η ταυτ ιζεται µε την τροχιακ η στροφορµ η `, η οπο ια και διατηρε ιται κατ α την σκ εδαση. Σ αυτ η τηνπερ ιπτωση αν αναπτ υξουµε την κυµατοσυν αρτηση σε µερικ ακ υµατα `, τ οτε οι ακτινικ ες συνιστ ωσες των µερικ ων κυµ ατων θα εχουν τις εξ ης ασυµπτωτικ ες λ υσεις ελαστικ ο καν αλι: u`;ff (r)! u`(r)[( 1)`exp( ik ff r) S`ffff exp(ik ffr)] (4.17) µη ελαστικ οκαν αλι: u`;b (r)! u`(r)s`fffi exp(ik fir) (4.18) Τα στοιχε ια S` αποτελο υν τα λεγ οµενα στοιχε ια του π ινακα σκ εδασης και ικανοποιο υν τη σχ εση X js`fffi j 2 =1 (4.19) Για τον π ινακα σκ εδασης ισχ υει περαιτ ερω: S`fffi = ffi fffi = και 8 < : 1 αν b + B = a + A; ελαστικ οκαν αλι 0 αν b + B 6= a + A; µη ελαστικ οκαν αλι S`fffi = ffi fffi e 2iffi` οταν λαµ ανει χ ωρα µ ονο ελαστικ η σκ εδαση Οι συντελεστ ες δι ελευσης για ενα καν αλι ff δ ινονται συναρτ ησει των στοιχε ιων της µ ητρας σκ εδασης S : X T ff = fi6=ff js 0 fffij 2 =1 js 0 ffffj 2 (4.20)
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 153 Αρα τελικ α ηεπ ιλυση της εξ ισωσης του Schrödinger (4.13) για το συγκεκριµ ενο οπτικ ο δυναµικ ο U οδηγε ιστηνε υρεση των ασυµπτωτικ ων λ υσεων (4.14) και (4.16). Απ οαυτ ες προκ υπτει η µ ητρα σκ εδασης S και στη συν εχεια µ εσω της σχ εσης (4.20) οι συντελεστ ες δι ελευσης. Ο συντελεστ ης δι ελευσης T ff εξαρτ αται, εποµ ενως, απ ο το (συγκεκριµ ενο) οπτικ ο δυναµικ ο U µ εσω του αντ ιστοιχου π ινακα σκ εδασης S. Στην περ ιπτωση που ε ιναι ανοιχτ ο ενα µ ονο καν αλι, π.χ. οταν εχουµε µ ονο ελαστικ ησκ εδαση, η παραπ ανω εξ αρτηση του T απ οτοu ε ιναι πιο εµφαν ης, καθ οσον τ οτε ισχ υει [Fes92]: Z T ff =4k <χ? ff > ( 2μ μh W 2 ) <χ ff >r 2 dr (4.21) Στη σχ εση (4.21), k ε ιναι το σχετικ ο κυµατοδι ανυσµα, χ ff η κυµατοσυν αρτηση του καναλιο υ ff που εχει κανονικοποιηθε ι (< χ ff >) στη µον αδα για r! 1 και W ε ιναι το φανταστικ ο µ ερος του µιγαδικο υοπτικο υ δυναµικο υ U (U = V + iw ). Στην παρο υσα εργασ ια οι σχετικο ι συντελεστ ες δι ελευσης T Jß της εξ ισωσης (4.1) υπολογ ιστηκαν µε τη βο ηθεια της κ. ηµητρ ιου [Dem03] και τον κ ωδικα MOST, ο οπο ιος περιγρ αφεται στην αναφορ α [Gor98a], επιλ υοντας την εξ ισωση Schrödinger για τρ ια διαφορετικ α οπτικ α δυναµικ α, και συγκεκριµ ενα: 1. υναµικ οτωνjeukenne, Lejeune και Mahaux [Jeu77]. 2. υναµικ οτωνbauge, Girod και Delaroche [Bau98, Bau01]. 3. υναµικ οτωνkoning και Delaroche [Κon03]. Οι αρχ ες των παραπ ανω προτ υπων οπτικ ων δυναµικ ων παρουσι αζονται στη συν εχεια. 4.2.2 Πρ οτυπα οπτικο υ δυναµικο υ Σ ολαταπρ οτυπα οπτικο υ δυναµικο υ, ησκ εδαση και η απορρ οφηση των νουκλεον ιων απ ο ενα πυρ ηνα - στ οχο περιγρ αφεται µε τη βο ηθεια εν ος µιγαδικο υ δυναµικο υπου εχει τη γενικ η µορφ η: U(r) =V (r) +iw (r) (4.22) Οπως προαναφ ερθηκε, το πραγµατικ οµ ερος (V (r)) περιγρ αφει τη σκ εδαση (ελαστικ οκαν αλι), εν ωµετοφανταστικ ο (W (r)) περιγρ αφει κανε ις τη µε ιωση της ρο ης ( απορρ οφηση ) των ελαστικ ασκεδαζ οµενων πυρ ηνων - βληµ ατων απ οτοστ οχο, δηλαδ η ολαταανταγωνιστικ α µηελαστικ α καν αλια (ανελαστικ η σκ εδαση, σ υλληψη κλπ).
154 4.2 Πυρηνικ α πρ οτυπα θεωρητικ ων υπολογισµ ων Η µορφ η του οπτικο υ δυναµικο υ (Ο ) προκ υπτει ε ιτε µικροσκοπικ α ε ιτε φαινοµενολογικ α απ ο πρ οτυπα µε αν αλογο χαρακτηρισµ ο. Ετσι στην περ ιπτωση που χρησιµοποιο υµε ενα µικροσκοπικ ο µοντ ελο, υιοθετε ιται καταρχ ας µ ια ρεαλιστικ η αλληλεπ ιδραση νουκλεον ιου - νουκλεον ιου και η µορφ ητ οσο του πραγµατικο υ οσο και του φανταστικο υµ ερους του Ο προκ υπτει συν ηθως απ οτηνεπ ιλυση της εξ ισωσης Bethe - Goldstone (G - matrix) µε την προσεγγιστικ ηµ εθοδο Brueckner - Hartree - Fock. Η µαθηµατικ η αυτ η εργασ ια περιγρ αφεται αναλυτικ α στηναναφορ α [Bru64] και στα ευρ εως διαδεδοµ ενα βι λ ια θεωρητικ ης φυσικ ης [dsf74] και, ιδια ιτερα, στο [Fes92]. Ως εκ το υτου οι σχετικ ες εννοιες και θεωρητικ ες εργασ ιες δεν αναπτ υσσονται στην παρο υσα εργασ ια. Με τον ορο ρεαλιστικ η αλληλεπ ιδραση εννοε ιται ενα ενεργ ο δυναµικ ο που εχει αποδειχθε ιικαν οναπεριγρ αφει ικανοποιητικ ατησκ εδαση νουκλεον ιου - νουκλεον ιου (n-n scattering, p-p scattering, p-n scattering). Μια ιδια ιτερα διαδεδοµ ενη ενεργ ος αλληλεπ ιδραση, που εχει κατ α κ ορο δοκιµαστε ι, ε ιναι το δυναµικ ο του σκληρο υ η µαλακο υπυρ ηνα (hard core και soft core interaction, αντ ιστοιχα) του Reid [Rei72]. Ηενλ ογω αλληλεπ ιδραση ε ιναι µ ια φαινοµενολογικ η περιγραφ ητηςαλληλεπ ιδρασης νουκλεον ιου - νουκλεον ιου, καθ οσον οι φυσικο ι οροι της συν αρτησης, µε την οπο ια αυτ η περιγρ αφεται, εχουν παραµετροποιηθε ι µεβ αση τα σχετικ α πειραµατικ α δεδοµ ενα. Παρ αλληλα µε την φαινοµενολογικ η ενεργ ο αλληλεπ ιδραση νουκλεον ιου - νουκλεον ιου του Reid [Rei72] υπ αρχουν και αλλες οι οπο ιες εχουν προκ υψει απ ο πρ ωτες αρχ ες της πυρηνικ ης φυσικ ης, απ οκ αποια δηλαδ η θεµελι ωδη περιγραφ η της πυρηνικ ης δ υναµης. Στην πυρηνικ η δοµ η, οι δυν αµεις που ε ιναι ιδα ιτερα διαδεδοµ ενες και αποδεκτ ες στην εκτ ελεση θεωρητικ ων υπολογισµ ων ε ιναι οι δυν αµεις του Gogny και του Skyrme. Οι δυν αµεις αυτ ες παρουσι αζονται αναλυτικ α σταβι λ ια [Rin80, Hey99] και [Gre96] και ως εκ το υτου δεν θα αναπτυχθο υν περισσ οτερο. Επιστρ εφοντας ξαν α στο οπτικ ο δυναµικ ο και συγκεκριµ ενα στην περ ιπτωση που αυτ ο προκ υπτει απ ο ενα φαινοµενολογικ οπρ οτυπο, διακρ ινουµε οτι ακολουθε ιται η παρακ ατω διεργασ ια: Κατ αρχ ας υιοθετε ι κανε ις µια κατ αλληλη αναλυτικ η ακτινικ η εκφραση για το οπτικ ο δυναµικ ο, συν ηθως τ υπου Woods-Saxon, της οπο ιας οι φυσικο ι οροι ε ιναι συναρτ ησεις της εν εργειας, του ατοµικο υκαιµαζικο υ αριθµο υκαι αλλων πυρηνικ ων µεγεθ ων. Στην συν εχεια επιλ υει κανε ις την εξ ισωση του Schrödinger για το πρ ο ληµα της σκ εδασης του βλ ηµατος απ ο το συγκεκριµ ενο οπτικ ο δυναµικ οκαι ετσι υπολογ ιζει δι αφορα µεγ εθη, οπως π.χ. η διαφορικ ηενερ-
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 155 γ ος διατοµ η dff=dω, τα οπο ια συγκρ ινονται µε τα αντ ιστοιχα πειραµατικ α δεδο- µ ενα. Ηεργασ ια αυτ η επαναλαµ ανεται µετα αλλοντας τις τιµ ες των παραµ ετρων της αναλυτικ ης εκφρασης του οπτικο υ δυναµικο υ ετσι ωστε οι υπολογισµο ι τελικ α να συγκλ ινουν οσο το δυνατ ο περισσ οτερο στα πειραµατικ α δεδοµ ενα. Στο τ ελος, οι τιµ ες των εν λ ογω παραµ ετρων δ ινονται υπ ο µορφ η πιν ακων µαζ ι µετην αναλυτικ η εκφραση του Ο. Το φαινοµενολογικ ο δυναµικ ο Koning - Delaroche (KD) Σ ενα φαινοµενολογικ ο πρ οτυπο η εµπειρικ η συν αρτηση που περιγρ αφει το Ο εχει τη γενικ η µορφ η U(r;E)=V C (r;e)+u N (r;e)+u SO (r;e) (4.23) οπου r το δι ανυσµα θ εσης και E ηεν εργεια στο κ εντρο µ αζας. V C ε ιναι το δυνα- µικ ο Coulomb αν αµεσα στο προσπ ιπτον σωµατ ιδιο, εφ οσον ε ιναι φορτισµ ενο και τον πυρ ηνα, U N το κεντρικ ο δυναµικ οκαιu SO το δυναµικ ο που οφε ιλεται στην αλληλεπ ιδραση ιδιοστροφορµ ης - τροχιακ ης στροφορµ ης (spin - orbit interaction) µεταξ υβλ ηµατος και στ οχου. Πλην του πρ ωτου ορου (δυναµικ ο Coulomb) της παραπ ανω σχ εσης, οι υπ ολοιποι δ υο οροι εχουν και πραγµατικ ο και φανταστικ ο µ ερος. Στο φαινοµενολογικ ο µοντ ελο των Koning και Delaroche [Κon03], το κεντρικ ο τµ ηµα του Ο εχει τη µορφ η U N (r;e)= [V V (r;e)+i(w V (r;e)+w D (r;e))] (4.24) εν ω τοu SO τη µορφ η U SO (r;e)=v SO (r;e) ~` ~ff + iw SO (r;e) ~` ~ff (4.25) Στη σχ εση (4.24) το πραγµατικ οµ ερος V εχει µ ονο ενα ορο (V V ) εν ωτοφανταστικ ο (W ) αποτελε ιται απ ο δ υο ορους και συγκεκριµ ενα απ ο τοφανταστικ ο δυναµικ ο ογκου W V και το φανταστικ ο δυναµικ ο επιφ ανειας W D. Το τελευτα ιο περιγρ αφει την απορρ οφηση στην επιφ ανεια του πυρ ηνα. Στη σχ εση (4.25), ~` ε ιναι η τροχιακ η στροφορµ η του βλ ηµατος και ~ff οπ ινακας Pauli. Το δυναµικ ο Coulomb V C που εµφαν ιζεται στη σχ εση (4.23) αναφ ερεται στην
156 4.2 Πυρηνικ α πρ οτυπα θεωρητικ ων υπολογισµ ων περ ιπτωση που το βλ ηµα ε ιναι πρωτ ονιο 3. Το V C λαµ ανεται ως το δυναµικ οµιας οµογενο υς φορτισµ ενης σφα ιρας ακτ ινας R C, δηλαδ η δ ινεται απ ο τησχ εση V c (r) = 8 >< >: ψ! Z t Z p e 2 3 r2 ; αν r» R 2R c Rc 2 c (4.26) Z t Z p e 2 ; αν r>r c r οπου Z t και Z p οι ατοµικο ι αριθµο ι του στ οχου και του βλ ηµατος αντ ιστοιχα, e το φορτ ιο του ηλεκτρον ιου και R C ηαπ οσταση απ ο τονπυρ ηνα - στ οχο στην οπο ια το δυναµικ ο Coulomb γ ινεται αισθητ ο και για την οπο ια ισχ υει: R C = r C A 1=3 (4.27) Οι επιµ ερους οροι των σχ εσεων (4.24) και (4.25) πληρο υν τις σχ εσεις: V V (r;e) = V V (E)f (r;r V ;a V ) (4.28) W V (r;e) = W V (E)f (r;r V ;a V ) (4.29) W D (r;e) = 4a D W D (E) d dr f (r;r D;a D ) (4.30) ψ! 2 μh 1 d V SO (r;e) = V SO (E) m ß c r dr f (r;r SO;a SO ) (4.31) ψ! 2 μh 1 d W SO (r;e) = W SO (E) m ß c r dr f (r;r SO;a SO ) (4.32) οπου m ß ε ιναι η µ αζα του πιον ιου και f (r;r i ;a i ) οεκ αστοτε παρ αγοντας δοµ ης που εχει τη µορφ η συν αρτησης Woods - Saxon, δηλαδ η: f (r;r i ;a i )= 1 1+exp(r R i =a i ) (4.33) Στην παραπ ανω σχ εση, R i = r i A 1=3 ε ιναι γεωµετρικ η παρ αµετρος οπου A ε ιναι ο µαζικ ος αριθµ ος του πυρ ηνα και a i οι παρ αµετροι διαχ υσεως. Οι δε ικτες i στη σχ εση (4.33) αναφ ερονται στους αντ ιστοιχους δε ικτες V, D, SO των σχ εσεων (4.28) εως (4.32). Τα β αθη δυναµικ ων V V (E), W V (E), W D (E), V SO (E) και W SO (E) ε ιναι αναλυτικ ες εκφρ ασεις της εν εργειας E στο κ εντρο µ αζας και της εν εργειας Fermi E F του 3 Το δυναµικ οτωνkoning-delaroche αναφ ερεται στο οπτικ ο δυναµικ οαν αµεσα σε εναν πυρ ηναστ οχο και ενα πρωτ ονιο η νετρ ονιο. εν ε ιναι κατ αλληλο για την περιγραφ η οπτικο υ δυναµικο υ οταν το βλ ηµα ε ιναι βαρ υι ον.
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 157 στ οχου. Οι αναλυτικ ες αυτ ες εκφρ ασεις εχουν ως παρακ ατω: V V (E) = fl 1 [1 fl 2 (E E F )+fl 3 (E E F ) 2 fl 4 (E E F ) 3 ] (4.34) (E E F ) 2 W V (E) = w 1 [ (E E F ) 2 w2 2 ] (4.35) (E E F ) 2 W D (E) = d 1 [ ]exp[ d (E E F ) 2 d 2 2 (E E F )] (4.36) 3 V SO (E) = fl so1 [exp[ fl so2 (E E F )]] (4.37) (E E F ) 2 W SO (E) = w so1 [ (E E F ) 2 wso2 2 ] (4.38) Ολες οι παραπ ανω σχ εσεις (4.28) εως (4.38) εφαρµ οζονται τ οσο για την περ ιπτωση νετρον ιων οσο και πρωτον ιων. Ηεν εργεια Fermi για τα νετρ ονια EF n ορ ιζεται απ ο τη σχ εση EF n = 1 2 [S n(z; N) +S n (Z; N + 1)] (4.39) οπου S n (Z; N) ηεν εργεια διαχωρισµο υ νετρον ιου του πυρ ηνα (Z; N). Παρ οµοια, ηεν εργεια Fermi των πρωτον ιων E p F λαµ ανεται ως E p F = 1 2 [S p(z; N) +S p (Z +1;N)] (4.40) οπου S p (Z; N) ε ιναι η αντ ιστοιχη εν εργεια διαχωρισµο υ του πρωτον ιου. Στο πρ οτυπο Ο των Koning και Delaroche οι εν εργειες διαχωρισµο υ S n και S p λαµ ανονται απ ο τους π ινακες µαζ ων των Audi και Wapstra [Aud95]. Οπως διακρ ινει κανε ις, στις παραπ ανω εξισ ωσεις (4.34) εως (4.38) εµφαν ιζονται 14 συνολικ α παρ αµετροι και συγκεκριµ ενα οι: fl 1, fl 2, fl 3, fl 4, w 1, w 2, d 1, d 2, d 3, fl SO1, fl SO2, w SO1, w SO2 και E F. Οι παρ αµετροι αυτο ιυπεισ ερχονται φυσικ ακαι στις σχ εσεις (4.28) εως (4.32) τις οπο ιες οι αντ ιστοιχοι παρ αγοντες δοµ ης f (r;r i ;a i ) (σχ εση (4.33)) φορτ ωνουν µε αλλες 6 παραµ ετρους (r V, a V, r D, a D, r SO, a SO ). Αν λ α ουµε επιπλ εον υπ οψη και τη σταθερ α r C (σχ εση (4.27)) διαπιστ ωνουµε οτι στο Ο των Koning και Delaroche [Κon03] εµφαν ιζονται συνολικ α 21 παρ αµετροι. Απ αυτ ες, µ ονο 7 ε ιναι σταθερ ες (r v, a v, r D, a D, r SO, a SO, r C ). Οι τιµ ες των παραµ ετρων του Ο των Koning και Delaroche [Κon03] για την περ ιπτωση νετρον ιου - βλ ηµατος και πρωτον ιου - βλ ηµατος υπολογ ιστηκαν ξεχωριστ α. Αυτ ες εχουν προκ υψει απ ο προσαρµογ η σε πειραµατικ α δεδοµ ενα, κυρ ιως διαφορικ ων ενεργ ων διατοµ ων αντιδρ ασεων ελαστικ ης σκ εδασης (n,n) σε 69 πυρ ηνες απ οτο 24 Mg µ εχρι το 209 Bi και αντιδρ ασεων (p,p) σε 14 πυρ ηνες απ οτο 27 Al µ εχρι το 209 Βi, για την περιοχ η ενεργει ων απ ο 1 kev εως 200 MeV. Αξ ιζει να ση- µειωθε ιοτι, για την προσαρµογ ηαυτ η ακολουθε ιται η εξ ης γενικ ηδιαδικασ ια: Με
158 4.2 Πυρηνικ α πρ οτυπα θεωρητικ ων υπολογισµ ων ορισµ ενες αρχικ ες τιµ ες για τις παραπ ανω 21 παραµ ετρους επιλ υεται η εξ ισωση Schrödinger για το συγκεκριµ ενο δυναµικ ο. Ετσι υπολογ ιζονται τιµ ες διαφορικ ων ενεργ ων διατοµ ων οι οπο ιες και συγκρ ινονται µε τα αντ ιστοιχα πειραµατικ α δεδοµ ενα. Η παραπ ανω εργασ ια επαναλαµ ανεται µετα αλλοντας τις τιµ ες των παραµ ετρων ετσι ωστε τελικ α ναεπιτευχθε ι ηκαλ υτερη δυνατ η συµφων ια αν α- µεσα στις υπολογισµ ενες διαφορικ ες ενεργ ες διατοµ ες και τις αντ ιστοιχες πειρα- µατικ ες. Με την παραπ ανω διαδικασ ια οι Koning και Delaroche υπολ ογισαν συνολικ α 69+14=83 οπτικ α δυναµικ α για τους πυρ ηνες που µελ ετησαν. Στα 83 αυτ α τοπικ α δυναµικ α, οι τιµ ες των παραπ ανω παραµ ετρων ε ιναι διαφορετικ ες και δ ινονται στην σχετικ η αναφορ α [Κon03] υπ ο µορφ η πιν ακων για την περ ιπτωση νετρον ιου - βλ ηµατος και πρωτον ιου - βλ ηµατος ξεχωριστ α. Με στ οχο την εξαγωγ ηεν ος καθολικο υ (global) οπτικο υ δυναµικο υ, εν ος δηλαδ η δυναµικο υ που θα ε ιναι σε θ εση να περιγρ αφει τη σκ εδαση και σε πυρ ηνες που δεν µελετ ηθηκαν, κυρ ιως λ ογω ελλειψης πειραµατικ ων δεδοµ ενων, οι Koning και Delaroche διερε υνησαν την εξ αρτηση των 21 παραµ ετρων που προαναφ ερθηκαν απ ο τοµαζικ ο αριθµ ο A και το παρ αγοντα ασυµµετρ ιας ff =(N Z)=A. Για το σκοπ ο αυτ ο εγινε προσπ αθεια να αναλυθο υν - αναγραφο υν τ οσο τα πραγµατικ α οσο και τα απορροφητικ α (φανταστικ α) τµ ηµατα του δυναµικο υ τους σε δ υο µ ερη: ενα βαθµωτ ο (isoscalar) και ενα διανυσµατικ ο (isovector) καθ οσον το µεν πρ ωτο οφε ιλεται σε συµµετρικ η (N = Z) πυρηνικ η υλη, το δε δε υτερο προ ερχεται απ οτηνπερ ισσεια νετρον ιων που εκφρ αζεται µ εσω του παρ αγοντα ασυµµετρ ιας ff. Μια τ ετοια αν αλυση ηταν δυνατ η µ ονο για την πραγµατικ η συνιστ ωσα του κεντρικο υ δυναµικο υ V V (r;e). Ηαν αλυση αυτ ηε ιχε ως αποτ ελεσµα τη διατ υπωση 2 διαφορετικ ων Ο, ενα για τα νετρ ονια και ενα για τα πρωτ ονια, στα οπο ια η αναλυτικ η εκφραση για το β αθος του πραγµατικο υ µ ερους του Ο (εξαιρουµ ενου του πραγµατικο υ δυναµικο υ τροχιακ ης στροφορµ ης - σπ ιν V SO (E)) εχει αλλ αξει. Ετσι για την περ ιπτωση των πρωτον ιων προ εκυψε η σχ εση: V V (E) = fl p 1 [1 flp 2 (E Ep f )+flp 3 (E Ep f )2 fl p 4 (E Ep f )3 ] + ~ V C fl p 1 [flp 2 2fl p 3 (E Ep f )+3flp 4 (E Ep f )2 ] (4.41) στην οπο ια V ~ C ε ιναι το λεγ οµενο µ εσο δυναµικ ο Coulomb π ανω στις ακτινικ ες συντεταγµ ενες και δ ινεται απ ο τησχ εση ~V C = 1:73 r C Z (4.42) A 1=3
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 159 Στην τελευτα ια σχ εση η παρ αµετρος r C δεν ε ιναι πλ εον µ ια σταθερ α, οπως στην περ ιπτωση των τοπικ ων οπτικ ων δυναµικ ων, αλλ αεξαρτ αται απ οτοµαζικ ο αριθµ ο A σ υµφωνα µε τη σχ εση r C =1:198 + 0:697A 2=3 +12:994A 5=3 (4.43) Οαντ ιστοιχος παρ αγοντας δοµ ης f (r;r V ;a V ) µε τον οπο ιο πρ επει να συνελιχθε ι τοβ αθος V V (E) της σχ εσης (4.41) εµπερι εχει π αλι τις παραµ ετρους r V και a V (βλ. σχ εση (4.33)), οι οπο ιοι οµως δεν εχουν πλ εον σταθερ η τιµ η, οπως στην περ ιπτωση των τοπικ ων δυναµικ ων, αλλ α ε ιναι αναλυτικ ες συναρτ ησεις του µαζικο υ αριθµο υ A, οπως παρακ ατω: r V = 1:3039 0:4054A 1=3 (4.44) a V = 0:6778 1:487 10 4 A (4.45) Τα υπ ολοιπα β αθη δυναµικο υ W V (E), W D (E), V SO (E), W SO (E), του καθολικο υ Ο των Koning και Delaroche εχουν, οπως φα ινεται στις παρακ ατω σχ εσεις (4.46) εως (4.49), που αναφ ερονται σε βλ ηµα πρωτ ονιο, την ιδια µορφ η : W V (E) = w p (E E p F )2 1 (E E p F )2 (w p (4.46) 2 )2 W D (E) = d p (E E p F )2 1 (E E p F )2 (d p exp dp 3 )2 2 (E Ep F ) (4.47) V SO (E) = flso1exp fl p p so2 (E Ep F ) (4.48) W SO (E) = w p (E E p F )2 so1 (E E p F )2 (w p (4.49) so2 )2 Οι παρ αµετροι fl1, p fl2, p fl3, p fl4, p w1, p w2, p d p 1, d p 2, d p 3, flso1, p flso2, p wso1, p w p so2 και E p f, που υπεισ ερχονται στις παραπ ανω εκφρ ασεις του καθολικο υ οπτικο υ δυναµικο υ ε ιναι, σε αντ ιθεση µε τις αντ ιστοιχες των τοπικ ων Ο, αναλυτικ ες εκφρ ασεις του µαζικο υ αριθµο υ A και του παρ αγοντα ασυµµετρ ιας ff [Κon03]. Οι σχετικο ι παρ αγοντες µορφ ης f (r;r i ;a i ) µε τους οπο ιους πολλαπλασι αζονται οι οροι W V (E), W D (E), V SO (E), W SO (E) γιαναπ αρουµε την ολικ η εκφραση του οπτικο υ δυναµικο υ (βλ. σχ εσεις (4.28) εως (4.32)) εχουν επ ισης την ιδια µορφ η αλλ α οιεµπλεκ οµενες παρ αµετροι r V, a V, r D, a D και r SO δεν ε ιναι πλ εον σταθερ ες αλλ α αναλυτικ ες συναρτ ησεις του µαζικο υ αριθµο υ A. Για τις πρ ωτες δ υο, οι συναρτ ησεις αυτ ες, δ ινονται απ ο τιςσχ εσεις (4.44) και (4.45). Οι υπ ολοιπες εχουν παραµετροποιηθε ι οπως παρακ ατω: r D = 1:3424 0:01585A 1=3 (4.50)
160 4.2 Πυρηνικ α πρ οτυπα θεωρητικ ων υπολογισµ ων a D = 0:5187+5:205 10 4 A (4.51) r SO = 1:1854 0:647A 1=3 (4.52) Η παρ αµετρος a SO συνεχ ιζει να εχει σταθερ η τιµ η και στο καθολικ οο : a SO =0:59 (4.53) Το φαινοµενολογικ ο δυναµικ οτωνkoning και Delaroche δεν στηρ ιζεται σε µ ια ρεαλιστικ η ενεργ ο αλληλεπ ιδραση νουκλεον ιου - νουκλεον ιου, αλλ α εκφρ αζεται µ εσω µιας εµπειρικ ης αναλυτικ ης εκφρασης. Ως εκ το υτου δεν ε ιναι σ ιγουρο αν και σε τι βαθµ ο µπορε ιναπεριγρ αψει πυρ ηνες που δεν εχουν συµπεριληφθε ιστηναρχικ η διαδικασ ια προσαρµογ ης. Οµως, επειδ η ακρι ως ο προσδιορισµ ος των παραµ ετρων του εγινε µε συστηµατικ ηαν αλυση πληθ ωρας πειραµατικ ων δεδοµ ενων ελαστικ ης και ανελαστικ ης σκ εδασης και µπορε ι ετσι να θεωρηθε ιως ενα καθολικ ο (global) δυναµικ ο, αναµ ενεται να ε ιναι κατ αλληλο για να χρησιµοποιηθε ι εκτετα- µ ενα, ακ οµα και στις αγνωστες περιοχ ες του περιοδικο υ π ινακα. Αξ ιζει εντο υτοις να σηµειωθε ιοτι, στην διαδικασ ια προσαρµογ ης, οι Koning και Delaroche ελα- αν υπ οψη τους πειραµατικ α δεδοµ ενα µ ονο για σφαιρικο υς ησχεδ ον σφαιρικο υς πυρ ηνες - στ οχους. Στην παρο υσα εργασ ια το δυναµικ ο Koning - Delaroche χρησιµοποιε ιται για πρ ωτη φορ α για την περιγραφ ητηςσ υλληψης πρωτον ιων απ οπυρ ηνες Sr σε εν εργειες πολ υ πιοκ ατω απ ο τοφρ αγµα Coulomb, σε εν εργειες δηλαδ η πολ υ χαµηλ οτερες απ ο 10 MeV που ηταν η ελ αχιστη εν εργεια στην οπο ια βελτιστοποι ηθηκαν οι παρ αµετροι του Ο των Koning - Delaroche. Το µικροσκοπικ ο δυναµικ ο τωνjeukenne, Lejeune και Mahaux (JLM) Το πρ οτυπο οπτικο υ δυναµικο υ τωνjeukenne, Lejeune και Mahaux ε ιναι ενα µικροσκοπικ ο µοντ ελο: Σ αυτ ο χρησιµοποιε ιται η ρεαλιστικ η ενεργ ος αλληλεπ ιδραση του σκληρο υπυρ ηνα του Reid [Rei72] ηοπο ια και συνελ ισσεται ουσιαστικ α µε την κατανοµ η της πεπερασµ ενης πυρηνικ ης υλης µε τη βο ηθεια της λεγ οµενης προσ εγγισης τοπικ ης πυκν οτητας (Local Density Approximation, LDA). Απ οτησυν ελιξη αυτ η προκ υπτει τελικ α τοβ αθος και η µορφ η του οπτικο υ δυναµικο υ. Στο πρ οτυπο αυτ ο, δεν εµφαν ιζονται ελε υθερες παρ αµετροι που να προσαρµ οζονται απ ο πυρ ηνα σε πυρ ηνα.
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 161 Το οπτικ ο δυναµικ οτωνjeukenne, Lejeune και Mahaux, εφεξ ης δυναµικ ο JLM, γρ αφεται ως αθροισµα 2 ορων και συγκεκριµ ενα εν ος βαθµωτο υ U 0 και εν ος διανυσµατικο υ U 1. Ετσι οπου U JLM = U 0 ± ffu 1 = V 0 ± ffv 1 + i(w 0 ± ffw 1 ) (4.54) ff = ρ n ρ p (4.55) ρ n + ρ p ε ιναι ο παρ αγοντας ασυµµετρ ιας και ρ n, ρ p ε ιναι οι πυκν οτητες φορτ ιου του νετρον ιου και πρωτον ιου αντ ιστοιχα. Στη σχ εση (4.54) το θετικ ο πρ οσηµο αντιστοιχε ι σε νετρ ονιο - βλ ηµα εν ω το αρνητικ οπρ οσηµο σε πρωτ ονιο. Οπως και στην περ ιπτωση του Ο των Koning και Delaroche, οπρ ωτος ορος περιγρ αφει τη συνεισφορ α στο ολικ ο Ο της συµµετρικ ης πυρηνικ ης υλης (N = Z), εν ω οδε υτερος, αυτ η της περ ισσειας νετρον ιων. Καταρχ ας, οι Jeukenne, Lejeune και Mahaux διατυπ ωνουν το πρ ο ληµα για την περ ιπτωση απειρης πυρηνικ ης υλης µε πυκν οτητα φορτ ιου ρ, θεωρο υν δηλαδ ηοτι οστ οχος ε ιναι µη πεπερασµ ενος και οµογεν ης, οπ οτε η πυκν οτητα φορτ ιου του δ ινεται απ ο τησχ εση ρ = 2 3ß 2 k3 F (4.56) οπου k F ε ιναι η ορµ η Fermi. Ετσι οι συνιστ ωσες του δυναµικο υ τους εξαρτ ωνται πλην της εν εργειας E στο κ εντρο µ αζας, απ οτηνπυκν οτητα ρ, οπ οτε για την περ ιπτωση νετρον ιων - βληµ ατων οι επιµ ερους συνιστ ωσες του δυναµικο υ, πραγµατικ ο V n (ρ; E) και φανταστικ ο W n (ρ; E), γρ αφονται ως V n (ρ; E) = V 0 (ρ; E) +V 1 (ρ; E) (4.57) W n (ρ; E) = W 0 (ρ; E) +W 1 (ρ; E) (4.58) Στην περ ιπτωση πρωτον ιων - βληµ ατων επι αλλεται να ληφθε ιυπ οψη το δυναµικ ο Coulomb V C. Για το σκοπ ο αυτ ο ολαταµ ερη του δυναµικο υ, πραγµατικ α V p και φανταστικ α W p, υπολογ ιζονται οχι στην εν εργεια E αλλ α στηνe V C, οπ οτε τα µ ερη αυτ α για την περ ιπτωση των πρωτον ιων γρ αφονται αντ ιστοιχα: V p (ρ; E) = V 0 (ρ; E V C ) V 1 (ρ; E V C ) (4.59) W p (ρ; E) = W 0 (ρ; E V C ) W 1 (ρ; E V C ) (4.60)
162 4.2 Πυρηνικ α πρ οτυπα θεωρητικ ων υπολογισµ ων Τ οσο η πραγµατικ η οσο και η φανταστικ η συνιστ ωσα του Ο εκφρ αζονται µε τη βο ηθεια του λεγ οµενου τελεστ ηµ αζας M, οοπο ιος προκ υπτει απ οτηνεπ ιλυση της εξ ισωσης Bethe-Goldstone µε την προσεγγιστικ η µ εθοδο Brueckner-Hartree- Fock [Bru64], [Fes92]. Στην εν λ ογω εξ ισωση, ως ενεργ ος αλληλεπ ιδραση εµφαν ιζεται αυτ η του σκληρο υ πυρ ηνα του Reid [Rei72]. Ο τελεστ ης M εξαρτ αται απ ο την εν εργεια του κ εντρου µ αζας E και την ορµ η του συστ ηµατος στ οχος - βλ ηµα για δεδοµ ενη πυκν οτητα στ οχου ρ, δηλαδ η M = M ρ (k ρ (E);E). Ετσι, οι Jeukenne, Lejeune και Mahaux γρ αφουν το πραγµατικ ο V 0 και το φανταστικ ο µ ερος W 0 της βαθµωτ ης συνιστ ωσας U 0 του Ο µε τη βο ηθεια των ιδιοτιµ ων του τελεστ η µ αζας, οπως παρακ ατω: V 0 (ρ; E) = Re[M ρ (k ρ (E);E)] (4.61) W 0 (ρ; E) = " Im[M ρ (k ρ (E);E)] 1 @ @" Re[M ρ(k ρ (E);") # "=E (4.62) Αντ ιστοιχα, το πραγµατικ ο V 1 και το φανταστικ οµ ερος W 1 της διανυσµατικ ης συνιστ ωσας U 1 του Ο γρ αφονται ως: V 1 (ρ; E) = " 1+ m k W 1 (ρ; E) = Im[N(ρ; E)] Re[N(ρ; E)] @ @k Re[M ρ(k; E)] " 1+ m k # k=k ρ(e) @ @k Re[M ρ(k; E)] # (4.63) k=k ρ(e) (4.64) οπου m ε ιναι η µ αζα του νουκλεον ιου και N(ρ; E) βοηθητικ η µιγαδικ η συν αρτηση του τελεστ ηµ αζας, η εκφραση της οπο ιας δ ινεται σε προγεν εστερη αναφορ α [Jeu77a]. Οι Jeukenne, Lejeune και Mahaux υπολ ογισαν αριθµητικ ατοο για10 εν εργειες µαταξ υ 10 και 160 MeV και για ορµ ες Fermi k F = 1:4; 1:35; 1:25; 1:10; 1:00; 0:88 και 0:50 fm 1 οπ οτε και προ εκυψαν οι ποσ οτητες V 0 (ρ; E), W 0 (ρ; E), V 1 (ρ; E) W 1 (ρ; E) για τις αντ ιστοιχες πυκν οτητες ρ και εν εργειες E. Χρησιµοποι ωντας τις τιµ ες των παραπ ανω ποσοτ ητων παραµετροπο ιησαν τις ποσ οτητες V 0 (ρ; E), W 0 (ρ; E), το πραγµατικ ο µ ερος Re[N(ρ; E)] και το φανταστικ ο Im[N(ρ; E)] της βοηθητικ ης συν αρτησης N(ρ; E), για την απλο υστευση περαιτ ερω υπολογισµ ων, οπως παρακ ατω: V 0 (ρ; E) = 3X i;j=1 και a ij ρ i E j 1 (4.65)
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 163 W 0 (ρ; E) = Re[N(ρ; E)] = Im[N(ρ; E)] = " 1+ 3X # 1 D 4X (E ffl F ) 2 i;j=1 d ij ρ i E j 1 : (4.66) b ij ρ i E j 1 (4.67) i;j=1» 1 1 1+ E ffl F 4X i;j=1 f ij ρ i E j 1 (4.68) h εν ωτηνποσ οτητα 1+ m k (4.64) ως " @ @k Re[M ρ(k; E)]i, που υπεισ ερχεται στις σχ εσεις (4.63) και 1+ m @ k @k Re[M ρ(k; E)] =1 c ij ρ i E j 1 (4.69) i;j=1 Ηεν εργεια Fermi ffl F που εµφαν ιζεται στις παραπ ανω σχ εσεις υπολογ ιστηκε επ ισης µε την προσεγγιστικ ηµ εθοδο Brueckner-Hartree-Fock και παραµετροποι ηθηκε συναρτ ησει της πυκν οτητας φορτ ιου ρ µε τη σχ εση # 3X ffl F (ρ) =ρ( 510:8 + 3222ρ 6250ρ 2 ) (4.70) Οι τιµ ες των συντελεστ ων a ij, b ij, c ij, d ij και f ij που υπεισ ερχονται στις σχ εσεις (4.65) εως και (4.69) δ ινονται υπ ο µορφ η πιν ακων στην σχετικ η αναφορ α [Jeu77], εν ω για τη σταθερ α D δ ινεται η τιµ η D=600 MeV 2. Το οπτικ ο δυναµικ ο που περιγρ αφηκε εως τ ωρα κατασκευ αστηκε θεωρ ωντας οτι στη θ εση του στ οχου εχει κανε ις απειρη πυρηνικ η υλη µε σταθερ η πυκν οτητα φορτ ιου ρ. Ηεικ ονα αυτ η προφαν ως δεν ε ιναι κατ αλληλη να περιγρ αψει το οπτικ ο δυναµικ ο αν αµεσα σε ενα βλ ηµα και ενα πυρ ηνα - στ οχο, καθ οσον, ο τελευτα ιος εχει πεπερασµ ενες διαστ ασεις και εµφαν ιζει µια ακτινικ η µη σταθερ η κατανοµ η υλης ρ(r). Για το λ ογο αυτ ο οιjeukenne, Lejeune και Mahaux εφ ηρµοσαν την λεγ οµενη προσ εγγιση τοπικ ης πυκν οτητας (Local Density Approximation, LDA) σ υµφωνα µε την οπο ια για δεδοµ ενη εν εργεια E το µιγαδικ ο δυναµικ ο σεαπ οσταση r απ ο τοκ εντρο του πεπερασµ ενου (f) στ οχου, οπου η κατανοµ η των νουκλεον ιων του ε ιναι ρ(r), υπολογ ιζεται απ ο τοαντ ιστοιχο δυναµικ ο απειρης υλης (inf) της οπο ιας η πυκν οτητα ρ πα ιρνει την τιµ η ρ(r) στην ιδια εν εργεια. Θεωρο υµε δηλαδ ηοτιισχ υει: η σε πιο συµπαγ η µορφ η V f E (r) +iw f E (r) =V inf (ρ(r);e)+iw inf (ρ(r);e) (4.71) U f (r;e)=u inf (ρ(r);e) (4.72)
164 4.2 Πυρηνικ α πρ οτυπα θεωρητικ ων υπολογισµ ων Πρακτικ α, µε την προσ εγγιση αυτ η, υπολογ ιζει κανε ις το Ο σε απ οσταση r απ οτο κ εντρο του στ οχου, δηλαδ ητιςποσ οτητες V 0 (ρ; E), W 0 (ρ; E), V 1 (ρ; E) και W 1 (ρ; E), µε τη βο ηθεια των σχ εσεων (4.65) εως (4.69) για δεδοµ ενη εν εργεια E του συστ η- µατος βλ ηµα - στ οχος στο κ εντρο µ αζας, θ ετοντας στις εν λ ογω σχ εσεις οπου ρ την τιµ η ρ(r). Στην περ ιπτωση του προτ υπου Ο των Jeukenne, Lejeune και Mahaux, για την κατανοµ η ρ(r), υιοθετ ηθηκε η ρεαλιστικ η εµπειρικ η συν αρτηση του Negele [Neg70]: ρ (k) ρ (k) 0 (r) = ; (4.73) 1+exp[(r C ρ )=a ρ ] στην οπο ια a ρ = 0:54 fm (4.74) C ρ = (0:978 + 0:0206A 1=3 )A 1=3 fm (4.75) ρ (k) 3k 0 = 4ßCρ 3(1 + ß2 a 2 ρ =C2 ρ ); k = Z η N (4.76) Μετ α την παραµετροπο ιηση του οπτικο υ τους δυναµικο υ και την εφαρµογ η της LDA, οι Jeukenne, Lejeune και Mahaux υπολ ογισαν τα λεγ οµενα ολοκληρ ωµατα ογκου αν α νουκλε ονιο J V =A και J W =A για το πραγµατικ ο V και το φανταστικ ο τµ ηµα W του Ο αντ ιστοιχα. Τα εν λ ογω ολοκληρ ωµατα ορ ιζονται απ ο τιςσχ εσεις R J V V (r)d 3 A = r A (4.77) και R J W W (r)d 3 A = r A (4.78) Τα αποτελ εσµατα τους σ υγκριναν µε τα αντ ιστοιχα των φαινοµενολογικ ων προτ υπων της συλλογ ης δεδοµ ενων των Perey και Perey [Per74] για την περ ιπτωση των πυρ ηνων 12 C, 16 O, 27 Al, 40 Ca, 58 Ni, 120 Sn και 208 Pb και για εν εργειες µ εχρι 160 MeV και διαπ ιστωσαν εξαιρετικ η συµφων ια. Για την περ ιπτωση οµως των µ εσων τετραγωνικ ων ακτ ινων <RV 2 >1=2 και <RW 2 >1=2, που ορ ιζονται απ ο τιςσχ εσεις # 1=2 <RV 2 >1=2 = (4.79) "R V (r)r 2 d 3 r R V (r)d3 r και <R 2 W >1=2 = "R # W (r)r 2 d 3 1=2 r R (4.80) W (r)d3 r διαπιστ ωθηκε οτι οι τιµ ες που προ εκυψαν απ ο τους υπολογισµο υς µε το µικροσκοπικ οπρ οτυπο των Jeukenne, Lejeune και Mahaux ηταν συστηµατικ αµικρ οτερες
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 165 απ ο τιςαντ ιστοιχες των φαινοµενολογικ ων δυναµικ ων της β ασης δεδοµ ενων των Perey και Perey [Per74]. Την παραπ ανω ασυµφων ια απ εδωσαν οι Jeukenne, Lejeune και Mahaux στο γεγον ος οτι στην αρχικ η τους εφαρµογ η τηςlda θε ωρησαν οτι η εµ ελεια της ενεργο υ αλληλεπ ιδρασης νουκλεον ιου - νουκλεον ιου περιγρ αφεται απ ο µ ια συν αρτηση δ ελτα (zero-range interaction). Για το λ ογο αυτ ο πρ οτειναν αντ ι της συν αρτησης δ ελτα, τη χρ ηση µιας συν αρτησης Gauss, οπ οτε η σχ εση (4.72) αναγρ αφεται ως ~U f (r;e)=(t p Z ß) 3 U f (r 0 ;E) exp j~r ~r 0 j 2 =t 2 d 3 r 0 (4.81) µε t=1.2 fm το ε υρος της εν λ ογω συν αρτησης Gauss και U f (r 0 ;E) ητιµ η τουο που προκ υπτει απ ο την εφαρµογ η της απλ ης LDA (zero-range interaction) µε τη σχ εση (4.72). Εφαρµ οζοντας την βελτιωµ ενη αυτ η προσ εγγιση τοπικ ης πυκν οτητας (Improved Local Density Approximation, ILDA), υπολ ογισαν εκ ν εου τις προαναφερθε ισες µ εσες τετραγωνικ ες ακτ ινες και διαπ ιστωσαν σηµαντικ ακαλ υτερη συµφων ια µε τις αντ ιστοιχες φαινοµενολογικ ες τιµ ες των Perey και Perey [Per74]. Απ ο την παραπ ανω περιγραφ η του µοντ ελου των Jeukenne, Lejeune και Mahaux γ ινεται σαφ ης ο αµιγ ης µικροσκοπικ ος χαρακτ ηρας του. Στην παρο υσα εργασ ια το µοντ ελο αυτ ο χρησιµοποιε ιται για πρ ωτη φορ α για την περιγραφ ηαντιδρ ασεων σ υλληψης πρωτον ιων σε εν εργειες πολ υ χαµηλ οτερες της ελ αχιστης εν εργειας (10 MeV) π ανω απ ο την οπο ια εχει δοκιµαστε ι η αξιοπιστ ια του οπτικο υ τους δυναµικο υ. Το ηµι-µικροσκοπικ ο πρ οτυπο Ο των Bauge, Girod και Delaroche (BGD) Στην περ ιπτωση του δυναµικο υτωνbauge, Girod και Delaroche [Bau98], [Bau01] εχουν γ ινει προσπ αθειες τροποπο ιησης και ανα αθµισης του µικροσκοπικο υ δυνα- µικο υτωνjeukenne, Lejeune και Mahaux: Καταρχ ην, το ν εο οπτικ ο δυναµικ ο εχει συγκριθε ι µε σηµαντικ αµεγαλ υτερο αριθµ ο δεδοµ ενων ελαστικ ης και ανελαστικ ης σκ εδασης για εν εργειες µ εχρι 200 MeV στην περιοχ ηµαζ ων 40»A»209. Επιπλ εον, στο εν λ ογω δυναµικ ο εχει συµπεριληφθε ι και συνιστ ωσα για την περιγραφ η της αλληλεπ ιδρασης τροχιακ ης στροφορµ ης - ιδιοστροφορµ ης (spin-orbit interaction). Ετσι, το οπτικ ο δυναµικ οτωνbauge, Girod και Delaroche εχει τη µορφ η U(r;E) = V [V 0 (r;e)+ V 1 ff(r)v 1 (r;e)] + i W [W 0 (r;e)+ W 1 ff(r)w 1 (r;e)] + μh2 2m 2 c 2 ~` ~ff[ VSO V SO + i WSO W SO (r)] (4.82)
166 4.2 Πυρηνικ α πρ οτυπα θεωρητικ ων υπολογισµ ων οπου V, V 1, W, W 1, VSO και WSO ε ιναι συντελεστ ες κανονικοπο ιησης που εξαρτ ωνται απ οτηνεν εργεια E στο κ εντρο µ αζας, ff(r) ε ιναι ο παρ αγοντας ασυµ- µετρ ιας ορισµ ενος εδ ω ωςff(r) = [ρ n (r) ρ p (r)]=ρ(r) και V i (r;e) και W i (r;e) (i =0; 1, SO) ε ιναι τα βαθµωτ α και διανυσµατικ α τµ ηµατα του κεντρικο υ δυναµικο υ που υπολογ ιζονται απ οτην απειρη πυρηνικ η υλη µ εσω της βελτιωµ ενης προσ εγγισης τοπικ ης πυκν οτητας (ILDA), οπως στην περ ιπτωση των Jeukenne, Lejeune και Mahaux. Απ ο την παραπ ανω µορφ η του Ο διακρ ινει κανε ις, οτι, στο µοντ ελο των Bauge, Girod και Delaroche, το κεντρικ ο δυναµικ ο εχει ουσιαστικ α επανακανονικοποιηθε ι µ εσω των συντελεστ ων V, V 1, W, W 1, οι οπο ιοι εξαρτ ωνται απ ο τηνεν εργεια του καναλιο υεισ οδου. Οι τιµ ες των εν λ ογω συντελεστ ων οπως και αυτ ων των παραµ ετρων VSO και WSO εχουν προσδιοριστε ιαπ ο τους Bauge, Girod και Delaroche µε προσαρµογ η στα πειραµατικ α δεδοµ ενα µε τρ οπο αν αλογο της περ ιπτωσης του φαινοµενολογικο υ δυναµικο υ τωνkoning και Delaroche. Κατ α τους Bauge, Girod και Delaroche, η παραπ ανω προσαρµογ η εισ αγει α ε- αι οτητες στους συντελεστ ες V, V 1, W, W 1 που προκ υπτουν α) απ ο τηθε ωρηση των σφαλµ ατων των πειραµατικ ων δεδοµ ενων και β) απ οτοε υρος της β ασης των δεδοµ ενων στα οπο ια εγινε αυτ η. Σηµει ωνεται οτι η τελευτα ια περιε ιχε µ ονο σφαιρικο υς ησχεδ ον σφαιρικο υς πυρ ηνες. Στην εργασ ια τους οι Bauge, Girod και Delaroche αναφ ερουν οτι το µεγαλ υτερο µ ερος των δεδοµ ενων που ελα αν υπ οψη τους για την προσαρµογ η των παραπ ανω συντελεστ ων βρ ισκονται στην ενεργειακ ηπεριοχ ηαπ ο 20 εως 50 MeV. Για τις εν εργειες αυτ ες οι τιµ ες των V, V 1, W, W 1 εχουν ελεγχθε ισεβ αθοςκαιοιαντ ιστοιχες α ε αι οτητες κυµα ινονται στο 1.5%, 10%, 10% και 10%. Οι α ε αι οτητες αυτ ες µπορο υν κ αλλιστα, κατ α τους Bauge, Girod και Delaroche, να ε ιναι διπλ ασιες για εν εργειες εκτ ος της περιοχ ης που προαναφ ερθηκε. Οι συντελεστ ες V, V 1, W, W 1 εχουν τελικ α παραµετροποιηθε ι ως εξ ης: V (E) = 0:951 + 0:0008 ln(1000e) +0:00018[ln(1000E)] 2 (4.83) W (E) = [1:24 [1 + e [(E 4:5)=2:9] ] 1 ] [1 + 0:06e [(E 14)=3:7]2 ][1 0:09e [(E 80)=78]2 ]» E 80 1+ (E 80) 400 (4.84) V 1 (E) = 1:5 0:65[1 + e (E 1:3)=3 ] 1 (4.85)
Κεφ αλαιο 4. Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση ::: 167 W 1 (E) = [1:1 +0:44[1 + (e (E 40)=50:9 ) 4 ] 1 ] [1 0:065e [(E 40)=13]2 ] [1 0:083e [(E 200)=80]2 ] (4.86) VSO (E) = 130 exp( 0:013E) +40 (4.87) WSO (E) = 0:2(E 20) (4.88) Στις παραπ ανω σχ εσεις E ε ιναι η εν εργεια του βλ ηµατος σε MeV και (x) ησυν αρτηση αλµατος του Heaviside. Λ ογω της προσαρµογ ης στα πειραµατικ α δεδοµ ενα που προαναφ ερθηκε, το µοντ ελο των Bauge, Girod και Delaroche δεν θεωρε ιται ως αµιγ ως µικροσκοπικ ο αλλ α ηµι-µικροσκοπικ ο. Εντο υτοις, το πρ οτυπο αυτ ο, οπως και εκε ινο των Jeukenne, Lejeune και Mahaux εχει προσδιοριστε ιαπ οβασικ ες αρχ ες της µικροσκοπικ ης θεωρ ιας πολλ ων σωµατιδ ιων. Για το λ ογο αυτ ο καιταδ υο αυτ α πρ οτυπα θεωρο υνται πιο ικαν αναπεριγρ αψουν τη σκ εδαση και τις αντιδρ ασεις πυρ ηνων που βρ ισκονται στην πειραµατικ α απροσπ ελαστη περιοχ η του περιοδικο υπ ινακα. Για το σκοπ ο αυτ ο απαιτε ιται πρ οσθετος ελεγχος των δυναµικ ων αυτ ων που µπορε ι να γ ινει µε συστηµατικ ες συγκρ ισεις µε πειραµατικ α δεδοµ ενα για αντιδρ ασεις και πυρ ηνες που δεν ε ιχαν συµπεριληφθε ι στιςαρχικ ες εργασ ιες [Jeu77, Bau01]. Στην εργασ ια αυτ η γιαπρ ωτη φορ α ελ εγχουµε την απ οδοση του µοντ ελου των Bauge, Girod και Delaroche στον υπολογισµ οενεργ ων διατοµ ων σ υλληψης πρωτον ιων απ ο ισ οτοπα του Sr. 4.2.3 Πρ οτυπα πυκνοτ ητων πυρηνικ ων καταστ ασεων Ηπυκν οτητα πυρηνικ ων καταστ ασεων περιγρ αφει την κατανοµ η των πυρηνικ ων σταθµ ων του σ υνθετου πυρ ηνα στην περιοχ η του συνεχο υς, δηλαδ η στην ενεργειακ η περιοχ η οπου οι στ αθµες αλληλεπικαλ υπτονται και σχηµατ ιζουν συνεχ η κατανοµ η. Απ ο τησχ εση (4.7) γ ινεται σαφ ες οτι στους θεωρητικο υς υπολογισµο υς Hauser-Feshbach ε ιναι απαρα ιτητη η γν ωση της πυκν οτητας ρ των πυρηνικ ων καταστ ασεων. Αυτ η λαµ ανεται απ ο σχετικ α πρ οτυπα, τα οπο ια, στην παρο υσα εργασ ια, ηταν τα εξ ης δ υο: 1. Το πρ οτυπο των Thielemann, Arnould και Truran, [Thi86] και 2. Το πρ οτυπο των Demetriou και Goriely,[Dem01b]. Το µεν πρ ωτο ε ιναι φαινοµενολογικ ο και στηρ ιζεται στο πρ οτυπο αερ ιου Fermi,