Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα

Transcript

1 Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό ) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι, Αριστοτέλειο Παν. Θ/νίκης, 18 Νοεμβρίου 2011

2 β-διάσπαση Σήμερα Βιβλίο C&G, Κεφ. 4, παρ Κεφ. 12, παρ Σημειώσεις Πυρηνικής, Κεφ. 5, παρ. 5.2, Χαρακτηριστικά πυρήνων πέρα από το μέγεθος και τη μάζα: σπιν (spin), ομοτιμία (parity), μαγνητική ροπή, ηλεκτρική τετραπολική ροπή Βιβλίο C&G, Κεφ. 2, παρ. 2, Κεφ. 5, παρ Σημειώσεις Πυρηνικής, Κεφ. 1, σελ. 4-5 (μαγνητική ροπή) Ιστοσελίδα: Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 2

3 Χαρακτηριστικά ενός πυρήνα Α Ζ Χ Ήδη έχουμε δεί: 1) Το μέγεθός του: 2) Τη μάζα του: V A R=1.1fm A 1 /3 M= m p m n B 3) Σχετικά με το αν είναι σταθερός ή όχι: Το μέσο χρόνο ζωής του: τ = 1/λ, όπου λ = σταθερά διάσπασης πληθυσμός Ν μετά από χρόνο t: N t =N 0 e λt ενεργότητα Α (=αριθμός διασπάσεων ανά μονάδα χρόνου) μετά από χρόνο t : A t = dn d t = λn t = λn 0 e λt Άλλα χακτηριστικά να τον περιγράψουμε (όσο υπάρχει, φυσικά); Ας δούμε λίγο ένα άλλο σύστημα δέσμιων σωματιδίων για να κάνουμε αναλογίες: το άτομο Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 3

4 Ας δούμε λίγο ένα πρότυπο δέσμιου συστήματος τα άτομα Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ. Κ. Κορδάς Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 4

5 Άτομο: ηλεκτρόνιο δέσμιο κβάντωση στροφορμής Αν έχουμε κάποιο ηλεκτρόνιο σε ατομική τροχιά, και σκεφτούμε το ηλεκτρόνιο ως κύμα με: λ= h p το κύμα αυτό πρέπει να είναι στάσιμο μέσα στα όρια του ατόμου (δηλαδή, στο άτομο να χωράνε 1 λ ή 2 λ ή 3 λ, κλπ του κύματος): Η στροφορμή είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του ħ μπορεί να έχει μόνο συγκεκριμένες τιμές (= είναι κβαντισμένη) Συνθήκη κβάντωσης του Bohr Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 5

6 Άτομο: ηλεκτρόνιο δέσμιο κβάντωση στροφορμής κβάντωση ενέργειας Στροφορμ ή l= r x p=rp=n ħ F=m u2 r = Z e2 r 2 Σταθερά λεπτής υφής a= p 2 m r = Z r= e2 r 2 e 2 ħ /m c = 1 m c e2 =a ħ c Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 6 ħ 2 m Z e 2 n2 r= ħ c e 2 =α ħ c, α= 1 137, m c2 =0.511 MeV a Z m c 2 Ενέργεια ηλεκτρονίου (μάζας m, φορτίου -e) αν ο πυρήνας (μάζας Μ, φορτίου +Ζe) ήταν σημειακός και ακίνητος: E= 1 2 m u2 Z e e r = 1 2 Όπου χρησιμοποιήσαμε: Z e 2 = Z 2 1 r 2 a2 m c 2 1 n E 2 = Z ev 1 n 2 Σημείωση: Αν ο πυρήνας (M) ΔΕΝ έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από το περιστρεφόμενο σωματίδιο (m), τότε ΔΕΝ μπορούμε να τον θεωρήσουμε ακίνητο. Τότε, στις παραπάνω εξισώσεις πρέπει να χρησιμοποιούμε την ανηγμένη μάζα (μ) του συστήματος αντί για το m (όπου 1/μ = 1/m + 1/M) n2 Φανταστικό! Η ενέργεια κβαντισμένη

7 Άτομο υδρογόνου: κβαντισμένη ενέργεια Μηδέν ενέργεια σύνδεσης σημαίνει ελεύθερο ηλεκτρόνιο Ενέργεια σύνδεσης (ev) Κύριος κβαντικός αριθμός: n=1,2,3,... Αυτάαα... μέχρι εδώ μας πάει η ημικλασσική προσέγγιση του πράγματος. Για την πλήρη περιγραφή, χρειαζόμαστε την Κβαντομηχανική. Επόμενα: Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 7

8 Το σωματίδιο ως κύμα - τι κύμα; De Broglie: E=h f E =ħ ω ω= E ħ p= h λ p=ħ k k= p ħ Ένα κύμα μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα επίπεδων κυμάτων σαν κι αυτό: ψ x,t =e i kx ωt i px Et / ħ =e ψ t = ie ħ ψ i ħ t ψ=e ψ ψ x = ip ħ ψ i ħ x ψ= p ψ Τελεστής ενέργειας = μια πράξη πάνω στην κυματοσυνάρτηση ψ, που δίνει πάλι την ψ, αλλά πολλαπλασιασμένη με την ενέργεια Ε. Η Ε είναι μια ιδιοτιμή του τελεστή ενέργειας, και η ψ είναι μια ιδιοσυνάρτηση του τελεστή της ενέργειας. Τελεστής ορμής Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 8

9 Kυματική εξίσωση Schroedinger Schroedinger: ψάχνει κυματική εξίσωση όπου τα επίπεδα κύματα είναι λύση, οπότε και και το άθροισμά τους είναι λύση, και επίσης η εξίσωση να ικανοποιεί: Όπου: Ε ψ= p2 2m ψ i ħ t Ε= p2 2m ψ= ħ2 2m 2 ψ όπου p 2 = p x 2 p y 2 p z 2 ψ 2 = πυκνότητα πιθανότητας = πιθανότητα ανά μονάδα όγκου να βρούμε το σωματίδιο σε μιά περιοχή του χώρου Για να βρούμε την ενέργεια Ε ενός συστήματος λύνουμε: E= p2 2m 2 2 x 2 2 y 2 2 z 2 V r Ε ψ= ħ2 2m 2 ψ V r ψ 2 ψ 2m ħ Εξίσωση Schroedinger. την εφαρμόζουμε σε οποιαδήποτε συνάρτηση ψ E V r ψ=0 Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 9

10 Άτομο υδρογόνου κβαντομηχανικά (1) Η εξίσωση Schroedinger 2 ψ 2m ħ E V r ψ=0 με το δυναμικό Coulomb: V r =V r = q 1 q 2 r =e e = e2 r r και ψ r =R r Y θ, φ,και y=r R r γίνεται: 2 r y 2m 2 ħ E V l r y=0 Οπότε έχουμε να λύσουμε την πιό πάνω μονοδιάστατη εξίσωση του Schroedinger, όπου το ενεργό δυναμικό έιναι ίσο με το άθροισμα του Coulomb κι ενός όρου λόγω στροφορμής V l r = e2 r ħ 2 l l 1 2 m e r 2 Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 10

11 Άτομο υδρογόνου κβαντομηχανικά (2) Λύση της εξίσωσης Schroedinger 2 ψ 2m ħ E V r ψ=0 με το δυναμικό Coulomb: V r =V r = q 1 q 2 r =e e = e2 r r και Δίνει: ψ r =R r Y θ, φ κβάντωση της ενέργειας ίδια με την κατά Bohr: E= 1 2 a2 m c 2 1 n 2 κβάντωση της στροφορμής: L= r x p L= l l 1 ħ, όπου: l=0,1,...,n 1 κβάντωση προβολής της στον άξονα z: L z =m l ħ, όπου: m l = l,..., 0,...l Ε, L, L z διατηρούνται, άρα οι αριθμοί n, l, m l χαρακτηρίζουν την κατάσταση του συστήματος είναι καλοί κβαντικοί αριθμοί Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 11

12 Κβάντωση στροφορμής Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 12

13 Υδρογόνο: Ακτινικές ιδιοσυναρτήσεις R n l (r) Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 13

14 Yδρογόνο: Γωνιακές ιδιοσυναρτήσεις Υ(θ,φ) Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 14

15 Ενεργειακό διάγραμμα υδρογόνου Διαφορετικές καταστάσεις {n,l} με ίδια ενέργεια: εκφυλισμένες καταστάσεις Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 15

16 Ενεργειακές στάθμες υδρογόνου σε μαγνητικό πεδίο Β κατά τον άξονα z Ενέργεια λόγω αλληλεπίδρασης του ηλεκτρονίου (της τροχιακής μαγνητικής ροπής του, μ) με το μαγνητικό πεδίο Β: U= μ B μ = q 2 m e c L= e 2 m e c L μ= e 2 m e c ħ l l 1 Μαγνητόνη του Bohr, μ Β : μ Β e ħ 2 m e c μ= μ B l l 1 μ z = μ B m l U=m l μ B Β Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 16

17 Μαγνητική ροπή λόγω ιδιοστροφορμής (spin) Στην προηγούμενη σελίδα είδαμε τη μαγνητική ροπή που έχει το ηλεκτρόνιο λόγω περιστροφής γύρω από τον πυρήνα (λόγω τροχιακής στροφορμής, l ). Το ηλεκτρόνιο έχει όμως και μια εσωτερική στροφορμή, μια ιδιοστροφορμή (= spin = σπίν) ανεξάρτητα από το αν κινείται ή όχι. Το σπίν είναι μια ιδιότητα του ηλεκτρονίου, όπως το φορτίο που έχει μ Β S= s s 1 ħ, όπου: s=1/2 S z =m s ħ, όπου: m s = 1/2, 1/2 Λόγω του σπίν, το υδρογόνο έχει μια μαγνητική ροπή μ s : e ħ 2 m e c μ s =g e q 2m e c S=g e μ s = g e μ B s s 1 e 2 m e c S S= g e μ B ħ μ s, z = g e μ B m s Το ηλεκτρόνιο είναι στοιχειώδες g e =2 U s = μ s B U s =±μ B Β Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 17

18 Eνέργεια: εξάρτηση και από τροχιακή στροφορμή Η ενέργεια εξαρτάται κι από την τροχιακή στροφορμή, L (orbital angular momentum): L= l l 1 ħ, όπου l=0,1,..., n 1 Ενέργεια σύνδεσης (ev) Υδρογόνο n=4 n=3 n=2 n=1 Κβαντικός αριθμός τροχιακής στροφορμής Συμβολισμός καταστάσεων: ns, np, nd, nf,... Π. χ,2p: n=2,l=1 s:l=0 ; p :l=1 ; d :l=2 ; f :l=3,... Στο υδρογόνο, οι ενεργειακές καταστάσεις με ίδιο n, αλλά διαφορρετική τροχιακή στροφορμή l έιναι διαφορετικές, αν και πολύ κοντά. Σε άλλα άτομα είναι πολύ πιό διακριτές όμως. Π.χ., Na Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 18

19 Eνέργεια: εξάρτηση και από τροχιακή στροφορμή Η ενέργεια εξαρτάται κι από την τροχιακή στροφορμή L= l l 1 ħ, όπου l=0,1,..., n 1 Συμβολισμός καταστάσεων: ns, np, nd, nf,... Π. χ,2p: n=2,l=1 s:l=0 ; p :l=1 ; d :l=2 ; f :l=3,... Νάτριο : Ενέργεια σύνδεσης για Na (ev) Ενεργειακές στάθμες με n=3, l=0 (s) και l=1 (p) έχουν ~2 ev διαφορά (κίτρινη γραμμή Na στο εργαστήριο ατομικής) Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 19

20 Eνέργεια: εξάρτηση και από σπίν Η ενέργεια όμως εξαρτάται κι από το σπίν του ηλεκτρονίου Κάθε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, στροφορμής κ' σπιν στο άτομο χαρακτηρίζεται από 4 κβαντικούς αριθμούς {n, l, m l, m s } Ολική στροφορμή ατόμου: άθροισμα τροχιακής στροφορμής και σπίν J= L S, j=l±1/2 Διπλή κίτρινη γραμμή του Νατρίου (θυμάστε στο εργαστήριο ατομικής;) Αποτέλεσμα της σύζευξης σπίντροχιάς (Spin-orbit coupling = L S coupling): σύζευξη του σπιν του ηλεκτρονίου με το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί το πρωτόνιο (poy to θεωρούμε σαν περιστρεφόμενο γύρω από το ηλεκτρόνιο, όταν βρίσκόμαστε πάνω στο ηλεκτρόνιο) Συμβολισμός καταστάσεων: ns J, np J, nd J, nf J,... Π. χ,2p 1 /2 : n=2,l=1, j=1/2 Ενέργεια σύνδεσης για Na (ev) Νάτριο : Ενεργειακές στάθμες με n=3, l=0 (s) και l=1 (p) έχουν ~2 ev διαφορά (κίτρινη γραμμή Na στο εργαστήριο ατομικής) Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 20

21 Ακόμα ένας κβαντικός αριθμός: Ομοτιμία (parity) Είδαμε ότι κάθε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, στροφορμής και σπιν στο άτομο χαρακτηρίζεται από 4 κβαντικούς αριθμούς {n, l, m l, m s }. Ο τρόπος που συμπεριφέρεται η αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση σε αναστροφή του χώρου (που είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής του τελεστή της ομοτιμίας/partiy, P, πάνω της) μπορεί να ορίσει κι άλλον έναν κβαντικό αριθμό: την ομοτιμία ή parity P r = r P ψ r =ψ r =ψ r :άρτιασυνάρτιση Parity= 1 P ψ r =ψ r = ψ r :περιττήσυνάρτιση Parity= 1 Κι έτσι γράφουμε το σπίν και την ομοτιμία ως J P π.χ.,κατάσταση: 3 2 Σημείωση: για τις σφαιρικές συναρτήσεις του υδρογόνου (σελ 14): r r : P Y θ, φ =Y π θ, π φ = 1 l Y θ,φ, οπότε: Parity= 1 l Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 21

22 Αντίστοιχοι κβαντικοί αριθμοί ορίζονται και στο δέσμιο σύστημα που μας απασχολεί τους πυρήνες Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ. Κ. Κορδάς Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 22

23 Spin πυρήνα, J, και μαγνητική ροπή Το ολικό τροχιακό σπίν των νουκλεονίων + το άθροισμα των σπιν τους. J πυρήνα= νουκλεόνια L νουκλεόνια S Κάθε πρωτόνιο έχει σπιν {+1/2, -1/2} όπως και τα νετρόνια. Κι έτσι έχει μαγνητική ροπή: μ p =g p q 2 m p c e J =g p 2 m p c J J=g p μ N ħ μ N e ħ 2 m p c μ p =g p μ N j j 1 μ p, z =g p μ N m j U p = g p μ N m j B μ p 2.79 μ N όχι στοιχειώδη Πυρηνική μαγνητόνη ~ 2000 μικρότερη της μαγνητόνης του μ n 1.91 μ Bohr N m j πάιρνει 2j+1 τιμές τόσες επι μέρους στάθμες Παλλόμενο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο με συνχότητα ω αν: ħω = μβ/j προκαλεί μεταπτώσεις μεταξύ των σταθμών: Πυρηνικός Συντονισμός Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 23

24 Spin πυρήνα, J Το ολικό τροχιακό σπίν των νουκλεονίων + το άθροισμα των σπιν τους. J πυρήνα= νουκλεόνια L νουκλεόνια S To ολικό σπίν άρτιων-άρτιων πυρήνων έχει βρεθεί ότι έιναι 0 ισχυρό ζευγάρωμα των προς σπιν προς άθροισμα 0 το ασύζευκτο νουκλεόνιο καθορίζει το σπίν του πυρήνα Oι πυρήνες έχουν μαγνητικές ροπές ~ μ N Μικρό σε σχέση με τον αριθμό νουκλεονίων Μικρό σε σχέση με μαγνητόνη Bohr μάλλον όχι ηλεκτρόνια στους πυρήνες Α.Π.Θ - 18 Νοεμβ Κ. Κορδάς - Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι - Μάθημα 6β: Χαρακτηρηστικά πυρήνων 24