ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

Transcript

1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος Για χρήση των ϕοιτητών του Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστηµίου Αθηνών Να µην αναπαραχθεί από τρίτους για εµπορικούς λόγους

2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 2/ 53 Περιεχόµενα 5ης ενότητας Γενική Θεώρηση

3 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 3/ 53 Κίνηση σε δυναµικό -

4 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 4/ 53 Γενική Θεώρηση Κλασική κίνηση Η Χαµιλτωνιανή για κίνηση σε δυναµικό V( r) H clas = 1 2 µ p 2 + V( r) Η ορµή αναλύεται σε παράλληλη και κάθετη συνιστώσα ως προς το άνυσµα κίνησης

5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 5/ 53 Γενική Θεώρηση H cl = 1 2 µ ( p r 2 + ) L 2 + V( r) r 2 Για κεντρικό δυναµικό : V( r) = V(r) = { H cl, L i } = 0 = { H cl, L 2 } = 0 Η τροχιακή στροφορµή διατηρείται L L L L = σταθɛϱα Η κίνηση γίνεται σε επίπεδο κάθετο στην τροχιακή στροφορµή.

9 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 6/ 53 Γενική Θεώρηση

10 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 7/ 53 Γενική Θεώρηση Αν το δυναµικό ( σύστηµα ) είναι συµµετρικό σε περιστροφή γύρω από έναν άξονα n n n { H Hcl, n L } = 0 ιατηρείται η προβολή της τροχιακής στροφορµής στον άξονα n n n

11 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 8/ 53 Γενική Θεώρηση Κβαντική κίνηση Το κβαντικό ανάλογο της κλασικής ακτινικής ορµής p r = p r/r είναι ο Ερµιτιανός τελεστής ˆp r 1 ( ˆp ˆr + ˆr ) ˆp 2 r r Μπορεί να αποδειχθεί ( άσκηση! ) ότι σε σφαιρικές συντεταγµένες παίρνει την µορφή ( ˆp r = i r + 1 ) r Ενώ το τετράγωνο αυτού έυκολα ϐρίσκεται ότι έχει την ακόλουθη µορφή ( ˆp r 2 = 2 2 r + 2 ) ( ) 1 = r r r r r 2 Η δεύτερη γραφή είναι ισοδύναµη µε την πρώτη ( αποδείξτε το! ) Εποµένως το τετράγωνο του τελεστή της ορµής όπως έχει δοθεί στο προηγούµενο κεφάλαιο ( σύγκρινε µε την έκφραση της σελίδας 114 ) είναι ˆp 2 = ˆp r 2 ˆL 2 + r 2

14 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 9/ 53 Γενική Θεώρηση Η Κβαντική Χαµιλτωνιανή είναι Ĥ = 1 2 µ ˆp 2 + V(ˆr) = 2 2 µ 2 + V( r) και σύµφωνα µε τα προηγούµενα µπορεί να τεθεί στην µορφή = Ĥ = 1 2 µ ( ˆL ) ˆp 2 2 r + + V( r) r 2 Παρατηρούµε ότι η Κβαντική Χαµιλτωνιανή µπορεί να γραφεί σε µορφή ανάλογη της κλασικής Χαµιλτωνιανής της σελίδας 129!

15 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 9/ 53 Γενική Θεώρηση Η Κβαντική Χαµιλτωνιανή είναι Ĥ = 1 2 µ ˆp 2 + V(ˆr) = 2 2 µ 2 + V( r) και σύµφωνα µε τα προηγούµενα µπορεί να τεθεί στην µορφή = Ĥ = 1 2 µ ( ˆL ) ˆp 2 2 r + + V( r) r 2 Παρατηρούµε ότι η Κβαντική Χαµιλτωνιανή µπορεί να γραφεί σε µορφή ανάλογη της κλασικής Χαµιλτωνιανής της σελίδας 129!

16 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 10/ 53 Γενική Θεώρηση Για κεντρικό δυναµικό η Χαµιλτωνιανή µετατίθεται µε την στροφορµή [ ] Ĥ, ˆL k = 0, για k = x, y, z Οι τελεστές Ĥ, ˆL 2 και µόνο µία συνιστώσα, έστω η ˆL z, µετατίθενται [ ] Ĥ, ˆL 2 = [ ] [ ] Ĥ, ˆL z = ˆL 2, ˆL z = 0 = οι τελεστές Ĥ, ˆL 2, ˆL z έχουν κοινές ιδιοσυναρτήσεις ψ E l m ( r ) = R ( r ) Y l m (θ, φ) Οι καταστάσεις αυτές έχουν καθορισµένη ενέργεια E και καθορισµένη στροφορµή που χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθµούς l, m! Το µέτρο της τροχιακής στροφορµής είναι l(l + 1) και η προβολή της στον άξονα - z ίση µε m

20 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 11/ 53 Γενική Θεώρηση Από την εξίσωση ιδιοτιµών της ενέργειας Ĥ ψ = E ψ = Η ακτινική εξίσωση Schrödinger ( 2 R + 2r ) 2 µ R ( ) 2 l (l + 1) + + V(r) 2 µ r R = E R 2 η οποία για την συνάρτηση u(r) r R(r) ( όπως έχει διατυπωθεί και στην σελίδα 115 ) 2 2 µ u + ( ) 2 l (l + 1) + V(r) 2 µ r u = E u 2

21 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 12/ 53 Γενική Θεώρηση Φυγοκεντρικό υναµικό Στην ακτινική εξίσωση Schrödinger εκτός του πραγµατικού δυναµικού V(r) συνεισφέρει και ο φυγοκεντρικός όρος 2 l (l + 1) 2 µ r 2 Απωστικό δυναµικό ( θετικό ), αυξάνει όταν το σωµατίδιο πλησιάζει το κέντρο τη δύναµης, δηλαδή το σηµείο r = 0, και είναι τόσο µεγαλύτερο όσο µεγαλύτερη είναι η τροχιακή τροφορµή του σωµατιδίου! Το ολικό δυναµικό U(r) = 2 l (l + 1) + V(r) 2 µ r 2 ονοµάζεται και ενεργό δυναµικό.

22 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 13/ 53 Γενική Θεώρηση Ακτινική πιθανότητα Η φυσική σηµασία της u(r) είναι αυτή του πλάτους ακτινικής πιθανότητας u(r) 2 d r = P ( r, r + d r ) P ( r, r + d r ) = Πιθανότητα να βρεθεί το σωµατίδιο σε σφαιρικό φλοιό µε ακτίνες r και r + d r. Ο τελεστής της ακτινικής ορµής ˆp r είναι αυτοσυζυγής, ˆp r u(0) = 0 = ˆp r. Από αυτό προκύπτει Το πλάτος της ακτινικής πιθανότητας µηδενίζεται στην αρχή r = 0.

23 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 14/ 53 Γενική Θεώρηση Μονοδιάστατο ανάλογο της ακτινικής εξίσωσης 2 2 µ u + U(r) u = E u Με την αντιστοιχία r = x u(r) = ψ(x) Το πρόβληµα γίνεται µαθηµατικά ισοδύναµο µε κίνηση σε µονοδιάστατο δυναµικό U (x) όταν x > µ ψ + U (x) ψ = E ψ

24 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 15/ 53 Γενική Θεώρηση Η συνθήκη u(0) = 0 αντιστοιχεί στην ψ(0) = 0 Αυτό εξασφαλίζεται όταν το δυναµικό είναι απειρό για x < 0.

25 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 16/ 53 Γενική Θεώρηση Εκφυλισµός του ενεργειακού φάσµατος Η ακτινική εξίσωση δεν εξαρτάται από την τρίτη συνιστώσα της τροχιακής στροφορµής. Εξαρτάται µόνο από την ενέργεια και τον κβαντικό αριθµό της ολικής στροφορµής l Το ακτινικό µέρος εξαρτάται από την ενέργεια και τον κβαντικό αριθµό της ολικής τροχιακής στροφορµής l R(r) = R E l (r) Για την ίδια ενέργεια και την ίδια ολική τροχιακή στροφορµή υπάρχουν 2l + 1 ανεξάρτητες καταστάσεις που αντιστοιχούν στις τιµές L z = m όπου m = l, l + 1,...l Eκϕυλισµoς 2 l + 1

26 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 17/ 53 Γενική Θεώρηση Ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E, στροφορµής l και L z στροφορµής ίση µε m συνιστώσας της τροχιακής ψ(r, θ, φ) = R E l (r) Y l m (θ, φ) Οποιοσδήποτε γραµµικός συνδιασµός αυτών χαρακτηρίζει κατάσταση µε ενέργεια E, στροφορµή l αλλά δεν είναι ιδιοσυνάρτηση του L z! ψ(r, θ, φ) = R E l (r) m c m Y l m (θ, φ) Η πιθανότητα να µετρηθεί τρίτη συνιστώσα m είναι P m = c m 2 m cm 2 Με αυτούς τους γραµµικούς συνδιασµούς µπορεί κανείς να κατασκευάσει καταστάσεις µε ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, π.χ καταστάσεις µε ενέργεια E τροχιακή στροφορµή l = 1 που είναι ιδιοκαταστάσεις των συνιστωσών L x η L y

29 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 18/ 53 Γενική Θεώρηση Ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E και στροφορµής µε l = 1 και L z = 0 ψ(r, θ, φ) = R E 1(r) Y 1 0(θ, φ)

30 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 19/ 53 Γενική Θεώρηση Ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E και στροφορµής µε l = 1 και L x = 0 ψ(r, θ, φ) = R Y E 1(r) 1 1(θ, φ) Y 1 1(θ, φ) 2

31 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 20/ 53 Γενική Θεώρηση Ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E και στροφορµής µε l = 1 και L y = 0 ψ(r, θ, φ) = R Y E 1(r) 1 1(θ, φ) + Y 1 1(θ, φ) 2

32 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 21/ 53 Γενική Θεώρηση Εκφυλισµός και συµµετρία

33 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 22/ 53 Γενική Θεώρηση Εκφυλισµός και συµµετρία περιστροφών

34 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 23/ 53 Γενική Θεώρηση Εκφυλισµός µε µεγαλύτερη συµµετρία

35 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 24/ 53 Γενική Θεώρηση Μεγαλύτερη συµµετρία Περισσότερες διατηρούµενες ποσότητες Μεγαλύτερος εκφυλισµός Το άτοµο του H 2 έχει µεγαλύτερο εκφυλισµό από τον αναµενόµενο από την περιστροφική συµµετρία του! Αυτό σηµαίνει ότι η συµµετρία του συστήµατος είναι µεγαλύτερη της συµµετρίας περιστροφής και εποµένως αναµένει κανείς ότι εκτός της τροχιακης του στροφορµής και άλλες ποσότητες διατηρούνται!

36 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 24/ 53 Γενική Θεώρηση Μεγαλύτερη συµµετρία Περισσότερες διατηρούµενες ποσότητες Μεγαλύτερος εκφυλισµός Το άτοµο του H 2 έχει µεγαλύτερο εκφυλισµό από τον αναµενόµενο από την περιστροφική συµµετρία του! Αυτό σηµαίνει ότι η συµµετρία του συστήµατος είναι µεγαλύτερη της συµµετρίας περιστροφής και εποµένως αναµένει κανείς ότι εκτός της τροχιακης του στροφορµής και άλλες ποσότητες διατηρούνται!

37 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 25/ 53 Υδρογονοειδή άτοµα - Ατοµο του Υδρογόνου

38 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 26/ 53 Το δυναµικό εξαρτάται από την σχετική απόσταση : Ψ( r N, r e) = Φ ( r CM) ψ( r ) Η ολική ενέργεια : E tot = E CM + E E η ενέργεια δέσµευσης του ηλεκτρονίου.

39 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 27/ 53 Για άτοµο Υδρογονοειδούς 2 µ ( R E l + 2 ( R 2 E l r ) + l (l + 1) Z ) e2 R 2 µ r 2 E l r 2 = E R E l µ είναι η ανηγµένη µάζα 1 µ = 1 + m e 1 M πυϱηνα Το ενεργό δυναµικό του προβλήµατος είναι U(r) = 2 l (l + 1) Z e 2 2 µ r 2 r που µηδενίζεται στο σηµείο r 0 = 2 l (l + 1) µ e 2 2 Z

40 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 28/ 53

41 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 29/ 53 Για r < r 0 υπερισχύει ο ϕυγοκεντρικός όρος και το δυναµικό είναι απωστικό, εµποδίζοντας το ηλεκτρόνιο να προσεγγίσει τον πυρήνα για r > r 0 Η τιµή του r 0 κυριαρχεί ο όρος Coulomb και εποµένως το δυναµικό είναι ελκτικό. είναι ανάλογη της σταθεράς µήκους a 0 2 µ e 2 2 m e e 2 που καθορίζει την ατοµική κλίµακα. Η ανηγµένη µάζα είναι περίπου ίση µε την µάζα του ηλεκτρονίου και η σταθερά a 0 είναι πολύ κοντά στην ακτίνα Bohr µε τιµή περίπου cm. Το ελάχιστο του ενεργού δυναµικού είναι στο σηµείο r min = 2 r 0 µε τιµή ελαχίστου U min = Z 2 l (l + 1) µ e 4 Z 2 = 13, l (l + 1) ev Το ελάχιστο είναι για µηδενική στροφορµή!

46 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 30/ 53 Η συνάρτηση u E l = r R E l (r) ικανοποιεί την εξίσωση 2 2 µ u E l + U(r) u E l = E u E l Το ενεργό δυναµικό έχει αρνητικό ελάχιστο και µηδενίζεται όταν r +. Οι δέσµιες ενέργειες, αν υπάρχουν, ϑα είναι στο διάστηµα U min E 0 άρα ϑα είναι της τάξης των ολίγων ev όταν l 0.

47 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 31/ 53 Απλοποίηση της ακτινικής εξίσωσης Η ακτινική εξίσωση απλουστεύεται αν ορίσουµε την αδιάστατη µεταβλητή ρ = k r Η σταθερά k, µε µονάδες αντιστρόφου µήκους, επιλέγεται ως k = ( ) 8 µ E 1/2 2 Η ακτινική εξίσωση γίνεται ( d 2 u(ρ) l (l + 1) + + λ d ρ 2 ρ 2 ρ 1 ) u = 0 4 όπου u(ρ) είναι η συνάρτηση u E l (r) µε την αντικατάσταση r = ρ/k και ( µ c 2 λ Z α 2 E ) 1/2

48 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 32/ 53 α είναι η σταθερά της λεπτής υφής, α e 2 /( c) = 1 137, 059 Η ενέργεια ως συνάρτηση της παραµέτρου λ E = Z 2 α 2 µ c 2 λ 2 2 = 13, 6 Z 2 λ 2 ev Η επίλυση της ακτινικής εξίσωσης προσδιορίζει τις τιµές της παραµέτρου λ για τις οποίες υπάρχουν δέσµιες ενέργειες και εποµένως και τις αντίστοιχες τιµές της ενέργειας.

52 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 33/ 53 Ασυµπτωτικές λύσεις Για την επίλυση της ακτινικής εξίσωσης ϑα αναζητήσουµε πρώτα την συµπεριφορά του ακτινικού µέρους για µικρές και για µεγάλες τιµές του ρ. Για µικρές τιµές της ρ ο ϕυγοκεντρικός όρος l (l + 1)/ρ 2 λ/ρ, 1/4. Οι ανεξάρτητες λύσεις για µικρά ρ κυριαρχεί έναντι των u(ρ) ρ l+1, ρ l, ρ << 1 Μόνο η πρώτη είναι συµβατή µε την απαίτηση του µηδενισµού της u(0). Για µεγάλες τιµές του ρ ο όρος 1/4 κυριαρχεί έναντι των άλλων δύο. Οι λύσεις σε αυτήν την περιοχή είναι u(ρ) exp ( ρ/2), exp (+ρ/2), ρ >> 1 Μόνο αυτή µε τον αρνητικό εκθέτη µηδενίζεται για r + όπως απαιτείται για δέσµια κατάσταση.

53 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 34/ 53 Η ασυµπτωτική συµπεριφορά υποδεικνύει να γράψουµε την u ως u = ρ l+1 e ρ 2 H(ρ) Η H(ρ) πρέπει να είναι µη µηδενική όταν ρ = 0, έτσι ώστε η u να συµπεριφέρεται ως ρ l+1 για µικρές τιµές του ρ, Η H(ρ) για µεγάλες τιµές του ρ ϑα πρέπει να συµπεριφέρεται έτσι ώστε να εξασφαλίζεται ο µηδενισµός της u για ρ +. Θέτωντας αυτήν στην.ε. εξίσωση του u προκύπτει ( H 2 (l + 1) + ρ 1 ) H + λ l 1 H = 0 ρ η οποία επιλύεται εύκολα αν η H αναπτυχθεί σε δυναµοσειρά!

54 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 35/ 53 Επίλυση της εξίσωσης - Ενεργειακό φάσµα H(ρ) = α k ρ k k=0 Ο συντελεστής α 0 ϑα πρέπει να είναι µη µηδενικός γιατί H(0) 0. Από την.ε. προσδιορίζεται η ακόλουθη σχέση µεταξύ των συντελεστών k + l + 1 λ α k+1 = α k (k + 1) (k l) Για µεγάλους ακεραίους k η αναδροµική σχέση γίνεται α k+1 = αk k όπως συµβαίνει στους συντελεστές του e ρ. Αρα η H συµπεριφέρεται ως H e ρ u = ρ l+1 e ρ/2 H(ρ) απειρίζεται για ρ = +! και η ΑΝ ΣΥΝΕΒΑΙΝΕ ΓΙΑ ΚΑΘΕ λ ΕΝ ΘΑ ΥΠΗΡΧΑΝ Υ ΡΟΓΟΝΟΕΙ Η ΑΤΟΜΑ!

58 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 36/ 53 Αν όµως η σταθερά λ έχει τιµή λ = l n r όπου n r ένας ακέραιος και ϑετικός αριθµός, n r = 0, 1, 2,, τότε όλοι οι συντελεστές α k µε δείκτες k n r + 1 µηδενίζονται. Τότε η συνάρτηση H(ρ) είναι πολυώνυµο ϐαθµού n r και δεν αυξάνει εκθετικά! Εποµένως = Στην περίπτωση αυτή η u(ρ) µηδενίζεται για ρ = + όπως απαιτείται για δέσµια κατάσταση! Εποµένως µόνο για ακέραιες τιµές της λ = n υπάρχουν δέσµιες καταστάσεις, όπου n l n r Η ενέργεια παίρνει τιµές E n = Z 2 α 2 µ c 2 n 2 2, n = 1, 2, 3,... Ο n καλείται κύριος κβαντικός αριθµός. Ο n r που χαρακτηρίζει τον ϐαθµό του πολυωνύµου H ονοµάζεται ακτινικός κβαντικός αριθµός.

59 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 36/ 53 Αν όµως η σταθερά λ έχει τιµή λ = l n r όπου n r ένας ακέραιος και ϑετικός αριθµός, n r = 0, 1, 2,, τότε όλοι οι συντελεστές α k µε δείκτες k n r + 1 µηδενίζονται. Τότε η συνάρτηση H(ρ) είναι πολυώνυµο ϐαθµού n r και δεν αυξάνει εκθετικά! Εποµένως = Στην περίπτωση αυτή η u(ρ) µηδενίζεται για ρ = + όπως απαιτείται για δέσµια κατάσταση! Εποµένως µόνο για ακέραιες τιµές της λ = n υπάρχουν δέσµιες καταστάσεις, όπου n l n r Η ενέργεια παίρνει τιµές E n = Z 2 α 2 µ c 2 n 2 2, n = 1, 2, 3,... Ο n καλείται κύριος κβαντικός αριθµός. Ο n r που χαρακτηρίζει τον ϐαθµό του πολυωνύµου H ονοµάζεται ακτινικός κβαντικός αριθµός.

60 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 37/ 53 Για δεδοµένη ενέργεια En E n το άθροισµα l + n r είναι πάντα n 1 l n 1 n r n 1 n 2 n 3 0 Σε κάθε τιµή του l αντιστοιχουν 2 l + 1 τιµές της τρίτης συνιστώσας της τροχιακής στροφορµής, m = l, l + 1,... l 1, l. Αριθµός καταστάσεων για δεδοµένη ενέργεια n 1 ( 2 l + 1 ) = n 2 l = 0 Για κάθε ενέργεια υπάρχουν n 2 διαφορετικές καταστάσεις. Ο ϐαθµός του εκφυλισµού των ατόµων των Υδρογονοειδών είναι µεγαλύτερος από αυτόν που αναµένεται για ένα κεντρικό δυναµικό!

63 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 38/ 53 Ατοµο του Υδρογόνου, Z = 1 n l n r Αρ. καταστάσεων E n ev = ev = ev = ev s = sharp p = principal d = diffuse f = fundamental E n

66 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 41/ 53 Οι κυµατικές συναρτήσεις των Υδρογονοειδών ατόµων Το ακτινικό µέρος έχει την γενική µορφή R(ρ) = ρ l e ρ 2 H(ρ) και εξαρτάται από τους κβαντικούς αριθµούς n και l. Η αδιάστατη µεταβλητή ρ συνδέεται µε την r µε την σχέση ( ) 8 µ E 1/2 ρ = k r, k = 2 Η σταθερά n εξαρτάται από την ενέργεια και για την E n στάθµη έχει τιµή k = 2 Z/n a 0 οπότε ρ = 1 n 2 Z r a 0 Για δεδοµένους κβαντικούς αριθµούς n και l, όπου l n 1, η συνάρτηση H(ρ) είναι πολυώνυµο ϐαθµού n r = n l 1 και στην ϐιβλιογραφία αναφέρεται ως πολυώνυµο Laguerre L 2l+1 (ρ) n l 1

67 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 42/ 53 ( ) Z 3/2 ψ nlm (r, θ, φ) = N lm [ ρ l e ρ 2 L 2l+1 (ρ) ] n l 1 Y lm(θ, φ) a 0 ρ = 2 Z r, ( a 0 2 a 0 n µ e ) 2 Η σταθερά νορµαλισµού N lm = 2 [ ] (n l 1)! 1/2 n 2 ((n + l)!) 3 Στην µαθηµατική ϐιβλιογραφία τα πολυώνυµα Laguerre L p k (ρ), ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση ( ) L p p + 1 k + 1 L p k + k ρ ρ L p k = 0

68 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 42/ 53 ( ) Z 3/2 ψ nlm (r, θ, φ) = N lm [ ρ l e ρ 2 L 2l+1 (ρ) ] n l 1 Y lm(θ, φ) a 0 ρ = 2 Z r, ( a 0 2 a 0 n µ e ) 2 Η σταθερά νορµαλισµού N lm = 2 [ ] (n l 1)! 1/2 n 2 ((n + l)!) 3 Στην µαθηµατική ϐιβλιογραφία τα πολυώνυµα Laguerre L p k (ρ), ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση ( ) L p p + 1 k + 1 L p k + k ρ ρ L p k = 0

69 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 43/ 53 Ατοµο του Υδρογόνου - Οι καταστάσεις s, p Θεµελειώδης κατάσταση 1s : ψ 100 = (π a 3 o ) 1/2 e r/ao Η πρώτη διεγερµένη στάθµη περιλαµβάνει τις καταστάσεις 2s, 2p Κατάσταση 2s : ( ψ 200 = (32 π a 3 o ) 1/2 2 r ) a o e r/2ao Καταστάσεις 2p : ( ) ψ 210 = (32 π a 3 o ) 1/2 r a o e r/2ao cos θ ( ) ψ 21,±1 = (64 π a 3 o ) 1/2 r a o e r/2ao sin θ e ±i φ

71 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 45/ 53 Ακτινική πιθανότητα της 1s και 2s Κατάσταση 1s : Κατάσταση 2s : P 1(r) = 4 a 0 3 r 2 e 2 r/a 0 P 2(r) = 1 ( 8 a 3 r 2 2 r ) 2 e r/a 0 0 a 0

73 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 47/ 53 Ενεργειακός εκφυλισµός του Υδρογόνου Το άτοµο του H 2 έχει µεγαλύτερο εκφυλισµό από τον αναµενόµενο από την συµµετρία του σε στροφές! Μεγαλύτερος εκφυλισµός = Μεγαλύτερη συµµετρία = Περισσότερες διατηρούµενες ποσότητες εκτός της τροχιακής στροφορµής! Η εύρεση των διατηρουµένων µεγεθών θα καθορίσει και την συµµετρία του συστήµατος!

77 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 48/ 53 Για την κλασική κίνηση σε δυναµικό Coulomb η τροχιά είναι έλλειψη µε ηµιάξονες a, b Η ενέργεια και το µέτρο στροφορµής είναι E = g 2 a, L = m g a ( 1 ɛ 2 ) Για δεδοµένη ενέργεια εκτός της τροχιακής στροφορµής υπάρχουν και άλλα µεγέθη που διατηρούνται! Το µήκος και η διέυθυνση των ηµιαξόνων!

78 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 49/ 53 Για κίνηση σε δυναµικό Coulomb V(r) = g r (g > 0) διατηρείται το άνυσµα r M = L v + g r Runge Lenz Η κατεύθυνση του είναι αυτή του µεγάλου ηµιάξονα και το µήκος του σχετίζεται µε την εκκεντρότητα της έλλειψης M = g ɛ a 2 b 2 Εκκεντρότητα ɛ = a 2

80 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 51/ 53 Με την προσθήκη µικρού διαταρακτικού όρου, που δεν έχει την µορφή Coulomb g r = g r + δ Coulomb = η τροχία υφίσταται µετάπτωση ( precession )!

82 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 53/ 53 Το άνυσµα της στροφορµής διατηρείται Κβανοµηχανικά για κίνηση σε κεντρικό δυναµικό [ ] Ĥ, ˆL = 0 Η Χαµιλτωνιανή έχει συµµετρία περιστροφής, O(3) Το άνυσµα Runge - Lenz διατηρείται Κβανοµηχανικά για κίνηση σε δυναµικό Coulomb [ ] Ĥ, ˆM = 0 Η Χαµιλτωνιανή έχει µεγαλύτερη συµµετρία, O(4)