Τα προτεινόμενα θέματα είναι από τις γενικές ασκήσεις προβήματα του Ι. Δ. Σταματόπουου αποκειστικά για το site (δεν κυκοφορούν στο εμπόριο) Θέμα 7 ο Σώμα μάζας m Kg έχει δεθεί στην άκρη κατακόρυφου εατηρίου σταθερά Κ 5π N/m. Α. Απομακρύνουμε το σώμα κατά 0,m από τη θέση ισορροπίας προς τα κάτω και το αφήνουμε εεύθερο. α. Να υποογίσετε την περίοδο Τ της ταάντωσης β. Να γράψετε την εξίσωση της ταάντωσης. Θεωρείστε ότι τη χρονική στιγμή t 0 0 είναι η στιγμή που το σώμα αφήνεται εεύθερο για ταάντωση και οι θετικές απομακρύνσεις είναι πάνω από τη θέση ισορροπίας. Β. Ο τααντωτής βρίσκεται πάνω από δίσκο μάζας Μ Kgr και ακτίνα R 0,m που μπορεί να περιφέρεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από το κέντρο του Ο, όπως στο σχήμα. Η απόσταση του σώματος m τη στιγμή που αφήνεται εεύθερο για ταάντωση, από το δίσκο είναι h 0,8m. Τη χρονική στιγμή t 0,5 από τη στιγμή της έναρξης της ταάντωσης ένα κομμάτι της μάζας m που έχει μάζα 3 m m αποσπάται από το σώμα και πέφτει κατακόρυφα R και συγκρούεται παστικά με το δίσκο σε απόσταση d από το κέντρο Ο του δίσκου. Τη χρονική στιγμή t στο δίσκο εφαρμόζεται στο άκρο νήματος που έχει τυιχθεί γύρω από το δίσκο, δύναμη F 0N όπως στο σχήμα. Να υποογίσετε: α. την ταχύτητα της μάζας m τη στιγμή που φτάνει στο δίσκο και τη θέση του τααντωτή β. τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη στιγμή που η μάζα m κτυπάει το δίσκο γ. το μήκος του σχοινιού που θα ξετυιχθεί κατά τη διάρκεια της πτώσης της μάζας m δ. τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου αμέσως μετά την κρούση της μάζας m με το δίσκο αν δεχτούμε ότι τη στιγμή της κρούσης η δύναμη F καταργείται ε. την απώεια ενέργειας του συστήματος δίσκου-μάζας m κατά την κρούση. Δίνεται ροπή αδράνειας δίσκου I m 0 MR,g 0 s Λύση: Α. α. Η περίοδος ταάντωσης είναι: m L T π ή T π s άρα: Τ 0,s K 5π
β. Το πάτος της ταάντωσης είναι: Α άρα: Α 0,m οπότε η εξίσωση ταάντωσης είναι της μορφής Aημ(ωt + φ 0 ) για t 0 έχουμε A οπότε: Α Αημφ 0 ή ημφ 0 3π 3π άρα φ0 οπότε η εξίσωση ταάντωσης είναι: 0,ημ 5πt (S +.I.) Β. α. Από τα δεδομένα προκύπτει ότι t T 0,s. Άρα το σώμα διασπάται στη θέση A δηαδή εκεί που αφέθηκε εεύθερο για ταάντωση. Οπότε η μάζα m πέφτει κατακόρυφα χωρίς αρχική ταχύτητα από τη θέση που απέχει από το δίσκο απόσταση h 0,8m. Η ταχύτητα της μάζας m όταν φτάνει στο δίσκο είναι: mgh t mυ άρα: υ gh h (3) οπότε: t 0,s g () οπότε υ m/s. Ο χρόνος πτώσης t είναι: h gt άρα: m Η νέα περίοδος της ταάντωσης είναι: T π άρα T 0,s αά τότε t T άρα ο K τααντωτής θα βρεθεί πάι στη θέση Α (το πάτος της ταάντωσης δεν αάζει) β. Η κίνηση του τροχού με την εφαρμογή της δύναμης F είναι επιταχυνόμενη για το χρονικό διάστημα t 0,s, οπότε έχουμε: FR FR ω αγωνt () και FR Iα γων ή αγων οπότε η () γίνεται: ω t άρα I MR Ft ω (5) οπότε: ω 0rad/s MR γ. Το μήκος του σχοινιού που ξετυίχθηκε σε χρόνο t κάνοντας Ν στροφές είναι: θ πrn (6) με N (7) όπου θ η γωνία στροφής του δίσκου αά θ αγωνt (8) π οπότε η (6) όγω (7) και (8) γίνεται: FR FR F Ft α γων Rt (9) αά αγων ή αγων οπότε η (9) γίνεται: I MR MR M οπότε: 0,8 m δ. Έστω ω η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου μετά την κρούση. Για το σύστημα δίσκος μάζας m ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Στροφορμής οπότε έχουμε: R Lαρ Lτε ή Ιω Ιω ή Ιω ( Ι + md ) ω ή ΜR ω MR + m ω άρα: ω Μ Μ + m ω οπότε: ω 8,rad / s ε. Η απώεια ενέργειας του συστήματος είναι:
ΔΕ Ιω m υ Ι md ω ΔΕ ΜR ω + mυ ΜR + mr ω άρα: 8 ΔΕ Εαρχ Ετε ή + ( + ) ΔΕ MR ( ω ω) + m υ R ω οπότε: ΔΕ 7,6J ή
Θέμα 8 ο Στο κύκωμα του σχήματος, η ηεκτρική πηγή έχει ΗΕΔ Ε 0V και εσωτερική αντίσταση r Ω. Ο αντιστάτης έχει αντίσταση R Ω, ενώ η τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή είναι C 80 μf και του πηνίου ο συντεεστής αυτεπαγωγής είναι L mh. Αρχικά ο μεταγωγικός διακόπτης δ βρίσκεται στη θέση (Α) Α) Να υποογίσετε: α) την ένταση του ρεύματος στο κύκωμα β) το φορτίο που αποκτά ο πυκνωτής Β) Ανοίγουμε ακαριαία το διακόπτη δ στη θέση (Β), χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας. Να υποογίσετε: α) τη γωνιακή συχνότητα των ηεκτρικών τααντώσεων του κυκώματος β) τη μέγιστη ένταση του ρεύματος στο κύκωμα L C γ) το ρυθμό μεταβοής της έντασης του ρεύματος στο κύκωμα και της τάσης στο πηνίο όταν το φορτίο στον πυκνωτή γίνεται q δ) το ρυθμό μεταβοής της ενέργειας του ηεκτρικού πεδίου του πυκνωτή όταν q και τη χρονική αυτή στιγμή Λύση: α) Όταν ο διακόπτης δ είναι στη θέση Α τότε το ρεύμα I που διαρρέει το κύκωμα, πηγή, αντίσταση R, (ο πυκνωτής ειτουργεί ως διακόπτης στο συνεχές ρεύμα), είναι: E 0V I ή I άρα: I A () R + r 5 Ω β) Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι; V c V ΔΖ (), αά V ΔΖ IR 8 V οπότε: V c V ΔΖ 8V Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή είναι: CVc άρα: 60 μc Β) α) Με τη μεταφορά του διακόπτη στη θέση Β έχουμε ένα ιδανικό κύκωμα L C που η γωνιακή συχνότητα των τααντώσεων είναι: ω (3) οπότε: LC ω,5. 0 3 Hz β) Στο κύκωμα L C ισχύει η Α.Δ.Ε. οπότε έχουμε: (U E ) μεγ (U B ) μεγ ή LI οπότε: I άρα: I ω () οπότε: I,6 A C LC γ) Το ρεύμα στο κύκωμα μεταβάεται άρα στα άκρα του πηνίου εμφανίζεται τάση di di VL από αυτεπαγωγή οπότε V L E αυτ ή V L L οπότε (5) dt dt L
q Αά VL Vc οπότε η (5) δίνει: C di q di di di 3 A ή ω q άρα: ω (6) οπότε: 0 dt CL dt dt dt s q dvc dq dvc i Για το πυκνωτή έχουμε Vc ή ή C dt dt C dt C dv dv Αά στο κύκωμα ισχύει: V c V L οπότε c L dvl i άρα: (7) dt dt dt C Για το κύκωμα L C ισχύει η Α.Δ.Ε. οπότε: q q ω Li + i 3 (8) οπότε η (7) δίνει: C C dvl dt 30 V s dvl dt ω 3 (9) άρα: C δ) Ο ρυθμός μεταβοής της ενέργειας του ηεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή εκφράζει την στιγμιαία ισχύ στον πυκνωτή δηαδή du E du P ή E du i c V E q du c ή i E ή i και όγω (8) δίνει: dt dt dt C dt C due ω due J 3 άρα: dt C dt s Η χρονική στιγμή που έχουμε το ρυθμό αυτό, συμβαίνει όταν q αά π π q συνωt οπότε συνωt ή συνω t οπότε: συνω t συν ή ω t (για 3 3 π π π πρώτη φορά) άρα: t ή t ή t ms 3 3 ω 7,5 0 5
Θέμα 9 ο Ομογενής μεταική ράβδος ΑΓ βάρους κάμπτεται σ ένα σημείο της Μ έτσι τα δύο σκέη ΜΑ και ΜΓ που προκύπτουν να έχουν 3 όγο μηκών. Η ράβδος μέσω νήματος που δένεται στο σημείο καμπής Μ δένεται σε σταθερό σημείο. Α. Να υποογίσετε: α. το βάρος κάθε σκέους της ράβδου β. τη γωνία που σχηματίζει το σκέος ΜΓ με την οριζόντια διεύθυνση γ. το βάρος που πρέπει να κρεμάσουμε στο άκρο Γ του μικρότερου σκέους ώστε τα δύο σκέη να σχηματίζουν ίσες γωνίες με την οριζόντια ευθεία δ. τη δύναμη Τ του νήματος ανάρτησης της ράβδου Δίνεται εφ7,5,09 Λύση Έστω και τα βάρη των αντίστοιχων σκεών με μήκη και Αν S το εμβαδόν της διατομής των ράβδων και d η πυκνότητα του υικού, οπότε έχουμε: mg sdg οπότε mg s dg ή + + ή + οπότε: () + αά + οπότε: ή + άρα: () + β. Η ράβδος ισορροπεί οπότε: Στ( M) 0. Οι ροπές των δυνάμεων ως προς άξονα κάθετο στη ράβδο στο σημείο καμπής Μ έχουμε: 0ή και όγω της () και () έχουμε: (3) αά συντ και συνω οπότε η (3) δίνει: συντ συν ω ή συντ συνω ή συντ () συνω από το σχήμα έχουμε τ+ φ+ ω 80 ή τ 80 ( φ+ ω) οπότε συντ συν( φ + ω) οπότε η () γίνεται συν( φ + ω) ( συνφσυνω ημφημω) ή συνω συνω Βοηθητικές γνώσεις Μαθηματικά Βοηθήματα α) συν(80 α) συνα β) συν(φ + ω) συνφσυνω ημφημω Για να ισορροπεί ένα στέρεο σώμα πρέπει: ΣF 0 και Στ 0
οπότε συνφ + ημφεφω άρα: 9 + εφω 9συνφ 9ημφ (5) οπότε: εφω,09 άρα: ω 7,5 γ. Μετά την ανάρτηση του βάρους και πάι η ράβδος ισορροπεί μόνο που η γωνία τ ω οπότε έχουμε: Σr( M) 0 ή + 3 3 0 (6) και από το σχήμα έχουμε: συνω, συνω και 3 συνω οπότε η (6) δίνει: συνω + συνω συνω 0 ή οπότε: και όγω () και () έχουμε: + + ( ) ( ) ( ) άρα: και τεικά: r δ. Η ράβδος κατά τον κατακόρυφο άξονα ισορροπεί οπότε ΣFy 0 οπότε: T + + άρα: T 5 όταν 0 τότε: T
Θέμα 0 ο Ομογενής ράβδος ΟΑ μάζας m kg και μήκους m μπορεί να περιστραφεί χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ο. Αρχικά η ράβδος είναι κατακόρυφη και ισορροπεί. Στο άο άκρο Α εφαρμόζουμε σταθερή οριζόντια δύναμη F 3 ( βάρος ράβδου). Α. α. Να μεετήσετε το είδος κίνησης της ράβδου. β. Να υποογίσετε τη θέση (γωνία) όπου η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου γίνεται μέγιστη. Β. Να υποογίσετε: α. Το ρυθμό μεταβοής της στροφορμής της ράβδου αμέσως μετά την εφαρμογή της δύναμης F. β. Το μέτρο της μέγιστης γωνιακής ταχύτητας της ράβδου. γ. Το ρυθμό μεταβοής της κινητικής ενέργειας της ράβδου στη θέση της μέγιστης γωνιακής ταχύτητας. δ. Τη μέγιστη γωνία απόκισης της ράβδου. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το σημείο Ο, Io m και g 0 m / s 3 Λύση: Α. α. Έστω ότι η ράβδος έχει αποκίνει από την κατακόρυφο κατά γωνία φ. Τότε οι ροπές που ασκούνται στη ράβδο είναι, η ροπή της δύναμης F και του βάρους. Οπότε η θεμειώδης εξίσωση της στροφικής κίνησης για τη ράβδο γράφεται: φ Ε h Κ Κ ή F συνφ ημφ Ι αγων () F Όσο η ροπή F συνφ > ημφ, τόσο η α Δ γων αυξάνει, άρα και η Γ Α γωνιακή ταχύτητα θα αυξάνει. Όταν Στ 0 τότε ω ω ma και αμέσως μετά F συνφ < ημφ οπότε η α γων αάζει φορά άρα η γωνιακή ταχύτητα θα μειώνεται. FOΔ ( ) ( KE) I αγων β. Όταν Στ 0 0 τότε α γων 0 και ω ω ma και τότε η γωνία φ φ 0 οπότε η () δίνει: F F συνφ0 ημφ0 0 άρα: εφφ0 οπότε: εφφ 0 3 ή εφφ0 3 άρα: φ 0 60 (3) Β. α. Γνωρίζουμε ότι h O Ε Κ Δ φ 0 φ 0θ dl Στ () αά Στ F 0 ή Στ F άρα η () δίνει dt dl dl F άρα: 3 οπότε: dl 8,66 N m dt dt dt F O Κ Γ F F
β. Γνωρίζουμε ότι ΔΚ ΣW, οπότε για τη ράβδο στη θέση φ 0 έχουμε: I ( 0) ω ma 0 W F + W ή I ( 0) ω ma F ( ΓΔ ) h επομένως m ω ma F ημφ 0 ( συνφ 0 ) ή mω F ημφ συνφ 3 6 ma 0 0 άρα m ω 3 3 ma + ή 6 mω m ω mg ή 6 ma 6 ή ma ω g ma 3 άρα: ω ma 3g οπότε: ωma 5,8 rad / s γ. Γνωρίζουμε ότι ΔΚ Στ φ ή ΔΚ Δφ Στ άρα: ΔΚ Στ ω Δt Δt Δt (7) Στη θέση όπου ω ω ma έχουμε Στ 0 οπότε η (7) δίνει: ΔΚ 0 Δt δ. Έστω θ η γωνία μέγιστης απόκισης της ράβδου οπότε ΔΚ Κ τε Κ αρχ άρα ΔΚ 0 (αφού υ αρχ υ τε 0) Αά ΔΚ ΣW ή 0 F ημθ ( συνθ) ή 3 ημθ + συνθ ημ60 άρα ημθ 3 + συνθ αά εφ60 3 οπότε: ημθ + συνθ συν60 οπότε ημθ ημ60 + συνθ συν60 συν60 ( ) ή συν 60 θ συν60 άρα 60 θ κπ ± 60. Για κ 0 έχουμε δεκτή τη ύση θ 0. Άρα η μέγιστη γωνία απόκισης είναι: θ ma 0.