ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΙΣΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΙΣΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΧΡΥΣΑΝΘΗ ΣΚΟΥΜΠΟΥΡΔΗ, ΕΜΜΑΝΟΥΕΛΛΑ ΣΚΑΝΔΑΛΑΚΗ Εισαγωγή Τα μαθηματικά αφορούν σε αφηρημένες έννοιες και ιδέες σε μεγαλύτερο βαθμό από άλλους τομείς μελέτης και οπωσδήποτε από τους περισσότερους τομείς που έρχονται σε επαφή τα παιδιά. Η χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να αναπτύξουν διαφορετικές ιδέες και διαδικασίες και να προάγουν βαθύτερη κατανόηση. Η ανάπτυξη της δυνατότητας της μετάφρασης ανάμεσα σε διαφορετικά είδη αναπαραστάσεων μπορεί να λειτουργήσει ανατροφοδοτικά στη μαθησιακή διαδικασία και αποτελεί πρόκληση για τη μαθηματική εκπαίδευση. Για το λόγο αυτό είναι απαραίτητη η χρήση ποικίλων μορφών αναπαραστάσεων κατά τη διαδικασία της διδασκαλίας και της μάθησής τους. Οι αναπαραστάσεις των Μαθηματικών, δεν είναι απλή αντιγραφή των οπτικών παραστάσεων μας (Olson, 1994), είναι κυρίως σημειωτικές αναπαραστάσεις. «Σημειωτικές αναπαραστάσεις ονομάζονται οι αναπαραστάσεις που εκφέρονται με χρήση σημείων (signs), (εκφωνήσεις στη φυσική γλώσσα, αλγεβρικοί τύποι, γραφικές παραστάσεις, γεωμετρικά σχήματα) και αποτελούν το μέσο που διαθέτει το άτομο για να εξωτερικεύσει τις νοητικές του αναπαραστάσεις» (Halliday, 2003). Οι αναπαραστάσεις διακρίνονται σε εσωτερικές (internal representations) και εξωτερικές (external representations). Ο όρος εσωτερικές αναπαραστάσεις περιγράφει τους νοητικούς σχηματισμούς που οικοδομούν οι μαθητές προκειμένου να αναπαραστήσουν την πραγματικότητα. Ο Goldin (1998) επισημαίνει πως τα είδη των εσωτερικών αναπαραστάσεων συνιστούν : α) Λεκτικά / συντακτικά συστήματα αναπαράστασης (Verbal / syntactic representational systems), τα οποία περιγράφουν το μαθηματικό και μη μαθηματικό λεξιλόγιο, όσο και την χρήση γραμματικής και συντακτικού, β) Συστήματα αναπαράστασης βασισμένα στη φαντασία (Imagistic representational systems),τα οποία περιλαμβάνουν πνευματικές εικόνες, που συντελούν στην ενόραση, και γ) Επίσημη Συμβολική Αναπαράσταση (Formal notational representation), που συντελεί στη νοητική διαχείριση αριθμών, εκτέλεση αριθμητικών πράξεων και επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Οι Goldin και Shteingold (2001: 5) προτείνουν να δίνεται σημασία στη δημιουργία και στον ορισμό συστημάτων αναπαράστασης. Εξωτερικές αναπαραστάσεις αποτελούν τα συστήματα που περιλαμβάνουν λεκτικές περιγραφές (άτυπες ή τυπικές), γραπτά σύμβολα, σχηματικά μοντέλα ή εικόνες, χειριστικά μοντέλα και μοντέλα πραγματικών καταστάσεων (Τζεκάκη, 2007: 139). Επίσης, εξωτερικές αναπαραστάσεις μπορεί να είναι «οι παρατηρήσιμες ενσωματώσεις των εσωτερικών εννοιολογικών δομών των μαθητών» (Lesh, Post, & Behr, 1987: 33), δηλαδή η έκφραση του τρόπου κατανόησης της μαθηματικής έννοιας από τους μαθητές. Εικονιστική αναπαράσταση στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος Ο Scnotz (2002) επισημαίνει την ευεργετική επίδραση των εικονιστικών πληροφοριών στην κατανόηση των νέων εννοιών. Οι Ainsworth, Wood & Bibby (1997) αναφέρουν πως η χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να αναπτύξουν διαφορετικές ιδέες και διαδικασίες και να προάγουν βαθύτερη κατανόηση. Ανάλογα και οι Gagatsis & Michaelidou (2002) υποστηρίζουν ότι μια δεύτερη αναπαράσταση μπορεί να λειτουργήσει ανατροφοδοτικά στη μετάφραση μιας πιο πολύπλοκης ή λιγότερο γνώριμης αναπαράστασης. Σύμφωνα με τους Ainsworth κ.σ. (1997), συνδυάζοντας τις διάφορες αναπαραστάσεις οι μαθητές δεν περιορίζονται από τις αδυναμίες μιας συγκεκριμένης αναπαράστασης. 1265

Οι εικονιστικές παραστάσεις είναι ένα μέσο που βοηθάει τους μαθητές να εκφράζουν και να αναπτύσσουν τη μαθηματική τους σκέψη (Kafoussi, Skoumpourdi & Kalavassis, 2003 Watson & Moritz, 2001), καθώς και να επιλύουν μαθηματικά προβλήματα. Οι Ηλία, Χρυσάνθου & Φιλίππου (2003) αξιοποιώντας την ταξινόμηση των εικόνων στην επεξεργασία λογοτεχνικού κειμένου των Carney & Levin (2002) διεξάγουν έρευνα βάσει της οποίας προτείνουν την παρακάτω ταξινόμηση των εικόνων, ανάλογα με τη χρήση τους κατά την επίλυση προβλήματος. Διακοσμητικές: δεν παρέχουν πληροφορίες στους μαθητές για την επίλυση προβλήματος. Βοηθητικές αναπαραστατικές: Αναπαριστούν ολόκληρο ή μέρος του περιεχομένου του προβλήματος, αλλά δεν είναι απαραίτητες για την επίλυσή του. Βοηθητικές οργανωτικές: Βοηθούν τους μαθητές να λύσουν το πρόβλημα καθοδηγώντας τους να σχεδιάσουν ή να γράψουν κάτι δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν για να λυθεί το πρόβλημα. Πληροφοριακές: Δίνουν πληροφορίες που είναι απαραίτητες για να λυθεί το πρόβλημα. Με άλλα λόγια το πρόβλημα στηρίζεται στην εικόνα. Η μορφή αναπαράστασης που φαίνεται να παίζει τον κύριο λόγο στη διδαδικασία διδασκαλίας και μάθησης των μαθηματικών, λόγω της θέσης και του ρόλου της στα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών είναι οι εικονιστικές αναπαραστάσεις. Σκοπός της εισήγησης είναι να διερευνήσουμε τη θέση των εικονιστικών αναπαραστάσεων σε προβλήματα κλασμάτων στα σχολικά εγχειρίδια της Ε τάξης των Μαθηματικών του Δημοτικού ιστορικά, καθώς και το ρόλο τους σε σχέση με τη διδακτική μέθοδο που υιοθετείται. Μεθοδολογία Στην προσπάθεια εύρεσης του κατάλληλου βιβλιογραφικού υλικού πολύτιμος αρωγός στάθηκε η πλούσια συλλογή βιβλίων του κ. Μπαλογιάννη Παύλου, ο οποίος μας διέθεσε το βιβλιογραφικό υλικό που χρειαζόμασταν. Το ερευνητικό μας ενδιαφέρον για τις ανάγκες της παρούσας εισήγησης εστιάζεται στη διερεύνηση της θέσης και του ρόλου των εικόνων στα προβλήματα κλασμάτων της Ε τάξης του δημοτικού σχολείου. Τα κλάσματα και γενικότερα οι ρητοί αριθμοί αποτελούν μια πολύ σημαντική ενότητα στην οποία αφιερώνεται πολύ σημαντικό μέρος του χρόνου της διδασκαλίας στο δημοτικό σχολείο. Ωστόσο, τα αποτελέσματα των ερευνών αποδεικνύουν πως τα κλάσματα είναι μια μαθηματική έννοια που θεωρείται δύσκολη για τους μαθητές (Kieren, 1995 Lamon, 2001 Bro ss, Bro ss & W r i d, 200 ). Προκειμένου να γίνει συστηματική καταγραφή των αποτελεσμάτων της εξέλιξης των εικονιστικών αναπαραστάσεων στα προβλήματα κλασμάτων διαχωρίζουμε τις χρονικές περιόδους σε αντιστοιχία με τις περιόδους των πιο σημαντικών εκπαιδευτικών μεταρρυθμίσεων (Σκουμπουρδή, 2009) ως εξής: τέλος του 19 ου αιώνα πριν από τον πόλεμο του 19 0, μεταπολεμικά έως περίπου το 1970 και μετά τη Μεταπολίτευση Αποτελέσματα 1. Τέλος του 19 ου αιώνα Το 1816, εκδίδεται η «Διαμετρική ήτοι πρακτικαί γνώσεις της Αριθμητικής, Γεωμετρίας κ.τ.λ. εφαρμοσθείσαι διά των Βασιλικών και των επικρατούντων μέτρων και σταθμών εις την βιομηχανίαν και τας τέχνας, συνταχθείσαν υπό του Ιωάννου Δραίκη». Στο συγκεκριμένο βιβλίο δε γίνεται καθόλου αναφορά στην έννοια των κλασματικών αριθμών. Το 1889, εκδίδεται η «Επιτομή των νέων Πινάκων της Αριθμητικής» του Ιωάννου Δραίκη και εγκρίνεται ως διδακτικό βιβλίο. Τα προβλήματα κλασμάτων δε διδάσκονται στο Δημοτικό σχολείο κατά αυτή τη χρονική περίοδο. Την εποχή αυτή υιοθετείται η αλληλοδιδακτική μέθοδος που ονομαζόταν αλλιώς και λαγκαστριανή από τον L nc st r που την εφάρμοσε στο Λονδίνο στην προσπάθειά του να μορφώσει τα δεκάδες χιλιάδες ορφανά άπορα παιδιά που περιφερόντουσαν στους δρόμους της πόλης (Παπαδάκη, 1992). 1266

2. Πριν από τον πόλεμο του 1940 Κατά την προπολεμική περίοδο εικονιστικές αναπαραστάσεις συναντώνται πολύ σπάνια στα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών. Στα «Αριθμητικά προβλήματα για την Ε τάξη του Δημοτικού Σχολείου» του Ι. Σπυριδάκη (1932) τα προβλήματα με κλάσματα δε συνοδεύονται καθόλου από εικόνες. Οι Έλληνες νεοερβαρτιανοί παιδαγωγοί προτείνουν εκείνη την εποχή τα μαθήματα να σχετίζονται με την καθημερινότητα. Η διάταξη της ύλης ακολουθεί τις θέσεις των νεοερβαρτιανών και διακρίνεται από την «επαλληλία» και «παραλληλία» της ύλης. Η «επάλληλη» διάταξη της ύλης αναφέρεται στην τοποθέτηση των θεμάτων από τα απλά στα σύνθετα ακολουθώντας τις βαθμίδες νοητικής ανάπτυξης του ατόμου. Η παραλληλία της ύλης αναφέρεται στην επικέντρωση όλων των μαθημάτων γύρω από τα φρονηματιστικά. 3. Μεταπολεμικά έως περίπου το 1970 Η χρονική περίοδος 1950-197 είναι μια πολύ σημαντική περίοδος για τα Μαθηματικά, που χαρακτηρίζεται από τη μεταρρύθμιση των Μοντέρνων Μαθηματικών και την εισαγωγή της Θεωρίας Συνόλων (Καλαβάσης & Λιναρδάκης, 1992). Η προσέγγιση της ύλης των Μαθηματικών μέσω των συνόλων θεωρείται ότι συμφωνεί με τη συνολική άποψη του παιδιού και την προσπάθειά του να εντάξει το περιβάλλον που το περιτριγυρίζει σε ευρύτερα σύνολα. Όμως στην Ελλάδα καθυστερεί η υιοθέτησή των «νέων ή μοντέρνων μαθηματικών» 1. Οι εικόνες στα σχολικά εγχειρίδια της Ε - ΣΤ Δημοτικού του Ομίλου Συγγραφέων Μορφωτικών Εκδόσεων (1961): «Πρακτική Αριθμητική» (Εικ. 1) συνοδεύουν τη διδασκαλία της έννοιας της κλασματικής μονάδας και όχι την εισαγωγή της νέας μαθηματικής έννοιας. Εικ. 1: «Κλασματική μονάδα», Όμιλος Συγγραφέων Μορφωτικών Εκδόσεων (1961:26) Οι εικόνες που πλαισιώνουν τα προβλήματα των κλασμάτων είναι βοηθητικές οργανωτικές σύμφωνα με την ταξινομία των Ηλία, Χρυσάνθου & Φιλίππου (2003) και Ηλία & 1 Στα Αναλυτικά Προγράμματα του 1959 αναφέρεται «Το μάθημα της Αριθμητικής επιδιώκει να καταστήσει το μαθητή ικανό να προβαίνει εις υπολογισμούς, χρησιμοποιών τους αριθμούς με βεβαιότητα και ευχέρειαν προφορικώς και γραπτώς να αντιλαμβάνηται και να εκτιμά τα ποσά και να είναι ικανός να εφαρμόζη εις την πρακτικήν ζωήν τας κτηθείσας γνώσεις της Αριθμητικής» (Βαϊνάς, 2000: 68). 1267

Γαγάτση (2004), και έχουν σαν σκοπό να συμβάλουν στην πληρέστερη κατανόηση της έννοιας των κλασμάτων από τους μαθητές μέσω παραδειγμάτων για την κατανόηση της νέας μαθηματικής έννοιας. Επομένως ενώ η εισαγωγή της κλασματικής έννοιας υποστηρίζεται με εικονιστικές αναπαραστάσεις δε συμβαίνει το ίδιο στα προβλήματα που αφορούν στα κλάσματα. Στην «Αριθμητική Γεωμετρία» Ε Δημοτικού των Κυριαζοπούλου & Αλεξοπούλου (1970) τα προβλήματα κλασμάτων δε συνοδεύονται από εικονιστικές Οι επόμενες εικόνες (Εικ. 2, 3) είναι αυτές που συνοδεύουν την εισαγωγή της μαθηματικής έννοιας της κλασματικής μονάδας. Εικ. 2: Εικ. 3: Κλασματική μονάς Κλασματική μονάς (Κυριαζοπούλου & Αλεξοπούλου, 1970: 33) Η πρώτη (Εικ. 2) συγκαταλέγεται στις βοηθητικές αναπαραστατικές, καθώς αναπαριστά την κλασματική μονάδα και τον τρόπο μερισμού του ολόκληρου σε ίσα μέρη. Η δεύτερη (Εικ. 3) στις βοηθητικές - οργανωτικές, γιατί παρακινεί τους μαθητές να σχεδιάσουν, να κόψουν ή να γράψουν κάτι. 4. Μετά τη Μεταπολίτευση Στο χρονικό διάστημα από τη Μεταπολίτευση μέχρι σήμερα τα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών άλλαξαν τρεις φορές: Στην «Αριθμητική Γεωμετρία» Ε Δημοτικού (Σαμαράς, 1979) διαπιστώνεται μια αρκετά σημαντική εξέλιξη στην αξιοποίηση των εικονιστικών αναπαραστάσεων ιδιαίτερα στην υποδειγματική επίλυση προβλημάτων των τεσσάρων πράξεων κλασμάτων με κλάσματα ή με ακέραιους. Συγκεκριμένα συναντούμε 55 προβλήματα των τεσσάρων πράξεων κλασμάτων από τα οποία τα 27 προβλήματα λύνονται υποδειγματικά μέσα στο σχολικό εγχειρίδιο και συνοδεύονται από τη «σχηματογραφική λύση του προβλήματος», όπως αναφέρεται, ενώ τα 1268

υπόλοιπα 28 προς λύση δε συνοδεύονται από εικόνες. Ενδεικτικά παραθέτουμε εικόνα (Εικ. ) από την ενότητα της διαίρεσης κλάσματος με φυσικό αριθμό στην οποία η σχηματογραφική λύση του προβλήματος συγκαταλέγεται στην κατηγορία των οργανωτικών αναπαραστάσεων, όπου η εικόνα υποβοηθά στη λύση του προβλήματος και υπαγορεύει την επίλυσή του. Στα προβλήματα και στις ασκήσεις που έχει να επιλύσει ο μαθητής δεν υπάρχουν οι ανάλογες εικονιστικές αναπαραστάσεις. Στις δεκαετίες 1960 και 1970 σε ολόκληρη την Ευρώπη κυριαρχεί το παιδαγωγικό κίνημα των «νέων ή μοντέρνων μαθηματικών», όπου υιοθετεί την κατασκευαστική και αλληλεπιδραστική θέση και βασίζονται στις θεωρητικές αρχές των Piaget, Bruner και Dienes (Καψάλης & Λεμονίδης, 1999). Η επταετία της δικτατορίας καθυστερεί 2 την καθιέρωση των «μοντέρνων μαθηματικών» στην Ελλάδα. Η έκφραση «σχηματογραφική λύση του προβλήματος», δείχνει ότι ο Σαμαράς εκτιμά ότι η εικονιστική αναπαράσταση αποτελεί όρο συνώνυμο με τη λύση του προβλήματος και ίσως για αυτό δεν υπάρχουν στη διάθεση του μαθητή εικονιστικές αναπαραστάσεις. Εικ. 4: «Διαίρεση κλάσματος με φυσικό αριθμό», Σαμαράς (1979: 148-149) Τα «μοντέρνα μαθηματικά» στην Ελλάδα καθιερώνονται στις αρχές της δεκαετίας του 1980 και παράλληλα αλλάζουν τα σχολικά εγχειρίδια, τότε που ήδη είχε υποστεί έντονη κριτική στις υπόλοιπες χώρες (Καλαβάσης & Σκουμπουρδή, 2001). Μετά τη Μεταπολίτευση στο σχολικό βιβλίο «τα Μαθηματικά μου» της Ε τάξης στο Α και Β τεύχος (Αλβανός, Δήμου, Ζέρβας, & Μπρούμας, 1993) εντοπίζουμε 74 συνολικά προβλήματα κλασμάτων. Τα προβλήματα αυτά συνοδεύονται από εικόνες με ποικίλους ρόλους, η πλειοψηφία των οποίων είναι διακοσμητικές και παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 1). 2 Σύμφωνα με τον Βαϊνά (2000 : 97) η αδράνεια με την οποία η Ελλάδα αποδέχεται τις περισσότερες κοινωνικοπολιτισμικές αλλαγές που συντελούνται στις άλλες χώρες, εκτός των αυτονόητων μειονεκτημάτων που περιλαμβάνει, εμπεριέχει και το πλεονέκτημα της αξιοποίησης των έμμεσης εμπειρίας των άλλων χωρών. 1269

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Ε ΤΑΞΗΣ Τεύχος Διακοσμητικές Βοηθητικές- Αναπαραστατικές Βοηθητικές- Οργανωτικές Πληροφοριακές Α 10 2 3 11 Β 35 1 4 Σύνολο 45 2 4 15 Πίνακας 1: «Σύνθεση εικόνων προβλημάτων στην ενότητα κλασμάτων» (Αλβανός, Δήμου, Ζέρβας, & Μπρούμας, 1993) Διακρίνουμε πως υπερτερούν οι διακοσμητικές εικόνες των άλλων κατηγοριών, καθώς επίσης υπάρχουν οκτώ προβλήματα που δε συνοδεύονται καθόλου από εικόνες. Οι διακοσμητικές εικόνες των προβλημάτων έχουν σαν αντικείμενο το θέμα που πραγματεύεται το συγκεκριμένο πρόβλημα, και δε διευκολύνουν τον τρόπο επίλυσής του. Σαν παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε τη διδακτική ενότητα «Διαίρεση ακεραίου με κλάσμα» όπου από τα πέντε προβλήματα τα τέσσερα συνοδεύονται από διακοσμητικές εικόνες και το ένα από πληροφοριακή, όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε και στην εικόνα 5. Εικ. 5: «Διαίρεση ακέραιου με κλάσμα» (Αλβανός, Δήμου, Ζέρβας, & Μπρούμας, 1993:36) Σε αυτή την χρονική περίοδο δίνεται έμφαση στην κατανόηση των μαθηματικών δομών και την ανάπτυξη των λογικών ικανοτήτων. Το Αναλυτικό Πρόγραμμα του 1982 στοιχίζεται στη φιλοσοφία των Αναλυτικών Προγραμμάτων που επικρατούσαν στην Ευρώπη και στην Αμερική τη δεκαετία του 1970 με τα μοντέρνα μαθηματικά. Ο σκοπός των «νέων μαθηματικών» εκείνη την χρονική περίοδο ήταν ο μαθητής να καθοδηγείται μόνος του να ερευνήσει και να προβληματιστεί και ανατρέχοντας σε πηγές να καταλήξει μόνος του στη γνώση. Τα αποτελέσματα όμως δε δικαίωσαν τις προσδοκίες, αφού δε συνδέθηκαν τα μαθηματικά με θέματα και εφαρμογές της καθημερινής ζωής και για αυτό το λόγο δεν κατόρθωσαν να κάνουν αντιληπτή τη χρήση και τη χρησιμότητά τους (Σκουμπουρδή, 2009). Στο βιβλίο του μαθητή της Ε τάξης (Κακαδιάρης, Μπελίτσου, Στεφανίδης & Χρονοπούλου, 2012) επισημαίνουμε 17 προβλήματα κλασμάτων, τα οποία συνοδεύονται από εικόνες ποικίλων κατηγοριών όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 6) 1270

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Ε ΤΑΞΗΣ Διακοσμητικές Βοηθητικές- Βοηθητικές- Πληροφοριακές Αναπαραστατικές Οργανωτικές 4 4 4 5 Πίνακας 2: «Σύνθεση εικόνων προβλημάτων στην ενότητα κλασμάτων» (Κακαδιάρης, Μπελίτσου, Στεφανίδης & Χρονοπούλου, 2012) Οι πληροφοριακές εικόνες υπερέχουν αριθμητικά από τις υπόλοιπες κατηγορίες εικόνων. Οι διακοσμητικές, οι βοηθητικές αναπαραστατικές και οι βοηθητικές - οργανωτικές αντιπροσωπεύονται εξίσου με τέσσερις εικόνες σε κάθε κατηγορία. Για παράδειγμα, παρουσιάζεται στην Εικ. 6 ένα πρόβλημα διαίρεσης ομώνυμων κλασμάτων από το σχολικό εγχειρίδιο της Ε τάξης, όπου φαίνεται ότι εμπεριέχει δύο εικόνες (Κακαδιάρης, κ.σ., 2012). Η πρώτη εικόνα είναι πληροφοριακή εφόσον περιέχει όλα τα δεδομένα του προβλήματος. Η δεύτερη εικόνα είναι βοηθητική - οργανωτική εφόσον οι πληροφορίες που δίνονται από την εικόνα σκοπεύουν να υποστηρίξουν τους μαθητές στη συμπλήρωση του πίνακα που ακολουθεί. Εικ. 6: «Διαίρεση ομώνυμων κλασμάτων» (Κακαδιάρης, κ.σ., 2012: 7 ) Στην ίδια ενότητα, της διαίρεσης ομώνυμων κλασμάτων, ανήκει και η παρακάτω εικόνα (Εικ. 7). 1271

Εικ. 7: «Διαίρεση ομώνυμων κλασμάτων» (Κακαδιάρης, κ.σ., 2012: 75) Η Εικ. 7 συγκαταλέγεται στην κατηγορία βοηθητικές αναπαραστατικές, γιατί οι επιμερισμένες ράβδοι αναπαριστούν το μέρος της μονάδας. Η παρουσία της εικόνας δεν είναι απαραίτητη, είναι υποστηρικτική της εργασίας. Τη συγκεκριμένη περίοδο επισημαίνεται πως δεν εξυπηρετεί τη διδακτική διαδικασία η αναζήτηση τρόπων που διευκολύνουν τη μετάδοση των μαθηματικών γνώσεων στους μαθητές. Απεναντίας, το βασικό στόχο της διδακτικής του προσέγγισης σηματοδοτεί η δημιουργία καταστάσεων προβληματισμού, οι οποίες θα λειάνουν το έδαφος για τη δόμηση και ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης από τους ίδιους τους μαθητές, μέσα σε μια σχολική τάξη που λειτουργεί ως περιβάλλον μάθησης τόσο για τα παιδιά όσο και για τον ίδιο τον δάσκαλο. Όπως χαρακτηριστικά σημειώνεται στο νέο ΔΕΠΠΣ για την επίλυση προβλημάτων στα μαθηματικά: «Οι μαθητές ερευνούν ανοιχτές προβληματικές καταστάσεις, χρησιμοποιούν τα μαθηματικά στην καθημερινή ζωή.» (Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων, Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, 2003). Συμπεράσματα Προτάσεις Η εισήγησή μας εστιάστηκε στη διερεύνηση της θέσης των εικόνων στα προβλήματα κλασμάτων στα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών της Ε τάξης του δημοτικού από τα τέλη του 19ου αιώνα έως σήμερα, καθώς και τη σχέση τους με τη διδακτική μέθοδο που υιοθετεί κάθε εποχή. Στα σχολικά εγχειρίδια των περιόδων που μελετήσαμε διαπιστώνεται ότι κατά τον 19ο αιώνα η έννοια των κλασμάτων δεν περιλαμβάνεται στη διδακτέα ύλη των Μαθηματικών του Δημοτικού. Στα μεταπολεμικά χρόνια η εικόνα στα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών της Ε τάξης εστιάζεται στην αποσαφήνιση της έννοιας του κλάσματος στην αρχή της διδακτικής ενότητας και όχι στην επίλυση του μαθηματικού προβλήματος. Μετά τη Μεταπολίτευση οι εικόνες των σχολικών εγχειριδίων της Ε τάξης που αφορούν στα κλάσματα υποστηρίζουν την επίλυση μαθηματικού προβλήματος με διακοσμητικές, βοηθητικές - αναπαραστατικές, βοηθητικές - οργανωτικές και πληροφοριακές εικόνες. Η μελέτη μας στα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών στη διδακτική ενότητα των κλασμάτων ανέδειξε πως παρουσία εικονιστικής αναπαράστασης στη συγκεκριμένη ενότητα εντοπίζεται πρώτη φορά κατά τη μεταπολεμική περίοδο. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τη μελέτη των σχολικών εγχειριδίων των Μαθηματικών συγκλίνουν στο ότι οι εικονιστικές αναπαραστάσεις υπάρχουν στη διδακτική ενότητα των κλασμάτων κατά την παράδοση. 1272

της νέας έννοιας, αλλά απουσιάζουν στα προβλήματα που απευθύνονται στους μαθητές για να τα λύσουν στη συνέχεια μόνοι τους. Στην περίοδο μετά τη Μεταπολίτευση τα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών άλλαξαν τρεις φορές. Στην πρώτη περίοδο κατά την οποία διδάσκεται η «Αριθμητική Γεωμετρία» (Σαμαράς, 1979), οι εικόνες υποστήριζουν ουσιαστικά τον εκπαιδευτικό, στο πλαίσιο της δασκαλοκεντρικής διδασκαλίας, προσφέροντάς του ένα «δυναμικό» εργαλείο όπως είναι η εικόνα για την παράδοση της νέας μαθηματικής έννοιας, αλλά οι μαθητές δεν έχουν καμία βοήθεια όταν καλούνται να λύσουν τα προβλήματα που προορίζονταν για εξάσκηση. Στη συνέχεια, στα «Μαθηματικά μου» (Αλβανός, κ.σ., 1993) η παρουσία των εικόνων είναι εντονότερη ποσοτικά και ποιοτικά. Στα σχολικά βιβλία των Μαθηματικών παρουσιάζονται διακοσμητικές, βοηθητικές - αναπαραστατικές, βοηθητικές - οργανωτικές και πληροφοριακές εικόνες με σαφή κυριαρχία των διακοσμητικών εικόνων. Τα σύγχρονα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών της Ε τάξης (Κακαδιάρης, κ.σ., 2012) παρουσιάζουν ισορροπημένη παρουσία όλων των τύπων της εικονιστικής αναπαράστασης σε σχέση με τα σχολικά εγχειρίδια των προηγουμένων ετών. Οι εικόνες υποστηρίζουν την παράδοση της νέας μαθηματικής έννοιας, αλλά και κατόπιν την επίλυση προβλημάτων από το μαθητή. Επίσης, επιτυγχάνεται εξισορρόπηση της ποσότητας των διαφόρων ειδών εικόνων. Εντοπίζονται ισάριθμες βοηθητικές - αναπαραστατικές, βοηθητικές - οργανωτικές και διακοσμητικές εικόνες, ενώ οι πληροφοριακές έχουν προβάδισμα «βραχείας κεφαλής». Οι αφηρημένες έννοιες των μαθηματικών που καλούνται να κατακτήσουν οι μαθητές από πολύ μικρή ηλικία καθίστανται ευκολότερα προσπελάσιμες με τη βοήθεια εικονιστικών αναπαραστάσεων. Η μελέτη των εικόνων των σχολικών εγχειριδίων ανέδειξε πως σταδιακά αναγνωρίστηκε η σημασία και η συμβολή τους στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών. Θεωρούμε ότι η πραγματοποίηση ερευνών για τις εικονιστικές αναπαραστάσεις των εγχειριδίων της Ε τάξης με σκοπό τη διερεύνηση της ικανότητας να μεταφράσουν τα διαφορετικά είδη εικονιστικών αναπαραστάσεων και τη συσχέτιση της ικανότητας αυτής με τη μετάφραση που αναδύεται μέσα από τα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών θα ήταν πολύτιμοι αρωγοί για το μελλοντικό σχεδιασμό των σχολικών εγχειριδίων και κατ επέκταση του διδακτικού σχεδιασμού. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ainsworth, S., Bibby, P.A., & Wood, D.J. (1997). Information technology and multiple representations: New opportunities - new problems. Journal of Information Technology for Teacher Education, 6, 93-104. Αλβανός Γ., Δήμου Γ., Ζέρβας Γ., & Μπρούμας Κ. (1993). «τα Μαθηματικά μου», Ε τάξη δημοτικού, δεύτερο μέρος, Αθήνα: ΟΕΔΒ Βαϊνάς, Κ. (2000). Ανάλυση της Διδακτικής των Μαθηματικών στην Ελλάδα. Αθήνα : Γρηγόρης. Brousseau, G., Brousseau, N., & Warfield, V. (2004). Rationals and decimals as required in the school curriculum. Part 1: Rationals as measurements. Journal of Mathematical Behavior, 23, 1-20. C rn y, R. N., & L vin, J. R. (2002). Pictori i str tions sti improv st d nts rning rom text. Educational Psychology Review, 14(1), 5-26. Dapueto, C. & Parenti, L. (1999). Contributions and obstacles of contexts in the development of mathematical knowledge. Educational Studies in Mathematics, 39, 1-21. G g tsis, Α., & Mich ido, Ε. (2002). L r zioni tr div rs r ppr s nt zioni d conc tto di funzione e la comprensione del concetto stesso.une ricerca riferita a gli studenti della scuola secondaria superiore. La matematica e la sua didattica, 4, 411-429. Goldin, G., & Shteingold, N. (2001). Systems of representations and the development of mathematical concepts. In A. Cuoco, & F. Curcio (Eds.),The roles of representation in school mathematics: 2001 YearBook (pp. 1 23), Virginia: NCTM Δραίκη, Ι. (1816). «Διαμετρική ήτοι πρακτικαί γνώσεις της Αριθμητικής, Γεωμετρίας κ.τ.λ. εφαρμοσθείσαι διά των Βασιλικών και των επικρατούντων μέτρων και σταθμών εις την βιομηχανίαν και τας τέχνας, συνταχθείσαν υπό του Ιωάννου Δραίκη» 1273

Halliday, M. A. K. (2003). On language and linguistics. London: Continuum. Θεοδούλου, Ρ. & Γαγάτσης, Αθ. (2003). Μια εικόνα αξίζει χίλιες λέξεις.. ποιο είδος όμως εικόνας βοηθά στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος, Συνέδριο Διδακτικής των Μαθηματικών : Αθήνα. Κακαδιάρης, Χ., Μπελίτσου, Ν., Στεφανίδης, Γ., & Χρονοπούλου, Γ. (2012). Μαθηματικά Ε Δημοτικού. Αθήνα : ΙΤΥΕ «Διόφαντος». Καλαβάσης, Φ. και Σταθοπούλου, Χ. (2000). Μαθηματικά και κουλτούρες: η συνάντηση της κοινωνικής ανθρωπολογίας με τη μαθηματική εκπαίδευση. Πρακτικά του 17ου Πανελληνίου Συνεδρίου της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Αθήνα, 70-481. Καλαβάσης, Φ. & Σκουμπουρδή, Χ. (2001). Ανάλυση και συγκριτικές επισημάνσεις σχολικών βιβλίων του δημοτικού (Ελλάδας, Κύπρου, Αγγλίας) όσον αφορά στην έννοια της πιθανότητας. 5 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Διδακτικής Μαθηματικών και Πληροφορικής στην Εκπαίδευση, 84-86, Θεσσαλονίκη. Καλυβόπουλου, Μ. (193 ). Αριθμητικά Προβλήματα διά την Ε τάξιν των Δημοτικών Σχολείων, Αθήνα: Βιβλιοπωλείον Ιωάν. Σιδέρη. Kieren, T.E. (1995). Creating Spaces for Learning Fractions. In J. T. Sowder and B. P. Schappelle (Eds.), Providing a Foundation for Teaching Mathematics in the Middle Grades, (pp. 31-66). Albany: State University of New York Press. Κυριαζοπούλου, Δ., & Αλεξοπούλου, Β. (1970). Αριθμητική Γεωμετρία, Ε Δημοτικού, Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. Lamon, S.L. (2001). Presenting and Representing: From Fractions to Rational Numbers. In A. Cuoco & F. Curcio (Eds.), The Roles Of Representations in School Mathematics-2001 Yearbook (pp. 146-165). Reston: NCTM. Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987). Representations and Translations Among Representations in Mathematics Learning and Problem Solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 33-40). Hillsdale, NJ : Lawrence Erlsbaum Lowrie, T. (1999). Posing problems and solving problems. Australian Primary Mathematics Classroom 4(4), 28-31. Lowrie T., & Diezmann (2011). Solving graphics tasks: Gender differences in middle-school students, Learning and Instruction 21 (2011) 109e125 Μιχαηλίδου, Ε. (1935). Ο Μικρός Γεωμέτρης Πρακτική Γεωμετρία, Διά μαθητάς Δημοτικών και Κατώτερων Επαγγελματικών Σχολείων, Αθήνα: Ιωάννης Δ. Κολλάρος & ΣΙΑ Βιβλιοπωλείον «Εστία». Μωραϊτης, Σπ.(1878). Αριθμητικά Προβλήματα Εγγράφως λυόμενα, Εν Αθήναις: Τυπογραφείο Βλαστού. Παπαμαύρου, Μ. (1935). Αριθμητικά Προβλήματα του Δημοτικού Σχολείου (Νέον Σύστημα) ΣΤ τάξεως, Αθήναι: Εκδοτικός Οίκος Δημητράκου Α.Ε. Pitta-P nt zi, D., Gr y, E. & Christo, C. (200 ). E m nt ry schoo st d nts m nt r pr s nt tions o r ctions. In M. Høin s & A. F g st d (Eds.) Proceedings of the 28th annual conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 41-48). Bergen, Norway: Bergen University College. Σαμαράς, Κ. Η. (1979). «Αριθμητική Γεωμετρία» Ε Δημοτικού, Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. Schnotz, W. (2002). Commentary: Towards an integrated view of learning from text and visual displays. Educational Psychology Review, 14(1), 101-120. Silver, E. A. (1994). On mathematical problem posing. For the Learning of Mathematics, 14 (1), 19-28. Σκουμπουρδή, Χ. (2009). Οι μεταρρυθμίσεις του εκπαιδευτικού συστήματος στην Ελλάδα και τα Αναλυτικά Προγράμματα των Μαθηματικών, Σύγχρονη Εκπαίδευση, τ. 159, σσ. 95-118. Σκουμπουρδή, Χ. (2012). Σχεδιασμός ένταξης υλικών και μέσων στη μαθηματική εκπαίδευση των μικρών παιδιών. Αθήνα: Πατάκης. Τζεκάκη, Μ. (2007). Μικρά παιδιά, μεγάλα μαθηματικά νοήματα, Αθήνα: Gutenberg. 1274

Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων, Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (2003). Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Σπουδών Προγραμμάτων Σπουδών και Αναλυτικά προγράμματα Σπουδών για την υποχρεωτική εκπαίδευση, τ. Α, Φ.Ε.Κ., τεύχος Β, αρ. φύλλου 303. σ. 3983. Αθήνα: ΥΠΕΠΘ-Π.Ι. ABSTRACT Different kinds of pictorial representations have a significant role on mathematics learning. The historical review of representations in Mathematics provide a better understanding of the r pr s nt tions contrib tion in m th m tics d c tion, s w s th nomin tion o th different types of representation that were used in Mathematics in the past. Old school textbooks in mathematics provide very rich educational and historical material. The aim of this article is the utilization of pictorial representations in school textbooks of 5 th Grade in Mathematics historically and specially in problem solving in fractions according the didactical method that is adapted. Σκανδαλάκη Εμμανουέλα Υπ. Διδάκτωρ Παν.Αιγαίου Φορνέζη 31, Καλλιθέα, 210 9582161 skandalaki@aegean.gr Σκουμπουρδή Χρυσάνθη Επίκουρη Καθηγήτρια Παν. Αιγαίου, 25ης Μαρτίου 1, Ρόδος 85100, 22410 99144 kara@aegean.gr 1275