ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Μου δίνεται η ευκαιρία με την περάτωση της παρούσης διδακτορικής διατριβής να σημειώσω ότι, είναι ιδιαίτερα δύσκολο και κοπιαστικό να ολοκληρώσεις το έργο που ξεκινάς κάποια στιγμή έχοντας ταυτόχρονα και άλλες υποχρεώσεις που πρέπει να διεκπεραιώσεις. Πολλές φορές είναι μάταιο και άλλες πάλι εφικτό. Γι αυτόν ακριβώς το λόγο θα πρέπει να ευχαριστήσω θερμά ιδιαίτερα τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Κων/νο Παπαρρίζο που στήριξε την προσπάθεια μου σε δύσκολες στιγμές, με καθοδήγησε και μου αφιέρωσε πολύ από τον πολύτιμο χρόνο του για να φτάσουμε ως εδώ. Θα πρέπει παράλληλα να ευχαριστήσω τα μέλη της συμβουλευτικής επιτροπής κ. Αθανάσιο Μανιτσάρη, Αναπληρωτή Καθηγητή και τον κ. Γεώργιο Στεφανίδη, Επίκουρο Καθηγητή για τις υποδείξεις και παρατηρήσεις τους στη διάρκεια εκπόνησης της παρούσης εργασίας. Επίσης πρέπει να ευχαριστήσω τον Λέκτορα κ. Ν. Σαμαρά για τη βοήθεια του σε θέματα που αφορούν την υπολογιστική μελέτη της διατριβής και τους συναδέλφους μου υποψήφιους διδάκτορες κ. Ελένη Ρώσσιου, κ. Άγγελο Σιφαλέρα, κ. Παναγιώτη Καραγιάννη, και κ. Βασίλη Λαζαρίδη για την καλή συνεργασία που είχαμε σε όλο αυτό το χρονικό διάστημα. Τέλος, ιδιαίτερα πρέπει να ευχαριστήσω την οικογένειά μου για την συμπαράστασή τους και για τον λίγο χρόνο που τους αφιέρωσα με την ελπίδα να τους το ανταποδώσω τα επόμενα χρόνια. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2005 Κώστας Δόσιος
2
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Είναι γνωστό ότι το Γραμμικό Πρόβλημα (ΓΠ) είναι ένα από τα πλέον εφαρμοσμένα προβλήματα των Μαθηματικών. Η βιβλιογραφία είναι γεμάτη από ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Μερικές εφαρμογές του, για να αναφέρουμε μερικές μόνον, είναι στους παρακάτω επιστημονικούς χώρους: Πληροφορικής, Μάνατζμεντ, Μάρκετινγκ και Λήψη Αποφάσεων. Επίσης πληθώρα αλγοριθμικών μεθόδων έχουν αναπτυχθεί ως τώρα. Η πιο γνωστή απ αυτές είναι χωρίς αμφιβολία η μέθοδος Simplex. Παρά την εμφάνιση προσφάτως των Αλγορίθμων Εσωτερικών Σημείων (ΑΕΣ) οι οποίοι φαίνεται ότι είναι περισσότερο αποτελεσματικοί σε μεγάλα προβλήματα οι αλγόριθμοι τύπου Simplex παραμένουν αποτελεσματικότεροι σε μικρού και μεσαίου μεγέθους προβλήματα. Ένας άλλος λόγος για τον οποίο οι αλγόριθμοι Simplex παρουσιάζουν ενδιαφέρον έχει σχέση με την ανάπτυξη ενός ισχυρά πολυωνυμικού αλγορίθμου που είναι σήμερα ένα από τα πιο γνωστά ανοιχτά προβλήματα. Πράγματι, ένας απλά πολυωνυμικός αλγόριθμος Simplex θα είναι και ισχυρά πολυωνυμικός. Στην παρούσα διατριβή αναπτύσσεται ένας αλγόριθμος τύπου Simplex ο οποίος έχει δυο ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά. Από τη μια μεριά ο αλγόριθμος αποφεύγει την εφικτή περιοχή, δηλαδή είναι ένας αλγόριθμος Εξωτερικών Σημείων. Είναι γνωστό ότι σύντομοι δρόμοι τύπου Simplex που αποφεύγουν την εφικτή περιοχή και συνδέουν ένα οποιοδήποτε βασικό σημείο με ένα βέλτιστο υπάρχουν πάντοτε. Από την άλλη μεριά ο αλγόριθμος κατέχει και ένα δεύτερο μονοτονικό κριτήριο εκτός της μονοτονίας της αντικειμενικής συνάρτησης, δηλαδή ελαττώνει την μη εφικτότητα του προβλήματος. Στη διατριβή γίνεται αναλυτική αιτιολόγηση του αλγορίθμου και εξάγεται η περατότητά του. Περιγράφεται ένας τρόπος υλοποίησης του αλγόριθμου για εκφυλισμένα προβλήματα καθώς και η χρήση του αλγόριθμου στην επίλυση γενικών γραμμικών προβλημάτων με τη χρήση μιας μεθόδου μεγάλου Μ. Τέλος παρουσιάζονται αποτελέσματα μιας 3
εκτενούς υπολογιστικής μελέτης στην οποία συγκρίνεται ο δικριτήριος αλγόριθμος με τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex. Ο δυϊκός αλγόριθμος Simplex έχει επιλεγεί για λόγους αμεροληψίας της σύγκρισης. Η σύγκριση έγινε σε τυχαία προβλήματα, αραιά και πυκνά. Τα αποτελέσματα της υπολογιστικής μελέτης αποκαλύπτουν ότι ο δικριτήριος αλγόριθμος είναι περισσότερο αποτελεσματικός. Η τάξη ανωτερότητάς του είναι ανάλογη αυτής του αλγορίθμου εξωτερικών σημείων σε σχέση με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex. Τα αποτελέσματα αυτά αποδεικνύουν ότι ο δικριτήριος αλγόριθμος είναι το ίδιο αποτελεσματικός με τον αλγόριθμο εξωτερικών σημείων. 4
ABSTRACT It is well known that the Linear Problem (LP) is perhaps the most applied problem of mathematics. The bibliography contains plenty of interesting applications. Some applications, just to inetion some of them, are in the following scientific areas: Informatics, Management, Marketing, Economics and Decision Making. In addition a large number of algorithmic methods have been proposed for its solution undoubtedly the most famous of them is the Simplex method. Despite the recent appearance of the interior Point Methods (IPM) that seem to be more efficient in large problems simplex type algorithms remain superior in the small and medium size problems. Another reason that Simplex type algorithms remain in the interest concerns the development of a strongly polynomial algorithm, which is one of the open problem on linear programming. Indeed, any polynomial Simplex type algorithm is also a strongly polynomial algorithm. In this dissertation a Simplex type algorithm possessing two additional interesting characteristics is presented. From one point of view the algorithm is capable of avoiding the feasible region that is it is an exterior point algorithm. It is well known that short Simplex type paths connecting an arbitrary basic point with an optimal one and capable of avoiding the feasible region always exist. From another point of view, the algorithm possesses a second monotonic criterion except that of the monotonicity of the objective function, that is, the infeasibility of the primal problem is reduced from iteration to iteration. The correctness of the algorithm is shown in an analytical way and results regarding its finiteness for non degenerate problems are derived. An improved version for solving degenerate problems is described and its use in solving general linear problems through a big M method is presented. Finally, results of an extensive computational study comparing the bicriterion algorithm with the dual Simplex algorithm are presented. The dual Simplex algorithm is chosen because it is initialized in a similar way so 5
that the comparison is fair. The comparison is based on randomly generated dense and sparse linear problems. Our results reveal that the bicriterion algorithms is more efficient that the dual Simplex algorithms. The superiority is similar to that of the exterior point Simplex algorithm over the primal Simplex algorithm. From these facts we conclude that the bicreterion algorithm and the exterior point Simplex algorithm are equivalent in terms of practical efficiency. 6