ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ

Transcript

1 ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ Παπαρρίζος Κωνσταντίνος, Σαμαράς Νικόλαος, Στεφανίδης Γεώργιος Τμ. Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Εγνατία 156, 546 Θεσσαλονίκη ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Παρουσιάζεται ένας τρόπος δημιουργίας βέλτιστων τυχαίων γραμμικών προβλημάτων. Χρησιμοποιώντας αυτού του είδους τα προβλήματα πραγματοποιήσαμε μια υπολογιστική μελέτη συγκρίνοντας τον κλασσικό αλγόριθμο Simple, με τον κανόνα περιστροφής του Dantzig, με έναν νέο αλγόριθμο εξωτερικών σημείων. Ο αλγόριθμος εξωτερικών σημείων βρέθηκε εντυπωσιακά αποτελεσματικότερος έναντι του κλασσικού αλγορίθμου Simple. Λέξεις Κλειδιά: Αλγόριθμοι Γραμμικού Προγραμματισμού, Τυχαία Προβλήματα, Υπολογιστικές Μελέτες. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πρόσφατα, ο Paparrizos [3] επεκτείνοντας προηγούμενα αποτελέσματά του, ανέπτυξε ένα γενικό αλγόριθμο εξωτερικών σημείων (EPSA) για προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Ένα κοινό χαρακτηριστικό όλων σχεδόν των τύπου simple αλγόριθμων είναι ότι μπορούν να ερμηνευτούν ως μια διαδικασία που ακολουθεί τύπου simple διαδρομές οι οποίες καταλήγουν στη βέλτιστη λύση. Ο αλγόριθμος αυτός διαφέρει ριζικά από τον Πρωτεύοντα Αλγόριθμο Simple (PSA) επειδή οι βασικές λύσεις του δεν είναι εφικτές. Οι Paparrizos et. al. [5] έδειξαν ότι η γεωμετρία του EPSA καθιστά φανερό ότι αυτός ο αλγόριθμος είναι ταχύτερος από τη γνωστή μέθοδο simple, γεγονός το οποίο επαληθεύτηκε σε πρωταρχικά υπολογιστικά αποτελέσματα σύγκρισης πρώιμων δυϊκών εκδόσεων του EPSA σε ειδικά δομημένα γραμμικά προβλήματα, βλ. [1], [2]. Στην εργασία μας αυτή παρουσιάζουμε έναν τρόπο δημιουργίας βέλτιστων τυχαίων γραμμικών προβλημάτων και μια νέα μέθοδο μεγάλου - Μ για τη λύση γενικών γραμμικών προβλημάτων. Ο νέος αλγόριθμος μπορεί να θεωρηθεί ως μια προσπάθεια τελειοποίησης του αλγόριθμου του Paparrizos [3]. Χρησιμοποιώντας αυτού του είδους τα προβλήματα, πραγματοποιούμε μια εκτεταμένη υπολογιστική μελέτη για να επαληθεύσουμε την ανωτερότητα του νέου αλγόριθμου επί του κλασσικού αλγόριθμου simple. Τα υπολογιστικά μας αποτελέσματα καθιστούν φανερό ότι ο EPSA είναι σημαντικά ταχύτερος από τον PSA σε τυχαία δημιουργημένα πυκνά γραμμικά προβλήματα και ότι η ανωτερότητα αυξάνει ανάλογα με τη διάσταση του προβλήματος. Ειδικότερα, σε βέλτιστα προβλήματα, ο EPSA είναι μέχρι και 1 φορές ταχύτερος από τον PSA, γεγονός ενθαρρυντικό και ελπιδοφόρο για τον αλγόριθμο αυτό. Η διάρθρωση του άρθρου μας είναι η ακόλουθη: Στην ενότητα 2 ανακεφαλαιώνουμε ορισμένα γνωστά αποτελέσματα σε αναθεωρημένη μορφή και παρουσιάζουμε τον αλγόριθμο EPSA. Στην ενότητα 3 δίνουμε τα βασικά σημεία μιας μεθόδου μεγάλου - Μ για τον αλγόριθμό μας. Στην ενότητα 4 παρουσιάζουμε έναν τρόπο δημιουργίας βέλτιστων τυχαίων γραμμικών

2 προβλημάτων και στην ενότητα 5 δίνουμε τα υπολογιστικά αποτελέσματα. Τέλος στην ενότητα 6 αναφέρουμε τα συμπεράσματά μας και πιθανές επεκτάσεις του αλγόριθμου. 2. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Θεωρούμε το ακόλουθο πρόγραμμα γραμμικού προγραμματισμού min c µ. π. A = b (P.1) όπου A R m n, c, R n, b R m και σημαίνει αναστροφή. Ας υποθέσουμε αρχικά ότι rank(a) = m, 1 m < n. Διαμερίζοντας τον πίνακα Α ως 1 και τα διανύσματα και c αντίστοιχα ως A = ( ) =, c c = c το (P.1) γράφεται min µ. π. c + c +, = b Ο πίνακας είναι ένας mn αντιστρέψιμος υποπίνακας του A, γνωστός ως βασικός πίνακας. Οι στήλες του A οι οποίες ανήκουν στον λέγονται βασικές και όσες εναπομένουν λέγονται μη βασικές. Δοθείσης μιας βάσης, η αντίστοιχη λύση = -1 b, = λέγεται ότι είναι μια βασική λύση. Μια λύση = (, ) είναι εφικτή αν. Διαφορετικά λέγεται μη εφικτή. Είναι γνωστό ότι η λύση του δυϊκού προβλήματος που αντιστοιχεί στη βάση, δίνεται από την s = c A w όπου w = (c ) -1 είναι οι πολλαπλασιαστές simple και s είναι οι δυϊκές χαλαρές μεταβλητές. Η αντίστοιχη βάση λέγεται δυϊκή εφικτή αν s. Είναι γνωστό επίσης ότι s =. Σε κάθε επανάληψη ο PSA εναλλάσσει μια στήλη του με μια στήλη του, κατασκευάζοντας έτσι μια νέα βάση. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι ο PSA κινείται κατά μήκος των ακμών του πολύεδρου P = { A b, }. Ένας τέτοιος δρόμος είναι γνωστός 1 Χρησιμοποιούμε μια φορά το γράμμα Β για να συμβολίσουμε ένα σύνολο δεικτών και μια φορά για να συμβολίσουμε έναν πίνακα. Το ίδιο κάνουμε και για το Ν. Θεωρούμε ότι από τα συμφραζόμενα θα φαίνεται αν τα γράμματα αυτά συμβολίζουν σύνολα δεικτών ή πίνακες.

3 ως ένας δρόμος simple. Από την άλλη μεριά, ο EPSA δημιουργεί δύο δρόμους προς την βέλτιστη λύση. Ο ένας δρόμος είναι μη εφικτός και ο άλλος είναι εφικτός. Έτσι ο EPSA δεν χρειάζεται να προχωράει εξετάζοντας μια τέτοια ακμή μετά την άλλη κατά μήκος του πολύεδρου. Επομένως, μπορούμε να ακολουθήσουμε συντομότερους δρόμους παρακάμπτοντας την εφικτή περιοχή. Πριν να προχωρήσουμε στην περιγραφή του EPSA, κρίνουμε σκόπιμο να εξηγήσουμε κάποιους συμβολισμούς. Η i-γραμμή του A συμβολίζεται με A i. και η -στήλη με A.. Σημειωτέον ότι το συνολικό έργο μιας επανάληψης σε αλγόριθμους τύπου simple καθορίζεται από τον προσδιορισμό του αντίστροφου πίνακα -1 και σε κάθε επανάληψη ο τρέχων αντίστροφος -1 μπορεί να υπολογιστεί από τον προηγούμενο αντίστροφο -1 με μια απλή πράξη περιστροφής. Δηλαδή έχουμε όπου Ε -1 είναι ο πίνακας E = I 1 a pq (a e )e q q -1 = Ε -1 Β -1 q 1 =! a a 1q " 1/a " mq /a pq /a pq pq! 1 Στην παραπάνω σχέση a pq είναι το στοιχείο περιστροφής, η στήλη q λέγεται στήλη περιστροφής και η γραμμή p λέγεται γραμμή περιστροφής. Ο αλγόριθμος EPSA. Βήμα. (Ξεκίνημα). Άρχισε με μια εφικτή βασική διαμέριση (, ). Υπολόγισε τον πίνακα και τα διανύσματα -1,, w, s, αντίστοιχα. Βρες τα σύνολα P = { : s < } και Q = { : s }. Επέλεξε αυθαίρετα ένα διάνυσμα λ = (λ 1, λ 2,, λ P ) > και υπολόγισε το s χρησιμοποιώντας τη σχέση και το διάνυσμα με Βήμα 1. (Έλεγχος τερματισμού). s = λ s P d = λ h h P = A. i. (Έλεγχος βελτιστότητας). If P =, SOP. Το πρόβλημα (P.1) είναι βέλτιστο. ii. (Επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής). Αν d, SOP. Αν s =, το πρόβλημα (P.1) είναι βέλτιστο. Αν s < το πρόβλημα (P.1) είναι απεριόριστο. Διαφορετικά, επέλεξε την εξερχόμενη μεταβλητή [r] = k χρησιμοποιώντας τη σχέση [] r [] i α = = min : d [] i < d [] r d [] i

4 Βήμα 2. (Επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής). Υπολόγισε τα διανύσματα H rp = ( -1 ) r. A P και H rq = ( -1 ) r. A Q. Βρες επίσης τους λόγους θ 1 και θ 2 χρησιμοποιώντας τις σχέσεις sp s θ1 = = min : h r > και P (1) h rp h r sq s θ2 = = min : h r < και Q (2) h rq h r και προσδιόρισε δείκτες t 1 και t 2 τέτοιους ώστε P(t 1 ) = p και Q(t 2 ) = q. Αν θ 1 θ 2, θέσε l = p. Διαφορετικά, θέσε l = q. Η μη βασική μεταβλητή l εισέρχεται στη βάση. Βήμα 3. (Περιστροφή). Θέσε [r] = l. Αν θ 1 θ 2 θέσε P = P\{l} και Q = Q {k}. Διαφορετικά, θέσε Q[t 2 ] = k. Χρησιμοποιώντας τη νέα διαμέριση (, ), όπου = (P, Q), υπολόγισε τον πίνακα και τα διανύσματα -1,, w, s, αντίστοιχα. Επίσης, ανανέωσε το διάνυσμα d χρησιμοποιώντας τη σχέση και πήγαινε στο Βήμα 1. d Η απόδειξη της ορθότητας του παραπάνω αλγόριθμου μπορεί να βρεθεί στις αναφορές [4] και [5]. = E 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Έστω το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (P.1). Είναι γνωστό ότι οι αλγόριθμοι τύπου simple ξεκινούν με μια βασική εφικτή λύση και στη συνέχεια κινούνται προς μια βελτιωμένη γειτονική βασική εφικτή λύση μέχρις ότου είτε να καταλήξουν στο βέλτιστο σημείο είτε να παρατηρηθεί το απεριόριστο της αντικειμενικής συνάρτησης. Παρόμοια, για το ξεκίνημα του EPSA πρέπει να είναι διαθέσιμη μια βάση με = -1 b. Αρχικά ελέγχουμε αν και αν αυτή η σχέση ισχύει μπορούμε να εφαρμόσουμε τον EPSA. Διαφορετικά πρέπει να κατασκευάσουμε εφικτή βασική λύση. Για να βρούμε μια αρχική εφικτή λύση χρησιμοποιούμε μια τροποποιημένη μέθοδο μεγάλου-μ με μία τεχνητή μεταβλητή. Η τεχνική της μίας τεχνητή μεταβλητής μπορεί να ειδωθεί ως η δυϊκή μιας παρόμοιας τεχνικής η οποία προσθέτει μια νέα γραμμή προκειμένου να επιτευχθεί μια βασική δυϊκή εφικτή λύση για ξεκίνημα. Υπενθυμίζουμε ότι μια δυϊκή βασική λύση λέγεται εφικτή αν s. Υπολογιστικά αποτελέσματα αυτής της τεχνικής μπορούν να βρεθούν στην [7]. Εξηγούμε τώρα το λόγο που μας οδήγησε να τροποποιήσουμε τη μέθοδο του μεγάλου-μ. Το κύριο μειονέκτημα στην υλοποίηση της μεθόδου του μεγάλου-μ έχει να κάνει με την εξής ερώτηση: Πόσο μεγάλο θα πρέπει να είναι το Μ; Είναι φανερό ότι το Μ θα πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο ώστε κάποια βασική εφικτή λύση με τεχνητή μεταβλητή ίση με μηδέν να έχει αντικειμενική τιμή αυστηρά καλύτερη απ' ότι έχει η καλύτερη βασική εφικτή λύση της οποίας η τεχνητή μεταβλητή είναι αυστηρά θετική. Πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί στην d

5 επιλογή μιας τιμής για το Μ. Ακατάλληλη επιλογή της τιμής μπορεί να οδηγήσει σε υπολογιστικά προβλήματα σφάλματος στρογγυλοποίησης. Για να αποφύγουμε αυτό το υπολογιστικό μειονέκτημα θεωρούμε ότι είναι σκόπιμο να διαχωρίσουμε τους συντελεστές του Μ στο διάνυσμα κόστους αφού προσθέσουμε μια τεχνητή μεταβλητή n+1, από τους συντελεστές του αρχικού διανύσματος κόστους. Διευκρινίζουμε περαιτέρω την τροποποιημένη μέθοδο του μεγάλου-μ στο γραμμικό πρόβλημα min µ. π. (c + Mc)y (A,f )y y = b (P.2) όπου M είναι ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός, y = (, n+1 ) είναι οι δομικές (structural) μεταβλητές, c = (c, ) και c = [ 1] R n+1 είναι οι συντελεστές του M στην αντικειμενική συνάρτηση. Το διάνυσμα f δίνεται από τη σχέση f = -e (3) όπου e είναι διάνυσμα με όλες τις συνιστώσες του ίσες με 1. Μπορούμε τώρα να επιλέξουμε την τεχνητή μεταβλητή ως την εισερχόμενη μεταβλητή και στη συνέχεια επιλέγουμε την εξερχόμενη μεταβλητή [r] = k με τη σχέση { } β = [r] = min [] i :1 i m (4) Είναι προφανές ότι το αντίστοιχο βασικό σημείο είναι μη εφικτό επειδή [r] = -b r > [i] = b i - b r, i r =, Μια περιστροφή μας μετακινεί σ' αυτήν τη βάση από τη βάση που αποτελείται από το σύνολο των χαλαρών μεταβλητών, η οποία δεν είναι εφικτή. Θέτουμε [r] = n + 1 και [n - m + 1] = k και υπολογίζουμε τον πίνακα και τα διανύσματα -1,, w, s. Επειδή υπάρχει ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός M, στο διάνυσμα κόστους, ξαναγράφουμε τα διανύσματα w και s συναρτήσει των συντελεστών του M και των συντελεστών του αρχικού διανύσματος κόστους. Θέτοντας και s w = c = c w και και w = c s = c w μπορούμε να δούμε εύκολα ότι w = w + wm οπότε s = s + sm (5) Στο σημείο αυτό έχουμε κατασκευάσει μια βασική εφικτή λύση για το πρόβλημα (P.2) του μεγάλου-μ, οπότε μπορεί να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της ενότητας 2. Μια τυπική περιγραφή της παραπάνω μεθόδου δίνεται στην [6].

6 4. ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουμε έναν τρόπο δημιουργίας τυχαίων βέλτιστων γραμμικών προβλημάτων. Τα τυχαία βέλτιστα προβλήματα που δημιουργούνται είναι της μορφής min µ. π. c A b όπου A R m n, c, R n, b R m και σημαίνει αναστροφή. Επειδή κάθε περιορισμός Α i. = b i, i = 1,, m, αντιστοιχεί σε ένα υπερεπίπεδο, η δημιουργία ενός τυχαίου προβλήματος συνίσταται στην τυχαία δημιουργία ενός υπερεπιπέδου. Αυτά τα υπερεπίπεδα δημιουργούνται έτσι ώστε να εφάπτονται σε μια σφαίρα, Β(, R), με κέντρο και ακτίνα R. Προς το σκοπό αυτό κατασκευάζουμε τυχαίο διάνυσμα d μοναδιαίου μέτρου και στη συνέχεια βρίσκουμε την τομή της ακτίνας { + td: t } με τη σφαίρα. Αν 1 είναι το σημείο αυτό, θα έχουμε (βλ. Σχήμα 1) E R d 1 Σχήμα 4.1 Υπερεπίπεδο εφαπτόμενο στη σφαίρα 1 = + td, d = 1 1 = R, R > 1 = td 1 2 ( ) = R 2 1 = td 2 2 (td) = R t 2 1 = R 2 = td 1 = td t = R R Εποµ ένως 1 = + Rd, d = 1 Φέρνουμε μετά υπερεπίπεδο που να διέρχεται από το 1 και να εφάπτεται της σφαίρας (κάθετο στο διάνυσμα d). Προσδιορίζουμε στη συνέχεια μια ανισότητα έτσι ώστε το κέντρο της σφαίρας να την ικανοποιεί και συμβολίζουμε την ανισότητα αυτή a b. Για την εξίσωση του υπερεπιπέδου που διέρχεται από το σημείο 1 και είναι κάθετο στο διάνυσμα d έχουμε: Αν είναι ένα σημείο του υπερεπιπέδου, το διάνυσμα v από το σημείο 1 στο είναι v = - 1 και επειδή το v είναι κάθετο στο d προκύπτει d Τ v = d Τ ( - - Rd) = d Τ = d + Rd d d Τ = d + R Επομένως η εξίσωση του υπερεπιπέδου που εφάπτεται σε τυχαίο σημείο της σφαίρας Β(, R) είναι d = R + d

7 οπότε η αντίστοιχη ανισότητα είναι d R + d, δηλαδή είναι a = d και b = R + d. 5. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Οι αλγόριθμοι που περιγράφτηκαν στις ενότητες 2 και 3 έχουν υλοποιηθεί πειραματικά. Στην ενότητα αυτή περιγράφουμε τα αριθμητικά πειράματα και παρουσιάζουμε τα υπολογιστικά αποτελέσματα τα οποία δείχνουν την ανωτερότητα του EPSA για τυχαία γραμμικά προγράμματα. Τα αριθμητικά μας πειράματα έγιναν σε PC με 233MHz Pentium II επεξεργαστή, RAM 64Mb και με λειτουργικό σύστημα Windows 98. Η υλοποίηση έγινε στο υπολογιστικό περιβάλλον του MALA. Το MALA διαθέτει το κατάλληλο περιβάλλον για τον προγραμματισμό αυτού του είδους των αλγόριθμων. Τα βέλτιστα πυκνά γραμμικά προβλήματα που επιλύθηκαν είναι της γενικής μορφής min c μ.π. A b όπου, A R m n, c, R n και b R m. Τα επίπεδα των περιορισμών είναι εφαπτόμενα σφαίρας έτσι ώστε το κέντρο της να είναι εφικτό. Επίσης, αυτά τα προβλήματα έχουν μια εφικτή περιοχή η οποία είναι ένα κλειστό πολύεδρο. Για κάθε μέγεθος του προβλήματος παρουσιάζουμε από κοινού κάποια στατιστικά στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν στην υπολογιστική μας μελέτη και πληροφορίες για την επίδοση των δύο αλγόριθμων, PSA και EPSA. Οι στήλες των πινάκων 1 έως 3 περιλαμβάνουν το μέγεθος του προβλήματος, τον μέσο αριθμό επαναλήψεων, niter, τον μέσο CPU χρόνο, CPU και τον μέσο CPU χρόνο ανά επανάληψη, CPU/niter, σε δευτερόλεπτα, για κάθε πυκνότητα και διάσταση. Πίνακας 5.1 Υπολογιστικά αποτελέσματα για βέλτιστα πυκνά προβλήματα nn PSA EPSA nn niter CPU CPU/niter niter CPU CPU/niter Πίνακας 5.2 Υπολογιστικά αποτελέσματα για βέλτιστα πυκνά προβλήματα n2n PSA EPSA nn niter CPU CPU/niter niter CPU CPU/niter

8 Πίνακας 5.3 Υπολογιστικά αποτελέσματα για βέλτιστα πυκνά προβλήματα 2nn PSA EPSA nn niter CPU CPU/niter niter CPU CPU/niter Για να φανεί πιο καθαρά η ανωτερότητα του EPSA επί του PSA παρέχουμε τώρα μερικούς πίνακες που δείχνουν για κάθε διάσταση τους λόγους τους σχετικούς με τους παραπάνω πίνακες. Στους πίνακες 4 έως 6 παρουσιάζουμε τους λόγους (επαναλήψεις του EPSA)/( επαναλήψεις του Simple) και (CPU χρόνος του EPSA)/(CPU χρόνος του Simple) για τις αντίστοιχες διαστάσεις. Πίνακας 5.4 Λόγοι για βέλτιστα πυκνά προβλήματα nn nn niter EPSA/Simple CPU EPSA/Simple Πίνακας 5.5 Λόγοι για βέλτιστα πυκνά προβλήματα n2n nn niter EPSA/Simple CPU EPSA/Simple Πίνακας 5.6 Λόγοι για βέλτιστα πυκνά προβλήματα 2nn nn niter EPSA/Simple CPU EPSA/Simple ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην εργασία αυτή παρουσιάσαμε έναν νέο τρόπο δημιουργίας βέλτιστων τυχαίων γραμμικών προβλημάτων μεγάλης-κλίμακας και μια υπολογιστική προσέγγιση για την επίλυση αυτών των προβλημάτων. Στις προηγούμενες ενότητες παρουσιάσαμε τα κύρια σημεία για μια αποτελεσματική υλοποίηση του αλγόριθμου εξωτερικών σημείων (EPSA). Η υπολογιστική μελέτη της ενότητας 5 φανερώνει ότι όσο η διάσταση του γραμμικού προβλήματος αυξάνει τόσο ο EPSA γίνεται ταχύτερος του PSA. Αν και ο EPSA είναι πολύ ταχύς υπάρχει ακόμα χώρος για περαιτέρω βελτίωση του. Συγκεκριμένα, οι περισσότερες από τις τεχνικές που

9 εφαρμόζονται στις βελτιωμένες υλοποιήσεις του PSA πιστεύουμε ότι μπορούν με μικρές αλλαγές να εφαρμοστούν και στον EPSA. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1]. Aleouda, G., Paparrizos, K. (1997). "A comparative computational study with an eterior point simple algorithm", Proceedings of 4 th alkan Conference on Operational Research, Vol. 1, pp [2]. Dosios, K., Paparrizos K, (1997). "Resolution of the problem of degeneracy in a primal and dual simple algorithm", Operation Research Letters 2 pp [3]. Paparrizos, K. (199). "A generalization of an eterior point simple algorithm for linear programming problems", echnical Paper, University of Macedonia. [4]. Paparrizos, K. (1996). "Eterior point simple algorithm: Simple and short proof of correctness", Proceedings of SYMOPIS 96, pp [5]. Paparrizos, K., Samaras,., siplidis, K. "Pivoting algorithms for (LP) generating two paths", to appear in Encyclopedia of Optimization, Kluwer Academic Publishers. [6]. Paparrizos, K., Samaras,., Stephanides, G., Zissopoulos, D. "An efficient simple type algorithm for sparse and dense linear programs", Submitted for publication in European Journal of Operations Research. [7]. Wolfe, P., Culter, L. (1963). "Eperiments in linear programming", in: R.L. Graves, Wolfe P. (Eds), Recent Advances in Mathematical Programming, McGraw-Hill, ew York, pp