ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.

Transcript

1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο «Δικτυακή Βελτιστοποίηση» γράφτηκε με κύριο στόχο να καλύψει τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος «Δικτυακός Προγραμματισμός», που διδάσκεται στο Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, του Πανεπιστημίου Μακεδονίας. Για την κατανόηση του περιεχόμενου δεν απαιτούνται προχωρημένες γνώσεις Πληροφορικής ή Μαθηματικών άλλες από αυτές που περιέχονται στις παραδόσεις. Για την περιγραφή των αλγορίθμων χρησιμοποιείται κατάλληλος ψευδοκώδικας, ο οποίος περιέχει όλες τις συνηθισμένες δομές των γλωσσών προγραμματισμού. Με τη χρήση του ψευδοκώδικα γίνεται εφικτή η περιγραφή τόσο των απλών και γνωστών αλγορίθμων όπως είναι για παράδειγμα ο αλγόριθμος ανίχνευσης συνεκτικότητας, όσο και πιο πολύπλοκοι αλγόριθμοι δικτύων όπως ο πρωτεύων αλγόριθμος Simplex για προβλήματα ροής ελαχίστου κόστους. Η Δικτυακή Βελτιστοποίηση έχει σήμερα ένα ευρύτατο φάσμα εφαρμογών. Το παρόν βιβλίο παρουσιάζει αναλυτικά αλγόριθμους για διάφορες κατηγορίες προβλημάτων Δικτύων. Η ανάπτυξη τους γίνεται με σκοπό ο αναγνώστης να εξοικειωθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε να μπορεί να υλοποιήσει σε Η/Υ τους κατάλληλους αλγόριθμους και να επιλύσει προβλήματα Δικτύων. Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε τους συνεργάτες μας Διδάκτορες Δόσιο Κωνσταντίνο και Μπαλούκα Αθανάσιο, για την πολύτιμη συνεισφορά τους με τις υποδείξεις και διορθώσεις τους στο βιβλίο. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Ορισμός και ιδιότητες γραφημάτων Δέντρα ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Μήτρα πρόσπτωσης κόμβων τόξων Μήτρα πρόσπτωσης κόμβων κόμβων ή μήτρα γειτονιάς Αποθήκευση με συνδεμένες λίστες Αστεροειδής αποθήκευση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Ορισμός και ιδιότητες των αλγόριθμων Μερικοί μαθηματικοί συμβολισμοί Περιγραφή των αλγορίθμων ΑΠΛΕΣ ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στοίβες Ουρές Συνδεμένες λίστες ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ ή ΔΙΑΣΧΙΣΗΣ Αλγόριθμος ανίχνευσης Ψάξε Πρώτα Πλάτος (ΨΠΠ) ή Breadth (Width) First Search (BFS) Αλγόριθμος ανίχνευσης Ψάξε Πρώτα Βάθος (ΨΠΒ) ή Depth First Search (DFS) Εντοπισμός προσανατολισμένων κύκλων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 2.1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ Προβλήματα ροής ελάχιστου κόστους Ειδικές περιπτώσεις του ΠΡΕΚ Άλλα κλασσικά προβλήματα δικτύων ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ Αντικατάσταση μη μηδενικής ελάχιστης χωρητικότητας l ij Απαλοιφή αρνητικών τόξων Απαλοιφή άνω χωρητικοτήτων u ij ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΤΗΤΑΣ Υπολογισμός δυϊκών προβλημάτων Συνθήκες βελτιστότητας γραμμικών προβλημάτων Συνθήκες βελτιστότητας του ΠΡΕΚ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... 87

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΔΡΟΜΩΝ 3.1 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΤΗΤΑΣ Συνθήκες βελτιστότητας ΕΛΑΧΙΣΤΟΙ ΔΡΟΜΟΙ ΣΕ ΑΚΥΚΛΑ ΔΙΚΤΥΑ Περιγραφή του αλγορίθμου Αιτιολόγηση του αλγορίθμου ΔΙΚΤΥΑ ΜΕ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΤΟΞΑ Περιγραφή του αλγορίθμου Αιτιολόγηση του αλγορίθμου ΔΙΚΤΥΑ ΧΩΡΙΣ ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΕΝΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ Περιγραφή του αλγορίθμου ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ 4.1 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΤΗΤΑΣ Ροές και τομές Οι συνθήκες βελτιστότητας Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΑΥΞΑΝΟΝΤΩΝ ΔΡΟΜΩΝ Αυξάνοντες s t δρόμοι Περιγραφή του αλγορίθμου Αιτιολόγηση και περάτωση του αλγόριθμου ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ 5.1 Ο ΠΡΩΤΕΥΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΓΙΑ ΠΡΕΚ Υπολογισμός των μεταβλητών x ij Υπολογισμός των μεταβλητών w i και s ij Ανανέωση των τιμών x ij και s ij Περιγραφή του αλγόριθμου σε μορφή βημάτων ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕΝΙΚΩΝ ΠΡΕΚ ΜΕ ΤΟΝ ΠΡΩΤΕΥΟΝΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ SIMPLEX Το πρόβλημα του μεγάλου Μ Το αρχικό δέντρο του τεχνητού προβλήματος Επίλυση του αρχικού ΠΡΕΚ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ SIMPLEX 6.1 ΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ SIMPLEX Περατότητα σε μη εκφυλισμένα προβλήματα Περιγραφή του κανόνα περιστροφής του Cunningham Αιτιολόγηση του κανόνα του Cunningham ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΔΡΟΜΩΝ Δομή των έξω δέντρων Ανανέωση των αποστάσεων ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ SIMPLEX Δομές δεδομένων για το δέντρο T Ανανέωση των δομών Από την επανάληψη (Τ, x(t), w(t)) στην επανάληψη (T, x(t ), w(t ) ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 7.1 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΤΗΤΑΣ Οι συνθήκες βελτιστότητας Ο ΠΡΩΤΕΥΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX Υπολογισμός εφικτού δέντρου ξεκινήματος Περιγραφή του αλγορίθμου ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΛΛΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 8.1 Ο ΔΕΝΔΡΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΑΠΑΡΡΙΖΟΥ Περιγραφή του δέντρου Balinski Περιγραφή Αλγορίθμου ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΑΠΑΡΡΙΖΟΥ ΜΕ ΔΑΣΟΣ ΞΕΚΙΝΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΔΑΣΟΣ Α.Κ.Π Περιγραφή του δάσους ΑΚΠ Περιγραφή του Αλγορίθμου ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΑΠΑΡΡΙΖΟΥ ΜΕ ΑΠΛΟ ΞΕΚΙΝΗΜΑ Περιγραφή του δάσους ξεκινήματος ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ 9.1 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΤΗΤΑΣ Ο ΠΡΩΤΕΥΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΑΠΑΡΡΙΖΟΥ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ ΜΕ ΔΕΝΤΡΟ ΞΕΚΙΝΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΔΕΝΤΡΟ BΑLINSKI ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΑΠΑΡΡΙΖΟΥ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ. ΞΕΚΙΝΗΜΑ ΜΕ ΔΑΣΟΣ ΑΚΠ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΑΠΑΡΡΙΖΟΥ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΜΕ ΑΠΛΟ ΞΕΚΙΝΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΔΕΝΤΡΑ ΚΑΛΥΜΜΑΤΑ 10.1 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ KRUSKAL Περιγραφή του αλγορίθμου Αιτιολόγηση του αλγορίθμου Kruskal ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ PRIM Περιγραφή του αλγορίθμου του Prim Αιτιολόγηση του αλγορίθμου Prim ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 11.1 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΔΡΟΜΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΠΡΕΚ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΔΕΝΔΡΟΥ ΚΑΛΥΜΜΑΤΟΣ ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 12.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ NetPro Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ NETPRO ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ NetPro

6 Παράδειγμα εύρεσης ελαχίστων δρόμων Παράδειγμα μετατροπής ενός τρόπου αποθήκευσης δικτύου σε άλλον Παράδειγμα ανίχνευσης τοπολογικής διάταξης ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ