ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 3ο, 4ο ΘΕΜΑ Πανελληνίων εξετάσεων -OΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ 3 o 00 Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ, μήκους L=1 m και μάζας m=10 kg, μπορεί να στρέφεται γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σημείο Ο, το οποίο επέχει απόσταση L/3 από το άκρο Α της ράβδου Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια με τη βοήθεια νήματος που είναι δεμένο στο άκρο Γ της ράβδου και σχηματίζει γωνία φ=30 ο με την οριζόντια διεύθυνση όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα * οι τριβές στην οριζόντια και κατακόρυφη θέση να θεωρηθούν μηδενικές Α Να βρεθεί η τάση του νήματος Β Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται α Να βρεθεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής της ράβδου β Αν η ράβδος όταν γίνεται κατακόρυφη, έχει γωνιακή ταχύτητα ω=4rad/s, να βρεθεί η κινητική της ενέργεια και η απώλεια ενέργειας λόγω τριβών με τον άξονα περιστροφής γ Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής στροφορμής, όταν η ράβδος γίνεται κατακόρυφη Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας μια ομογενούς και ισοπαχούς ράβδους μάζας M και μήκους L ως προς 1 άξονα περιστροφής που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από τον μέσον της είναι Ι= ΜL 1 ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s ΘΕΜΑ 3 o 003 Ομογενής δίσκος μάζας Μ=3,6 kg και ακτίνας R=0, m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετο στο επίπεδο του Αρχικά ο δίσκος είναι ακίνητος Βλήμα αμελητέων διαστάσεων, μάζας m=0, kg, κινείται οριζόντια στο επίπεδο του δίσκου με ταχύτητα υ 0 και ενσωματώνεται ακαριαία στο ανώτερο σημείο του δίσκου Η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αμέσως μετά την κρούση είναι ω=0 rad/s Να υπολογίσετε: α Τη ροπή αδράνειας του συστήματος μετά την κρούση β Το μέτρο της ταχύτητας υ 0 του βλήματος γ Για πόσο χρόνο θα πρέπει η σταθερή εφαπτομενική δύναμη F=8 N να ασκείται στην περιφέρεια του τροχού, ώστε το σύστημα των δύο σωμάτων να ακινητοποιηθεί δ Την κινητική ενέργεια του συστήματος και το ρυθμό ελάτωσης της τη χρονική στιγμή t 1 =0,5s λόγω της επίδρασης της δύναμης F H ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I Δ =1/ ΜR και 14
3ο, 4ο ΘΕΜΑ Πανελληνίων εξετάσεων -OΕΦΕ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΜΑ 4 o 004 Η τροχαλία του σχήματος είναι ομογενής με μάζα m=4 kg και ακτίνα R=0 cm Τα σώματα Σ 1 και Σ έχουν μάζες m 1 =4kg και m =kg και το σχοινί που τα συγκρατεί έχει αμελητέα μάζα Το σώμα Σ είναι κολλημένο με άλλο σώμα Σ 3 μάζας m 3 =1kg Το σώμα Σ 3 είναι στερεωμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς Κ=100 Ν/m το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο έδαφος Το σύστημα αρχικά βρίσκεται σε ισορροπία Τη χρονική στιγμή t=0 τα σώματα Σ και Σ 3 αποκολλούνται α Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα Σ 3 β Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή που το σώμα Σ 3 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά γ Να υπολογίσετε τη στροφoρμή του συστήματος της τροχαλίας και των σωμάτων Σ 1 και Σ τη χρονική στιγμή t=s Δίνονται: η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα της 1 Ι= ΜR και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και το σχοινί είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση Τα σώματα Σ 1, Σ, Σ 3 είναι μικρών διαστάσεων ΘΕΜΑ 4 o 005 Λεπτή ομογενής μάζα ΑΓ έχει μάζα Μ= kg, μήκος L=3 m και μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές, γύρω από το σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο της Ο στο άκρο Α της ράβδου έιναι στερεωμένη σημειακή μάζα m 1 =1 kg Α Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΟ, του άξονα περιστροφής από το άκρο της ράβδου Α, ώστε το σύστημα ράβδου-μάζας m 1 να ισορροπεί οριζόντια Β Σημειακή μάζα m =1kg, κινούμενη κατακόρυφα με φορά προς τα κάτω, συγκρούεται πλαστικά με τη ράβδο στο σημείο Λ, που είναι το μέσο της απόστασης ΟΓ Β1 Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ της σημειακής μάζας m ελάχιστα πριν την κρούση ώστε η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αμέσως μετά την πλαστική κρούση να είναι ω=9 rad/s Β Να υπολογίσετε την απώλεια της μηχανής ενέργειας κατά την διάρκεια της πλαστικής κρούσης Γ Να υπολογίσετε την γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος αμέσως μετά τη κρούση Δ1 Να υπολογίσετε το μέτρο της ελάχιστης ταχύτητας της σημειακής μάζας m ακριβώς πριν την κρούση, ώστε το σύστημα να φτάσει στην κατακόρυφη θέση έχοντας περιστραφεί κατά γωνία 70 ο Δ Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του Ο όταν η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία 70 ο Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και 1 είναι κάθετος σε αυτή Ι= ΜL, η επιτάχυνση της βαρύτητας: g=10m/s 1 15
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 3ο, 4ο ΘΕΜΑ Πανελληνίων εξετάσεων -OΕΦΕ ΘΕΜΑ 4 o 006 Η ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος που ακολουθεί έχει μήκος L=1m, μάζα m=3kg και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές, γύρω από το οριζόντιο ακλόνητο άξονα που περνά από το άκρο της Ο και είναι κάθετος σε αυτή Α Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια δύναμης μέτρου F 1, που ασκείται στο άκρο Α, κάθετα στη ράβδο Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F 1 και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής Β Ασκώντας στο άκρο Α, αντί της F 1 μια δύναμη F, σταθερού μέτρου και διαρκώς κάθετη ράβδο, η ράβδος ανέρχεται και περνά από την ανώτερη θέση της με γωνιακή ταχύτητα ω= 30 rad/s Τη στιγμή αυτή η F παύει να ασκείται στη ράβδο Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F Γ Τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ράβδος διέρχεται από την οριζόντια θέση στη διάρκεια της καθόδου της, να υπολογίσετε: α) το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, β) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου Δ Σημειακή μάζα m 1 =0,1kg κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 1 =100 m/s, συγκρούεται πλαστικά με τη ράβδο τη χρονική στιγμή που η ράβδος διέρχεται από το κατώτερο σημείο της τροχιάς της Πόσο πρέπει να απέχει το σημείο της σύγκρουσης από τον άξονα περιστροφής της ράβδου, ώστε η ράβδος μετά τη σύγκρουση να ακινητοποιηθεί; Δίνονται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα 1 περιστροφής κάθετο σε αυτή και διερχόμενο από κέντρο μάζας της Ι cm= ML 1 ΘΕΜΑ 4 o 007 μην παρατηρείται ολίσθηση Να βρεθούν: 16 Σώμα Σ 1, μάζας m 1 = kg μπορεί να κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω έτσι ώστε μέσω της τροχαλίας μάζας m= kg να ξετυλίγεται το σχοινί που είναι τυλιγμένο γύρω από τον κύλινδρο του σχήματος, ακτίνας R=0, m που μπορεί να περιστρέφεται με τον άξονα του κατακόρυφο Κατακόρυφη αβαρής, αμελητέας ακτίνας διέρχεται από τον άξονα του κυλίνδρου και στο επάνω άκρο της στερεώνεται από το μέσο της, δεύτερη οριζόντια αβαρής ράβδος, μήκους L=1m, όπως φαίνεται στο σχήμα δύο μικροί δακτύλιοι Σ και Σ 3, με αμελητέες διαστάσεις και ίσες μάζες m =m 3 =0,05 kg, βρίσκονται στα άκρα της οριζόντιας ράβδου και συνδέονται μεταξύ τους μέσω αβαρούς νήματος με όριο θραύσης Τ ΘΡ =5Ν Το όλο σύστημα μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σαν ενιαίο σώμα γύρω από άξονα που έχει τη διεύθυνση της κατακόρυφης ράβδου Το νήμα που συνδέει τους δακτυλίους και το σχοινί που συνδέει το σώμα Σ 1 με τον κύλινδρο παραμένουν διαρκώς τεντωμένα Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και το σχοινί είναι αρκετά μεγάλη ώστε να α Η τάση του νήματος που ασκείται στο σώμα Σ 1 αν γνωρίζετε ότι η επιτάχυνση του είναι α=4m/s
3ο, 4ο ΘΕΜΑ Πανελληνίων εξετάσεων -OΕΦΕ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 β Η συχνότητα περιστροφής των δακτυλίων Σ και Σ 3 μετά πό χρονικό διάστημα 1,5π s από την έναρξη της περιστροφής τους γ Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του δ Η γωνία περιστροφής του κυλίνδρου από την έναρξη της περιστροφής του συστήματος μέχρι την στιγμή που το νήμα που συνδέει τους δακτυλίους είναι έτοιμο να κοπεί Η τροχαλία περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και έχει ροπή αδράνειας ΘΕΜΑ 4 o 008 1 Ι= mr 1 όπου η R 1 η ακτίνα της τροχαλίας Δίνεται: g=10 m/s Αρχικά ακίνητος τροχός του σχήματος ο οποίος βρίσκεται στη βάση κεκλιμένου επιπέδου (θέση Α) γωνίας κλίσης 30ο αποτελείται από ένα λεπτό ομογενή δακτύλιο μάζας m=6 kg και ακτίνας 1 m και από δυο λεπτές ομογενείς ράβδους μήκους m και μάζας 3kg η καθεμία, που είναι τοποθετημένες κάθετα μεταξύ τους Τη χρονική στιγμή t=0 ασκούμε στο κέντρο μάζας Ο του τροχού σταθερού μέτρου δύναμη F παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο μέτρου 100Ν και ο τροχός αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ανερχόμενος στο κεκλιμένο επίπεδο Όταν ο τροχός φθάσει στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου (θέση Β) έχει εκτελέσει 1,5/π περιστροφές Στη θέση Β καταργούμε την δύναμη F και ο τροχός στη συνέχεια εγκαταλείπει το κεκλιμένο επίπεδο διαγράφοντας καμπύλη τροχιά Να υπολογίσετε: α Τη ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει β Το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται ο τροχός από το κεκλιμένο επίπεδο γ Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του τροχού λόγω περιστροφικής κίνησης ακριβώς πριν αυτός χάσει την επαφή του με το κεκλιμένο επίπεδο (θέση Β) δ Την ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού την στιγμή που αυτός διέρχεται από τη θέση Γ του σχήματος αν γνωρίζετε ότι η κατακόρυφη μετατόπιση του κέντρου μάζας του τροχού από τη θέση Β μέχρι τη θέση Γ είναι, m προς τα κάτω Δίνονται: η ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου μήκους L και μάζας m ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτή, υπολογίζεται από τη σχέση, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s, ημ30 ο =1/ Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα Θεωρείστε επίσης ότι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του τροχού δεν μεταβάλλεται η διεύθυνση του άξονα περιστροφής του ΘΕΜΑ 4 o 009 Ο δίσκος τροχαλίας είναι ομογενής έχει μάζα Μ = kg, ακτίνα R=0,m και ροπή ως προς άξονα 1 περιστροφής που περνάει από το κέντρο του Κ και είναι κάθετος στο επίπεδο του Ι= MR 17
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 3ο, 4ο ΘΕΜΑ Πανελληνίων εξετάσεων -OΕΦΕ Ο άξονας περιστροφής Κ είναι το άκρο αβαρούς ράβδου ΚΑ, της οποίας το άλλο άκρο Α είναι στερεωμένο με άρθρωση στην οροφή Το σύστημα ράβδος τροχαλία μπορεί να στραφεί περί την άρθρωση Α στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο του δίσκου της τροχαλίας Τριβές στον άξονα περιστροφής και στην άρθρωση δεν υπάρχουν Σώμα Σ 1 έχει μάζα m 1 = 4 Kg και είναι προσδεμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθερής k = 100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο Το σύστημα μάζα ελατήριο βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο που βρίσκεται και ο δίσκος της τροχαλίας Στο παρακάτω σχήμα η διάταξη βρίσκεται σε ισορροπία Το νήμα που είναι δεμένο το σώμα Σ 1 με τον δίσκο της τροχαλίας είναι οριζόντιο Το σημείο πρόσδεσης Β στον δίσκο της τροχαλίας βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το Κ και σε απόσταση ΚΒ = d = 0,1 m, ενώ η ράβδος ΑΚ σχηματίζει με την οριζόντια οροφή γωνία θ Το σώμα Σ έχει μάζα m = Kg και είναι δεμένο σε νήμα το οποίο έχει τυλιχθεί αρκετές φορές στο αυλάκι του δίσκου της τροχαλίας Τα νήματα θεωρούνται αβαρή, λεπτά και μη ελαστικά Α1 Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης Ν που ασκεί η αβαρής ράβδος ΑΚ στον άξονα Κ της τροχαλίας Να προσδιορίσετε τη γωνία θ που σχηματίζει η αβαρής ράβδος ΑΚ με την οριζόντια οροφή Β Συγκολλούμε την άρθρωση Α έτσι ώστε η αβαρής ράβδος να παραμένει ακλόνητη στη θέση που προσδιορίστηκε προηγουμένως και τη χρονική στιγμή t = 0 κόβουμε το οριζόντιο νήμα Τότε το σώμα Σ 1, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με D = k και θετική φορά για τον οριζόντιο άξονα της κίνησης προς τα δεξιά, ενώ το σώμα Σ κινείται προς τα κάτω Το κατακόρυφο νήμα στο οποίο είναι δεμένο ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στο αυλάκι του δίσκου της τροχαλίας, μένοντας συνεχώς κατακόρυφο 1 Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σώματος Σ 1 σε συνάρτηση με το χρόνο Τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ 1 περνάει από τη θέση ισορροπίας του για δεύτερη φορά, να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ και την στροφορμή του δίσκου της τροχαλίας Δίνεται g = 10 m/s ΘΕΜΑ 4 o 010 Σώμα Σ, μικρών διαστάσεων και με μάζα m = 1 kg, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου και στο άκρο μη εκτατού νήματος αμελητέας μάζας, όπως φαίνεται στο σχήμα To οριζόντιο ελατήριο έχει σταθερά k= 100Ν/m και το άλλο άκρο του είναι ακλόνητα στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο Ταυτόχρονα το νήμα είναι στερεωμένο στο άκρο Α ομογενούς και ισοπαχούς ράβδου ΟΑ, μάζας 0,4 Kg και μήκους 0,5 m Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο και γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το άκρο της Ο Η ράβδος ισορροπεί σχηματίζοντας με την κατακόρυφο γωνία θ, με ημθ =0,8 και συνθ = 0,6, ενώ το ελατήριο στην παραπάνω θέση έχει δυναμική ενέργεια U = 0,3 J Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 s κόβουμε το νήμα και το σύστημα ελατήριο - σώμα Σ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με D = k, ενώ η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται Θεωρώντας ως δεδομένο ότι πριν κόψουμε το νήμα όλα τα σώματα της διάταξης βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και ότι το 18
010 3ο, 4ο ΘΕΜΑ Πανελληνίων εξετάσεων -OΕΦΕ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 σώμα Σ διατηρεί συνεχώς επαφή με το οριζόντιο επίπεδο, να απαντήσετε στα επόμενα ερωτήματα: α Να γράψετε τη σχέση της απομάκρυνσης του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα δεξιά β Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του ελεύθερου άκρου Α της ράβδου, όταν αυτή διέρχεται από την κατακόρυφη θέση γ Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ τη χρονική στιγμή κατά την οποία η κινητική και η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης θα γίνουν ίσες για πρώτη φορά δ Να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος πριν κόψουμε το νήμα Δίνεται: η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας της 1 και είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής της: Ι= Μ 1, g=10 m/s ΘΕΜΑ Δ 010 Η διάταξη του παρακάτω σχήματος αποτελείται από έναν ομογενή κύλινδρο, μάζας Μ 1 = 8 Kg και ακτίνας R = 0, m, μία τροχαλία, μάζας Μ = 3 Kg και ακτίνας R = 0,1m και το σώμα Σ, μάζας m =3 Kg Ο κύλινδρος βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και έχει τυλιγμένο πολλές φορές γύρω του αβαρές και μη εκτατό νήμα, το οποίο εκτείνεται αρχικά οριζόντια και, αφού περάσει από την τροχαλία, στερεώνεται από το άκρο του Ζ στο σώμα Σ Ένα άλλο οριζόντιο νήμα ΝΚ συνδέει τοκέντρο του κυλίνδρου Κ με ακλόνητο σημείο Ν, έτσι ώστε όλο το σύστημα να ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα Δ1 Να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος ΝΚ Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 κόβουμε το νήμα ΝΚ, οπότε το σώμα Σ κατέρχεται με επιτάχυνση α=4m/s, ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο και η τροχαλία περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Λ Να υπολογίσετε: 19
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 3ο, 4ο ΘΕΜΑ Πανελληνίων εξετάσεων -OΕΦΕ Δ την τριβή που δέχεται ο κύλινδρος Δ3 το συνολικό έργο των τάσεων που ασκούνται στην τροχαλία, από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή που το σώμα έχει κατέλθει κατά 8 m Δ4 το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του, όταν η στροφορμή της τροχαλίας έχει μέτρο kg m 1,5 s Δίνονται: Η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s, η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του 1 I = Μ R cm,κυλ 1 1, η ροπή αδράνειας της τροχαλίας προς τον άξονα περιστροφής της 1 I cm,τροχ = ΜR Να θεωρήσετε ότι το νήμα δεν ολισθαίνει γύρω από τον κύλινδρο καθώς και στο αυλάκι της τροχαλίας ΘΕΜΑ Δ 011 Στο σχήμα φαίνεται μια διπλή τροχαλία που αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες r=0,1m και R = 0,m και μάζες m = kg και Μ = 4 kg αντίστοιχα Οι δύο δίσκοι συνδέονται μεταξύ τους έτσι ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους Στο αυλάκι του μεγάλου δίσκου της τροχαλίας έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό νήμα (4), στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε δέσει σώμα μάζας m 1 = 1 kg Στο αυλάκι του μικρού δίσκου της τροχαλίας έχουμε τυλίξει δύο αβαρή και μη εκτατά νήματα (3) και 0
3ο, 4ο ΘΕΜΑ Πανελληνίων εξετάσεων -OΕΦΕ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 () Στο ελεύθερο άκρο του οριζόντιου νήματος (3) έχουμε δέσει το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k 1 = 00 N/m του οποίου το άλλο άκρο είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου νήματος () έχουμε δέσει σώμα μάζας m = 0,5 kg το οποίο είναι δεμένο και με αβαρές ελαστικό κατακόρυφο νήμα (1) από σταθερό σημείο της οροφής Το μέτρο F της δύναμης που ασκεί το ελαστικό νήμα (1) είναι ανάλογο της επιμήκυνσής του ΔΙ σύμφωνα με τη σχέση F = 100 Δ (SI) Το σύστημα ισορροπεί με το νήμα (1) να είναι επιμηκυμένο κατά Δ = 0,m Δ1 Να βρείτε την παραμόρφωση του ελατηρίου Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα () Να υπολογίσετε: Δ Τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος () Δ3 Τη μέγιστη τιμή της κινητικής ενέργειας του συστήματος (τροχαλία - μάζα m 1 ) Δ4 Το διάστημα που θα διανύσει το σώμα μάζας m 1 μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του για πρώτη φορά μετά το κόψιμο του νήματος () Δ5 Το διάστημα που θα διανύσει το σώμα μάζας m μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του για πρώτη φορά μετά το κόψιμο του νήματος () Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας των δίσκων ως προς τον άξονα περιστροφής τους υπολογίζεται από τις σχέσεις I 1 = 1 mr, I = 1 MR, η επιτάχυνση της βαρύτητας ισούται με g = 10 m/s και τα νήματα δεν ολισθαίνουν στην τροχαλία ΘΕΜΑ Δ 013 Ο οµογενής δακτύλιος του παρακάτω σχήµατος έχει µάζα Μ=3 kg, ακτίνα R=0,4 m και φέρει στερεωµένο ακλόνητα στο σηµείο Α σφαιρίδιο µάζας m=1 kg Ο δακτύλιος µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα που διέρχεται από το σηµείο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του Το σύστηµα δακτυλίουσφαιριδίου αρχικά ισορροπεί δεµένο µε µη εκτατό νήµα από το σηµείο Α Το άλλο άκρο του νήµατος δένεται στο σηµείο Β, σχηµατίζοντας µε την κατακόρυφο γωνία φ=60 ο Δ1 Αν αρχικά το σύστηµα ισορροπεί να υπολογίσετε το µέτρο της τάσης του νήµατος Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα οπότε το σύστηµα δακτυλίου - σφαιριδίου αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το Ο Τη στιγµή που η διάµετρος ΟΑ του δακτυλίου γίνει κατακόρυφη το σύστηµα συγκρούεται µε το σώµα Σ 1 µάζας m 1 =1 kg, που είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο Μετά την κρούση του µε το σύστηµα, το σώµα Σ 1 κινείται πάνω στο οριζόντιο δάπεδο Κάποια στιγµή συναντά το αρχικά ακίνητο σώµα Σ, µάζας m = kg, µε το οποίο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά Το Σ είναι δεµένο στο ένα άκρο τεντωµένου κατακόρυφου αβαρούς και µη εκτατού νήµατος µήκους =1m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται ακλόνητα στην οροφή Αµέσως µετά την κρούση του µε το σώµα Σ, το σώµα Σ 1, κινείται αντίθετα από την αρχική του φορά µε ταχύτητα µέτρου 1m/s Να υπολογίσετε: Δ τη ροπή αδράνειας του συστήµατος δακτυλίου σφαιριδίου ως προς τον άξονα περιστροφής του, αφού αρχικά αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας του δακτυλίου γύρω από άξονα κάθετο στο επίπεδό του, που διέρχεται από το κέντρο µάζας του είναι Ι cm =M R 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 3ο, 4ο ΘΕΜΑ Πανελληνίων εξετάσεων -OΕΦΕ Δ3 το µέτρο της στροφορµής του δακτυλίου, ως προς τον άξονα περιστροφής του, τη στιγµή που η διάµετρός του ΟΑ γίνεται κατακόρυφη Δ4 το ποσό της κινητικής ενέργειας του συστήµατος δακτυλίου σφαιριδίου που µετατρέπεται σε θερµική κατά την κρούση του µε το σώµα Σ 1 Δ5 το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της ορµής του σώµατος Σ στη θέση της µέγιστης εκτροπής του νήµατος από την κατακόρυφο Σε όλα τα ερωτήµατα να θεωρήσετε τις διαστάσεις του σφαιριδίου που είναι στερεωµένο στον δακτύλιο, καθώς και τις διαστάσεις των σωµάτων Σ 1 και Σ αµελητέες Δίνονται: ο 3 ο 1 g =10 m / s, ημ60 =, συν60 = Σε όλα τα ερωτήµατα να θεωρήσετε τις διαστάσεις του σφαιριδίου που είναι στερεωµένο στον δακτύλιο, καθώς και τις διαστάσεις των σωµάτων Σ 1 και Σ αµελητέες ΘΕΜΑ Δ 014 Οι κυκλικοί ομογενείς δίσκοι Δ 1 και Δ του σχήματος έχουν μάζα Μ = 4 kg και ακτίνα R = 0, m ο καθένας Το κέντρο μάζας του δίσκου (Δ 1 ) συνδέεται κατάλληλα στο ελεύθερο άκρο του ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 150 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο ακλόνητα Τα κέντρα μάζας Ο 1 και Ο των δύο δίσκων συνδέονται με λεπτό, αβαρές και μη εκτατό νήμα Στο κέντρο μάζας του δίσκου (Δ ) έχουμε προσαρμόσει μικρό ανιχνευτή ηχητικών κυμάτων αμελητέας μάζας Στη βάση (Β) του κεκλιμένου επιπέδου υπάρχει πηγή ηχητικών κυμάτων συχνότητας f s = 680 Η z Η πηγή των ηχητικών κυμάτων και ο ανιχνευτής στο δίσκο (Δ ) βρίσκονται στην ίδια ευθεία, παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο Κόβουμε το νήμα που συνδέει τα κέντρα των δύο δίσκων οπότε ο δίσκος (Δ ) αρχίζει να κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει Η συχνότητα που καταγράφει ο ανιχνευτής τη στιγμή που ο δίσκος (Δ ) φτάνει στη βάση (Β) του κεκλιμένου επιπέδου, ελάχιστα πριν συγκρουστεί με την ηχητική πηγή, είναι f A = 700 Hz Δ1 Να υπολογίσετε το μήκος της διαδρομής που διανύει το κέντρο μάζας του δίσκου (Δ ) μέχρι να φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου Δ Για ποιες τιμές του συντελεστή οριακής στατικής τριβής η κίνηση του δίσκου (Δ ) γίνεται χωρίς ολίσθηση; Δ3 Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου (Δ ) όταν φτάσει στη βάση (Β ) του κεκλιμένου επιπέδου Δ4 Να παραστήσετε γραφικά τη συχνότητα του ήχου που καταγράφει ο ανιχνευτής σε συνάρτηση με το χρόνο, από τη στιγμή που κόψαμε το νήμα μέχρι ο δίσκος (Δ ) να φτάσει στη βάση (Β) του κεκλιμένου επιπέδου Δ5 Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που απαιτείται ώστε ο δίσκος (Δ 1 ) να σταματήσει για πρώτη φορά μετά το κόψιμο του νήματος, αν κυλιέται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει Δίνονται: Η ροπή αδράνειας του κάθε δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο του I = 1 MR, ημθ = 0,6, συνθ = 0,8, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s και η ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα υηχ = 340 m/s Να θεωρήσετε ότι ο άξονας περιστροφής κάθε δίσκου διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του
3ο, 4ο ΘΕΜΑ Πανελληνίων εξετάσεων -OΕΦΕ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΜΑ Δ 015 Στη διάταξη του σχήματος περιλαμβάνονται: Μια διπλή τροχαλία (Τ) ακλόνητα στερεωμένη, η οποία αποτελείται από δύο ομόκεντρους δίσκους που στρέφονται ως ένα σώμα, με ακτίνες R 1 = 0,m και R =0,1m Η τροχαλία μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο και έχει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της, ίση με Ι T = 0,14 kg m Δίσκος μάζας Μ = kg και ακτίνας R 3 =0,1m ακλόνητα στερεωμένος, ο οποίος μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο Κ Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον 1 άξονα αυτό δίνεται από την σχέση Ι Κ = M R3 Σώμα (Σ 1 ) μάζας m 1 = kg και σώμα (Σ ) μάζας m Νήματα αβαρή, μη ελαστικά που δεν ολισθαίνουν στην διπλή τροχαλία και το δίσκο Αρχικά τα σώματα (Σ 1 ) και (Σ ) βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε ύψος h 1 =8m από το έδαφος Στο σημείο Γ έχει τοποθετηθεί σημειακή πηγή αρμονικού ήχου συχνότητας f 1 =3434 Hz και στο σημείο Α έχει τοποθετηθεί ανιχνευτής ήχου Δίνεται η απόσταση (ΑΔ)=d=8m Δ1 Να υπολογίσετε την τιμή της μάζας m ώστε το σύστημα να ισορροπεί Δ Κάποια στιγμή που τη θεωρούμε ως αρχή χρόνων t 0 =0 στερεώνουμε πάνω στο σώμα (Σ ) μια πηγή αρμονικού ήχου μάζας m 3 =3 kg η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας f i Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κατέρχεται στο σύστημα m -m 3 iiτη χρονική στιγμή t 1 που το σύστημα σωμάτων m -m 3 έχει κατέλθει κατά h = m, να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας περιστροφής της διπλής τροχαλίας (Τ) Δ3 Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο τροχαλιών και των μαζών m 1, m και m 3 τη χρονική στιγμή t 1 Δ4 Αν η τιμή της συχνότητας της σύνθετης ταλάντωσης που λαμβάνει ο ανιχνευτής στο σημείο Α την χρονική στιγμή t 1 εξαιτίας και των δύο πηγών είναι f A =3417 Hz, να υπολογίσετε την τιμή της συχνότητας f Θεωρείστε ότι οι δύο πηγές εκπέμπουν ηχητικά κύματα ιδίου πλάτους Δίνονται: Η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340 m/s 3