ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 15 Ct 1. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι a At Be, όπου Α, B, C είναι θετικές ποσότητες. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι ίση με μηδέν. (α) Να βρεθούν οι μονάδες των σταθερών Α, B, C. (β) Να βρεθεί η ταχύτητα ως συνάρτηση του χρόνου και των σταθερών αυτών. (γ) Υπολογίστε την επιτάχυνση σε χρόνο t=. Εξηγήστε γιατί το σώμα αρχίζει την κίνησή του πηγαίνοντας προς τα αρνητικά. (δ) Εξηγήστε γιατί η ταχύτητα μεγαλώνει απεριόριστα σε μεγάλους χρόνους. Σημείωση: Δίνεται το ολοκλήρωμα Λύση e e d C. (α) [a]=[at]=[b], διότι το εκθετικό είναι αδιάστατο. Επίσης, [Ct]=1, διότι το όρισμα του εκθετικού είναι επίσης αδιάστατο. Επομένως, Α=ms -3, B=ms -, C=s -1. (β) d a d Ct At Be Ct d ( At Be ) Ct d ( At Be ) t B Ct A e C C 1 όπου C 1 είναι σταθερή της ολοκλήρωσης. Χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη, = στο t=, βρίσκουμε C 1 B C επομένως t B Ct B A e C C.
(γ) Στο t=, a B. Το σώμα είναι αρχικά ακίνητο, επομένως ξεκινάει την κίνησή του με αρνητικές ταχύτητες. (δ) Σε αρκετά μεγάλους χρόνους το εκθετικό (το οποίο μικραίνει) θα είναι αμελητέο σε σχέση με το πρώτο όρο (που μεγαλώνει) επομένως ο τελευταίος κυριαρχεί και η ταχύτητα αυξάνεται απεριόριστα.. Ένα σωματίδιο επιβραδύνεται σύμφωνα με το νόμο a A, όπου a είναι η επιτάχυνση του, είναι η ταχύτητα του και Α είναι μία θετική σταθερή. Μπορείτε να υποθέσετε ότι η επιβράδυνση αυτή προκαλείται από μία δύναμη τριβής που εξαρτάται από την ταχύτητα. 1/ m (α) Να δείξετε ότι η σταθερή A έχει μονάδες. 3/ s (β) Το σώμα έχει αρχική ταχύτητα. Να δείξετε ότι η ταχύτητα του σώματος σε χρόνο t δίνεται από τη σχέση A t. (γ) Η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται σε χρόνο σώματος σε χρόνους μεγαλύτερους από t 1 και γιατί. t1 A (δ) Να δείξετε ότι η ολική μετατόπιση του σώματος είναι ίση με Σημείωση: Δίνονται τα ολοκληρώματα d C, Λύση (α) [a]=[a][] 1/, δηλαδή ms - =[A] m 1/ s -1/ επομένως [Α]=m 1/ s -3/. (β) d a d A d A d ( A) At C. Πόση είναι η ταχύτητα του 3/ 3A. 3 ( t ) ( t ) C. 3
όπου C είναι σταθερή της ολοκλήρωσης. Χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη, = στο t=, βρίσκουμε C οπότε At At (γ) Όταν =, έχουμε επίσης a=. Επομένως η ταχύτητα θα παραμείνει. (δ) Έστω ότι το σώμα αρχίζει την κίνησή του σε κάποια θέση και σταματάει σε κάποια θέση 1. Η μετατόπιση είναι Δ= 1. d d At At d t At d 1 1 At 3A 3A 3A 3/ 3 3 tt 1 t 3. Σώμα βάλλεται από το έδαφος με ταχύτητα και γωνία βολής θ ως προς την οριζόντια διεύθυνση. Θεωρήστε ότι το σώμα βρίσκεται αρχικά στο σημείο αναφοράς ( =, =). (α) Να γράψετε τις σχέσεις που δίνουν τις συντεταγμένες, της θέσης του ως συνάρτηση του χρόνου t.
(β) Λύνοντας τη σχέση του ως προς t και αντικαθιστώντας στη σχέση του να δείξετε ότι g tan cos (γ) Έστω ότι το σώμα θέλουμε να περάσει πάνω από τοίχο ύψους Η (και αμελητέου πάχους) που βρίσκεται σε απόσταση L από το σημείο βολής. Αν το σώμα περνάει οριακά πάνω από τον τοίχο να δείξετε, κάνοντας και το κατάλληλο σχήμα, ότι H gl L tan (1 tan ) Σημείωση: (cos ) sec 1 tan. Στη συνέχεια θεωρήστε ότι H=5.m, L=m, =m/s και g=9.8m/s. Να βρείτε τις δύο τιμές της γωνίας βολής θ (σε δύο σημαντικά ψηφία) που επιτρέπουν στο σώμα να περάσει οριακά πάνω από τον τοίχο. (δ) Με βάση αυτά τα αποτελέσματα, να βρείτε τη μικρότερη απόσταση που θα πέσει το σώμα στο έδαφος πίσω από τον τοίχο. Λύση (α) cos t, sint gt 1 (β) Απλή αντικατάσταση (γ) Το σώμα περνάει οριακά πάνω από τον τοίχο επομένως το (L,H) είναι σημείο της τροχιάς και η δεδομένη εξίσωση ισχύει. Αντικαθιστώντας τα νούμερα παίρνουμε μια δευτεροβάθμια για το tan : 5. tan 4.9(1 tan ) που δίνει τις λύσεις tan.5764, tan 3.55, δηλαδή 3 o και 74 (δ) Το βεληνεκές για τις δύο γωνίες είναι R=35.3m και 1.5m αντίστοιχα. Η μεγάλη γωνία δίνει τη μικρότερη απόσταση: το σώμα θα πέσει 1.5m πίσω από τον τοίχο. o. 4. Σώμα κινείται πάνω σε τροχιά που περιγράφεται από το διάνυσμα θέσης r t iˆsin t ˆj όπου η θέση μετριέται σε cm και ο χρόνος σε s και iˆ, ˆj είναι τα μοναδιαία διανύσματα των ορθογώνιων αξόνων,.
(α) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της κίνησης του σώματος στο επίπεδο, για t= ως t=π. (β) Να υπολογιστεί το διάνυσμα της ταχύτητας, το εφαπτομενικό μοναδιαίο διάνυσμα ˆ T, και το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα ˆN. (γ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση a του σώματος και τα εσωτερικό γινόμενα at ˆ και a N ˆ Ποια φυσικά μεγέθη προσδιορίζουν αυτά τα εσωτερικά γινόμενα; (δ) Να βρεθεί η ακτίνα καμπυλότητας ως συνάρτηση του χρόνου. Να σχεδιαστεί ο κύκλος καμπυλότητας στη γραφική του ερωτήματος (α) στα σημεία που αντιστοιχούν στις χρονικές στιγμές t=π/ και t=3π/. Λύση (α) Οι καρτεσιανές εξισώσεις της κίνησης είναι είναι t, sin t. Δηλαδή η εξίσωση της τροχιάς sin, επομένως η γραφική παράσταση της τροχιάς στο, επίπεδο είναι (β) dr 1iˆ cos t ˆ j, 1cos t ˆ ˆ ˆ 1i cost j T 1 cos t, ˆ ˆ ˆ cost i 1 j N 1 cos t (γ) d a sint ˆj ˆ ˆ ˆ ˆ ( sin t j) (1i cos t j) sin t cos t at 1cos t 1cos t ˆ ˆ ˆ ˆ ( sin t j) ( cos t i 1 j) sin t a N 1cos t 1cos t
Το εσωτερικό γινόμενο at ˆ είναι η συνιστώσα της επιτάχυνσης εφαπτομενική στην τροχιά και a Nείναι ˆ (κατα απόλυτη τιμή) η κεντρομόλος συνιστώσα. (δ) an r sin t 1 cos t 1 cos t r (1 cos t) r sin t 3/ Στο t=π/ και 3π/ έχουμε r=1. Τα αντίστοιχα ημικύκλια καμπυλότητας φαίνονται στο σχήμα. 5. Το κεκλιμένο του παρακάτω σχήματος κινείται με σταθερή επιτάχυνση a=.m/s. To σώμα (5.kg) που βρίσκεται πάνω στο κεκλιμένο (γωνίας 3 ο ) είναι δεμένο με αβαρές σχοινί στο σημείο Α. Αν δεν υπάρχουν τριβές μεταξύ σώματος και κεκλιμένου: (α) Να γίνει διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το σώμα και να αναλυθούν οι δυνάμεις στον οριζόντιο και τον κατακόρυφο άξονα. (β) Να βρεθεί η τάση του σχοινιού. (γ) Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση στο σώμα. (δ) Το σώμα χάνει επαφή με το κεκλιμένο όταν η κάθετη αντίδραση γίνει μηδέν για κάποια μεγαλύτερη επιτάχυνση. Να βρεθεί αυτή η επιτάχυνση.
Λύση (α) N N cos, N N cos, S S cos, S S sin. (β) και (γ) F ma S cosn sin ma F N coss sin mg Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση με cos και την δεύτερη με sin έχουμε ( S cos N sin ) cos ( N cos S sin ) sin ma cos mg sin S ma cos mg sin Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση με sin και την δεύτερη με cos έχουμε ( S cos N sin ) ( sin ) ( N cos S sin ) cos ma ( sin ) mg cos N ma sin mg cos
Αντικαθιστώντας βρίσκουμε S=33N και Ν=37.5Ν. (δ) Θέτοντας Ν= στην τελευταία εξίσωση βρίσκουμε την οριακή επιτάχυνση στην οποία το σώμα χάνει επαφή με το κεκλιμένο: ma sin mg cos a gcot 17ms 6. Το παιδί του παρακάτω σχήματος προσπαθεί να φτάσει ένα μήλο χωρίς να σκαρφαλώσει στο δέντρο. Κάθεται σε ένα κάθισμα συνδεδεμένο με ένα σχοινί που περνάει από μία τροχαλία χωρίς τριβή. Το παιδί τραβάει το ελεύθερο άκρο του σχοινιού έτσι ώστε το δυναμόμετρο δείχνει 5Ν. Το πραγματικό βάρος του παιδιού είναι 3Ν και το κάθισμα ζυγίζει 16Ν. (α) Να γίνει διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το παιδί και το κάθισμα χωριστά. (β) Να γίνει διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το παιδί και το κάθισμα αν θεωρηθούν ένα σώμα. (γ) Να δείξετε ότι η επιτάχυνση του σώματος παιδί-κάθισμα έχει φορά προς τα πάνω και να βρείτε το μέτρο της. (δ) Υπολογίστε τη δύναμη που ασκεί το παιδί στο κάθισμα. Λύση (α) και (β) Το κάθισμα δέχεται το βάρος του, τη δύναμη Ν από το παιδί και μία συνολική δύναμη από το σχοινί ίσο με την τάση S που καταγράφεται στο δυναμόμετρο. Το παιδί δέχεται το βάρος του, τη δύναμη Ν από το κάθισμα και τη δύναμη S από το σχοινί (το παιδί ασκεί στο κάθισμα μία δύναμη μέτρου S και δέχεται μία δύναμη μέτρου S από το κάθισμα δια μέσου του σχοινιού). Όταν σκεφτόμαστε το παιδί-κάθισμα ως ενιαίο σώμα οι εσωτερικές δυνάμεις Ν ακυρώνονται.
(γ) Εφαρμόζοντας το o νόμο του Νεύτωνα στο ενιαίο σώμα έχουμε F ma S ( m m ) g ( m m ) a 48 5 48 a 9.8 a.41ms Η θετική φορά είναι αυτή των δυνάμεων S οπότε η επιτάχυνση έχει φορά προς τα πάνω, κάτι που μπορούσαμε να δούμε πριν το υπολογισμό της επιτάχυνσης καθώς ΣF=5 48=+N. (δ) Εφαρμόζοντας το o νόμο του Νεύτωνα στο παιδί, το οποίο επιταχύνεται φυσικά με a, έχουμε F ma S N m g m a 3 5 N 3.41 9.8 N 83N 7. Στο παρακάτω σχήμα ένα όχημα κινείται με επιτάχυνση a στο εσωτερικό ενός ανελκυστήρα ο οποίος ανεβαίνει με επιτάχυνση a ως προς τη επιφάνεια της Γης. Στο εσωτερικό του οχήματος κρέμεται από τον οροφή με αβαρές νήμα σώμα Σ. (α) Να κάνετε διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το σώμα Σ. (β) Να γράψετε το ο νόμο του Νεύτωνα για το σώμα Σ ως προς τους άξονες και.
(γ) Αν θ είναι η γωνία εκτροπής του νήματος από την κατακόρυφο, δηλαδή τη διεύθυνση της βαρύτητας g, να δείξετε ότι a g tan. a (δ) Να παράγετε το ίδιο αποτέλεσμα από την πλευρά του μη αδρανειακού συστήματος που κινείται μαζί με τον ανελκυστήρα. Λύση (α) (β) F ma S sin ma F ma S cos mg ma (γ) Η δεύτερη εξίσωση γράφεται S cos mg ma οπότε διαιρώντας κατά μέλη με την πρώτη παίρνουμε
S sin ma S cos mg ma a tan g a (δ) Το σύστημα του ανελκυστήρα επιταχύνεται προς τα πάνω με επιτάχυνση a ως προς το σύστημα της Γης που θεωρείται αδρανειακό. Επομένως στο σύστημα αυτό θα εμφανιστεί μία αδρανειακή δύναμη ma. Στην οριζόντια διεύθυνση, το σύστημα του ανελκυστήρα παραμένει αδρανειακό. Το σώμα είναι ακίνητο στην κατακόρυφη διεύθυνση ως προς το σύστημα του ανελκυστήρα. Επομένως οι εξισώσεις κίνησης γράφονται F ma S sin ma F ma S cos mg ma που είναι ισοδύναμες με τις προηγούμενες και παράγουν το ίδιο αποτέλεσμα. 8. Στο διπλανό σχήμα τα παιδιά περιστρέφονται έτσι ώστε η (αβαρής) αλυσίδα που είναι δεμένο το κάθισμα του καθε παιδιού σχηματίζει γωνία θ=8 ο με την κατακόρυφη διεύθυνση. (α) Να φτιάξετε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για ένα παιδί (ή πιο σωστά, για το σύστημα παιδίκάθισμα) και να γράψετε του νόμους Νεύτωνα για την ορίζοντια και την κατακόρυφη διεύθυνση. (β) Να βρείτε την τάση της αλυσίδας. Το σύστημα παιδί-κάθισμα έχει συνολική μάζα 5kg. (γ) Να βρείτε την κεντρομόλο επιτάχυνση των παιδιών. (δ) Να δείξετε ότι η ακτίνα περιστροφής των παιδιών είναι (4+.5sinθ)m. Στη συνέχεια να βρείτε την περίοδο περιστροφής των παιδιών.
Λύση (α) Το διάγραμμα είναι ίδιο με αυτό του ερωτήματος 7(α). Οι εξισώσεις κίνησης γράφονται F ma κεντρομολος S sin m r F S cos mg (β) Από τη δεύτερη εξίσωση η τάση είναι mg 59.8 S 555N o cos cos(8 ) (γ) Από την πρώτη εξίσωση η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι a κεντρομολος o Ssin 555sin(8 ) 5.ms m 5 (δ) Από το σχήμα έχουμε ότι r (.5sin 4)m. Επομένως έχουμε a κεντρομολος r a 5. r.5sin 8 4 T 6.3s κεντρομολος 1 1.s o
9. Σφαιρίδιο μάζας m αφήνεται ελευθερο να κινηθεί μέσα σε υγρό με την επίδραση της βαρύτητας. Το σώμα δέχεται μία δύναμη αντίστασης από το υγρό που το μέτρο της είναι ίσο με 9/4 D, όπου είναι η ταχύτητα του σφαιριδίου και D μια θετική σταθερή. (α) Να γράψετε το νόμο του Νεύτωνα στο πρόβλημα αυτό και να δείξετε ότι οι μονάδες της σταθερής D είναι 1/4 5/4 kg s m. (β) Να βρείτε την κλίμακα χρόνου του προβλήματος. Έστω ότι m=8, g=9.8, D=.1 σε μονάδες S.I. (γ) Να βρείτε την οριακή ταχύτητα του σώματος και να επιχειρηματολογήσετε γιατί το σώμα θα καταλήξει υποχρεωτικά σε αυτή την ταχύτητα σε μεγάλους χρόνους ανεξάρτητα από την αρχική ταχύτητα. (δ) Είναι τα 6s μεγάλος χρόνος για αυτό το σύστημα, κι αν ναι γιατί; Λύση (α) F ma 9/4 mg D ma 9/4 [ mg] [ D ] [ ma] kgms [ D]m s 9/4 9/4 [ D] kgm s kgm s 19/4 9/4 5/4 1/4 (β) Συστηματικός τρόπος (αργός, αλλά με περισσότερη γενικότητα): Οι σταθερές παρέμετροι στο πρόβλημα είναι m,g,d. Όλες οι κλίμακες στο πρόβλημα θα γράφονται ως εκφράσεις της μορφής γράφεται στη μορφή [ m g D ] s kg m s 1 m g D για κάποιους εκθέτες α,β,γ. Έστω λοιπόν ότι η κλίμακα χρόνου Χρησιμοποιώντας τις διαστάσεις των σταθερών m,g,d αυτό συνεπάγεται ότι 5 /4 /4 1 kg m s kg m s kg m s
kg m s kg m s 5 /4 /4 1 επομένως 5,, 1 4 4,, 4 5 4 9 9 9 Άρα η κλίμακα χρόνου του προβλήματος είναι 4 1/9 4/9 5/9 4/9 m 5 4 m g D gd Γρήγορος τρόπος: Από τη σχέση των διαστάσεων 9/4 [ mg] [ D ] έχουμε αμέσως ότι η κλίμακα ταχύτητας του προβλήματος είναι ίση με mg D 4/9 Αρκεί τώρα να παρατηρήσουμε ότι ότι η κλίμακα χρόνου μπορεί να προκύψει με βάση το απλό γεγονός [ταχύτητα] = [επιτάχυνση] [χρόνος] και ότι η κλίμακα της επιτάχυνσης είναι γνωστή: g. Άρα η κλίμακα χρόνου είναι mg 4/9 4 1/9 D 4/9 5/9 4/9 m m g D 5 4 g g D (γ) Η οριακή ταχύτητα προκύπτει με μηδενισμό της ΣF. Έχουμε 4/9 mg οριακο 54 D ms 1
Όταν η ταχύτητα του σώματος είναι μεγαλύτερη από αυτή την τιμή, 9/4 F mg D και το σώμα επιβραδύνεται μέχρι η ταχύτητα να κατέβει στην τιμή οριακο, οπότε ΣF= και παραμένει στην τιμή αυτή. Όταν η ταχύτητα του σώματος είναι μικρότερη από αυτή την τιμή, 9/4 F mg D και το σώμα επιταχύνεται μέχρι η ταχύτητα να ανέβει στην τιμή οριακο, οπότε ΣF= και παραμένει στην τιμή αυτή. (δ) Η κλίμακα χρόνου είναι 4 1/9 4/9 5/9 4/9 m m g D 5.5 5 4 s gd Τα 6s είναι μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη διάρκεια από την κλίμακα χρόνου επομένως είναι ένας αρκετά μεγάλος χρόνος.