ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ"

Δορκάς Μαυρογένης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F = -5 ĵ, όπου ĵ το μοναδιαίο διάνυσμα κατακόρυφης διεύθυνσης με φορά προς τα πάνω. α) να υπολογίσετε το έργο για τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση Α=1 ĵ μέχρι την αρχή των αξόνων, Ο, με τη σχέση W = F dr. Να σχηματίσετε τον κατακόρυφο άξονα όπου θα φαίνονται τα διανύσματα F, j και τα σημεία Ο και Α. β) να βρείτε τη συνάρτηση δυναμικής ενέργειας του σώματος. (1 μονάδα) γ) να υπολογίστε το έργο για τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση Α=1 ĵ μέχρι την αρχή των αξόνων, Ο, με βάση τη συνάρτηση δυναμικής ενέργειας. δ) να εξηγήσετε αν το έργο που βρήκατε στα ερωτήματα α) και γ) εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθεί το σώμα από την αρχική στην τελική θέση. ε) να αποδείξετε ότι η τριβή ολίσθησης είναι μη συντηρητική δύναμη (υπόδειξη: μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ιδέες του ερωτήματος δ) (1.5 μονάδα) α) Κανονικά θα πρέπει να συμπεριλάβουμε και τη δύναμη του βάρους, οπότε στο σώμα ασκείται συνολικά δύναμη F = -15ˆ j, θεωρώντας ότι το βάρος Β = m g = 1 Ν. Επειδή όμως η εκφώνηση ζητά το έργο με τη σχέση W = F dr δεκτή είναι και η λύση όπου το βάρος δε συνυπολογίζεται στη συνολική δύναμη. Με αυτή την προσέγγιση ακολουθεί η ενδεικτική λύση. Σχηματικά έχουμε: A 1 F Το έργο για τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση Α=1 ĵ μέχρι την αρχή των αξόνων, Ο, δίνεται από τη σχέση: O O W = F d = -5dˆj ˆj = -5 d = 5J (1) A A 1 β) Η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας είναι: j O ενέργειας). du F = - du = -Fd du = - -5d U = 5 d U () όπου θεωρήσαμε ότι για = έχουμε U= (επιλογή επιπέδου μηδενικής δυναμικής γ) Αφού η δύναμη F είναι συντηρητική (πηγάζει από δυναμική ενέργεια) ισχύει ότι το έργο για τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση Α=1 ĵ μέχρι την αρχή των αξόνων, Ο, με βάση τη συνάρτηση δυναμικής ενέργειας θα είναι:

2 W = U(A) - U(O) = (5 - ) J = 5J (3) που είναι βέβαια ίδιο με εκείνο της σχέσης (1) δ) το έργο που βρήκαμε στα ερωτήματα α) και γ) ΔΕΝ εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθεί το σώμα από την αρχική στην τελική θέση διότι η δύναμη είναι συντηρητική. Το έργο εξαρτάται μόνο από τη διαφορά της δυναμικής ενέργειας μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης (βλ. σχέση (3)). ε) μια γρήγορη απόδειξη είναι να υποθέσουμε ότι η τριβή είναι συντηρητική δύναμη και να καταλήξουμε σε αντίφαση. Θεωρούμε σώμα που κινείται στο οριζόντιο επίπεδο με την τριβή ολίσθησης να είναι πάντα αντίθετη στη φορά κίνησης. Χωρίς απώλεια της γενικότητας θεωρούμε ότι το μέτρο της είναι σταθερό ίσο με Τ. Επίσης, θεωρούμε ότι το σώμα εκτελεί τη διαδρομή από το σημείο Ο, αρχή των αξόνων, μέχρι το σημείο Α και στη συνέχεια από το σημείο Α πίσω στο Ο. Δηλαδή στη διαδρομή αυτή αρχικό και τελικό σημείο συμπίπτουν. Από την υπόθεση ότι η τριβή είναι συντηρητική δύναμη, το έργο για τη διαδρομή ΟΑΟ θα είναι (βλ. σχέση (3)): W = U(O) - U(O) = () όμως ισχύει ότι: W(OAO) = W(OA) + W(AO) = -T (OA) - T (OA) = - T (OA) (5) Επομένως, αφού - Τ (ΟΑ) καταλήξαμε σε αντίφαση, δηλαδή η αρχική μας υπόθεση είναι λανθασμένη και η τριβή δεν είναι συντηρητική δύναμη. ΑΣΚΗΣΗ Σώμα μάζας m κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Τη χρονική στιγμή t = s, όταν το σώμα υ έχει ταχύτητα ίση με υ ασκείται πάνω του κατακόρυφη σταθερή δύναμη σταθερού μέτρου F με φορά προς τα κάτω, F όπως φαίνεται στο σχήμα. α) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα ελευθέρου σώματος για το σώμα για t>. β) Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης και να υπολογίσετε την επιτάχυνση, α. γ) Να υπολογίσετε το διάστημα που διανύει το σώμα, από t = s μέχρι να σταματήσει, συναρτήσει των μεγεθών υ, Τ και m. δ) Με βάση την απάντηση στο ερώτημα γ) να αποδείξετε ότι για το σώμα μάζας m ισχύει το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας. (1 μονάδα) α) Στο σώμα ασκούνται οι εξής δυνάμεις: το βάρος του, mg, η δύναμη F, η κάθετη αντίδραση, Ν, και η τριβή ολίσθησης, Τ. Το διάγραμμα ελευθέρου σώματος για το σώμα για t> φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

3 N T F B β) Οι εξισώσεις κίνησης είναι (ο οριζόντιος άξονας με φορά προς τα δεξιά συμβολίζεται με x, ενώ ο κατακόρυφος άξονας με φορά προς τα πάνω με ): Άξονας x: -T = m α (1) Άξονας : N - F - mg = N = F + mg () Δεδομένου ότι Τ = μ Ν οι σχέσεις (1) και () δίνουν: T μ (mg + F) μ α = - = - = -μ g - F m m m (3) όπου το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι έχουμε επιβράδυνση. γ) Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη (α σταθερό), οπότε η ταχύτητα του σώματος είναι: υ = υ - α t () και το σώμα σταματά μετά από χρόνο: υ t = α (5) Από τις σχέσεις (3) και (5), στο χρόνο αυτό το σώμα έχει διανύσει απόσταση, s, ίση με: 1 υ m υ s = υ t - α t = = α T (6) δ) Αναδιατάσσοντας τη σχέση (6) παίρνουμε: 1 -Ts = - m υ (7) Το αριστερό μέλος είναι το έργο της τριβής Τ (το έργο αυτό είναι αρνητικό), ενώ το δεξί μέλος είναι η διαφορά μεταξύ της τελικής (που είναι μηδενική) και της αρχικής κινητικής ενέργειας. Έχοντας κατά νου ότι κατά τη μετατόπιση του σώματος έργο έχει μόνο η τριβή Τ, αφού οι

4 υπόλοιπες δυνάμεις είναι κάθετες στη μετατόπιση, η σχέση (7) δείχνει ότι για το σώμα μάζας m ισχύει το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας. ΑΣΚΗΣΗ 3 Σώμα μάζας m = Kg αρχικά ακίνητο δέχεται δύναμη F η οποία δίνεται από την εξίσωση στο διεθνές σύστημα μονάδων: 3 3 F = t, t s, F = 6 - t, s t 8s και αλλού. α) Να δώσετε το γράφημα, F(t). β) Να υπολογίσετε την ώθηση που δέχεται το σώμα. γ) Να προσδιορίσετε τη μέση δύναμη που δέχεται το σώμα στη διάρκεια των 8s. (1 μονάδα) δ) Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος για t = 8 s. Θεωρείστε ότι στο σώμα δεν ασκούνται άλλες δυνάμεις. α) Το ζητούμενο γράφημα είναι: F (N) 3 8 t (s) β) Η ώθηση που δέχεται το σώμα, Ι, δίνεται από τη σχέση: I = Fdt = Fdt + Fdt = t dt + (6 - t) dt = t 3 t = + 6 t - = ( ) Ns = 1 Ns (1) Εναλλακτικά: Η ώθηση δίνεται από το εμβαδόν του τριγώνου (γεωμετρική αναπαράσταση ολοκληρώματος) με βάση 8 s και ύψος 3 Ν, δηλαδή Ι = 1 Ν s. γ) Η μέση δύναμη, F μ, που δέχεται το σώμα στη διάρκεια των 8 s αντιστοιχεί στη σταθερή δύναμη που προσδίδει στο σώμα την ίδια ώθηση όταν ασκείται στο ίδιο χρονικό διάστημα. Δηλαδή:

5 8 8 I = F dt = F dt = 8F μ μ μ Αφού η ώθηση είναι Ι = 1 N s και t = 8 s έχουμε ότι F μ = 1.5 Ν. δ) Από τη σχέση: I = p - p m(υ - υ ) = m υ T A T A T όπου p T και p A η τιμή της τελικής και αρχικής ορμής του σώματος, αντίστοιχα, έχουμε ότι η τελική ταχύτητα του σώματος είναι υ Τ = 6 m/s. ΑΣΚΗΣΗ Τέσσερις σφαίρες ενώνονται με αβαρείς ράβδους έτσι ώστε να σχηματίζουν το στερεό σώμα του σχήματος. Ισχύει ότι Μ > m και α > β. Οι σφαίρες βρίσκονται στο επίπεδο x ενώ ο άξονας z είναι κάθετος στη σελίδα και περνά από το σημείο τομής των αβαρών ράβδων. α) Να εξηγήσετε ποια είναι η θετική φορά του άξονα z έτσι ώστε να έχουμε δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων. M α m β β α M x β) Να υπολογίσετε τις ροπές αδρανείας, Ι x, I και Ι Z. Τι m παρατηρείτε όταν το στερεό αρχίσει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από τους άξονες x,, z; (1 μονάδα) γ) Χρησιμοποιώντας το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας στην περιστροφική κίνηση και την παρατήρηση σας στο ερώτημα β) να βρείτε για ποιον άξονα απαιτείται μικρότερο έργο για να θέσουμε σε περιστροφή το στερεό σώμα. (1 μονάδα) α) Σε ένα δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων οι άξονες x,, z αντιστοιχούν στον αντίχειρα, στο δείκτη και στο μέσο δάκτυλο όταν εφαρμόζουμε τον κανόνα του δεξιού χεριού. Επομένως, για το σχήμα που έχουμε η θετική φορά του άξονα z πρέπει να είναι έξω από τη σελίδα. β) Για τις ροπές αδρανείας, Ι x, I και Ι Z έχουμε ότι: I = mβ + mβ = mβ (1) x αφού οι μάζες Μ απέχουν μηδενική απόσταση από τον άξονα x και δεν περιστρέφονται. I = M α + M α = M α () αφού οι μάζες m απέχουν μηδενική απόσταση από τον άξονα και δεν περιστρέφονται. I = M α + M α + mβ + mβ = M α + mβ (3) z

6 αφού ως προς τον άξονα z που περνά από το σημείο τομής των αβαρών ράβδων τόσο οι μάζες Μ όσο και οι μάζες m περιστρέφονται. Όταν το στερεό αρχίσει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από τους άξονες x,, z τότε η κινητική του ενέργεια λόγω περιστροφής θα είναι: 1 E = I ω K () Επομένως, με βάση τις σχέσεις (1)-() παρατηρούμε ότι η κινητική ενέργεια θα είναι διαφορετική κατά την περιστροφή του στερεού γύρω από τους άξονες x,, z και μάλιστα δεδομένου ότι Μ > m και α > β ισχύει Ι z > I > I x. Τελικά, η κινητική ενέργεια του στερεού θα είναι μέγιστη κατά την περιστροφή του γύρω από τον άξονα z και ελάχιστη κατά την περιστροφή του γύρω από τον άξονα x. γ) Το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας στην περιστροφική κίνηση έχει τη μορφή: 1 1 W = I ω - I ω όπου ω, ω οι τιμές της τελικής και της αρχικής γωνιακής ταχύτητας. Δηλαδή, για να ξεκινήσει η περιστροφή ενός αρχικά ακίνητου στερεού σώματος μέχρι κάποια τιμή γωνιακής ταχύτητας ω το έργο που απαιτείται είναι: W = 1 Iω οπότε με βάση τα αποτελέσματα του ερωτήματος β) απαιτείται μικρότερο έργο για να θέσουμε σε περιστροφή το στερεό σώμα γύρω από τον άξονα x που έχει τη μικρότερη ροπή αδράνειας

Σχετικά έγγραφα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά