Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

ΜΑΘΗΜΑ 1

αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

Ιδιότητες Αξιώματα Ισχυρισμοί που τους δεχόμαστε ως αληθείς χωρίς απόδειξη Τα αξιώματα δεν αποδεικνύονται Πχ Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του επιπέδου που δεν ανήκει σε αυτή Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία που εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις χωρίς διακοπές και κενά Θεωρήματα Κάθε νέο αποτέλεσμα που προκύπτει από μια σειρά συλλογισμών θεμελιωμένη στα αξιώματα Πορίσματα άμεσες λογικές συνέπειες των θεωρημάτων

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία εξετάζει τις ιδιότητες σχημάτων στο χώρο και το επίπεδο και κυρίως αυτές που σχετίζονται με μετρήσεις Ως σχήμα θεωρούμε οποιαδήποτε συλλογή σημείων του επιπέδου (επίπεδο σχήμα) ή του χώρου (σχήμα στο χώρο). Μετράμε μήκη, γωνίες και εμβαδά. Στο χώρο μετράμε και όγκους. επιπεδομετρία εξετάζονται ιδιότητες σχημάτων του επιπέδου, όπως το τρίγωνο, το τετράγωνο, ο κύκλος στερεομετρία, εξετάζονται ιδιότητες των σχημάτων του χώρου, όπως ο κύβος, η σφαίρα κ.τ.λ. Γεωμετρίες Αναλυτική γεωμετρία Διαφορική γεωμετρία Προβολική γεωμετρία Παραστατική γεωμετρία Μη ευκλείδεια Γεωμετρία

(1) Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν. Σημείο είναι αυτό που δεν έχει μέρη (2) Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. Γραμμή δε μήκος χωρίς πλάτος (3) Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. Πέρατα δε της γραμμής είναι τα σημεία (4) Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐϕ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται Ευθεία γραμμή είναι αυτή που κείται εξίσου από τα σημεία της (5) Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. Επιφάνεια είναι αυτό που έχει μόνο μήκος και πλάτος (23) Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐϕ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις. Παράλληλες είναι οι ευθείες οι οποίες ενώ είναι στο ίδιο επίπεδο και προεκτεινόμενες επ άπειρο και από τα δύο μέρη δεν συμπίπτουν σε κανένα σημείο.

1. Ηιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. Από κάθε σημείο μπορούμε να φέρουμε ευθεία που να το συνδέει με οποιοδήποτε σημείο. 2. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ εὐθείας ἐκβαλεῖν. Το ευθύγραμμο τμήμα προεκτεινόμενο γίνεται ευθεία 3. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράϕεσθαι. Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο και ακτίνα κάθε τμήμα, είναι δυνατό να γράψουμε κύκλο. 4. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι. Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 5. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰαὐτὰμέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐϕ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος "εντός και επί τα αυτά " γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Ένα σημείο δεν έχει διαστάσεις Το παριστάνουμε με μια τελεία Το ονομάζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα A, B, Γ,..., ή κεφαλαία με τόνους A, B, Γ,... ή κεφαλαία με δείκτες A1,A2,... κ.τ.λ. Το επίπεδο αποτελείται από σημεία Α Β..

συμβολίζουμε με μικρά γράμματα ε, ζ,..., ή γράμματα με τόνους ε, ζ,... ή γράμματα με δείκτες ε1, ε2,... κ.τ.λ. ε ε ζ ε1

Αξίωμα 1.2.1 Δύο διαφορετικά σημεία A, B ορίζουν μία ακριβώς ευθεία που συμβολίζουμε με AB. Α Β

Αξίωμα 1.2.2 Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία. Για κάθε ευθεία υπάρχουν άπειρα σημεία του επιπέδου που δεν ανήκουν σε αυτήν. Για κάθε σημείο υπάρχουν άπειρες ευθείες που δεν διέρχονται από αυτό.

Αξίωμα 1.2.3 Κάθε ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη που λέγονται ημιεπίπεδα, που δεν έχουν κοινά σημεία με την ευθεία. Μια ευθεία που έχει δύο σημεία A και B σε διαφορετικά ημιεπίπεδα της ευθείας ε τέμνει την ευθεία ε (το πρώτο θεώρημα παρακάτω λέει ότι υπάρχει τότε ένα ακριβώς σημείο τομής της ε με την ευθεία AB). Συχνά χρησιμοποιούμε τη λέξη μεριά της ευθείας, εννοώντας ένα από τα δύο ημιεπίπεδα αυτής. Α Α Β Ημιεπίπεδα οριζόμενα από μία ευθεία

Αξίωμα 1.2.4 Δύο σημεία A, B μιας ευθείας ε ορίζουν ένα ευθύγραμμο τμήμα που συμβολίζουμε επίσης με AB. Το AB αποτελείται από τα A, B καθώς και όλα τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ του A και του B. Τα A και B λέγονται άκρα του ευθύγραμμου τμήματος. Τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος, εκτός των άκρων, λέμε ότι αποτελούν το εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος. Α Β Ευθύγραμμο τμήμα AB

Για κάθε επίπεδο σχήμα δεχόμαστε ότι μπορεί να μετατοπισθεί μέσα στο επίπεδο πηγαίνοντας από την αρχική του θέση σε μια οποιαδήποτε άλλη θέση και να παραμένει αναλλοίωτο ως προς τη μορφή και το μέγεθος. Το τελικό σχήμα που προκύπτει (δηλαδή το αρχικό σχήμα στην τελική θέση) λέγεται ομόλογο (ή εικόνα) του αρχικού.

Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται ίσα, όταν με κατάλληλη μετατόπιση συμπίπτουν. Για την ισότητα ευθύγραμμων τμημάτων δεχόμαστε το παρακάτω αξίωμα: Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Τότε για κάθε ημιευθεία Γx υπάρχει μοναδικό σημείο της Δ, ώστε ΑΒ = ΓΔ Άμεση συνέπεια του παραπάνω αξιώματος είναι η επόμενη κατασκευή.

Έστω το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και η ημιευθεία Γx. Εφαρμόζουμε τη μια ακίδα του διαβήτη στο Α και την άλλη στο Β και, στη συνέχεια, κρατώντας σταθερό το άνοιγμα του διαβήτη τοποθετούμε το ένα άκρο του στο Γ, οπότε το άλλο άκρο του ορίζει το σημείο Δ της Γx. Τότε το τμήμα ΓΔ είναι ίσο με το αρχικό

Η παραπάνω διαδικασία λέγεται γεωμετρική κατασκευή. Θα λέμε ότι ένα σχήμα κατασκευάζεται γεωμετρικά, όταν μπορούμε να το σχεδιάσουμε χρησιμοποιώντας αποκλειστικά τα γεωμετρικά όργανα, δηλαδή τον κανόνα(χωρίς υποδιαιρέσεις) και το διαβήτη.

Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται ένα εσωτερικό του σημείο Μ τέτοιο, ώστε ΑΜ=ΜΒ Δεχόμαστε ότι κάθε τμήμα έχει μοναδικό μέσο.

Έστω δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ. Προεκτείνουμε το ΓΔ οπότε προκύπτει η ημιευθεία Γx. Μετατοπίζουμε το ΑΒ ώστε το Α να ταυτιστεί με το Γ. Τότε θα υπάρχει μοναδικό σημείο Ε της ώστε ΑΒ=ΓΕ. Αν το Ε είναι εσωτερικό σημείο του τμήματος ΓΔ, θα λέμε ότι το τμήμα ΑΒ είναι μικρότερο από το ΓΔ. Συμβολίζουμε ΑΒ<ΓΔ (σχ. α). Αν το Ε ταυτίζεται με το Δ, τότε ΑΒ=ΓΔ, όπως προηγούμενα (σχ.β). Αν το Ε δεν είναι εσωτερικό σημείο του τμήματος ΓΔ, θα λέμε ότι το τμήμα ΑΒ είναι μεγαλύτερο από το ΓΔ. Συμβολίζουμε ΑΒ>ΓΔ (σχ. γ )

Να γράψετε τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από όλα τα σημεία των παρακάτω σχημάτων:

Σχεδιάστε τρεις ευθείες, οι οποίες να τέμνονται ανά δυο, χωρίς να διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο και βρείτε: i) πόσα είναι τα σημεία τομής των ευθειών, ii) πόσες ημιευθείες και πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται.

Σχεδιάστε τρεις ευθείες, οι οποίες να τέμνονται ανά δυο, χωρίς να διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο και βρείτε: i) πόσα είναι τα σημεία τομής των ευθειών, ii) πόσες ημιευθείες και πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται.

Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ και Δ ώστε ΑΒ = ΓΔ. Να δικαιολογήσετε ότι ΑΓ = ΒΔ.

Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ και Δ ώστε ΑΒ = ΓΔ. Να δικαιολογήσετε ότι ΑΓ = ΒΔ.

Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β και Γ. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να δικαιολογήσετε ότι ΑΓ = 2ΜΝ.

Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β και Γ. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να δικαιολογήσετε ότι ΑΓ = 2ΜΝ.

Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ. Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i)εζ = (ΑΔ + ΒΓ) /2, ii) ΑΓ+ΒΔ =ΑΔ +ΒΓ. υπόδειξη i)υπολογίστε πρώτα το ΑΔ και ΒΓ ii) υπολογίστε το ΑΓ σαν άθροισμα των ΑΒ + ΒΓ

Σε ευθεία ε θεωρούμε τμήμα ΑΒ, το μέσο του Μ, Γ τυχαίο εσωτερικό σημείο του τμήματος ΜΒ και Δ τυχαίο σημείο εξωτερικό του τμήματος ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: i)υπολογίστε το ΓΒ σε συνάρτηση με το ΜΒ A ii) Υπολογίστε το ΔΒ σε συνάρτηση με το ΔΜ M Γ B Δ ε

Αξίωμα 1.2.5 Αν τα σημεία A και B βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ευθείας ε, τότε και όλα τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος AB περιέχονται στο ίδιο ημιεπίπεδο. Αν τα σημεία A και B βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα της ευθείας ε, τότε το σημείο τομής E της ευθείας ε και της ευθείας AB βρίσκεται μεταξύ των A και B. ε E B Α Α A και B σε διαφορετικά ημιεπίπεδα της ε

Παράλληλες ονομάζουμε δύο ευθείες που δεν τέμνονται. Συχνά την ευθεία, στην οποία περιέχεται ένα ευθύγραμμο τμήμα, ονομάζουμε φορέα του ευθύγραμμου τμήματος. Παράλληλα λέμε δύο ευθύγραμμα τμήματα των οποίων οι φορείς είναι ευθείες παράλληλες.

Απόδειξη: Αν οι δύο ευθείες ε και ε δεν τέμνονται, τότε είναι εξ ορισμού παράλληλες. Αν τέμνονται τότε θα έχουν ένα μόνο κοινό σημείο A. Τούτο διότι αν είχαν και δεύτερο σημείο τομής B, διαφορετικό του A, θα είχαμε δύο διαφορετικές ευθείες ε και ε διερχόμενες από τα δύο σημεία A και B, που είναι αδύνατον διότι αντιφάσκει στο Αξίωμα 1.2.1, ό.έ.δ.

Αξίωμα 1.3.1 Για κάθε ζεύγος σημείων A και B ορίζεται ένας πραγματικός αριθμός AB 0 που ονομάζουμε απόσταση των σημείων και ικανοποιεί τις ιδιότητες AB = BA και AB = 0 τότε και μόνον, όταν τα σημεία αυτά ταυτίζονται.

Μήκος του ευθύγραμμου τμήματος AB ονομάζουμε την απόσταση AB των άκρων του. Λέμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα AB και ΓΔ της ίδιας ευθείας ή διαφορετικών ευθειών είναι ίσα, όταν έχουν το ίδιο μήκος.

Αξίωμα 1.3.2 Για κάθε τριάδα διαφορετικών σημείων A, B και E της ίδιας ευθείας, ένα εκ των τριών είναι ανάμεσα στα άλλα δύο. Αν το E είναι μεταξύ των A και B τότε AB = AE + EB. Και αντίστροφα, αν ισχύει αυτή η σχέση τότε το E είναι μεταξύ των A και B.

Αξίωμα 1.3.3 Ένα σημείο A ευθείας ε χωρίζει την ευθεία σε δύο μέρη ε και ε, που έχουν μοναδικό κοινό σημείο το A και λέγονται ημιευθείες με άκρο ή αρχή το A. Για κάθε θετικό αριθμό δ υπάρχει ένα ακριβώς σημείο B στην ε με B A = δ και ένα ακριβώς σημείο B στην ε με B A = δ. Το A είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος B B.

Οι δύο ημιευθείες που ορίζονται από το σημείο A επί της ευθείας ε λέγονται αντικείμενες. Παράλληλες ονομάζουμε δύο ημιευθείες που περιέχονται σε παράλληλες ευθείες Το Αξίωμα 1.3.3 των ευθειών σημαίνει ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε ευθύγραμμο τμήμα οποιουδήποτε μήκους θέλουμε