Ειδικά θέματα σε κινητά και ασύρματα δίκτυα

Ειδικά θέματα σε κινητά και ασύρματα δίκτυα Ενότητα 4: Ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχος αποδοχής κλήσεων σε ασύρματα κυψελικά δίκτυα Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Σκοποί ενότητας Παρουσίαση και μελέτη αλγορίθμων ανάθεσης συχνοτήτων και ελέγχου αποδοχής κλήσεων σε ασύρματα κυψελικά δίκτυα Τίτλος Ενότητας 2

Περιεχόμενα ενότητας Αλγόριθμοι ανάθεσης συχνοτήτων και ελέγχου αποδοχής κλήσεων σε ασύρματα κυψελικά δίκτυα Τίτλος Ενότητας 3

Ειδικά θέματα σε κινητά και ασύρματα δίκτυα Ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχος αποδοχής κλήσεων σε ασύρματα κυψελικά δίκτυα 4

Online vs offline Φανταστείτε ότι καλείστε σε συνέντευξη και γνωρίζετε εκ των προτέρων τις ερωτήσεις που θα σας τεθούν Έχετε τη δυνατότητα να μελετήσετε από πριν το σύνολο των ερωτήσεων και να δώσετε τις καλύτερες δυνατές απαντήσεις χωρίς να γνωρίζετε εκ των προτέρων τις ερωτήσεις που θα σας τεθούν Πρέπει να απαντάτε αμέσως σε κάθε ερώτηση Χωρίς να γνωρίζετε το μέλλον δηλ., τις επόμενες ερωτήσεις (Συνήθως) δε μπορείτε να αναιρέσετε ό,τι ήδη είπατε 5

Online vs offline Φανταστείτε ότι καλείστε σε συνέντευξη [OFFLINE] και γνωρίζετε εκ των προτέρων τις ερωτήσεις που θα σας τεθούν Έχετε τη δυνατότητα να μελετήσετε από πριν το σύνολο των ερωτήσεων και να δώσετε τις καλύτερες δυνατές απαντήσεις χωρίς να γνωρίζετε εκ των προτέρων τις ερωτήσεις που θα σας τεθούν [ONLINE] Πρέπει να απαντάτε αμέσως σε κάθε ερώτηση Χωρίς να γνωρίζετε το μέλλον δηλ., τις επόμενες ερωτήσεις (Συνήθως) δε μπορείτε να αναιρέσετε ό,τι ήδη είπατε 6

Online vs offline αλγόριθμοι OFFLINE: Γνωρίζουν το σύνολο της εισόδου μπορούν να κάνουν βέλτιστες επιλογές ONLINE: Π.χ., δρομολόγηση σε παράλληλο υπολογιστή Η είσοδος τους αποκαλύπτεται σταδιακά πρέπει σε κάθε βήμα να λαμβάνουν απόφαση (συνήθως μη αναστρέψιμη) χωρίς να γνωρίζουν το μέλλον, έχοντας μόνο πλήρη ή μερική γνώση του παρελθόντος Ανάθεση συχνοτήτων σε χρήστες κυψελικού δικτύου 7

Ντετερμινιστική vs πιθανοτική προσέγγιση Υπάρχουν 7 ντουλαπάκια καιένα ζάριμε 7 όψεις Διαλέγετε πάντα το κόκκινο ντουλαπάκι με ετικέτα 1 Διαθέτετε πολλές επιλογές και εσείς προτιμάτε πάντα (δηλ., με πιθανότητα= 1) μία συγκεκριμένη επιλογή (ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Ρίχνετε το ζάρι και ανάλογα με το τι θα φέρει διαλέγετε ντουλαπάκι με την αντίστοιχη ετικέτα Διαθέτετεπολλέςεπιλογέςκαιπροτιμάτεόποιασαςυποδεικνύειμιαπηγή τυχαιότητας, π.χ., έναζάρι (ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Αν το ζάρι «φέρνει»/ υποδεικνύει πάντα την ίδια επιλογή ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 8

Ντετερμινιστικοί vs πιθανοτικοί αλγόριθμοι Ντετερμινιστικοί αλγόριθμοι: όποτε καλούνται να αποφασίσουν μεταξύ διαφορετικών επιλογών, προτιμούν σίγουρα μια συγκεκριμένη επιλογή Επιλέγω πάντα το μικρότερο από τα k στοιχεία ενός συνόλου αριθμών Πιθανοτικοί αλγόριθμοι: όποτε καλούνται να αποφασίσουν μεταξύ διαφορετικών επιλογών, προτιμούν ό,τι τους υποδεικνύει κάποια πηγή τυχαιότητας Π.χ., επιλέγω ισοπίθανα κάποιο από τα k στοιχεία ενός συνόλου αριθμών 9

Άπληστοι (greedy) αλγόριθμοι Κάνουν τη βέλτιστη επιλογή σε κάθε βήμα ελπίζοντας ότι αυτό θα οδηγήσει σε βέλτιστη λύση στο μέλλον Παράδειγμα: Έχουμε Μ EUR για να αγοράσουμε γλυκά Υπάρχουν Ν τεμάχια γλυκών και το καθένα έχει κάποιο κόστος Ταξινομούμεταγλυκάαπότοφθηνότεροστοακριβότεροκαι αγοράζουμε από την αρχή προς το τέλος της λίστας μέχρι να τελειώσουν χρήματα Αν κάθε φορά αγοράζουμε το φθηνότερο, ελπίζουμε πως συνολικά θα αγοράσουμε τα περισσότερα δυνατά γλυκά με βάση τον προϋπολογισμό μας 10

Το πρόβλημα του σακιδίου (the knapsack problem) Ποια κουτιά θα διαλέγατε για να συγκεντρώσετε το μέγιστο χρηματικό ποσό και να μην ξεπεράσετε τη χωρητικότητα της τσάντας σας; Το πρόβλημα αυτό συχνά ανακύπτει σε προβλήματα ανάθεσης (κατανομής) πόρων Είναι ένα δύσκολο πρόβλημα, δηλ., δεν έχει βρεθεί αλγόριθμος καλύτερος από το να ψάξουμε όλες τις πιθανές λύσεις 11

Το πρόβλημα του σακιδίου (the knapsack problem) Άπληστος (προσεγγιστικός) αλγόριθμος Διάταξε τα αντικείμενα σε φθίνουσα σειρά χρηματικής αξίας: κίτρινο (10), πράσινο (4), μπλε/γκρι (2), πορτοκαλί (1) Χρηματική αξία ίδια; Διάταξε τα αντικείμενα σε αύξουσα σειρά βάρους: κίτρινο (10), πράσινο (4), γκρι (2,1), μπλε (2,2), πορτοκαλί (1) Πάρε όσα περισσότερα αντικείμενα μπορείς με βάση την παραπάνω λίστα ώστε να μην ξεπεράσεις τη χωρητικότητα του σακιδίου: Υπάρχουν πολλά τεμάχια από κάθε αντικείμενο; Υπάρχει ένα τεμάχιο ανά αντικείμενο; 12

Το πρόβλημα του σακιδίου (the knapsack problem) Υπάρχουν πολλά τεμάχια από κάθε αντικείμενο Κίτρινο (10,4), Κίτρινο (10,4), Κίτρινο (10,4), Γκρι (2,1), Γκρι (2,1), Γκρι (2,1): 36$,15kg Πετυχαίνουμε πάντα τουλάχιστον 50% από το καλύτερο που θα μπορούσε να γίνει Υπάρχει ένα τεμάχιο από κάθε αντικείμενο Κίτρινο (10,4), Γκρι (2,1), Μπλε (2,2), Πορτοκαλί (1,1): 15$,8kg 13

Το πρόβλημα του σακιδίου (the knapsack problem) Υπάρχουν πολλά τεμάχια από κάθε αντικείμενο Κίτρινο (10,4), Κίτρινο (10,4), Κίτρινο (10,4), Γκρι (2,1), Γκρι (2,1), Γκρι (2,1): 36$,15kg Πετυχαίνουμε πάντα τουλάχιστον 50% από το καλύτερο που θα μπορούσε να γίνει Υπάρχει ένα τεμάχιο από κάθε αντικείμενο Κίτρινο (10,4), Γκρι (2,1), Μπλε (2,2), Πορτοκαλί (1,1): 15$,8kg 14

Online αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που πρέπει να λάβουν αποφάσεις χωρίς πλήρη γνώση της εισόδου Διαθέτουν πλήρη (ήμερική) γνώση του παρελθόντος αλλά καμία (ήμερική) γνώση του μέλλοντος Για τέτοιου είδους προβλήματα σχεδιάζονται αλγόριθμοι που είναι ανταγωνιστικοί σε σχέση με κάποιον βέλτιστο offline αλγόριθμο, δηλ., τον αλγόριθμο που έχει πλήρη γνώση του μέλλοντος 15

Το πρόβλημα ενοικίασης σκι (The ski rental problem) Επιθυμείτε να πάτε για σκι για κάποιες μέρες d δεν ξέρετε για πόσες... Η ενοικίαση του εξοπλισμού σκι κοστίζει 1 EUR τη μέρα ενώ η αγορά του εξοπλισμού αυτού κοστίζει 10 (y) EUR (άπαξ) Κάθε μέρα μπορείτε να αποφασίσετε αν θα νοικιάσετε τον εξοπλισμό για μίαμέραήαννατοναγοράσετε Τι πρέπει να κάνετε (ακολουθώντας ντετερμινιστική στρατηγική) δεδομένου ότι δε γνωρίζετε εκ των προτέρων για πόσες μέρες θα κάνετε σκι προκειμένου να ελαχιστοποιήσετε το συνολικό κόστος για τον εξοπλισμό; Δηλ., αν τελικά κάνετε σκι για 1 μέρα θα σας συνέφερε να νοικιάσετε τον εξοπλισμό πληρώνοντας 1 EUR Αν τελικά κάνετε σκι για 30 μέρες θα σας συνέφερε να αγοράσετε τον εξοπλισμό πληρώνοντας 10 EUR αντί να τον νοικιάσετε πληρώνοντας συνολικά 30 EUR... 16

Το πρόβλημα ενοικίασης σκι (The ski rental problem) Αν γνωρίζατε εξ αρχής τις μέρες d που θα κάνετε σκι, η απόφαση θα ήταν απλή: Αν θα κάνατε σκι περισσότερες από 10 (y) φορές, θα αγοράζατε αμέσως τον εξοπλισμό, αλλιώς θα τον νοικιάζατε Το κόστος αυτού του αλγορίθμου είναι min(d,y) Αυτή η στρατηγική που έχει πλήρη γνώση του μέλλοντος καλείται offline Αλλά δε γνωρίζετε εξ αρχής τις μέρες d που θα κάνετε σκι Μια στρατηγική θα ήταν η εξής: Θα νοικιάζατε τον εξοπλισμό για k 1 φορές και θα τον αγοράζατε μετά κατά την k φορά Αν θέσετε k=10 (y) δε θα πληρώσετε ποτέ περισσότερο από το διπλάσιο του κόστους της offline στρατηγικής ΓΙΑΤΙ; Αν νοικιάσουμε τον εξοπλισμό για 9 μέρες και τον αγοράσουμε τη 10 η θα πληρώσουμε: 9*1EUR+10EUR=19EUR Με βάση την offline στρατηγική το αντίστοιχο κόστος θα ήταν 10 EUR 17

Το πρόβλημα ενοικίασης σκι (The ski rental problem) Όταν αγοράσετε τον εξοπλισμό κατά τη k(=y) επίσκεψη ισχύει ότι d y Το συνολικό σας κόστος θα είναι: k 1+y =2y 1 Το αντίστοιχο κόστος της offline στρατηγικής θα ήταν min(d, y) = y O λόγος ανταγωνιστικότητας είναι (2y 1)/y = 2 1/y Επομένως, η στρατηγική σας είναι (2 1/y) ανταγωνιστική 18

Λόγος ανταγωνιστικότητας (Competitive ratio) Ένας online αλγόριθμος A είναι c ανταγωνιστικός αν υπάρχει σταθερά b έτσι ώστε για όλες τις ακολουθίες s στιςοποίεςεκτελείταιοαλγόριθμος να ισχύει: A(s) < c OPT(s) + b A(s) το κόστος του A για την ακολουθία s OPT(s) το βέλτιστο offline κόστος για την ίδια ακολουθία Ο λόγος ανταγωνιστικότητας (Competitive ratio) είναι φράγμα χειρότερης περίπτωσης 19

Το πρόβλημα ενοικίασης σκι (The ski rental problem) Υπάρχει καλύτερη στρατηγική από αυτή που περιγράψαμε; Έστω ότι νοικιάζουμε τον εξοπλισμό για k μέρες και τον αγοράζουμε μετά. Το συνολικό κόστος είναι k 1+y. Το βέλτιστο (ελάχιστο) offline κόστος είναι min(k,y). Για κάθε k, ο λόγος CR=(k 1+y)/min(k,y) είναι τουλάχιστον (2 1/y): ΓΙΑΤΙ; Αν k y τότε CR= (k 1+y)/k=1+(y 1)/k που γίνεται ελάχιστο όταν y 1/k γίνεται ελάχιστο: αυτό συμβαίνει όταν το k παίρνειτημέγιστηδυνατήτιμήπουείναιy και τότε y 1/k=y 1/y=1 1/y CR 1+1 1/y=2 1/y Αν k>y τότε CR= (k 1+y)/y=1+(k 1)/y που γίνεται ελάχιστο όταν k 1/y γίνεται ελάχιστο: αφού k>y αυτό συμβαίνει όταν το k=y+1 και τότε k 1/y=y+1 1/y=1 CR 1+1 = 2 Επομένως, κάθε στρατηγική είναι τουλάχιστον (2 1/y) ανταγωνιστική 20

Ασύρματα δίκτυα Πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων σε κυψελικά δίκτυα Πρόβλημα ελέγχου αποδοχής κλήσεων σε δίκτυα με κυψελικές, επίπεδες, αυθαίρετες τοπολογίες 21

On line προβλήματα χρήστες/εκπομποί εμφανίζονται ένας ένας σταδιακά και η ακολουθία μπορεί να διακοπεί οποιαδήποτε στιγμή αλγόριθμοι αποκρίνονται άμεσα αποφάσεις αλγορίθμων δε μπορούν να αλλάξουν Εκτίμηση απόδοσης αλγορίθμων μέθοδος ανταγωνιστικής ανάλυσης μέτρο απόδοσης = τιμή του λόγου ανταγωνιστικότητας 22

Κυψελικά ασύρματα δίκτυα Ένας γεωγραφικός χώρος χωρίζεται σε περιοχές (κυψέλες) Κάθε περιοχή αποτελεί την εμβέλεια ενός σταθμού βάσης Οι σταθμοί βάσης διασυνδέονται μέσω ενός δικτύου υψηλής ταχύτητας 23

Επικοινωνία Απαιτείται πάντα επικοινωνία μεταξύ του χρήστη και του σταθμού βάσης του 26

Τεχνολογία FDM FDM: Frequency Division Multiplexing Πολυπλεξία Διαμοιρασμού Συχνότητας Πολυπλεξία: Τεχνική για χρήση ενός κοινού μέσου από πολλούς χρήστες Διαμοιρασμός συχνότητας: το φάσμα συχνοτήτων διαιρείται σε επιμέρους συχνότητες και κάθε μία από αυτές εξυπηρετεί άλλον χρήστη 27

Γραφήματα (graphs) Αναπαράσταση συνόλου αντικειμένων στην οποία κάποια αντικείμενα συνδέονται μεταξύ τους Τα αντικείμενα αναπαρίστανται από αφηρημένα κατασκευάσματα που καλούνται κορυφές και οι σύνδεσμοι μεταξύ κάποιων κορυφών καλούνται ακμές Κορυφές που συνδέονται με ακμή καλούνται γειτονικές Βαθμός κορυφής: πόσες άλλες κορυφές συνδέονται με αυτή; Βαθμός γραφήματος: μέγιστος βαθμός κορυφής Συνήθως τα γραφήματα αναπαρίστανται με διαγράμματα που περιέχουν σύνολο κορυφών (τελείες) και σύνολο ακμών (γραμμές μεταξύ κάποιων τελειών) Ηλέξη"γράφημα" πρωτοχρησιμοποιήθηκε με αυτή την έννοια το 1878 από τον Άγγλο μαθηματικό James Joseph Sylvester 28

Κατευθυνόμενα και μη κατευθυνόμενα γραφήματα Τα γραφήματα χαρακτηρίζονται κατευθυνόμενα ή μη κατευθυνόμενα ανάλογα με το αν οι ακμές τους είναι κατευθυνόμενες ή μη κατευθυνόμενες Αν οι κορυφές αναπαριστούν άτομα σε ένα party και υπάρχει ακμή μεταξύ δύο κορυφών αν τα αντίστοιχα άτομα ανταλλάσσουν χειραψία τότε προκύπτει ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα Αν ένα άτομο A χαιρετάει ένα άτομο B τότε και το άτομο B χαιρετάει το άτομο A (συμμετρική σχέση) Αντίθετα, αν οι κορυφές αναπαριστούν άτομα σε ένα party και υπάρχει ακμή μεταξύ δύο κορυφών αν τα αντίστοιχα άτομα γνωρίζονται τότε προκύπτει ένα κατευθυνόμενο γράφημα Αν ένα άτομο A γνωρίζει ένα άτομο B δεν είναι απαραίτητο το άτομο B να γνωρίζει επίσης το άτομο A (όχι απαραίτητα συμμετρική σχέση) 29

Ιδιότητες γραφημάτων Γειτονικές κορυφές σε κατευθυνόμενο γράφημα λέγονται διαδοχικές Ένα γράφημα στο οποίο υπάρχουν όλες οι δυνατές ακμές μεταξύ των κορυφών του λέγεται πλήρες Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα είναι συνεκτικό όταν υπάρχει μονοπάτι (δηλ., ακολουθία ακμών) που συνδέει οποιεσδήποτε 2 κορυφές του αλλιώς είναι μη συνεκτικό Ένα κατευθυνόμενο γράφημα είναι ισχυρά συνεκτικό όταν υπάρχει μονοπάτι και προς τις δύο κατευθύνσεις που συνδέει οποιεσδήποτε 2 κορυφές του Είναι ασθενώς συνεκτικό όταν αντικαθιστώντας τις κατευθυνόμενες ακμές με μη κατευθυνόμενες προκύπτει συνεκτικό γράφημα Γράφημα με βάρη στις κορυφές ήτιςακμές του λέγεται ζυγισμένο 2 7 3 30

Γιατί χρησιμοποιούμε γραφήματα; Συνήθως είναι δύσκολο αν όχι ανέφικτο να μελετήσουμε ένα πρόβλημα σε πραγματικές συνθήκες Δε μπορώ να κάνω δοκιμές για τρόπους ανάθεσης συχνοτήτων με πραγματικό κυψελικό δίκτυο λόγω κόστους, αποστάσεων, δυσκολίας εγκατάστασης, μεγέθους δικτύου κτλ Δε μπορώ να κάνω δοκιμές για τρόπους ελαχιστοποίησης κατανάλωσης ενέργειας με πραγματικά WSN (ασύρματα δίκτυα αισθητήρων) λόγω κόστους, αποστάσεων, δυσκολίας εγκατάστασης, μεγέθους δικτύου κτλ 31

Πώς χρησιμοποιούμε γραφήματα; Απεικονίζω τα στοιχεία του πραγματικού προβλήματος σε κορυφές που συνδέονται μεταξύ τους με ακμές και μελετώ το πρόβλημα με «μυαλό, μολύβι & χαρτί και υπολογιστή» αντί «στ αλήθεια» Για να δοκιμάσω αν είναι καλός ένας αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα κατασκευάζω ένα γράφημα για το δίκτυο Απεικονίζω τις κυψέλες του δικτύου (δηλ., του σταθμούς βάσης) σε κορυφές και για γειτονικές κυψέλες τοποθετώ ακμή μεταξύ των κορυφών σε ένα γράφημα Π.χ., για να δοκιμάσω την ιδέα μου σε ένα δίκτυο με 10.000 σταθμούς βάσης αρκεί να προσθέσω 10.000 κορυφές σε ένα σχήμα Εκφράζω την ιδέα (που ήρθε στο μυαλό) μου προσαρμοσμένη σε κορυφές και ακμές Αναλύω την ιδέα μου με μολύβι και χαρτί για να διαπιστώσω ποια απόδοση μπορώ να ελπίζω ότι θα επιτύχει Χρησιμοποιώ προσομοιώσεις δηλ., υπολογιστή, για να ελέγξω πειραματικά το πώς λειτουργεί πρακτικά ηιδέαμου 32

Γράφημα παρεμβολών Ακανόνιστα δίκτυα 33

Γράφημα παρεμβολών Κυψελικά δίκτυα απόσταση επαναχρησιμοποίησης (k): η ελάχιστη απόσταση δύο κυψελών στις οποίες μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ίδια συχνότητα 34

Ανάθεση συχνοτήτων Δεδομένα Ένα κυψελικό δίκτυο και χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με τους σταθμούς βάσης τους Ζητούμενο Ανάθεση συχνοτήτων σε όλους τους χρήστες, έτσι ώστε: Χρήστες στην ίδια ή σε γειτονικές κυψέλες να λαμβάνουν διαφορετικές συχνότητες Ο αριθμός των χρησιμοποιούμενων συχνοτήτων να ελαχιστοποιείται 35

Χρωματισμοί σε γραφήματα Αν φανταστούμε: συχνότητες χρώματα χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με το σταθμό βάσης τους κορυφές του γραφήματος παρεμβολών του ασύρματου δικτύου Τότε: πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων στους χρήστες του δικτύου πρόβλημα ελάχιστου πολυχρωματισμού του γραφήματος παρεμβολών του δικτύου το γράφημα σχηματίζεται σταδιακά οι κορυφές παρουσιάζονται μία μία καθώς εμφανίζονται και οι κλήσεις 36

Χρωματισμοί σε γραφήματα 37

Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Δεδομένα Ένα κυψελικό δίκτυο που υποστηρίζει w συχνότητες και χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με τους σταθμούς βάσης τους Ζητούμενο Ανάθεση συχνοτήτων σε κάποιους από τους χρήστες, έτσι ώστε: Χρήστες στην ίδια ή σε γειτονικές κυψέλες να λαμβάνουν διαφορετικές συχνότητες Να χρησιμοποιούνται το πολύ w συχνότητες Ο αριθμός των χρηστών που εξυπηρετούνται να μεγιστοποιείται 38

Εύρεση ανεξάρτητων συνόλων Αν φανταστούμε: συχνότητες χρώματα χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με το σταθμό βάσης τους κορυφές του γραφήματος παρεμβολών του ασύρματου δικτύου Τότε: πρόβλημα ελέγχου κλήσεων πρόβλημα εύρεσης ανεξάρτητων συνόλων στο γράφημα παρεμβολών του δικτύου το γράφημα παρεμβολών σχηματίζεται σταδιακά οι κορυφές του παρουσιάζονται μία μία καθώς εμφανίζονται και οι κλήσεις 39

Εύρεση ανεξάρτητων συνόλων 40

Ανεξάρτητα σύνολα Σύνολα κορυφών μεταξύ των οποίων ΔΕΝ υπάρχουν ακμές Το να βρούμε μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο σε ένα γράφημα είναι υπολογιστικά δύσκολο πρόβλημα Γενικά, δε μπορώ να κάνω κάτι καλύτερο από το να ψάξω όλες τις πιθανές λύσεις 41

Ανεξάρτητασύνολακαικυψελικά δίκτυα Γειτονικά κελιά ΔΕΝ χρησιμοποιούν τις ίδιες συχνότητες 42

Ανεξάρτητασύνολακαικυψελικά δίκτυα Η μέγιστη γειτονιά στην οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ίδιες συχνότητες έχει μέγεθος 3 Γειτονικά κελιά ΔΕΝ χρησιμοποιούν τις ίδιες συχνότητες 45

Χρωματισμός Δεδομένου γραφήματος, χρωμάτισε τις κορυφές του ώστε γειτονικές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα Χρωματισμός κορυφών γραφήματος (μπορεί να έχω και χρωματισμό ακμών, όψεων ) Χρωματικός αριθμός, k: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για χρωματισμό γραφήματος Το να βρούμε το χρωματικό αριθμό γραφημάτων είναι, γενικά, υπολογιστικά δύσκολο πρόβλημα Γενικά, δε μπορώ να κάνω κάτι καλύτερο από το να ψάξω όλες τις πιθανές λύσεις 46

Χρωματισμός Δεδομένου γραφήματος, χρωμάτισε τις κορυφές του ώστε γειτονικές να μηλαμβάνουντοίδιοχρώμα Χρωματισμός κορυφών γραφήματος (μπορεί να έχω και χρωματισμό ακμών, όψεων ) Χρωματικός αριθμός, k: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για χρωματισμό γραφήματος Το να βρούμε το χρωματικό αριθμό γραφημάτων είναι, γενικά, υπολογιστικά δύσκολο πρόβλημα Γενικά, δε μπορώ να κάνω κάτι καλύτερο από το να ψάξω όλες τις πιθανές λύσεις Ειδικά για επίπεδα γραφήματα: k=1: εύκολο k=2: εύκολο (δείχνω ότι γράφημα είναι διμερές με DFS/BFS) k=3: δύσκολο k 4: υπάρχει θεώρημα σύμφωνα με το οποίο κάθε επίπεδο γράφημα είναι 4 χρωματίσιμο 47

Χρωματικός αριθμός Ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για το χρωματισμό των κορυφών ενός γραφήματος 48

Χρωματισμός και ανεξάρτητα Παρατηρήστε ότι: σύνολα Οι κόκκινες κορυφές είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο στο γράφημα Οι πράσινες κορυφές είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο στο γράφημα Οι μπλε κορυφές είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο στο γράφημα 49

Ανεξάρτητα σύνολα, χρωματισμός, ανάθεση συχνοτήτων, έλεγχος αποδοχής κλήσεων Ανάθεση συχνοτήτων χρωματισμός Έλεγχοςαποδοχήςκλήσεων ανεξάρτητα σύνολα 50

Ανταγωνιστική ανάλυση Ανάθεση συχνοτήτων Κόστος: Αριθμός χρησιμοποιούμενων συχνοτήτων Έλεγχοςαποδοχήςκλήσεων Κέρδος: Αριθμός εξυπηρετούμενων χρηστών Λόγος ανταγωνιστικότητας: Λόγος ανταγωνιστικότητας : C A( σ ) ρ = max σ C ( σ ) OPT E[C A( σ )] ρ = max σ C ( σ ) OPT ρ ρ B = max σ B OPT A B = max σ E[B OPT ( σ ) ( σ ) A ( σ ) ( σ )] 51

Ανάθεση συχνοτήτων Ο αλγόριθμος σταθερών αναθέσεων FA (Fixed Allocation) Ο άπληστος (Greedy) αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων O αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων Hybrid 52

Ανάθεση συχνοτήτων: σχετική βιβλιογραφία Off line αλγόριθμοι 4/3 προσέγγιση [NS97, MR97, JKNS98] Ακόμα κι αν γνωρίζουμε εξ αρχής τους χρήστες, το πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων δε μπορεί να λυθεί βέλτιστα σε πολυωνυμικό χρόνο [MR97] Απλοί 3/2 και17/12 προσεγγιστικοί αλγόριθμοι [JKNS98] On line αλγόριθμοι Αλγόριθμος FA: συγκριτικός λόγος απόδοσης 3 [JKNS98] Κανένας ντετερμινιστικός αλγόριθμος δεν έχει συγκριτικό λόγο απόδοσης καλύτερο από 2 [JKNS98] 53

Σύμφωνα με τον αλγόριθμο FA: χρησιμοποιούνται 3 χρώματα για να χρωματιστεί σωστά το γράφημα παρεμβολών που αντιστοιχεί σε κυψελικό ασύρματο δίκτυο 55

Όταν εμφανίζονται κλήσεις σε κορυφές του γραφήματος, τους ανατίθεται το χρώμα της κορυφής στην οποία εμφανίστηκαν 56

ΟαλγόριθμοςFA μπορεί να χρησιμοποιήσει άσκοπα 3πλάσια χρώματα (δηλ., συχνότητες) σε σύγκριση με αυτά που θα χρησιμοποιούσε οβέλτιστοςoffline αλγόριθμος 57

Ο άπληστος αλγόριθμος για ανάθεση συχνοτήτων Συχνότητες: θετικοί ακέραιοι 1, 2, 3,... Όταν εμφανίζεται μια νέα κλήση, τής ανατίθεται η ελάχιστη διαθέσιμη συχνότητα, έτσι ώστε Να μην υπάρχουν παρεμβολές μεταξύ της κλήσης και κλήσεων στην ίδια ή σε γειτονικές κυψέλες (με βάση την απόσταση επαναχρησιμοποίησης του δικτύου) Ο άπληστος αλγόριθμος για ανάθεση συχνοτήτων έχει συγκριτικό λόγο απόδοσης 2.5 απέναντι σε offline αντιπάλους [CKP02, NT04] 58

Απόδειξη Άνω φράγμα 59

Απόδειξη Άνω φράγμα D 60

Απόδειξη Άνω φράγμα D...α 1...α 2...α 6...α 0...α 3...α 5...α 4 61

Απόδειξη Άνω φράγμα D...α 1...α 2...α 6...α 0...α 3 a 0 2.5D...α 5...α 4 62

Απόδειξη Κάτω φράγμα 63

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 65

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 66

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 3 1,2 3 1,2,3 1,2,3 1,2 3 1,2 1,2 1,2 3 3 3 1,2 1,2 67

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 3,4 1,2 3,4 1,2,3 1,2,3 4 1,2 4 4 3 1,2 1,2 1,2 3,4 3 3,4 1,2 4 1,2 68

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5 3,4 5 1,2 3,4 1,2,3 1,2,3 4 1,2 4,5 4,5 3 5 1,2 1,2 1,2 3,4 5 3 5 3,4 1,2 4 1,2 69

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 1,2 3,4 1,2,3 1,2,3 4 1,2 4,5,6 4,5,6 3 5,6 1,2 1,2 1,2 3,4 5,6 3 5,6 3,4 1,2 4 1,2 70

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 7 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 4 1,2 4,5,6 4,5,6 3 5,6 1,2 7 1,2 7 1,2 3,4 5,6 3 5,6 3,4 1,2 4,7 1,2 71

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 7,8 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 4 8 1,2 4,5,6 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8 1,2 7,8 1,2 3,4 5,6 3 5,6 3,4 1,2 4,7 8 1,2 72

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 4 8,9 1,2 4,5,6 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 1,2 7,8,9 1,2 3,4 5,6 3 5,6 3,4 1,2 4,7 8,9 1,2 73

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 4,10 8,9 1,2 4,5,6 10 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 1,2 7,8,9 1,2 3,4 5,6 3,10 5,6 3,4 1,2 4,7 8,9 1,2 74

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 1,2 7,8,9 1,2 3,4 5,6 3,10,11 5,6 3,4 1,2 4,7 8,9 1,2 75

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 12 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12 1,2 7,8,9 1,2 3,4 5,6 3,10,11 5,6 3,4 1,2 4,7 8,9 1,2 76

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 12,13 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12,13 1,2 7,8,9 1,2 3,4 5,6 3,10,11 5,6 3,4 1,2 4,7 8,9 1,2 77

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 14 12,13 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12,13 1,2 7,8,9 1,2 3,4 5,6 3,10,11 5,6 3,4 1,2 4,7 8,9 1,2 78

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 14,15 12,13 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12,13 1,2 7,8,9 1,2 3,4 5,6 3,10,11 5,6 3,4 1,2 4,7 8,9 1,2 79

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 14,15 12,13 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 16 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12,13 1,2 7,8,9 1,2 3,4 5,6 3,10,11 5,6 3,4 1,2 4,7 8,9 1,2 80

Απόδειξη Κάτω φράγμα 1,2 1,2,3 4 5,6 3,4 5,6 10,11 7,8,9 1,2 7 3,4 1,2,3 1,2,3 14,15 12,13 4,10,11 8,9 1,2 4,5,6 10,11 16,17 4,5,6 3 5,6 1,2 7,8,9 12,13 1,2 7,8,9 1,2 3,4 5,6 3,10,11 5,6 3,4 1,2 4,7 8,9 1,2 81

Ανάθεση συχνοτήτων [2002] Ο άπληστος αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων σε κυψελικά δίκτυα ποτέ δε χρησιμοποιεί παραπάνω από 2,5 (βελτιώθηκε σε 17/7 το 2007) φορές τον αριθμό συχνοτήτων που θα χρησιμοποιούσε ο βέλτιστος offline αλγόριθμος δε μπορεί να χρησιμοποιήσει λιγότερο από 17/7=2,43 φορές τον αριθμό συχνοτήτων που θα χρησιμοποιούσε ο βέλτιστος offline αλγόριθμος Ioannis Caragiannis, Christos Kaklamanis, Evi Papaioannou: Efficient On Line Frequency Allocation and Call Control in Cellular Networks. Theory Comput. Syst. 35(5): 521 543 (2002) [2007] Υπάρχει online αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων σε κυψελικά, ο HYBRID, που πετυχαίνει απόδοση 2 φορές χειρότερη από τον αντίστοιχο offline αλγόριθμο ο αλγόριθμος αυτός είναι βέλτιστος στην κατηγορία του Για μεγάλο αριθμό κλήσεων, ο αλγόριθμος HYBRID πετυχαίνει απόδοση 1,5 φορές χειρότερη από τον αντίστοιχο offline αλγόριθμο Joseph Wun Tat Chan, Francis Y. L. Chin, Deshi Ye, Yong Zhang: Online frequency allocation in cellular networks. SPAA 2007: 241 249 84

O αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων HYBRID ο HYBRID αποτελεί συνδυασμό Του άπληστου αλγόριθμου ανάθεσης συχνοτήτων και Του αλγορίθμου ανάθεσης συχνοτήτων FAA (Fixed Allocation Assignment) 85

O αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων FAA (Fixed Allocation Assignment) Ο αλγόριθμος FAA διαμερίζει τα κελιά σε ανεξάρτητα σύνολα στα οποία αναθέτει διαφορετικό σύνολο συχνοτήτων Ο αλγόριθμος FAA είναι 3 ανταγωνιστικός σε κυψελικά δίκτυα τα οποία είναι 3 χρωματίσιμα 3 ανταγωνιστικός: χρησιμοποιεί 3 πλάσιο πλήθος συχνοτήτων από αυτό που θα χρησιμοποιούσε ο αντίστοιχος offline αλγόριθμος 3 χρωματίσιμα: με 3 χρώματα οι κυψέλες χρωματίζονται έτσι ώστε γειτονικές κυψέλες να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα Το μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο στη γειτονιά κάθε κόμβου έχει μέγεθος 3 (υπενθύμιση) Ανεξάρτητο σύνολο σε ένα γράφημα είναι ένα υποσύνολο των κορυφών του που μεταξύ τους ΔΕΝ υπάρχουν ακμές (δηλ., οι κορυφές ενός ανεξάρτητου συνόλου ΔΕΝ είναι γειτονικές) 86

Πώς λειτουργεί ο Hybrid; To κυψελικό δίκτυο προ χρωματίζεται με 3 χρώματα: R,G,B Το σύνολο των διαθέσιμων συχνοτήτων διαμερίζεται σε 3+1=4 σύνολα, ως εξής: Κοινό σύνολο: {1, 5, 9, 13, 17, } R={2, 6, 10, 14, } G={3, 7, 11, 15, } B={4, 8, 12, 16, } Κάθε φορά που εμφανίζεται κλήση σε κάποιο κελί, της ανατίθεται η μικρότερη δυνατή συχνότητα μεταξύ αυτών που αντιστοιχούν στο χρώμα του κελιού της και αυτών στο κοινό σύνολο 87

Πώς λειτουργεί ο Hybrid; σ = (8,1,6,10,8,4,8,19,6,8,13,11) 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 88

Πόσες συχνότητες μπορεί να χρειαστεί ο Hybrid; Το πολύ 2 πλάσιες από το βέλτιστο αλγόριθμο ΓΙΑΤΙ; x 4k 3 4k 2 4k 1 4k y γραμμή i y x 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 89

Πόσες συχνότητες μπορεί να χρειαστεί ο Hybrid; Το πολύ 2 πλάσιες από το βέλτιστο αλγόριθμο ΓΙΑΤΙ; 90

1+4i h i γραμμές 1+4q h i κλήσεις στο κόκκινο κελί 1+4i 1+4q i γραμμές h q γραμμές q+1 κλήσεις στο πράσινο κελί + i (q+1) κλήσεις στο κόκκινο κελί = i κλήσεις συνολικά στη γειτονιά Για να ασχοληθώ με τη συχνότητα h από το κοινό σύνολο έχω τουλάχιστον i κλήσεις στη γειτονιά 92

h 4+4j j γραμμές h j κλήσεις στο κόκκινο κελί Για να ασχοληθώ με τη συχνότητα h από το κόκκινο σύνολο έχω τουλάχιστον j κλήσεις στη γειτονιά 93

h Συνολικά, υπάρχουν τουλάχιστον i+j+1 κλήσειςστηγειτονιά 94

Αν τελικά επιλέξω τη συχνότητα h από το κοινό σύνολο i j 1+4i h i γραμμές j γραμμές h Αν τελικά επιλέξω τη συχνότητα h από το κόκκινοσύνολο i j+1 h 4+4j i γραμμές j γραμμές Συνολικά, υπάρχουν τουλάχιστον i+j+1 κλήσειςστηγειτονιά 95

Αν τελικά επιλέξω τη συχνότητα h από το κοινό σύνολο i j τουλάχιστον i+i+1=2i+1 κλήσεις στη γειτονιά (OPT) για τις οποίες ο hybrid χρησιμοποιεί h συχνότητες CR=h/2i+1 1+4i/1+2i 2 h 1+4i h i γραμμές j γραμμές Συνολικά, υπάρχουν τουλάχιστον i+j+1 κλήσειςστηγειτονιά 96

Αν τελικά επιλέξω τη συχνότητα h από το κόκκινοσύνολο i j+1 τουλάχιστον j+1+j+1=2j+1 κλήσεις στη γειτονιά (OPT) για τιςοποίεςο hybrid χρησιμοποιεί h συχνότητες CR=h/2(j+1) 4(1+j)/2(1+j) 2 h h 4+4j i γραμμές j γραμμές Συνολικά, υπάρχουν τουλάχιστον i+j+1 κλήσειςστηγειτονιά 97

Μπορεί κάποιος άλλος online αλγόριθμος A νατακαταφέρεικαλύτερα; Όχι ΓΙΑΤΙ; 1 1 a a 1 1 a a 1 2 CR 4/2=2 3 4 98

Μπορεί κάποιος άλλος online αλγόριθμος Όχι ΓΙΑΤΙ; A νατακαταφέρεικαλύτερα; 1 1 b b 1 1 1 1 2 2 2 2 d d 3 4 1 1 1 1 CR=4/2=2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 c c 3 2 1 1 1 1 99

Μπορεί κάποιος άλλος online αλγόριθμος Όχι ΓΙΑΤΙ; A νατακαταφέρεικαλύτερα; 1 1 b b 1 1 1 1 2 2 2 2 d d 3 4 1 1 1 1 CR=4/2=2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 d 3 c c 3 d d 2 1 1 1 1 100

Μπορεί κάποιος άλλος online αλγόριθμος Όχι ΓΙΑΤΙ; A νατακαταφέρεικαλύτερα; 1 1 b b 1 1 1 1 2 2 2 2 d d 3 4 1 1 1 1 CR=4/2=2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 6 3 c c 3 4 5 2 1 1 1 1 CR=6/2=2 101

Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Ο άπληστος (Greedy) αλγόριθμος ελέγχου αποδοχής κλήσεων Ο αλγόριθμος ταξινόμησης και τυχαίας επιλογής (CRS) Οαλγόριθμοςp Random Οι αλγόριθμοι CRS A, CRS B, CRS C (βασισμένοι στον αλγόριθμο CRS) 102

Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Άπληστος αλγόριθμος για έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε δίκτυα μέγιστου βαθμού Δ που υποστηρίζουν μια συχνότητα [PPS97] Ότανεμφανίζεταικλήσηκαιμπορείνατηνεξυπηρετήσει, την αποδέχεται Οάπληστοςαλγόριθμος Ο βέλτιστος αλγόριθμος...... Κέρδος = 1 Κέρδος = Δ 103

Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Αλγόριθμος «Ταξινόμησης και Τυχαίας Επιλογής» γιαδίκτυαμε χρωματικό αριθμό χ και μία συχνότητα [ΑΑFLR96, PPS97] Το δίκτυο προ χρωματίζεται με χ χρώματα, επιλέγεται ομοιόμορφα και τυχαία ένα από αυτά κα στη συνέχεια εξυπηρετούνται όλες οι κλήσεις αλλά μόνο σε κυψέλες του επιλεγμένου χρώματος 104

Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Αλγόριθμος «Ταξινόμησης και Τυχαίας Επιλογής» για δίκτυα με χρωματικό αριθμό χ και μία συχνότητα [ΑΑFLR96, PPS97]... Χρωματικός αριθμός = 4 4 φορές χειρότερος Δίκτυα με μέγιστο βαθμό Δ Χρωματικός αριθμός Δ+1 Δ+1 φορές χειρότερος 105

Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Kάτω φράγματα για αυθαίρετα δίκτυα [BFL96] Απλός τρόπος για τη μετατροπή ενός αλγορίθμου σχεδιασμένουγιαδίκτυαπουυποστηρίζουνμιασυχνότητα σε έναν αλγόριθμο για δίκτυα που υποστηρίζουν αυθαίρετα πολλές συχνότητες [AAFLR01] Άνω φράγματα για δίκτυα με επίπεδα και αυθαίρετα γραφήματα παρεμβολών χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο «Ταξινόμησης και Τυχαίας Επιλογής» [PPS02]

O άπληστος αλγόριθμος για έλεγχο αποδοχής κλήσεων Ο άπληστος αλγόριθμος σε δίκτυα που υποστηρίζουν μία συχνότητα έχει συγκριτικό λόγο απόδοσης ίσο με το μέγιστο μέγεθος του ανεξάρτητου συνόλου στη γειτονιά κάθε κορυφής του γραφήματος παρεμβολών... 107

Ντετερμινιστικοί αλγόριθμοι Ο άπληστος αλγόριθμος για έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά δίκτυα με μία συχνότητα Βέλτιστος στην κλάση των ντετερμινιστικών online αλγορίθμων Συγκριτικός λόγος απόδοσης: 3 Κέρδος = 1 Κέρδος = 3 108

Πιθανοτικοί αλγόριθμοι Βασισμένοι στον αλγόριθμο «Ταξινόμησης και Τυχαίας Επιλογής» Συγκριτικός λόγος απόδοσης = ο αριθμός των χρωμάτων που χρησιμοποιούνται για το χρωματισμό του γραφήματος παρεμβολών Συγκριτικός λόγος απόδοσης για κυψελικά δίκτυα: 3 109

Ιδέα Εξυπηρέτησε την κλήση με πιθανότητα p 110

Ιδέα Τεχνική Marking Εξυπηρέτησε την κλήση με πιθανότητα p (1 p) t 0: σχεδόν σίγουρα εξυπηρετεί κάποια 111

Ιδέα Τεχνική Marking Εξυπηρέτησε την κλήση με πιθανότητα p (1 p) t 0: σχεδόν σίγουρα εξυπηρετεί κάποια 112

Οαλγόριθμοςp Random Αρχικά όλες οι κυψέλες είναι unmarked Για κάθε νέα κλήση c σε μια κυψέλη v Αν η v είναι marked, απόρριψε την c Αν υπάρχει κλήση που έχει γίνει αποδεκτή στην κυψέλη v ήσεκάποια γειτονική της κυψέλη, απόρριψε την c Διαφορετικά: Με πιθανότητα p, κάνε αποδεκτή την c Με πιθανότητα 1 p, απόρριψε την c και κάνε mark την κυψέλη v 113

Αλγόριθμοι βασισμένοι στον CRS Ζητούμενο Πιθανοτικοί αλγόριθμοι Αυθαίρετα πολλές συχνότητες Οποιαδήποτε απόσταση επαναχρησιμοποίησης Μικρό βαθμό τυχαιότητας ασθενείς πηγές τυχαιότητας σταθερό αριθμό τυχαίων δυαδικών ψηφίων Δεδομένο Αλγόριθμος «Ταξινόμησης και Τυχαίας Επιλογής» Απλός Τυχαιότητα μια φορά στην αρχή Λειτουργεί «καλά» ανεξάρτητα από το πλήθος των υποστηριζόμενων συχνοτήτων 114

ΟαλγόριθμοςCRS A Χρωματισμός για το γράφημα παρεμβολών με 4 χρώματα 0,1,2,3 Διάλεξε ένα χρώμα, αγνόησε τις κλήσεις σε κυψέλες αυτού του χρώματος και εκτέλεσε τον άπληστο αλγόριθμο για όλες τις άλλες κλήσεις 115

ΟαλγόριθμοςCRS A Χρωματισμός για το γράφημα παρεμβολών με 4 χρώματα 0,1,2,3 Διάλεξε ένα χρώμα, αγνόησε τις κλήσεις σε κυψέλες αυτού του χρώματος και εκτέλεσε τον άπληστο αλγόριθμο γι όλες τις άλλες κλήσεις 116

ΟαλγόριθμοςCRS A: ανάλυση Ο άπληστος αλγόριθμος θα εξυπηρετήσει τουλάχιστον μισές από τις βέλτιστες κλήσεις Δουλεύουμε κατά μέσο όρο με τα 3/4 των συνολικών κλήσεων Συγκριτικόςλόγοςαπόδοσης= 8/3 117

Αλγόριθμοι βασισμένοι στο CRS Δίκτυο που υποστηρίζει w συχνότητες Αλγόριθμοι βασισμένοι στο παράδειγμα CRS: Χρωμάτισε το γράφημα παρεμβολών Όρισε v χρωματικέςκλάσειςαπόταχρώματα που χρησιμοποιούνται Διάλεξε ισοπίθανα μία από τις v χρωματικές κλάσεις Εκτέλεσε τον άπληστο αλγόριθμο μόνο για κυψέλες με χρώματα από την επιλεγμένη χρωματική κλάση Αν: κάθε χρώμα ανήκει σε τουλάχιστον λ διαφορετικές χρωματικές κλάσεις και κάθε συνεκτική συνιστώσα του υπογραφήματος του G που αποτελείται από κόμβους χρωματισμένους με χρώματα της ίδιας χρωματικής κλάσης είναι κλίκα τότε, ο βασισμένος στο CRS αλγόριθμος έχει συγκριτικό λόγο απόδοσης v/λ απέναντι σε αντιπάλους χωρίς μνήμη 118

ΟαλγόριθμοςCRS B Χρωματισμός για το γράφημα παρεμβολών με 5 χρώματα 0,1,2,3,4 και 5 χρωματικές κλάσεις {0,1}, {1,2}, {2,3}, {3,4}, {4,0} 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 3 4 0 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 3 4 0 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 3 4 0 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 Ο χρωματισμός και οι χρωματικές κλάσεις πληρούν τις συνθήκες του προηγούμενου Λήμματος για v=5 και λ=2 Συγκριτικόςλόγοςαπόδοσης= 5/2 119

ΟαλγόριθμοςCRS C Χρωματισμός για το γράφημα παρεμβολών με 7 χρώματα 0,1,2,3,4,5,6 και 7 χρωματικές κλάσεις {0,1,3}, {1,2,4}, {2,3,5}, {3,4,6}, {4,5,0}, {5,6,1}, {6,0,2} 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 Οχρωματισμόςκαιοιχρωματικέςκλάσειςπληρούντιςσυνθήκεςτου προηγούμενου Λήμματος για v=7 και λ=3 Συγκριτικός λόγος απόδοσης = 7/3 120

Χρήση τυχαίων δυαδικών ψηφίων Πηγή τυχαιότητας: μικρός αριθμός τυχαίων δυαδικών ψηφίων (δίκαιων νομισμάτων) Για κάθε ε > 0, χρησιμοποίησε t=o(log 1/ε) τυχαία δυαδικά ψηφία Για 2 t mod7 από τα 2 t αποτελέσματα μην κάνεις τίποτα Για τα υπόλοιπα αποτελέσματα εκτέλεσε τον αλγόριθμο CRS C το πολύ 7/3+ε: πιθανοτικοί on line αλγόριθμοι, κυψελικά δίκτυα με απόσταση επαναχρησιμοποίησης 2, αυθαίρετα πολλές συχνότητες, O(log 1/ε) τυχαία δυαδικά ψηφία 121

ΟαλγόριθμοςCRS k Χρωματισμός για το γράφημα παρεμβολών με λ=3k 2 3k+1 χρώματα 0,1, 3k 2 3k και 3k 2 3k+1 χρωματικές κλάσεις ορισμένες κατάλληλα έτσι ώστε κάθεχρώμαναανήκεισε v=3k 2 /4 χρωματικές κλάσεις, αν k άρτιος v=(3k 2 +1)/4 χρωματικές κλάσεις, αν k περιττός CR 3k 1 4 1 αν k άρτιος 3k = 2 3k CR = 4 1 2 3k + 1 αν k περιττός Αλγόριθμοι με ελάχιστα χειρότερους συγκριτικούς λόγους απόδοσης για αυθαίρετα πολλές συχνότητες χρησιμοποιώντας O(log 1/ε+log k) τυχαία δυαδικά ψηφία 122

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 123

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 0 1 2 3 4 5 6 7 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 32 33 34 35 36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 0 1 2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 34 35 36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 0 1 2 3 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 124

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Τίτλος Ενότητας 126

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.00. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Τίτλος Ενότητας 128

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιτήμιο Πατρών, Εύη Παπαϊωάννου. «Ειδικά θέματα σε κινητά και ασύρματα δίκτυα. Ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχος αποδοχής κλήσεων σε ασύρματα κυψελικά δίκτυα.». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/culture160/index.php Τίτλος Ενότητας 129

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by nc sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος(π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Τίτλος Ενότητας 130

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Τίτλος Ενότητας 131

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες http://www.wikipedia.org Τίτλος Ενότητας 132