Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος Ι)

Transcript

1 Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος Ι)

2 Online vs offline Φανταστείτε ότι καλείστε σε συνέντευξη και γνωρίζετε εκ των προτέρων τις ερωτήσεις που θα σας τεθούν Έχετε τη δυνατότητα να μελετήσετε από πριν το σύνολο των ερωτήσεων και να δώσετε τις καλύτερες δυνατές απαντήσεις χωρίς να γνωρίζετε εκ των προτέρων τις ερωτήσεις που θα σας τεθούν Πρέπει να απαντάτε αμέσως σε κάθε ερώτηση Χωρίς να γνωρίζετε το μέλλον δηλ., τις επόμενες ερωτήσεις (Συνήθως) δε μπορείτε να αναιρέσετε ό,τι ήδη είπατε

3 Online vs offline Φανταστείτε ότι καλείστε σε συνέντευξη [OFFLINE] και γνωρίζετε εκ των προτέρων τις ερωτήσεις που θα σας τεθούν Έχετε τη δυνατότητα να μελετήσετε από πριν το σύνολο των ερωτήσεων και να δώσετε τις καλύτερες δυνατές απαντήσεις χωρίς να γνωρίζετε εκ των προτέρων τις ερωτήσεις που θα σας τεθούν [ONLINE] Πρέπει να απαντάτε αμέσως σε κάθε ερώτηση Χωρίς να γνωρίζετε το μέλλον δηλ., τις επόμενες ερωτήσεις (Συνήθως) δε μπορείτε να αναιρέσετε ό,τι ήδη είπατε

4 Online vs offline αλγόριθμοι OFFLINE: Γνωρίζουν το σύνολο της εισόδου μπορούν να κάνουν βέλτιστες επιλογές ONLINE: Π.χ., δρομολόγηση σε παράλληλο υπολογιστή Η είσοδος τους αποκαλύπτεται σταδιακά πρέπει σε κάθε βήμα να λαμβάνουν απόφαση (συνήθως μη αναστρέψιμη) χωρίς να γνωρίζουν το μέλλον, έχοντας μόνο πλήρη ή μερική γνώση του παρελθόντος Ανάθεση συχνοτήτων σε χρήστες κυψελικού δικτύου

5 Ντετερμινιστική vs πιθανοτική προσέγγιση Υπάρχουν 7 ντουλαπάκια καιένα ζάριμε 7 όψεις Διαλέγετε πάντα το κόκκινο ντουλαπάκι με ετικέτα 1 Διαθέτετε πολλές επιλογές και εσείς προτιμάτε πάντα (δηλ., με πιθανότητα= 1) μία συγκεκριμένη επιλογή (ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Ρίχνετε το ζάρι και ανάλογα με το τι θα φέρει διαλέγετε ντουλαπάκι με την αντίστοιχη ετικέτα Διαθέτετεπολλέςεπιλογέςκαιπροτιμάτεόποιασαςυποδεικνύειμιαπηγή τυχαιότητας, π.χ., έναζάρι (ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Αν το ζάρι «φέρνει»/ υποδεικνύει πάντα την ίδια επιλογή ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

6 Ντετερμινιστικοί vs πιθανοτικοί αλγόριθμοι Ντετερμινιστικοί αλγόριθμοι: όποτε καλούνται να αποφασίσουν μεταξύ διαφορετικών επιλογών, προτιμούν σίγουρα μια συγκεκριμένη επιλογή Επιλέγω πάντα το μικρότερο από τα k στοιχεία ενός συνόλου αριθμών Πιθανοτικοί αλγόριθμοι: όποτε καλούνται να αποφασίσουν μεταξύ διαφορετικών επιλογών, προτιμούν ό,τι τους υποδεικνύει κάποια πηγή τυχαιότητας Π.χ., επιλέγω ισοπίθανα κάποιο από τα k στοιχεία ενός συνόλου αριθμών

7 Άπληστοι (greedy) αλγόριθμοι Κάνουν τη βέλτιστη επιλογή σε κάθε βήμα ελπίζοντας ότι αυτό θα οδηγήσει σε βέλτιστη λύση στο μέλλον Παράδειγμα: Έχουμε Μ EUR για να αγοράσουμε γλυκά Υπάρχουν Ν τεμάχια γλυκών και το καθένα έχει κάποιο κόστος Ταξινομούμεταγλυκάαπότοφθηνότεροστοακριβότεροκαι αγοράζουμε από την αρχή προς το τέλος της λίστας μέχρι να τελειώσουν χρήματα Αν κάθε φορά αγοράζουμε το φθηνότερο, ελπίζουμε πως συνολικά θα αγοράσουμε τα περισσότερα δυνατά γλυκά με βάση τον προϋπολογισμό μας

8 Το πρόβλημα του σακιδίου (the knapsack problem) Ποια κουτιά θα διαλέγατε για να συγκεντρώσετε το μέγιστο χρηματικό ποσό και να μην ξεπεράσετε τη χωρητικότητα της τσάντας σας; Το πρόβλημα αυτό συχνά ανακύπτει σε προβλήματα ανάθεσης (κατανομής) πόρων Είναι ένα δύσκολο πρόβλημα, δηλ., δεν έχει βρεθεί αλγόριθμος καλύτερος από το να ψάξουμε όλες τις πιθανές λύσεις

9 Το πρόβλημα του σακιδίου (the knapsack problem) Άπληστος (προσεγγιστικός) αλγόριθμος Διάταξε τα αντικείμενα σε φθίνουσα σειρά χρηματικής αξίας: κίτρινο (10), πράσινο (4), μπλε/γκρι (2), πορτοκαλί (1) Χρηματική αξία ίδια; Διάταξε τα αντικείμενα σε αύξουσα σειρά βάρους: κίτρινο (10), πράσινο (4), γκρι (2,1), μπλε (2,2), πορτοκαλί (1) Πάρε όσα περισσότερα αντικείμενα μπορείς με βάση την παραπάνω λίστα ώστε να μην ξεπεράσεις τη χωρητικότητα του σακιδίου: Υπάρχουν πολλά τεμάχια από κάθε αντικείμενο; Υπάρχει ένα τεμάχιο ανά αντικείμενο;

10 Το πρόβλημα του σακιδίου (the knapsack problem) Υπάρχουν πολλά τεμάχια από κάθε αντικείμενο Κίτρινο (10,4), Κίτρινο (10,4), Κίτρινο (10,4), Γκρι (2,1), Γκρι (2,1), Γκρι (2,1): 36$,15kg Πετυχαίνουμε πάντα τουλάχιστον 50% από το καλύτερο που θα μπορούσε να γίνει Υπάρχει ένα τεμάχιο από κάθε αντικείμενο Κίτρινο (10,4), Γκρι (2,1), Μπλε (2,2), Πορτοκαλί (1,1): 15$,8kg 15kg, 36$

11 Το πρόβλημα του σακιδίου (the knapsack problem) Υπάρχουν πολλά τεμάχια από κάθε αντικείμενο Κίτρινο (10,4), Κίτρινο (10,4), Κίτρινο (10,4), Γκρι (2,1), Γκρι (2,1), Γκρι (2,1): 36$,15kg Πετυχαίνουμε πάντα τουλάχιστον 50% από το καλύτερο που θα μπορούσε να γίνει Υπάρχει ένα τεμάχιο από κάθε αντικείμενο Κίτρινο (10,4), Γκρι (2,1), Μπλε (2,2), Πορτοκαλί (1,1): 15$,8kg 8kg, 36$

12 Online αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που πρέπει να λάβουν αποφάσεις χωρίς πλήρη γνώση της εισόδου Διαθέτουν πλήρη (ή μερική) γνώση του παρελθόντος αλλά καμία (ή μερική) γνώση του μέλλοντος Για τέτοιου είδους προβλήματα σχεδιάζονται αλγόριθμοι που είναι ανταγωνιστικοί σε σχέση με κάποιον βέλτιστο offline αλγόριθμο, δηλ., τον αλγόριθμο που έχει πλήρη γνώση του μέλλοντος

13 Το πρόβλημα ενοικίασης σκι (The ski rental problem) Επιθυμείτε να πάτε για σκι για κάποιες μέρες d δεν ξέρετε για πόσες... Η ενοικίαση του εξοπλισμού σκι κοστίζει 1 EUR τη μέρα ενώ η αγορά του εξοπλισμού αυτού κοστίζει 10 (y) EUR (άπαξ) Κάθε μέρα μπορείτε να αποφασίσετε αν θα νοικιάσετε τον εξοπλισμό για μία μέρα ή αν να τον αγοράσετε Τι πρέπει να κάνετε (ακολουθώντας ντετερμινιστική στρατηγική) δεδομένου ότι δε γνωρίζετε εκ των προτέρων για πόσες μέρες θα κάνετε σκι προκειμένου να ελαχιστοποιήσετε το συνολικό κόστος για τον εξοπλισμό; Δηλ., αν τελικά κάνετε σκι για 1 μέρα θα σας συνέφερε να νοικιάσετε τον εξοπλισμό πληρώνοντας 1 EUR Αν τελικά κάνετε σκι για 30 μέρες θα σας συνέφερε να αγοράσετε τον εξοπλισμό πληρώνοντας 10 EUR αντί να τον νοικιάσετε πληρώνοντας συνολικά 30 EUR...

14 Το πρόβλημα ενοικίασης σκι (The ski rental problem) Αν γνωρίζατε εξ αρχής τις μέρες d που θα κάνετε σκι, η απόφαση θα ήταν απλή: Αν θα κάνατε σκι περισσότερες από 10 (y) φορές, θα αγοράζατε αμέσως τον εξοπλισμό, αλλιώς θα τον νοικιάζατε Το κόστος αυτού του αλγορίθμου είναι min(d,y) Αυτήηστρατηγικήπουέχειπλήρηγνώσητουμέλλοντοςκαλείταιoffline Αλλά δε γνωρίζετε εξ αρχής τις μέρες d που θα κάνετε σκι Μια στρατηγική θα ήταν η εξής: Θα νοικιάζατε τον εξοπλισμό για k 1 φορές και θα τον αγοράζατε μετά κατά την k φορά Αν θέσετε k=10 (y) δε θα πληρώσετε ποτέ περισσότερο από το διπλάσιο του κόστους της offline στρατηγικής Αν νοικιάσουμε τον εξοπλισμό για 9 μέρες και τον αγοράσουμε τη 10 η θα πληρώσουμε: 9*1EUR+10EUR=19EUR Με βάση την offline στρατηγική το αντίστοιχο κόστος θα ήταν 10 EUR ΓΙΑΤΙ;

15 Το πρόβλημα ενοικίασης σκι (The ski rental problem) Όταν αγοράσετε τον εξοπλισμό κατά τη k(=y) επίσκεψη ισχύει ότι d y Το συνολικό σας κόστος θα είναι: k 1+y =2y 1 Το αντίστοιχο κόστος της offline στρατηγικής θα ήταν min(d, y) = y O λόγος ανταγωνιστικότητας είναι (2y 1)/y = 2 1/y Επομένως, η στρατηγική σας είναι (2 1/y) ανταγωνιστική

16 Λόγος ανταγωνιστικότητας (Competitive ratio) Ένας online αλγόριθμος A είναι c ανταγωνιστικός αν υπάρχει σταθερά b έτσι ώστε για όλες τις ακολουθίες s στιςοποίεςεκτελείται ο αλγόριθμος να ισχύει: A(s) < c OPT(s) + b A(s) το κόστος του A για την ακολουθία s OPT(s) το βέλτιστο offline κόστος για την ίδια ακολουθία Ο λόγος ανταγωνιστικότητας (Competitive ratio) είναι φράγμα χειρότερης περίπτωσης

17 Το πρόβλημα ενοικίασης σκι (The ski rental problem) Υπάρχει καλύτερη στρατηγική από αυτή που περιγράψαμε; Έστω ότι νοικιάζουμε τον εξοπλισμό για k μέρες και τον αγοράζουμε μετά. Το συνολικό κόστος είναι k 1+y. Το βέλτιστο (ελάχιστο) offline κόστος είναι min(k,y). Για κάθε k, ο λόγος CR=(k 1+y)/min(k,y) είναι τουλάχιστον (2 1/y): ΓΙΑΤΙ; Αν k y τότε CR= (k 1+y)/k=1+(y 1)/k που γίνεται ελάχιστο όταν y 1/k γίνεται ελάχιστο: αυτό συμβαίνει όταν το k παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή που είναι y και τότε y 1/k=y 1/y=1 1/y CR 1+1 1/y=2 1/y Αν k>y τότε CR= (k 1+y)/y=1+(k 1)/y που γίνεται ελάχιστο όταν k 1/y γίνεται ελάχιστο: αφού k>y αυτό συμβαίνει όταν το k=y+1 και τότε k 1/y=y+1 1/y=1 CR 1+1 = 2 Επομένως, κάθε στρατηγική είναι τουλάχιστον (2 1/y) ανταγωνιστική

18 Ασύρματα δίκτυα Πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων σε κυψελικά δίκτυα Πρόβλημα ελέγχου αποδοχής κλήσεων σε δίκτυα με κυψελικές, επίπεδες, αυθαίρετες τοπολογίες

19 On line προβλήματα χρήστες/εκπομποί εμφανίζονται ένας ένας σταδιακά και η ακολουθία μπορεί να διακοπεί οποιαδήποτε στιγμή αλγόριθμοι αποκρίνονται άμεσα αποφάσεις αλγορίθμων δε μπορούν να αλλάξουν Εκτίμηση απόδοσης αλγορίθμων μέθοδος ανταγωνιστικής ανάλυσης μέτρο απόδοσης = τιμή του λόγου ανταγωνιστικότητας

20 Κυψελικά ασύρματα δίκτυα Ένας γεωγραφικός χώρος χωρίζεται σε περιοχές (κυψέλες) Κάθε περιοχή αποτελεί την εμβέλεια ενός σταθμού βάσης Οι σταθμοί βάσης διασυνδέονται μέσω ενός δικτύου υψηλής ταχύτητας

21

22

23 Επικοινωνία Απαιτείται πάντα επικοινωνία μεταξύ του χρήστη και του σταθμού βάσης του Τεχνολογία Πολύπλεξης Διαμοιρασμού Συχνότητας (FDM Frequency Division Multiplexing): πολλοί χρήστες σε μία κυψέλη μπορούν ταυτόχρονα να επικοινωνήσουν με το σταθμό βάσης τους χρησιμοποιώντας διαφορετικές συχνότητες [Hale 80]

24 Τεχνολογία FDM FDM: Frequency Division Multiplexing Πολυπλεξία Διαμοιρασμού Συχνότητας Πολυπλεξία: Τεχνική για χρήση ενός κοινού μέσου από πολλούς χρήστες Διαμοιρασμός συχνότητας: το φάσμα συχνοτήτων διαιρείται σε επιμέρους συχνότητες και κάθε μία από αυτές εξυπηρετεί άλλον χρήστη

25 Γραφήματα (graphs) Αναπαράσταση συνόλου αντικειμένων στην οποία κάποια αντικείμενα συνδέονται μεταξύ τους Τα αντικείμενα αναπαρίστανται από αφηρημένα κατασκευάσματα που καλούνται κορυφές και οι σύνδεσμοι μεταξύ κάποιων κορυφών καλούνται ακμές Κορυφές που συνδέονται με ακμή καλούνται γειτονικές Βαθμός κορυφής: πόσες άλλες κορυφές συνδέονται με αυτή; Βαθμός γραφήματος: μέγιστος βαθμός κορυφής Συνήθως τα γραφήματα αναπαρίστανται με διαγράμματα που περιέχουν σύνολο κορυφών (τελείες) και σύνολο ακμών (γραμμές μεταξύ κάποιων τελειών) Ηλέξη"γράφημα" πρωτοχρησιμοποιήθηκε με αυτή την έννοια το 1878 από τον Άγγλο μαθηματικό James Joseph Sylvester

26 Κατευθυνόμενα και μη κατευθυνόμενα γραφήματα Τα γραφήματα χαρακτηρίζονται κατευθυνόμενα ή μη κατευθυνόμενα ανάλογα με το αν οι ακμές τους είναι κατευθυνόμενες ή μη κατευθυνόμενες Αν οι κορυφές αναπαριστούν άτομα σε ένα party και υπάρχει ακμή μεταξύ δύο κορυφών αν τα αντίστοιχα άτομα ανταλλάσσουν χειραψία τότε προκύπτει ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα Αν ένα άτομο A χαιρετάει ένα άτομο B τότε και το άτομο B χαιρετάει το άτομο A (συμμετρική σχέση) Αντίθετα, αν οι κορυφές αναπαριστούν άτομα σε ένα party και υπάρχει ακμή μεταξύ δύο κορυφών αν τα αντίστοιχα άτομα γνωρίζονται τότε προκύπτει ένα κατευθυνόμενο γράφημα Αν ένα άτομο A γνωρίζει ένα άτομο B δεν είναι απαραίτητο το άτομο B να γνωρίζει επίσης το άτομο A (όχι απαραίτητα συμμετρική σχέση)

27 Ιδιότητες γραφημάτων Γειτονικές κορυφές σε κατευθυνόμενο γράφημα λέγονται διαδοχικές Ένα γράφημα στο οποίο υπάρχουν όλες οι δυνατές ακμές μεταξύ των κορυφών του λέγεται πλήρες Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα είναι συνεκτικό όταν υπάρχει μονοπάτι (δηλ., ακολουθία ακμών) που συνδέει οποιεσδήποτε 2 κορυφές του αλλιώς είναι μη συνεκτικό Ένα κατευθυνόμενο γράφημα είναι ισχυρά συνεκτικό όταν υπάρχει μονοπάτι και προς τις δύο κατευθύνσεις που συνδέει οποιεσδήποτε 2 κορυφές του Είναι ασθενώς συνεκτικό όταν αντικαθιστώντας τις κατευθυνόμενες ακμές με μη κατευθυνόμενες προκύπτει συνεκτικό γράφημα Γράφημα με βάρη στις κορυφές ήτιςακμές του λέγεται ζυγισμένο 3 2 7

28 Γιατί χρησιμοποιούμε γραφήματα; Συνήθως είναι δύσκολο αν όχι ανέφικτο να μελετήσουμε ένα πρόβλημα σε πραγματικές συνθήκες Δε μπορώ να κάνω δοκιμές για τρόπους ανάθεσης συχνοτήτων με πραγματικό κυψελικό δίκτυο λόγω κόστους, αποστάσεων, δυσκολίας εγκατάστασης, μεγέθους δικτύου κτλ Δε μπορώ να κάνω δοκιμές για τρόπους ελαχιστοποίησης κατανάλωσης ενέργειας με πραγματικά WSN (ασύρματα δίκτυα αισθητήρων) λόγω κόστους, αποστάσεων, δυσκολίας εγκατάστασης, μεγέθους δικτύου κτλ

29 Πώς χρησιμοποιούμε γραφήματα; Απεικονίζω τα στοιχεία του πραγματικού προβλήματος σε κορυφές που συνδέονται μεταξύ τους με ακμές και μελετώ το πρόβλημα με «μυαλό, μολύβι & χαρτί και υπολογιστή» αντί «στ αλήθεια» Για να δοκιμάσω αν είναι καλός ένας αλγόριθμος ανάθεσης συχνοτήτων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα κατασκευάζω ένα γράφημα για το δίκτυο Απεικονίζω τις κυψέλες του δικτύου (δηλ., του σταθμούς βάσης) σε κορυφές και για γειτονικές κυψέλες τοποθετώ ακμή μεταξύ των κορυφών σε ένα γράφημα Π.χ., για να δοκιμάσω την ιδέα μου σε ένα δίκτυο με σταθμούς βάσης αρκεί να προσθέσω κορυφές σε ένα σχήμα Εκφράζω την ιδέα (που ήρθε στο μυαλό) μου προσαρμοσμένη σε κορυφές και ακμές Αναλύω την ιδέα μου με μολύβι και χαρτί για να διαπιστώσω ποια απόδοση μπορώ να ελπίζω ότι θα επιτύχει Χρησιμοποιώ προσομοιώσεις δηλ., υπολογιστή, για να ελέγξω πειραματικά το πώς λειτουργεί πρακτικά ηιδέαμου

30 Ακανόνιστα δίκτυα Γράφημα παρεμβολών

31 Γράφημα παρεμβολών Κυψελικά δίκτυα απόσταση επαναχρησιμοποίησης (k): η ελάχιστη απόσταση δύο κυψελών στις οποίες μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ίδια συχνότητα

32 Ανάθεση συχνοτήτων Δεδομένα Ένα κυψελικό δίκτυο και χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με τους σταθμούς βάσης τους Ζητούμενο Ανάθεση συχνοτήτων σε όλους τους χρήστες, έτσι ώστε: Χρήστες στην ίδια ή σε γειτονικές κυψέλες να λαμβάνουν διαφορετικές συχνότητες Ο αριθμός των χρησιμοποιούμενων συχνοτήτων να ελαχιστοποιείται

33 Χρωματισμοί σε γραφήματα Αν φανταστούμε: συχνότητες χρώματα χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με το σταθμό βάσης τους κορυφές του γραφήματος παρεμβολών του ασύρματου δικτύου Τότε: πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων στους χρήστες του δικτύου πρόβλημα ελάχιστου πολυχρωματισμού του γραφήματος παρεμβολών του δικτύου το γράφημα σχηματίζεται σταδιακά οι κορυφές παρουσιάζονται μία μία καθώς εμφανίζονται και οι κλήσεις

34 Χρωματισμοί σε γραφήματα

35 Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Δεδομένα Ένα κυψελικό δίκτυο που υποστηρίζει w συχνότητες και χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με τους σταθμούς βάσης τους Ζητούμενο Ανάθεση συχνοτήτων σε κάποιους από τους χρήστες, έτσι ώστε: Χρήστες στην ίδια ή σε γειτονικές κυψέλες να λαμβάνουν διαφορετικές συχνότητες Να χρησιμοποιούνται το πολύ w συχνότητες Ο αριθμός των χρηστών που εξυπηρετούνται να μεγιστοποιείται

36 Εύρεση ανεξάρτητων συνόλων Αν φανταστούμε: συχνότητες χρώματα χρήστες που επιθυμούν να επικοινωνήσουν με το σταθμό βάσης τους κορυφές του γραφήματος παρεμβολών του ασύρματου δικτύου Τότε: πρόβλημα ελέγχου κλήσεων πρόβλημα εύρεσης ανεξάρτητων συνόλων στο γράφημα παρεμβολών του δικτύου το γράφημα παρεμβολών σχηματίζεται σταδιακά οι κορυφές του παρουσιάζονται μία μία καθώς εμφανίζονται και οι κλήσεις

37 Εύρεση ανεξάρτητων συνόλων

38 Ανεξάρτητα σύνολα Σύνολα κορυφών μεταξύ των οποίων ΔΕΝ υπάρχουν ακμές Το να βρούμε μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο σε ένα γράφημα είναι υπολογιστικά δύσκολο πρόβλημα Γενικά, δε μπορώ να κάνω κάτι καλύτερο από το να ψάξω όλες τις πιθανές λύσεις

39 Ανεξάρτητα σύνολα και κυψελικά δίκτυα Γειτονικά κελιά ΔΕΝ χρησιμοποιούν τις ίδιες συχνότητες

42 Ανεξάρτητα σύνολα και κυψελικά δίκτυα Η μέγιστη γειτονιά στην οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ίδιες συχνότητες έχει μέγεθος 3 Γειτονικά κελιά ΔΕΝ χρησιμοποιούν τις ίδιες συχνότητες

43 Χρωματισμός Δεδομένου γραφήματος, χρωμάτισε τις κορυφές του ώστε γειτονικές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα Χρωματισμός κορυφών γραφήματος (μπορεί να έχω και χρωματισμό ακμών, όψεων ) Χρωματικός αριθμός, k: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για χρωματισμό γραφήματος Το να βρούμε το χρωματικό αριθμό γραφημάτων είναι, γενικά, υπολογιστικά δύσκολο πρόβλημα Γενικά, δε μπορώ να κάνω κάτι καλύτερο από το να ψάξω όλες τις πιθανές λύσεις

44 Χρωματισμός Δεδομένου γραφήματος, χρωμάτισε τις κορυφές του ώστε γειτονικές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα Χρωματισμός κορυφών γραφήματος (μπορεί να έχω και χρωματισμό ακμών, όψεων ) Χρωματικός αριθμός, k: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για χρωματισμό γραφήματος Το να βρούμε το χρωματικό αριθμό γραφημάτων είναι, γενικά, υπολογιστικά δύσκολο πρόβλημα Γενικά, δε μπορώ να κάνω κάτι καλύτερο από το να ψάξω όλες τις πιθανές λύσεις Ειδικά για επίπεδα γραφήματα: k=1: εύκολο k=2: εύκολο (δείχνω ότι γράφημα είναι διμερές με DFS/BFS) k=3: δύσκολο k 4: υπάρχει θεώρημα σύμφωνα με το οποίο κάθε επίπεδο γράφημα είναι 4 χρωματίσιμο

45 Χρωματικός αριθμός Ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για το χρωματισμό των κορυφών ενός γραφήματος

46 Χρωματισμός και ανεξάρτητα σύνολα Παρατηρήστε ότι: Οι κόκκινες κορυφές είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο στο γράφημα Οι πράσινες κορυφές είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο στο γράφημα Οι μπλε κορυφές είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο στο γράφημα

47 Ανεξάρτητα σύνολα, χρωματισμός, ανάθεση συχνοτήτων, έλεγχος αποδοχής κλήσεων Ανάθεση συχνοτήτων χρωματισμός Έλεγχοςαποδοχήςκλήσεων ανεξάρτητα σύνολα

48 Ανταγωνιστική ανάλυση Ανάθεση συχνοτήτων Κόστος: Αριθμός χρησιμοποιούμενων συχνοτήτων Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Κέρδος: Αριθμός εξυπηρετούμενων χρηστών Λόγος ανταγωνιστικότητας: Λόγος ανταγωνιστικότητας : C A( σ ) ρ = max σ C ( σ ) OPT ρ B = max σ B OPT A ( σ ) ( σ ) E[C A( σ )] ρ = max σ C ( σ ) OPT B ρ = max σ E[B OPT A ( σ ) ( σ )]