ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕ ΤΑΠ ΤΥ Χ ΙΑΚΟ ΠΡ ΟΓ Ρ ΑΜΜΑ ΣΠ ΟΥ Ω Ν ΜΑΘ ΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩ Ν ΥΠ ΟΛ ΟΓ ΙΣ ΤΩ Ν ΚΑΙ ΤΩ Ν ΑΠ ΟΦ ΑΣ Ε Ω Ν ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓ ΩΓ Η Σ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛ Ω Μ ΑΤΙΚΗ ΕΡ Γ ΑΣ ΙΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΝΙΚΑΚΗ ΠΑΤΡΑ, 006
Τµήµα Μαθηµατικών Τµήµα Μηχ ανικών Η / Υ και Π λ ηρ ο φ ο ρ ικής Υπό την επίβλεψη του κ. Σ. Γ ού τσ ου, Λ έ κτορ α του Τµήµατ ο ς Μ η χ αν ο λ ό γ ω ν Μ η χ αν ι κ ώ ν κ αι Α ε ρ ο ν αυ π η γ ώ ν τ ο υ Π αν ε π ι σ τ η µί ο υ Π ατ ρ ώ ν
Μ Ν Μ Ευ χ α ρ ι σ τ ί ε ς Η π α ρ ο ύ σ α µ ε τ α π τ υ χ ι α κ ή δ ι π λ ω µ α τ ι κ ή ε ρ γ α σ ί α ε κ π ο ν ή θ η κ ε σ τ α π λ α ί σ ι α τ ο υ ι α τ µ η µ α τ ι κ ο ύ Μ ε τ α π τ υ χ ι α κ ο ύ π ρ ο γ ρ ά µ µ α τ ο ς σ π ο υ δ ώ ν : «Μ α θ η µ α τ ι κ ά τ ω ν Υ π ο λ ο γ ι σ τ ώ ν κ α ι τ ω ν Α π ο φ ά σ ε ω ν» τ ο υ Μ α θ η µ α τ ι κ ο ύ τ µ ή µ α τ ο ς κ α ι τ ο υ τ µ ή µ α τ ο ς Μ η χ α ν ι κ ώ ν Η / Υ κ α ι Π λ η ρ ο φ ο ρ ι κ ή ς τ ο υ Π α ν ε π ι σ τ η µ ί ο υ Π α τ ρ ώ ν κ α τ ά τ ο χ ρ ο ν ι κ ό δ ι ά σ τ η µ α Ι ο υ ν ί ο υ 0 0 5 - Ι ο υ ν ί ο υ 0 0 6. ι ώ θ ω τ η ν α ν ά γ κ η ν α ε κ φ ρ ά σ ω τ ι ς θ ε ρ µ ό τ α τ ε ς ε υ χ α ρ ι σ τ ί ε ς µ ο υ σ τ ο ν κ. Σ. Γ ο ύ τ σ ο λ έ κ τ ο ρ α τ ο υ τ µ ή µ α τ ο ς Μ η χ α ν ο λ ό γ ω ν Μ η χ α ν ι κ ώ ν κ α ι Α ε ρ ο ν α υ π η γ ώ ν, γ ι α τ η ν π ο λ ύ τ ι µ η σ υ ν ε ρ γ α σ ί α κ α ι κ α θ ο δ ή γ η σ ή τ ο υ κ α τ ά τ η δ ι ά ρ κ ε ι α σ υ γ γ ρ α φ ή ς τ η ς π α ρ ο ύ σ α ς µ ε τ α π τ υ χ ι α κ ή ς δ ι π λ ω µ α τ ι κ ή ς ε ρ γ α σ ί α ς. Θ ε ρ µ ό τ α τ ε ς ε υ χ α ρ ι σ τ ί ε ς ε κ φ ρ ά ζ ω ε π ί σ η ς σ τ ο ν κ α θ η γ η τ ή κ. Χ. Μ π ό τ σ α ρ η τ ο υ α θ η µ α τ ι κ ο ύ τ µ ή µ α τ ο ς γ ι α τ η ν β ο ή θ ε ι ά τ ο υ κ α ι τ η σ υ ν ε χ ή υ π ο σ τ ή ρ ι ξ ή τ ο υ µ ε ε ύ σ τ ο χ ε ς π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς κ α ι π ο λ ύ τ ι µ ε ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς κ α θ ό λ η τ η δ ι ά ρ κ ε ι α τ η ς σ υ γ γ ρ α φ ή ς τ ο υ π α ρ ό ν τ ο ς π ο ν ή µ α τ ο ς. Τ έ λ ο ς, ε υ χ α ρ ι σ τ ώ τ ο ν κ α θ η γ η τ ή κ. Π. Σ ύ ψ α τ ο υ Ο ι κ ο ν ο µ ι κ ο ύ τ µ ή µ α τ ο ς, τ ό σ ο γ ι α τ η β ο ή θ ε ι ά τ ο υ σ τ η ν π α ρ ο ύ σ α ε ρ γ α σ ί α, ό σ ο κ α ι γ ι α τ η ν υ π ο σ τ ή ρ ι ξ ή τ ο υ κ α τ ά τ η ν φ ο ί τ η σ ή µ ο υ σ τ ο π α ρ ό ν µ ε τ α π τ υ χ ι α κ ό π ρ ό γ ρ α µ µ α. Ε υ χ α ρ ι σ τ ώ α κ ό µ η τ ο ν κ α θ η γ η τ ή κ. Φ. Α λ ε β ί ζ ο τ ο υ Μ α θ η µ α τ ι κ ο ύ τ µ ή µ α τ ο ς. Α ι κ α τ ε ρ ί ν η Ν ι κ ά κ η α θ η µ α τ ι κ ό ς Π ά τ ρ α, Ι ο ύ λ ι ο ς 0 0 6
M J E E 5 5 # M M D E M Q > - M # Q M # # ΘΕΩΡΙΑ Π ΑΡΑΓ ΩΓ Η Σ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Π ΑΡΑΓ Ω Γ ΗΣ 5! " - # $%# &(')'*$ +*#+* 7,.- %# &(')'*$ +#+* 8 &/ - 0', "(+*# (&')'*# : - *%)" 8 Χ ΑΡΤΕ Σ Κ ΑΜ Π ΥΛ Ω Ν Ι ΣΟ Υ Π ΡΟ Ϊ Ο ΝΤΟ Σ 0 ' + -3 " $%# +* +* (RTS) & - &(')'*$ +*#+ - 4+ - " " +* 65 RTS 3 ' + %, *%4 " +7 - "( *+ - 4 ΑΠ Ο Ο ΣΕ Ι Σ Κ Λ Ι Μ ΑΚ ΑΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Π ΑΡΑΓ Ω Γ ΗΣ 5 +* - - /* -, RTS 6 3 *+*#, )"! " + ' "(*+*# &(')'*#,.- +* - - /* - 8:9<; 9<>:?A@ 7 N 8 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Υ ΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ 9 B*C DE7FG$H IF*JF*D I HD F*DE7F*DEJE GD N BGEN*I%BE ΚΟΙΝ ΕΣ ΣΥ Ν ΑΡ ΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡ ΑΓ Ω Γ ΗΣ N&D O.OPG$H%J D(N*F*JEJ Q ( σ ) E7F*D R%BNBE D(C I G$BE ( σ 0 ) 3 COBB DOUGAS ( σ ) 4 DN*FJE*J D(N&D JE FJE E7F*D R%B*NTJE B*C DE7FG$H IF*JF*DE Q MSM (CES) 7 DN&DUBG OPD : O.GD E DN*FJE*J D(N&D JE Q MSM COBB DOUGAS 8 Η ΤΕΧ Ν ΙΚΗ ΠΡ ΟΟ ΟΣ 30 I C I GVB7F*D G J FBW G$H%J NII%U*I E S ; 3 DN&DUBG OPD : J FBW G$H%J N*II%U*I E E7FJ E DN*FJE*J Q Q COBB DOUGAS 33
,,,,,, & &,,,, 4,,, 4,,, &,,,,,, ΚΟΣΤΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ Κ ΟΣΤΟΥ Σ 36 :! " #%$%&'&()#*) $%& + &'#$%&'+ # - #*+ -./ # $"/'&!(& 0#, 39 &'&'#-#! - # #*+ /*$)#*) &'#%$%& + # 40 *&'*&(#3& "+*&(#3& &'#%$&'# 4 #%$*'(*& &(05/ #%$*'(*& &'#%$%&'# 45 Κ ΑΜ ΠΥ ΛΕΣ Κ ΟΣΤΟΥ Σ 45 3687:9 7 <9?>,; 46 & - &'#%$%&'# 48 & -.%$*!)$%& &'#%$%&'# @BACDAEGFIHJMNA 50 : FIHOEPHOQBFMR Q AS@BTUFMR QVWRYXIVWTR @BACDAEGFIHJMNA 5 : Q AN@BTUFMR VWCGHAQVWT QVWRXIVWTR JMHA EDT%V FMCDJIVWRXPARIHA 53 *&'*&(#3& &'#%$%&'# 55 - Z$* W& + # *&'#%$*#Z&'+ 58 *&'*&(#3& & - &'#%$&'# 59 Β ΙΒ ΛΙΟΓ Ρ ΑΦ ΙΚ ΕΣ ΠΗΓ ΕΣ 6
ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Η βασική δραστηριότητα κάθε επιχείρησης είναι η µετατροπή των συντελεστών παραγ ωγ ής σε προϊ όν. Ο ι συντελεστέ ς παραγ ωγ ής αποτελού ν τις λεγ όµενες «εισροέ ς», ενώ το προϊ όν τις εκροέ ς. Ο ι περιορισµοί της συµπεριφ οράς µιας επιχείρησης επιβάλλονται από τους πελάτες της, τους ανταγ ωνιστέ ς της και την φ ύ ση. Θ α εξ ετάσουµε την τελευταία πηγ ή περιορισµών: την φ ύ ση. Η φ ύ ση επιβάλλει τον περιορισµό ότι υπάρχουν µόνο ορισµέ νοι εφ ικτοί τρόποι παραγ ωγ ής του εξ ερχόµενου προϊ όντος από τις εισερχόµενες πρώτες ύ λες. ηλαδή υπάρχουν µόνο ορισµέ να ήδη δυνατών τεχνολογ ικών επιλογ ών. Π ιο κάτω θα παρουσιάσουµε τους τρόπους µε τους οποίους οι οικονοµολόγ οι προσλαµβάνουν και αναλύ ουν την διαδικασία παραγ ωγ ής. Ε ίδαµε ότι η φ ύ ση επιβάλλει στις επιχειρήσεις κάποιους τεχνολογ ικού ς περιορισµού ς: Μ όνον ορισµέ νοι συνδυασµοί εισροών αποτελού ν εφ ικτού ς τρόπους παραγ ωγ ής µιας δεδοµέ νης ποσότητας προϊ όντος και η επιχείρηση θα περιοριστεί σε τεχνολογ ικά εφ ικτά παραγ ωγ ικά σχέ δια. Ο απλού στερος τρόπος περιγ ραφ ής αυτών των σχεδίων είναι να καταγ ράψ ουµε όλους τους συνδυασµού ς
εισροών και εκροών που είναι τεχνολογ ικά εφ ικτοί. Τ ο σύ νολο όλων των συνδυασµών εισροών και εκροών που συνιστού ν έ ναν τεχνολογ ικά εφ ικτό τρόπο παραγ ωγ ής, ονοµάζ εται "!#$!&% '. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Έστω γ ια παράδειγ µα ότι έ χουµε µόνο µια εισροή που συµβολίζ εται µε x και µια εκροή που συµβολίζ εται µε y. Τ ότε έ να παραγ ωγ ικό σύ νολο µπορεί να έ χει την µορφ ή που δίνεται στο παρακάτω σχήµα. ()*,+.- /0 ( )CBEDF G) 4H 7I -"J:4M NO- &? @?&0:A 5 687 / 9:/<;>- &? @?"0:A )*,3 4-/0 Σ χ ή µ α. : Σ ύ ν ο λ ο π α ρ α γ ω γ ή ς Ό τ α ν λ έ µ ε ό τ ι κ ά π ο ι ο σ η µ ε ί ο ( x, y) α ν ή κ ε ι σ τ ο σ ύ ν ο λ ο π α ρ α γ ω γ ή ς ε ί ν α ι τ ο ί δ ι ο µ ε τ ο ν α λ έ µ ε ό τ ι ε ί ν α ι τ ε χ ν ο λ ο γ ι κ ά δ υ ν α τ ό ν α π α ρ ά γ ο υ µ ε π ο σ ό τ η τ α ε κ ρ ο ή ς y ό τ α ν έ χ ο υ µ ε π ο σ ό τ η τ α ε ι σ ρ ο ή ς x. Τ ο σ ύ ν ο λ ο π α ρ α γ ω γ ή ς δ ε ί χ ν ε ι τ ι ς δ υ ν α τ έ ς τ ε χ ν ο λ ο γ ι κ έ ς ε π ι λ ο γ έ ς π ο υ α ν τ ι µ ε τ ω π ί ζ ε ι η ε π ι χ ε ί ρ η σ η. Κ α θ ώ ς ο ι ο ι κ ο ν ο µ ο λ ό γ ο ι ε ν δ ι α φ έ ρ ο ν τ α ι γ ι α τ ι ς ε π ι λ ο γ έ ς π ο υ κ ά ν ε ι η ε π ι χ ε ί ρ η σ η γ ι α ν α ε π ι τ ύ χ ε ι τ ο ν σ τ ό χ ο τ η ς κ α ι θ έ λ ο ν τ α ς ν α α π ο φ ύ γ ο υ ν τ ι ς µ η χ α ν ι κ έ ς λ ε π τ ο µ έ ρ ε ι ε ς, ε π έ λ ε ξ α ν ν α κ α τ α σ κ ε υ ά σ ο υ ν έ ν α α φ η ρ η µ έ ν ο υ π ό δ ε ι γ µ α π α ρ α γ ω γ ή ς. Σ τ ο υ π ό δ ε ι γ µ α α υ τ ό η σ χ έ σ η µ ε τ α ξ ύ ε ι σ ρ ο ώ ν κ α ι ε κ ρ ο ώ ν δ ι α τ υ π ώ ν ε τ α ι σ ε µ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η π α ρ α γ ω γ ή ς τ η ς µ ο ρ φ ή ς :
Μ q f (,, M... ) ό π ο υ :. q : η π α ρ α γ ω γ ή ε ν ό ς σ υ γ κ ε κ ρ ι µ έ ν ο υ α γ α θ ο ύ τ η ς ε π ι χ ε ί ρ η σ η ς γ ι α µ ι α χ ρ ο ν ι κ ή π ε ρ ί ο δ ο. : η χ ρ ή σ η τ ο υ κ ε φ α λ α ί ο υ κ α τ ά τ η ν δ ι ά ρ κ ε ι α µ ι α ς χ ρ ο ν ι κ ή ς π ε ρ ι ό δ ο υ. : ο ι ώ ρ ε ς τ η ς ε ι σ ρ ο ή ς ε ρ γ α σ ί α ς. M : ο ι π ρ ώ τ ε ς ύ λ ε ς π ο υ χ ρ η σ ι µ ο π ο ι ο ύ ν τ α ι. ε β ά σ η τ ο ν σ υ µ β ο λ ι σ µ ό η π α ρ α γ ω γ ι κ ή δ ι α δ ι κ α σ ί α µ π ο ρ ε ί ν α ε π η ρ ε ά ζ ε τ α ι κ α ι α π ό ά λ λ ε ς µ ε τ α β λ η τ έ ς. Η ε ξ ί σ ω σ η (.) ε κ φ ρ ά ζ ε ι τ η ν µ έ γ ι σ τ η δ υ ν α τ ή ρ ο ή π ο υ µ π ο ρ ο ύ µ ε ν α έ χ ο υ µ ε γ ι α µ ι α δ ε δ ο µ έ ν η π ο σ ό τ η τ α ε ι σ ρ ο ή ς. Α ς µ ε λ ε τ ή σ ο υ µ ε τ η ν µ ε τ α β ο λ ή π ο υ ε π έ ρ χ ε τ α ι σ τ ο π ρ ο ϊ ό ν α π ό µ ι α µ ε τ α β ο λ ή ε ν ό ς α π ό τ ο υ ς συντελεστές παραγωγής. Για τη ν µ ελέτη αυτή χ ρη σιµ ο πο ιο ύ µ ε µ ια πιο απλή συνά ρτη ση παραγωγής, πο υ ο ρί ζ εται ως εξ ής: ΟΡΙΣΜΟΣ: ΣΥ ΝΑ ΡΤ Η ΣΗ Π Α ΡΑ Γ Ω Γ Η Σ Η συνά ρτη ση παραγωγής µ ιας επιχ εί ρη ση ς για ένα συγκ εκ ριµ ένο αγαθ ό q, ( ) q f,. εί χ νει τη ν µ έγιστη πο σό τη τα αγαθ ο ύ πο υ µ πο ρεί να παραχ θ εί χ ρη σιµ ο πο ιώ ντας το υς εναλλακ τικ ο ύ ς συνδ υασµ ο ύ ς κ εφ αλαί ο υ ( ) κ αι εργασί ας ( ). Ο ι ό ρο ι «κ εφ ά λαιο» κ αι «εργασί α» χ ρη σιµ ο πο ιο ύ νται µ ό νο για ευκ ο λί α. Μ πο ρο ύ µ ε να αναφ ερθ ο ύ µ ε σε δ υο ο πο ιεσδ ήπο τε εισρο ές στη ν παραγωγικ ή δ ιαδ ικ ασί α.
ΟΡΙΑΚΟ Φ Υ Σ ΙΚΟ Π ΡΟΪ ΟΝ -ΟΡΙΑΚΗ Φ Υ Σ ΙΚΗ Π ΑΡΑΓ Ω Γ ΙΚΟΤ Η Τ Α Για να µ ελετήσο υµ ε τη ν µ εταβ ο λή µ ιας κ αι µ ο ναδ ικ ής εισρο ής ο ρί ζ ο υµ ε το φ υσικ ό ο ριακ ό προ ϊ ό ν ως εξ ής: ΟΡΙΣΜΟΣ: ΟΡΙΑ Κ Ο Φ Υ ΣΙΚ Ο Π ΡΟΪ ΟΝ Τ ο ο ριακ ό φ υσικ ό προ ϊ ό ν µ ιας εισρο ής εί ναι το επιπρό σθ ετο προ ιό ν πο υ µ πο ρεί να παραχ θ εί αν απασχ ο λήσο υµ ε µ ια ακ ό µ η µ ο νά δ α αυτής τη ς εισρο ής, ενώ κ ρατά µ ε τις ά λλες εισρο ές σταθ ερές. Μ µ αθ η µ ατικ ές σχ έσεις: ε "!#%$& ')(*$+,.-0/%%43 $+65 "!#%$& '7(98%:<;?>@ 3 @:#5 q MP Κ f q MP f.3 Π Α Ρ Α Ε Ι Γ Μ Α : Ένας αγρότης µε µια έκταση γης µπορεί να παράγει 00 κιλά σιτάρι. Α ν προστεθ εί ακόµη ένα άτοµο και δ ιατηρή σου µε σταθ ερή τη έκταση της γης µπορού µε να έχ ου µε 00 κιλά σιτάρι. Σ την περίπτω ση αυ τή το οριακό προϊ όν ενός επιπλέον εργάτη είναι 00. Σ υ νεχ ίζ ου µε να προσθ έτοµε εργάτες. Κ άθ ε εργάτης µπορεί να παράγει περισσότερο προϊ όν, αλλά τελικά η επιπλέον παραγόµενη ποσότητα σιταριού από έναν επιπλέον εργάτη θ α είναι λιγότερη από 00 κιλά. Α φ ού προστεθ ού ν 4 ή 5 εργάτες, το επιπρόσθ ετο προϊ όν ανά εργάτη θ α πέσει στα 9 0, 8 0, 7 0 ή και λιγότερα κιλά σιτάρι. Α ν συ ναθ ροίσου µε εκατοντάδ ες εργάτες σε αυ τή ν την έκταση γης, ένας επιπλέον εργάτης µπορεί ενδ εχ όµενα να προκαλέσει και µείω ση του προϊ όντος! Π ροκύ πτει δ ηλαδ ή ο νόµος του φ θ ίνοντος οριακού προϊ όντος σύ µφ ω να µε τον οποίο γενικά το οριακό προϊ όν ενός συ ντελεστή θ α µειώ νεται καθ ώ ς προσθ έτου µε συ νεχ ώ ς νέες ποσότητες αυ τού του συ ντελεστή. Μ αθ ηµατικά, η υ πόθ εση της φ θ ίνου σας οριακή ς παραγω γικότητας αφ ορά τις δ εύ τερες παραγώ γου ς της συ νάρτησης παραγω γή ς:
MP q f < 0 MP q f < 0.4 ΜΕΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑ Με τον όρο «παραγωγικότητα της εργασίας» στην καθ ηµ ερινότητά µ ας εννοού µ ε την! "#!%$ & ' ( (). Ό ταν λ έ µ ε ότι έ νας συ γκεκριµ έ νος κλ ά δ ος σηµ είωσε αύ ξ ηση της παραγωγικότητας σηµ αίνει ότι το προϊ όν ανά µ ονά δ α εισροή ς εργασίας έ χ ει αυ ξ ηθ εί. Π αρόλ ο που η έ ννοια της µ έ σης παραγωγικότητας δ εν είναι τόσο σηµ αντική όσο η οριακή παραγωγικότητα, χ ρησιµ οποιείται πολ ύ συ χ νά. Α υ τό συ µ β αίνει γιατί µ ετρά ται εύ κολ α και πολ λ έ ς φ ορέ ς χ ρησιµ οποιείται σαν µ έ τρο αποτελ εσµ ατικότητας. Τ ο µ έ σο προϊ όν εργασίας ( AP ) ορίζ εται ως εξ ή ς: προϊόν q f (, ) AP εισροήεργασίας ( ).5 Π α ρ α τ η ρ ο ύ µ ε ό τ ι τ ο ( AP ) ε ξ α ρ τ ά τ α ι α π ό τ ο ε π ί π ε δ ο τ ο υ κ ε φ α λ α ί ο υ π ο υ χ ρ η σ ι µ ο π ο ι ε ί τ α ι. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Σ Υ Ν ΑΡΤ Η Σ Η ΠΑΡΑΓΩ ΓΗ Σ ΕΙΣ ΡΟ Ω Ν Θ ε ω ρ ο ύ µ ε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η π α ρ α γ ω γ ή ς : q f 3 3 (, ) 600.6
Ο Για τη συνάρτηση αυτή θα υπολογίσουµε την οριακή και µέση παραγωγικότητα της εργασίας ( ). Π ρέπει όµως να υπολογίσουµε µια συγκεκριµένη τιµή για την άλλη εισροή, το κεφ άλαιο ( ). Ε νδ εικτικά, για 0 η συνάρτηση παραγωγής γίνεται : q 3 60.000 000 ριακό Π ροϊ όν MP q 0.000 3.000.7.8 Κ αθώ ς το αυξ άνεται, η οριακή παραγωγικότητα καταλήγει να γίνεται αρνητική. ηλαδ ή το q φ τάνει στη µέγιστη τιµή του. Για MP 0 0.000 3.000 0 40 Η ε ι σ ρ ο ή ε ρ γα σ ί α ς π ά ν ω α π ό 4 0 µ ο ν ά δ ε ς α ν ά π ε ρ ί ο δ ο, σ τ η ν ο υ σ ί α µ ε ι ώ ν ε ι τ ο σ υ ν ο λ ι κ ό π ρ ο ϊ ό ν. Μ έ σ ο Π ρ ο ϊ ό ν γι α τ η ν σ υ γκ ε κ ρ ι µ έ ν η π α ρ α γω γή η µ έ σ η π α ρ α γω γι κ ό τ η τ α τ η ς ε ρ γα σ ί α ς ε ί ν α ι : 40 AP q 60.000.000.9 κ α ι π α ί ρ ν ε ι τ η µ έ γι σ τ η τ ι µ ή τ η ς ό τ α ν : AP 0 60.000.000 0 30.0 Γ ι α 30 η ε ξ ί σ ω σ η ( ) 9 δ ί ν ε ι 900. 000 AP κ α ι η ε ξ ί σ ω σ η ( ) 8 MP 900. 000, ε π ί σ η ς. Ό τ α ν λ ο ι π ό ν τ ο AP φ τ ά ν ε ι σ τ ο µ έ γι σ τ ο, η µ έ σ η κ α ι η ο ρ ι α κ ή π α ρ α γω γι κ ό τ η τ α ε ρ γα σ ί α ς ε ί ν α ι ί σ ε ς.
. / ΧΑΡΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΙΣΟΥ ΠΡΟΪ ΟΝΤΟΣ Στην περίπτωση των εισροών υπάρχει ένας πρακτικός τρόπος παράστασης των σχέσεων της παραγ ωγ ή ς που είναι γ νωστός ως καµ πύ λ ες ίσου προϊ όντος. Μ παραγ ωγ ή ς της µ ορφ ή ς q f (, ) ελ ετού µ ε πάλ ι µ ια συνάρτηση, όπου : το κεφ άλ αιο και : η εργ ασία. Μ ια καµ πύ λ η ίσου προϊ όντος απεικονίζ ει τους συνδ υασµ ού ς αυτού ς των και που µ πορού ν να παράγ ουν µ ια δ εδ οµ ένη ποσότητα προϊ όντος.!"!,0 % &,- ) % & +,) % &('*) #30 #30 # $! "! Σχή µ α. : Ο ι καµ πύ λ ες ίσου προϊ όντος απεικονίζ ουν τους εναλ λ ακτικού ς συνδ υασµ ού ς των εισροών που χρειάζ ονται γ ια να παράγ ουν µ ια δ εδ οµ ένη ποσότητα εκροή ς. Η κλ ίση τους δ είχνει το ρυθ µ ό µ ε τον οποίο το µ πορεί να υποκαταστή σει το, ενώ το προϊ όν παραµ ένει σταθ ερό. Η αρνητική κλ ίση ονοµ άζ εται Ο ριακός Λ όγ ος Τ εχνική ς Υ ποκατάστασης ( RTS ) Γ ια παράδ ειγ µ α, στο παραπάνω σχή µ α όλ οι οι συνδ υασµ οί των Κ και κατά µήκος της καµπύλης «q 0» µπορ ούν ν α παρ άγ ου ν 0 µον άδ ε ς πρ οϊ ό ν τος σ ε κάθ ε χ ρ ον ι κή πε ρ ί οδ ο. Σ υ ν ε πώ ς, η καµπύλη αυ τή του ί σ ου πρ οϊ ό ν τος δ ε ί χ ν ε ι ό τι υ πάρ χ ου ν πολλοί ε ν αλλακτι κοί τρ ό ποι παρ αγ ω γ ής 0 µον άδ ω ν πρ οϊ ό ν τος. Έ ν ας τρ ό πος ε ί ν αι ν α αν απαρ ασ ταθ ε ί από το σ ηµε ί ο Α : Θ α πρ έπε ι ν α χ ρ ησ ι µοποι ήσ ου µε
Μ τα A και A γ ι α ν α πάρ ου µε 0 µον άδ ε ς πρ οϊ ό ν τος. Ε ν αλλακτι κά θ α µπορ ούσ αµε ν α χ ρ ησ ι µοποι ήσ ου µε λι γ ό τε ρ ο κε φ άλαι ο και πε ρ ι σ σ ό τε ρ η ε ρ γ ασ ί α αν ε πι λέγ αµε το σ ηµε ί ο Β. Ο καµπύλη ί σ ου πρ οϊ ό ν τος µπορ ε ί ν α ορ ι σ τε ί ω ς ε ξ ής: πό τε µι α ΟΡΙΣΜΟΣ: ΚΑ Μ Π ΥΛ Η ΙΣ ΟΥ ΠΡ ΟΪΟΝ Τ ΟΣ ι α καµπύλη ί σ ου πρ οϊ ό ν τος απε ι κον ί ζ ε ι αυ τούς του ς σ υ ν δ υ ασ µούς τω ν Κ και που µπορ ούν ν α παρ άγ ου ν µι α δ ε δ οµέν η ποσ ό τητα ε κρ οής ( έσ τω q 0 ). Ο απε ι κον ί ζ ε ι τον σ υ ν δ υ ασ µό τω ν Κ και που ι καν οποι ε ί την σ χ έσ η: υ σ ι ασ τι κά, µι α καµπύλη ί σ ου πρ οϊ ό ν τος q 0. Υ πάρ χ ου ν σ το ε πί πε δ ο καµπύλε ς ί σ ου πρ οϊ ό ν τος που ορ ί ζ ου ν τα Κ και. Κ άθ ε καµπύλη αν τι πρ οσ ω πε ύε ι έν α δ ι αφ ορ ε τι κό ε πί πε δ ο πρ οϊ ό ν τος. Κ αθ ώ ς κι ν ούµασ τε β ορ ε ι οαν ατολι κά σ το σ χ ήµα οι καµπύλε ς ί σ ου πρ οϊ ό ν τος παρ ι σ τάν ου ν σ υ ν ε χ ώ ς τα υ ψ ηλό τε ρ α ε πί πε δ α πρ οϊ ό ν τος. Ο ποι αδ ήποτε αύξ ησ η σ την ε ι σ ρ οή ε πι φ έρ ε ι αύξ ησ η και σ το πρ οϊ ό ν. ( Γ ι α q 0 και q 30 σ το σ χ ήµα απε ι κον ί ζ ον ται δ υ ο ακό µη καµπύλε ς ί σ ου πρ οϊ ό ν τος. ) Π αρ ατηρ ούµε πω ς ό πω ς οι καµπύλε ς αδ ι αφ ορ ί ας, έτσ ι και οι καµπύλε ς ί σ ου πρ οϊ ό ν τος αν απαρ ι σ τούν «υ ψ οµε τρ ι κούς χ άρ τε ς» µι ας σ υ γ κε κρ ι µέν ης σ υ ν άρ τησ ης, µε την δ ι αφ ορ ά ό τι σ τι ς δ ε ύτε ρ ε ς ε ί ν αι µε τρ ήσ ι µο το ύψ ος τω ν καµπυ λώ ν. ΟΡΙΑΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Τ Ε Χ Ν ΙΚΗ Σ Υ Π ΟΚΑΤ ΑΣΤ ΑΣΗ Σ ( R T S ) & ΟΡΙΑΚΕ Σ Π ΑΡΑΓΩ ΓΙΚΟΤ Η Τ Ε Σ Είδαµε ότι οι καµπύλες ίσου προϊόντος απεικονίζουν τους εναλλακτικούς συνδυασµούς των εισροών που απαιτούνται γ ια να παρά γ ουν µια δεδοµέ νη ποσότη τα εκροή ς. Η κλίση των καµπυλών αυτών δείχ νει τον ρυθ µό µε τον οποίο το µπορεί να υποκαταστή σει το Κ, δεδοµέ νου ότι το προϊόν
παραµέ νει σταθ ερό. Η αρνη τική κλίση ονοµά ζεται (οριακός) λόγ ος τεχ νική ς υποκατά σταση ς (R T S ). Σ το σχ ή µα ο (R T S ) είναι θ ετικός και µειώνεται καθ ώς οι εκροέ ς τη ς εργ ασίας αυξ ά νονται. Η µελέ τη τη ς κλίση ς παρέ χ ει πλη ροφ ορίες γ ια τη ν τεχ νική δυνατότη τα υποκατά σταση ς τη ς εργ ασίας στο κεφ ά λαιο. Έ νας τυπικός ορισµός είναι: ΟΡΙΣΜΟΣ: ΟΡ Ι ΑΚ ΟΣ ΛΟΓ ΟΣ ΤΕ Χ Ν Ι Κ ΗΣ ΥΠ ΟΚ ΑΤ ΑΣ Τ ΑΣ ΗΣ Ο Ο ριακός λόγ ος τεχ νική ς υποκατά σταση ς (R T S ) δείχ νει το επίπεδο στο οποίο η εργ ασία µπορεί να υποκαταστή σει το κεφ ά λαιο, ενώ διατη ρούµε το προϊόν σταθ ερό κατά µή κος µιας καµπύλη ς ίσου προϊόντος.. η λαδή : RTS d d *( τουστο) q q0. Σ ύ µ φ ω ν α µ ε τ η ν π α ρ α π ά ν ω σ χ έ σ η τ ο υ π ο κ α θ ι σ τ ά τ ο Κ, ε ν ώ τ ο π ρ ο ϊ ό ν δ ι α τ η ρ ε ί τ α ι σ τ α θ ε ρ ό α φ ο ύ q q 0. Η τ ι µ ή τ ο υ λ ό γ ο υ α υ τ ο ύ ε ξ α ρ τ ά τ α ι α π ό τ ο σ η µ ε ί ο σ τ ο ν χ ά ρ τ η κ α µ π υ λ ώ ν ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς σ τ ο ο π ο ί ο µ ε τ ρ ά τ α ι η κ λ ί σ η. Η σ υ γ κ ε κ ρ ι µ έ ν η τ ι µ ή α υ τ ο ύ τ ο υ λ ό γ ο υ ε ξ α ρ τ ά τ α ι α π ό τ ο ε π ί π ε δ ο τ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς κ α ι α π ό τ ι ς π ο σ ό τ η τ ε ς κ ε φ α λ α ί ο υ κ α ι ε ρ γ α σ ί α ς π ο υ χ ρ η σ ι µ ο π ο ι ο ύ ν τ α ι. Γ ι α ν α ε ξ ε τ ά σ ο υ µ ε τ ο σ χ ή µ α τ ω ν κ α µ π υ λ ώ ν ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς π α ρ α γ ω γ ή ς ε ί ν α ι χ ρ ή σ ι µ ο ν α α π ο δ ε ί ξ ο υ µ ε ό τ ι : «ο R T S ( τ ο υ σ τ ο Κ ) ε ί ν α ι ί σ ο ς µ ε τ ο ν λ ό γ ο τ η ς ο ρ ι α κ ή ς φ υ σ ι κ ή ς π α ρ α γ ω γ ι κ ό τ η τ α ς ( MP ) π ρ ο ς τ η ν ο ρ ι α κ ή φ υ σ ι κ ή π α ρ α γ ω γ ι κ ό τ η τ α τ ο υ κ ε φ α λ α ί ο υ ( MP ) MP. Α π ο δ ε ι κ ν ύ ε τ α ι µ ε τ η β ο ή θ ε ι α τ ο υ ο λ ι κ ο ύ δ ι α φ ο ρ ι κ ο ύ τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς π α ρ α γ ω γ ή ς : MP, δ η λ α δ ή f f dq d + d MP d + MP d.3 Π α ρ α τ η ρ ο ύ µ ε ό τ ι τ ο π ρ ο ϊ ό ν ε π η ρ ε ά ζ ε τ α ι, ό σ ο µ ι κ ρ έ ς κ ι α ν ε ί ν α ι ο ι α λ λ α γ έ ς σ τ α Κ κ α ι. Ε φ ό σ ο ν κ α τ ά µ ή κ ο ς µ ι α ς κ α µ π ύ λ η ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς τ ο π ρ ο ϊ ό ν π α ρ α µ έ ν ε ι σ τ α θ ε ρ ό, δ η λ α δ ή d q 0 έ χ ο υ µ ε : MP d MP d. Μ ε ά λ λ α λ ό γ ι α τ ο ό φ ε λ ο ς π ο υ ε π έ ρ χ ε τ α ι σ τ ο π ρ ο ϊ ό ν α π ό µ ι α ε λ ά χ ι σ τ η
Μ ε α ύ ξ η σ η τ ο υ α ν τ ι σ τ α θ µ ί ζ ε τ α ι α π ό τ η ν α π ώ λ ε ι α σ τ ο π ρ ο ϊ ό ν λ ό γ ω µ ι κ ρ ή ς µ ε ί ω σ η ς τ ο υ Κ. Μ ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α τ ο υ τ ύ π ο υ (.3) έχουµε: d d MP q q RTS *( τουστο) 0 MP.4 ε τη ν β οή θ ει α τη ς π α ρ α π ά ν ω σ χέσ η ς δ ι α π ι σ τώ ν ουµε ό τι οι κ α µπ ύ λ ες ί σ ου π ρ οϊ ό ν τος π ρ έπ ει ν α έχουν α ρ ν η τι κ ή κ λ ί σ η. Α φ ού οι MP κ α ι MP εί ν α ι µη α ρ ν η τι κ ές ( κ α µι ά επ ι χεί ρ η σ η δ ε θ α χρ η σ ι µοπ οι ού σ ε δ α π α ν η ρ ή ει σ ρ οή π ου θ α µεί ω ν ε το π ρ οϊ ό ν ), ο ορ ι α κ ό ς λ ό γ ος τεχν ι κ ή ς υπ οκ α τά σ τα σ η ς εί ν α ι θ ετι κ ό ς ή µη δ έν. ΑΙΤΙΕΣ ΦΘΙΝΟΝΤΑ R T S Ε ί ν α ι φ α ν ερ ό ό τι κ α τά µή κ ος οπ οι α σ δ ή π οτε κ α µπ ύ λ η ς ο R T S µει ώ ν ετα ι. Ά ν α υξ ή σ ουµε τη ν π οσ ό τη τα του κ εφ α λ α ί ου κ α ι µετα β ά λ λ ουµε τη ν ερ γ α σ ί α ώ σ τε ν α π α ρ α µεί ν ουµε σ τη ν ί δ ι α κ α µπ ύ λ η ί σ ου π ρ οϊ ό ν τος, ο R T S φ θ ί ν ει. Γ εν ι κ ώ ς, η π α ρ α δ οχή του φ θ ί ν ον τα R T S σ η µα ί ν ει ό τι η α π ό λ υτη τι µή µι α ς κ α µπ ύ λ η ς ί σ ου π ρ οϊ ό ν τος π ρ έπ ει ν α µει ώ ν ετα ι κ α θ ώ ς κ ι ν ού µα σ τε κ α τά µή κ ος τη ς κ α µπ ύ λ η ς π ρ ος τη ν κ α τεύ θ υν σ η α ύ ξ η σ η ς του κ εφ α λ α ί ου κ α ι ν α α υξ ά ν ετα ι κ α θ ώ ς κ ι ν ού µα σ τε π ρ ος τη ν κ α τεύ θ υν σ η α ύ ξ η σ η ς τη ς ερ γ α σ ί α ς. Α π ό τη ν σ χέσ η (.4) εύ κ ολ α κ α τα λ ή γ ουµε σ το σ υµπ έρ α σ µα ό τι µε α ύ ξ η σ η του σ υν οδ ευό µεν η α π ό τα υτό χρ ον η π τώ σ η του επ ι τυγ χά ν ουµε α ύ ξ η σ η του MP, µεί ω σ η του MP κ α ι τελ ι κ ή ελ ά ττω σ η του R T S. Κ ά τι τέτοι ο δ εν εί ν α ι α π ό λ υτα ορ θ ό, γ ι α τί το σ υµπ έρ α σ µα δ εν µπ ορ εί ν α εξ α χθ εί α π οκ λ ει σ τι κ ά α π ό τη ν υπ ό θ εσ η φ θ ι ν ουσ ώ ν ορ ι α κ ώ ν φ υσ ι κ ώ ν π α ρ α γ ω γ ι κ οτή τω ν. Ο φ εί λ ουµε ν α εξ ετά σ ουµε επ ί σ η ς τη ν επ ί δ ρ α σ η τω ν µετα β ολ ώ ν εν ό ς σ υν τελ εσ τή σ τη ν ορ ι α κ ή π α ρ α γ ω γ ι κ ό τη τα τω ν υπ ό λ οι π ω ν σ υν τελ εσ τώ ν. Ο λ ό γ ος εί ν α ι ό τι η ορ ι α κ ή π α ρ α γ ω γ ι κ ό τη τα µι α ς ει σ ρ οή ς εξ α ρ τά τα ι α π ό το επ ί π εδ ο κ α ι τω ν δ ύ ο ει σ ρ οώ ν ( π. χ. οι µετα β ολ ές σ το επ η ρ εά ζ ουν το MP κ α ι α ν τί σ τρ οφ α ).
Γ ΙΑΤΙ ΟΙ Κ ΑΜ Π Υ Λ ΕΣ ΙΣΟΥ Π Ρ ΟΪ ΟΝΤΟΣ ΕΙΝΑΙ Κ Υ Ρ ΤΕΣ Υ π οθ έτουµε ό τι qƒ(,), f > 0, π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς κ υ ρ τ έ ς α ρ κ ε ί ν α δ ε ί ξ ο υ µ ε ό τ ι : Π ρ ά γ µ α τ ι : f > 0, f < 0 κ α ι f < 0. Γ ι α ν α ε ί ν α ι ο ι κ α µ π ύ λ ε ς ί σ ο υ d ( RTS) < 0. d d ( RTS) d d( f f d ) d ( RTS) d [ f ( f + f d d) f ( f + f d d) ] ( f ).5.6 ε δ ο µ έ ν ο υ ό τ ι d d f f έ χ ο υ µ ε : κ α ι µ ε β ά σ η τ ο θ ε ώ ρ η µ α Y o u n g ό π ο υ ( f ) f d ( RTS) d ( f ) f f f f + f f ( f ) 3.7 Ε φ ό σ ο ν υ π ο θ έ σ α µ ε ό τ ι f > 0, ο π α ρ ο ν ο µ α σ τ ή ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς ε ί ν α ι θ ε τ ι κ ό ς. Ε π ε ι δ ή δ ε χ θ ή κ α µ ε τ α f κ α ι f α ρ ν η τ ι κ ά, ο α ρ ι θ µ η τ ή ς θ α ε ί ν α ι θ ε τ ι κ ό ς α ν υ π ο θ ε τ ι κ ά f > 0. Σ υ ν ε π ώ ς ο λ ό κ λ η ρ ο τ ο κ λ ά σ µ α θ α ε ί ν α ι α ρ ν η τ ι κ ό. η λ α δ ή
Μ d ( RTS) < 0 d.8 π ο υ σ η µ α ί ν ε ι ό τ ι ο ι κ α µ π ύ λ ε ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς ε ί ν α ι κ υ ρ τ έ ς. ΑΠΟ ΟΣΕΙΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΤΗΣ ΣΥ Ν ΑΡ ΤΗΣΗΣ ΠΑΡ ΑΓ Ω Γ ΗΣ ε β ά σ η ό λ α τ α π α ρ α π ά ν ω θ α µ π ο ρ ο ύ σ ε ε ύ κ ο λ α ν α τ ε θ ε ί τ ο ε ρ ώ τ η µ α : Π ώ ς ν α α ν τ α π ο κ ρ ί ν ε τ α ι ά ρ α γ ε τ ο π ρ ο ϊ ό ν σ τ ι ς α υ ξ ή σ ε ι ς ό λ ω ν τ ω ν ε ι σ ρ ο ώ ν µ α ζ ί ; Α ν ό λ ε ς ο ι ε ι σ ρ ο έ ς δ ι π λ α σ ι α σ τ ο ύ ν, θ α δ ι π λ α σ ι α σ τ ε ί κ α ι τ ο π ρ ο ϊ ό ν ή ό χ ι ; Α υ τ ό ε ί ν α ι τ ο ζ ή τ η µ α τ ω ν! #"%$'&)(* +,&-. που εµφανίζει η συνάρτηση παραγ ω γ ή ς. Ο ι αποδ ό σεις κ λ ίµακ ας αναφέ ρονται στον τρό πο που µεταβ άλ λ εται η εκ ροή κ αθ ώ ς µεταβ άλ λ ουµε την κ λ ίµακ α της παραγ ω γ ή ς. ΟΡΙΣΜΟΣ: ΑΠ Ο ΟΣ Ε ΙΣ ΚΛΙΜ Α Κ Α Σ Ε άν οι συνάρτηση παραγ ω γ ή ς δ ίνεται από την µορφή q ƒ (,) κ αι ό λ ες οι εισροέ ς πολ λ απλ ασιάζονται µε την ίδ ια σταθ ερά m ( m> ) ταξ ινοµού µε τις αποδ ό σεις κ λ ίµακ ας της συνάρτησης ανάλ ογ α µε την επίπτω ση στο προϊ ό ν. Ε ϖ ι ϖ τ ώ σ ε ι ς σ τ ο ϖ ρ ο ϊ ό ν Α ϖ ο δ ό σ ε ι ς κ λ ί µ α κ α ς Ι f ( m, m ) m f (, ) m q Σ ταθ ερέ ς ΙΙ f ( m, m ) < m f (, ) m q Φ θ ίνουσες ΙΙΙ f ( m, m ) > m f (, ) m q Α ύ ξ ουσες
Α πό το πίνακ α προκ ύ πτει ό τι αν αυξ ή σουµε την κ λ ίµακ α ό λ ω ν τω ν εισροώ ν κ ατά µια σταθ ερά m κ αι η εισροή µεταβ λ ηθ εί κ ατά µια σταθ ερά, έ χ ουµε σταθ ερέ ς αποδ ό σεις κ λ ίµακ ας. Α ν η κ λ ίµακ α της εκ ροή ς αυξ ηθ εί κ ατά µια ποσό τητα µεγ αλ ύ τερη του m οι αποδ ό σεις κ λ ίµακ ας είναι αύ ξ ουσες, ενώ αν αυξ ηθ εί κ ατά µια ποσό τητα µικ ρό τερη του m οι αποδ ό σεις είναι φθ ίνουσες. Θ εω ρητικ ά, µια συνάρτηση µπορεί να έ χ ει σταθ ερέ ς αποδ ό σεις κ λ ίµακ ας γ ια κ άποια επίπεδ α εισροώ ν, κ αι αύ ξ ουσες ή φθ ίνουσες αποδ ό σεις γ ια άλ λ α επίπεδ α. Χ αρακ τηριστικ ό παράδ ειγ µα τεχ νολ ογ ίας µε αύ ξ ουσες αποδ ό σεις κ λ ίµακ ας είναι εκ είνο ενό ς πετρελ αίου. Α ν δ ιπλ ασιάσουµε την δ ιάµετρο ενό ς αγ ω γ ού χ ρησιµοποιού µε δ ιπλ άσια υλ ικ ά, ενώ η δ ιατοµή του τετραπλ ασιάζεται. Έ τσι µέ σω του αγ ω γ ού θ α είµαστε σε θ έ ση να αντλ ή σουµε περισσό τερο από δ ιπλ άσιο πετρέ λ αιο Ό σον αφορά τις φθ ίνουσες αποδ ό σεις προκ ύ πτουν συνή θ ω ς ό ταν δ εν συνυπολ ογ ίσουµε κ άποια εισροή. ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΑΠΟ ΟΣΕΙΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΚΑΙ R T S Οι σταθερές αποδόσεις κλίµακας των συναρτήσεων παραγωγής κατέχ ουν ση µαντική θέση στη ν οικονοµική θεωρία. Α υτό οφ είλεται κυρίως στο ότι υπά ρχ ουν οικονοµικοί λόγοι για να αναµένουµε σταθερές αποδόσεις κλίµακας από τη συνά ρτη ση παραγωγής ενός κλά δου. Οι σταθερές αποδόσεις κλίµακας έχ ουν τη ν ιδιότη τα ότι ο R T S µεταξ ύ δύ ο συντελεστώ ν ( εδώ του και του ) εξ αρτά ται µόνο από τον λόγο του προς και όχ ι από τη ν κλίµακα παραγωγής. Τ ο παρακά τω παρά δειγµα µας β οη θά ει να επιση µά νουµε αυτή τη χ ρήσιµη ιδιότη τά τους. Υ ποθέτουµε ότι έχ ουµε σταθερές αποδόσεις κλίµακας των συναρτήσεων παραγωγής τέτοιες ώ στε αν Κ 0 και 0, q 0. Έ στω ότι στο ση µείο αυτό ο R T S ( του στο ). Ά ρα 8 µονά δες του Κ και µονά δες του θα δίνουν επίση ς q 0. ιπλασιά ζ ουµε όλες τις εισροές, δη λαδή Κ 0, 0. Έ νεκα των σταθερώ ν αποδόσεων κλίµακας µε τις τιµές παρά γονται 4 0 µονά δες προϊ όντος. Τ ο ίδιο ( 4) συµβ αίνει και όταν Κ 6 και. Σ το ση µείο όπου Κ 0 και 0 ο RTS, όπως αναµενόταν.
"!# $&%&$ )*/. )*- )*,+ ' && (!&# $&%&$ Σ χ ήµα. 3: Ο R T S εξ αρτά ται µόνο από τον λόγο και όχ ι από τη ν κλίµακα παραγωγής. Κ ά θε καµπύ λη ίσου προϊ όντος είναι µια µεγέθυνση τη ς µοναδιαίας καµπύ λη ς ίσου προϊ όντος πά νω στη ν ίδια ακτίνα. Κ ατά µήκος κά θε ακτίνας που περνά ει από τη ν αρχ ή των αξ όνων ο R T S είναι ο ίδιος για όλες τις καµπύ λες. Χ ΑΡΤΗ Σ ΚΑΜΠΥ ΛΩ Ν ΙΣΟΥ ΠΡΟΪ ΟΝ ΤΟΣ Γ ΙΑ ΣΥ Ν ΑΡΤΗ ΣΗ ΠΑΡΑΓ Ω Γ Η Σ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΑΠΟ ΟΣΕΙΣ Σ ύ µφ ωνα µε το σχ ήµα κά θε καµπύ λη ίσου προϊ όντος είναι µια µεγέθυνση τη ς µοναδιαίας καµπύ λη ς ίσου προϊ όντος πά νω στη ν ίδια ακτίνα. Κ ατά µήκος οποιασδήποτε ακτίνας από τη ν αρχ ή των αξ όνων ( µιας γραµµής κατά µήκος τη ς οποίας ο λόγος είναι σταθερός) η κλίση των καµπυλώ ν ίσου
προϊ όντος είναι η ίδια. Α πό το διά γραµµα προκύ πτει ακόµη ότι καθώ ς το προϊ όν αυξ ά νει οι καµπύ λες ίσου κόστους έχ ουν τη ν ίδια απόσταση. ΓΙ Α N Ε Ι Σ Ρ Ο Ε Σ Ο ορισµός των αποδόσεων κλίµακας µπορεί εύ κολα να γενικευτεί σε µια συνά ρτη ση παραγωγής µε n εισροές. Α ν η συνά ρτη ση παρέχ εται από τον τύ πο q f ( x, x,..., xn ).9 κ α ι ό λ ε ς ο ι ε ι σ ρ ο έ ς π ο λ λ α π λ α σ ι α σ τ ο ύ ν µ ε µ ι α θ ε τ ι κ ή σ τ α θ ε ρ ά m έ χ ο υ µ ε : f ( n, m x, m x,..., m x ) m f ( x x,..., x ) m n q.0 Γ ι α κ > ο ι α π ο δ ό σ ε ι ς κ λ ί µ α κ α ς ε ί ν α ι α ύ ξ ο υ σ ε ς, γ ι α κ < φ θ ί ν ο υ σ ε ς κ α ι γ ι α κ σ τ α θ ε ρ έ ς. Ι δ ι α ί τ ε ρ ο ε ν δ ι α φ έ ρ ο ν π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι η σ υ ν θ ή κ η ν α α υ ξ ά ν ο ν τ α ι ό λ ε ς ο ι ε ι σ ρ ο έ ς µ ε τ η ί δ ι α α ν α λ ο γ ί α m. Η σ υ ν θ ή κ η α υ τ ή σ τ ι ς π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ ε ς π ε ρ ι π τ ώ σ ε ι ς δ ε ν έ χ ε ι ο ι κ ο ν ο µ ι κ ό ν ό η µ α. Γ ι α π α ρ ά δ ε ι γ µ α, τ ο π ρ ο ϊ ό ν µ ι α ς γ ε ω ρ γ ι κ ή ς µ ο ν ά δ α ς µ π ο ρ ε ί ν α ε ξ α ρ τ ά τ α ι α π ό τ η ν γ ο ν ι µ ό τ η τ α τ ο υ ε δ ά φ ο υ ς. Α ν η γ ο ν ι µ ό τ η τ α π α ρ α µ έ ν ε ι σ τ α θ ε ρ ή τ α κ α λ λ ι ε ρ γ ή σ ι µ α σ τ ρ έ µ µ α τ α δ ε ν ε ί ν α ι δ υ ν α τ ό ν ν α δ ι π λ α σ ι α σ τ ο ύ ν α φ ο ύ η ν έ α γ η µ π ο ρ ε ί ν α µ η ν ε ί ν α ι τ ό σ ο ε ύ φ ο ρ η ό σ ο η ή δ η η κ α λ λ ι ε ρ γ ή σ ι µ η. Ε π ο µ έ ν ω ς, γ ι α π ρ α κ τ ι κ ο ύ ς λ ό γ ο υ ς ο ρ ι σ µ έ ν ε ς ε ι σ ρ ο έ ς δ ε ν π ρ έ π ε ι ν α µ ε τ α β λ η θ ο ύ ν.
ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Υ Π ΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Έ ν α µ έ τ ρ ο γ ι α τ ο π ό σ ο ε ύ κ ο λ ο ε ί ν α ι ν α υ π ο κ α τ α σ τ ή σ ο υ µ ε σ τ η ν π α ρ α γ ω γ ή έ ν α ν σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή µ ε κ ά π ο ι ο ν ά λ λ ο α π ο τ ε λ ε ί η ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α τ η ς υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς. Ω ς τ ώ ρ α ε ί δ α µ ε ό τ ι κ α θ ώ ς ο λ ό γ ο ς φ θ ί ν ε ι κ α τ ά µ ή κ ο ς κ α τ ά µ ή κ ο ς µ ι α ς κ α µ π ύ λ η ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς ο ρ υ θ µ ό ς τ ε χ ν ι κ ή ς υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς ε λ α τ τ ώ ν ε τ α ι. Α ν ο R T S π α ρ α µ ε ί ν ε ι α µ ε τ ά β λ η τ ο ς µ ε τ ά τ η ν µ ε ί ω σ η τ ο υ, η υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η θ ε ω ρ ε ί τ α ι σ χ ε τ ι κ ά α π λ ή. Α υ τ ό σ υ µ β α ί ν ε ι δ ι ό τ ι ο λ ό γ ο ς τ ω ν ο ρ ι α κ ώ ν π α ρ α γ ω γ ι κ ο τ ή τ ω ν τ ω ν δ υ ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν δ ε ν α λ λ ά ζ ε ι κ α θ ό σ ο ν µ ε τ α β ά λ λ ο ν τ α ι ο ι σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς π α ρ α γ ω γ ή ς. Σ τ η ν π ε ρ ί π τ ω σ η ό µ ω ς π ο υ ο R T S µ ε τ α β ά λ λ ε τ α ι γ ο ρ γ ά µ ε ο π ο ι α δ ή π ο τ ε µ ι κ ρ ή α λ λ α γ ή τ ο υ, η υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ε ί ν α ι α ρ κ ε τ ά δ ύ σ κ ο λ η α φ ο ύ µ ε τ α β ά λ λ ο ν τ α ι ο ι σ χ ε τ ι κ έ ς π α ρ α γ ω γ ι κ ό τ η τ ε ς τ ω ν σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν. Η ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α τ η ς υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς α π ο τ ε λ ε ί έ ν α µ έ τ ρ ο α ν ε ξ ά ρ τ η τ ο τ η ς κ λ ί µ α κ α ς. ΟΡΙΣΜΟΣ: Ε Λ Α ΣΤ ΙΚ ΟΤ Η Τ Α Σ Υ Π ΟΚ Α Τ Α ΣΤ Α ΣΗ Σ Γ ι α τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η π α ρ α γ ω γ ή ς q f (, ) η ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς σ µ ε τ ρ ά ε ι τ η ν α ν α λ ο γ ι κ ή µ ε τ α β ο λ ή τ ο υ κ α µ π ύ λ η ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς. η λ α δ ή : σ ε σ χ έ σ η µ ε τ η ν α ν α λ ο γ ι κ ή µ ε τ α β ο λ ή τ ο υ R T S κ α τ ά µ ή κ ο ς µ ι α ς σ 0 0 0 0 (, ) d / RTS ln / RTS drts / ln RTS.
) "!# $&%&$ *,+.-0/ *,+.-, 9543'76:/ 3543'768 ;<;> ' && (!&# $&%&$ Σ χ ή µ α. 4 : Η ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς ε ί ν α ι έ ν α µ έ τ ρ ο γ ι α τ ο π ό σ ο κ υ ρ τ ή ε ί ν α ι η κ α µ π ύ λ η ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς. Κ ι ν ο ύ µ ε ν ο ι π ά ν ω σ τ η ν κ α µ π ύ λ η q q0 α π ό τ ο σ η µ ε ί ο Α σ τ ο Β, ο λ ό γ ο ς κ α ι ο RTS µ ετ α βά λ λ ο ν τ α ι. Μ ε βά σ η τ ο δ ι ά γ ρ α µ µ α, α ν κ ι ν η θ ο ύ µ ε κ α τ ά µ ή κ ο ς µ ι α ς κ α µ π ύ λ η ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς α π ό τ ο σ η µ εί ο? π ρ ο ς τ ο σ η µ εί ο Β ο RTS κ α ι ο λ ό γ ο ς / µ ετ α βά λ λ ο ν τ α ι. Ε ά ν τ ο σ εί ν α ι µ εγ ά λ ο ο RTS δ εν µ ετ α βά λ λ ετ α ι σ ε σ χ έ σ η µ ε τ ο /, µ ε α π ο τ έ λ εσ µ α η κ α µ π ύ λ η ν α εί ν α ι α ρ κ ετ ά επ ί π εδ η. Α ν τ ι θ έ τ ω ς, α ν η τ ι µ ή τ ο υ σ εί ν α ι χ α µ η λ ή η κ α µ π ύ λ η π α ρ ο υ σ ι ά ζ ει έ ν τ ο ν η κ α µ π υ λ ό τ η τ α. Ο τ ο υ λ ό γ ο υ π ο ι α δ ή π ο τ ε µ ετ α βο λ ή / επ ι φ έ ρ ει σ η µ α ν τ ι κ έ ς α λ λ α γ έ ς κ α ι σ τ η ν τ ι µ ή τ ο υ RTS. Γ εν ι κ ό τ ερ α, κ α θ ώ ς κ ι ν ο ύ µ α σ τ ε κ α τ ά µ ή κ ο ς µ ι α ς κ α µ π ύ λ η ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς κ α ι η κ λ ί µ α κ α π α ρ α γ ω γ ή ς µ ετ α βά λ λ ετ α ι εί ν α ι π ι θ α ν ό ν ν α α λ λ ά ζ ει κ α ι η ελ α σ τ ι κ ό τ η τ α υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς. Σ τ η ν π ερ ί π τ ω σ η σ τ α θ ερ ώ ν α π ο δ ό σ εω ν κ λ ί µ α κ α ς η ελ α σ τ ι κ ό τ η τ α υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς µ π ο ρ εί ν α δ ι α τ υ π ω θ εί ά µ εσ α σ ε σ χ έ σ η µ ε τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η π α ρ α γ ω γ ή ς κ α ι τ ι ς π α ρ α γ ώ γ ο υ ς ω ς εξ ή ς : σ ( q / ) ( q / ) q ( q / ).
Ό µ ω ς η µ ο ρ φ ή α υ τ ή εί ν α ι π ερ ί π λ ο κ η κ α ι σ υ ν ή θ ω ς χ ρ η σ ι µ ο π ο ι εί τ α ι ο λ ο γ α ρ ι θ µ ι κ ό ς ο ρ ι σ µ ό ς τ η ς εξ ί σ ω σ η ς (.) γ ι α α π λ ο ύ σ τ ερ η εφ α ρ µ ο γ ή. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Γ ΙΑ N ΕΙΣΡ ΟΕΣ Η γ εν ί κ ευ σ η τ η ς ελ α σ τ ι κ ό τ η τ α ς τ η ς υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς γ ι α τ η ν π ερ ί π τ ω σ η π ο λ λ α π λ ώ ν ει σ ρ ο ώ ν π α ρ ο υ σ ι ά ζ ει δ ι ά φ ο ρ ες δ υ σ κ ο λ ί ες. Χ ρ η σ ι µ ο π ο ι ο ύ µ ε ο ρ ι σ µ ό π α ρ ό µ ο ι ο µ ε εκ εί ν ο ν τ ο υ ln / σ. ln RTS η λ α δ ή η ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α υ πο κ α τ ά σ τ α σ η ς µ ε τ α ξ ύ δ ύ ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν ο ρ ί ζ ε τ α ι ω ς η α ν α λ ο γ ι κ ή µ ε τ α β ο λ ή τ ο υ λ ό γ ο υ τ ω ν δ ύ ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν πρ ο ς τ η ν α ν α λ ο γ ι κ ή µ ε τ α β ο λ ή τ ο υ R T S α υ τ ώ ν τ ω ν δ ύ ο, δ ι α τ η ρ ώ ν τ α ς τ ο πρ ο ϊ ό ν σ τ α θ ε ρ ό. Α κ ό µ α, α πα ι τ ο ύ µ ε ό λ ο ι ο ι υ πό λ ο ι πο ι σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς ( ε κ τ ό ς ό σ ω ν ε ξ ε τ ά ζ ο ν τ α ι ) ν α πα ρ α µ έ ν ο υ ν σ τ α θ ε ρ ο ί έ τ σ ι ώ σ τ ε ο ο ρ ι σ µ ό ς ν α ε ί ν α ι πλ ή ρ η ς. Ω σ τ ό σ ο, α υ τ ή η τ ε λ ε υ τ α ί α α πα ί τ η σ η πε ρ ι ο ρ ί ζ ε ι τ η ν α ξ ί α α υ τ ο ύ τ ο υ πι θ α ν ο ύ ο ρ ι σ µ ο ύ. Κ ά θ ε µ ε τ α β ο λ ή σ τ ο ν λ ό γ ο τ ω ν δ ύ ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν σ υ ν ο δ ε ύ ε τ α ι α πό α λ λ α γ έ ς σ τ ο υ ς υ πό λ ο ι πο υ ς σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς, µ ε ρ ι κ ο ί α πό τ ο υ ς ο πο ί ο υ ς µ πο ρ ε ί ν α ε ί ν α ι σ υ µ πλ η ρ ω µ α τ ι κ ο ί ή υ πο κ α τ ά σ τ α τ α ά λ λ ω ν σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν, δ η µ ι ο υ ρ γ ώ ν τ α ς έ ν α ε ί δ ο ς τ ε χ ν η τ ο ύ πε ρ ι ο ρ ι σ µ ο ύ. ΚΟΙΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Π ΑΡΑΓ Ω Γ ΗΣ Ο ι πα ρ α κ ά τ ω σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς πα ρ α γ ω γ ή ς χ α ρ α κ τ η ρ ί ζ ο ν τ α ι α πό δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ή ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α υ πο κ α τ ά σ τ α σ η ς. ΓΡΑΜΜΙΚΗ Σ Υ Ν ΑΡΤ ΗΣ Η ( σ ) Υ πο θ έ τ ο υ µ ε ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η πα ρ α γ ω γ ή ς δ ί ν ε τ α ι α πό τ ο ν τ ύ πο :
q f, ( ) a + b.3 Π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι ε π ί σ η ς σ τ α θ ε ρ έ ς α π ο δ ό σ ε ι ς κ λ ί µ α κ α ς α φ ο ύ γ ι α κ ά θ ε 0 m f ( m, m ) a m + b m m ( a + b ) m f (, ) Γ ι α α υ τ ή τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η π α ρ α γ ω γ ή ς ό λ ε ς ο ι κ α µ π ύ λ ε ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς ε ί ν α ι π α ρ ά λ λ η λ ε ς ε υ θ ε ί ε ς µ ε κ λ ί σ η b / a, ό π ω ς α π ε ι κ ο ν ί ζ ε τ α ι σ τ ο σ χ ή µ α. "!# $&%&$ )σ oo.0/ 436574890: )+* ), ' && (!&# $&%&$ Σ χ ή µ α.5 : Τ ο κ ε φ ά λ α ι ο κ α ι η ε ρ γ α σ ί α ε ί ν α ι τ έ λ ε ι α υ π ο κ α τ ά σ τ α τ α. Ο R T S δ ε ν µ ε τ α β ά λ λ ε τ α ι κ α θ ώ ς α λ λ ά ζ ε ι ο λ ό γ ο ς. Ε ί δ α µ ε ό τ ι κ α τ ά µ ή κ ο ς µ ι α ς ε υ θ ύ γ ρ α µ µ η ς κ α µ π ύ λ η ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς κ α ι ο R T S π α ρ α µ έ ν ε ι σ τ α θ ε ρ ό ς. Α π ό τ ο ν τ ύ π ο τ η ς ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α ς τ η ς υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς ln / σ π ρ ο κ ύ π τ ε ι ό τ ι ο ln RTS π α ρ ο ν ο µ α σ τ ή ς µ η δ ε ν ί ζ ε τ α ι κ α ι έ τ σ ι η ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς σ ε ί ν α ι ί σ η µ ε ά π ε ι ρ ο ( ). Π α ρ ό λ ο π ο υ η σ υ γ κ ε κ ρ ι µ έ ν η γ ρ α µ µ ι κ ή ε ξ ί σ ω σ η θ ε ω ρ ε ί τ α ι ι δ ι α ί τ ε ρ α χ ρ ή σ ι µ η, σ τ η ν π ρ ά ξ η σ υ ν α ν τ ά τ α ι
σ π ά ν ι α δ ι ό τ ι ε ί ν α ι ε λ ά χ ι σ τ ε ς ο ι π α ρ α γ ω γ ι κ έ ς δ ι α δ ι κ α σ ί ε ς π ο υ χ α ρ α κ τ η ρ ί ζ ο ν τ α ι α π ό τ ό σ ο ε ύ κ ο λ η υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η. ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΑΝ ΑΛ Ο Γ ΙΕΣ ( σ 0 ) Η σηµαντικότερη περίπτωση µιας συ νά ρτησης παραγ ωγ ή ς σταθ ερώ ν αναλ ο γ ιώ ν είναι η συ νά ρτηση παραγ ωγ ή ς πο υ χ αρακτηρίζ εται από 0. Γ ια την συ νά ρτηση αυ τή ο ι καµπύ λ ες ίσο υ προ ϊ όντο ς απεικο νίζ ο νται στο ακόλ ο υ θ ο σχ ή µα και έ χ ο υ ν σχ ή µα. "! # $ % $ σ 0 ' +-,-0 ' +-,/. ' + '* ')( & "!# $ % $ Σ χ ή µα.6 : Π ερίπτωση σταθ ερή ς αναλ ο γ ίας ( ο λ όγ ο ς είναι σταθ ερός στο b a. Κ ά θ ε επιχ είρηση πο υ χ αρακτηρίζ εται από αυ τή τη συ νά ρτηση παραγ ωγ ή ς θ α κινείται πά ντα κατά µή κο ς της ακτίνας όπο υ ο λ όγ ο ς / είναι σταθ ερός. Α πό το ν ο ρισµό της ελ αστικότητας υ πο κατά στασης προ κύ πτει ότι σ 0, αφ ο ύ ο λ όγ ο ς Γ ια σταθ ερέ ς αναλ ο γ ίες η συ νά ρτηση παραγ ωγ ή ς είναι: q min( a, b ) a, b > 0 / είναι σταθ ερός..4
Αν a b τ ό τ ε q a, δ η λ α δ ή τ ο κ ε φ ά λ α ι ο ε ί να ι ο δ ε σ µ ε υ τ ι κ ό ς π ε ρ ι ο ρ ι σ µ ό ς σ τ η ν π α ρ α γ ω γ ι κ ή δ ι α δ ι κ α σ ί α. Ο π ο ι α δ ή π ο τ ε ε π ι π ρ ό σ θ ε τ η ε ρ γ α σ ί α δ ε ν α υ ξ ά νε ι τ η ν π α ρ α γ ω γ ή, µ ε α π ο τ έ λ ε σ µ α τ ο ο ρ ι α κ ό π ρ ο ϊ ό ν τ η ς ε ρ γ α σ ί α ς να ε ί να ι µ η δ έ ν. Αν a b τ ό τ ε q b, δ η λ α δ ή η ε ρ γ α σ ί α α π ο τ ε λ ε ί δ ε σ µ ε υ τ ι κ ό π ε ρ ι ο ρ ι σ µ ό τ η ς π α ρ α γ ω γ ή ς κ α ι τ ο ε π ι π λ έ ο ν κ ε φ ά λ α ι ο π λ ε ο νά ζ ε ι. Αν a b χρησιµοποιούνται πλήρως και οι δ ύο συ ντε λε στέ ς. Τ ό τε b και η a παραγ ωγ ή β ρί σκε ται σε µια ακµή του χά ρτη των καµπυ λώ ν ί σου προϊ ό ντος. Ο γ ε ωµε τρικό ς τό πος ό λων αυ τώ ν των ακµώ ν ε ί ναι µια ε υ θ ε ί α γ ραµµή που δ ιέ ρχε ται από την αρχή των αξ ό νων και έ χε ι κλί ση b / a. Τ έ λος, η συ νά ρτηση παραγ ωγ ής µε σταθ ε ρέ ς αναλογ ί ε ς παρου σιά ζ ε ι σταθ ε ρέ ς αποδ ό σε ις κλί µακας αφ ού: f ( m, m ) min( a m, b m ) m min( a, b ) m f (, ).5 COBB DOUGAS ( σ ) Η συ νά ρτηση παραγ ωγ ής γ ια την οποί α σ ονοµά ζ ε ται συ νά ρτηση παραγ ωγ ής C o b b D o u g l a s. Τ ώ ρα οι καµπύλε ς ί σου προϊ ό ντος έ χου ν «κανονικό» κυ ρτό σχήµα ό πως ακριβ ώ ς στο δ ιά γ ραµµα:
0 /. -!" #%$%# σ (, ( + (*) & %%' %" #%$%# Σ χ ή µ α. 7 : Π ε ρ ι ο ρ ι σ µ έ ν η δ υ ν α τ ό τ η τ α υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς. Η µ α θ η µ α τ ι κ ή µ ο ρ φ ή τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς C o b b D o u g l a s π α ρ έ χ ε τ α ι α π ό τ η ν σ χ έ σ η : q f (, ) A a b.6 ό π ο υ A, a, b θ ε τ ι κ έ ς σ τ α θ ε ρ έ ς. Α ν ά λ ο γ α µ ε τ ι ς τ ι µ έ ς τ ω ν a κ α ι b η σ υ ν ά ρ τ η σ η µ π ο ρ ε ί ν α ε µ φ α ν ί ζ ε ι ο π ο ι ο δ ή π ο τ ε β α θ µ ό α π ο δ ό σ ε ω ν κ λ ί µ α κ α ς. Α ν γ ι α π α ρ ά δ ε ι γ µ α ό λ ο ι ο ι σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς α υ ξ η θ ο ύ ν κ α τ ά έ ν α ν π α ρ ά γ ο ν τ α m, τ ό τ ε : a b a b a b a b f ( m, m ) A ( m ) ( m ) A m m - f (, ).7 Α ν a b η σ υ ν ά ρ τ η σ η π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι α ύ ξ ο υ σ ε ς α π ο δ ό σ ε ι ς κ λ ί µ α κ α ς, ε ν ώ ό τ α ν a b παρουσιάζει φθίνουσες. Α ν a b η συνάρτ η ση C o b b D o u g l a s εµ φανίζει στ αθερέ ς αποδ ό σεις κ λ ίµ ακ ας αφού κ αι η παραγ ω γ ή αυξ άνετ αι κ ατ ά έ ναν παράγ οντ α m. Γ ια τ η ν περίπτ ω ση τ ω ν στ αθερώ ν αποδ ό σεω ν κ λ ίµ ακ ας είναι απλ ό να δ ειχ θεί ό τ ι γ ια τ η ν συνάρτ η ση C o b b D o u g l a s η ελ αστ ικ ό τ η τ α υποκ ατ άστ αση ς είναι ίση µ ε. Π ράγ µ ατ ι:
a b f b A RTS a f a A b b a.8 Λ ογ αριθµ ίζοντ ας κ αι τ α δ ύ ο µ έ λ η έ χ ω : b ln RTS ln + ln a.9 Π αραγ ω γ ίζω κ αι προκ ύ πτ ει: ln RTS ln ln ln RTS.30 Ε π ί σ η ς η σ υ ν ά ρ τ η σ η C o b b D o u g l a s έ χ ε ι α π ο δ ε ι χ θ ε ί π ο λ ύ χ ρ ή σ ι µ η σ ε π ο ι κ ί λ ε ς ε φ α ρ µ ο γ έ ς δ ι ό τ ι ε ί ν α ι γ ρ α µ µ ι κ ή σ τ ο υ ς λ ο γ ά ρ ι θ µ ο υ ς : ln q ln A + a ln + b ln.3 ό π ο υ : a : ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α π α ρ α γ ω γ ή ς σ ε σ χ έ σ η µ ε τ ο κ ε φ ά λ α ι ο b : ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α π α ρ α γ ω γ ή ς σ ε σ χ έ σ η µ ε τ η ν ε ρ γ α σ ί α Ο υ π ο λ ο γ ι σ µ ό ς τ ω ν π α ρ α π ά ν ω σ τ α θ ε ρ ώ ν ε ί ν α ι δ υ ν α τ ό ν ν α γ ί ν ε ι µ ε β ά σ η τ α π ρ α γ µ α τ ι κ ά δ ε δ ο µ έ ν α κ α ι τ α α π ο τ ε λ έ σ µ α τ α ν α χ ρ η σ ι µ ο π ο ι η θ ο ύ ν γ ι α τ η ν µ έ τ ρ η σ η τ ω ν α π ο δ ό σ ε ω ν κ λ ί µ α κ α ς.
! Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΣΤΑΘ Ε ΡΗΣ Ε Λ ΑΣΤΙ Κ Ο ΤΗΤΑΣ ( C E S ) Η συνάρτηση παραγωγής µε σταθερή ελαστικότητα υποκατάστασης (C E S ) συµπεριλαµβ άνει και τις 3 προηγού µενες περιπτώ σεις και το σ µπορεί να πάρει κι άλλες τιµέ ς. Η συνάρτηση δ ί νεται από τον τύ πο: q f, p p ( ) [ + ] p.3 όπου p, p 0 και ε > 0. Γ ια η συνάρτηση παρουσιάζ ει αύ ξ ουσες αποδ όσεις κλί µακας και φ θί νουσες αποδ όσεις για. Ε φ α ρ µ ό ζ ο ν τ α ς τ ο ν ο ρ ι σ µ ό τ η ς ε λ α σ τ ι κ ό τ η τ α ς σ τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η έ χ ο υ µ ε : Α φ ο ύ RTS f f ε ε p q p q p p p p p p p p δ η λ α δ ή σ ln ln RTS p Π α ρ α τ η ρ ο ύ µ ε ό τ ι η π α ρ ο υ σ ί α τ ο υ p σ τ ο α π ο τ έ λ ε σ µ α τ η ς κ λ ί µ α κ α ς ε.33 p εξασφαλίζει ότι τα f, f είν αι θ ετικ ά ακ όµ η κ ι αν p < 0. Π ρ ά γ µ ατι απ ό τη σχ έ ση (. 8 ) γ ια p π ρ ο κ ύ π το υ ν γ ρ αµ µ ικ έ ς αν αλο γ ίες, γ ια D o u g l a s π ο υ εξετά σαµ ε π ρ ο η γ ο υ µ έ ν ω ς. p σταθ ερ έ ς αν αλο γ ίες κ αι τέ λο ς γ ια p 0 η π ερ ίπ τω ση C o b b Π ο λλέ ς φο ρ έ ς η συ ν ά ρ τη ση τη ς σταθ ερ ή ς ελαστικ ότη τας υ π ο κ ατά σταση ς (C E S ) φαν ερ ώ ν ει τη ν σχ ετικ ή ση µ ασία τω ν εισρ ο ώ ν π αίρ ν ο ν τας τη ν µ ο ρ φή : p [ ] p p (, ) b + ( b) q f.34
µ ε b κ ά πο ι α δ ι α ν ε µ η τ ι κ ά σ τ α θ µ ά ( 0 ) κ λ ί µ α κ α ς σ υ γ κ λ ί ν ε ι σ τ η ν µ ο ρ φ ή C o b b D o u g l a s : b. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η α υ τ ή γ ι α p 0 κ α ι σ τ α θ ε ρ έ ς α πο δ ό σ ε ι ς q f b b (, ).35 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΜΙΑ Σ Υ Ν ΑΡΤ Η Σ Η ΠΑΡΑΓΩ ΓΗ Σ C O B B D O U G A S Προηγουµένως είδαµε ότι σύµφωνα µε την συνάρτηση παραγωγής Cobb D παράγονται ως εξ ής: ou g l a s τα χ άµπουργκ ερ q 0.36 Έ χ ουµε σταθ ερές αποδόσεις κ λ ίµακ ας, διότι το άθ ροισµα των εκ θ ετώ ν +. ίνοντας στην παραγωγή διάφορες τιµές προκ ύπτει ο χ άρτης των κ αµπυλ ώ ν ίσου προϊ όντος για την παραγωγή των χ άµπουργκ ερ. Σ υγκ εκ ριµένα, για q 50 η συνάρτηση C o b b D o u g l a s γίνεται: 50 0 ( ) 5 5.37 Ο µ ο ί ω ς γ ι α q 00 00 0 ( ) 0 00.38
Σχηµατικά δηλαδή έχουµε:! "#" -+,* '() ' ) $!* $+ $%& "#" Σχήµα. 9 : Η τεχν ική π ρ ό οδος µετακιν εί την τη καµπ ύ λη ί σ ου π ρ οϊ ό ν τος q0 π ρ ος την αρ χή τω ν ' αξ ό ν ω ν. Η ν έα καµπ ύ λη q0 δεί χν ει ό τι έν α δεδοµέν ο επ ί π εδο π ρ οϊ ό ν τος µπ ορ εί ν α π αρ αχθ εί τώ ρ α µε λιγ ό τερ ες εισ ρ οές. Ο ι καµπ ύ λες ί σ ου π ρ οϊ ό ν τος εί ν αι ορ θ ογ ώ ν ιες π ρ οβ ολές. Μ ας δεί χν ουν τους σ υν δυασ µού ς του και του απ ό τους οπ οί ους π αρ άγ ον ται 5 0 και 0 0 χάµπ ουρ γ κερ, αν τί σ τοιχα. Φ αν ερ ώ ν ουν καθ αρ ά τον φ θ ί ν ον τα ορ ιακό λό γ ο τεχν ικής υπ οκατάσ τασ ης ( R T S )..0/3 46587 9 465 :<; f f 5 5.39 Π ρ ο κ ύ π τ ο υ ν λ ο ι π ό ν 3 σ η µ α ν τ ι κ ά α π ο τ ε λ έ σ µ α τ α π ο υ α φ ο ρ ο ύ ν τ η ν κ υ ρ τ ό τ η τ α τ ω ν κ α µ π υ λ ώ ν ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς τ ω ν χ ά µ π ο υ ρ γ κ ε ρ : Κ α θ ώ ς τ ο α υ ξ ά ν ε ι κ α ι τ ο µ ε ι ώ ν ε τ α ι, ο RTS µ ε ι ώ ν ε τ α ι κ α θ α ρ ά.
Μ - Ο RTS ε ξ α ρ τ ά τ α ι α π ο κ λ ε ι σ τ ι κ ά α π ό τ ο ν λ ό γ ο. Ο RTS µ ε τ α β ά λ λ ε τ α ι α ν ά λ ο γ α µ ε τ ο ν λ ό γ ο.ά ρ α ε δ ώ, α π ό τ η ν ε ξ ί σ ω σ η ( 7 ) π ρ ο κ ύ π τ ε ι.! #"$ %&% 0,. 3' +/ /#- /#. *,+/#.. *,+,-. - /#. /#- 0,. '() #"$ %&% Σ χ ή µ α.8 : Ο ι κ α µ π ύ λ ε ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς δ ε ί χ ν ο υ ν τ ο υ ς σ υ ν δ υ α σ µ ο ύ ς τ ο υ κ α ι τ ο υ π ο υ µ π ο ρ ο ύ ν ν α π α ρ ά γ ο υ ν 5 0 κ α ι 0 0 χ ά µ π ο υ ρ γ κ ε ρ τ η ν ώ ρ α, α ν τ ί σ τ ο ι χ α. Ο ι κ α µ π ύ λ ε ς δ ε ί χ ν ο υ ν κ α θ α ρ ά τ ο ν φ θ ί ν ο ν τ α ο ρ ι α κ ό λ ό γ ο τ ε χ ν ι κ ή ς υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς. Η ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ Α ξ ί ζ ε ι τ ο ν κ ό π ο ν α π ε ρ ι γ ρ ά ψ ο υ µ ε π ώ ς ο ι τ ε χ ν ο λ ο γ ι κ έ ς β ε λ τ ι ώ σ ε ι ς µ ε τ η ν π ά ρ ο δ ο τ ο υ χ ρ ό ν ο υ α ν τ ι κ α τ ο π τ ρ ί ζ ο ν τ α ι σ τ ι ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς π α ρ α γ ω γ ή ς. ι α τ έ τ ο ι α π ρ ό ο δ ο ς σ τ η ν π ι ο α π λ ή τ η ς µ ο ρ φ ή π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε τ α ι σ τ ο σ χ ή µ α. Σ τ η ν α ρ χ ή, η κ α µ π ύ λ η ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς q 0 κ α τ α γ ρ ά φ ε ι ό λ ο υ ς τ ο υ ς π ι θ α ν ο ύ ς σ υ ν δ υ α σ µ ο ύ ς κ ε φ α λ α ί ο υ -ε ρ γ α σ ί α ς π ο υ µ π ο ρ ο ύ ν ν α π α ρ ά γ ο υ ν ε π ί π ε δ ο π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς ί σ ο µ ε q.
Ο Μ έ σ ω α ν ώ τ ε ρ ω ν τ ε χ ν ι κ ώ ν π α ρ α γ ω γ ή ς η κ α µ π ύ λ η ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς q 0 µ ε τ α τ ο π ί ζ ε τ α ι π ρ ο ς τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α ξ ό ν ω ν. Έ τ σ ι, π ρ ο κ ύ π τ ε ι ν έ α κ α µ π ύ λ η ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς, η q 0. Α υ τ ή µ α ς δ ε ί χ ν ε ι ό τ ι έ ν α δ ε δ ο µ έ ν ο ε π ί π ε δ ο π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς µ π ο ρ ε ί τ ώ ρ α ν α π α ρ α χ θ ε ί µ ε λ ι γ ό τ ε ρ ε ς ε ι σ ρ ο έ ς. Έ ν α ς τ ρ ό π ο ς µ έ τ ρ η σ η ς τ η ς β ε λ τ ί ω σ η ς α υ τ ή ς ε ί ν α ι ν α σ η µ ε ι ώ ν ο υ µ ε µ ε π ό σ ε ς µ ο ν ά δ ε ς ε ρ γ α σ ί α ς κ α ι π ο ι ο ε π ί π ε δ ο ε ι σ ρ ο ή ς κ ε φ α λ α ί ο υ π α ρ ά γ ο ν τ α ι q 0. Ε ν δ ε ι κ τ ι κ ά, µ ε µ ο ν ά δ ε ς κ ε φ α λ α ί ο υ τ ώ ρ α α π α ι τ ο ύ ν τ α ι µ ό ν ο µ ο ν ά δ ε ς ε ρ γ α σ ί α ς γ ι α ν α π α ρ ά γ ο υ µ ε q 0, ε ν ώ π ρ ι ν τ η ν τ ε χ ν ι κ ή π ρ ό ο δ ο χ ρ ε ι α ζ ό τ α ν µ ο ν ά δ ε ς ε ρ γ α σ ί α ς. Τ ο π ρ ο ϊ ό ν α ν ά ε ρ γ α ζ ό µ ε ν ο έ χ ε ι α υ ξ η θ ε ί α π ό q0 σ ε q 0. Κ α τ ά τ ο ν υ π ο λ ο γ ι σ µ ό α υ τ ό ο φ ε ί λ ο υ µ ε ν α ε ί µ α σ τ ε π ρ ο σ ε κ τ ι κ ο ί, δ ι ό τ ι µ ι α α ύ ξ η σ η τ η ς ε ι σ ρ ο ή ς κ ε φ α λ α ί ο υ σ ε θ α ε π έ τ ρ ε π ε κ α ι µ ι α µ ε ί ω σ η ε ι σ ρ ο ή ς ε ρ γ α σ ί α ς σ ε κ α τ ά µ ή κ ο ς τ η ς α ρ χ ι κ ή ς κ α µ π ύ λ η ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς q 0.Τ ό τ ε, π α ρ ό λ ο π ο υ σ τ η ν ο υ σ ί α δ ε ν θ α υ π ή ρ χ ε π ρ α γ µ α τ ι κ ή π ρ ό ο δ ο ς, τ ο π ρ ο ϊ ό ν γ ι α τ ο υ ς ε ρ γ α ζ ό µ ε ν ο υ ς θ α α υ ξ α ν ό τ α ν. Η χ ρ ή σ η τ η ς έ ν ν ο ι α ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς π α ρ α γ ω γ ή ς β ο η θ ά ε ι σ τ η ν δ ι α φ ο ρ ο π ο ί η σ η α υ τ ώ ν τ ω ν δ ύ ο ε ν ν ο ι ώ ν. Σ υ ν ε π ώ ς, ο ι ο ι κ ο ν ο µ ο λ ό γ ο ι ε π ι τ υ γ χ ά ν ο υ ν µ ε ε υ κ ο λ ί α α κ ρ ι β ή ε κ τ ί µ η σ η τ ο υ ρ υ θ µ ο ύ µ ε τ α β ο λ ή ς. ΠΩΣ Υ ΠΟΛ ΟΓ ΙΖ Ε Τ Α Ι Η Τ Ε Χ Ν ΙΚ Η ΠΡ ΟΟ ΟΣ ; Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η π α ρ α γ ω γ ή ς γ ι α µ ε ρ ι κ ά α γ α θ ά : ( ) f ( ) q A t,.40 ό π ο υ A ( t) : ό λ ο ι ο ι π α ρ ά γ ο ν τ ε ς π ο υ π ρ ο σ δ ι ο ρ ί ζ ο υ ν τ ο q, ε κ τ ό ς α π ό τ ο κ α ι τ ο. ι µ ε τ α β ο λ έ ς τ ο υ A α ν τ ι π ρ ο σ ω π ε ύ ο υ ν τ η ν τ ε χ ν ι κ ή π ρ ό ο δ ο κ α ι γ ι α υ τ ό τ ο A ε ί ν α ι σ υ ν ά ρ τ η σ η τ ο υ da χ ρ ό ν ο υ. Π ρ ο φ α ν ώ ς > 0. dt Π α ρ α γ ω γ ί ζ ω ω ς π ρ ο ς τ ο ν χ ρ ό ν ο τ η ν ε ξ ί σ ω σ η (.40) κ α ι έ χ ω :
Θ Ό dq dt da df (, ) da f (, ) + A dt dt dt q A + q f d f (, ) dt f + d dt.4 ι α ι ρ ώ µ ε q τ η ν π α ρ α π ά ν ω ε ξ ί σ ω σ η κ α ι έ χ ω : dq dt q da dt A + f f (, ) d dt + f f (, ) d dt.4 dq dt q da dt A f + f (, ) d dt f + f (, ) d dt.43 Γ ε ν ι κ ά, τ ο π η λ ί κ ο dx dt dt ε ί ν α ι ο ρ υ θ µ ό ς µ ε γ έ θ υ ν σ η ς τ ο υ x α ν ά µ ο ν ά δ α χ ρ ό ν ο υ. Η ε ξ ί σ ω σ η (.4) δ η λ α δ ή γ ί ν ε τ α ι σ ε ό ρ ο υ ς τ ο υ ρ υ θ µ ο ύ µ ε τ α β ο λ ή ς ω ς ε ξ ή ς : ε ω ρ ώ ω ς ( dx dt) G x κ α ι π ρ ο κ ύ π τ ε ι η α κ ό λ ο υ θ η ε ξ ί σ ω σ η, η ο π ο ί α ε ί ν α ι η!#"%$&(' )% * : x G q G A f + f G f + (, ) f (, ) G.44 µ ω ς f f (, ) συ ν τ ε λ ε στ ή +%,-.!/ 0 3 q κ α ι q e q, f π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς ω ς π ρ ο ς τ ο ν συ ν τ ε λ ε στ ή,5476%0(89 0 Έ τ σι η ε ξ ί σω ση ( 3 3 ) γ ί ν ε τ α ι : δ η λ ώ ν ε ι τ η ν ε λ α στ ι κ ό τ η τ α τ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς ω ς π ρ ο ς τ ο ν f (, ) q q e q, δ η λ ώ ν ε ι τ η ν ε λ α στ ι κ ό τ η τ α τ ο υ
Ω G q GA + eq, G + eq, G.45 Π α ρ α τ η ρ ο ύ µ ε ό τ ι ο ρ υ θ µ ό ς µ ε γ έ θ υ ν σ η ς τ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς α π ο τ ε λ ε ί τ α ι α π ό δ ύ ο «σ υ σ τ α τ ι κ ά» : α π ό τ η ν µ ε γ έ θ υ ν σ η π ο υ ο φ ε ί λ ε τ α ι σ ε µ ε τ α β ο λ έ ς τ ω ν ε ι σ ρ ο ώ ν κ α ι κ α ι α π ό κ ά π ο ι α ά λ λ η µ ε γ έ θ υ ν σ η π ο υ α φ ο ρ ά τ ι ς µ ε τ α β ο λ έ ς σ τ ο A κ α ι α ν τ ι π ρ ο σ ω π ε ύ ε ι τ η ν τ ε χ ν ι κ ή π ρ ό ο δ ο. ς τ ώ ρ α ε ί δ α µ ε π ώ ς ο ι τ ε χ ν ο λ ο γ ι κ έ ς β ε λ τ ι ώ σ ε ι ς µ π ο ρ ο ύ ν ν α π ρ ο έ ρ θ ο υ ν µ ε τ η χ ρ ή σ η β ε λ τ ι ω µ έ ν ω ν κ α ι π ι ο π α ρ α γ ω γ ι κ ώ ν σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν. Α ς µ ε λ ε τ ή σ ο υ µ ε σ υ γ κ ε κ ρ ι µ έ ν α έ ν α π α ρ ά δ ε ι γ µ α γ ι α ν α δ ο ύ µ ε π ώ ς η τ ε χ ν ι κ ή π ρ ό ο δ ο ς «ε π ι δ ρ ά» σ τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η C o b b D o u g l a s. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Η Τ ΕΧ Ν ΙΚ Η ΠΡΟ Ο Ο Σ Σ Τ Η Σ Υ Ν ΑΡΤ ΗΣ Η C O B B D O U G A S Γ ν ω ρ ί ζ ο υ µ ε ό τ ι τ α φ ά σ τ φ ο ύ ν τ σ υ ν ε χ ώ ς κ α ι ν ο τ ο µ ο ύ ν κ α ι π α ρ α γ ω γ ή τ ω ν χ ά µ π ο υ ρ γ κ ε ρ α λ λ ά ζ ε ι σ τ η δ ι ά ρ κ ε ι α τ ο υ χ ρ ό ν ο υ σ ύ µ φ ω ν α µ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η : q 0,05 t 0 e.46 Γ ι α χ ρ ο ν ι κ έ ς σ τ ι γ µ έ ς t ( t 0) ε π έ ρ χ ο ν τ α ι τ ε χ ν ο λ ο γ ι κ έ ς β ε λ τ ι ώ σ ε ι ς σ τ η π α ρ α γ ω γ ή τ ω ν χ ά µ π ο υ ρ γ κ ε ρ. Κ ά π ο ι ο ς σ υ ν δ υ α σ µ ό ς ε ι σ ρ ο ώ ν θ α π α ρ ά γ ε ι 5 0 0 π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ α χ ά µ π ο υ ρ γ κ ε ρ κ ά θ ε π ε ρ ί ο δ ο σ τ ο π έ ρ α σ µ α τ ο υ χ ρ ό ν ο υ. Λ ο γ α ρ ι θ µ ί ζ ο ν τ α ς τ η ν ε ξ ί σ ω σ η (.46) έ χ ο υ µ ε : ln q ln0 + 0,05 t + ln + ln.47 Π α ρ α γ ω γ ί ζ ο ν τ α ς ω ς π ρ ο ς t π ρ ο κ ύ π τ ε ι η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς µ ε γ έ θ υ ν σ η ς :
dq dt q 0,05 + d dt + d dt.48 G q 0,05 + G + G.49 Α ν G G 0 τ ό τ ε G 0, 05, δ η λ α δ ή τ ο π ρ ο ϊ ό ν α υ ξ ά ν ε τ α ι κ α τ ά 5 % α ν ά χ ρ ο ν ι κ ή π ε ρ ί ο δ ο. Π.χ. τ η ν χ ρ ο ν ι κ ή σ τ ι γ µ ή t 0, π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς q 00 π α ρ έ χ ε τ α ι α π ό τ ο ν τ ύ π ο : q q 0 e 6,5 0,5. Η κ α µ π ύ λ η ί σ ο υ 00 6,5 36, 7
α ΚΟΣΤΟΣ Ε ί ν α ι σ ε ό λ ο υ ς µ α ς γ ν ω σ τ ό ό τ ι κ ο ι ν ό ς σ τ ό χ ο ς κ ά θ ε ε π ι χ ε ί ρ η σ η ς ε ί ν α ι η µ ε γ ι σ τ ο π ο ί η σ η τ ο υ κ έ ρ δ ο υ ς. Α ν µ ι α ε π ι χ ε ί ρ η σ η µ ε γ ι σ τ ο π ο ι ε ί τ α κ έ ρ δ η τ η ς κ α ι ε π ι λ έ γ ε ι ν α π ρ ο σ φ έ ρ ε ι κ ά π ο ι ο π ρ ο ϊ ό ν y, τ ό τ ε π ρ έ π ε ι ν α ε λ α χ ι σ τ ο π ο ι ε ί τ ο κ ό σ τ ο ς π α ρ α γ ω γ ή ς τ ο υ y. Α ν δ ε ν ί σ χ υ ε κ ά τ ι τ έ τ ο ι ο, θ α υ π ή ρ χ ε κ ά π ο ι ο ς φ θ η ν ό τ ε ρ ο ς τ ρ ό π ο ς π α ρ α γ ω γ ή ς y µ ο ν ά δ ω ν π ρ ο ϊ ό ν τ ω ν, π ο υ θ α σ ή µ α ι ν ε ό τ ι η ε π ι χ ε ί ρ η σ η δ ε ν µ ε γ ι σ τ ο π ο ι ο ύ σ ε τ α κ έ ρ δ η τ η ς. Α υ τ ή η α π λ ή π α ρ α τ ή ρ η σ η α π ο δ ε ι κ ν ύ ε τ α ι π ο λ ύ χ ρ ή σ ι µ η σ τ η ν ε ξ έ τ α σ η τ η ς σ υ µ π ε ρ ι φ ο ρ ά ς τ η ς ε π ι χ ε ί ρ η σ η ς. Γ ι α π ρ α κ τ ι κ ο ύ ς λ ό γ ο υ ς ε ί ν α ι π ρ ο τ ι µ ό τ ε ρ ο ν α δ ι α χ ω ρ ί σ ο υ µ ε τ ο π ρ ό β λ η µ α τ η ς µ ε γ ι σ τ ο π ο ί η σ η ς τ ο υ κ έ ρ δ ο υ ς σ ε δ υ ο φ ά σ ε ι ς : Κ α τ α ρ χ ή ν ε ξ ε τ ά ζ ο υ µ ε π ώ ς ε λ α χ ι σ τ ο π ο ι ε ί τ α ι τ ο κ ό σ τ ο ς π α ρ α γ ω γ ή ς τ η ς ο π ο ι α σ δ ή π ο τ ε π ο σ ό τ η τ α ς π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς y κ α ι σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α ε ξ ε τ ά ζ ο υ µ ε π ο ι ο ε π ί π ε δ ο π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς ε ί ν α ι π ρ α γ µ α τ ι κ ά ε κ ε ί ν ο π ο υ µ ε γ ι σ τ ο π ο ι ε ί τ ο κ έ ρ δ ο ς. Θ δ ο ύ µ ε δ η λ α δ ή µ ε π ο ι ο τ ρ ό π ο ε π ι λ έ γ ε τ α ι τ ο π ι ο κ ε ρ δ ο φ ό ρ ο ε π ί π ε δ ο.
ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ Κ ΟΣΤΟΥΣ Έ σ τ ω ό τ ι έ χ ο υ µ ε δ υ ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς π α ρ α γ ω γ ή ς µ ε τ ι µ έ ς w κ α ι w κ α ι ό τ ι θ έ λ ο υ µ ε ν α π ρ ο σ δ ι ο ρ ί σ ο υ µ ε τ ο φ θ η ν ό τ ε ρ ο τ ρ ό π ο π α ρ α γ ω γ ή ς ε ν ό ς δ ε δ ο µ έ ν ο υ ε π ι π έ δ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς y. Α ν τ α x κ α ι x ε κ φ ρ ά ζ ο υ ν τ ι ς χ ρ η σ ι µ ο π ο ι ο ύ µ ε ν ε ς π ο σ ό τ η τ ε ς τ ω ν σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν κ α ι f x x ) ε ί ν α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η π α ρ α γ ω γ ή ς τ η ς (, ε π ι χ ε ί ρ η σ η ς, τ ο π ρ ό β λ η µ α µ π ο ρ ε ί ν α γ ρ α φ ε ί ω ς ε ξ ή ς : min( x w + w x ) τ έ τ ο ι α ώ σ τ ε f ( x x ), y. Η λ ύ σ η α υ τ ο ύ τ ο υ π ρ ο β λ ή µ α τ ο ς ε λ α χ ι σ τ ο π ο ί η σ η ς κ ό σ τ ο υ ς θ α ε ξ α ρ τ ά τ α ι α π ό τ α w, w κ α ι y κ α ι ε π ο µ έ ν ω ς τ η ν γ ρ ά φ ο υ µ ε C w, w, ). Η σ υ ν ά ρ τ η σ η α υ τ ή ε ί ν α ι γ ν ω σ τ ή ω ς ( y και εκφράζει το ελάχιστο κόστος παραγωγής y µ ον άδ ων προϊ όν τος όταν οι τιµ έ ς των συ ν τελεστώ ν εί ν αι ( w,w ). Γ ια ν α καταν οήσου µ ε τη λύ ση του προβ λήµ ατος ας απεικον ί σου µ ε το κόστος και του ς τεχν ολογικού ς περιορισµ ού ς που αν τιµ ετωπί ζει η επιχεί ρη ση στο ί δ ιο δ ιάγραµ µ α. Ο καµ πύ λες ί σου προϊ όν τος µ ας δ ί ν ου ν του ς τεχν ολογικού ς περιορισµ ού ς ( όλου ς του ς συ ν δ υ ασµ ού ς των x και x που µ πορού ν ν α παράγου ν τη ν ποσότη τα y ). Έ στω ότι θ έ λου µ ε ν α χαράξ ου µ ε τη ν καµ πύ λη όλων των συ ν δ υ ασµ ώ ν εισροώ ν που έ χου ν που έ χου ν έ ν α δ εδ οµ έ ν ο ύ ψ ος κόστου ς C. Α υ τό γράφεται ως εξ ής : x, x x w + x w c από το οποί ο έ χου µ ε : ι x c w x w w. Π ρόκειται για µ ια ευ θ εί α γραµ µ ή κλί ση ς w w c w και ση µ εί ο τοµ ής µ ε τον κατακόρυ φο άξ ον α το. Α ν αφήσου µ ε το c ν α µ εταβ άλλεται έ χου µ ε µ ια οικογέ ν εια. Κ άθ ε ση µ εί ο µ ιας καµ πύ λη ς ί σου προϊ όν τος έ χει το ί δ ιο κόστος c και οι υ ψ η λότερες γραµ µ έ ς ί σου κόστου ς συ ν δ έ ον ται µ ε υ ψ η λότερα κόστη. Α ν αζη τού µ ε λοιπόν το ση µ εί ο εκεί ν ο τη ς καµ πύ λη ς ί σου προϊ όν τος που συ ν δ έ εται µ ε τη ν χαµ η λότερη δ υ ν ατή γραµ µ ή ί σου κόστου ς. Έ ν α τέ τοιο ση µ εί ο απεικον ί ζεται στο σχήµ α..
"!#$?""&'*'@A3B+!*,>CD/!*,3 C "+ E < F GHJI"G %&'"() *+!*,-"!).0/"!*,3 465 78 9;:<> Σ χ ή µ α. : Ε λ α χ ι σ τ ο π ο ί η σ η τ ο υ κ ό σ τ ο υ ς. Η ε π ι λ ο γ ή τ ω ν σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν π ο υ ε λ α χ ι σ τ ο π ο ι ο ύ ν τ ο κ ό σ τ ο ς π α ρ α γ ω γ ή ς µ π ο ρ ε ί ν α π ρ ο σ δ ι ο ρ ι σ τ ε ί µ έ σ ω τ ο υ σ η µ ε ί ο υ τ η ς κ α µ π ύ λ η ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς π ο υ α ν ή κ ε ι σ τ η χ α µ η λ ό τ ε ρ η κ α µ π ύ λ η ί σ ο υ κ ό σ τ ο υ ς. Η κ λ ί σ η τ η ς κ α µ π ύ λ η ς ί σ ο υ π ρ ο ϊ ό ν τ ο ς π ρ έ π ε ι ν α ε ί ν α ι ί σ η µ ε τ η ν κ λ ί σ η τ η ς κ α µ π ύ λ η ς ί σ ο υ κ ό σ τ ο υ ς. η λ α δ ή, ο Τ ε χ ν ι κ ό ς Λ ό γ ο ς Υ π ο κ α τ ά σ τ α σ η ς ( RTS ) π ρ έ π ε ι ν α ε ί ν α ι ί σ ο ς µ ε τ ο ν λ ό γ ο τ ω ν τ ι µ ώ ν τ ω ν σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν : MP MP * * ( x, x ) * * ( x, x ) * * ( x x ) RTS, w w. Θ ε ω ρ ο ύ µ ε κ ά π ο ι α µ ε τ α β ο λ ή τ ο υ τ ρ ό π ο υ π α ρ α γ ω γ ή ς ( x ) τ έ τ ο ι α µ ε τ α β ο λ ή π ρ έ π ε ι ν α ι κ α ν ο π ο ι ε ί τ η ν σ χ έ σ η :, x π ο υ δ ι α τ η ρ ε ί σ τ α θ ε ρ ό τ ο π ρ ο ϊ ό ν. Μ ι α MP * * * * ( x x ) x + MP ( x, x ) x 0,.3 Τ α x, x π ρ έ π ε ι ν α έ χ ο υ ν α ν τ ί θ ε τ α π ρ ό σ η µ α. Α ν α υ ξ ή σ ο υ µ ε τ η ν χ ρ η σ ι µ ο π ο ι ο ύ µ ε ν η π ο σ ό τ η τ α τ ο υ σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή θ α π ρ έ π ε ι ν α µ ε ι ώ σ ο υ µ ε ε κ ε ί ν η τ ο υ σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή, π ρ ο κ ε ι µ έ ν ο υ ν α δ ι α τ η ρ η θ ε ί σ τ α θ ε ρ ό τ ο