2ο Μάθημα Πιθανότητες
|
|
|
- Δαρείος Πολίτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 2ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 1 / 48
2 Άδειες Χρη σης Το παρο ν εκπαιδευτικο υλικο υπο κειται σε α δειες χρη σης Creative Commons. Για εκπαιδευτικο υλικο, ο πως εικο νες, που υπο κειται σε α λλου τυ που α δεια χρη σης, η α δεια χρη σης αναφε ρεται ρητω ς. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 2 / 48
3 Χρηματοδο τηση Το παρο ν εκπαιδευτικο υλικο ε χει αναπτυχθει στα πλαι σια του εκπαιδευτικου ε ργου του διδα σκοντα. Το ε ργο Ανοικτα Ακαδημαι κα Μαθη ματα για το Πανεπιστη μιο Πατρω ν ε χει χρηματοδοτη σει μο νο την αναδιαμο ρφωση του εκπαιδευτικου υλικου. Το ε ργο υλοποιει ται στα πλαι σια του επιχειρισιακου προγρα μματος Εκπαι δευση και Δια Βι ου Μα θηση και συγχρηματοδοτει ται απο την Ευρωπαι κη Ένωση (Ευρωπαι κο Κοινοτικο Ταμειο) και απο εθνικου ς πο ρους. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 3 / 48
4 Περιεχο μενα 2ης Δια λεξης 1 Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος 2 Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Κανο νας Γινομε νου Κανο νας Αθροι σματος Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου 3 Διατα ξεις - Συνδυασμοι 4 Παραδει γματα 5 Διωνυμικοι Συντελεστε ς 6 Παραδει γματα υπολογισμου πιθανοτη των Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 4 / 48
5 1 Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος 2 Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Κανο νας Γινομε νου Κανο νας Αθροι σματος Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου 3 Διατα ξεις - Συνδυασμοι 4 Παραδει γματα 5 Διωνυμικοι Συντελεστε ς 6 Παραδει γματα υπολογισμου πιθανοτη των Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 5 / 48
6 Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος Δειγματοχώρος Ω: συ νολο ο λων των αποτελεσμα των ενο ς πειρα ματος τυ χης. Ει δη δειγματοχω ρων: διακριτοι πεπερασμε νοι αριθμη σιμα α πειροι συνεχει ς Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 6 / 48
7 Συ νοψη Προηγου μενου Μαθη ματος Γεγονός: υποσυ νολο του δειγματοχω ρου, συ νολο αποτελεσμα των ενο ς πειρα ματος τυ χης. Πραγματοποίηση γεγονότος: ο ταν το πει ραμα οδηγει σε αποτε λεσμα (απλο γεγονο ς) που περιε χεται στο γεγονο ς. ΓΕΓΟΝΟΤΑ ΣΥΝΟΛΑ Γνωστε ς πρα ξεις συνο λων: Συμπλη ρωμα : δε συμβαι νει το γεγονο ς Α Τομη : Ένωση : και τα δυ ο γεγονο τα συμβαι νουν τουλα χιστον ε να γεγονο ς συμβαι νει Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 7 / 48
8 Συ νοψη Προηγου μενου Μαθη ματος Ορισμο ς Πιθανο τητα = συνολοσυνα ρτηση: υποσυ νολα του Ω πραγματικου ς αριθμου ς, δηλαδη γεγονο τα πιθανο τητες Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 8 / 48
9 Συ νοψη Προηγου μενου Μαθη ματος Ορισμο ς Πιθανο τητα = συνολοσυνα ρτηση: υποσυ νολα του Ω πραγματικου ς αριθμου ς, δηλαδη γεγονο τα πιθανο τητες Αξιω ματα 1 Αξίωμα : P(A) 0 2 Αξίωμα : P(Ω)= 1 3 Αξίωμα : Α Β = P(Α Β) = P(A) + P(B) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 8 / 48
10 Συ νοψη Προηγου μενου Μαθη ματος Ορισμο ς Πιθανο τητα = συνολοσυνα ρτηση: υποσυ νολα του Ω πραγματικου ς αριθμου ς, δηλαδη γεγονο τα πιθανο τητες Αξιω ματα 1 Αξίωμα : P(A) 0 2 Αξίωμα : P(Ω)= 1 3 Αξίωμα : Α Β = P(Α Β) = P(A) + P(B) Σημαντικο Θεω ρημα P( i A i ) i P{A i } (ανισο τητα Boole) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 8 / 48
11 2ο Μα θημα Πιθανο τητες Πιθανο τητα και Απαρι θμηση (σημει ωση: οι με θοδοι απαρι θμησης διδα σκονται αναλυτικα στο μα θημα Διακριτα Μαθηματικα Ι, εδω γι νεται συνοπτικη υπενθυ μιση βασικω ν εννοιω ν και χρη ση κατα τον υπολογισμο πιθανοτη των) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 9 / 48
12 1 Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος 2 Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Κανο νας Γινομε νου Κανο νας Αθροι σματος Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου 3 Διατα ξεις - Συνδυασμοι 4 Παραδει γματα 5 Διωνυμικοι Συντελεστε ς 6 Παραδει γματα υπολογισμου πιθανοτη των Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 10 / 48
13 1. Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Έστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπι θανα = k : {ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 11 / 48
14 1. Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Έστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπι θανα = k : {ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Ρ{ i } = 1 n, i Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 11 / 48
15 1. Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Έστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπι θανα = k : {ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Ρ{ i } = 1 n, i P{A} = i k i=i 1 Ρ{ ω i } = k 1 n = k n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 11 / 48
16 2. Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση σε ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ αρκου ν τα n (ο λες οι περιπτω σεις), k (ευνοι κε ς περιπτω σεις) ολο κληρος κλα δος διακριτω ν μαθηματικω ν: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ στο μα θημα: 3 βασικε ς αρχε ς απαρι θμησης: multiplication principle (κανο νας γινομε νου) addition principle (κανο νας αθροι σματος) inclusion-exclusion principle (αρχη εγκλεισμου -αποκλεισμου ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 12 / 48
17 2. α. Κανο νας Γινομε νου Γεγονο ς Α: με m τρο πους Γεγονο ς Β: με n τρο πους } και τα δυ ο (τομη Α Β): με m n τρο πους Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 13 / 48
18 2. β. Κανο νας Αθροι σματος Γεγονο ς Α: με m τρο πους Γεγονο ς Β: με n τρο πους } κα ποιο (ε νωση Α Β): με m+n τρο πους Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 14 / 48
19 Συ νθετο Παρα δειγμα Vandermonde s convolution: ( )( ) m l k n k Απο δειξη (συνδυαστικη ): k m + l α νθρωποι Διαλε γω n ανθρω πους ( ) m + l = n m α νδρες l γυναι κες Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 15 / 48
20 Συ νθετο Παρα δειγμα Vandermonde s convolution: ( )( ) m l k n k k ( ) m + l = n Απο δειξη (συνδυαστικη ): m α νδρες m + l α νθρωποι l γυναι κες ( ) m + l Διαλε γω n ανθρω πους τρο ποι n (0 α νδρες n γυναι κες) (1 α νδρες (n-1) γυναι κες)... Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 15 / 48
21 Συ νθετο Παρα δειγμα Vandermonde s convolution: ( )( ) m l k n k k ( ) m + l = n Απο δειξη (συνδυαστικη ): m α νδρες m + l α νθρωποι l γυναι κες ( ) m + l Διαλε γω n ανθρω πους τρο ποι n (0 α νδρες n γυναι κες) (1 α νδρες (n-1) γυναι κες)... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m l m l m l n 1 n 1 2 n 2 = ( )( ) m l k n k k Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 15 / 48
22 2. γ. Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου #(A 1... A n ) = #(A 1 ) + #(A 2 ) #(A n ) #(A 1 A 2 )... #(A n 1 A n ) ( 1) n 1 #(A 1 A 2 A n ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 16 / 48
23 1 Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος 2 Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Κανο νας Γινομε νου Κανο νας Αθροι σματος Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου 3 Διατα ξεις - Συνδυασμοι 4 Παραδει γματα 5 Διωνυμικοι Συντελεστε ς 6 Παραδει γματα υπολογισμου πιθανοτη των Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 17 / 48
24 3. Διατα ξεις - Συνδυασμοι Με βα ση τις αρχε ς απαρι θμησης μπορου με να υπολογι ζουμε διατα ξεις - συνδυασμου ς. Απο n αντικει μενα παι ρνω k. Δια φορα κριτη ρια: Με ενδιαφε ρει η σειρα δια ταξη (arrangement) Δεν με ενδιαφε ρει η σειρα συνδυασμο ς (combination) διακεκριμε να αντικει μενα ο χι διακεκριμε να Χωρι ς επαναλη ψεις Με επαναλη ψεις Χρη σιμος συμβολισμο ς: n k = n(n 1)...(n k + 1) = ο που n k ει ναι η κ-οστη παραγοντικη ροπη. n! (n k)! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 18 / 48
25 3. α. Διατα ξεις Χωρι ς επανα ληψη n k Απο δειξη: Με επανα ληψη n k 1ο n 2ο n k- οστο n - k + 1 Όλων (μεταθε σεις, permutations) n! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 19 / 48
26 3. α. Διατα ξεις x 1 ο μοια, x k ο μοια x x k = n n! διατα ξεις ο λων x 1!...x k! Απο δειξη: Έστω y ο αριθμο ς των διατα ξεων Αν τα x 1 ο μοια διαταχθου ν ως διακεκριμε να y x 1! κ.ο.κ. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 20 / 48
27 3. α. Διατα ξεις x 1 ο μοια, x k ο μοια x x k = n n! διατα ξεις ο λων x 1!...x k! Απο δειξη: Έστω y ο αριθμο ς των διατα ξεων Αν τα x 1 ο μοια διαταχθου ν ως διακεκριμε να y x 1! κ.ο.κ. yx 1!...x k! = n! y = n! x 1!...x k! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 20 / 48
28 3. β. Διαταρα ξεις Διαταράξεις: κανε να στην αρχικη θε ση της δια ταξης. # = #ο λες - #(1ο στην ι δια θε ση... n -οστο στην ι δια θε ση) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 21 / 48
29 3. β. Διαταρα ξεις Διαταράξεις: κανε να στην αρχικη θε ση της δια ταξης. # = #ο λες - #(1ο στην( ι δια ) θε ση... n -οστο στην( ι δια ) θε ση) n n = n! n (n 1)! + (n 2)! ( 1) n (n n)! 2 n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 21 / 48
30 3. β. Διαταρα ξεις Διαταράξεις: κανε να στην αρχικη θε ση της δια ταξης. # = #ο λες - #(1ο στην( ι δια ) θε ση... n -οστο στην( ι δια ) θε ση) n n = n! n (n 1)! + (n 2)! ( 1) n (n n)! [ 2 n = n! 1 1 1! + 1 2!... + ( 1)n 1 ] n! e 1 n! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 21 / 48
31 3. γ. Συνδυασμοι Συνδυασμοί (χωρι ς επανα ληψη) ( ) n = nk k k! = n! k!(n k)! ( ) n + k 1 με επανα ληψη k Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 48
32 1 Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος 2 Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Κανο νας Γινομε νου Κανο νας Αθροι σματος Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου 3 Διατα ξεις - Συνδυασμοι 4 Παραδει γματα 5 Διωνυμικοι Συντελεστε ς 6 Παραδει γματα υπολογισμου πιθανοτη των Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 48
33 4.1. Παρα δειγμα 1 Παρα δειγμα 1 Τυχαι α χωρι ς επανα θεση διαλε γουμε 5 αριθμου ς απο το {1, 2,..., 20}. Ποια η πιθανο τητα α) ο μικρο τερος να ει ναι ο 6 και ο μεγαλυ τερος το 13, β) ο τρι τος κατα σειρα μεγε θους να ει ναι ο 9. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 48
34 4.1. Παρα δειγμα 1 Παρα δειγμα 1 Τυχαι α χωρι ς επανα θεση διαλε γουμε 5 αριθμου ς απο το {1, 2,..., 20}. Ποια η πιθανο τητα α) ο μικρο τερος να ει ναι ο 6 και ο μεγαλυ τερος το 13, β) ο τρι τος κατα σειρα μεγε θους να ει ναι ο 9. Λυ ση: #ο λοι οι τρο ποι επιλογη ς 5 αριθμω ν = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 48
35 4.1. Παρα δειγμα 1 Παρα δειγμα 1 Τυχαι α χωρι ς επανα θεση διαλε γουμε 5 αριθμου ς απο το {1, 2,..., 20}. Ποια η πιθανο τητα α) ο μικρο τερος να ει ναι ο 6 και ο μεγαλυ τερος το 13, β) ο τρι τος κατα σειρα μεγε θους να ει ναι ο 9. ( ) 20 Λυ ση: #ο λοι οι τρο ποι επιλογη ς 5 αριθμω ν = 5 α) ευνοι κοι Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 48
36 4.1. Παρα δειγμα 1 Παρα δειγμα 1 Τυχαι α χωρι ς επανα θεση διαλε γουμε 5 αριθμου ς απο το {1, 2,..., 20}. Ποια η πιθανο τητα α) ο μικρο τερος να ει ναι ο 6 και ο μεγαλυ τερος το 13, β) ο τρι τος κατα σειρα μεγε θους να ει ναι ο 9. ( ) 20 Λυ ση: #ο λοι οι τρο ποι επιλογη ς 5 αριθμω ν = 5 α) ευνοι κοι # ευνοι κοι : Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 48
37 4.1. Παρα δειγμα 1 Παρα δειγμα 1 Τυχαι α χωρι ς επανα θεση διαλε γουμε 5 αριθμου ς απο το {1, 2,..., 20}. Ποια η πιθανο τητα α) ο μικρο τερος να ει ναι ο 6 και ο μεγαλυ τερος το 13, β) ο τρι τος κατα σειρα μεγε θους να ει ναι ο 9. ( ) 20 Λυ ση: #ο λοι οι τρο ποι επιλογη ς 5 αριθμω ν = 5 α) ευνοι κοι ( ) 6 # ευνοι κοι : ( 6 3) P = ( 20 ) 5 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 48
38 4.1. Παρα δειγμα 1 Συνε χεια β) ευνοι κοι α 1..α α 4..α 5. Με α 3 = 9, ο τρι τος αριθμο ς κατα σειρα μεγε θους ει ναι ο 9 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 48
39 4.1. Παρα δειγμα 1 Συνε χεια β) ευνοι κοι α 1..α α 4..α 5. Με α 3 = 9, ο τρι τος αριθμο ς κατα σειρα μεγε θους ει ναι ο 9 ( ) ( ) P = ( 8 ) ( 2 11 ) 2 ( 20 ) 5 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 48
40 4.2. Παρα δειγμα 2 Παρα δειγμα 2 Ποια η πιθανο τητα απο 9 α τομα, 2 να γεννη θηκαν Δευτε ρα και 3 Τετα ρτη; Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 48
41 4.2. Παρα δειγμα 2 Παρα δειγμα 2 Ποια η πιθανο τητα απο 9 α τομα, 2 να γεννη θηκαν Δευτε ρα και 3 Τετα ρτη; Λυση : # ο λοι οι πιθανοι τρο ποι = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 48
42 4.2. Παρα δειγμα 2 Παρα δειγμα 2 Ποια η πιθανο τητα απο 9 α τομα, 2 να γεννη θηκαν Δευτε ρα και 3 Τετα ρτη; Λυση : # ο λοι οι πιθανοι τρο ποι = 7 9 ευνοι κοι : (ποια 2 γενν. Δ.) (ποια 3 γενν. Τ.) (υπο λοιπα) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 48
43 4.2. Παρα δειγμα 2 Παρα δειγμα 2 Ποια η πιθανο τητα απο 9 α τομα, 2 να γεννη θηκαν Δευτε ρα και 3 Τετα ρτη; Λυση : # ο λοι οι πιθανοι τρο ποι = 7 9 ευνοι κοι : (ποια 2 γενν. Δ.) (ποια 3 γενν. Τ.) (υπο λοιπα) P() = ( 9 ) ( 2 7 ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 48
44 4.3. Παρα δειγμα 3 Παρα δειγμα 3 Τοποθετου με τυχαι α στη σειρα τα α, α, α, α, β, β. Ποια η πιθανο τητα να ε χουμε 2 εναλλαγε ς; Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 48
45 4.3. Παρα δειγμα 3 Παρα δειγμα 3 Τοποθετου με τυχαι α στη σειρα τα α, α, α, α, β, β. Ποια η πιθανο τητα να ε χουμε 2 εναλλαγε ς; Λυ ση: # ο λοι = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 48
46 4.3. Παρα δειγμα 3 Παρα δειγμα 3 Τοποθετου με τυχαι α στη σειρα τα α, α, α, α, β, β. Ποια η πιθανο τητα να ε χουμε 2 εναλλαγε ς; Λυ ση: # ο λοι = 6! 4! 2! ευνοι κοι : Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 48
47 4.3. Παρα δειγμα 3 Παρα δειγμα 3 Τοποθετου με τυχαι α στη σειρα τα α, α, α, α, β, β. Ποια η πιθανο τητα να ε χουμε 2 εναλλαγε ς; Λυ ση: # ο λοι = 6! 4! 2! ευνοι κοι : 1 Τα β πρε πει να ει ναι συνεχο μενα στη με ση δηλ. (αββααα η ααββαα η αααββα) ει τε Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 48
48 4.3. Παρα δειγμα 3 Παρα δειγμα 3 Τοποθετου με τυχαι α στη σειρα τα α, α, α, α, β, β. Ποια η πιθανο τητα να ε χουμε 2 εναλλαγε ς; Λυ ση: # ο λοι = 6! 4! 2! ευνοι κοι : 1 Τα β πρε πει να ει ναι συνεχο μενα στη με ση δηλ. (αββααα η ααββαα η αααββα) ει τε 2 Τα β ει ναι στα α κρα δηλ. (βααααβ) P = 4 6! 4! 2! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 48
49 4.4. Παρα δειγμα 4 Παρα δειγμα 4 Αφηρημε νη γραμματε ας (Τοποθετει n γρα μματα σε n φακε λους. Κανε να γρα μμα στο σωστο φα κελο) Ρ{κανε να σωστο } = D n n! = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 48
50 4.4. Παρα δειγμα 4 Παρα δειγμα 4 Αφηρημε νη γραμματε ας (Τοποθετει n γρα μματα σε n φακε λους. Κανε να γρα μμα στο σωστο φα κελο) Ρ{κανε να σωστο } = D n n! = n! e 1 n! = 1 e Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 48
51 1 Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος 2 Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Κανο νας Γινομε νου Κανο νας Αθροι σματος Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου 3 Διατα ξεις - Συνδυασμοι 4 Παραδει γματα 5 Διωνυμικοι Συντελεστε ς 6 Παραδει γματα υπολογισμου πιθανοτη των Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 29 / 48
52 5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς (x + y) n = ( ) n x k y n k k k Συνδυαστικη απο δειξη Όνομα Βασικές ταυτότητες: ( ) ( ) ( ) n n n α) = 2 n 0 1 n k ( ) n = 2 n k Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 48
53 5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς (x + y) n = ( ) n x k y n k k k Συνδυαστικη απο δειξη Όνομα Βασικές ταυτότητες: ( ) ( ) ( ) n n n α) = 2 n 0 1 n k ( ) n = 2 n k (1 + 1) n Αριθμο ς υποσυνο λων ενο ς συνο λου Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 48
54 5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς (x + y) n = ( ) n x k y n k k k Συνδυαστικη απο δειξη Όνομα Βασικές ταυτότητες: ( ) ( ) ( ) n n n α) = 2 n 0 1 n k ( ) n = 2 n k (1 + 1) n Αριθμο ς υποσυνο λων ενο ς συνο λου Αριθμο ς στοιχει ων 1ο με λος Κα θε στοιχει ο: μπαι νει η ο χι Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 48
55 5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς β) Ο αριθμο ς των υποσυνο λων ενο ς συνο λου με α ρτιο πληθικο αριθμο ισου ται με τον αριθμο των υποσυνο λων με περιττο. ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n Δηλαδη = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 48
56 5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς β) Ο αριθμο ς των υποσυνο λων ενο ς συνο λου με α ρτιο πληθικο αριθμο ισου ται με τον αριθμο των υποσυνο λων με περιττο. ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n Δηλαδη = ( ) n 0 ( ) n + 1 ( ) ( ) n n... + ( 1) n = 0 2 n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 48
57 5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς β) Ο αριθμο ς των υποσυνο λων ενο ς συνο λου με α ρτιο πληθικο αριθμο ισου ται με τον αριθμο των υποσυνο λων με περιττο. ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n Δηλαδη = ( ) n 0 ( ) n + 1 ( ) ( ) n n... + ( 1) n = 0 2 n ( 1 + 1) n = 0 που ισχυ ει. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 48
58 5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς γ) Προσε γγιση Stirling: n! ( n ) n n! 2πn δηλαδη lim ( e n 2πn n ) n = 1 e Όταν το n Το απο λυτο σφα λμα Το σχετικο σφα λμα 0 Καλη προσε γγιση ακο μα και για μικρα n π.χ. n = 5 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 48
59 5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς δ) Να δει ξετε ο τι ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n 2 = n ( ) n 2 = n ( ) 2n n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 33 / 48
60 5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς δ) Να δει ξετε ο τι ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n 0 ( ) n + n ( ) n ( ) n 2 = n ( ) ( ) n n n 1 ( ) n 2 = n ( ) n n ( ) 2n n ( ) n = 0 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 33 / 48
61 5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς δ) Να δει ξετε ο τι ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n 0 ( ) n + n ( ) n ( ) n 2 = n ( ) ( ) n n n 1 ( ) n 2 = n ( ) n n ( ) 2n n ( ) n = 0 = k ( ) ( ) n n = k n k ( ) 2n n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 33 / 48
62 1 Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος 2 Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Κανο νας Γινομε νου Κανο νας Αθροι σματος Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου 3 Διατα ξεις - Συνδυασμοι 4 Παραδει γματα 5 Διωνυμικοι Συντελεστε ς 6 Παραδει γματα υπολογισμου πιθανοτη των Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 48
63 Παρα δειγμα 1 Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 35 / 48
64 Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: Βα ζω τις ελαττωματικε ς: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 36 / 48
65 Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: Βα ζω τις ελαττωματικε ς: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμι ζω τις θε σεις ανα μεσα τους με μι α λειτουργικη : Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 36 / 48
66 Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: Βα ζω τις ελαττωματικε ς: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμι ζω τις θε σεις ανα μεσα τους με μι α λειτουργικη : Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Με νουν n - m - ( m - 1) = n - 2m + 1 Λ Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 36 / 48
67 Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: Βα ζω τις ελαττωματικε ς: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμι ζω τις θε σεις ανα μεσα τους με μι α λειτουργικη : Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Με νουν n - m - ( m - 1) = n - 2m + 1 Λ Αυτε ς μπαι νουν σε m + 1 θε σεις, με επανα ληψη Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 36 / 48
68 Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος (Συνε χεια) Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: (Συνε χεια) Αυτο ισοδυναμει με επιλογη απο x = m + 1 διακριτα αντικει μενα y = n - 2m - 1 αντικειμε νων με επανα ληψη Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 48
69 Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος (Συνε χεια) Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: (Συνε χεια) Αυτο ισοδυναμει με επιλογη απο x = m + 1 διακριτα αντικει μενα y = ( n - 2m - 1 αντικειμε νων ) με επανα ληψη x + y 1 = y Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 48
70 Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος (Συνε χεια) Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: (Συνε χεια) Αυτο ισοδυναμει με επιλογη απο x = m + 1 διακριτα αντικει μενα y = ( n - 2m - 1 αντικειμε νων ) ( με επανα ληψη ) x + y 1 m n 2m = = y n 2m + 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 48
71 Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος (Συνε χεια) Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: (Συνε χεια) Αυτο ισοδυναμει με επιλογη απο x = m + 1 διακριτα αντικει μενα y = ( n - 2m - 1 αντικειμε νων ) ( με επανα ληψη ) x + y 1 m n 2m = = ( y ) ( n 2m ) + 1 n m + 1 n m + 1 = = n 2m + 1 m Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 48
72 Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος (Συνε χεια) Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: (Συνε χεια) Αυτο ισοδυναμει με επιλογη απο x = m + 1 διακριτα αντικει μενα y = ( n - 2m - 1 αντικειμε νων ) ( με επανα ληψη ) x + y 1 m n 2m = = ( y ) ( n 2m ) + 1 n m + 1 n m + 1 = = n 2m + 1 m ) Pr { ο χι 2 Ε συνεχο μενα} = ( n m+1 m n! m!(n m)! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 48
73 Παρα δειγμα 1 - Β Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Β τρο πος: Βα ζω τις Λειτουργικε ς: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 38 / 48
74 Παρα δειγμα 1 - Β Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Β τρο πος: Βα ζω τις Λειτουργικε ς: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρε πει σε κα θε μι α απο τις n - m + 1 θε σεις που ορι ζουν να μπει 1 το πολυ ελαττωματικη. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 38 / 48
75 Παρα δειγμα 1 - Β Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Β τρο πος: Βα ζω τις Λειτουργικε ς: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρε πει σε κα θε μι α απο τις n - m + 1 θε σεις που ορι ζουν να μπει 1 το πολυ ελαττωματικη. Επιλογη m απο n - m + 1 διακεκριμε νων αντικειμε νων. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 38 / 48
76 Παρα δειγμα 1 - Β Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Β τρο πος: Βα ζω τις Λειτουργικε ς: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρε πει σε κα θε μι α απο τις n - m + 1 θε σεις που ορι ζουν να μπει 1 το πολυ ελαττωματικη. Επιλογη m απο n - m + 1 διακεκριμε νων αντικειμε νων. ( ) n m + 1 m Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 38 / 48
77 Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48
78 Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48
79 Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48
80 Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48
81 Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48
82 Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Pr = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48
83 Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48
84 Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρο πος: Pr { 14ο φυ λλο = 1 14ο φυ λλο = 2... } = 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48
85 Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρο πος: Pr { 14ο φυ λλο = 1 14ο φυ λλο = 2... } = 1 Λο γω συμμετρι ας Pr { 14ο φυ λλο = 1 } = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48
86 Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρο πος: Pr { 14ο φυ λλο = 1 14ο φυ λλο = 2... } = 1 Λο γω συμμετρι ας Pr { 14ο φυ λλο = 1 } = 1 13 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48
87 Παρα δειγμα 2 - Συνε χεια Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 48
88 Παρα δειγμα 2 - Συνε χεια Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: β) (Θε σεις) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 48
89 Παρα δειγμα 2 - Συνε χεια Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: β) (Θε σεις) (Τρο ποι) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 48
90 Παρα δειγμα 2 - Συνε χεια Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: β) (Θε σεις) (Τρο ποι) Pr = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 48
91 Παρα δειγμα 2 - Συνε χεια Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: β) (Θε σεις) (Τρο ποι) Pr = ! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 48
92 Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48
93 Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48
94 Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν Pr = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48
95 Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48
96 Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48
97 Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη # ο λοι : Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48
98 Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη # ο λοι : # ευνοι κοι : Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48
99 Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη # ο λοι : Λ Μ Μ : # ευνοι κοι : Μ Λ Μ : Μ Μ Λ : Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48
100 Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη # ο λοι : Λ Μ Μ : # ευνοι κοι : Μ Λ Μ : Μ Μ Λ : Pr = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48
101 Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη # ο λοι : Λ Μ Μ : # ευνοι κοι : Μ Λ Μ : Μ Μ Λ : Pr = = 4 11 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48
102 Παρα δειγμα 4 Απο δοχει ο που περιε χει n μπα λες εκ των οποι ων μο νο μι α ει ναι κο κκινη τραβα με τυχαι α k μπα λες, τη μι α μετα την α λλη. Ποια η πιθανο τητα να επιλε ξουμε την κο κκινη? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 48
103 Παρα δειγμα 4 Απο δοχει ο που περιε χει n μπα λες εκ των οποι ων μο νο μι α ει ναι κο κκινη τραβα με τυχαι α k μπα λες, τη μι α μετα την α λλη. Ποια η πιθανο τητα να επιλε ξουμε την κο κκινη? Α τρο πος: Pr = 1 (n 1 ) k 1 ) = k n ( n k Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 48
104 Παρα δειγμα 4 Απο δοχει ο που περιε χει n μπα λες εκ των οποι ων μο νο μι α ει ναι κο κκινη τραβα με τυχαι α k μπα λες, τη μι α μετα την α λλη. Ποια η πιθανο τητα να επιλε ξουμε την κο κκινη? Α τρο πος: Pr = 1 (n 1 ) k 1 ) = k n ( n k B τρο πος: Έστω A i = η i οστη απο τις k ει ναι κο κκινη Θε λουμε την Pr { k i=1 A i} η οποι α ει ναι k i=1 Pr{A i} Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 48
105 Παρα δειγμα 4 Απο δοχει ο που περιε χει n μπα λες εκ των οποι ων μο νο μι α ει ναι κο κκινη τραβα με τυχαι α k μπα λες, τη μι α μετα την α λλη. Ποια η πιθανο τητα να επιλε ξουμε την κο κκινη? Α τρο πος: Pr = 1 (n 1 ) k 1 ) = k n ( n k B τρο πος: Έστω A i = η i οστη απο τις k ει ναι κο κκινη Θε λουμε την Pr { k i=1 A i} η οποι α ει ναι k i=1 Pr{A i} (n 1)(n 2)...(n i + 1) Pr{A i } = = 1 k n(n 1)...(n i + 1) n Pr{ A i } = k n i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 48
106 Παρα δειγμα 4 Απο δοχει ο που περιε χει n μπα λες εκ των οποι ων μο νο μι α ει ναι κο κκινη τραβα με τυχαι α k μπα λες, τη μι α μετα την α λλη. Ποια η πιθανο τητα να επιλε ξουμε την κο κκινη? Α τρο πος: Pr = 1 (n 1 ) k 1 ) = k n ( n k B τρο πος: Έστω A i = η i οστη απο τις k ει ναι κο κκινη Θε λουμε την Pr { k i=1 A i} η οποι α ει ναι k i=1 Pr{A i} (n 1)(n 2)...(n i + 1) Pr{A i } = = 1 k n(n 1)...(n i + 1) n Pr{ A i } = k n Άλλος τρο πος: Λο γω συμμετρι ας ει ναι: 1 = Pr { n i=1 A i} = n i=1 Pr{A i} = n Pr{A i } Pr{A i } = 1 n Άρα για τις k που τρα βηξα: Pr { k i=1 A i} = k n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 48 i=1
107 Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων και μαυ ρων. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48
108 Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων και μαυ ρων. Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48
109 Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων και μαυ ρων. Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις = ( 2n 2 ) + ( 2n 4 ) ( ) 2n = 2n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48
110 Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων( και) μαυ ( ρων. ) ( ) 2n 2n 2n Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις = = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n = # α ρτιων υποσυνο λων - 1 = 0 2 2n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48
111 Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων( και) μαυ ( ρων. ) ( ) 2n 2n 2n Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις = = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n = # α ρτιων υποσυνο λων - 1 = 0 2 2n = πλη θος υποσυνο λων 2-1 = 22n 2-1 = 22n 1-1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48
112 Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων( και) μαυ ( ρων. ) ( ) 2n 2n 2n Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις = = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n = # α ρτιων υποσυνο λων - 1 = 0 2 2n = πλη θος υποσυνο λων 2-1 = 22n ) ) ευνοι κε ς: ( n 1 ( n = 22n 1-1 ( ) ( ) n n ( ) n n ( ) n = n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48
113 Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων( και) μαυ ( ρων. ) ( ) 2n 2n 2n Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις = = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n = # α ρτιων υποσυνο λων - 1 = 0 2 2n πλη θος υποσυνο λων = 2-1 = 22n 2-1 = 22n 1-1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n ευνοι κε ς: = k ( n k 1 ) ( n n k 1 ) 2 ) ( n 0 2 ) = ( n 0 ( 2n n ( ) ( ) n n = n n ) 1 (Vandermonde) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48
114 Παρα δειγμα 5 - Συνε χεια Αλλα ( ) 2n n P(A) = ( 2n ) n 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 44 / 48
115 Παρα δειγμα 5 - Συνε χεια P(A) = ( 2n ) n 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 Αλλα ( ) 2n = (2n)! n (n)! (n)! ( 2π2n 2n ) 2n e ( ( 2πn n ) n ) 2 = 22n πn e P(A) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 44 / 48
116 Παρα δειγμα 5 - Συνε χεια P(A) = ( 2n ) n 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 Αλλα ( ) 2n = (2n)! n (n)! (n)! ( 2π2n 2n ) 2n e ( ( 2πn n ) n ) 2 = 22n πn e P(A) 2 2n πn 2 2n 1 = 2 πn Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 44 / 48
117 Παρα δειγμα 6 n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 45 / 48
118 Παρα δειγμα 6 n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Απο δειξη: Όλοι οι τρο ποι ει ναι n n Ευνοι κοι τρο ποι: α) ποιο κελι α δειο: n τρο ποι n μπα λες σε n - 1 κελια ω στε κανε να κελι α δειο β1) 1 κελι με 2 μπα λες β2) ο λα τα α λλα κελια ε χουν μι α μπα λα β1) Ποιο κελι ε χει 2 μπα λες : n - 1 τρο ποι Ποιε ς 2 συγκεκριμε νες μπα λες : ( ) n τρο ποι 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 45 / 48
119 Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια β2) Όλα τα α λλα κελια ε χουν απο μι α μπα λα n - 2 μπα λες σε n - 2 κελια 1η μπα λα: n - 2 τρο ποι 2η μπα λα: n - 3 τρο ποι... n - 2 μπα λα: 1 τρο πος (n - 2)! τρο ποι Απο α), β1) και β2) Pr { ακριβω ς ε να κελι α δειο} = P = ( n ) 2 n! = n n n (n 1) (n 2) (n 2)! n n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 46 / 48
120 Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48
121 Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : ( ) n τρο ποι 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48
122 Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Αφη νω ε να κελι α δειο. ( ) n τρο ποι 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48
123 Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Αφη νω ε να κελι α δειο. ( ) n τρο ποι 2 Βα ζω 1 μπα λα σε κα θε ε να απο τα n-2 υπο λοιπα κελια. Διατα σσω αυτα τα n κελια. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48
124 Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Αφη νω ε να κελι α δειο. ( ) n τρο ποι 2 Βα ζω 1 μπα λα σε κα θε ε να απο τα n-2 υπο λοιπα κελια. Διατα σσω αυτα τα n κελια. n! τρο ποι Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48
125 Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Αφη νω ε να κελι α δειο. ( ) n τρο ποι 2 Βα ζω 1 μπα λα σε κα θε ε να απο τα n-2 υπο λοιπα κελια. Διατα σσω αυτα τα n κελια. n! τρο ποι Άρα Pr { ακριβω ς ε να κελι α δειο} = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48
126 Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Αφη νω ε να κελι α δειο. ( ) n τρο ποι 2 Βα ζω 1 μπα λα σε κα θε ε να απο τα n-2 υπο λοιπα κελια. Διατα σσω αυτα τα n κελια. n! τρο ποι ( n ) 2 n! Άρα Pr { ακριβω ς ε να κελι α δειο} = n n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48
127 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 48 / 48
6ο Μάθημα Πιθανότητες
6ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα
Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω
Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα
Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0 Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα
Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 143 / 167 Hamiltonian γραφη ματα κύκλος Hamilton:
Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ
ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ
ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη
Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 23 / 47 Βαθμοι Κορυφω ν Βαθμός κορυφής: d G (v) =
Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 107 / 122 Δε νδρα Δένδρο: Ένα γρα φημα το οποι ο
Τι μπορεί να δει κάποιος στο μουσείο της Ι.Μ. Μεγάλου Μετεώρου
18/05/2019 Τι μπορεί να δει κάποιος στο μουσείο της Ι.Μ. Μεγάλου Μετεώρου / Ιερές Μονές Η μο νή του Με γά λου Με τε ώ ρου δι α μόρ φω σε μί α σει ρά α πό πε ρι κα λείς μου σεια κούς χώ ρους, για την α
Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 211 / 228 απεικόνιση γραφήματος στο επίπεδο (Embedding):
Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ.
σελ. 13 σελ. 17 σελ. 21 σελ. 49 σελ. 79 σελ. 185 σελ. 263 σελ. 323 σελ. 393 σελ. 453 σελ. 483 σελ. 509 σελ. 517 Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει
καλύψουν τα έξοδα µετάβασης-µετακίνησης στον τόπο άσκησης των καθηκόντων τούς.
καλύψουν τα έξοδα µετάβασης-µετακίνησης στον τόπο άσκησης των καθηκόντων τούς. Επιπλέον, σε συνεργασία µε το συναρµόδιο Υπουργείο Οικονοµικών Θα πρέπει να εξευρεθεί λύση στη διαδικασία ως προς την άµεση
α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε
Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε
The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 7: The Janson Inequality
The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 7: The Janson Inequality Sotiris Nikoletseas Associate Professor Computer Engineering and Informatics Department 2014-2015 Sotiris Nikoletseas,
Lecture 8: Random Walks
Randomized Algorithms Lecture 8: Random Walks Sotiris Nikoletseas Associate Professor CEID - ETY Course 2016-2017 Sotiris Nikoletseas, Associate Professor Randomized Algorithms - Lecture 8 1 / 33 Overview
1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17
10ο Μάθημα Πιθανότητες
10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 10ο Μάθημα
ΠΡΑΣΙΝΟ ΤΑΜΕΙΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟ ΓΡΑΦΕΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗ ΑΠΕ ΣΕ ΝΗΣΙΩΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
POWERPOINT 2011 ΡΥΘΜΙΣΤΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΧΩΡΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΕΩΝ ΑΙΟΛΙΚΩΝ ΠΑΡΚΩΝ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΤΟΠΙΟΥ ΣΕ ΝΗΣΙΑ ΤΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ Για την υποστη ριξη του ε ργου
Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων Α ντι κείμε νο του κε φα λαί ου εί ναι: Να κα τα νο ή σου με τα βα σι κά χαρα κτη ρι στι κά των α ριθ μη τι κών δεδο μέ νων (τά ση, δια σπο ρά, α συμ
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17
Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον. Ἕτερον. Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη.
Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Κυ ρι ε ε λε η σον Ἦχος Πα Α µην Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι ον Ἕτερον. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ υ ρι ι ον 1 ΙΩΑΝΝΟΥ Α. ΝΕΓΡΗ
Περιεχόμενα ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ
Περιεχόμενα ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 1 ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ: ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1.1 Επιχειρησιακε ς Λειτουργι ες και Παραγωγικο τητα 4 1.1.1 Διοι κηση Επιχειρησιακω ν Λειτουργιω
ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ
Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11
Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα
Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Ιο νιο Πανεπιστη μιο, Κε ρκυρα 17-5-2012 Παύλος Σταμπουλι δης, Με λος ΔΣ Hellenic Startup
Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ.
σελ. 13 σελ. 17 σελ. 21 σελ. 49 σελ. 79 σελ. 185 σελ. 263 σελ. 323 σελ. 393 σελ. 453 σελ. 483 σελ. 509 σελ. 517 Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει
Η ΑΜΟΤΟΕ προκηρυ σσει για το 2019, Πανελλη νιο Πρωτα θλημα Dragster αποτελου μενο απο 6 αγω νες, με το παρακα τω προ γραμμα:
Προκη ρυξη Πανελληνιόυ Πρωταθλη ματος Dragster 2019 Η ΑΜΟΤΟΕ προκηρυ σσει για το 2019, Πανελλη νιο Πρωτα θλημα Dragster αποτελου μενο απο 6 αγω νες, με το παρακα τω προ γραμμα: 1ος ΑΓΩΝΑΣ 13-14/04/2019
Πρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά
Πρώϊος Μιλτιάδης Αθαναηλίδης Γιάννης Ηθική στα Σπορ Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 1 ΗΘΙΚΗ ΣΤΑ ΣΠΟΡ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΗΘΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π.
Αποτελεσματικός Προπονητής
ÐÝñêïò Ι. ÓôÝ öá íïò & Χριστόπουλος Β. Γιάννης Αποτελεσματικός Προπονητής Ένας οδηγός για προπονητές όλων των ομαδικών αθλημάτων Θεσσαλονίκη 2011 Ðå ñéå ü ìå íá Ðñü ëï ãïò...6 Åé óá ãù ãþ...11 Êå öü ëáéï
των Κοι νω νι κών λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στις Νευ ρο ψυ χι α τρι κές κλι νι κές Α θη νών & περιχώρων Ot02R03
των Κοι νω νι κών λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στις Νευ ρο ψυ χι α τρι κές κλι νι κές Α θη νών & περιχώρων Ot02R03 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚOΙ ΝΩΩ ΝΙ ΚΩΩΝ
Η εταιρεία Kiefer. ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις. μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων. Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες
Η εταιρεία Kiefer ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες Πηγε ς Ενε ργειας στην Ελλα δα. Αναλαμβα νει ε ργα ως EPC
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Θέμα Α Στις ερωτη σεις Α1 Α4 να γρα ψετε στο τετρα διο σας τον αριθμο της ερω τησης και
Δ.Ε.Υ.Α. ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Σελίδα 1
ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΟΛΗ ΤΩΝ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ, ΠΕΡΙΟΧΗ ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΙΑ. Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΛΟΠΟΙΗΘΗΚΕ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΟΡΓΑΝΟΥ ΓΕΩΡΑΝΤΑΡ GSSI UTILITYSCAN DF. 28/7/17 ΙΩΑΝΝΙΝΑ Δ.Ε.Υ.Α. ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ
Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι
ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια
ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α Άρης Διαμαντόπουλος, Διδάκτορας Φιλοσοφίας - Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Α ξί α Οι κο γέ νειας Ό,τι εί ναι το κύτ τα ρο
ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ
Κεφάλαιο 2 ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Τι ει ναι ποιο τητα και γιατι ει ναι σημαντικη για κα θε επιχει ρηση; Τι ει ναι διοι κηση ολικη ς ποιο τητας;
ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο
Ἐκλογή ἀργοσύντοµος εἰς τὴν Ἁγίν Κυρικήν, κὶ εἰς ἑτέρς Γυνίκς Μάρτυρς. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Ἦχος Νη ε Κ ι δυ υ υ υ ν µι ις Α λ λη λου ου ου ι ι ι ι ο Θε ος η η µων κ τ φυ γη η κι δυ υ υ ν µις βο η θο
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΡΜΑΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ -ΕΚΠΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΡΜΑΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ -ΕΚΠΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Για την απο κτηση πτυχι ου, κα θε φοιτητη ς / φοιτη τρια οφει λει να συγγρα
Χαιρετισμοί. Περιεχόμενα Ενότητας
Χαιρετισμοί Περιεχόμενα Ενότητας Χαιρετισμός του Διευθυντή Μέσης Τεχνικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης, κ. Ηλία Μαρκάτζιη Χαιρετισμός από τον Πρόεδρο του Συνδέσμου Γονέων και Κηδεμόνων της Σχολής, κ.
Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να
. Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Ψυχο λό γος, Δι δά κτω ρ Φι λο σο φί ας χή, στο σώ μα και στο πνεύ μα, 84 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ
ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΜΕΙΟΔΟΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ
Λάρισα, 5/9/2018 Αρ. πρωτ.: 2223 ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΜΕΙΟΔΟΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Η Διοικουb σα Επιτροπηb του ΤΕΕ Τμηb ματος Κεντρικής & Δυτικής Θεσσαλίας, εbχοντας υπ οb ψιν τις διαταb ξεις του Π.Δ. 715/1979
ΧΑΙ ΡΕ ΤΙ ΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟ Ε ΔΡΟΥ ΤΗΣ Ο ΤΟ Ε
ÊËÁÄÉÊÅÓ ÓÕËËÏÃÉÊÅÓ ÓÕÌÂÁÓÅÉÓ ΧΑΙ ΡΕ ΤΙ ΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟ Ε ΔΡΟΥ ΤΗΣ Ο ΤΟ Ε σ. Σταύ ρου Κού κου. Κυ ρί ες και κύ ριοι, Συ να δέλ φισ σες και συ νά δελ φοι, Η σημερινή εκδήλωση του Ινστιτούτου Εργασίας της ΟΤΟΕ
Ευγενία Κατσιγιάννη* & Σπύρος Κρίβας**
ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 41-55 Ευγενία Κατσιγιάννη* & Σπύρος Κρίβας** Αντιλήψεις γονέων και δασκάλων απέναντι στην κοινωνική ένταξη των ατόμων
The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains
The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 8: Markov Chains Sotiris Nikoletseas Chistoforos Raptopoulos Computer Engineering and Informatics Department 205-206 Chistoforos Raptopoulos
Δομές Ελέγχου και Επανάληψης
Εργαστήριο 3 ο Δομές Ελέγχου και Επανάληψης Εισαγωγή Σκοπο ς του εργαστηρι ου αυτου ει ναι η εισαγωγη στην εκτε λεση εντολω ν υπο συνθη κη και στις δομές επανάληψης. Δομές Ελέγχου Η ικανότητα να μπορεί
ΕΛΕΓΚΤΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗ 2015
1.5 ΔΗΜΟΣ ΠΑΦΟΥ 1. Διαγωνισμο ς για την Ανα πλαση του Παραδοσιακου Εμπορικου Κε ντρου και της Πλατειάς Κε ννεντυ στην Πα φο. - Αρ. Διαγωνισμου 23/2015. Τον Σεπτε μβριο 2015, με επιστολη μας προς τον Δη
Η ΤΡΥ ΠΑ ΤΟΥ Ο ΖΟ ΝΤΟΣ
Η ΤΡΥ ΠΑ ΤΟΥ Ο ΖΟ ΝΤΟΣ ΚΕΙΜΕΝΟ: Α θα νά σιος Πα παν δρέ ου, Φαρ μα κο ποιός-το ξι κο λό γος- Ε πι στη μο νι κός συ νερ γά της του Ο φθαλ μο λο γι κού Ιν στι τού του Α θη νών Χρό νια τώ ρα, το κλα σι κό
ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΒΑΜΒΑΚΙ - ΚΛΩΣΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΜΒΑΚΙ Ε ΞΑ ΠΛΩ ΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΚΟ ΝΟ ΜΙ ΚΗ ΣΗ ΜΑ ΣΙΑ Γε νι κά
Περιεχόμενα ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΒΑΜΒΑΚΙ - ΚΛΩΣΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΜΒΑΚΙ... 19 1. Ε ΞΑ ΠΛΩ ΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΚΟ ΝΟ ΜΙ ΚΗ ΣΗ ΜΑ ΣΙΑ... 19 1.1. Γε νι κά... 19 1.2. Η καλ λιέρ γεια του βαμ βα κιού στην Ελ λά
Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής
Κωνσταντίνος Αλεξανδρής, PhD Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής β βελτιωμένη έκδοση ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική
Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 48 / 71 Μονοπα τια-κυ κλοι και Αποστα σεις Έστω ε
Κα λόν ύπ νο και όνειρ α γλυκά
Κα λόν ύπ νο και όνειρ α γλυκά Οδηγίες ανάγνωσης Προσοχή! Μη διαβάσετε ποτέ μεγαλόφωνα το βιβλίο αυτό σε κάποιον που οδηγεί αυτοκίνητο ή άλλο όχημα, διότι το παραμύθι έχει ως σκοπό να αποκοιμίσει αυτόν
Θ Ρ Η Σ Κ Ε Ι Α- Π Ο Λ Ι Τ Ι Σ Μ Ο Σ & Α Ξ Ι Ε Σ
Θ Ρ Η Σ Κ Ε Ι Α- Π Ο Λ Ι Τ Ι Σ Μ Ο Σ & Α Ξ Ι Ε Σ Στον πο λι τι σμό των μη χα νών έ χει δι α φα νεί ο ρι στι κά ό τι δεν προβλέ πε ται θέ ση γι α τη λει τουρ γί α της ψυ χής. Τους δύ ο τε λευ ταίους αι
των Κοι νω νι κών Λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στους ι δι ω τι κούς παι δι κούς σταθ µούς όλης της χώρας O21R09
των Κοι νω νι κών Λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στους ι δι ω τι κούς παι δι κούς σταθ µούς όλης της χώρας O21R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚOΙ ΝΩΩ ΝΙ ΚΩΩΝ ΛΕΙ
0a1qqW+1a1`qÁlw n εν σοί Κύ ρι ε τρο πού μαι τού τον.
n 00211000Aqq11j1w Εκ νε ό τη τός μου ο εχ θρό ός με πει ρά ζει, 00qaj-1`q`qq+0)q11l1 ταίς η δο ναίς φλέ γει με ε γώ δέ πε ποι θώς, 0a1qqW+1a1`qÁlw n εν σοί Κύ ρι ε τρο πού μαι τού τον. 211`w1l1+000 0wl1
Π Ε Ρ Ι E Χ Ο Μ Ε Ν Α
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγικό μέρος Πρόλο γος της Ελ λη νι κής Έκ δο σης...11 Κλιμάκωση των Βημάτων για Επιτυχία στο Ποδόσφαιρο...12 Ôï Ü èëç ìá του Ποδοσφαίρου...13 Το Γήπε δο του Πο δο σφαίρου...15 Εξοπλισμός...16
d u d dt u e u d dt e u d u 1 u dt e 0 2 e
Ρ ΤΟ Θ ΜΑ Μ. Α ΑΠΟ ε ΞεΤε ΤΙ ΑΝΑΓΚΑ Α ΚΑΙ ΙΚΑΝ ΣΥΝΘ ΚΗ ΣΤε ΝΑ Ι ΝΥΣΜΑ u t 0 ΝΑ ΠΑΡΑΜ ΝεΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΠΡΟ ΜΙΑ ε ΟΜ ΝΗ ευθε Α ε ΝΑΙ u t u 0 Π ειξη Α ΑΠΟ ε ΞΟΥΜε ΤΟ ΙΚΑΝ ΗΛΑ ΑΝ ε ΝΑΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΠΡΟ ε ΟΜ ΝΗ ευθε
Ε ΓΚΛΗ ΜΑ ΤΑ ΚΑΙ ΔΗ Ω ΣΕΙΣ ΚΑΤΟ ΧΙ ΚΗΣ ΠΕ ΡΙΟ ΔΟΥ ΣΤΗ ΔΙΑΡ ΚΕΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟ ΝΟ ΜΟ Α ΧΑ Ϊ ΑΣ ΜΕ ΒΑ ΣΗ ΤΟ ΑΡ ΧΕΙΟ ΤΗΣ ΔΙΣ
ΓΚΛΗ ΜΑ ΤΑ ΔΗ Ω ΣΕΙΣ 1941-1944 Ε ΓΚΛΗ ΜΑ ΤΑ ΔΗ Ω ΣΕΙΣ 19 Ε ΓΚΛΗ ΜΑ ΤΑ ΚΑΙ ΔΗ Ω ΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΡ ΚΕΙΑ ΤΗΣ ΚΑΤΟ ΧΙ ΚΗΣ ΠΕ ΡΙΟ ΔΟΥ 1941-1944 ΣΤΟ ΝΟ ΜΟ Α ΧΑ Ϊ ΑΣ ΜΕ ΒΑ ΣΗ ΤΟ ΑΡ ΧΕΙΟ ΤΗΣ ΔΙΣ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ:
Λο γι στών & Βοη θών Λο γι στών βι ο µη χα νι κών και λοι πών ε πι χει ρή σε ων όλης της χώρας O23R09
Λο γι στών & Βοη θών Λο γι στών βι ο µη χα νι κών και λοι πών ε πι χει ρή σε ων όλης της χώρας O23R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΛO ΓΙ ΣΤΩΩΝ ΚΑΙ ΒOΗ ΘΩΩΝ ΛO ΓΙ ΣΤΩΩΝ
[...]. [...] [...] [...] [...]»
![[...]. [...] [...] [...] [...]»](/thumbs/80/82189828.jpg "[...]. [...] [...] [...] [...]»")
L 225/16 EL Επ σηµη Εφηµερ δα των Ευρωπαϊκ ν Κοινοτ των 12. 8. 98 Ο ΗΓΙΑ 98/59/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 20 Ιουλ ου 1998 για προσ γγιση των νοµοθεσι ν των κρατ ν µελ ν που αφορο ν τι οµαδικ απολ σει ΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ
Πολυμεταβλητή Στατιστική Ανάλυση. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Πολυμεταβλητή Στατιστική Ανάλυση Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Στην πρα ξη τα δεδομένα ενο ς ερευνητη ει ναι απο τη φυ ση τους
1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Οδηγός χρησιμοποίησης του βιβλίου και των τριών ψηφιακών δίσκων (DVD)...11 Σκο πός του βι βλί ου και των 3 ψηφιακών δί σκων...15 Λί γα λό για α πό το Σχο λι κό Σύμ βου λο Φυ σι κής Α γω γής...17
ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA
ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA Α. Γενικά Η VOLTERRA, ως Προμηθευτη ς Ηλεκτρικη ς Ενε ργειας και ε χοντας ως αντικειμενικο στο
Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο
ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο
Μάνατζμεντ και Μάνατζερς
Κ Ε ΦΑ ΛΑΙΟ 1 Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κά θε μέ ρα ε πι σκε πτό μα στε διά φο ρους ορ γα νισμούς με γά λους ή μι κρούς και ερ χό μα στε σε επα φή με τους υ παλ λή λους και τους μά να τζερ ς. Α νά λο γα
των Δ εν δρο αν θοκηπουρών Ξενοδοχειακών επιχειρήσεων O08R12
των Δ εν δρο αν θοκηπουρών Ξενοδοχειακών επιχειρήσεων O08R12 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ Δ ΕΝΔ ΡΟΑΝΘΟΚΗΠΟΥΡΩΩΝ ΞΕ ΝO Δ O ΧΕΙ Α ΚΩΩΝ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕ ΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ
των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09
των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΕΡ ΓΑ ΤO ΤΕ ΧΝΙ ΤΩΩΝ ΕΡ ΓO ΣΤΑ ΣΙ ΩΩΝ ΤΣΙ ΜΕ ΝΤO ΛΙ ΘΩΩΝ, ΤΣΙ
Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων
Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Β. Μεταφτση ς 15 Δεκεμβρι ου 2016 1 Παραστάσεις Ομάδων Έστω a, b, c,... ε να συ νολο απο διακριτα συ μβολα και a 1, b 1, c 1,... νε α συ μβολα. Μια λέξη W στα
ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Κατέθεσε την καινοτόμα ιδέα σου στον 1ο Διαγωνισμό BlueGrowth Patras
ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Κατέθεσε την καινοτόμα ιδέα σου στον 1ο Διαγωνισμό BlueGrowth Patras Στο πλαι룱綟σιο της Παγκο룱綟 σμιας Εβδομα룱綟 δας Επιχειρηματικο룱綟 τητας*, o ΕΣΥΝΕΔΕ και η Ομοσπονδι룱綟α ΕΣΥΝΕ, σε συνεργασι룱綟α
ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ. Των μετόχων της Ανώνυμης Εταιρείας με την επωνυμία. Σε Τακτική Γενική Συνέλευση
ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ Των μετόχων της Ανώνυμης Εταιρείας με την επωνυμία «AUTOGLASSSERVICE ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΜΠΟΡΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ, ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ &ΑΞΕΣΟΥΑΡ ΟΧΗΜΑΤΩΝ &ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ ΟΧΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ». ΑΡ. Γ.Ε.Μ.Η.
ΑΠΟΛΥΤΙΚΙΑ & ΘΕΟΤΟΚΙΑ ΕΣΠΕΡΑΣ 1-15 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ. Παρασκευή 1/08/2014 Ἑσπέρας Ψάλλοµεν τὸ Ἀπολυτίκιο τῆς 2/8/2014. Ἦχος.
ΑΟΛΥΤΙΚΙΑ & ΘΕΟΤΟΚΙΑ ΕΣΕΡΑΣ 1-15 ΑΥΟΥΣΤΟΥ αρασκευή 1/08/2014 Ἑσπέρας Ψάλλοµεν τὸ Ἀπολυτίκιο τῆς 2/8/2014 δ Ταχὺ προκατάλαβε ι α σι λει ον δι α δη µα ε στε φθη ση κο ρυ φη εξ α θλων ων υ πε µει νας υ περ
των ερ γα ζο µέ νων σε ε πι χει ρή σεις Έ ρευ νας - Ε ξό ρυ ξης, Με λε τών και Δ ιΰ λι σης Αρ γού Πε τρε λαί ου ό λης της χώ ρας K65R10
των ερ γα ζο µέ νων σε ε πι χει ρή σεις Έ ρευ νας - Ε ξό ρυ ξης, Με λε τών και Δ ιΰ λι σης Αρ γού Πε τρε λαί ου ό λης της χώ ρας K65R10 2 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΕΡ ΓΑΖO ΜΕ ΝΩΩΝ ΣΕ
ΣΥΝΟΛΙΚΟΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ ΣΤΗ ΔΙΑΥΓΕΙΑ: 9Λ0646ΨΖ3Π-83Γ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Μονάδα Οικονομικής και Διοικητικής Υποστήριξης Ε.Λ.Κ.Ε. Δι.Πα.Ε. 14o χλμ. Θεσσαλονίκης Μουδανιών 570 01 Θέρμη, Θεσσαλονίκη Τηλ.: 2310 474 564 Fax: 2310 474 569 Ημερομηνία: 27/09/2019
ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ
ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ 12 Το γε γο νός ό τι δια βά ζεις αυ τό το βι βλί ο ση μαί νει ό τι έ χεις μολυν θεί α πό έ να μι κρόβιο το μι κρό βιο του πο δο σφαί ρου και σίγου
Joseph A. Luxbacher. Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας. ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία
Joseph A. Luxbacher Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ Βήματα για την επιτυχία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008 ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία. Joseph A. Luxbacher Μετάφραση - Επιμέλεια:
( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,,
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Μορφή 0 με 0. Λύση: 0 ( ) 0 0 ή 0... Μορφή 0 με 0 Λύση: 0.. Μορφή 0 με 0 Λύση: Βρίσκουμε,, και τη διακρίνουσα 4 Αν 0 (ή, ετερόσημοι) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
Χει ρι στών Μη χα νη µά των Λα το µεί ων Μαρµάρου, Πέτρας & Χώ µα τος ό λης της χώρας O53R10& O54R10
Χει ρι στών Μη χα νη µά των Λα το µεί ων Μαρµάρου, Πέτρας & Χώ µα τος ό λης της χώρας O53R10& O54R10 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΧΕΙ ΡΙ ΣΤΩΩΝ ΕΚ ΣΚΑ ΠΤΙ ΚΩΩΝ, Α ΝY
Α ΡΙΘ ΜΟΣ ΟΙ ΚΗ ΜΑ- ΤΩΝ ΚΑΙ Υ ΝΑ ΜΕΝΟ ΝΑ Ε ΞΥ ΠΗ ΡΕ ΤΗ ΘΕΙ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ. 3 ξε νώ νες Α ΣΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ. Ξε νώ νες Α ΣΣ Κοζάνη. Κ.
ΞΕ ΝΩ ΝΕΣ Οι ξε νώ νες λει τουρ γούν µε σκο πό την προ σω ρι νή διαµονή, κυ ρί ως των νε ο το ποθε τη µέ νων Μον. Αξ κών - Αν θστών και των µε λών των οικο γε νειών τους που τυ χόν τους συ νο δεύ ουν µέ
Πρός τούς ἀδελφούς μου
Πρός τούς ἀδελφούς μου Συμεων μητροπολιτου νεασ ΣμυρνηΣ Πρός τούς ἀδελφούς μου EOρτια ΠοιμαντικA μηνyματα Ἐπιμέλεια ἔκδοσης: Βασίλης Ἀργυριάδης Ἐκδόσεις κολοκοτρώνη 49, Ἀθήνα 105 60 τηλ.: 210 3226343
Κε φά λαιο. Έννοιες, Ο ρι σμοί και Βα σι κές Προ ϋ πο θέ σεις. Αναπηρία και ειδική φυσική αγωγή
Κε φά λαιο 1 Έννοιες, Ο ρι σμοί και Βα σι κές Προ ϋ πο θέ σεις Αναπηρία και ειδική φυσική αγωγή Η έν νοια της α ναπη ρί ας εί ναι πολυ διά στα τη και α ντι κα το πτρί ζει την αλ λη λε πί δρα ση του ε κά
Πρόλογος στην ελληνικ κδοση... xvii. Πρόλογος... xix
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος στην ελληνικ κδοση................................. xvii Πρόλογος................................................... xix M ρος Πρ το Π Σ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΖΟΥΜΕ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Π
Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ
ΤΥΙΚΑ & ΜΑΚΑΡΙΣΜΟΙ Ἦχος Νη Μ Α Ν µην Ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ του Ευ λο γει η ψυ
Η ΛΕ ΚΤΡΟ ΝΙ ΚΟ Ε ΠΙΧΕΙ ΡΕΙΝ
Η ΛΕ ΚΤΡΟ ΝΙ ΚΟ Ε ΠΙΧΕΙ ΡΕΙΝ KEΙΜΕΝΟ: Λγος (ΠΒ) Νι κό λα ος Ι. Πέ ντσας (MS.c, MBA), Λγος (ΠΖ) Δη μή τριος Λ. Πισ σα νί δης (MBA) ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Eισαγωγή Κα τά τη διάρ κεια της τε
F h, h h 2. Lim. Lim. f h, h fyx a, b. Lim. h 2 y 2. Lim. Lim. Lim. x 2 k 2. h 0
ΜΑ 1 Μ.2 Ν ΟΙ ΠΑΡ ΓΩΓΟΙ fx ΚΑΙ fy ΥΠ ΡΧΟΥΝ ΚΑΙ ε ΝΑΙ ΙΑφΟΡ ΣΙΜε Σε Κ ΠΟΙΑ ΠεΡΙΟΧ ΤΟΥ a, b Τ Τε ΝΑ ΑΠΟ ειχθε ΤΙ fxy fyx. Α εξετ ΣεΤε ΑΝ fxy fyx ΣΤΟ 0, 0 ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ f x, y xy x2 y 2 ΓΙΑ x, y 0, 0
ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ
Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ταξχος ε.α. Κων στα ντί νος Τέ φας H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ Α πό τους πρώ
καιρο, αυτο ς πε θανε απ ο,τι φαι νεται πολυ αργο τερα. Για ποιον λο γο συνε βη αυτο, Φαι δωνα;
ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΦΑΙΔΩΝ ΕΧΕΚΡΑΤΗΣ: Εσυ ο ι διος, Φαι δωνα, βρε θηκες στο πλευρο του Σωκρα τη εκει νη την ημε ρα, που η πιε το δηλητη ριο στη φυλακη, η τα α κουσες απο κα ποιον α λλο; ΦΑΙΔΩΝ: Η μουν ο ι διος εκει,
H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ
H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ Ο Ό μη ρος και ο Η σί ο δος έ χουν δη μιουρ γή σει κα τά τον Η ρό δο το 1, τους ελ λη νι κούς θε ούς. Ο Ό μη ρος στη θε ο γο νί α του έ χει ιε ραρ
των εργαζοµένων στα εργοστάσια και εργαστήρια Κοπής και Επεξεργασίας Μαρµάρων όλης της χώρας
των εργαζοµένων στα εργοστάσια και εργαστήρια Κοπής και Επεξεργασίας Μαρµάρων όλης της χώρας K63R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) TΩΩN EPΓAZOMENΩΩN ΣTA ΕΡ ΓO ΣΤΑ ΣΙΑ ΚΑΙ ΕΡ ΓΑ ΣΤΗ ΡΙΑ ΚO
Μ ε τ έ ω ρ α τό πος συ νά ντη σης θε ού
Μ ε τ έ ω ρ α τό πος συ νά ντη σης θε ού & αν θρώ πων Τα Με τέ ω ρα, το ση μα ντι κό τε ρο μνημεια κό σύ νο λο του Θεσ σα λι κού κά μπου, βρίσκο νται α νά με σα στην ο ρο σει ρά της Πίν δου και στα Α ντι
Την ε ται ρεί α BodyTalk
Εισαγωγή Εί ναι σή με ρα πια κοι νή πα ρα δο χή ό τι ο αθλη τι σμός με την ευ ρύ τε ρη έν νοια (συ μπε ρι λαμ βα νο μέ νης της α να ψυ χής και του α θλη τι κού του ρισμού) α πο τε λεί μια με γά λη και
Στρα τιω τι κή. Ορ χή στρα Πνευ στών. (Μπά ντα)
Στρα τιω τι κή Ορ χή στρα Πνευ στών (Μπά ντα) KΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Λγός (ΜΣ) Κων στα ντί νος Κε ρε ζί δης Πώς γεν νή θη κε η μπά ντα Τον χει ρι σμό των πνευ στών ορ γά νων τον συ να ντού με στην ι στο
Διονύσιος Λουκέρης* & Ιωάννα Συρίου**
ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 111-131 Διονύσιος Λουκέρης* & Ιωάννα Συρίου** Η σχο λι κή α πο τε λε σμα τι κό τη τα και ο ρό λος της στην ποιο τι
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΡΕΥΝΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Ε.Λ.Κ.Ε. Ι.Π. Ι. Θεοτόκη 72, Κέρκυρα, τηλ.: , Fax: ,
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΡΕΥΝΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Ε.Λ.Κ.Ε. Ι.Π. Ι. Θεοτόκη 72, 49100 Κέρκυρα, τηλ.: 2661087604-6, Fax: 2661087641, e-mail: rc@ini.gr ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ Μονάδα Οικονομικής καις Διοικητικής Υποστήριξης Τμήμα :Διοικητικής
Φοιτητικό στεγαστικό επίδομα - Νέα Κ.Υ.Α.
Φοιτητικό στεγαστικό επίδομα - Νέα Κ.Υ.Α. Κοινή Υπουργική απόφαση εξέδωσαν τα υπουργεία Παιδείας και Οικονομικών με την οποία επανακαθορίζονται οι διαδικασίες και τα δικαιολογητικά για τη χορήγηση του
ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες
Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΩΝ ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες ΚΕΙΜΕΝΟ: Α να στά σιος Γ. Ρούσ σης Κοι νω νιο λό γος - Ε γκλη μα το λό
Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ. της ζω ής
Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ ΨΥ ΧΗ η αν θο δέ σµη της ζω ής ΚΕΙΜΕΝΟ: Υ πτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Διδάκτωρ Φιλοσοφίας-Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΙ ΚΕΣ ΕΝ ΝΟΙΕΣ Ό πως υ πάρ χει
των Κα θη γη τών Φρο ντι στη ρί ων Μέ σης Εκ παί δευ σης Ν. Ατ τι κής Ot01R12
των Κα θη γη τών Φρο ντι στη ρί ων Μέ σης Εκ παί δευ σης Ν. Ατ τι κής Ot01R12 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚΑ ΘΗ ΓΗ ΤΩΩΝ ΦΡO ΝΤΙ ΣΤΗ ΡΙ ΩΩΝ ΜΕ ΣΗΣ ΕΚ ΠΑΙ Δ ΕY ΣΗΣ Ν.
Μ ε τ έ ω ρ α. τό πος συ νά ντη σης θε ού & αν θρώ πων
Μ ε τ έ ω ρ α τό πος συ νά ντη σης θε ού & αν θρώ πων Τα Με τέ ω ρα, το ση μα ντι κό τε ρο μνημεια κό σύ νο λο του Θεσ σα λι κού κά μπου, βρίσκο νται α νά με σα στην ο ρο σει ρά της Πίν δου και στα Α ντι
ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ
ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ Αξιωματικοί Στρατού Ξηράς ε.α. 2,94 Ιδιώτες, Σύλλογοι κ.λπ. 5,87 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ