ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

Σχετικά έγγραφα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Παράδειγμα δομικής επαγωγής Ορισμός δομικής επαγωγής Συμβολοσειρές Γλώσσες Δυαδικά δένδρα Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Αρχικός συγγραφέας: Ηλίας

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A

Παράδειγμα δομικής επαγωγής Ορισμός δομικής επαγωγής Συμβολοσειρές Γλώσσες Δυαδικά δένδρα Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλ

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Π(n) : 1 + a + + a n = an+1 1 a 1. a 1. + a k+1 = ak+2 1

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 2 : Σύνολα & Σχέσεις (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πέμπτη 8 εκεμβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Π(n) : 1 + a + + a n = αν+1 1

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα

Ισοδυναμία Αιτ. Και μη Αιτ. Π.Α.

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια)

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Θεωρία Υπολογισµού και Πολυπλοκότητα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA)

βασικές έννοιες (τόμος Β)

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

x (a 1 + a 2 ) mod 9, y (a 1 a 2 ) mod 9.

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

z 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2

Διακριτά Μαθηματικά. Γιάννης Εμίρης. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ. Νοέμβριος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Transcript:

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Συναρτήσεις Ορισμός Συνάρτησης: Ένα αντικείμενο που ορίζει έναν συσχετισμό μεταξύ ενός συνόλου «εισόδων» με ένα σύνολο «εξόδων» Δέχεται μια είσοδο και παράγει μια έξοδο f(a) = b f : D R Πεδίο Ορισμού: Το σύνολο όλων των δυνατών εισόδων D Πεδίο Τιμών: Το σύνολο όλων των δυνατών εξόδων R Ένα- προς- ένα Συνάρτηση: f : A B είναι ένα- προς- ένα, αν για οποιαδήποτε διαφορετικά a, b A, f(a) = f(b) 2

Συναρτήσεις Αν πεδίο ορισμού είναι το της συνάρτησης είναι μια κ- άδα τα α i είναι παράμετροι της συνάρτησης η είσοδος (α 1,...,α k ),α i A i Συμβολισμοί διπαραμετρικών συναρτήσεων Ενθηματικός, π.χ. a + b Προθηματικός, π.χ. άθροισμα(a,b) A 1... A k Κατηγόρημα ή ιδιότητα: Οποιαδήποτε συνάρτηση με πεδίο τιμών το σύνολο {ΑΛΗΘΕΣ, ΨΕΥΔΕΣ}. 3

Σχέσεις Ορισμός Σχέσης: Κάθε ιδιότητα με πεδίο ορισμού ένα σύνολο κ- άδων για k 2,A... A λέγεται κ- μελής (ή κ- αδική) σχέση στο Α Για δυαδικές σχέσεις: Ενθηματικός Συμβολισμός π.χ. a < b arb => arb = ΑΛΗΘΕΣ Διαφορετικά: Μια κ- μελής σχέση R μπορεί να γραφτεί και ως ένα υποσύνολο όλων των διατεταγμένων κ- άδων R A... A τέτοιων ώστε κάθε κ- αδα επαληθεύει τη σχέση. Στις δυαδικές σχέσεις: arb then (a, b) R 4

Παράδειγμα Α = { 1, 2, 3, 4} R : > «μεγαλύτερο από» R : A A {T RUE, F ALSE} 2R1 (2>1) κτλ. ή R =? {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1),(4,2), (4,3)} 5

Σχέση Ισοδυναμίας Μια δυαδική σχέση R αποτελεί σχέση ισοδυναμίας αν Είναι ανακλαστική: a A, (a, a) R Είναι συμμετρική: Εάν (a, b) R τότε (b, a) R Είναι μεταβατική: Εάν (a, b) R και (b, c) R τότε (a, c) R Παράδειγμα Η σχέση στους φυσικούς αριθμούς i, j N,i= 7 j που είναι αληθές αν η διαφορά i j είναι πολλαπλάσιο του 7 6

Γραφήματα (Γράφοι) Ορισμός Γραφήματος: Ένα σύνολο σημείων και ένα σύνολο γραμμών που συνδέουν τα σημεία μεταξύ τους. κορυφή / κόµβος 2 4 1 6 5 ακµή βαθµός κόµβου 3 7

Μη Κατευθυνόμενο γράφημα 1 2 6 4 3 5 G = (V,E) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E={(1,2), (1,3), (1,6), (2,4), (4,5), (4,6), (4,3)} 8

Υπογράφημα 1 2 6 4 5 3 υπογράφημα του : H =(V h,e h ) G =(V,E) V h V and E h E 9

Διαδρομές και Κύκλοι 1 1 2 6 2 6 4 5 4 5 3 Διαδρομή: Ακολουθία ενωμένων διαδοχικά κόμβων Απλή Διαδρομή: κάθε κόμβος εμφανίζεται μια φορά Κύκλος: Διαδρομή που αρχίζει και τελειώνει στον ίδιο κόμβο Απλός κύκλος: Κάθε κύκλος που περιέχει 3 τουλάχιστον Συνδεδεμένο Γράφημα: Κόμβοι συνδέονται ανα 2 μέσω κάποιας διαδρομής 3 10

Δέντρο 1 2 6 Το γράφημα χωρίς κύκλους Ρίζα και φύλλα 4 3 5 11

Κατευθυνόμενο γράφημα 1 2 6 4 3 G = (V,E) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E={(1,2), (2,1), (4,2), (4,5), (3,4), (3,1), (5,6), (6,4), (6,1)} Βαθμοί Εισόδου και Εξόδου Ισχυρά Συνδεδεμένο: Γράφημα είναι συνδεδεμένο αν υπάρχει διαδρομή που να επισκέπτεται όλους τους κόμβους ανεξαρτήτως κατεύθυνσης 5 12

Κατευθυνόμενοι Γράφοι και Σχέσεις Αναπαράσταση δυαδικών σχέσεων: Εάν τότε, όπου R D D G =(D, E) E = {(x, y) xry} Παράδειγμα Α = { 1, 2, 3, 4} R : > «μεγαλύτερο από» 2 1 4 3 13

Λέξεις και Γλώσσες Πως μπορούμε να επικοινωνήσουμε μια ιδέα σε έναν άλλο άνθρωπο; Πως μπορούμε να «επικοινωνήσουμε» ένα αλγόριθμο ή μια σχέση σε ένα υπολογιστή; ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ «ΜΙΛΟΥΜΕ» ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΓΛΩΣΣΑ 14

Ορισμοί Αλφάβητο Σ: Ένα μη κενό πεπερασμένο σύνολο συμβόλων. 12-Sep-11 Λέξη επί ενός αλφαβήτου: Οποιαδήποτε πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων του αλφαβήτου. Γλώσσα: Οποιοδήποτε σύνολο λέξεων. 15

Αλφάβητο Σ1 = {0,1} - δυαδικό αλφάβητο 12-Sep-11 Σ2 = {α,β,γ,..., ψ,ω} ελληνικό αλφάβητο 16

Λέξεις Παραδείγματα λέξεων: 011001 πάνω στο Σ1 καληµέρα πάνω στο Σ2 12-Sep-11 Μήκος λέξης: Πλήθος των συμβόλων που περιέχει w Κενή λέξη: Λέξη μηδενικού μήκους, e Μια λέξη w μπορεί και να γραφτεί ως: w = w 1 w 2...w n,w i Σ Ανάστροφη λέξης : w w R = w n w n 1...w 1 17

Λέξεις Η u είναι Υπολέξη μιας λέξης w αν και μόνο αν υπάρχουν λέξεις x και y τέτοιες ώστε w = xuy 12-Sep-11 Παράθεση (Συναρμογή): Αν x = x 1 x 2 x m και y = y 1 y 2 y n xy = x 1 x 2 x m y 1 y 2 y n xy =? Για μια λέξη w, η επανάληψη k φορών της w είναι: 18

Αποδείξεις Ορολογία: Ορισμοί, Μαθηματικές Προτάσεις Απόδειξη Θεώρημα Λήμμα Πόρισμα Πως βρίσκουμε μια απόδειξη; Υπομονή και Συγκέντρωση Παραδείγματα που επαληθεύουν την μαθηματική πρόταση (αντιπαράδειγμα για απόδειξη του αντίθετου) 19

Είδη αποδείξεων Με κατασκευή (κατασκευαστικές) Με απαγωγή σε άτοπο (αντίφαση) Με επαγωγή 20

Απόδειξη με κατασκευή (ύπαρξης) Περιγράφουμε πως μπορεί να κατασκευαστεί το αντικείμενο που θέλουμε να αποδείξουμε. Παράδειγμα Για κάθε άρτιο αριθμό n μεγαλύτερο από 2, υπάρχει 3- κανονικό(κάθε κόμβος έχει βαθμό 3) γράφημα με n κόμβους. Απόδειξη:? 21

Απαγωγή σε Άτοπο (Αντίφαση) Υποθέτουμε ότι η μαθηματική πρόταση δεν ισχύει και στη συνέχεια δείχνουμε ότι η υπόθεσή μας οδηγεί σε εσφαλμένο συμπέρασμα, άτοπο. Παράδειγμα Ο αριθμός 2 είναι άρρητος Απόδειξη:? 22

Επαγωγή Η μαθηματική πρόταση Π(n) είναι αληθής για κάθε θετικό ακέραιο n εάν Η Π(1) είναι αληθής Για οποιοδήποτε ακέραιο n> 0, αν η Π(n) είναι αληθής τότε και η Π(n+1) είναι αληθής. Μαθηματική Επαγωγή χωρίζεται σε 3 μέρη Βάση: Εξετάζουμε την πρόταση Π(1) Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουμε οτι η πρόταση Π(n) είναι αληθής. Επαγωγικό Βήμα: Στηριζόμενοι στην επαγωγική υπόθεση, αποδεικνύουμε ότι η Π(n+1) είναι αληθής Συνήθως χρησιμοποιείται για να δείξουμε ότι τα στοιχεία ενός συνόλου έχουν κάποια ιδιότητα. 23

Επαγωγή Παράδειγμα Για κάθε ακέραιο n>0, ο αριθμός είναι διαιρετός δια 7. Απόδειξη:? φ(n) =4 2n+1 +3 2n+1 12-Sep-11 24

Ερωτήσεις; 25