ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ.. ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΟΔΗΓΙΕΣ: Κυκλώστε το γράμμα «Σ» που είναι παραπλεύρως σε κάθε πρόταση αν θεωρείτε ότι η πρόταση είναι αληθής ή το γράμμα «Λ» αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής. ΠΡΟΣΟΧΗ: Μια λάθος απάντηση αφαιρεί μισή μονάδα από το ερώτημα. Σημειώστε μια απάντηση αν είστε αρκετά βέβαιοι για αυτήν. Αν χρειάζεστε, χρησιμοποιήστε για πρόχειρο τον χώρο μετά το τελευταίο ερώτημα.

2 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Στους παρακάτω τύπους τα p, p 2, p 3 είναι προτασιακές μεταβλητές. Τότε ισχύει ότι είναι ταυτολογίες οι παρακάτω:. ( Σ / Λ ) ( p p 2) ( p p2) 2. ( Σ / Λ ) ( p p 2) ( p p2) 3. ( Σ / Λ ) (( p p ) ( p p )) ( p p ) (Λάθος) ( Σ / Λ ) (( p p ) ( p p ) ( p p )) ( p p ) Ερμηνεύουμε στους φυσικούς αριθμούς (που περιλαμβάνουν και το 0) το κατηγόρημα P(x,y) σαν «ο x διαιρεί τον y».τότε οι παρακάτω τύποι αληθεύουν.. ( Σ / Λ ) x yp( x, y) 2. ( Σ / Λ ) y xp( x, y) 3. ( Σ / Λ ) xy ( P( y, x) y y x) (Λάθος) 4. ( Σ / Λ ) xyz ( P( z, y) P( y, x) P( z, x)) 3. Στις παρακάτω προτάσεις το Τ είναι σύνολο προτασιακών τύπων ενώ το φ είναι τύπος. Ποιες από τις προτάσεις αληθεύουν;. ( Σ / Λ ) Αν T - φ, τότε το σύνολο T { } δεν είναι ικανοποιήσιμο. 2. ( Σ / Λ ) Κάθε τυπική απόδειξη του προτασιακού λογισμού περιλαμβάνει πεπερασμένο αριθμό από βήματα. 3. ( Σ / Λ ) Αν το Τ δεν είναι συνεπές και ο φ αντίφαση, τότε T - φ 4. ( Σ / Λ ) Αν το Τ είναι συνεπές και ο φ ταυτολογία, τότε T - φ 4. Σε μια τράπουλα υπάρχουν 52 φύλλα (4 χρώματα με 3 χαρτιά το κάθε ένα). Στην επιλογή μας δεν ενδιαφέρει η σειρά.. ( Σ / Λ ) Ο αριθμός των επιλογών 4 φύλλων της τράπουλας ώστε να υπάρχει ένα 4 από κάθε χρώμα είναι 3 4!. (Λάθος) 2. ( Σ / Λ ) Ο αριθμός των επιλογών 4 φύλλων της τράπουλας ώστε να υπάρχει ένα από κάθε χρώμα είναι ( Σ / Λ ) Η πιθανότητα να υπάρχει άσσος όταν επιλέξουμε 5 φύλλα από την τράπουλα είναι 4/52. (Λάθος) 4. ( Σ / Λ ) Ο αριθμός των επιλογών 5 φύλλων της τράπουλας ώστε να είναι όλα από το ίδιο χρώμα είναι Έστω Α σύνολο με n στοιχεία. ( Σ / Λ ) Τα υποσύνολα του Α με στοιχεία είναι όσα τα υποσύνολα με n- στοιχεία. 2. ( Σ / Λ ) Οι διμελείς σχέσεις που μπορούν να δημιουργηθούν με τα στοιχεία του Α είναι 2 n. (Λάθος) 3. ( Σ / Λ ) Οι λέξεις μήκους που σχηματίζονται με αλφάβητο το Α είναι όσες ο 2 x x συντελεστής του x στην παράσταση x... 2!! (Λάθος) 4. ( Σ / Λ ) Ο αριθμός των υποσυνόλων του Α με στοιχεία αυξάνει καθώς το αυξάνει. (Λάθος) n

3 6. Έχουμε 20 διαφορετικά περιοδικά και 5 διαφορετικά ράφια. Οι διαφορετικοί τρόποι τοποθέτησης των περιοδικών στα ράφια είναι:. ( Σ / Λ ) ! 20, αν έχει σημασία η σειρά τους στα ράφια x x x 2. ( Σ / Λ ) ίσοι με τον συντελεστή του x 20 / 20! στην x, αν 2! 3! 4! έχει σημασία η σειρά τους στα ράφια. (Λάθος) 20! 3. ( Σ / Λ ), αν το κάθε ράφι θα πάρει 4 περιοδικά και δεν έχει σημασία η σειρά. 5 4! 4. ( Σ / Λ ) ίσοι με τον συντελεστή του x 20 / 20! στην x x x x 2! 3! 4! 5 5, αν δεν έχει σημασία η σειρά τους. 7. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;. ( Σ / Λ ) Ένα τριμερές γράφημα * είναι διμερές. (Λάθος) 2. ( Σ / Λ ) Σε συνεκτικό (συνδεόμενο) γράφημα με τουλάχιστον 3 κορυφές, χωρίς σημείο κοπής, κάθε κορυφή βρίσκεται σε ένα κύκλο. 3. ( Σ / Λ ) Κάθε αποτύπωση στο επίπεδο ενός επίπεδου γραφήματος, έχει τον ίδιο αριθμό όψεων. 4. ( Σ / Λ ) Ένα γράφημα χωρίς υπογράφημα ομοιομορφικό του Κ 3 είναι επίπεδο. ( * Τριμερές είναι ένα γράφημα που οι κορυφές του διαμερίζονται σε τρία σύνολα έτσι ώστε τα άκρα κάθε ακμής να βρίσκονται σε διαφορετικά σύνολα.) 8. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;. ( Σ / Λ ) Υπάρχει συνεκτικό γράφημα που η αφαίρεση κάθε κορυφής του το κάνει μη συνεκτικό. (Λάθος) 2. ( Σ / Λ ) Ο χρωματικός αριθμός (δηλ. ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων με τα οποία μπορεί να χρωματιστεί νόμιμα) ενός γραφήματος είναι το άθροισμα των χρωματικών αριθμών των συνιστωσών του. (Λάθος) 3. ( Σ / Λ ) Αν ένα γράφημα έχει κύκλο Euler, δεν έχει γέφυρα. 4. ( Σ / Λ ) Αν ένα γράφημα έχει κύκλο Euler, έχει άρτιο αριθμό ακμών. (Λάθος) 9. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;. ( Σ / Λ ) Σε κάθε γράφημα, ο κύκλος Euler έχει περισσότερες ακμές από τον κύκλο Hamilton εφόσον υπάρχουν και οι δύο. (Λάθος) 2. ( Σ / Λ ) Ο αλγόριθμος του Prim πάντα υπολογίζει σωστά ένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο ακόμα και αν τα βάρη είναι αρνητικά. 3. ( Σ / Λ ) Οι αλγόριθμοι διάσχισης κατά πλάτος και κατά βάθος επιστρέφουν ισόμορφα δένδρα όταν εφαρμοστούν στον κύκλο C n. 4. ( Σ / Λ ) Σε ένα γράφημα με βάρη, η βαρύτερη ακμή δεν μετέχει σε κανένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο. (Λάθος) 0. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;. ( Σ / Λ ) Αν ένα γράφημα δεν περιέχει κύκλο, τότε έχει ακριβώς n- ακμές. (Λάθος) 2. ( Σ / Λ ) Υπάρχει 3-κανονικό δένδρο. (Λάθος) 3. ( Σ / Λ ) Ένα συνεκτικό γράφημα που κάθε ακμή του είναι γέφυρα, είναι δένδρο. 4. ( Σ / Λ ) Σε ένα δένδρο το μεγαλύτερο σύνολο ανεξαρτησίας είναι το σύνολο των φύλλων του. (Λάθος)

4 ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, ΜΕΡΟΣ Β ΕΡΩΤΗΜΑ (μονάδες 25) i) Πέντε φίλοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι για να παίξουν χαρτιά. Οι καρέκλες του τραπεζιού είναι αριθμημένες. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν; ii) Οι πέντε φίλοι αρχίζουν ένα παιγνίδι χαρτιών έχοντας καθένας στην αρχή 00 ευρώ. Κάθε ποντάρισμα είναι για ποσό πολλαπλάσιο του ευρώ και κανένας παίκτης δεν δανείζεται από άλλους οπότε δεν μπορεί να χάσει παρά το πολύ το αρχικό του ποσό. Στο τέλος του παιγνιδιού το σύνολο των χρημάτων είναι κατανεμημένο στους 5 παίκτες. Πόσα είναι τα πιθανά αποτελέσματα του παιχνιδιού, όταν δύο αποτελέσματα διαφοροποιούνται αν τα χρήματα έστω και ενός παίκτη είναι διαφορετικά; iii) Όταν το παιχνίδι του (ii) τελειώνει, γνωρίζουμε ότι 2 συγκεκριμένοι παίκτες κέρδισαν χρήματα, ο τρίτος είναι «στα λεφτά του» και οι άλλοι δύο έχασαν. Δώστε γεννήτρια συνάρτηση και υποδείξτε τον εκθέτη ο συντελεστής του οποίου δίνει τον αριθμό των διαφορετικών αποτελεσμάτων. iv) Με πόσους τρόπους μπορεί να μοιραστούν οι φιγούρες της τράπουλας (2 χαρτιά) στους 5 παίκτες έτσι ώστε ο ος παίκτης να πάρει μέχρι 4 χαρτιά, ο 2ος κι ο 3ος παίκτης από 2 έως 6 ο καθένας, ο 4ος παίκτης να πάρει τους δυο μαύρους ρηγάδες κι ο 5ος παίκτης τους δυο κόκκινους ρηγάδες; Απαντήστε υποδεικνύοντας το συντελεστή κατάλληλης γεννήτριας συνάρτησης. Πώς θα διαφοροποιούνταν η απάντηση σας, αν ο 4ος κι ο 5ος παίκτης έπρεπε να πάρουν αποκλειστικά δύο (αλλά οποιουσδήποτε) ρηγάδες ο καθένας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Εφόσον οι θέσεις είναι αριθμημένες, το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με τις μεταθέσεις 5 αντικειμένων στην ευθεία. Οι τρόποι είναι 5! ii) Έχουμε να διανείμουμε το συνολικό ποσό των 500 ευρώ σε 5 παίκτες. Οι τρόποι είναι όσοι και οι τρόποι διανομής 500 όμοιων σφαιριδίων σε 5 διακεκριμένες υποδοχές 5005 δηλαδή 500. iii) Ο απαριθμητής για κάθε ένα από τους δύο πρώτους παίκτες είναι ( x x x ) μια και το ότι κέρδισε σημαίνει ότι μπορεί να έχει οποιοδήποτε ποσό από 0 ευρώ έως 500 ευρώ. Ο απαριθμητής του 3 ου παίκτη είναι 2 99 τελευταίων είναι ( x x x ). Η γεννήτρια είναι προφανώς 00 x ενώ των δύο ( x x x ) x ( x x x ) και ο συντελεστής που ζητάμε είναι 500 του x. iv) Αν ο 4 ος και ο 5 ος παίκτης πάρουν μόνο τους μαύρους και τους κόκκινους ρηγάδες αντίστοιχα, προφανώς έχουμε προς διανομή 8 φιγούρες στους 3 πρώτους παίκτες. Επειδή κάθε χαρτί είναι διαφορετικό, το πρόβλημα είναι το ίδιο με τις λέξεις μήκους 8 που μπορούμε να σχηματίσουμε με τα γράμματα Α, Β, Γ με τους περιορισμούς που αναφέρονται. Θα χρησιμοποιηθεί συνεπώς εκθετική γεννήτρια συνάρτηση που θα είναι η

5 x x x x x x x x x. Ο συντελεστής είναι του x 8 /8!.! 2! 3! 4! 2! 3! 4! 5! 6! Αν τώρα οι δύο τελευταίοι παίκτες πάρουν μόνο από δύο ρηγάδες ο κάθε ένας αλλά οποιουσδήποτε, τότε έχουμε C(4,2) τρόπους επιλογής ποιους από τους δύο ρηγάδες θα πάρει ο 4 ος παίκτης (οι άλλοι δύο θα πάνε προφανώς στον 5 ο ). Επομένως, ο συντελεστής είναι όπως προηγουμένως αλλά πολλαπλασιασμένος με το C(4,2)=6. 2ΕΡΩΤΗΜΑ 2 (μονάδες 35) i) Διαμερίζουμε το σύνολο όλων των προτασιακών τύπων που ορίζονται σε 3 προτασιακές μεταβλητές σε υποσύνολα έτσι ώστε κάθε υποσύνολο να περιλαμβάνει ταυτολογικά ισοδύναμους τύπους (δηλ. τύπους με ίδιο πίνακα αληθείας). Πόσα είναι τα διαφορετικά υποσύνολα; ii) Πόσα είναι τα διαφορετικά υποσύνολα ταυτολογικά ισοδύναμων τύπων που ορίζονται σε 3 προτασιακές μεταβλητές και είναι ταυτολογικές συνεπαγωγές του τύπου ( p p ) p ; 2 3 iii) Δώστε τυπική απόδειξη του τύπου ( ) (( ) ( )). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλα τα γνωστά θεωρήματα (Απαγωγής, Αντιθετοαναστροφής, Απαγωγής σε άτοπο κλπ.) εκτός από τα Θεωρήματα Εγκυρότητας και Πληρότητας. Στα παρακάτω θεωρούμε την γλώσσα της κατηγορηματικής λογικής που ορίζεται σε απλά, συνεκτικά, μη κατευθυντικά (μη κατευθυνόμενα) γραφήματα και περιλαμβάνει το κατηγορηματικό σύμβολο P. Το P( x, y) σημαίνει ότι οι κορυφές x και y συνδέονται με ακμή. iv) Δώστε τύπο που να δηλώνει «υπάρχει κορυφή που είναι γειτονική με όλες τις άλλες εκτός από μία». v) Δώστε τύπο ( u) που να δηλώνει «όλες οι κορυφές είναι γειτονικές με την κορυφή u εκτός από την ίδια την u και άλλη μία». vi) Δώστε (αν υπάρχει) γράφημα με 6 κορυφές που να επαληθεύει τον τύπο xy( x y ( x) ( y)). ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Κάθε σύνολο χαρακτηρίζεται από τις γραμμές του πίνακα αλήθειας που είναι Α (αληθείς). Ο πίνακας αλήθειας σε τύπους με 3 μεταβλητές έχει προφανώς 8 γραμμές. Κάθε υποσύνολο λοιπόν αυτών των 8 γραμμών χαρακτηρίζει ένα σύνολο ισοδυνάμων τύπων, αυτών που έχουν Α στις γραμμές αυτές και Ψ στις υπόλοιπες. Άρα τα υποσύνολα είναι όσα τα υποσύνολα ενός συνόλου με 8 στοιχεία δηλαδή 2 8. ii) Εφόσον τώρα ζητάμε τύπους που είναι ταυτολογικά συνεπαγόμενοι του φ, αυτοί οι τύποι θα πρέπει να έχουν υποχρεωτικά Α όπου και ο φ έχει Α. Αυτό συμβαίνει σε 3 αποτιμήσεις τις (p, p 2, p 3 )=(A,A,A), (p, p 2, p 3 )=(B,A,A) και (p, p, p 3 )=(Β, Β,A). Όλες οι υπόλοιπες 5 μπορούν να έχουν οποιαδήποτε τιμή και ο συνδυασμός τους χαρακτηρίζει τα ζητούμενα υποσύνολα. Άρα τα υποσύνολα είναι 2 5. iii) Εφαρμόζοντας 3 φορές το Θεώρημα Απαγωγής καταλήγουμε στο ότι αρκεί να δείξουμε ότι {,, } -. Από το σημείο αυτό η απόδειξη μπορεί να συντομευθεί αν χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα της Απαγωγής σε άτοπο. Αρκεί να δειχθεί ότι το σύνολο {,,, } δεν είναι συνεπές. Πράγματι έχουμε:

6 . Υπόθεση 2. Υπόθεση 3.,2 MP 4. Υπόθεση 5. Υπόθεση 6. 4,5 MP Εφόσον λοιπόν το σύνολο των υποθέσεων μας αποδεικνύει έναν τύπο και τον αντίθετο του, το σύνολο είναι μη συνεπές. iv) xy( x y P( x, y) z( z x z y P( x, z))) v) ( u) y( y u P( y, u) x( x y x u P( x, u)) vi) Ένα γράφημα που ικανοποιεί τον τύπο είναι το K 2, ΕΡΩΤΗΜΑ 3 (μονάδες 20) α) Δίδεται ένα επίπεδο συνεκτικό γράφημα G με 6 κορυφές που όλες έχουν βαθμό 4. Το G έχει επίπεδη αποτύπωση όπου κάθε όψη είναι ή τρίγωνο ή τετράπλευρο. Πόσες όψεις του είναι τρίγωνα και πόσες τετράπλευρα; β) Έστω G συνεκτικό γράφημα του οποίου κάθε κορυφή εκτός από μία έχει βαθμό το πολύ d (μία το πολύ κορυφή του μπορεί να έχει βαθμό μεγαλύτερο του d ). Δείξτε με επαγωγή ότι το G χρωματίζεται με d χρώματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Το άθροισμα των βαθμών όλων των κορυφών του γραφήματος είναι 64 από το οποίο προκύπτει ότι το γράφημα έχει 32 ακμές. Από τον τύπο του Euler έχουμε n f m 2, όπου n, f, m ο αριθμός των κορυφών, των όψεων και των ακμών αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι οι όψεις είναι f 8. Έστω τώρα x ο αριθμός των όψεων που είναι τρίγωνα και y όσες είναι τετράπλευρα. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των μηκών (βαθμών) των όψεων ενός επίπεδου γραφήματος ισούται με το διπλάσιο του αριθμού των ακμών. Αυτά δίνουν τις παρακάτω εξισώσεις: x y 8 3x4 y 64 Λύνοντας το σύστημα αυτό παίρνουμε x 8 και y 0. β) Η βάση της επαγωγής είναι για ndμια και κάθε γράφημα με d κορυφές χρωματίζεται με d χρώματα. Υποθέτουμε τώρα ότι κάθε γράφημα με nd κορυφές του οποίου όλες, πλην ίσως μίας, οι κορυφές έχουν βαθμό το πολύ d,

7 χρωματίζεται με d χρώματα. Θεωρούμε ένα γράφημα με n κορυφές με τις ίδιες ιδιότητες βαθμών στις κορυφές του. Το γράφημα αυτό έχει λοιπόν μία τουλάχιστον κορυφή βαθμού το πολύ d, έστω την u. Αφαιρούμε την u. Η αφαίρεση μιας κορυφής δεν αυξάνει τον βαθμό καμίας άλλης κορυφής, επομένως το εναπομείναν γράφημα, έχει n κορυφές και όλες οι κορυφές του πλην ίσως μίας, έχουν βαθμό το πολύ d. Σύμφωνα με την επαγωγική υπόθεση συνεπώς χρωματίζεται με d χρώματα. Όμως η κορυφή u έχει το πολύ d γείτονες στο αρχικό γράφημα και άρα ακόμη και αν όλοι έχουν διαφορετικό χρώμα, περισσεύει το χρώμα d για να χρωματιστεί η u. 8ΕΡΩΤΗΜΑ 4 (μονάδες 20) α) Σε δένδρο προσθέτουμε ακμές έτσι ώστε να προκύψει απλό γράφημα. Δείξτε ότι το γράφημα αυτό έχει τουλάχιστον απλούς κύκλους β) Έστω G απλό συνεκτικό γράφημα με n κορυφές και m2n2ακμές. Δείξτε ότι το G περιέχει δύο απλούς κύκλους ίσου μήκους. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η πρόσθεση της ακμής e με άκρα τις κορυφές u και v δημιουργεί τον απλό κύκλο που απαρτίζεται από το μοναδικό u-v μονοπάτι πάνω στο δένδρο και την ακμή e. Επειδή κάθε μία από τις ακμές είναι διαφορετική, προκύπτουν τουλάχιστον απλοί κύκλοι. β) Ας φανταστούμε ότι σχεδιάζουμε το G αρχίζοντας από ένα οποιοδήποτε συνδετικό δένδρο του, Τ. Αυτό έχει προφανώς n ακμές. Στην συνέχεια προσθέτουμε τις υπόλοιπες ακμές του G οι οποίες είναι τουλάχιστον n. Από το (α) η πρόσθεση των ακμών αυτών δημιουργεί τουλάχιστον n απλούς κύκλους. Όμως σε γράφημα με n κορυφές, οι απλοί κύκλοι μπορούν να έχουν μήκος από 3, το ελάχιστο (ένα τρίγωνο) μέχρι και n, το μέγιστο. Δηλαδή υπάρχει ένα διάστημα n 3 n 2 διαφορετικών μηκών που μπορούν να έχουν οι απλοί κύκλοι του G. Επειδή όπως είπαμε το G έχει τουλάχιστον n απλούς κύκλους, δύο τουλάχιστον από αυτούς θα έχουν κατ ανάγκη ίσο μήκος.

8 ΠΛΗ 20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α' ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ.. ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΟΔΗΓΙΕΣ: Κυκλώστε το γράμμα «Σ» που είναι παραπλεύρως σε κάθε πρόταση αν θεωρείτε ότι η πρόταση είναι αληθής ή το γράμμα «Λ» αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής. ΠΡΟΣΟΧΗ: Μια λάθος απάντηση αφαιρεί μισή μονάδα από το ερώτημα. Σημειώστε μια απάντηση αν είστε αρκετά βέβαιοι για αυτήν. Αν χρειάζεστε, χρησιμοποιήστε για πρόχειρο τον χώρο μετά το τελευταίο ερώτημα.

9 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Έστω φ, ψ προτασιακοί τύποι. Ποιοι από τους παρακάτω τύπους είναι ταυτολογίες; 5. ( Σ / Λ ) (φ (ψ φ)) (φ ψ) (Λάθος) 6. ( Σ / Λ ) (φ ψ) (φ ψ) 7. ( Σ / Λ ) (φ ψ) (φ ψ) 8. ( Σ / Λ ) (φ ψ) (φ ψ) (Λάθος) 2. Ερμηνεύουμε την πρωτοβάθμια γλώσσα στο σύνολο {, 2, 3, } των θετικών φυσικών αριθμών με το διμελές κατηγορηματικό σύμβολο P(x, y) να δηλώνει ότι «το y είναι πολλαπλάσιο του x» και το x y να δηλώνει ότι το «x είναι μικρότερο ή ίσο του y». 9. ( Σ / Λ ) Η πρόταση y xp( x, y) αληθεύει σε αυτή την ερμηνεία. (Λάθος) 0. ( Σ / Λ ) Η πρόταση x yp( x, y) P( y, x) x y ερμηνεία. αληθεύει σε αυτή την. ( Σ / Λ ) Η πρόταση x yx y P( x, y) P( y, x) ερμηνεία. (Λάθος) αληθεύει σε αυτή την 2. ( Σ / Λ ) Η πρόταση xyz P( x, z) P( y, z) wp( x, w) P( y, w) z w αληθεύει σε αυτή την ερμηνεία. 3. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις αληθεύουν; 3. ( Σ / Λ ) Η μεταβλητή x εμφανίζεται ελεύθερη στον τύπο xy Q( x, y) P( x, y) yq( y, x) 4. ( Σ / Λ ) Οι τύποι xq( x) R( x) ισοδύναμοι. και xq( x) xr( x) είναι λογικά (Λάθος) 5. ( Σ / Λ ) Ο τύπος x yq( x, y) P( x, y) Q( y, x) Ποσοδεικτική Μορφή αποτελεί μια Κανονική του τύπου xy Q( x, y) P( x, y) yq( y, x) (Λάθος) 6. ( Σ / Λ ) Ο τύπος z y wq( z, y) P( z, y) Q( w, x) Ποσοδεικτική Μορφή του τύπου αποτελεί μια Κανονική xy Q( x, y) P( x, y) yq( y, x) 4. Οι διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους + n με άσσους και n μηδενικά είναι: 7. ( Σ / Λ ) Όσα τα διαφορετικά υποσύνολα με στοιχεία ενός συνόλου με + n στοιχεία. 8. ( Σ / Λ ) Όσες οι διαφορετικές μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης z z. n 9. ( Σ / Λ ) Όσες οι διαφορετικές μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης z z n. (Λάθος) 20. ( Σ / Λ ) Όσες ο συντελεστής του n x 2 3 στην παράσταση x x x

10 5. Στην τελετή αποφοίτησης ενός Δημοτικού Σχολείου, οι 00 (διακεκριμένοι) μαθητές περιμένουν σε 3 διαφορετικές σειρές για να πάρουν το απολυτήριο (η θέση κάθε μαθητή στη σειρά έχει σημασία). Οι διαφορετικοί τρόποι να συμβεί αυτό είναι: 2. ( Σ / Λ ) 3 00 (Λάθος) 22. ( Σ / Λ ) 02! 2! 23. ( Σ / Λ ) Όσοι ο συντελεστής του x 00! στην παράσταση x x x 3, αν πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 5 παιδιά σε κάθε σειρά. 24. ( Σ / Λ ) Όσοι ο συντελεστής του x στην παράσταση x x x 3 πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 5 παιδιά σε κάθε σειρά., αν (Λάθος)

11 6. Πόσοι διαφορετικοί τετραγωνικοί πίνακες υπάρχουν στους οποίους κάθε στοιχείο του πίνακα είναι είτε 0 είτε ; 25. ( Σ / Λ ) C(400, ), αν από τα στοιχεία του πίνακα είναι και τα υπόλοιπα είναι x 26. ( Σ / Λ ) Όσοι ο συντελεστής του στην παράσταση 400! x x x x! 2! 3! 400! 27. ( Σ / Λ ) 2 90, αν ο πίνακας πρέπει να αντιστοιχεί στον πίνακα γειτνίασης (μητρώο σύνδεσης) ενός απλού μη κατευθυνόμενου γραφήματος με 20 κορυφές. 28. ( Σ / Λ ) Όσοι οι διαφορετικές μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης z0 z 400. (Λάθος) 7. Θεωρούμε απλά μη κατευθυντικά (μη κατευθυνόμενα) συνδεόμενα γραφήματα. 29. ( Σ / Λ ) To K n,m έχει κύκλο Euler αν n 2, m 2, και το n + m είναι άρτιος αριθμός. (Λάθος) 30. ( Σ / Λ ) Αν ένα γράφημα με n 4 κορυφές έχει σύνολο ανεξαρτησίας με περισσότερες από n / 2 κορυφές, τότε αυτό δεν έχει κύκλο Euler. (Λάθος) 3. ( Σ / Λ ) Αν ένα γράφημα με n 4 κορυφές έχει σύνολο ανεξαρτησίας με περισσότερες από n / 2 κορυφές, τότε αυτό δεν έχει κύκλο Hamilton. 32. ( Σ / Λ ) Σε κάθε γράφημα με n 4 κορυφές και κύκλο Hamilton, υπάρχουν κορυφές u, v τέτοιες ώστε το συντομότερο u v μονοπάτι να έχει μήκος n. 8. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν; (Λάθος) 33. ( Σ / Λ ) Υπάρχει απλό επίπεδο γράφημα με 0 κορυφές που όλες έχουν βαθμό ίσο με 5. (Λάθος) 34. ( Σ / Λ ) Ένα απλό γράφημα με n 6 κορυφές είναι επίπεδο αν και μόνο αν το συμπληρωματικό του γράφημα δεν είναι επίπεδο. (Λάθος) 35. ( Σ / Λ ) Σε κάθε απλό επίπεδο γράφημα G, το πλήθος των όψεων του G είναι ίσο με το πλήθος των κύκλων του G. (Λάθος) 36. ( Σ / Λ ) Μπορεί δύο ομοιομορφικά γραφήματα να έχουν διαφορετικό πλήθος όψεων. (Λάθος) 9. Θεωρούμε απλά μη κατευθυντικά (μη κατευθυνόμενα) γραφήματα που δεν είναι κατ ανάγκη συνδεόμενα. 37. ( Σ / Λ ) Τα φύλλα ενός δέντρου με n 3 κορυφές αποτελούν σύνολο ανεξαρτησίας. 38. ( Σ / Λ ) Ένα γράφημα είναι δέντρο αν και μόνο αν όλες οι ακμές του είναι γέφυρες. (Λάθος) Υπενθύμιση: Μια ακμή είναι γέφυρα αν δεν ανήκει σε κανένα κύκλο. 39. ( Σ / Λ ) Ένα γράφημα έχει χρωματικό αριθμό ίσο με 3 αν και μόνο αν περιέχει το K 3 ως επαγόμενο υπογράφημα. (Λάθος)

12 40. ( Σ / Λ ) Κάθε γράφημα με n 4 κορυφές και n ακμές έχει χρωματικό αριθμό ίσο με 2. (Λάθος) 20. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν για το γράφημα του διπλανού σχήματος; 4. ( Σ / Λ ) Το βάρος του Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου είναι ( Σ / Λ ) Κάθε ακμή βάρους 2 ανήκει σε κάποιο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο. (Λάθος) 43. ( Σ / Λ ) Υπάρχει Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο που περιέχει την ακμή {u, u 6 }. 44. ( Σ / Λ ) Η δεύτερη στη σειρά ακμή που προστίθεται στο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο από τον αλγόριθμο του Prim με αρχική κορυφή s είναι η {s, u 2 }. (Λάθος) s.8. u 3 u u u u 5.6. u 6.3. u 7

13 ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, ΜΕΡΟΣ Β' ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΜΑ (μονάδες 25) Για την εξέταση μιας ΘΕ, διατίθενται 4 διαφορετικά αμφιθέατρα, τα Χ, Ψ, Ζ, και Ω, με 00 αριθμημένες (διακεκριμένες) θέσεις το καθένα. Στην εξέταση θα λάβουν μέρος 250 φοιτητές συνολικά, 80 από το Α' έτος, 00 από το Β' έτος, και 70 από το Γ' έτος σπουδών. Για την οργάνωση της εξέτασης, κάθε φοιτητής χαρακτηρίζεται μόνο από το έτος σπουδών του, και δεν ενδιαφέρει η ταυτότητά του. α) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν οι φοιτητές από τα 3 έτη σπουδών στα 4 αμφιθέατρα, αν δεν υπάρχουν περιορισμοί; β) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν οι φοιτητές στα 4 αμφιθέατρα, αν ολόκληρο το Β' έτος πρέπει να καθίσει στο αμφιθέατρο Ω, και δεν επιτρέπεται να έχουμε φοιτητές από διαφορετικό έτος στο ίδιο αμφιθέατρο; Για τα ερωτήματα (γ) και (δ), πρέπει να διατυπώσετε γεννήτρια συνάρτηση και να προσδιορίσετε τον όρο του οποίου ο συντελεστής απαντά στο ζητούμενο. γ) Με πόσους τρόπους μπορούν να κατανεμηθούν οι θέσεις του αμφιθέατρου Χ στα τρία έτη σπουδών, ώστε καμία θέση να μην μείνει κενή και να έχουμε τουλάχιστον 0 και το πολύ 50 φοιτητές από κάθε έτος στο αμφιθέατρο Χ; Για το ερώτημα (δ), αγνοούμε την αρίθμηση των θέσεων σε κάθε αμφιθέατρο. Επομένως οι διαφορετικές τοποθετήσεις έχουν να κάνουν μόνο με τον αριθμό των φοιτητών κάθε έτους σε κάθε αμφιθέατρο. δ) Με πόσους τρόπους μπορούν καθίσουν οι φοιτητές στα 4 αμφιθέατρα, αν ολόκληρο το Β' έτος πρέπει να καθίσει στο αμφιθέατρο Ω, και πρέπει καθένα από τα αμφιθέατρα Χ, Ψ, και Ζ να έχει 50 φοιτητές συνολικά και τουλάχιστον 0 φοιτητές από καθένα από τα έτη Α' και Γ'; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Έχουμε C(400, 80) τρόπους να επιλέξουμε 80 από τις 400 διακεκριμένες θέσεις όπου θα καθίσουν οι (μη διακεκριμένοι) φοιτητές του Α' έτους. Στη συνέχεια, έχουμε C(320, 00) τρόπους για τους φοιτητές του Β' έτους, και τέλος, C(220, 70) τρόπους για τους φοιτητές του Γ' έτους. Από τον κανόνα του γινομένου, έχουμε 400! C(400,80) C(320,00) C(220, 70) τρόπους συνολικά. 80!00!70!50! β) Oι φοιτητές του Β' έτους θα καταλάβουν όλες τις θέσεις στο αμφιθέατρο Ω (αυτό συμβαίνει με τρόπο). Είτε το Α' έτος είτε το Γ' έτος έχει τη δυνατότητα να καταλάβει δύο αμφιθέατρα. Αν αυτό συμβεί για το Α' έτος, έχουμε C(3, 2) = 3 τρόπους να επιλέξουμε τα δύο αμφιθέατρα, C(200, 80) τρόπους επιλογής θέσεων για τους φοιτητές του Α' έτους, και C(00, 70) τρόπους επιλογής θέσεων για τους φοιτητές του Γ' έτους. Άρα έχουμε 3 200!00! 3 C(200,80) C(00,70) τρόπους. Αντίστοιχα, έχουμε 80!20!70!30! 300!200! 3 C(00,80) C(200,70) τρόπους, όταν το Γ' έτος καταλαμβάνει δύο 80!20!70!30!

14 αμφιθέατρα. Τα δύο αυτά ενδεχόμενα είναι αμοιβαία αποκλειόμενα. Συνεπώς, από τον 3200!00! 300!200! κανόνα του αθροίσματος, έχουμε τρόπους συνολικά. 80!20!70!30! 80!20!70!30! γ) Έχουμε διανομή 00 διακεκριμένων αντικειμένων (θέσεις αμφιθεάτρου Χ) σε 3 διακεκριμένες υποδοχές (έτη σπουδών), χωρίς να έχει σημασία η σειρά στις υποδοχές, ώστε κάθε υποδοχή να πάρει τουλάχιστον 0 και το πολύ 50 αντικείμενα. Συνεπώς, ο εκθετικός x x x x απαριθμητής για κάθε υποδοχή είναι. Η εκθετική γεννήτρια 0!! 2! 50! συνάρτηση είναι x x x x, και το ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή 0!! 2! 50! 00 x του. 00! δ) Oι φοιτητές του Β' έτους θα καταλάβουν όλες τις θέσεις στο αμφιθέατρο Ω (με τρόπο). Επειδή οι θέσεις στο ίδιο αμφιθέατρο δεν θεωρούνται διακεκριμένες, έχουμε διανομή 80 ίδιων φοιτητών του Α' έτους και 70 ίδιων φοιτητών του Γ' έτους σε 3 διακεκριμένες «υποδοχές» (αμφιθέατρα Χ, Ψ, Ζ), ώστε κάθε υποδοχή να πάρει 50 φοιτητές συνολικά και τουλάχιστον 0 φοιτητές από καθένα από τα έτη Α' και Γ'. Αφού το πλήθος των φοιτητών σε κάθε υποδοχή είναι δεδομένο, αρκεί να υπολογίσουμε τις διανομές για τους φοιτητές του Α' έτους. Στη συνέχεια, οι φοιτητές του Γ' έτους κατανέμονται με μοναδικό τρόπο, ώστε όλες οι υποδοχές να έχουν 50 φοιτητές συνολικά. Όσον αφορά στους φοιτητές του Α' έτους, κάθε υποδοχή μπορεί να πάρει τουλάχιστον 0 και το πολύ 40 φοιτητές (μένουν έτσι τουλάχιστον 0 θέσεις κενές για τους φοιτητές του Γ' έτους). Ο απαριθμητής για τους φοιτητές του Α' 0 40 έτους σε κάθε υποδοχή είναι x x x. Η συνήθης γεννήτρια συνάρτηση είναι 0 40 x x x 3, και το ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή του ΕΡΩΤΗΜΑ 2 (μονάδες 35) Στα ερωτήματα (α) και (β), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα Θεωρήματα Απαγωγής, Αντιθετοαναστροφής, Απαγωγής σε Άτοπο, αλλά όχι το Θεώρημα Εγκυρότητας-Πληρότητας. α) Να δείξετε ότι φ (ψ φ) ψ. β) Έστω φ και ψ προτασιακοί τύποι. Ορίζουμε την ακολουθία τύπων χ 0, χ,, χ n, ως εξής: χ 0 = φ, και για κάθε φυσικό n, χ n = (ψ χ n ) ψ. Χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή και προαιρετικά το (α), να δείξετε ότι για κάθε n 0, φ χ n. γ) Θεωρούμε τη γλώσσα της κατηγορηματικής λογικής που ορίζεται σε απλά μη κατευθυντικά (μη κατευθυνόμενα) γραφήματα, όπου το σύμπαν είναι οι κορυφές του γραφήματος, και το διμελές κατηγορηματικό σύμβολο P(x, y) δηλώνει ότι «οι κορυφές x και y συνδέονται με ακμή». Δύο κορυφές καλούνται γειτονικές αν αυτές συνδέονται με ακμή. Σε αυτή την ερμηνεία, να διατυπώσετε: 80 x. (i) Τύπο ψ(x, y) που δηλώνει ότι το σύνολο των γειτονικών κορυφών της x είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των γειτονικών κορυφών της y. (ii) Πρόταση που δηλώνει ότι το γράφημα έχει κορυφή που όλες οι γειτονικές της κορυφές έχουν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 2. δ) Έστω ο τύπος xy Q( x, y) Q( y, x) xq( x, x). Να δείξετε, διατυπώνοντας ένα κατάλληλο αντιπαράδειγμα, ότι ο τύπος ψ δεν είναι λογικά έγκυρος.

15 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Εφαρμόζοντας το Θ. Απαγωγής, αρκεί να δείξουμε ότι { φ, ψ φ } ψ. Για αυτό έχουμε την παρακάτω τυπική απόδειξη:. φ Υπόθεση 2. ψ φ Υπόθεση 3. (ψ φ) ((ψ φ) ψ) ΑΣ3 4. (ψ φ) ψ 2, 3, MP 5. φ (ψ φ) ΑΣ 6. ψ φ, 5, ΜΡ 7. ψ 6, 4, ΜΡ β) Βάση επαγωγής: Για n = 0, το ζητούμενο γίνεται φ φ, που ισχύει τετριμμένα. Επαγωγική υπόθεση: Έστω αυθαίρετο n 0. Υποθέτουμε ότι φ χ n. Επαγωγικό βήμα: Θα δείξουμε ότι φ χ n+, ή ισοδύναμα ότι φ (ψ χ n ) ψ. Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι φ χ n. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι χ n (ψ χ n ) ψ, το οποίο προκύπτει άμεσα από το (α), αν θέσουμε εκεί το χ n στη θέση του φ. γ.i) ( x, y) z P( x, z) P( y, z) z P( y, z) P( x, z) γ.ii) x y P( x, y) z z x P( y, z ή xy P( x, y) zw z w P( y, z P( y, w) δ) Ένα απλό αντιπαράδειγμα προκύπτει αν θεωρήσουμε οποιοδήποτε σύμπαν και ερμηνεύσουμε το Q(x, y) ώστε να είναι πάντα ψευδές. Η υπόθεση xy ( Q( x, y) Q( y, x)) είναι αληθής, αφού τόσο το Q(x, y) όσο και το Q(y, x) είναι πάντα ψευδή, ενώ το συμπέρασμα xq( x, x) δεν είναι αληθές, αφού το Q(x, x) είναι πάντα ψευδές. Εναλλακτικά, κάθε απλό μη κατευθυντικό γράφημα αποτελεί ένα αντιπαράδειγμα, αν θεωρήσουμε ως σύμπαν το σύνολο των κορυφών του γραφήματος, και το διμελές κατηγορηματικό σύμβολο Q(x, y) δηλώνει ότι «οι κορυφές x και y συνδέονται με ακμή». Τότε κάθε ακμή είτε υπάρχει και στις δύο κατευθύνσεις είτε δεν υπάρχει καθόλου, και το γράφημα δεν έχει ανακυκλώσεις. ΕΡΩΤΗΜΑ 3 (μονάδες 20) α) Να δείξετε ότι κάθε δέντρο με n 2 κορυφές έχει τουλάχιστον δύο κορυφές που δεν είναι σημεία κοπής. Υπενθύμιση: Μια κορυφή u ενός συνδεόμενου γραφήματος λέγεται σημείο κοπής αν το γράφημα που προκύπτει από την αφαίρεση της u (και όλων των ακμών που προσπίπτουν σε αυτή) δεν είναι συνδεόμενο. β) Να δείξετε ότι κάθε συνδεόμενο γράφημα με n 2 κορυφές έχει τουλάχιστον δύο κορυφές που δεν είναι σημεία κοπής. γ) Να διατυπώσετε αλγόριθμο που δέχεται ως είσοδο ένα συνδεόμενο γράφημα G με n 2 κορυφές, και επιστρέφει 2 κορυφές του G που δεν είναι σημεία κοπής. Ο αλγόριθμός σας πρέπει να βασίζεται στον υπολογισμό ενός συνδετικού δέντρου του G. δ) Έστω συνδεόμενο γράφημα G με n 4 κορυφές. Να δείξετε ότι αν το G έχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι διαφορετικών συνδετικών δέντρων που δεν έχουν καμία κοινή ακμή μεταξύ τους, τότε το G δεν έχει γέφυρα. Υπενθύμιση: Μια ακμή e ενός συνδεόμενου γραφήματος λέγεται γέφυρα αν το γράφημα που προκύπτει από την αφαίρεση της e δεν είναι συνδεόμενο.

16 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Έστω δέντρο Τ με n 2 κορυφές. Γνωρίζουμε ότι το Τ έχει τουλάχιστον δύο φύλλα. Ένα φύλλο u δεν αποτελεί σημείο κοπής του Τ, αφού από την αφαίρεση της u προκύπτει ένα δέντρο με μία κορυφή λιγότερη. Άρα το Τ έχει τουλάχιστον δύο κορυφές, τα φύλλα του, που δεν είναι σημεία κοπής. β) Έστω G συνδεόμενο γράφημα με n 2 κορυφές. Αφού το G είναι συνδεόμενο, θεωρούμε ένα συνδετικό δέντρο Τ του G. Αφού n 2, το Τ έχει τουλάχιστον δύο φύλλα. Ένα φύλλο u του T δεν αποτελεί σημείο κοπής του G, επειδή αν αφαιρέσουμε τη u από το G, προκύπτει ένα γράφημα με συνδετικό δέντρο το T u. Αυτό γράφημα έχει συνδετικό δέντρο, άρα είναι συνδεόμενο. Συνεπώς, το G έχει τουλάχιστον δύο κορυφές, τα φύλλα ενός συνδετικού του δέντρου, που δεν είναι σημεία κοπής. γ) Με αναζήτηση κατά πλάτος (ή αναζήτηση κατά βάθος), υπολογίζουμε ένα συνδετικό δέντρο Τ του G, και επιστρέφουμε 2 οποιαδήποτε φύλλα του T. Για την αναγνώριση των φύλλων, π.χ. στην αναζήτηση κατά πλάτος, φύλλο είναι κάθε κορυφή x S που, όταν ελέγχουμε τους γείτονές της, η x δεν έχει ανεξερεύνητες γειτονικές κορυφές (δηλ. τη στιγμή που ελέγχουμε τους γείτονες της x, όλες οι γειτονικές κορυφές της x ανήκουν ήδη στο V'). Λόγω του (β), τα φύλλα του T δεν αποτελούν σημεία κοπής του G. δ) Έστω Τ και Τ 2 ένα ζευγάρι συνδετικών δέντρων του G που δεν έχουν καμία κοινή ακμή μεταξύ τους, και έστω e μια οποιαδήποτε ακμή του G. Θα δείξουμε ότι η e δεν είναι γέφυρα. Αφού τα Τ και Τ 2 δεν έχουν κοινές ακμές, η e δεν ανήκει σε τουλάχιστον ένα από αυτά. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι η e δεν ανήκει στο Τ. Άρα το γράφημα G' που προκύπτει αν αφαιρέσουμε την e από το G είναι συνδεόμενο, αφού το T αποτελεί συνδετικό δέντρο του G'. Άρα η e δεν είναι γέφυρα. ΕΡΩΤΗΜΑ 4 (μονάδες 20) Για κάθε φυσικό, o υπερκύβος Q διάστασης ορίζεται επαγωγικά ως εξής: Ο υπερκύβος Q αποτελείται από δύο κορυφές, με ετικέτες 0 και, που συνδέονται με ακμή. Για κάθε 2, ο υπερκύβος Q αποτελείται από δύο αντίγραφα του υπερκύβου Q, στα οποία συνδέουμε με ακμή όλα τα ζεύγη κορυφών που έχουν ίδια ετικέτα στα δύο αντίγραφα. Στη συνέχεια, προσθέτουμε το ψηφίο 0 στις ετικέτες των κορυφών του ενός αντίγραφου του Q και το ψηφίο στις ετικέτες των κορυφών του άλλου. Στο σχήμα, μπορείτε π.χ. να δείτε τους υπερκύβους Q, Q 2, και Q α) Με μαθηματική επαγωγή στη διάσταση, να δείξετε ότι ο υπερκύβος Q έχει 2 ακμές. β) Με μαθηματική επαγωγή στη διάσταση, να δείξετε ότι ο υπερκύβος Q είναι διμερές (διχοτομίσιμο) γράφημα.

17 γ) Να δείξετε ότι ο υπερκύβος Q είναι επίπεδο γράφημα αν και μόνο αν έχει διάσταση 3. Υπόδειξη: Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος ακμών που μπορεί να έχει ένα απλό επίπεδο διμερές γράφημα; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Βάση επαγωγής: Για =, ο Q πράγματι έχει 2 ακμή. Επαγωγική υπόθεση: Έστω αυθαίρετο. Υποθέτουμε ότι ο Q έχει 2 ακμές. Επαγωγικό βήμα: Ο Q + έχει όλες τις ακμές των δύο Q που τον αποτελούν, οι οποίες με βάση την επαγωγική υπόθεση είναι 2 2 = 2, και 2 επιπλέον ακμές που συνδέουν τα 2 ζεύγη κορυφών με την ίδια ετικέτα στα δύο αντίγραφα του Q. Άρα ο Q + πράγματι έχει = (+) 2 ακμές συνολικά. β) Βάση επαγωγής: Για =, ο Q είναι πράγματι διμερές γράφημα. Επαγωγική υπόθεση: Έστω αυθαίρετο. Υποθέτουμε ότι ο Q είναι διμερές γράφημα. Επαγωγικό βήμα: Με βάση την επαγωγική υπόθεση, θεωρούμε μια διαμέριση των κορυφών του Q σε δύο σύνολα ανεξαρτησίας X και Y. Συμβολίζουμε με αντίγραφα του Q από τα οποία αποτελείται ο Q +. Ακόμη, έστω κορυφών του των κορυφών του 0 Q σε δύο σύνολα ανεξαρτησίας, και έστω X και 0 Q και με Q τα δύο 0 0 X και Y η διαμέριση των Y η αντίστοιχη διαμέριση Q. Σύμφωνα με τον ορισμό, ο Q + αποτελείται από τους όπου έχει συνδεθεί με ακμή κάθε κορυφή του κάθε κορυφή του X (αντίστοιχα στο ούτε μεταξύ των 0 X (αντίστοιχα του 0 Q με την αντίστοιχη κορυφή του 0 Q και Q, Q. Έτσι 0 Y ) συνδέεται με ακμή με την αντίστοιχη κορυφή στο Y ). Άρα δεν υπάρχουν καθόλου ακμές ούτε μεταξύ των 0 X και Y. Συνεπώς, τα σύνολα κορυφών Y 0 X και X 0 Y και 0 Y X είναι σύνολα ανεξαρτησίας και αποτελούν μια διαμέριση των κορυφών του Q +. Άρα ο Q + είναι διμερές γράφημα. γ) Στο σχήμα, φαίνεται μια αποτύπωση των Q, Q 2, και Q 3 στο επίπεδο. Άρα για κάθε 3, ο Q είναι επίπεδο γράφημα Για κάθε 4, ο Q είναι ένα απλό διμερές γράφημα με 2 κορυφές και 2 ακμές, λόγω των (α) και (β). Γνωρίζουμε ότι κάθε απλό επίπεδο διμερές γράφημα με n κορυφές και m των ακμές ικανοποιεί την ανισότητα m 2n 4. Εφαρμόζοντας αυτή την ανισότητα στον Q, έχουμε ότι: (4 ) Η τελευταία ανισότητα είναι ψευδής για κάθε 4 (δηλώνει ότι κάτι θετικό είναι μικρότερο ή ίσο μιας ποσότητας που είναι είτε αρνητική, για > 4, είτε 0, για = 4). Άρα για κάθε 4, ο υπερκύβος Q δεν είναι επίπεδο γράφημα. 0