K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
|
|
|
- Δημοστρατη Αθανασιάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
2 Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα 1 Στοιχεία προτασιακής λογικής 2 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 2 / 78
3 Λογικές προτάσεις Ως λογική πρόταση εννοούμε μια δήλωση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής (α) [true] ή ως ψευδής (ψ) [false] Η πρόταση p= Ο αριθμός 7 είναι άρτιος, για παράδειγμα, είναι μια ψευδής λογική πρόταση Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε p=ψ Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 3 / 78
4 Ορισμοί Αποδείξεις Θεωρήματα Η προσπάθεια διαπίστωσης αν μια λογική πρόταση αληθεύει ή όχι αποτελεί το κύριο χαρακτηριστικό της μαθηματικής εργασίας Η αλήθεια μιας πρότασης μπορεί να προκύψει: άμεσα από έναν ορισμό, ο οποίος είναι μια πρόταση με την οποία καθορίζεται η σημασία ενός νέου όρου (πχ Ρόμβος είναι κάθε τετράπλευρο με ίσες πλευρές ) ως το λογικό συμπέρασμα που προκύπτει από άλλες αληθείς προτάσεις, οπότε λέγεται θεώρημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 4 / 78
5 Αξιώματα Οι αληθείς προτάσεις από τις οποίες προκύπτει λογικά ένα θεώρημα μπορεί να είναι και αυτές θεωρήματα, τα οποία έχουν προκύψει από άλλες αληθείς προτάσεις, κοκ Έτσι, θα πρέπει ορισμένες αρχικές προτάσεις να τις δεχθούμε ως αληθείς Οι προτάσεις αυτές ονομάζονται αξιώματα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 5 / 78
6 Απλές και σύνθετες λογικές προτάσεις Μια λογική πρόταση ονομάζεται απλή όταν κανένα τμήμα της δεν αρκεί για να σχηματισθεί μια άλλη πρόταση Μια λογική πρόταση ονομάζεται σύνθετη όταν δεν είναι απλή Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 6 / 78
7 Απλές και σύνθετες λογικές προτάσεις Παράδειγμα απλής πρότασης Ο αριθμός x είναι περιττός Παράδειγμα σύνθετης πρότασης Ο αριθμός x δεν είναι περιττός Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 7 / 78
8 Απλές και σύνθετες λογικές προτάσεις Σύνθετες είναι και οι προτάσεις οι οποίες αποτελούνται από δύο ή περισσότερες απλές: Παραδείγματα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και (το ΑΒΓ είναι) ισοσκελές ο αριθμός x είναι άρτιος ή περιττός αν ο Α είναι πατέρας του Β, τότε ο Β είναι παιδί του Α Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 8 / 78
9 Ασκήσεις Άσκηση 1 Ποιες από τις παρακάτω φράσεις είναι λογικές προτάσεις; Ο αριθμός 6 είναι πρώτος Η Κέρκυρα είναι νησί Πού θα πάτε αύριο; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 9 / 78
10 Ασκήσεις Άσκηση 2 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι απλές, και ποιες σύνθετες; Ο αριθμός 10 δεν είναι πρώτος Ο αριθμός 24 είναι σύνθετος αʹ Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, τότε είναι και ισογώνιο Το 12 και το 18 είναι πολλαπλάσια του 3 αʹσύνθετοι ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι διαθέτουν περισσότερους από δύο διαιρέτες Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 10 / 78
11 Ασκήσεις Άσκηση 3 Να βρείτε τη δομή των επόμενων σύνθετων προτάσεων αντικαθιστώντας με γράμματα όλες τις απλές προτάσεις από τις οποίες σχηματίζονται Αν ο x είναι ρητός και ο y ακέραιος, τότε ο x+y είναι ρητός αριθμός Αν οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι κάθετες ή διχοτομούν τις γωνίες του, τότε το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος Αν xy 0 τότε x 0 ή y 0 Αν ο x είναι πολλαπλάσιο του 5 και το άθροισμα x+y είναι πολλαπλάσιο του 5, τότε και ο y είναι πολλαπλάσιο του 5 Αν το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ δεν είναι ρόμβος, τότε οι διαγώνιές του δεν είναι κάθετες ή δεν διχοτομούν τις γωνίες του Αν δύο δεδομένοι αριθμοί x και y είναι άρτιοι ή περιττοί, τότε το άθροισμά τους είναι άρτιος αριθμός Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 11 / 78
12 Ασκήσεις Άσκηση 4 Ποιες από τις προτάσεις της προηγούμενης άσκησης έχουν την ίδια δομή; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 12 / 78
13 Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικές πράξεις Λογική πράξη ονομάζεται η διαδικασία παραγωγής νέων λογικών προτάσεων από προϋπάρχουσες προτάσεις Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 13 / 78
14 Λογικές πράξεις Άρνηση Η άρνηση μιας λογικής πρότασης p είναι μια νέα πρόταση (που συμβολίζεται με p ή p ή p ) η οποία αληθεύει όταν η πρόταση p είναι ψευδής, και το αντίστροφο Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε: { ψ, αν p = α p = α, αν p = ψ Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 14 / 78
15 Λογικές πράξεις Σύζευξη Έστω δύο λογικές προτάσεις p και q Η σύζευξη των προτάσεων p και q είναι μια νέα πρόταση (που συμβολίζεται με p q ή p q ή p&q) η οποία αληθεύει όταν και οι δύο προτάσεις p και q είναι αληθείς Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε: { α, αν p = α και q = α p q = ψ, αλλιώς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 15 / 78
16 Λογικές πράξεις Διάζευξη (εγκλειστική inclusive) Έστω δύο λογικές προτάσεις p και q Η διάζευξη των προτάσεων p και q είναι μια νέα πρόταση (που συμβολίζεται με p q ή p + q ή p q) η οποία αληθεύει όταν τουλάχιστον μία από τις προτάσεις p και q είναι αληθής Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε: { α, αν p = α ή q = α p q = ψ, αλλιώς Ισοδύναμα, η πράξη της λογικής διάζευξης μπορεί να περιγραφεί ως εξής: { ψ, αν p = ψ και q = ψ p q = α, αλλιώς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 16 / 78
17 Λογικές πράξεις Συνεπαγωγή Έστω δύο λογικές προτάσεις p και q Η συνεπαγωγή με υπόθεση την πρόταση p και συμπέρασμα την πρόταση q είναι μια νέα πρόταση (που συμβολίζεται με p q) η οποία είναι ψευδής στην περίπτωση κατά την οποία η p είναι αληθής και η q ψευδής Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε: { ψ, αν p = α και q = ψ p q = α, αλλιώς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 17 / 78
18 Λογικές πράξεις Παράδειγμα (Υποθέτουμε πως όλα τα μήλα είναι κόκκινα, και πως x είναι φρούτο) Έστω οι προτάσεις p= το x είναι μήλο και q= το x είναι κόκκινο p q p q παρατηρήσεις κάποιο φρούτο που δεν είναι μήλο μπορεί να μην είναι κόκκινο ψ ψ α ψ α α κάποιο φρούτο που δεν είναι μήλο μπορεί να είναι κόκκινο α ψ ψ κάποιο φρούτο που είναι μήλο μπορεί να μην είναι κόκκινο α α α κάποιο φρούτο που είναι μήλο μπορεί να είναι κόκκινο Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 18 / 78
19 Λογικές πράξεις Ισοδυναμία Έστω δύο λογικές προτάσεις p και q Η ισοδυναμία των προτάσεων p και q είναι μια νέα πρόταση (που συμβολίζεται με p q) η οποία είναι αληθής στις περιπτώσεις κατά τις οποίες οι προτάσεις p και q λαμβάνουν τις ίδιες λογικές τιμές (είναι ταυτόχρονα αληθείς ή ψευδείς) Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε: { α, αν p και q ομότιμες p q = ψ, αλλιώς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 19 / 78
20 Λογικοί τύποι Για το συμβολισμό μιας σύνθετης λογικής πρότασης η οποία προκύπτει από άλλες προτάσεις μέσω λογικών πράξεων χρησιμοποιούμε λογικούς τύπους (αλλιώς, λογικές παραστάσεις) Οι λογικοί τύποι περιλαμβάνουν τα σύμβολα των επιμέρους λογικών προτάσεων καθώς και τα σύμβολα των λογικών πράξεων οι οποίες χρησιμοποιούνται Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 20 / 78
21 Λογικοί τύποι Παραδείγματα λογικών τύπων p q (p q) (q r) s (p q) (q r) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 21 / 78
22 Λογικοί τύποι Πίνακες αλήθειας Οι πίνακες αλήθειας παρέχουν τις τιμές μιας πρότασης η οποία ορίζεται από έναν συγκεκριμένο λογικό τύπο, για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς τιμών των λογικών προτάσεων οι οποίες συμμετέχουν σε αυτόν Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 22 / 78
23 Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικοί τύποι Πίνακες αλήθειας Παράδειγμα: Πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο p p p ψ α α ψ Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 23 / 78
24 Λογικοί τύποι Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο p q Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο p q Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 24 / 78
25 Λογικοί τύποι Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο p q Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο p q Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 25 / 78
26 Λογικοί τύποι Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο (p q) r Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας για τον λογικό τύπο (p q) r Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 26 / 78
27 Λογικοί τύποι Ταυτολογία Ταυτολογία ονομάζεται η πρόταση της οποίας ο λογικός τύπος δίνει αληθή τιμή για όλους τους συνδυασμούς τιμών των προτάσεων οι οποίες τον απαρτίζουν Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 27 / 78
28 Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικοί τύποι Άσκηση Να αποδείξετε πως ο λογικός τύπος p p αντιστοιχεί σε ταυτολογία Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 28 / 78
29 Λογικοί τύποι Αντίφαση Αντίφαση ονομάζεται η πρόταση της οποίας ο λογικός τύπος δίνει ψευδή τιμή για όλους τους συνδυασμούς τιμών των προτάσεων οι οποίες τον απαρτίζουν Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 29 / 78
30 Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικοί τύποι Άσκηση Να αποδείξετε πως ο λογικός τύπος p p αντιστοιχεί σε αντίφαση Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 30 / 78
31 Λογικοί τύποι Ισοδύναμοι λογικοί τύποι Δύο λογικοί τύποι ονομάζονται ισοδύναμοι όταν δίνουν την ίδια τιμή για κάθε συνδυασμό τιμών των προτάσεων οι οποίες τους απαρτίζουν Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 31 / 78
32 Λογικοί τύποι Άσκηση Να αποδείξετε πως οι λογικοί τύποι p q και p q είναι ισοδύναμοι Άσκηση Να αποδείξετε πως οι λογικοί τύποι p q και p q είναι ισοδύναμοι Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 32 / 78
33 Προτασιακοί τύποι Έστω ένα σύνολο Ω και p(x) μια έκφραση η οποία περιέχει το σύμβολο x και μετατρέπεται σε λογική πρόταση κάθε φορά που το x αντικαθίσταται με κάποιο στοιχείο του συνόλου Ω Η έκφραση p(x) ονομάζεται προτασιακός τύπος μιας μεταβλητής ορισμένος στο σύνολο Ω Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 33 / 78
34 Προτασιακοί τύποι Θα συμβολίζουμε με p(α) τη λογική πρόταση η οποία προκύπτει από τον προτασιακό τύπο p(x) θέτοντας το α στη θέση του x Αν η πρόταση p(α) είναι αληθής, θα λέμε πως το α επαληθεύει τον προτασιακό τύπο p(x) Το υποσύνολο του συνόλου Ω το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία τα οποία επαληθεύουν τον προτασιακό τύπο p(x) ονομάζεται σύνολο αλήθειας του προτασιακού τύπου Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 34 / 78
35 Προτασιακοί τύποι Παρατηρήσεις: Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να ορίσουμε προτασιακούς τύπους δύο ή περισσότερων μεταβλητών Αξιοσημείωτοι προτασιακοί τύποι είναι οι εξισώσεις και οι ανισώσεις Η επίλυση μιας εξίσωσης ή μιας ανίσωσης ισοδυναμεί με τον προσδιορισμό του συνόλου αλήθειας του αντίστοιχου προτασιακού τύπου Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 35 / 78
36 Προτασιακοί τύποι Άσκηση Δίνεται το σύνολο Ω={1,2,3,,20}, στο οποίο ορίζονται οι ακόλουθοι προτασιακοί τύποι: p(x): ο x είναι πολλαπλάσιο του 2 q(x): ο x είναι πολλαπλάσιο του 5 Να βρείτε τα σύνολα αλήθειας των προτασιακών τύπων: p(x) q(x) p(x) q(x) p(x) q(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 36 / 78
37 Ποσοδείκτες Έστω προτασιακός τύπος p(x) ορισμένος στο σύνολο Ω, με σύνολο αλήθειας A Θα εξετάσουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Α=Ω Α Ω Α= Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 37 / 78
38 Ποσοδείκτες Α=Ω Ο προτασιακός τύπος είναι καθολικά αληθής, δηλαδή επαληθεύεται για όλα τα στοιχεία του συνόλου ορισμού του: x Ω, p(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 38 / 78
39 Ποσοδείκτες Α Ω Ο προτασιακός τύπος είναι ψευδής, δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του συνόλου ορισμού του το οποίο δεν τον επαληθεύει (ή, αλλιώς, επαληθεύει τη λογική του άρνηση): x Ω, p(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 39 / 78
40 Ποσοδείκτες Α= Ο προτασιακός τύπος είναι καθολικά ψευδής, δηλαδή δεν επαληθεύεται για κανένα στοιχείο του συνόλου ορισμού του: x Ω, p(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 40 / 78
41 Στοιχεία προτασιακής λογικής Ποσοδείκτες Τα σύμβολα και ονομάζονται καθολικός και υπαρξιακός ποσοδείκτης, αντίστοιχα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 41 / 78
42 Ποσοδείκτες Άσκηση Να εξετάσετε αν οι ακόλουθες προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς x R, x 2 0 x R, x x Ω, x x x R, x 2 = x Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 42 / 78
43 Τεχνικές Αποδείξεων Απόδειξη ονομάζεται η διαδικασία με την οποία διαπιστώνουμε πως μια λογική πρόταση είναι αληθής Γενικά, η απόδειξη συνίσταται στην διαδοχική παραγωγή αληθών προτάσεων με κατάληξη στην αποδεικτέα πρόταση Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 43 / 78
44 Τεχνικές Αποδείξεων Ευθεία απόδειξη Έστω η συνεπαγωγή p(x) q(x) Για την απόδειξή της αρκεί να θεωρήσουμε τα x τα οποία επαληθεύουν την p(x) και να αποδείξουμε για αυτά την ισχύ της q(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 44 / 78
45 Στοιχεία προτασιακής λογικής Τεχνικές Αποδείξεων Παράδειγμα Να αποδειχθεί η συνεπαγωγή: x N, (x περιττός) (x 2 περιττός) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 45 / 78
46 Στοιχεία προτασιακής λογικής Τεχνικές Αποδείξεων Άσκηση Να αποδειχθεί η συνεπαγωγή: x N, (x άρτιος) (x 2 άρτιος) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 46 / 78
47 Τεχνικές Αποδείξεων Αντιθετοαντιστροφή Έστω η συνεπαγωγή p(x) q(x) Για την απόδειξή της αρκεί να αποδείξουμε την q(x) p(x) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 47 / 78
48 Στοιχεία προτασιακής λογικής Τεχνικές Αποδείξεων Παράδειγμα Να αποδειχθεί η συνεπαγωγή: x N, (x 2 άρτιος) (x άρτιος) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 48 / 78
49 Τεχνικές Αποδείξεων Απαγωγή σε άτοπο Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε την αλήθεια της πρότασης p Μπορούμε να ξεκινήσουμε από την υπόθεση πως δεν αληθεύει η πρόταση p (άρα, αληθεύει η p) και από αυτήν, να καταλήξουμε σε μια ψευδή πρόταση Θα αληθεύει, επομένως, η p, άρα και η p Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 49 / 78
50 Τεχνικές Αποδείξεων Επαγωγή Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι ένας προτασιακός τύπος p(n), n N είναι καθολικά αληθής Θα πρέπει να αποδείξουμε την αλήθεια όλων των προτάσεων p(0), p(1), p(2),, p(n) Για το σκοπό αυτό μπορούμε να ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία: 1 Αποδεικνύουμε την p(0) 2 Υποθέτουμε πως αληθεύει η p(k) 3 Αποδεικνύουμε πως αληθεύει η p(k + 1) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 50 / 78
51 Τεχνικές Αποδείξεων Παράδειγμα Να αποδειχθεί ότι n 2, n = n(n + 1) 2 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 51 / 78
52 Στοιχεία προτασιακής λογικής Τεχνικές Αποδείξεων Άσκηση Να αποδειχθεί ότι n 2, (2n 1) = n 2 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 52 / 78
53 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Περιεχόμενα 1 Στοιχεία προτασιακής λογικής 2 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 53 / 78
54 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ορισμός συνόλου Ένα σύνολο αποτελεί μια καλά ορισμένη συλλογή διαφορετικών αντικειμένων, όχι κατ ανάγκη ομοειδών Με τον όρο καλά ορισμένη νοείται η περιγραφή του συνόλου κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να μπορεί κάποιος να καθορίσει αν κάποιο δοσμένο αντικείμενο ανήκει ή όχι στο συγκεκριμένο σύνολο Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 54 / 78
55 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ορισμός συνόλου Ο ορισμός ενός συνόλου μπορεί να γίνει με: αναγραφή όλων των στοιχείων του (δηλαδή, των αντικειμένων τα οποία περιέχει) περιγραφή των κοινών ιδιοτήτων ή χαρακτηριστικών τους Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 55 / 78
56 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ορισμός συνόλου Παραδείγματα ορισμού συνόλων A={1, κόκκινο, Γιάννης, β} B={x R : x 2 = 64} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 56 / 78
57 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ορισμός συνόλου Άσκηση Να παρασταθεί με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο Α={τα ψηφία του αριθμού 1220} Άσκηση Να παρασταθεί με περιγραφή των στοιχείων του το σύνολο Β={Σεπτέμβριος, Οκτώβριος, Νοέμβριος} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 57 / 78
58 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ισότητα συνόλων Δύο σύνολα Α και Β που απαρτίζονται από τα ίδια ακριβώς στοιχεία ονομάζονται ίσα, και γράφουμε γι αυτά A=B ή B=A Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 58 / 78
59 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ισότητα συνόλων Άσκηση Δίνονται τα σύνολα Α={τα γράμματα της λέξης νόμος } και Β={τα γράμματα της λέξης μονός } Να εξετάσετε αν τα σύνολα είναι ίσα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 59 / 78
60 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ισοδυναμία συνόλων Δύο σύνολα Α και Β τα στοιχεία των οποίων μπορούν να αντιστοιχηθούν ένα προς ένα ονομάζονται ισοδύναμα, και γράφουμε γι αυτά A B ή B A Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 60 / 78
61 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Ισοδυναμία συνόλων Άσκηση Δίνονται τα σύνολα Α={οι μήνες του φθινοπώρου} και Β={τα σύμβολα του τριαδικού συστήματος αρίθμησης} Να εξετάσετε αν τα σύνολα είναι ισοδύναμα Άσκηση Δίνονται τα σύνολα Α={οι μήνες του φθινοπώρου} και Β={τα σύμβολα του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης} Να εξετάσετε αν τα σύνολα είναι ισοδύναμα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 61 / 78
62 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Κενό σύνολο Ένα σύνολο το οποίο δεν περιέχει κανένα στοιχείο ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με {} ή Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 62 / 78
63 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Καθολικό σύνολο Ένα σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα δυνατά αντικείμενα ονομάζεται καθολικό σύνολο και συμβολίζεται με U Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 63 / 78
64 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Γνήσια υποσύνολα Κάθε σύνολο Β το οποίο σχηματίζεται από μερικά στοιχεία ενός συνόλου Α, ονομάζεται γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Α (B A) Με άλλα λόγια, ένα σύνολο Β είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Α αν όλα τα στοιχεία του Β είναι και στοιχεία του Α, ενώ υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Α το οποίο δεν είναι στοιχείο του Β Για τα γνήσια υποσύνολα ισχύει η μεταβατική ιδιότητα: A B B C A C Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 64 / 78
65 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Υποσύνολα Κάθε σύνολο Β το οποίο είναι είτε γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Α, είτε είναι ίσο με το σύνολο Α, ονομάζεται υποσύνολο του συνόλου Α (B A) Για τα υποσύνολα ισχύει η μεταβατική ιδιότητα: A B B C A C Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 65 / 78
66 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Υποσύνολα Άσκηση Να βρείτε τα γνήσια υποσύνολα του συνόλου {0,1,5} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 66 / 78
67 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πεπερασμένα σύνολα απειροσύνολα Κάθε σύνολο με άπειρο πλήθος στοιχείων ονομάζεται απειροσύνολο Παράδειγμα απειροσυνόλου είναι το σύνολο N των φυσικών αριθμών Κάθε σύνολο το οποίο δεν είναι απειροσύνολο ονομάζεται πεπερασμένο σύνολο Παράδειγμα πεπερασμένου συνόλου είναι το σύνολο των διαιρετών του αριθμού 100 Το πλήθος των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου Α ονομάζεται πληθάριθμος ή πληθικός αριθμός του συνόλου και συμβολίζεται με Α Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 67 / 78
68 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πεπερασμένα σύνολα απειροσύνολα Ερώτηση Να εξετάσετε αν το καθολικό σύνολο U είναι πεπερασμένο σύνολο ή απειροσύνολο Ερώτηση Να βρεθούν οι πληθάριθμοι του κενού και του καθολικού συνόλου Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 68 / 78
69 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πεπερασμένα σύνολα απειροσύνολα Άσκηση Δίνεται το σύνολο T = {1, 4, 7, 10, } Να βρεθεί ο κανόνας με τον οποίο δημιουργούνται τα στοιχεία του Τ Να βρεθεί το 9ο και το 26ο στοιχείο του Τ Να βρεθεί ο πληθάριθμος του Τ ( Τ ) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 69 / 78
70 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πράξεις με σύνολα Εργαζόμενοι με σύνολα, μπορούμε να ορίσουμε τις ακόλουθες πράξεις: Συμπλήρωμα Έστω ένα σύνολο A Ονομάζουμε συμπλήρωμα 1 του συνόλου A το σύνολο A τα στοιχεία του οποίου ανήκουν στο καθολικό σύνολο U αλλά δεν ανήκουν στο σύνολο A Η προηγούμενη πρόταση μπορεί να διατυπωθεί, ισοδύναμα, ως εξής: A = {x U : x / A} 1 Στο εξής, όπου αναφερόμαστε στο συμπλήρωμα ενός συνόλου θα εννοούμε το συμπλήρωμα ως προς το καθολικό σύνολο U Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 70 / 78
71 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πράξεις με σύνολα Τομή Έστω δύο σύνολα A και B Ονομάζουμε τομή των δύο συνόλων το σύνολο A B τα στοιχεία του οποίου ανήκουν τόσο στο σύνολο A όσο και στο σύνολο B Η προηγούμενη πρόταση μπορεί να διατυπωθεί, ισοδύναμα, ως εξής: A B = {x : x A x B} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 71 / 78
72 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πράξεις με σύνολα Άσκηση Να βρεθεί η τομή των συνόλων Α={τα πολλαπλάσια του 2 τα οποία είναι μικρότερα του 15} και Β={τα πολλαπλάσια του 3 τα οποία είναι μικρότερα του 20} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 72 / 78
73 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πράξεις με σύνολα Ένωση Έστω δύο σύνολα A και B Ονομάζουμε ένωση των δύο συνόλων το σύνολο A B τα στοιχεία του οποίου ανήκουν είτε στο σύνολο A είτε στο σύνολο B (είτε και στα δύο σύνολα) Η προηγούμενη πρόταση μπορεί να διατυπωθεί, ισοδύναμα, ως εξής: A B = {x : x A x B} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 73 / 78
74 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Πράξεις με σύνολα Άσκηση Να βρεθεί η ένωση των συνόλων Α={τα πολλαπλάσια του 2 τα οποία είναι μικρότερα του 15} και Β={τα πολλαπλάσια του 3 τα οποία είναι μικρότερα του 20} Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 74 / 78
75 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Διαγράμματα Venn Τα διαγράμματα Venn αποτελούν δισδιάστατες απεικονίσεις συνόλων και των μεταξύ τους σχέσεων Σε ένα τέτοιο διάγραμμα, το καθολικό σύνολο U απεικονίζεται με τη μορφή ορθογωνίου (ή τετραγώνου) U Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 75 / 78
76 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Διαγράμματα Venn Η απεικόνιση οποιουδήποτε άλλου συνόλου σε ένα διάγραμμα Venn θα εμπεριέχεται στο ορθογώνιο που αντιστοιχεί στο καθολικό σύνολο, εκτός φυσικά από το κενό σύνολο το οποίο δεν περιέχει στοιχεία U A A Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 76 / 78
77 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Διαγράμματα Venn Αναπαράσταση της τομής δύο συνόλων Α και Β με τη βοήθεια διαγράμματος Venn U A A B B Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 77 / 78
78 Στοιχεία θεωρίας συνόλων Διαγράμματα Venn Αναπαράσταση της ένωσης δύο συνόλων Α και Β με τη βοήθεια διαγράμματος Venn U = A B A B Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων 78 / 78
Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.
Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,
ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων
Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις
Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και»
Η συνεπαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι: «ο P συνεπάγεται τον Q» και γράφουμε P Q. Παράδειγμα: x=3 x 2 =9. Ο
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Η συνεπαγωγή ν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q τότε λέμε ότι το P συνεπάγεται το Q και γράφουμε P Q Π.χ, όταν α=β
Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:
1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο
Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)
Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών
Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «
.1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18
με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ 1. Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν θεωρείτε ότι ο ισχυρισμός που διατυπώνετε είναι αληθής, ενώ αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής να κυκλώσετε το Ψ. Οι
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
ΕΡΓΑΣΊΑ ΠΡΟΌΔΟΥ #1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ. "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι"
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Χειμερινό Εξάμηνο Ρόδος, Σεπτέμβριος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθημ α: ΥΓ0000 3 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ
f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
α Α και α Β, β Α και β Β, γ Α και γ Β, δ Α και δ Β, ε Α και ε Β, ζ Β και ζ Β, η Α και η Β, θ Α και θ Β.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2017-2018 Χειμερινό Εξάμηνο Ρόδος, Νοέμβριος 2017 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθημα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 3 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας:
Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27
Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός
Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις
Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε
1 5.1 ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : ifo@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Paepistimiou (Εleftheriou Veielou) Street
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
5. 1 ΣΥΝΟΛΑ. Η έννοια του συνόλου
ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 359 5. 1 ΣΥΝΟΛΑ Η έννοια του συνόλου Ονομάζουμε σύνολο στα Μαθηματικά κάθε ομάδα αντικειμένων τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους με απόλυτη σαφήνεια Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017
Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια
Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Α Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Α Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο είναι μια καλώς ορισμένη συλλογή διαφορετικών μεταξύ τους αντικειμένων. Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο λέγονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Για
Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τμήμα Μηχανικών
Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων
Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.
1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΣΥΝΟΛ 6ο ΓΕΛ ΛΜΙΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΝΤΦΥΛΛΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ Στοιχεία θεωρίας Σύνολο είναι μια συλλογή από αντικείμενα. Το σύνολο όλων των ελληνικών ποδοσφαιρικών ομάδων. Το σύνολο όλων των χωρών της Ευρώπης.
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5
Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18
Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού
Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:
Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο
ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α
Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals, height.
Νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Σχολικό έτος 2016-17 Σπύρος Γ. Γλένης spyrosglenis@gmail.com Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals,
Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού
Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις
Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιεχόμενα 1 Δυαδικό
ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)
ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.
1. Γενικά για τα τετράπλευρα
1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 036653 367784 Fax: 036405 e mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paneistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
( ) ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 30 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 23 Φεβρουαρίου 2013 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Λύση (α) Έχουμε
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - Fax: 605 e-mail : info@hmsgr, wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR
Περιεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 2 ο Μάθημα: Σύνολα αριθμών-συναρτήσεις Διδάσκουσα:
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 2 ο Μάθημα: Σύνολα αριθμών-συναρτήσεις Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σύνολα Σύνολο: Μία συλλογή διακριτών αντικειμένων
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 3 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω Α={1,2,3,{1,3},4,{5,6}}. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; i. {5,6} Α vi.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού
www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα
Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά A Γυμνασίου
Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να
Μαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών