ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

ΑΣΚΗΣΗ 7 ΚΥΚΛΩΜΑ R-L-C: ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή μελετάται η συμπεριφορά ενός κυκλώματος RLC σε σειρά κατά την εφαρμογή εναλλασσόμενου ρεύματος. Συγκεκριμένα μελετάται η μεταβολή του ρεύματος του κυκλώματος σαν συνάρτηση της συχνότητας και μελετάται το φαινόμενο του συντονισμού όπου το ρεύμα λαμβάνει την μέγιστη τιμή του. ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ Πηνίο (επαγώγική αντίσταση), πυκνωτής (χωρητική αντίσταση), ωμική αντίσταση, ποτενσιόμετρο, εναλλασσόμενο ρεύμα, εναλλασσόμενη τάση, σύνδεση σε σειρά και παράλληλα, ενεργός τιμή της ένταση, συχνότητα, εμπέδηση, συντονισμός, διαφορά φάσης, εύρος ζώνης, αμπερόμετρο, βολτόμετρο 2 Θεωρία Όπως υπονοεί το όνομα, το κύκλωμα RLC αποτελείται από πηνίο επαγωγής L, πυκνωτή χωρητικότητας C και ωμική αντίσταση R τα οποία όλα συνδέονται σε σειρά με μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης (γεννήτρια) όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.1. Σχήμα 7.1: Κύκλωμα R-L-C συνδεδεμένο σε σειρά. Εάν η γεννήτρια έχει πλάτος V 0 (σε Volts) και συχνότητα f (σε Hz), τότε η στιγμιαία τάση της θα δίνεται από την V s = V 0 sinωt (1) όπου 1

ω = 2πf (2) είναι η κυκλική συχνότητα (σε rad/s). Αποδεικνύεται ότι η στιγμιαία τιμή του ρεύματος Ι του κυκλώματος είναι επίσης εναλλασσόμενο με την ίδια κυκλική συχνότητα ω αλλά με μια διαφορά φάσης φ ως προς την τάση της γεννήτριας, δίνεται δηλαδή από την σχέση Ι = Ι 0 sin(ωt φ) (3) όπου το πλάτος I 0 (σε Α ή mα) δίνεται από την Ι 0 = V 0 Ζ (4) ενώ η φάση από την tanφ = ωl 1 Cω R (5) Η ποσότητα Z = R 2 + (ωl 1 Cω ) 2 (6) ονομάζεται εμπέδηση και όπως φαίνεται από την Εξ. (4), η οποία μας θυμίζει τον νόμο του Ohm, παίζει τον ρόλο την ολικής αντίστασης του κυκλώματος για αυτό και ονομάζεται και σύνθετη αντίσταση και έχει μονάδες Ω. Παρατηρήστε ότι δεν είναι μια σταθερά ποσότητα αλλά εξαρτάται από τη συχνότητα ω της γεννήτριας. Από την Εξ. (4) αυτό σημαίνει ότι και το ρεύμα του κυκλώματος RLC θα εξαρτάται από τη συχνότητα. Μπορούμε ποιοτικώς να δούμε την εξάρτηση αυτή ακολουθώντας τον εξής απλό συλλογισμό: Η υπόριζος ποσότητα στην Εξ. (6) αποτελείται από δυο τετράγωνα εκ των οποίων το πρώτο R 2 είναι σταθερό ενώ το δεύτερο (η παρένθεση) εξαρτάται από το ω. Αφού το τετράγωνο ενός αριθμού είναι πάντοτε θετικός αριθμός, η ελάχιστη τιμή της παρένθεσης είναι το μηδέν και επομένως θα υπάρχει μια ειδική τιμή του ω, έστω το ω r, όπου γίνεται αυτό, δηλαδή: ω r L 1 Cω r = 0 Λύνοντας ω r = 1 LC (7) Η αντίστοιχη συχνότητα 2

f r = ω r 2π = 1 2π LC (8) ονομάζεται συχνότητα συντονισμού και είναι μια πολύ σημαντική παράμετρος στο κύκλωμα R-L-C. Σε αυτή τη συχνότητα η εμπέδηση παίρνει την ελάχιστη τιμή Ζ(ω r ) = R και άρα από την Εξ. (4) μεγιστοποιείται το πλάτος του ρεύματος στην τιμή I r = V 0 /R. Η τιμή αυτή μπορεί να γίνει εξαιρετικά μεγάλη εάν η αντίσταση R είναι μικρή. Μια τυπική καμπύλη συντονισμού του Ι 0 συναρτήσει της συχνότητας f = ω/2π φαίνεται στο Σχήμα 7.2. Σχήμα 7.2: Η καμπύλη του ρεύματος συναρτήσει της συχνότητας. Το φαινόμενο αυτό της μεγιστοποίησης του ρεύματος λέγεται συντονισμός. Στην πράξη πολλές φορές αυτό είναι επιθυμητό, π.χ. στην επιλογή του αγαπημένου μας ραδιοφωνικού σταθμού, το ρεύμα της κεραίας συντονίζεται στη συχνότητα του σταθμού ώστε να φιλτράρεται μόνο αυτός και να απορρίπτονται όλοι οι άλλοι οι οποίοι βρίσκονται σε μια πληθώρα από άλλες συχνότητες. Ιδανικώς βέβαια, θα επιθυμούσαμε η καμπύλη συντονισμού να είναι πολύ στενή ώστε να ενισχύει μια συχνότητα μόνο. Πρακτικώς όμως η καμπύλη έχει ένα εύρος συχνοτήτων Β r (γνωστό στη διεθνή βιβλιογραφία ως bandwidth) το οποίο καθορίζεται θεωρητικά από τις δυο συχνότητες f B1 και f B2 στις οποίες η ισχύς Ρ που αποδίδει η γεννήτρια στο κύκλωμα είναι η μισή της ισχύος Ρ r που αποδίδει στον συντονισμό. Επειδή η ισχύς P = I 2 R εξαρτάται τετραγωνικά από το ρεύμα, οι f B1 και f B2 βρίσκονται στην καμπύλη συντονισμού εκεί όπου το ρεύμα παίρνει ένα κλάσμα 1/ 2 της μέγιστης τιμής του. Έτσι το εύρος συχνοτήτων ορίζεται ως Β r = f B2 f B1 (9) 3

Εκτός από την ολική εμπέδηση Ζ, υπάρχουν και άλλες δυο ποσότητες οι οποίες παίζουν τον ρόλο της αντίστασης στο κύκλωμα. Σε αντίθεση με το συνεχές ρεύμα όπου ένα ιδανικό πηνίο έχει μηδενική αντίσταση ενώ ο πυκνωτής άπειρη, στα εναλλασσόμενα ρεύματα αυτά τα δυο στοιχεία του κυκλώματος εμφανίζουν πεπερασμένη αντίσταση, το μεν πηνίο την λεγόμενη "επαγωγική αντίσταση" Z L, ο δε πυκνωτής την λεγόμενη "χωρητική αντίσταση" Z C οι οποίες δίνονται από τις σχέσεις Z L = Lω (10) Και Z C = 1 Cω (11) αντίστοιχα. Παρατηρήστε ότι στον συντονισμό ισχύει Z L = Z C. Με την βοήθεια των παραπάνω ορισμών η Εξ. (5) γίνεται tanφ = Z L Z C R (12) 3 Πειραματική διάταξη Τα όργανα που χρησιμοποιούνται είναι: Γεννήτρια παλμών μεταβλητής συχνότητας Πολύμετρο Ψηφιακός μετρητής για τη μέτρηση της συχνότητας Γραμμικά στοιχεία: Τρία πηνία με αυτεπαγωγές 1, 2 και 4 mη, δυο πυκνωτές 0.1 και 0.2 μf, δυο ωμικές αντιστάσεις 10 και 100 Ω 4 Πειραματική διαδικασία - Κύκλωμα R-L-C σε σειρά 4.1 Μέτρηση της τάσης Πριν να κάνουμε οτιδήποτε άλλο, πρέπει να μετρήσουμε την τάση της γεννήτριας, δηλαδή το V 0 στην Εξ. (1) με τη βοήθεια του πολυμέτρου το οποίο σε αυτή τη μέτρηση θα λειτουργήσει ως βολτόμετρο. Με τη γεννήτρια εκτός λειτουργίας, συνδέστε την έξοδο "OUT" της γεννήτριας (κίτρινος αποδέκτης) και τη γείωση της (μαύρος αποδέκτης) με τους δυο αποδέκτες με ένδειξη "VΩ" και "COM" αντίστοιχα του πολυμέτρου. Ρυθμίστε τη γεννήτρια για ημιτονοειδή τάση (ένδειξη "~") και συχνότητα (ένδειξη "Frequency") στην τιμή 4 10 3 Hz (χρησιμοποιήστε δυο διακόπτες, ένα για την τιμή και έναν για την δύναμη του 10). Βεβαιωθείτε ότι το πολύμετρο είναι ρυθμισμένο να μετράει εναλλασσόμενη τάση (ο επιλογέας του να βρίσκεται στην ένδειξη ~V και σε κλίμακα 20 V ) πριν να θέσετε την γεννήτρια σε λειτουργία (ο διακόπτης λειτουργίας της βρίσκεται στο πίσω μέρος του οργάνου). Τα πολύμετρα πάντοτε μετρούν την λεγόμενη "ενεργό τιμή" ενός εναλλασσόμενου μεγέθους η οποία 4

είναι ίση με ένα κλάσμα 1/ 2 του πλάτους. Σε αυτή την άσκηση, το πλάτος της τάσης της γεννήτριας θα παραμείνει σταθερό και ίσο με V 0 = 3 V και έτσι πρέπει να ρυθμίσετε το κουμπί "Amplitude" της γεννήτριας μέχρις ότου να εμφανιστεί η τιμή 3/ 2 = 2.12 V στο πολύμετρο. 4.2 Σύνδεση του κυκλώματος Στη συνέχεια θα πρέπει να πραγματοποιηθεί η συνδεσμολογία του κυκλώματος του Σχήματος 7.3. Αφού θέσετε την γεννήτρια εκτός λειτουργίας, πραγματοποιήστε τα εξής βήματα: 1. Επιλέξτε το πηνίο με αυτεπαγωγή L 3 = 4 mη, τον πυκνωτή με χωρητικότητα C 1 = 0.1 μf και την αντίσταση R 1 = 10 Ω και συνδέστε τα όλα σε σειρά. 2. Το αμπερόμετρο συνδέεται πάντα σε σειρά στο κύκλωμα. Ως αμπερόμετρο θα χρησιμοποιηθεί και πάλι το πολύμετρο αλλά με διαφορετικές ρυθμίσεις. Τώρα πρέπει να συνδεθούν οι δυο αποδέκτες του με ένδειξη "mα" και "COM" ενώ ο επιλογέας του πρέπει να βρίσκεται στην ένδειξη ~Α και στη κλίμακα των 200 ma. 3. Συνδέστε τη γεννήτρια στα άκρα 1 και 2 του κυκλώματος όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.3. Στη γεννήτρια χρησιμοποιούμε τους ίδιους αποδέκτες όπως και στο προηγούμενο μέρος της άσκησης. 4. Συνδέστε τον ψηφιακό μετρητή (digital counter) παράλληλα με τη γεννήτρια στους αποδέκτες του με ένδειξη "INPUT" (η πολικότητα δεν παίζει κάποιο ρόλο). Τα καλώδια του εργαστηρίου κουμπώνουν εύκολα μεταξύ τους για να δημιουργούν κόμβους. Πιέστε το κουμπί "FUNKTION" μέχρις ώσπου να ανάψει η λυχνία "FREQ" και ακολούθως πατήστε "START". Σχήμα 7.3: Κύκλωμα R-L-C συνδεδεμένο σε σειρά, Δίνονται: C 1 = 0.1 μf και L 3 = 4 mh και αντίσταση διαφόρων τιμών. 4.3 Μέρος 1: Καταγραφή της καμπύλης συντονισμού. 1. Η γεννήτρια σας πρέπει να είναι ρυθμισμένη στα 4 khz από την προηγούμενη μέτρηση της τάσης. Επαληθεύστε ότι ο ψηφιακός μετρητής (ΨΜ) δείχνει αυτή τη συχνότητα αλλιώς 5

πραγματοποιήστε μικρο-ρυθμίσεις στο διακόπτη "Frequency" της γεννήτριας ώσπου η ένδειξη του ΨΜ να έρθει όσο το δυνατό πιο κοντά σε αυτή την τιμή. 2. Σημειώστε την τιμή αυτή του ΨΜ αλλά και την τιμή που σας δείχνει το αμπερόμετρο και καταγράψτε αυτό το ζεύγος τιμών σε πίνακα μετρήσεων f/ khz I/mA. 3. Αυξάνοντας την συχνότητα κατά βήμα 0.25 khz τη φορά, συμπληρώστε τον Πίνακα μετρήσεων 1 που σας δίνεται, μέχρι και την τελική συχνότητα των 12 khz (μπορεί προς το τέλος να χρειαστεί να αλλάξετε δύναμη στο κουμπί "Frequency" της γεννήτριας). Πίνακας Μετρήσεων 1 f/mhz I /ma 4.4 Μέρος 2: Προσδιορισμός της συχνότητας συντονισμού. 1. Παρατηρήστε με προσοχή τα δεδομένα f/ khz I/mA που καταγράψατε στον Πίνακα μετρήσεων 1. Πρέπει να μπορείτε εύκολα να αναγνωρίσετε τον συντονισμό εκεί όπου το ρεύμα γίνεται μέγιστο. Συμπληρώστε στο κατάλληλο κουτί στον Πίνακα Μετρήσεων 2 την συχνότητα συντονισμού που αντιστοιχεί στο μέγιστο του ρεύματος 2. Αφού θέσετε τη γεννήτρια σας εκτός λειτουργίας, αντικαταστήστε το πηνίο σας με αυτό που έχει αυτεπαγωγή L 1 = 1 mh. Αφού ενεργοποιήσετε τη γεννήτρια, προσπαθήστε να προσδιορίσετε τη νέα συχνότητα συντονισμού (στην κλίμακα των 10 4 Hz) που προκύπτει, με μια γρήγορη μέτρηση μεταβάλλοντας συνεχώς τη συχνότητα της γεννήτριας, αρχικά με μεγάλο βήμα και όσο προσεγγίζετε στο συντονισμό με μικρότερο, ώσπου να μεγιστοποιήσετε το ρεύμα του κυκλώματος (δεν καταγράφουμε όλες τις μετρήσεις αυτή τη φορά). Συμπληρώστε τη συχνότητα συντονισμού στο αντίστοιχο κουτί στον Πίνακα μετρήσεων 2. 3. Επαναλάβετε το βήμα 2 για όλα τα ζεύγη των πηνίων και των πυκνωτών του πίνακα. Εάν δεν παρατηρείτε συντονισμό, μπορεί να χρειαστεί να αλλάξετε δύναμη στη συχνότητά σας (10 3 ή 10 4 Hz). Πίνακας Μετρήσεων 2 Συχνότητα συντονισμού f r /khz C 1 = 0.1 μf C 2 = 0.2 μf L 1 = 1 mh L 2 = 2 mh L 3 = 4 mh 6

4.5 Μέρος 3: Επίδραση της αντίστασης στο συντονισμό. 1. Αφού θέσετε τη γεννήτρια σας εκτός λειτουργίας, επαναφέρετε στο κύκλωμά σας το αρχικό πηνίο με L 3 = 4 mh και τον αρχικό πυκνωτή με C 1 = 0.1 μf. Συμπληρώστε την πρώτη γραμμή του Πίνακα μετρήσεων 3 από τα δεδομένα του Πίνακα μετρήσεων 1. Το I r είναι το μέγιστο ρεύμα στο συντονισμό. 2. Αντικαταστήστε την αντίστασή σας με την δεύτερη αντίσταση R 2 = 100 Ω. 3. Αφού ενεργοποιήσετε τη γεννήτρια, προσπαθήστε να προσδιορίσετε τη νέα συχνότητα συντονισμού (στην κλίμακα των 10 3 Hz) αλλά και το I r, μεταβάλλοντας γρήγορα τη συχνότητα της γεννήτριας μέχρις ώσπου μεγιστοποιηθεί το ρεύμα. Συμπληρώστε το αντίστοιχο κουτί στον Πίνακα μετρήσεων 3. Πίνακας Μετρήσεων 3 R 1 = 10 Ω R 2 = 100 Ω f r /khz I/mA 5 Εργαστηριακή Αναφορά Στο κομμάτι της θεωρίας απαντήστε μόνο τις παρακάτω ερωτήσεις: (1) Θεωρήστε ένα κύκλωμα RCL σε σειρά. Δώστε τυχαίες τιμές στην αντίσταση (μερικά Ω), στην χωρητικότητα (μερικά μf ) και στην αυτεπαγωγή (μερικά μη ). Ακολούθως υπολογίστε τις ποσότητες επαγωγική αντίσταση, χωρητική αντίσταση, ωμική αντίσταση, και ολική εμπέδηση για μια συχνότητα f = 5 khz. (2) Στην προηγούμενη ερώτηση, έστω ότι αλλάζετε την συχνότητά σας ώστε να γίνει ίση με τη συχνότητα συντονισμού f r. Να υπολογισθεί η f r αλλά και όλες οι ποσότητες του προηγούμενου ερωτήματος. (3) Αποδείξτε ότι η επαγωγική αντίσταση (Ζ L ) και χωρητική αντίσταση (Ζ C ) στο SI έχουν μονάδα το Ohm (Ω). (4) Εξηγείστε τις έννοιες ενεργός τιμή της έντασης, συχνότητα και διαφορά φάσης. (5) Σχεδιάστε μόνο ποιοτικά μια καμπύλη του ρεύματος συναρτήσει της συχνότητας για το κύκλωμα RLC. Δείξτε επάνω σε αυτή πως μπορεί να προσδιοριστεί η συχνότητα συντονισμού f r και οι συχνότητες f Β1 και f Β2 ; Ζητούνται τα ακόλουθα στο κεφάλαιο «αποτελέσματα»: 5.1 Μέρος 1: Καταγραφή της καμπύλης συντονισμού. (1) Να σχεδιαστεί η καμπύλη του ρεύματος συναρτήσει της συχνότητας για το κύκλωμα RLC από τα δεδομένα του Πίνακα Μετρήσεων 1 (σε χιλιοστομετρικό χαρτί - με το χέρι). (2) Επάνω στη γραφική σας παράσταση, να προσδιοριστούν η συχνότητα συντονισμού f r και οι συχνότητες f Β1 και f Β2 και από αυτές να υπολογιστεί το εύρος ζώνης (σε μονάδες khz). 7

(3) Υπολογίστε τη διαφορά φάσης ( tanφ ) στα δυο σημεία πριν το συντονισμό, επάνω στον συντονισμό και στα δυο σημεία μετά το συντονισμό. Τι παρατηρείτε; (4) Υπολογίστε την πειραματική τιμή της εμπέδησης στο σημείο του συντονισμού. Συγκρίνετε με αυτό που προβλέπει η θεωρία. 5.2 Μέρος 2: Προσδιορισμός της συχνότητας συντονισμού. (5) Σχολιάστε εάν οι τιμές στον πίνακα Μετρήσεων 2 είναι αναμενόμενες. Συγκρίνετε κάποιες τιμές του πίνακα μεταξύ τους και από τη σύγκριση αυτή εξάγετε συμπεράσματα. 5.3 Μέρος 3: Επίδραση της αντίστασης στο συντονισμό. (6) Από τις τιμές στον πίνακα Μετρήσεων 3 εξάγετε συμπεράσματα για τον ρόλο της αντίστασης στον συντονισμό, τόσο στη συχνότητα όσο και στο ρεύμα (θυμηθείτε ότι το αμπερόμετρο μετράει την ενεργό τιμή και επομένως στον συντονισμό ισχύει Ι 0 = 2Ι r ) (7) Αναφέρατε τα απόλυτα σφάλματα και τυχόν συστηματικά σφάλματα (σε αριθμούς και μονάδες) που εμφανίζονται στις μετρήσεις σας. 6 Βιβλιογραφία [1] R. A. Serway, Physics for Scientists and Engineers, Volume 2, Saunders College Publishing, 1990. [2] H. D. Young, Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α, Κεφ. 32, εκδόσεις Παπαζήση, Αθήνα, 1994. 8