Εναλλασσόμενο ρεύμα και ταλάντωση.

Transcript

1 Εναλλασσόμο ρεύμα και ταλάντωση. Δίνεται το κύκλωμα του διπλανού σχήματος, όπου το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής 8mΗ, ο πυκνωτής χωρητικότητα 0μF, η αντίσταση R του αντιστάτη R30Ω, ώ η τάση του αλλακτήρα (της πηγής), μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο. Κλείνουμε το διακόπτη και μόλις σταθεροποιηθεί η ένδειξη του αμπερομέτρου, παίρνουμε κάποια στιγμή t0, οπότε η τάση του ε- ναλλακτήρα μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση 60 ημ(5.000t) (μονάδες στο S.Ι.). Ας μελετήσουμε τι ακριβώς συμβαίνει στο κύκλωμα αυτό. Εναλλασσόμο ρεύμα. Το κύκλωμα διαρρέεται από αλλασσόμο ρεύμα, όπου το αμπερόμετρο μας δείχνει την εργό ένταση: Ι. Z Αλλά το ρεύμα διαρρέοντας το κύκλωμα συναντά, μια επαγωγική αντίσταση Ζ ω40ω, μια ωμική αντίσταση R30Ω και μια χωρητική αντίσταση Ζ c 0Ω. Οπότε η συνολική δυσκολία που συναντά το ω ηλεκτρικό ρεύμα, η εμπέδηση του κυκλώματος, είναι ίση: Ζ R + ω 30 + ( 40 0 ) Ω 30 Ω ω Ι Z o A Σχεδιάζοντας εξάλλου το διανυσματικό διάγραμμα των τάσεων, παίρνουμε το διπλανό σχήμα, όπου για τα πλάτη των τάσεων έχουμε: Z 80, Z 60, Z 0 o o or o R o o Ενώ το πλάτος της έντασης του ρεύματος έχει την ίδια φάση με το πλάτος της τάσης στον αντιστάτη. Αλλά τότε, με βάση το σχήμα, η ένταση του ρεύματος, καθυστερεί της τάσης κατά τη γωνία θ, όπου: ω o εϕϑ ω R o or ή κατά γωνία θ45. Οπότε η εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, είναι: i 5.000t - (S..) Ας θέσουμε τώρα μερικά ερωτήματα, πάνω στο κύκλωμα αυτό: o o o o - o ϑ o o or

2 i) Να βρεθεί η στιγμιαία ένταση του ρεύματος, καθώς και οι στιγμιαίες τάσεις στα άκρα κάθε στοιχείου του κυκλώματος τη χρονική στιγμή t 0,9π ms ; Τη στιγμή t η ένταση του ρεύματος έχει τιμή: -4 i π 0-4,5π - + Ενώ η τάση στα άκρα του πηνίου, είναι: -4 3π o π H τάση στα άκρα του πυκνωτή: o π 0-4 3π A H τάση στα άκρα του αντιστάτη: i Z 30. R R -4 Ενώ η τάση της πηγής: 60 ( π 0 ) 60 ( 4,5π) 60 Σημειώσεις: α) Μπορείτε να επιβεβαιώσετε τον ο κανόνα του Kirchhoff στο κύκλωμα με τις στιγμιαίες τιμές των τάσεων που βρήκαμε παραπάνω ( + R + ). β) Αξίζει να σημειωθεί εδώ, ότι ο ος κανόνα του Kirchhoff, εκφράζει τη διατήρηση της έργειας, κάθε στιγμή, στο κύκλωμα. Δ ισχύει προφανώς με τα πλάτη (ή τις εργές τιμές) των τάσεων, που προστίθεται διανυσματικά! γ) Πώς βρήκαμε τις στιγμιαίες τάσεις; Τις τάσεις του πυκνωτή και του πηνίου, ξεκινώντας από τις εξισώσεις των στιγμιαίων τάσεων! Αλλά για τον αντιστάτη πήραμε το νόμο του Οhm!!! Προτιμήθηκε άλλη πορεία για να φανεί ότι στον αντιστάτη, όπου τα μεγέθη τάση και ένταση είναι συμφασικά, μπορούμε να εφαρμόσουμε το νόμο του Οhm και με στιγμιαίες τιμές, πράγμα που δ επιτρέπεται να κάνουμε στα άλλα δύο στοιχεία ii) Την παραπάνω χρονική στιγμή t, να βρεθούν οι στιγμιαίες τιμές της ισχύος σε πηνίο, αντιστάτη και πυκνωτή, καθώς και η ισχύς του αλλακτήρα. Η στιγμιαία ισχύς του πηνίου (ο ρυθμός με τον οποίο απορροφά έργεια το πηνίο ή αν προτιμάται ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται η έργεια του μαγνητικού του πεδίου), είναι: i 40 W 80W Η ισχύς του αντιστάτη (ο ρυθμός με τον οποίο η ηλεκτρική έργεια μετατρέπεται σε θερμική πάνω του): i 30 W 60W ή R 30W 60W R R i R Η στιγμιαία ισχύς του πυκνωτή (ο ρυθμός με τον οποίο απορροφά έργεια ο πυκνωτή ή αν προτιμάται ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται η έργεια του ηλεκτρικού του πεδίου):

3 i 0 W 0W Το παραπάνω αρνητικό αποτέλεσμα μας λέει ότι ο πυκνωτής δ απορροφά έργεια, αντιθέτως εκφορτίζεται, προσφέροντας έργεια στο κύκλωμα. Τέλος η ισχύς του αλλακτήρα (ο ρυθμός με τον οποίο παρέχει η πηγή έργεια στο κύκλωμα) είναι: i 60 W 0W Ο αλλακτήρας (η πηγή) προσφέρει στο κύκλωμα έργεια 0J/s και ο πυκνωτής 0J/s. Από αυτά τα 80J/s τα απορροφά το πηνίο και τα υπόλοιπα 60J/s ο αντιστάτης. (διατήρηση της έργειας). Αν εξετάσουμε τις έργειες του πηνίου και του πυκνωτή, αξίζει να επισημανθεί ότι ο πυκνωτής εκφορτίζεται παρέχοντας έργεια 0J/s, ώ το πηνίο απορροφά έργεια 80J/s! Σχόλιο: 6,9π iii) Την χρονική στιγμή t ms, να βρεθούν ξανά οι στιγμιαίες τιμές της ισχύος σε πηνίο, αντιστά- 4 τη και πυκνωτή, καθώς και η ισχύς του αλλακτήρα. Τη στιγμή t η ένταση του ρεύματος έχει τιμή: 6,9-3 i π 0 - π π Ενώ η τάση στα άκρα του πηνίου, είναι: o Οπότε η ισχύς του πηνίου είναι: H τάση στα άκρα του πυκνωτή: 0, 77 A 6,9-3 5π π π + 73, i 0, 77 73,9W 56,9W o Οπότε για την ισχύ του πυκνωτή: 6, π π 8,48 4 i 8,48 0, 77W 4,3W Ενώ η ισχύς που μετατρέπεται σε θερμική στον αντιστάτη είναι: Τέλος για την πηγή: i R R 0, 77 30W 7, 79W 6, π 0 3,47 και 4 i,47 0, 77 W 5W Αξίζει να παρατηρηθεί ότι στην περίπτωση αυτή, η έργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου μειώνεται περίπου κατά 57J/s, μετατρεπόμη σε ηλεκτρική έργεια στο κύκλωμα και μετατρέπεται σε έργεια ηλε- 3

4 κτρικού πεδίου του πυκνωτή (4J/s), σε θερμική στον αντιστάτη (8J/s), ώ τα υπόλοιπα 5J/s, απορροφώνται από την πηγή! Τη στιγμή αυτή δηλαδή η πηγή παίρνει έργεια από το κύκλωμα. i) Να βρεθεί σε χρόνο μιας περιόδου, η έργεια που απορροφά το πηνίο, ο πυκνωτής και ο αντιστάτης, καθώς και η έργεια που προσφέρει στο κύκλωμα η πηγή. Σε χρόνο μιας περιόδου, ούτε το πηνίο ούτε ο πυκνωτής αλλάζουν τιμή της έργειάς τους, συνεπώς δ απορροφούν, ούτε αποδίδουν έργεια. Αυτό συνήθως το εκφράζουμε λέγοντας ότι η μέση ισχύς του πηνίου (πυκνωτή) είναι μηδική. Πράγματι: ο, Ι συν 90 0 Αφού η διαφορά φάσης μεταξύ της έντασης και της αντίστοιχης τάσης είναι 90. Στον αντιστάτη παράγεται θερμότητα, σύμφωνα με τον νόμο του Joule: Q o Ιο RT RT or Ιοoσυνθ T T συνθ Τ Ενώ η έργεια που παρέχει η πηγή, με βάση τον ορισμό της μέσης ισχύος, θα είναι: W π Τ συνθ Τ Ίση προφανώς με την ηλεκτρική έργεια που εμφανίζεται με τη μορφή της θερμότητας στον αντιστάτη. Εξαναγκασμένη Ηλεκτρική Ταλάντωση. Το παραπάνω κύκλωμα προφανώς εκτελεί εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση, όπου ο αλλακτήρας (η πηγή) είναι ο διεγέρτης, που υποχρεώνει το κύκλωμα να διαρρέεται από Ε.. με συχνότητα, ίση με τη συχνότητα της πηγής. Έχουμε μετατροπή έργειας από έργεια ηλεκτρικού πεδίου σε έργεια μαγνητικού, αλλά: ) Να υπολογιστούν η έργεια του ηλεκτρικού πεδίου και η έργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε συνάρτηση με το χρόνο. Η έργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι: i 8 0 Η έργεια του ηλεκτρικού πεδίου αντίστοιχα: 5.000t t - (S..) o

5 64 0 Το ερώτημα που θα μπορούσε να τεθεί στο σημείο αυτό είναι: «Πόση είναι η έργεια ταλάντωσης»; (S..) Αν με τον όρο «έργεια ταλάντωσης» νοούμε το άθροισμα της έργειας του πηνίου και της έργειας του πυκνωτή, η απάντηση προφανώς θα είναι: t Αλλά το ουσιαστικό ερώτημα είναι, τι νόημα και τι αξία αποδίδουμε στο παραπάνω άθροισμα; Μήπως παραμένει σταθερή; Μήπως κάπου θα μπορούσαμε να την χρησιμοποιήσουμε; Η απάντηση νομίζω είναι προφανής. Καμιά αξία Η διατήρηση της έργειας, είναι αυτή που εκφράζεται στα αποτελέσματα των ερωτήσεων ii) και iii) όπου γίνεται φανερό ότι η πηγή παρέχει έργεια στο κύκλωμα, αλλά ο ρυθμός παροχής έργειας, δ είναι κάθε στιγμή ίση με το ρυθμό που η ηλεκτρική έργεια μετατρέπεται σε θερμική (και τελικά σε θερμότητα) στον αντιστάτη. Ας προσεχθούν τα αποτελέσματα! Ας προσεχθεί ότι μπορεί ο διεγέρτης σε κάποια χρονικά διαστήματα ακόμη και να απορροφά έργεια από το κύκλωμα dmargaris@gmail.com 5