ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Όλγα Κασσώτη Εργασία που κατατίθεται ως παραδοτέο της παρακολούθησης εκπαιδευτικού προγράμματος στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης με τίτλο: «Επιμόρφωση των Εκπαιδευτικών για την Αξιοποίηση και Εφαρμογή των ΤΠΕ στη Διδακτική Πράξη» (1, 2 και 3 /ΜIS 217081, 217082 και 217083). Έργο: «ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΩΝ (ΑΡ. ΔΙΑΚΗΡΥΞΗΣ 1034/14 12 2010)» Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 57: Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα Οι επιμέρους στόχοι του κεφαλαίου αυτού για το μαθητή είναι οι εξής: Να συγκρίνει γωνίες. Να μετρά γωνίες. Ο μαθητής αναμένεται: Να αναγνωρίζει ανάμεσα σε δύο γωνίες ποια είναι μεγαλύτερη και να μπορεί να μετρήσει ακριβώς το μέγεθος μιας γωνίας. Να συνδέει το αριθμητικό αποτέλεσμα με αυτό το μέγεθος. Να επιλύει απλά προβλήματα μέτρησης γωνιών με τη χρήση του λογισμικού Cabri και αναπαραστάσεων. Σημασία της ενότητας: H γεωμετρία εκφράζει και εκφράζεται μέσα από το αγκάλιασμα του χώρου μέσα στον οποίο ζούμε, αναπνέουμε και κινούμαστε. Ένα χώρο που οι μαθητές πρέπει να γνωρίσουν, να διερευνήσουν και να κατακτήσουν, ώστε να ζουν, να αναπνέουν και να κινούνται καλύτερα μέσα σε αυτόν. H γεωμετρία, λοιπόν, είναι ταυτόχρονα ένα εργαλείο ανάλυσης, σχολιασμού αλλά και ερμηνείας του καθημερινού μας κόσμου. Ακόμη, οι μαθητές πραγματοποιούν συχνά στην καθημερινή τους ζωή μετρήσεις και γενικότερα άτυπες και τυπικές συγκρίσεις μεγεθών. Με τις αυθόρμητες ποιοτικές συγκρίσεις επιδιώκουν να αντιληφθούν, για παράδειγμα, ποια διαδρομή είναι πιο μεγάλη, πόσο ψηλά είναι ή μπορούν να φθάσουν ή ποιο αντικείμενο είναι πιο μεγάλο. Αυτή η αυθόρμητη και φαινομενικά απλή διαδικασία ποιοτικής σύγκρισης και αργότερα μέτρησης με τη χρήση οργάνων (χάρακα, μεζούρα ή μέτρο και μοιρογνωμόνιο) κρίνεται συχνά επαρκής με αποτέλεσμα η εκπαίδευση να οδηγείται σε ελλιπή διδακτική προσέγγιση της μέτρησης με την ένταξή της στο γεωμετρικό περιεχόμενο ως μέτρησης μηκών, επιφανειών και όγκων. Το νέο ΠΣ των Μαθηματικών στοχεύει στην ουσιαστική κατανόηση της διαδικασίας μέτρησης με την προσέγγιση και χρήση μεθόδων και εργαλείων, την ανάπτυξη δεξιοτήτων εκτίμησης και υπολογισμών κατά προσέγγιση. Η διδακτική αυτή πρόταση ξεκινά από άμεσες συγκρίσεις για την κατανόηση του προς μέτρηση μεγέθους, τις έμμεσες συγκρίσεις με συστηματικές 1

επικαλύψεις με μονάδες όπως και τη σύνδεση των επικαλύψεων ή στη συνέχεια των επαναλήψεων των μονάδων με ένα αριθμητικό αποτέλεσμα. Μια τέτοια διαδικασία βοηθά τους μαθητές να συνδέσουν τα συνεχή χαρακτηριστικά των γεωμετρικών αντικειμένων με διακριτά μεγέθη που αποτελούν τις μονάδες. Συγκεκριμένα, στο νέο ΠΣ των Μαθηματικών, η θεματική ενότητα των Μετρήσεων αναπτύσσεται σε τέσσερις τροχιές: Μέτρηση γωνίας, μήκους, επιφάνειας και όγκου. Η πρώτη τροχιά της Μέτρησης γωνίας αφορά τη σύγκριση γωνιών μεταξύ τους και με την ορθή, τη μέτρηση με τυπικές μονάδες και τη χρήση εργαλείων, την εκτίμηση γωνιών όπως και εφαρμογές με τριγωνομετρικούς αριθμούς. Έτσι, στον πρώτο κύκλο οι μαθητές αναγνωρίζουν τις ίσες γωνίες και συγκρίνουν με την ορθή και, στη συνέχεια, στο δεύτερο κύκλο συγκρίνουν με τη χρήση διαφόρων (υλικών και μη) μέσων και τις μετρούν με τυπικές μονάδες και μοιρογνωμόνιο (βλ, ΜΔ1, Δ Δημοτικού, ΓΔ6, ΣΤ Δημοτικού). Τέλος, στον τρίτο κύκλο κάνουν πράξεις με τις γωνίες, συγκρίνουν χρησιμοποιώντας ιδιότητες και σχέσεις, κάνουν κατασκευές γωνιών με όργανα και προσεγγίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και την κλίση (βλ. ΜΔ1, Α Γυμνασίου και ΜΔ5, Β Γυμνασίου). Σε όλους τους κύκλους ενθαρρύνονται οι συγκρίσεις γωνιών κατ εκτίμηση, ανεξάρτητα από το μήκος των πλευρών τους ή τον προσανατολισμό. Πιθανές δυσκολίες της έννοιας γωνία Η γωνία αποτελεί μια ιδιαίτερη έννοια, η κατανόηση της οποίας δυσκολεύει τους μαθητές, οι οποίοι την αντιλαμβάνονται ως δύο τεμνόμενες γραμμές και όχι ως ένα γεωμετρικό σχήμα στο επίπεδο. Έρευνες στο θέμα αυτό υποδεικνύουν ότι οι μαθητές αντιλαμβάνονται το χώρο που περιβάλλει τα σχήματα ως κενό ή περιορισμένο από τις γραμμές των σχημάτων. Το γεγονός αυτό οδηγεί τους μαθητές στο να αντιλαμβάνονται τις πλευρές της γωνίας ως την ίδια τη γωνία και κατά συνέπεια να θεωρούν ότι το μέγεθος της γωνίας εξαρτάται από το «μήκος» αυτών των πλευρών. Επιπλέον, τα ιδιαίτερα μέρη των σχημάτων όπως οι πλευρές, οι κορυφές ή οι γωνίες γίνονται αντιληπτές με πρακτικό τρόπο, για παράδειγμα, οι μαθητές θεωρούν τη γωνία ως «μύτη» ή μέρος συνάντησης ή σπαστή γραμμή ή κίνηση, δηλαδή της δίνουν αρκετά νοήματα που κατά περίπτωση είναι διαφορετικά από τη γεωμετρική τους διάσταση. Τα γεωμετρικά στοιχεία επηρεάζονται σημαντικά από τη φυσική τους υπόσταση στις πρακτικές εμπειρίες και δημιουργούν λανθασμένες αντιλήψεις που ξεπερνιούνται δύσκολα. Τα ευρήματα αυτά ενισχύουν την άποψη ότι για την ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης σε επίπεδο μερών και ιδιοτήτων των σχημάτων είναι σημαντικό οι μαθητές να έχουν τις κατάλληλες δράσεις και, κατά συνέπεια, προσανατολισμένες εμπειρίες. Προτάσεις για διδακτική διαχείριση: Ακούμε συχνά ότι «μια εικόνα είναι χίλιες λέξεις». Πόσο μάλλον πολλές εικόνες μαζί. Κάθε φορά που αναπαριστούμε μια γεωμετρική έννοια, όμως, υπάρχει απώλεια πληροφοριών, καθώς είναι αδύνατον να σχεδιάσουμε μια γενικευμένη αναπαράσταση ακόμη και της πιο απλής έννοιας. Η πειστικότητα των αναπαραστάσεων στη 2

γεωμετρία σε συνδυασμό με τη διδασκαλία που ασχολείται κυρίως με την ταξινόμηση και την ονοματολογία των εννοιών περιορίζει τη σκέψη των μαθητών σε προτυπικές εννοιολογήσεις. Η διδασκαλία των γεωμετρικών σχημάτων θα πρέπει λοιπόν να εστιαστεί στην ανάπτυξη μιας σκέψης που θα στηρίζεται στις κλάσεις και στις ιδιότητες των σχημάτων. Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν την ευκαιρία να συναρμολογήσουν και να αποσυναρμολογήσουν σχήματα και να τα σχεδιάσουν σε διάφορους καμβάδες. Παράλληλα, και ιδιαίτερα προς το τέλος του δεύτερου κύκλου σπουδών, οι μαθητές θα πρέπει να διερευνήσουν τις ιδιότητες των σχημάτων χρησιμοποιώντας περιβάλλοντα δυναμικής γεωμετρίας. Σε ανάλογα περιβάλλοντα οι μαθητές μπορούν να τροποποιούν τις ιδιότητες των σχημάτων εικάζοντας κάθε φορά τις αλλαγές που θα επέλθουν στη γεωμετρία τoυς. Τέλος, εκτός από τα φυσικά, τα χειραπτικά και τα ψηφιακά υλικά αναπαράστασης, η γλώσσα που θα χρησιμοποιήσουν οι μαθητές για να περιγράφουν τις εμπειρίες τους και να αναπτύσσουν υποθέσεις και συλλογισμούς είναι εξίσου σημαντική. Η διδασκαλία σε αυτόν τον κύκλο σπουδών θα πρέπει να στοχεύει, λοιπόν, εκτός από την κατάκτηση της ορολογίας που αφορά στις ιδιότητες των σχημάτων, στην ανάπτυξη μιας ανεπίσημης παραγωγικής γλώσσας (όλα, μερικά, κανένα, αν... τότε..., κ.ο.κ.). Δραστηριότητες 1. Εισαγωγική δραστηριότητα: Γωνίες και ρολόγια. Δίνεται σε κάθε ομάδα μαθητών ένα χάρτινο ρολόι με ωροδείκτη και λεπτοδείκτη που μπορούν να περιστρέφονται ελεύθερα (βλ. εικ. 1) και γίνεται συζήτηση για τη γωνία που σχηματίζουν σε διάφορες θέσεις. Με βάση τις γωνίες στις 12:15 (90 ο ) και 12:30 (180 ο ) οι μαθητές προσπαθούν να εκτιμήσουν τη γωνία που σχηματίζεται στις 12:05, στις 12:10 στις 12:20 κ.λπ. Εικόνα 1. Το χάρτινο ρολόι με κινούμενους δείκτες Στη συνέχεια συμπληρώνουν τον πίνακα με τις εκτιμήσεις και τους υπολογισμούς των γωνιών. 3

Ώρα στο ρολόι Εκτίμηση γωνίας (μοίρες) Υπολογισμός ή μέτρηση 12:05 12:10 12:15 12:20 12:25 12:30 2. Επέκταση της δραστηριότητας με τη χρήση του λογισμικού Cabri Στο λογισμικό Cabri ο εκπαιδευτικός έχει ενσωματώσει την εικόνα των 6 ρολογιών στο φόντο (βλ. Εικ. 2). Εικόνα 2. Τα ρολόγια ως φόντο στο Cabri Χρησιμοποιώντας το λογισμικό οι μαθητές θα μπορέσουν: Να αντιληφθούν τα τρία σημεία που ορίζουν μια γωνία στο Cabri Να «δείξουν τη γωνία» με το αντίστοιχο εργαλείο Δείκτης γωνίας Mark Angle Επισημαίνει μια γωνία με ένα τόξο. Το δεύτερο από τα τρία σημεία που ορίζουν τη γωνία είναι η κορυφή. Να μετρήσουν τη γωνία με το αντίστοιχο εργαλείο Γωνία Angle Εμφανίζει το μέγεθος της γωνίας που ορίζεται από τρία σημεία (το δεύτερο πρέπει να είναι η κορυφή της). 4

Εικόνα 3. Τα ρολόγια με τις μετρήσεις των γωνιών 3. Δραστηριότητα εξάσκησης στο λογισμικό και εκτίμησης του μέτρου των γωνιών: (Βασισμένη στην άσκηση 2 από το τετράδιο εργασιών του βιβλίου Μαθηματικά Στ ) Στο λογισμικό Cabri ο εκπαιδευτικός έχει ενσωματώσει την εικόνα των γωνιών της άσκησης 2 στο φόντο (βλ. Εικ. 4). Εικόνα 4. η επιφάνεια εργασίας του λογισμικού με τις γωνίες Ζητείται από τους μαθητές να επισημάνουν μία ορθή γωνία, μία γωνία 45 ο και μία γωνία 60 ο. Τα αποτελέσματα γράφονται σε πίνακα όπως ο παρακάτω. Γωνία Εκτίμηση γωνίας (μοίρες) Υπολογισμός ή μέτρηση Π.χ. γωνία η θ ι 90 ο 90 ο 45 ο 5

60 ο Οι μαθητές, στο λογισμικό Cabri, αφού ορίσουν τα τρία σημεία για κάθε γωνία με το κατάλληλο εργαλείο, στη συνέχεια παίρνουν το εργαλείο μέτρησης γωνιών, μετρούν την κάθε γωνία και εμφανίζουν το αποτέλεσμα επάνω στη γωνία (εικ. 5) Εικόνα 5. οι γωνίες με τις μετρήσεις τους 4. Επαλήθευση της 1 ης δραστηριότητας του Βιβλίου μαθητή Στ Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές με αφετηρία μια εικόνα που γνωρίζουν καλά, όπως είναι η στέγη ενός σπιτιού, οδηγούνται στη σύγκριση δύο γωνιών. Διαπιστώνουν ότι για να συγκρίνουμε γωνίες δεν μπορούμε εύκολα να το πραγματοποιήσουμε «με το μάτι» αλλά πρέπει με κάποιο τρόπο να τοποθετήσουμε τη μια πάνω στην άλλη με την κορυφή τους και τη μια πλευρά να συμπίπτουν. Έπειτα από μια τέτοια σύγκριση μπορούμε με ασφάλεια να συγκρίνουμε δύο γωνίες και να διαπιστώσουμε ότι μεγαλύτερη γωνία είναι αυτή που έχει μεγαλύτερο άνοιγμα και όχι μακρύτερες πλευρές. Με τη χρήση του Cabri όπου ο εκπαιδευτικός έχει ενσωματώσει την εικόνα των δύο σπιτιών στο φόντο (βλ. Εικ. 6) οι μαθητές «δείχνουν» και μετρούν την κάθε γωνία επιβεβαιώνοντας το συμπέρασμα ότι το μέγεθος της γωνίας είναι άσχετο με το μήκος των πλευρών της. 6

Εικόνα 6. η επιφάνεια εργασίας του λογισμικού για την 1 η δραστηριότητα 5. Δραστηριότητα με προεκτάσεις «γωνίες και ηλικία» Το πιο δυνατό κόκαλο του ανθρώπινου σώματος είναι το κόκαλο του μηρού που συνδέει τη λεκάνη με το γόνατο. Το άκρο του, που συνδέεται με τη λεκάνη, σχηματίζει γωνία με το υπόλοιπο όπως φαίνεται στην εικόνα. Η γωνία αυτή, σύμφωνα με τους ανθρωπολόγους, αλλάζει ανάλογα με την ηλικία του ανθρώπου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Στις πρόσφατες ανασκαφές βρέθηκαν δύο κόκαλα μηρού που το ένα σχημάτιζε γωνία 135 ο και το άλλο γωνία 120 ο. Δοκίμασε με την ομάδα σου, να υπολογίσεις τι ηλικία είχαν τα άτομα στα οποία ανήκαν τα οστά αυτά. Στη συνέχεια φαίνεται η ακτινογραφία από ένα κόκαλο μηρού. Τι μπορείτε να συμπεράνετε για την ηλικία του ατόμου που έκανε την ακτινογραφία; Οι μαθητές κινούνται στο Cabri όπως και προηγουμένως: ορίζουν τις πέντε γωνίες του σχήματος και με το εργαλείο μέτρησης γωνιών μετρούν την κάθε γωνία και εμφανίζουν το αποτέλεσμα της μέτρησής τους (εικ. 7). Εικόνα 7. Η επιφάνεια εργασίας του λογισμικού για τη δραστηριότητα με προεκτάσεις Στη συνέχεια φαίνεται η ακτινογραφία από ένα κόκαλο μηρού. Τι μπορείτε να συμπεράνετε για την ηλικία του ατόμου που έκανε την ακτινογραφία; 7

Οι μαθητές κινούνται στο Cabri όπως και προηγουμένως: ορίζουν τις πέντε γωνίες του σχήματος και με το εργαλείο μέτρησης γωνιών μετρούν την κάθε γωνία και εμφανίζουν το αποτέλεσμα της μέτρησής τους (εικ. 8). Εικόνα 8. Η επιφάνεια εργασίας του λογισμικού για τη δραστηριότητα με προεκτάσεις Βιβλιογραφία Κασσώτη, Ό., Κλιάπης, Π., Οικονόμου, Θ. (2006) Μαθηματικά Στ, Αθήνα: ΟΕΔΒ. Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση (2011). Οδηγός για τον εκπαιδευτικό, Αθήνα: ΠΙ. Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά στην Υποχρεωτική Εκπαίδευση (2011), Αθήνα: ΠΙ. Τζεκάκη, Μ. (2007). Μικρά Παιδιά, Μεγάλα Μαθηματικά Νοήματα. Αθήνα: Gutenberg. Τζεκάκη Μ. (2011). Ψηφιακό υλικό/σημειώσεις «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ» και «ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕ ΤΠΕ» http://pakeepth.cti.gr/joomla/ ανακτήθηκε: 20 Δεκεμβρίου 2011 8