Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Ηµεροµηνία επιστροφής : Τετάρτη 4/11/2010 18 Οκτωβρίου 2010 1 Γραµµική άλγεβρα (20 µονάδες) Η παράγωγος ενός µητρώου H ορίζεται ως η παράγωγος κάθε στοιχείου του H χωριστά Υποθέτουµε πως όλα τα στοιχεία του H είναι συναρτήσεις µιας ανεξάρτητης µεταβλητής x Υπό ποιές γενικές συνθήκες ένα 2 2 µητρώο H αντιµετατίθεται µε την παραγωγό του Ḣ; 2 Βασικοί τελεστές (10 µονάδες) Ποιά είναι η λειτουργία των τελεστών or, and, bitor, bitand, slash; Τι κάνει το σύµβολο % του matlab ; 3 Βασικές συναρτήσεις (20 µονάδες) Ποιές πράξεις της γραµµικής άλγεβρας εκτελούν οι συναρτήσεις lu, qr, svd, eig του matlab ; Για µεγέθη µητρείων n µε τυχαία στοιχεία ίσο µε 500: 500: 5000 µετρείστε τον χρόνο εκτέλεσης και αναφέρατε τα συµπεράσµατά σας Για την χρονοµέτρηση χρησιµοποιείστε τις συναρτήσεις tic και toc και για την παραγωγή τυχαίων µητρείων την randi Παρουσιάστε τις γραφικές παραστάσεις των τεσσάρων συναρτήσεων σε κοινό γράφηµα Εδώ σηµειώνεται οτι η έκφραση α: n: β είναι η καθιερωµένη έκφραση για να πείτε στο matlab να µετρήσει από το α στο β µε ϐήµα n Ετσι η εντολή >> for i = 1:1:10 δηµιουργεί έναν ϐρόχο for από το 1 µέχρι το 10 µε ϐήµα 1 ενώ η εντολή >> y = [0:2:10] παράγει το διάνυσµα γραµµή >> y = [0 2 4 6 8 10] Αυτή η ορολογία ϑα χρησιµοποιείται και στις εργαστηριακές ασκήσεις 1
4 Συγγραφή συναρτήσεων Κεντρική έννοια στην χρήση του matlab έχουν οι συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται από τον χρήστη µε τρόπο ανάλογο µε τις παραδοσιακές γλώσσες προγραµµατισµού µε συγκεκριµένο συνακτικό (το οποίο οµοιάζει σε υψηλό ϐαθµό µε εκείνο της C) Για τις ανάγκες ϕυσικά του εργαστηρίου απαιτείται γνώση ενός µόνο υποσυνόλου του εν λόγω συντακτικού (20 µονάδες) Σε αυτό το ερώτηµα καλείστε να υλοποιήσετε µια συνάρτηση στο matlab µε όνοµα sci_mat_mul η οποία ϑα δέχεται ως ορίσµατα έναν ακέραιο n και µια λογική σηµαία flag Η συνάρτηση ϑα εκτελεί τον πολλαπλασιαµό µητρείων Π n i=1a i = A n A n 1 A 1 όπου το µητρείο A i είναι διαστάσεων (i + 1) i, ήτοι το A 1 είναι ένα διάνυσµα - στήλη δύο στοιχείων Αν η λογική σηµαία είναι αληθής, τότε ο πολλαπλασιασµός ϑα εκτελεστεί από αριστερά προς τα δεξιά, ενώ αν είναι ψευδής, τότε ϑα εκτελεστεί µε την αντίστροφη ϕορά Για τιµές της παραµέτρου n ίσες µε 500: 500: 5000 µετρήστε τον απαιτούµενο χρόνο για τις δύο υλοποιήσεις του πολλαπλασιαµού και συγκρίνετέ τους Τι παρατηρείτε και γιατί ; (20 µονάδες) Σε αυτό το ερώτηµα ο σκοπός είναι να δείτε την διαφορά στον χρόνο εκτέλεσης η οποία µπορεί να υπάρξει µεταξύ εναλλακτικών µορφών του ίδιου υπολογισµού Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier επί της διακριτής ακολουθίας δεδοµένων ορίζεται ως x T = ( x[0], x[1],, x[n 1] ) }{{} n x T ( n 1 k=0 x[k], n 1 k=0 x[k]eik 2π n, n 1 k=0 x[k]eik(n 1) 2π n ) Εναλλακτικά, η ανωτέρω σχέση γράφεται ως όπου x = 1 1 1 1 1 1 ω ω 2 ω 3 ω n 1 1 ω ω 4 ω 6 ω 2(n 1) x } 1 ω n 1 ω 2(n 1) ω 3(n 1) {{ ω (n 1)(n 1) } F n ω = 2π n 2
Υλοποιείστε σε µια συνάρτηση sci_fourier η οποία δέχεται ως ορίσµατα το µήκος του διανύσµατος x και µια λογική σηµαία flag η οποία αν είναι αληθής, τότε υπολογίζεται ο µετασχηµατισµός Fourier από τον ορισµό, ενώ διαφορετικά εκτελείται ο πολλαπλασιασµός F n x Για n ίσο µε 500: 500: 5000 χρονοµετρείστε τον απαιτούµενο χρόνο υπολογισµού για κάθε έναν από τους εναλλακτικούς τρόπους υπολογισµού Τι παρατηρείτε και γιατί ; 5 Υλοποίηση αριθµητικής µεθόδου (20 µονάδες) Η µέθοδος Newton-Raphson συνίσταται στην χρήση της ακολου- ϑίας x n = x n 1 f (x n 1) f (x n 1 ) µε κατάλληλα επιλεγµένο x 0 για την εύρεση µιας ϱίζας της µη γραµµικής συνάρτησης f (x) Υλοποιείστε την µέθοδο αυτή µε µια συνάρτηση sci_newt για την συνάρτηση f (x) = x 2 x 1 µε αρχικό σηµείο το x 0 = 5 Ποιό είναι το σηµείο σύγκλισης (είναι άρρητος αριθµός µε µεγάλη ιστορία στα µαθηµατικά) και µετά από πόσες επαναλήψεις επιτυγχάνεται ; Ως κριτήριο τερµατισµού χρησιµοποιείστε την συνθήκη x n x n 1 < 10 6 Η συνάρτηση ύψωσης σε δύναµη στο matlab είναι η pow και η απόλυτη τιµή υπολογίζεται µε την συνάρτηση abs Α Γενικά σχόλια Η πρώτη εργαστηριακή άσκηση έχει ως στόχο την εξοικείωσή σας µε πολλές πτυχές του matlab Για τον λόγο αυτό υπάρχουν πολλά και µικρά ερωτήµατα Οι επόµενες ασκήσεις ϑα είναι πιο συγκεντρωµένες Οι στόχοι των επιµέρους ερωτηµάτων επεξηγούνται όπου χρειάζεται Για να είναι αξιόπιστες οι µετρήσεις σας, για κάθε µέγεθος µητρείου ϑα την εκτελείτε δέκα ϕορές και ως αποτέλεσµα ϑα χρησιµοποιείτε τον µέσο όρο των µετρήσεων Να ϑυµάστε οτι στο matlab µπορείτε να κάνετε το ίδιο πράγµα µε πολλούς τρόπους προγραµµατιστικά Ολα τα διανύσµατα ϑεωρείται οτι είναι στήλες εκτός αν δηλώνεται ϱητά κάτι άλλο Στο τέταρτο Ϲήτηµα δεν ϑα ασχοληθείτε µε τον ταχύ µετασχηµατισµό Fourier ούτε ϑα χρειαστεί να καλέσετε κάποια από τις έτοιµες συναρτήσεις του matlab 3
Στο πέµπτο Ϲήτηµα δεν χρειάζεται να έχετε ιδιαίτερη γνώση της µεθόδου ούτε χρειάζεται να µελετήσετε τις ιδιότητες σύγκλισής της ή οτιδήποτε άλλο Το µόνο το οποίο σας Ϲητάται είναι να υλοποιήσετε στο matlab έναν πολύ καλά προσδιορισµένο αλγόριθµο ο οποίος περιγράφεται µέσω εξισώσεων Η επιστροφή της εργασίας γίνεται αποκλειστικά ηλεκτρονικά και µέχρι τα µεσάνυχτα της ορισθείσας ηµέρας στην ηλεκτρονική διεύθυνση sci@ceidupatrasgr (είναι η διεύθυνση από την οποία αποστέλλονται και οι ανακοινώσεις της λίστας του µαθήµατος) Η αναφορά σας καθώς και ο πηγαίος κώδικας ϑα είναι σε ένα συµπιεσµένο αρχείο µε το όνοµα sci_2010_hw01_xxx όπου xxxx είναι ο αριθµός µητρώου σας Αυτό ϑα είναι και το ϑέµα του e-mail σας Οι εικόνες µε τις γραφικές παραστάσεις ϑα είναι µέρος της αναφοράς και δεν ϑα αποτελούν ξεχωριστά αρχεία Κάτω από κάθε εικόνα στην αναφορά σας ϕροντίστε ώστε να υπάρχει µια λεζάντα η οποία να εξηγεί τι αναπαριστά κάθε γραφική παράσταση Οι εντολές >> help function >> doc function δίνουν αρκετά λεπτοµερή ϐοήθεια για την συνάρτηση function που ϑα τους δώσετε σαν όρισµα, η πρώτη υπό µορφή κειµένου και η δεύτερη υπό µορφή HTML Είναι οι πλέον πολύτιµοι ϐοηθοί που ϑα έχετε και η χρήση τους συστήνεται ανεπιφύλακτα Το σύνολο των διαθέσιµων µονάδων είναι 110 µε άριστα το 100 όπως ανακοινώ- ϑηκε και στο πρώτο εργαστήριο Β ηµιουργία γραφικών παραστάσεων και εικόνων στο matlab Ο ευκολότερος τρόπος να δηµιουργήσετε µια γραφική παράσταση είναι µέσω της συναρτήσεως plot Η ϐασική σύνατξή της είναι >> plot(data) όπου data είναι το διάνυσµα των δεδοµένων σας Στην περίπτωση αυτή, ο άξονας των x είναι ϐαθµονοµηµένος από το 1 εώς το πλήθος των στοιχείων του data Στην περίπτωση των ερωτηµάτων όπου πρέπει να ϕτιάξετε την γραφική παράσταση του χρόνου ως προς κάποιο µέγεθος µητρώου ϑα χρησιµοποιήσετε την µορφή >> plot(t, data) όπου τα T και data έχουν τον ίδιο αριθµό στοιχείων (διαφορετικά το matlab πα- ϱάγει µήνυµα λάθους) 4
Για να τυπώσετε πολλές γραφικές παραστάσεις σε κοινό γράφηµα χρησιµοποιείστε την µορφή >> plot(t_1, data_1, color_1,, T_n, data_n, color_n ) όπου τα T_i και data_i ορίζονται όπως στην προηγούµενη περίπτωση ενώ τα αλφα- ϱιθµητικά color_i προσδιορίζουν το χρώµα που ϑα έχει κάθε επιµέρους γραφική παράσταση Για τις επιτρεπές τιµές των χρωµάτων δείτε την ϐοήθεια της συνάρτησης Στην περίπτωση όπου υπάρχει σηµαντική διαφορά στην τάξη µεγέθους µεταξύ των data_i, χρησιµοποιείστε την συνάρτηση >> semilogy(t_1, data_1, color_1,, T_n, data_n, color_n ) ώστε να τυπώσετε τα δεδοµένα σας σε λογαριθµική κλίµακα Αυτή την συνάρτηση να την χρησιµοποιήσετε µόνον όταν υπάρχει πολύ µεγάλη διαφορά στις τιµές των γραφικών παραστάσεων και κάποιες εξ αυτών δεν είναι ευδιάκριτες Μην παραλείψετε να χρησιµοποιήσετε τις εντολές >> xlabel( ) >> ylabel{ ) >> title( ) >> legend(, ) για να εξηγήσετε τι συµβολίζει κάθε γραφική παράσταση Για την δηµιουργία αρχείων εικόνων στο matlab ο προτεινόµενος τρόπος είναι µέσω της συναρτήσεως print Η ϐασική σύνταξη ώστε να παραχθεί µια εικόνα jpeg είναι : >> print(gcf, -djpeg, imagejpg ) όπου το imagejpg είναι το επιχυµητό όνοµα αρχείου Το όρισµα gcf σηµαίνει οτι στο αρχείο ϑα εκτυπωθεί η τρέχουσα γραφική παράσταση Εξ ορισµού το matlab ϑεωρεί ως τρέχουσα την τελευταία γραφική παράσταση οπότε µπορείτε να δηµιουργήσετε όσες γραφικές παραστάσεις κρίνετε αναγκαίο αρκεί να παρεµ- ϐάλλετε εντολές print ανάµεσα στις γραφικές παραστάσεις τις οποίες ϑέλετε να τυπώσετε Η εντολή >> help print παρέχει περισσότερες πληροφορίες (αν και σε πολύ µεγαλύτερο ϐαθµό από ό,τι απαιτείται εδώ - δεν χρειάζεται να κατανοήσετε όλες τις παραµέτρους της print για να τυπώσετε σε αρεχείο µια γραφική περάσταση) 5