Μαθηματικός Ορισμός Διδιάστατου Χώρου (R 2 )

Transcript

1 Μαθηματικός Ορισμός Διδιάστατου Χώρου (R 2 ) Είναι ένα σύνολο σημείων με συντεταγμένες (x,y) Τα x και y έχουν τις εξής ιδιότητες: Το καθένα από αυτά διατρέχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών Είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους Αυτό το σύνολο σημείων ορίζει ένα επίπεδο (καρτεσιανό επίπεδο), που συνήθως συμβολίζεται ως R 2

2 Μαθηματικός Ορισμός Καμπύλης Στο Διδιάστατο Χώρο Μία καμπύλη είναι ένα σύνολο σημείων με συντεταγμένες (x(t),y(t)). Τα x(t) και y(t) δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους (συνδέονται μέσω κάποιας σχέσεως) και περιγράφουν ένα υποσύνολο του R 2. Εξαρτώνται, δε, από μία ανεξάρτητη μεταβλητή, η οποία παίρνει τιμές σ ένα διάστημα. Μαθηματικός ορισμός καμπύλης C στο R 2 C={(x(t),y(t)) : t [t, t 1 ]}

3 Στον υπολογιστή η ανεξάρτητη μεταβλητή αλλά και οι συντεταγμένες x και y κάθε σημείου μιας καμπύλης είναι: διακριτά μεγέθη πεπερασμένα το πλήθος και πίνακες γραμμής ή στήλης με κοινό δείκτη, δηλαδή πεπερασμένες ακολουθίες, όπως π.χ. t(1), t(2), t(3), x(1), x(2), x(3), y(1), y(2), y(3),

4 Ένα πρώτο παράδειγμα καμπύλης στο R 2 : Ο Κύκλος Από πυθαγόρειο Θεώρημα προκύπτει Για κάθε x προκύπτει y y x x ,, y y x x y y y y x x y y,2 sin cos t t y y t x x Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου με χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων

5 ( x, y) ( x, y) KA x x cost x x KM cos KB y y sint y y KM sin t t

6 Υλοποίηση κύκλου στον υπολογιστή με αναλυτικό κώδικα

7 Αποτέλεσμα εκτέλεσης προηγούμενου κώδικα

8 Στο Matlab και γενικά στον υπολογιστή, όλα τα γραφήματα αποτελούνται από πεπερασμένο πλήθος σημείων

9

10 Στα μαθηματικά Πλήθος = ακέραιο μέρος Πλήθος = Στο Matlab

11 Η χρήση της εντολής axis equal εξασφαλίζει την ομοιόμορφη απεικόνιση των x-y αξόνων στα γραφήματα του Matlab. Λανθασμένος κώδικας Σωστός κώδικας

12 Υλοποίηση κύκλου στον υπολογιστή με συνοπτικό κώδικα

13 Υλοποίηση κύκλου στον υπολογιστή με συνοπτικό κώδικα

14 Το πλήθος των σημείων του κύκλου είναι ίσο με το πλήθος των στοιχείων των πινάκων t, x, y Τονίζεται ότι ο συνοπτικός κώδικας εκτελείται πολύ πιο γρήγορα από τον αναλυτικό λόγω καλύτερης διαχείρισης μνήμης από το Matlab.

15 Η έλλειψη και υλοποίησή της στον υπολογιστή Ένα σημείο Μ ανήκει στην έλλειψη αν και μόνο αν E DM, E 2 D M, 1 2 Όπου α σταθερά.

16 Παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης x x y y t,2 cos bsin t t

17 Υλοποίηση έλλειψης στον υπολογιστή με αναλυτικό κώδικα

18 Τρεις ισοδύναμοι τρόποι υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων της έλλειψης στον υπολογιστή

19 Εκτύπωση αποτελεσμάτων του προηγούμενου κώδικα και σχετικές παρατηρήσεις

20 Υλοποίηση έλλειψης στον υπολογιστή με συνοπτικό κώδικα

21 Η εκτύπωση των αποτελεσμάτων του περιεκτικού κώδικα.

22 Η σπείρα μπορεί να θεωρηθεί σαν ένας κύκλος η ακτίνα του oποίου είναι συνάρτηση της πολικής γωνίας t. Παραμετρικές εξισώσεις σπείρας x( t) y( t) t ( x, t y x, t y 1 ( t)cos ( t)sin t t t ή ί ) έ ί α(t) οποιαδήποτε γνησίως αύξουσα συνάρτηση του t Ενίοτε το όρισμα των cos και sin μπορεί να είναι μια κατάλληλη συνάρτηση του t

23 Υπάρχουν άπειρα ήδη σπειρών, ανάλογα μη τη μορφή της αύξουσας συνάρτησης α(t). Μία τυπική εικόνα σπείρας

24 Η γραμμική σπείρα και οι μαθηματικές εξισώσεις αυτής Παραμετρικές εξισώσεις γραμμικής σπείρας x( t) x y( t) y t ( x, t y, t 1 ktcos ktsin t t t ή ί ) έ ί K μια σταθερά η οποία ονομάζεται σταθερά του Αρχιμήδους

25 Αναλυτικός κώδικας υλοποίησης γραμμικής σπείρας

26 Εκτύπωση της γραμμικής σπείρας που υπολογίστηκε προηγουμένως

27 Περιεκτικός κώδικας υλοποίησης γραμμικής σπείρας

28 Στον περιεκτικό κώδικα ο πίνακας των πολικών γωνιών παράγεται με το γνωστό πλέον συγκεκαλυμμένο for loop Οι συναρτήσεις cos(t) και sin(t) παράγουν τους πίνακες συνημιτόνων και ημιτόνων των αντιστοίχων πολικών γωνιών Όπως πάντα ο αναλυτικός και ο περιεκτικός κώδικας παράγουν τα ίδια αποτελέσματα

29 Ο λίαν σημαντικός ρόλος του τελεστή «.*» Μόνο με χρήση αυτού του τελεστή επιτυγχάνεται ο ορθός υπολογισμός των τιμών των πινάκων x και y. Κατά την εκτέλεση της πράξης t.*cos(t) κάθε στοιχείο του πίνακα t πολλαπλασιάζεται με το αντίστοιχο στοιχείο του πίνακα cos(t). Ανάλογα ισχύουν για την πράξη t.*sin(t).

30 Εν προκειμένω, η μη χρήση του τελεστή «.» πριν από τον τελεστή «*» είναι πλήρως λανθασμένη. Αν την επιχειρήσουμε, το Matlab θα τυπώσει το ακόλουθο μήνυμα λάθους