ΔΙΑΔΟΣΗ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ [1] ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Εξοικείωση με πειραματικές συσκευές υπερήχων και μελέτη της διάδοσης του ήχου: Σύστημα πομπού-δέκτη Διάδοση υπερήχων στον αέρα Ανάκλαση σε στερεά σώματα Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα [2] ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα πειράματα τα οποία μελετούν φαινόμενα ακουστικής χρησιμοποιούν δυνατούς, μονότονους ήχους ενοχλητικούς στο ανθρώπινο αυτί. Στην περίπτωση των υπερηχητικών κυμάτων όπου η συχνότητα ξεπερνά το όριο ακοής του ανθρώπινου αυτιού (f > 20 khz) το παραπάνω πρόβλημα είναι ανύπαρκτο. Σχήμα 1: Σχηματική αναπαράσταση ενός συντονιστή υπερήχων (Flexural Resοnatοr) Η παραγωγή υπερήχων επιτυγχάνεται στο πείραμά μας με συντονιστές υπερήχων γνωστών ως Flexural Resοnatοrs οι οποίοι εργάζονται με βάση το πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο το οποίο παρατηρήθηκε το 1880 από τους Pierre και Jacque Curie. Οι Γάλλοι επιστήμονες πρόσεξαν ότι μια εξωτερική πίεση σε ένα κρύσταλλο χαλαζία, προκαλεί συσσώρευση ηλεκτρικών φορτίων και επομένως εμφάνιση ηλεκτρικής τάσης (Σχήμα 2). Ωστόσο οι Curies δεν προέβλεψαν την εμφάνιση του αντίστροφου φαινομένου, το οποίο όρισε μαθηματικά ο Gabriel Lippman ένα χρόνο αργότερα (1881) σύμφωνα με το οποίο αν ένα εναλλασσόμενο ηλεκτρικό πεδίο (AC τάση) εφαρμοστεί σε ένα πιεζοηλεκτρικό κρύσταλλο 20
μπορεί να προκαλέσει εναλλασσόμενη εξωτερική πίεση στον κρύσταλλο. Ο παλλόμενος κρύσταλλος σε συνδυασμό με μια μεταλλική πλάκα και ένα αντηχείο (Σχήμα 1) παράγει υπερηχητικά κύματα Σχήμα 2: Σχηματική αναπαράσταση του πιεζοηλεκτρικού φαινομένου (από [4]) Η λειτουργία των συντονιστών υπερήχων βασίζεται σε εξαναγκασμένες ταλαντώσεις του πιεζοηλεκτρικού κρυστάλλου. Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις το πλάτος της ταλάντωσης του κρυστάλλου είναι γενικά μικρό εκτός από την περίπτωση που η εξωτερική συχνότητα ταλάντωσης προσεγγίζει έναν εκ των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του κρυστάλλου (ιδιοσυχνότητες κρυστάλλου) οπότε το πλάτος της ταλάντωση μεγιστοποιείται. Το φαινόμενο ονομάζεται συντονισμός και εμφανίζεται σε όλα τα είδη κυμάτων π.χ. μηχανικός συντονισμός, συντονισμός σπιν, συντονισμός ραδιοκυμάτων κλπ. Η απόκριση ενός ταλαντωτή σε συντονισμό εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου που ταλαντώνεται. Στην περίπτωση που η απόσβεση των ταλαντώσεων είναι γενικά μικρή, μπορεί να δειχθεί ότι η ένταση των ταλαντώσεων γύρω από συντονισμό, μπορεί να προσεγγιστεί με την γενική έκφραση μιας συνάρτησης Lorentz: 2 I ( f ) I 0 2 (1) ( f f 2 0 ) Όπου Ι 0 η μέγιστη ένταση ταλαντώσεων στον συντονισμό, γ η απόσβεση των ταλαντώσεων και f 0 η συχνότητα συντονισμού. Ο συντονισμός είθισται να χαρακτηρίζεται από τον παράγοντα ποιότητας συντονισμού Q, που ορίζεται ως τον λόγο της αποθηκευμένης ενέργειας στον συντονιστή ως προς την ενέργεια τροφοδοσίας από την εξωτερική πηγή που χρειάζεται για να διατηρήσει το πλάτος των ταλαντώσεων σταθερό στην συχνότητα συντονισμού. Πρακτικά ο παράγοντας Q ορίζει το εύρος του συντονισμού. Συντονιστές που εμφανίζουν μεγάλες τιμές Q συντονίζονται σε μεγάλα πλάτη ταλαντώσεων αλλά ταυτόχρονα παρουσιάζουν μικρό εύρος συχνοτήτων γύρω από το οποίο συντονίζονται. Για την περίπτωση που η απόσβεση των ταλαντώσεων είναι μικρή, ο f παράγοντας Q δίδεται από την σχέση: Q 0, όπου f 0 η συχνότητα συντονισμού και Δf το f εύρος του συντονισμού. 21
Χαρακτηριστικά δέσμης πομπού Γενικά μια δέσμη υπερήχων ενός μη εστιασμένου πομπού μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από δύο ζώνες με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. Το τμήμα της δέσμης που περιλαμβάνεται μεταξύ της επίπεδης επιφάνειας του κρυστάλλου και μιας συγκεκριμένης απόστασης (κοντινού πεδίου), ονομάζεται κοντινή ζώνη ή ζώνη Fresnel. Στην ζώνη αυτή η δέσμη είναι κατευθυντική, και χαρακτηρίζεται από περίπου κυλινδρικό σχήμα και δραστικές αυξομειώσεις στην ένταση των υπερήχων. Η υπόλοιπη δέσμη, πέρα από την απόσταση κοντινού πεδίου, ονομάζεται μακρινή ζώνη ή ζώνη Fraunhofer και χαρακτηρίζεται γενικά από σφαιρικό μέτωπο κύματος και σταθερή ένταση υπερήχων. [3] ΘΕΩΡΙΑ Στα πειράματα που θα πραγματοποιήσετε θα μελετήσετε δύο ειδών υπερηχητικά κύματα: Α. Στάσιμα κύματα Β. Τρέχοντα κύματα Α. Στάσιμα κύματα Υποθέτουμε ότι έχουμε δύο αρμονικά κύματα με τις ίδιες συχνότητες και ίδια μήκη κύματος, τα οποία διαδίδονται σε αντίθετες διευθύνσεις του άξονα x. Τα κύματα περιγράφονται από τις σχέσεις:, sin 2 m2 y x t y kx t 1 m1 (α) και y x, t y sin kx t (β) (2) Εάν τα δύο κύματα συναντηθούν σε ένα σημείο, τότε το συνιστάμενο κύμα δίδεται σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας από: y ' x, t y x, t y x, t y sin kx t y sin kx t 1 2 m1 m2 (3) Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική σχέση: 1 1 sin sin 2sin cos 2 2 (4) και την υπόθεση ότι τα πλάτη των δύο κυμάτων είναι ίσα (y m1 = y m2 = y m ), η (1) γίνεται: y ' x, t 2 y sin kx cost m (5) H εξίσωση (5) περιγράφει ένα στάσιμο κύμα. Αντίθετα από ένα τρέχον κύμα, στο οποίο όλα τα σημεία του μέσου ταλάντωσης ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος, σε ένα στάσιμο κύμα το πλάτος μεταβάλλεται με την θέση: Πλάτος στάσιμου κύματος = F(x) = 2 y m sin kx (6) Από την (6), φαίνεται ότι το πλάτος του στάσιμου κύματος γίνεται ελάχιστο για: 22
kx min = nπ με n = 0,1,2... και εφόσον k = 2π/λ, x min = n λ/2 με n = 0,1,2... (7) Τα σημεία στα οποία το πλάτος του στάσιμου κύματος είναι μηδενικό είναι καθορισμένα στο χώρο από την σχέση (7) και ονομάζονται δεσμοί του στάσιμου κύματος Με τον ίδιο τρόπο τα σημεία στα οποία το πλάτος του στάσιμου κύματος γίνεται μέγιστο, ονομάζονται κοιλίες του στάσιμου κύματος και δίνονται: kx min = (n+1/2)π με n = 0,1,2... οπότε x min = (n+1/2) λ/2 με n = 0,1,2... (8) Β. Τρέχοντα κύματα Η γεννήτρια υπερήχων παράγει ένα τρέχων κύμα το οποίο διαδίδεται από τον πομπό στο μέσο που μελετούμε (αέρας). Το κύμα ανιχνεύεται από το δέκτη ο οποίος είναι ενωμένος στον παλμογράφο. Στο παλμογράφο είναι ενωμένο επίσης το σήμα αναφοράς. Αρχικά θεωρείται ότι η σχετική φάση μεταξύ πομπού και δέκτη είναι μηδέν. Με την μετατόπιση του δέκτη κατά απόσταση Δl από την αρχική του θέση το σήμα που δέχεται μετακινείται σε σχέση με το εκπεμπόμενο σήμα βάσει της σχέσης: 2 (9) Όταν η απόσταση μεγαλώσει, τα σήματα θα συμπέσουν ξανά για: Το μήκος κύματος λ μπορεί να καθορισθεί ως: n 2 n=1, 2, 3 (10) 2 (11) n Όταν η συχνότητα του ήχου είναι γνωστή, η ταχύτητα φάσης δίδεται από τη σχέση: cp f (12) Στην περίπτωση όπου το σήμα που διαδίδεται δεν αποτελείται μόνο από μια συχνότητα αλλά είναι ένας παλμός αποτελούμενος από σήματα διαφορετικών συχνοτήτων (κυματοπακέτο) τότε η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το σήμα είναι η ταχύτητα ομάδας (group velocity) c G. Η ταχύτητα ομάδας δίδεται από τον τύπο: l c G (13) t όπου Δl: η απόσταση που καλύπτει ο παλμός Δt: ο αντίστοιχος χρόνος Η ταχύτητες φάσης και ομάδος συνδέονται από τη σχέση: 23
c G dc P cp (14) d Ο όρος dc p /dλ εκφράζει την διασπορά των υπερήχων σε ένα υλικό μέσο. Σε μέσα που παρουσιάζουν διασπορά (dc p /dλ 0) η ταχύτητα των υπερήχων παρουσιάζει εξάρτηση από το μήκος κύματός τους και οι ταχύτητες ομάδος και φάσης διαφέρουν μεταξύ τους. [4] ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΣΥΣΚΕΥΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Η συσκευή μέτρησης (Σχήμα 2) αποτελείται από τα ακόλουθα: 1. Δύο συσκευές πομπού-δέκτη υπερηχητικών κυμάτων. 2. Δύο γεννήτριες συχνοτήτων (FG. 1617 και Νο 416011) 3. Ένα παλμογράφο. 4. Μία ανακλαστική επιφάνεια. (α) (β) Σχήμα 3: Όργανα για τη μελέτη των υπερήχων. 5. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Συνδέστε τον πομπό με τη γεννήτρια συχνοτήτων (FG. 1617) συνδέοντας τα δύο καλώδια του μετατροπέα με την έξοδο (output) της γεννήτριας. Με τον ίδιο τρόπο συνδέστε το δέκτη με τον 24
παλμογράφο στο κανάλι I (σημειώστε ότι ο δέκτης και πομπός είναι το ίδιο μοντέλο). Θα πρέπει τα εξερχόμενα ηχητικά κύματα να είναι συχνότητας περίπου 40 khz. ΑΣΚΗΣΗ 1 Χρησιμοποιώντας κάποια από τα παραπάνω όργανα κατασκευάστε μια διάταξη για τον προσδιορισμό της καμπύλης συντονισμού του πιεζοηλεκτρικού κρυστάλλου του πομπού υπερήχων. Καταγράψτε την καμπύλη συντονισμού και σχεδιάστε την κατάλληλη γραφική παράσταση. Χρησιμοποιώντας γραφική προσαρμογή με την κατάλληλη συνάρτηση (software fitting) προσδιορίστε την/τις συχνότητες συντονισμού του πιεζοηλεκτρικού κρυστάλλου και τα χαρακτηριστικά του συντονισμού (εύρος, παράγοντας ποιότητας Q ). Σχολιάστε τις μετρήσεις σας Βοήθημα: Διερευνήστε την περιοχή συχνοτήτων 40 με 50 khz. ΑΣΚΗΣΗ 2 Διερευνήστε πειραματικά την σχέση της έντασης του υπερηχητικού σήματος σαν συνάρτηση της απόστασης από τον πομπό. Συγκρίνετε τα πειραματικά σας δεδομένα με την αναμενόμενη σχέση και σχολιάστε τις πιθανές αποκλίσεις πειράματος και θεωρίας σε μεγάλες και μικρές τιμές αποστάσεων. Σχολιάστε ΑΣΚΗΣΗ 3 Σχεδιάστε και πραγματοποιήστε ένα πείραμα για την μέτρηση της απορροφητικότητας των παρακάτω υλικών σε υπερήχους: 1. Tοίχωμα δύο στρώσεων από Styropor, d = 2 cm (εσωτερικό) και ξύλο, d = 2 cm (εξωτερικό) 2. Tοίχωμα τριών στρώσεων από ξύλο d = 1 cm (εσωτερικό), αέρα d = 1 cm στο ενδιάμεσο (χρησιμοποιώντας foam strips d = 1 cm για να διαχωρίσετε ξύλο και Styropor) και Styropor, d = 2 cm (εξωτερικό) 3. Tοίχωμα από ξύλο, d = 3 cm 4. Παράθυρο από μονωτικό γυαλί,, d = 5 mm 5. γυαλί Βάση των μετρήσεών σας σχολιάστε αν το γυαλί είναι καλός υπερηχητικός μονωτής. Σχολιάστε τα σφάλματα των μετρήσεών σας. Υπάρχουν ομοιότητες στην πειραματική μεθοδολογία που χρησιμοποιείτε σε σχέση με ένα υπερηχογράφημα; ΑΣΚΗΣΗ 4 Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα Τοποθετείστε τον πομπό και το δέκτη, τον ένα δίπλα στον άλλο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1β, σε μια καθορισμένη απόσταση από την οθόνη. Αφού αφαιρέσετε από το κύκλωμα τη γεννήτρια συχνοτήτων (FG1617). Ενώστε τον πομπό 25
στην έξοδο της παλμικής γεννήτριας (Νο 416011, Σχήμα 4). Εισάγετε στο συνεχόμενο σήμα μια χρονική παλμική καθυστέρηση των 80 ms. Στο κανάλι Ι εξακολουθεί να είναι ενωμένος ο δέκτης. Συνδέστε την έξοδο "trigger" της γεννήτριας συχνοτήτων με το κανάλι II του παλμογράφου με ένα ομοαξονικό καλώδιο (το μαύρο καλώδιο να συνδεθεί με τη γείωση). Το σήμα του trigger μας δηλώνει τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σήμα εξέρχεται από την γεννήτρια/πομπό, και θα χρησιμοποιηθεί σαν σήμα αναφοράς. Θέστε σε λειτουργία την πειραματική διάταξη. Θα πρέπει στην οθόνη του παλμογράφου να εμφανιστούν δύο σήματα.: ο υπερηχητικός παλμός που μετρά ο δέκτης και το σήμα του triggering. Το κουμπί DUAL του παλμογράφου θα πρέπει να είναι πιεσμένο και ο κοχλίας Time div σωστά ρυθμισμένος για να παρατηρείται τους παλμούς. Για τη μέτρηση της ταχύτητας του ήχου είναι αρκετό να κατασκευάσει κανείς τη γραφική παράσταση: Δs = f(δt), όπου Δs = 2x (όπου x η απόσταση πομπού-οθόνης) και Δt είναι η χρονική διάρκεια εκπομπής-λήψης, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5. (α) Υπολογίστε την ταχύτητα του ήχου. (β) Εξηγήστε γιατί στην πιο πάνω γραφική παράσταση εισέρχεται ο πολλαπλασιαστής 2. Ρυθμιστής συχνότητας Έξοδος γεννήτριας 23KHz Σήμα με διακοπή 80 ms 40KHz ON OFF TRIGGER Σήμα χωρίς διακοπή Σχήμα 4: Παλμική Γεννήτρια Συχνοτήτων (Νο 416011) Δt Σχήμα 5: Ανάγνωση Δt για άσκηση 3 26
ΑΣΚΗΣΗ 5 Μέτρηση του μήκους κύματος των υπερήχων με τη μέθοδο των στάσιμων κυμάτων. Αφαιρέστε από το κύκλωμα την παλμική γεννήτρια συχνοτήτων (Νο 416011) και συνδέστε ξανά στο κύκλωμα τη γεννήτρια συχνοτήτων (FG. 1617). Τοποθετήστε τον πομπό και το δέκτη απέναντι σε απόσταση περίπου x=50 cm, και εφαρμόστε πάνω τους, τους χάρτινους ανακλαστήρες. Ρυθμίστε τη συχνότητα της γεννήτριας ηχητικών κυμάτων για μέγιστο σήμα στον παλμογράφο (συμβουλευτείτε το ερώτημα 1). Μεταβάλετε την απόσταση πομπού-δέκτη μέχρι να παρατηρήσετε μέγιστο σήμα στον παλμογράφο. Σημειώστε τη θέση αυτή σαν την αρχική x=0. Μετακινώντας το δέκτη παρατηρείστε 10 διαδοχικά μέγιστα (n=10) και καταγράψετε την τελική του θέση x=l. Επαναλάβετε τη διαδικασία για διαφορετικές αρχικές θέσεις και καταγράψετε τα αποτελέσματα. Από τις πιο πάνω μετρήσεις υπολογίστε το μήκος κύματος λ των υπερήχων, την ταχύτητα διάδοσης των υπερήχων στον αέρα καθώς και τα αντίστοιχα στατιστικά σφάλματα. 27