Επειδή η χορδή ταλαντώνεται µε την θεµελιώδη συχνότητα θα ισχύει. Όπου L είναι το µήκος της χορδής. Εποµένως, =2 0,635 m 245 Hz =311 m/s

Transcript

1 1. Μία χορδή κιθάρας µήκους 636 cm ρυθµίζεται ώστε να παράγει νότα συχνότητας 245 Hz, όταν ταλαντώνεται µε την θεµελιώδη συχνότητα. (a) Βρείτε την ταχύτητα των εγκαρσίων κυµάτων στην χορδή. (b) Αν η τάση στην χορδή αυξηθεί κατά 1% ποια θα είναι η νέα θεµελιώδης συχνότητα της χορδής; (c) Αν η ταχύτητα του ήχου είναι 344 m/s, βρείτε την συχνότητα και το µήκος κύµατος του ηχητικού κύµατος που παράγεται στον αέρα από την ταλάντωση της χορδής µε συχνότητα 245 Hz. Πώς συγκρίνονται τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (c) µε το µήκος κύµατος και την συχνότητα του στάσιµου κύµατος στην χορδή; Λύση (a) Η ταχύτητα του κύµατος δίνεται από την σχέση = Επειδή η χορδή ταλαντώνεται µε την θεµελιώδη συχνότητα θα ισχύει =2 Όπου L είναι το µήκος της χορδής. Εποµένως, =20,635 m245 Hz=311 m/s (b) Η νέα συχνότητα υπολογίζεται ως εξής = = = 1,01 2 = =1,01 2 = = 1,01 = 1 1,01 =1,01 =1,01 245Hz=246 Hz (c) Η συχνότητα θα είναι η ίδια. Το µήκος κύµατος θα είναι ίσο προς = 344 m/s 245Hz =1,40 m

2 2. Ο ήχος από µία σάλπιγγα εκπέµπεται οµοιόµορφα σε όλες τις κατευθύνσεις σε αέρα 20 ο C. Σε απόσταση 5,00 m από την σάλπιγγα η ένταση του ήχου είναι 52,0 db. Η συχνότητα του ήχου είναι 587 Hz. (a) Ποιο είναι το πλάτος της πίεσης στην απόσταση αυτή; (b) Ποιο είναι το πλάτος της µετατόπισης; (c) Σε ποια απόσταση η ένταση του ήχου είναι 30.0 db; ίνονται αέρα =1,20, αέρα =1,42 10 Pa. Θεωρείστε ότι η ταχύτητα ήχου στον αέρα είναι 344 m/s. Λύση. a 52,0 db=10db log log 10 W =5,2 =1, W m m = 2 =2=21,20 kg m 344m s 1, W m =0,0114 Pa (b) = = = 2 =2 = max = =2 rad587 Hz 344 m/s =10,72 rad/m 0,0114 Pa 1, =7, m Pa10,72 rad/m (c) =10 dblog =10 dblog =10 dblog = 20 dblog 52 30dB=22 db=20dblog 1 2 1,10=log 1 2 =12,6 =63,0 m

3 3. Συµβολή τετραγωνικών παλµών. 3,00 Το σχήµα δείχνει δύο ορθογώνιους παλµούς σε τεντωµένη χορδή που διαδίδονται ο ένας προς τον άλλο. Κάθε παλµός οδεύει µε ταχύτητα 1,00 mm/s και έχει ύψος και εύρος όπως στο σχήµα. Εάν οι εµπρόσθιες παρυφές των παλµών είναι σε απόσταση 8,00 mm τη στιγµή t=0 σχεδιάστε την µορφή της χορδής σε χρόνο t=4,00 s, 6,00 s και 10,0 s. Λύση.

4 4. Μία δοκός βάρους 165 Ν εξαρτάται οριζόντια από δύο ίδια σύρµατα Α και Β όπως φαίνεται στο σχήµα. Δοκός Κύβος Ένας µικρός κύβος βάρους 185 Ν τοποθετείται σε απόσταση από το Α προς το Β. Το κάθε σύρµα έχει µήκος 75,0 cm και έχουν µάζα 5,50 g. Αν διεγερθούν ταυτόχρονα κτυπώντας τα σύρµατα στο µέσο τους, ποια είναι η συχνότητα του διακροτήµατος όταν ταλαντώνονται µε την θεµελιώδη συχνότητα; Λύση Οι δυνάµεις που ασκούνται φαίνονται στο παρακάτω διάγραµµα. Παίρνουµε ροπές ως προς το σηµείο Σ. =0 ύ =0 = 3 ύ 4 2 = ύ Ν 165 Ν =3185 =221 Ν 4 2 = ύ = N=129 N = 2 = = = 1 2

5 = N 5,50 10 kg0,750m = N 5,50 10 kg0,750m =88,4 Hz =115,7 Hz 5. Ηµιτονοειδές κύµα διαδίδεται κατά µήκος τεντωµένης χορδής που κείται στον άξονα x Η µετατόπιση της χορδής ως συνάρτηση του χρόνου αποδίδεται γραφικά στο σχήµα για σωµάτια στις θέσεις x=0 και x=0,0900 m.(a) Ποιο είναι το πλάτος του κύµατος; (b) ποια είναι η περίοδος του κύµατος; (c) Θεωρείστε ως δεδοµένο ότι η απόσταση µεταξύ των σηµείων x=0 και x=0,0900 m είναι ένα µήκος κύµατος. Αν το κύµα κινείται κατά την διεύθυνση +x προσδιορίστε το µήκος κύµατος και την ταχύτητα του κύµατος. (d) Αν όµως κινείται κατά την διεύθυνση -x προσδιορίστε και πάλι το µήκος κύµατος και την ταχύτητα του κύµατος. (e) Θα ήταν δυνατό να προσδιοριστεί τελεσίδικα το µήκος κύµατος στα ερωτήµατα (c) και (d) αν δεν σας είχαν ενηµερώσει ότι τα δύο σηµεία βρίσκονται εντός της περιοχής ενός µήκους κύµατος; Αιτιολογείστε την απάντησή σας. Λύση. (a) Η µέγιστη αποµάκρυνση είναι 4,0 mm, όπως προκύπτει από την γραφική παράσταση (b) Η περίοδος του κύµατος είναι 0,04 s, ανεξάρτητα από την φορά διάδοσης του κύµατος. (c) Επειδή για x=0 και t=0 είναι επίσης y=0 και το κύµα διαδίδεται κατά µήκος του +x θα ισχύει για την κυµατική εξίσωση.: =sin2 Από την γραφική παράσταση, θεωρώντας ότι το κύµα διαδίδεται κατά µήκος του +x και αν x=0 και x=0.090 m απέχουν κατά ένα µήκος κύµατος, η θέση x=0 παρατηρείται την χρονική στιγµή t=0,010 s και η θέση x=0.090 m την χρονική στιγµή t=0,035 s αντίστοιχα.

6 Το πρώτο µέγιστο για x=0 µετά την χρονική στιγµή t=0 αντιστοιχεί στο πρώτο µέγιστο της ποσότητας Εποµένως sin2 από την οποία προκύπτει ότι θα ισχύουν οι σχέσεις: x=0: 2 = Λύνουµε την σχέση αυτή ως προς λ 1. = 1 4 =0,035s 0,040s 0,25=0,625 = 0,625 =0,090m 0,625 =0,141 m Η ταχύτητα του κύµατος είναι == (d) την µορφή =,, =3,60 Αν το κύµα διαδίδεται κατά την διεύθυνση x τότε η κυµατική εξίσωση παίρνει =sin2 και το µέγιστο την χρονική στιγµή t=0,050 s για x=0 αντιστοιχεί στο µέγιστο την χρονική στιγµή t 1 =0,035 s για x=0,090 m. Το µέγιστο στην θέση x=0 είναι το δεύτερο µέγιστο µετά την αρχή και εποµένως για το όρισµα του ηµιτόνου θα ισχύει sin2 = 2 2=5 2 2 =5 4 =5 4 =5 4 0,035s 0,040s =0,375 = 0,625 =0,090m 0,375 (e) Όχι, γιατί δεν θα γνωρίζαµε ποιο σηµείο του κύµατος στην θέση x=0 σε ποιο σηµείο µετακινήθηκε στην θέση x=0,090 m