IV. Συνεχές ή ασυνεχές;

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ (ΕΠΙΛΟΓΗ) Μια νέα θεωρία εμφανίστηκε στο ξεκίνημα του εικοστού αιώνα, ανάμεσα στο 1900 και το 1930: Η κβαντική Φυσική. Με την θεωρία αυτή ερμηνεύτηκε με επιτυχία η συμπεριφορά των ατόμων, των μορίων και των πυρήνων. IV. Συνεχές ή ασυνεχές; ένας φοιτητής ποτίζει τον κήπο του! Γενικότερα η κβαντική μηχανική περιγράφει τη συμπεριφορά της ύλης στην κλίμακα του ατόμου. Έτσι, ζητήματα όπως το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, το γραμμικό φάσμα εκπομπής των αερίων, η ακτινοβολία του μέλανος σώματος, το φαινόμενο Compton, βρήκαν ικανοποιητική ερμηνεία. Οι θεμελιώδεις ιδέες της κβαντικής θεωρίας, διατυπώθηκαν από τον Max Planck και συνέβαλαν στην εξέλιξή της διάσημοι φυσικοί, όπως ο Einstein, o Bohr, o Schrödinger, o de Broglie, o Heisenberg, o Born, o Dirac και άλλοι. Ο Einstein βέβαια που ήταν ντετερμινιστής διατήρησε 1

πολλές επιφυλάξεις στον τρόπο που ερμηνεύτηκε η κβαντική Μηχανική, συγκεκριμένα δεν αποδέχτηκε ποτέ την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg. Ντετερμινισμός, είναι η φιλοσοφική εκείνη άποψη που ισχυρίζεται πως ο κόσμος λειτουργεί από αφορμές εσωτερικές, από μια ανάγκη που είναι μέσα στα πράματα, σύμφωνα με αλύγιστη νομοτέλεια. Φωτόνια Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Σύμφωνα με την κβαντική θεωρία, η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελείται από διακεκριμένα ενεργειακά πακέτα που τα ονομάζουμε φωτόνια ή κβάντα φωτός. Κάθε φωτόνιο έχει ενέργεια Ε που εξαρτάται από τη συχνότητα f, σύμφωνα με τη σχέση: c E h. f h Όπου h 34 6,66.10 J. s η σταθερά του Planck, λ το μήκος κύματος και c η ταχύτητα του φωτός Παρακάτω δίνονται ορισμένες τιμές για τα συχνότερα εμφανιζόμενα γινόμενα και σταθερές: 3 19 1eV 10 kev 1,60.10 J 1Å = 10-10 m 8 c 3.10 m/ s 34 h 6,66.10 J. s ή h 15 4,136.10. ev s hc = 1,4 kev. Å E m c MeV (για το ηλεκτρόνιο) 0 0 0,511

Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια συσκευή για τη μελέτη του φωτοηλεκτρικού φαινομένου Μέσα στη διαφανή λυχνία από χαλαζία, υπάρχουν δύο ηλεκτρόδια. Ο εκπομπός (Ε) που είναι μια μεταλλική επιφάνεια συνδεδεμένη με τον αρνητικό πόλο της πηγής και ο συλλέκτης (C) που είναι συνδεδεμένος με τον θετικό πόλο της πηγής. Έχουμε κάνει άντληση στην λυχνία και όταν βρίσκεται στο σκοτάδι το ευαίσθητο αμπερόμετρο Α, έχει μηδενική ένδειξη. Αρχίζουμε να φωτίζουμε το ηλεκτρόδιο Ε με μονοχρωματικό φώς. Για φώς κάποιων συχνοτήτων παρατηρούμε ένδειξη στο ευαίσθητο αμπερόμετρο, πράγμα που σημαίνει ότι φορείς ηλεκτρικού φορτίου γεφυρώνουν το κενό μεταξύ των δύο ηλεκτροδίων Ε και C. Από πού προέρχονται αυτοί οι φορείς; - Οι φορείς προέρχονται από τα μεταλλικό ηλεκτρόδιο Ε. Συγκεκριμένα, είναι ηλεκτρόνια που αποσπώνται από το ηλεκτρόδιο Ε και συλλέγονται στο θετικό ηλεκτρόδιο C. 3

Αν αναστρέψουμε την πολικότητα των ηλεκτροδίων Ε και C, δηλαδή αν συνδέσουμε το Ε με το θετικό πόλο και το C με τον αρνητικό, μπορεί να έχουμε και πάλι ρεύμα, όπως φαίνεται στην γραφική παράσταση φωτορεύματος τάσης (Ι V), αρκεί ή κινητική ενέργεια των εξερχομένων ηλεκτρονίων να μπορεί να υπερνικά το ανασταλτικό πεδίο. Βέβαια όταν η μέγιστη κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων που εξέρχονται (K max ) γίνει ίση με ev δηλαδή όταν: K max ev τότε το ρεύμα θα μηδενιστεί. Η s V s ονομάζεται τάση αποκοπής ή τάση μηδενισμού και είναι ανεξάρτητη της έντασης της δέσμης του φωτός που προσπίπτει στο ηλεκτρόδιο Ε. Από το διάγραμμα φαίνεται επίσης ότι η τιμή του φωτορεύματος αυξάνει μέχρι μια ορισμένη τιμή, όπου εμφανίζεται κόρος και η γραφική παράσταση είναι παράλληλη στον άξονα της εφαρμοζόμενης τάσης. Όσο μεγαλύτερη είναι η ένταση της προσπίπτουσας δέσμης του φωτός (β) τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του φωτορεύματος που παρουσιάζεται κόρος. s Επίσης, (ερμηνεία του Einstein, 1905) κάθε φωτόνιο μεταδίδει όλη την ενέργεια του σε ένα από τα ηλεκτρόνια του μετάλλου με αποτέλεσμα το ηλεκτρόνιο να φεύγει με την μέγιστη δυνατή ενέργεια. Άρα: K hf max Όπου ονομάζεται έργο εξαγωγής του συγκεκριμένου μετάλλου και αντιπροσωπεύει την ενέργεια που πρέπει να δοθεί στο ηλεκτρόνιο για να υπερνικήσει τις δυνάμεις που το συγκρατούν στο μέταλλο και να βγει από αυτό. Ερώτηση Απαριθμήστε κάποιες από τις ιδιότητες του φωτοηλεκτρικού φαινομένου που δεν εξηγούνται με την κλασσική φυσική. Απάντηση 1. Δεν παρατηρείται φωτορεύμα όταν η συχνότητα του φωτός που προσπίπτει ελαττωθεί κάτω από μια τιμή που ονομάζεται συχνότητα κατωφλίου f c ή ορική συχνότητα. Η τιμή της εξαρτάται από το υλικό του ηλεκτροδίου Ε που φωτίζεται. Η κλασσική φυσική δεν βάζει τέτοιο περιορισμό, δηλαδή προβλέπει εκπομπή φωτοηλεκτρονίων για οποιαδήποτε συχνότητα του προσπίπτοντος φωτός εφόσον η έντασή του να είναι αρκετή. Με την καινούργια ερμηνεία, γίνεται κατανοητό ότι για να εξαχθεί ένα ηλεκτρόνιο πρέπει το φωτόνιο να μεταφέρει στο ηλεκτρόνιο ενέργεια, ίση ή μεγαλύτερη από το hf έργο εξαγωγής άρα η συχνότητα του προσπίπτοντος φωτός πρέπει να είναι μεγαλύτερη από μια κάποια τιμή για το συγκεκριμένο υλικό του ηλεκτροδίου Ε. 4

. Η μέγιστη κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων δεν εξαρτάται από την ένταση του προσπίπτοντος φωτός, κάτι το οποίο είναι ανεξήγητο με την κλασσική φυσική. Με την καινούργια ερμηνεία γίνεται κατανοητό ότι, αν λόγου χάρη διπλασιαστεί η ένταση του φωτός, τότε διπλασιάζεται o αριθμός των εκπεμπομένων φωτοηλεκτρονίων. Η κινητική τους ενέργεια όμως εξαρτάται μόνο από τη συχνότητα του προσπίπτοντος φωτός και από το έργο εξαγωγής του συγκεκριμένου μετάλλου του ηλεκτροδίου Ε σύμφωνα με τη σχέση hf - και όχι από την ένταση του φωτός. 3. Η μέγιστη κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων αυξάνεται καθώς αυξάνεται η συχνότητα του προσπίπτοντος φωτός. Αδύνατο να εξηγηθεί με την κλασσική θεωρία, πλην όμως προκύπτει από την σχέση: K hf max 4. Έστω κι αν η ένταση του προσπίπτοντος φωτός είναι χαμηλή, τα ηλεκτρόνια εκπέμπονται από τη φωτιζόμενη επιφάνεια σχεδόν αμέσως μόλις φωτιστεί (σε χρόνο μικρότερο από 10-9 s από το φωτισμό της). Η ερμηνεία του γεγονότος αυτού είναι εύκολη με την παραδοχή της σωματιδιακής φύσης του φωτός γιατί τώρα η προσπίπτουσα ηλεκτρομαγνητική ενέργεια είναι συγκεντρωμένη σε μικρά πακέτα τα φωτόνια ή κβάντα φωτός, καθένα από τα οποία αλληλεπιδρά με ένα από τα ηλεκτρόνια του μετάλλου, στο οποίο μεταφέρει την ορμή και την ενέργεια του. 5

Ασκηση Να περιγράψετε μια μέθοδο μετρήσεως της σταθεράς του Planck (h) από παρατηρήσεις του φωτοηλεκτρικού φαινομένου. Απάντηση Μετράμε την κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων που αποσπώνται από το ηλεκτρόδιο Ε. Αυτό επιτυγχάνεται αν εφαρμόσουμε ανασταλτικό πεδίο ώστε να μηδενίζεται η ταχύτητα των ηλεκτρονίων ακριβώς πριν φτάσουν στο ηλεκτρόδιο C οπότε 1 ev mu Αυτό το επαναλαμβάνουμε για διάφορες συχνότητες της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Στη συνέχεια κάνουμε την γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας συναρτήσει της συχνότητας K hf max Παρατηρούμε ότι η σχέση είναι γραμμική. Η κλίση της ευθείας μας δίνει την σταθερά του Planck: h Η τιμή της ορικής συχνότητας συνδέεται με το έργο εξαγωγής Φ με τη σχέση: f c h Από την ορική συχνότητα Όπου: c c f c hc f c ορίζεται το ορικό μήκος κύματος ή μήκος κύματος κατωφλίου λ c Για συχνότητες μικρότερες της φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. f c ή για μήκη κύματος μεγαλύτερα του λ c δεν έχουμε 6

Φαινόμενο Compton Το πρόβλημα ήταν η σκέδαση των ακτίνων Χ από ηλεκτρόνια. Η κλασσική κυματική μας λέει ότι αν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία προσπέσει σε φορτισμένα σωμάτια, αυτά με τη σειρά τους θα τεθούν σε εξαναγκασμένη ταλάντωση και η ακτινοβολία που θα προκύψει θα έχει συχνότητα που δεν θα εξαρτάται από τη γωνία σκέδασης αλλά από το χρόνο έκθεσης του δείγματος στην προσπίπτουσα ακτινοβολία και την έντασή της. Όμως τα ευρήματα των πειραμάτων του Arthur Compton έδειχναν πως όταν μονοχρωματική δέσμη ακτίνων Χ προσπίπτει σε στόχο από γραφίτη, η ακτινοβολία σκεδάζεται προς όλες τις διευθύνσεις στο χώρο. Όταν όμως έβαζε τον ανιχνευτή του σε μια ορισμένη γωνία θ ως προς την αρχική διεύθυνση προσπτώσεως και έπαιρνε την ένταση της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας συναρτήσει του μήκους κύματος, τότε παρατηρούσε δύο συνιστώσες, από τις οποίες η μία είχε το μήκος κύματος λ της προσπίπτουσας και η άλλη συνιστώσα είχε μεγαλύτερο μήκος κύματος λ. Όταν άλλαζε την γωνία σκεδάσεως, άλλαζε το μήκος κύματος! Το 193 ο Compton και ο de Debye ερμήνευσαν τη σκέδαση των ακτίνων Χ από ηλεκτρόνια, θεωρώντας ότι οι ακτίνες Χ δηλαδή τα φωτόνια μικρού μήκους κύματος είναι σωματίδια σημειακών διαστάσεων με ορμή hf/c και ενέργεια hf. Στη συνέχεια εφάρμοσαν την αρχή διατήρησης της ενέργειας και της ορμής στο σύστημα φωτόνιο ηλεκτρόνιο και έδωσαν τη σχέση 7

h 1 cos mc 0 που είναι γνωστή σαν εξίσωση του φαινομένου Compton. Το λ είναι το μήκος που παρατηρείται το μέγιστο της έντασης της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας για γωνία σκέδασης θ και λ το μήκος κύματος του μεγίστου της έντασης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Η ποσότητα h/mc συνήθως ονομάζεται μήκος Compton του ηλεκτρονίου και έχει τιμή 0,043 Å Δηλαδή: h 0,0043nm 0,043 A o mc Παρατηρούμε ότι η διαφορά των μηκών κύματος εξαρτάται μόνο από τη γωνία σκεδάσεως θ και είναι ανεξάρτητη από την ενέργεια της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Η ποιοτική ερμηνεία της εξίσωσης Compton είναι εύκολη. Πράγματι, το φωτόνιο δίνει μέρος της ενέργειας του στο αρχικά ακίνητο ηλεκτρόνιο του στόχου και έτσι σκεδάζεται με μικρότερη ενέργεια, δηλαδή με μικρότερη συχνότητα, οπότε το αντίστοιχο μήκος κύματος λ θα είναι μεγαλύτερο του αρχικού μήκους κύματος λ. Στα διαγράμματα φαίνεται η εξάρτηση της έντασης Ι των σκεδαζομένων ακτίνων Χ από το μήκος κύματος. Η κορυφή στο λ οφείλεται στη σκέδαση των ακτίνων Χ από τα ηλεκτρόνια που είναι ισχυρώς δέσμια στα άτομα του στόχου, ενώ η κορυφή στο λ οφείλεται στη σκέδαση των ακτίνων Χ από τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του στόχου... 8

..... Η φύση του φωτός Η ερμηνεία του φωτοηλεκτρικού φαινομένου και του φαινομένου Compton αποτέλεσαν αξιόπιστες αποδείξεις της σωματιδιακής φύσης του φωτός ή με άλλα λόγια της έννοιας του κβάντουμ της ακτινοβολίας του φωτονίου. Έτσι, και το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο και το φαινόμενο Compton ερμηνεύονται ικανοποιητικά θεωρώντας ότι το φως, όταν αλληλεπιδρά με την ύλη συμπεριφέρεται σαν να αποτελείται από hc σωμάτια καθένα από τα οποία έχει ενέργεια: hf = λ και ορμή: E 1 hc h p= c c Από την άλλη πλευρά όμως θυμόμαστε πως το φως μας δίνει φαινόμενα κατ εξοχήν κυματικά όπως οι εικόνες συμβολής και περίθλασης. Η ίδια η δέσμη του φωτός που προκαλεί εκπομπή φωτοηλεκτρονίων μπορεί να δώσει περίθλαση όταν προσπέσει σε ένα οπτικό φράγμα και στη συνέχεια οι δέσμες που προέρχονται από τις δευτερογενείς πηγές συμβάλουν και δίνουν κροσσούς συμβολής. Φαίνεται πως θα πρέπει λοιπόν να δεχτούμε ότι οι δύο θεωρίες: η σωματιδιακή και η κυματική συνυπάρχουν. Θα πρέπει ίσως να υπερβούμε τις μηχανιστικές μακροσκοπικές εμπειρίες της καθημερινότητας που θέλουμε συνήθως μονολεκτικά να απαντάμε με ένα ναι ή ένα όχι!. 9

Μονολεκτικές απαντήσεις! Όμως και στην καθημερινή ζωή τα πράγματα δεν είναι και τόσο ξεκάθαρα σε ό,τι αφορά το «ναι» ή το «οχι»! Ας αναφέρω δυο παραδείγματα: Ένα χαντάκι πλάτους ενός μέτρου, από την μια άκρη του δρόμου στην άλλη, είναι παγίδα για έναν διαβάτη που περπατάει αμέριμνος, αφοσιωμένος στο κινητό του προκειμένου να απαντήσει σε ένα μήνυμα που μόλις έλαβε. Το ίδιο όμως εμπόδιο είναι πολύ εύκολο να ξεπεραστεί αν διαβάτης είναι προσεκτικός και παίρνοντας λίγη φόρα κάνει ένα μικρό πήδημα! [Ένα ηλεκτρόνιο μπορεί να παγιδευτεί σ ένα «πηγάδι δυναμικού» ή, αν έχει αρκετή ενέργεια να το αποφύγει!] Τελικά αν ρωτήσουμε: «το μικρό χαντάκι είναι εμπόδιο ή δεν είναι;» η απάντηση δεν μπορεί να είναι μονολεκτική, Ναι ή όχι! 10

Κάτι που εκ πρώτης όψεως φαίνεται να έχει την Α εξέλιξη, μπορεί με μια ειδική συνθήκη (που στη ροή της σκέψης πολλές φορές αγνοείται) να έχει μια διαφορετική εξέλιξη Β! Μια σιδερένια μπίλια που κινείται με μικρή ταχύτητα αισθάνεται την παρουσία ενός μαγνήτη και εκτρέπεται αισθητά από την πορεία της και συλλαμβάνεται από αυτόν, ενώ μια δεύτερη που κινείται με μεγάλη ταχύτητα στην ίδια απόσταση από τον μαγνήτη όπως και η πρώτη σφαίρα, ξεπερνάει την έλξη και συνεχίζει την κίνησή της! [Αυτό το απλό πείραμα βοηθάει στην κατανόηση των λόγων που σε πρώτη προσέγγιση αγνοούμε την δυναμική αλληλεπίδραση στα ιδανικά αέρια (μεγάλες ταχύτητες των μορίων, αραιωμένο το αέριο)! ]. Φαίνεται λοιπόν, για να γυρίσουμε πάλι στην ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, πως η κυματική θεωρία περιγράφει το συλλογικό αποτέλεσμα που προκαλεί ένας μεγάλος αριθμός φωτονίων, ενώ η σωματιδιακή, καλείται να ερμηνεύσει τα φαινόμενα σε περιπτώσεις όπου έχουμε πολύ υψηλές ενέργειες, δηλαδή πάρα πολύ μικρό μήκος κύματος. Θα μπορούσε να αναφέρει κανείς κι άλλα εντυπωσιακά παραδείγματα. 11

Υλικά κύματα ή κύματα de Broglie Το 193 ο Louis Victor de Broglie διετύπωσε την γνώμη ότι στη φύση θα πρέπει να υπάρχει συμμετρία. Όπως δηλαδή τα φωτόνια δείχνουν χαρακτηριστικές ιδιότητες σωματιδίων και κυμάτων, έτσι και ένα γνωστό σωμάτιο, για παράδειγμα το ηλεκτρόνιο πρέπει να συμπεριφέρεται σαν κύμα. Αυτή η διττή φύση της ακτινοβολίας επεκτάθηκε σε κάθε σωμάτιο μάζας m το οποίο ο de Broglie συσχέτισε με κύμα μήκους κύματος h h = p m Έτσι φτάσαμε σε αυτό που ονομάστηκε δυϊσμός σωματίου κύματος ή υλικά κύματα ή κύματα de Broglie σε αντιδιαστολή με τα γνωστά κύματα ελαστικότητας ή τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg. Συνέπεια της παραδοχής του υλικού κύματος ήταν η αρχή της αβεβαιότητας ή της απροσδιοριστίας του Heisenberg. O Werner Heisenberg το 197 εισήγαγε την έννοια του αδυνάτου της ταυτόχρονης μέτρησης, δηλαδή, x p h x Όπου Δx το σφάλμα καθορισμού της θέσης και Δp x το σφάλμα καθορισμού της ορμής. Μια άλλη μορφή της αρχής της απροσδιοριστίας είναι η E t h Όπου ΔΕ η αβεβαιότητα στην ενέργεια Ε ενός σωματίου όπως προσδιορίζεται σε ένα πείραμα που σχεδιάστηκε ακριβώς για να μετρηθεί αυτή η ενέργεια Ε και του οποίου η χρονική διάρκεια ήταν Δt. Στην περίπτωση της θεωρίας του Bohr οι ενεργειακές στάθμες ήταν αυστηρά καθορισμένες. Το Δt είναι ο χρόνος παραμονής ενός ηλεκτρονίου σε μια στάθμη πριν συμβεί αποδιέγερση και το ΔΕ είναι το εύρος της στάθμης. Η αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg έχει μια πολύ σημαντική επίπτωση στην περίπτωση συστημάτων όπως τα διεγερμένα άτομα τα οποία, συνήθως, έχουν περιορισμένο χρόνο ζωής, που ονομάζεται μέσος χρόνος ζωής(τ): 1

Αφού ο μέσος χρόνος ζωής περιορίζει τον χρόνο που έχουμε στη διάθεσή μας για να μετρήσουμε την ενέργεια του συστήματος πριν την αποδιέγερση, συμπεραίνουμε πως τα συστήματα αυτά θα έχουν μια απροσδιοριστία(δε) στον καθορισμό της ενέργειάς τους ανάλογη του λόγου (h/τ). Ο χρόνος Δt έχει έννοια μέσης τιμής που αναφέρεται σε μεγάλο πλήθος ατόμων όταν αυτά υφίστανται ορισμένη αποδιέγερση. Βέβαια στην θεμελιώδη στάθμη (n=1) το ηλεκτρόνιο παραμένει «επ άπειρον» δηλ. ΔΕ 0. Απόρροια του γεγονότος αυτού είναι ότι σε μια αποδιέγερση, τα φωτόνια που εκπέμπει η φωτεινή πηγή δεν έχουν όλα την ίδια συχνότητα. Το γεγονός αυτό εκδηλώνεται στις φασματικές γραμμές οι οποίες παρουσιάζουν κάποιο πλάτος. Αυτό το φυσικό πλάτος είναι μετρήσιμο αν περιοριστεί η διαπλάτυνση των φασματικών γραμμών που προκαλεί το φαινόμενο Doppler. Αν υπολογίσει κανείς την απροσδιοριστία θέσης για δύο σωμάτια: - το ένα μακροσκοπικών διαστάσεων μάζας ενός χιλιοστού του γραμμαρίου (1mg = 1.10-3 kg) και - το άλλο ένα ηλεκτρόνιο που έχει μάζα 9,1. 10-31 kg θεωρώντας όλες τις άλλες παραμέτρους ίδιες βρίσκει για μεν το πρώτο σώμα: Βρίσκει: Δx 1mg = 10-14 m, για δε το ηλεκτρόνιο: Δx e = 10 - m. Η απροσδιοριστία θέσης για το πρώτο σώμα είναι αμελητέα. Για το ηλεκτρόνιο όμως είναι τεράστια! Τόση, που μας υποχρεώνει να αναθεωρήσουμε τις απόψεις μας για καθορισμένες τροχιές και σημειακό φορτίο και να δεχτούμε μια κατανομή αρνητικού φορτίου γύρω από τον πυρήνα ένα ηλεκτρονικό νέφος δηλαδή του οποίου η μορφή καθορίζεται από κάποιες παραμέτρους που μας δίνει η θεωρία και ονομάζονται κβαντικοί αριθμοί. Η πυκνότητα του ηλεκτρονικού νέφους σε κάποιο σημείο σχετίζεται με την πιθανότητα να βρίσκεται το ηλεκτρόνιο σε αυτό το σημείο του χώρου. Εδώ βλέπουμε πως διαφοροποιείται η Κλασσική από την Κβαντική Φυσική: Ενώ στην Κλασσική φυσική μπορούμε να υπολογίσουμε την θέση ενός κινητού στο μέλλον ή το παρελθόν αν ξέρουμε την θέση, την ταχύτητα και τις δυνάμεις που επιδρούν πάνω του κάποια χρονική στιγμή, κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατό στην Κβαντική φυσική. Εδώ μπορούμε να να ξέρουμε την πιθανότητα ένα σωμάτιο να είναι σε μια κατάσταση. 13

Κυματική συνάρτηση Ωραία είναι η ιδέα των υλικών κυμάτων, των κυμάτων de Broglie! Ποιό είναι όμως στην περίπτωση αυτή το μέγεθος που διακυμαίνεται; Στην περίπτωση των ηχητικών κυμάτων είναι η πίεση, στην περίπτωση των εγκαρσίων κυμάτων στην επιφάνεια ενός υγρού ή σε μια χορδή, είναι η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας! - Στην περίπτωση των υλικών κυμάτων, λέμε πως περιγράφονται από μια συνάρτηση που την λέμε κυματική συνάρτηση ή κυματοσυνάρτηση και εξαρτάται από τη θέση όλων των σωματίων που αποτελούν το σύστημα που μελετάμε και από τον χρόνο. Η κυματοσυνάρτηση αυτή καθ αυτή δεν είναι μετρήσιμη, μπορεί να είναι πραγματική ή μιγαδική και η μορφή που παίρνει εξαρτάται από το σύστημα που περιγράφουμε και από τις δυνάμεις που δρουν πάνω του. Στην περίπτωση που η κυματοσυνάρτηση περιγράφει ένα μόνο σωμάτιο, το σωμάτιο αυτό παρίσταται από μια κυματοσυνάρτηση: (, ) τέτοια ώστε * να ισούται με την πιθανότητα να βρεθεί το συγκεκριμένο σωμάτιο στη συγκεκριμένη θέση τον συγκεκριμένο χρόνο. Η, - περιλαμβάνει όλη την «μετρήσιμη πληροφορία» για το σωματίδιο - είναι συνεχής - επιτρέπει ενεργειακούς υπολογισμούς μέσω της εξισώσεως του Schrodinger - καθιερώνει την κατανομή πιθανότητας σε τρείς διαστάσεις - επιτρέπει τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής μιας δεδομένης μεταβλητής. - για ένα ελεύθερο σωματίδιο είναι ένα ημιτονικό κύμα, πράγμα που σημαίνει μια εντελώς καθορισμένη ορμή και μια εντελώς ακαθόριστη θέση (αρχή της αβεβαιότητας). το γινόμενο (όπου ψ* η μιγαδική συζυγής της ψ) είναι η * πιθανότητα ανά μονάδα όγκου (πυκνότητα πιθανότητας). Δηλαδή, η πιθανότητα P v να εντοπίσουμε το σωμάτιο σε στοιχείο όγκου dv είναι: Pv dv Σε πρώτη προσέγγιση του θέματος μελετούμε μονοδιάστατα συστήματα. 14

Έτσι θεωρούμε το σωμάτιο παγιδευμένο κάπου μεταξύ x και x+dx, δηλαδή η πιθανότητα να ανιχνευθεί το σωμάτιο στο διάστημα dx είναι P( x) dx dx προφανώς dx 1 επειδή το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων να ανιχνεύσουμε το σωμάτιο πάνω στον άξονα των x από το μείον άπειρο έως το συν άπειρο είναι ίσο με τη μονάδα. Αν γνωρίζουμε την ορμή ενός ελεύθερου σωματίου τότε ή κυματοσυνάρτησή του είναι ένα αρμονικό κύμα με λ = h/p και το πραγματικό της μέρος είναι x ( x) Asin k όπου ή ( x) A e ή ( x) Asin( kx) ο κυματαριθμός ή κυματαριθμός (ο κυματαριθμός συναντάται και ως k=1/λ σε ορισμένα συγγράμματα). Η πιθανότητα να παρατηρήσουμε το σωμάτιο κάπου στο διάστημα από a έως b, είναι: b Pab dx a Εξίσωση του Schrödinger ikx Η κυματοσυνάρτηση ικανοποιεί μια κυματική εξίσωση (όπως η συνάρτηση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος ικανοποιεί την κυματική εξίσωση που προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell). Η κυματική αυτή εξίσωση που ικανοποιείται από την κυματική συνάρτηση ψ ονομάζεται εξίσωση του Schrödinger: m ( ) E U x (Ε είναι η ολική ενέργεια του σωματίου δηλαδή, το άθροισμα της κινητικής του ενέργειας Κ και της δυναμικής του ενέργειας U. 15

Η εξίσωση του Schrödinger παίζει τον ρόλο που παίζουν οι νόμοι του Νεύτωνα και η αρχή διατήρησης της ενέργειας στη κλασσική μηχανική. Δηλαδή, προβλέπει την μελλοντική συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος. Προβλέπει αναλυτικά και με ακρίβεια την πιθανότητα να συμβούν ορισμένα γεγονότα ή αποτελέσματα. Το ακριβές αποτέλεσμα εξαρτάται από την συγκυρία, αλλά δεδομένου ενός μεγάλου πλήθους γεγονότων η εξίσωση του Schrödinger προβλέπει την κατανομή των αποτελεσμάτων. Έτσι, αν μπορούμε να λύνουμε κάθε φορά που θα χρειαστεί την εξ. του Schrödinger και να προσδιορίζουμε την, μπορούμε στη συνέχεια να υπολογίζουμε μετρήσιμα μεγέθη όπως η ενέργεια και η ορμή. Ακόμη, μπορούμε να υπολογίζουμε την αναμενόμενη μέση τιμή της θέσης x ενός σωματίου που βρίσκεται σε μια καθορισμένη κατάσταση, μετά από ένα πλήθος πειραματικών μετρήσεων (δηλ. η πυκνότητα πιθανότητας είναι ανεξάρτητη του χρόνου). Πράγματι: η αναμενόμενη μέση τιμή της θέσης ισούται x x dx 16

Άσκηση Να υπολογίσετε το μήκος κύματος κατά de Broglie μιας μάζας m που είναι 0,011kg και έχει ταχύτητα 10 m/s. Λύση h h = p m -34 6,3 10 J s = 0,011 kg 10 m/s o -33 =6,03 10 A Θα πρέπει να σχολιάσουμε πως για να παρατηρήσει κανείς φαινόμενα περίθλασης ή συμβολής θα πρέπει οι σχισμές που θα χρησιμοποιήσει να είναι της τάξεως του μήκους κύματος κατά de Broglie. Η τιμή όμως που προέκυψε από τον υπολογισμό είναι κατά πολλές τάξεις μεγέθους μικρότερη από κάθε δυνατό άνοιγμα σχισμής! Άσκηση Να υπολογίσετε την διαφορά δυναμικού που είναι απαραίτητη ώστε ένα ηλεκτρόνιο να έχει μήκος κύματος κατά de Broglie ίσο με 1 Å. Λύση Η ενέργεια ev που θα πάρει το ηλεκτρόνιο από το ηλεκτρικό πεδίο θα την μετατρέψει σε κινητική ενέργεια. Δηλαδή, 1 1 p ev m0 m0 m m 1 h ev m 0 0 0 h V me 0 Αντικαθιστούμε τα μεγέθη σε μονάδες του Διεθνούς Συστήματος(S.I) και έχουμε: 34 (6, 63.10 ) V (9,1110 )(1, 610 )(1 10 ) Από όπου τελικά παίρνουμε V 150,8V 31 19 10 Την τιμή αυτή του ηλεκτρικού πεδίου που είναι απαραίτητη για να επιταχυνθεί ένα ηλεκτρόνιο, εύκολα μπορεί να την έχει ένας ερευνητής στο εργαστήριο ώστε να παρατηρήσει κύματα de Broglie ηλεκτρονίων με μήκος κύματος λ =1 Å Ο μη σχετικιστικός υπολογισμός δικαιολογείται από το γεγονός ότι η κινητική ενέργεια των 150,8 ev που παίρνει το ηλεκτρόνιο από το ηλεκτρικό πεδίο είναι μικρή συγκρινόμενη με την ενέργεια ηρεμίας του ηλεκτρονίου που είναι 0,511 10 6 ev 17

Άσκηση Θέλουμε να παρατηρήσουμε ένα αντικείμενο που έχει διαστάσεις,6 Å. Θέλουμε να ξέρουμε ποια είναι η τιμή της μικρότερης ενέργειας σε περίπτωση που χρησιμοποιήσουμε φωτόνια και στην περίπτωση που χρησμοποιήσουμε 3 ηλεκτρόνια [ hc= 1,4 10 ev A ] o Λύση Προκειμένου να έχουμε σκέδαση θα πρέπει το μήκος κύματος των κυμάτων που θα χρησιμοποιήσουμε να είναι της τάξεως ή μικρότερο - των διαστάσεων του αντικειμένου που θα παρατηρήσουμε. Έτσι το μέγιστο μήκος κύματος που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι o max,6a Οπότε: E Και τελικά: ph hc hfmin max o 3 1,4 10 ev A o,6a Eph 3 4,77 10 ev Στην περίπτωση των ηλεκτρονίων θα πρέπει και πάλι το μέγιστο μήκος κύματος να είναι,6 Å. Η κινητική ενέργεια Κ και η ορμή p συνδέονται με τη σχέση: p m K 0 Έτσι το μήκος κύματος λ θα ισούται με h max p h mk 0 min, e Λύνοντας ως προς Κ έχουμε: K h min, e m0max Αν πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους του κλάσματος επί c για να πάρουμε γνωστές ποσότητες όπως το γινόμενο hc και την ενέργεια ηρεμίας του ηλεκτρονίου m 0 c, θα έχουμε K hc min, e mc 0 max Απ όπου προκύπτει K min, e,3 ev K min, e o 3 (1,4 10 ev A) (0,51110 ev )(, 6 A) o 6 Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων φαίνεται ότι για δεδομένη ενέργεια τα ηλεκτρόνια έχουν πολύ μεγαλύτερη διακριτική ικανότητα από ό,τι τα φωτόνια ( διακριτική ικανότητα: η ελάχιστη απόσταση δύο σημείων του προς παρατήρηση αντικειμένου, για τα οποία έχω ευκρινή απεικόνιση -παρατήρηση) Αυτός είναι και ο λόγος που τα ηλεκτρονικά μικροσκόπια επιτυγχάνουν πολύ μεγαλύτερες μεγεθύνσεις απ ό,τι τα οπτικά μικροσκόπια. 18