Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 8: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2ο μέρος) Υποενότητα 1
Σκοποί 1 ης υποενότητας Να μπορούν οι φοιτητές να μοντελοποιούν και να επιλύουν προβλήματα με περισσότερες από δύο μεταβλητές απόφασης Να μπορούν οι φοιτητές να μοντελοποιούν προβλήματα ελαχιστοποίησης και να τα επιλύουν με τη μέθοδο simplex 3
Περιεχόμενα 1 ης υποενότητας Επίλυση προβλήματος με περισσότερες από δύο μεταβλητές απόφασης με τη μέθοδο simplex Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης με τη μέθοδο simplex 4
Περισσότερες από δύο μεταβλητές απόφασης (1/8) Ένα μικρό εργαστήριο κατασκευάζει ξύλινες μαριονέτες τις οποίες πουλάει σε καταστήματα δώρων Η επιχείρηση αποφάσισε να παράγει τρία νέες μαριονέτες, μάγισσες, νεράιδες και ξωτικά Για να κατασκευάσει τις μαριονέτες χρησιμοποιεί ως πρώτη ύλη το ξύλο 5
Περισσότερες από δύο μεταβλητές απόφασης (2/8) Οι βασικές επεξεργασίες που υφίσταται κάθε μαριονέτα είναι 1. Ξυλουργική επεξεργασία 2. Βαφή 3. Έλεγχος, φινίρισμα και συσκευασία (θεωρούνται μία διεργασία) 6
Περισσότερες από δύο μεταβλητές απόφασης (3/8) Δεδομένα προβλήματος Προϊόν Μάγισσες Νεράιδες Ξωτικά Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Ξύλο 3 2 2 400 Ξυλουργική επεξεργασία 10 8 7 1200 Βάψιμο 5 2 3 500 Έλεγχος, φινίρισμα, συσκευασία 2 3 2 400 Κόστος ( ) 20 8 7 Τιμή ( ) 34 14 15 7
Περισσότερες από δύο μεταβλητές απόφασης (4/8) Μεταβλητές απόφασης x 1 : παραγόμενα τεμάχια μαγισσών x 2 : παραγόμενα τεμάχια νεραϊδών x 3 : παραγόμενα τεμάχια ξωτικών 8
Περισσότερες από δύο μεταβλητές απόφασης (5/8) Αντικειμενική συνάρτηση Maximize z = (34-20)x 1 + (14-8)x 2 + (15-7)x 3 Maximize z = 14x 1 + 6x 2 + 8x 3 9
Περισσότερες από δύο μεταβλητές Περιορισμοί απόφασης (6/8) 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 400 (ξύλο) 10x 1 + 8x 2 + 7x 3 1200 (ξυλουργική επεξεργασία) 5x 1 + 2x 2 + 3x 3 500 (βάψιμο) 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 400 (έλεγχος, φινίρισμα και συσκευασία) 10
Περισσότερες από δύο μεταβλητές απόφασης (7/8) Κανονική μορφή προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Maximize z = 14x 1 + 6x 2 + 8x 3 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 400 (ξύλο) 10x 1 + 8x 2 + 7x 3 1200 (ξυλουργική επεξεργασία) 5x 1 + 2x 2 + 3x 3 500 (βάψιμο) 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 400 (έλεγχος, φινίρισμα και συσκευασία) x j 0, για j=1,2,3 11
Περισσότερες από δύο μεταβλητές απόφασης (8/8) Μετατροπή στην τυποποιημένη μορφή του προβλήματος Maximize z = 14x 1 + 6x 2 + 8x 3 +0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + s 1 = 400 (ξύλο) 10x 1 + 8x 2 + 7x 3 + s 2 = 1200 (ξυλουργική επεξεργασία) 5x 1 + 2x 2 + 3x 3 + s 3 = 500 (βάψιμο) 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 + s 4 = 400 (έλεγχος, φινίρισμα και συσκευασία) x j 0, για j=1,2,3 s i 0, για i=1,2,3,4 12
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (1/13) Κανονική μορφή Minimize z = 1,5x 1 + 2,5x 2 Με περιορισμούς: 0,3x 1 + 0,2x 2 15 0,05x 1 + 0,25x 2 9 x 2 20 x 1, x 2 0 13
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (2/13) Τυποποιημένη μορφή Minimize z = 1,5x 1 + 2,5x 2 + 0e 1 + 0e 2 + 0e 3 Με περιορισμούς: 0,3x 1 + 0,2x 2 1e 1 = 15 0,05x 1 + 0,25x 2-1e 2 = 9 x 2-1e 3 = 20 x 1, x 2, e 1, e 2, e 3 0 14
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (3/13) Στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε να ξεκινήσουμε από την αρχή των αξόνων, θέτοντας τις μεταβλητές απόφασης ίσες με το μηδέν Αυτό διότι αν θέσουμε x 1 =x 2 =0, τότε το σημείο (0,0) αντιστοιχεί στη λύση (x 1,x 2,e 1,e 2,e 3 )=(0,0,-15,-9,-20) η οποία προφανώς παραβιάζει τον περιορισμό της μη αρνητικότητας των μεταβλητών και είναι μη εφικτή 15
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (4/13) Για να βρεθεί μια αρχική εφικτή λύση κάνουμε το εξής: Σε κάθε περιορισμό προσθέτουμε μία τεχνητή μεταβλητή Η μεταβλητές αυτές δεν έχουν σχέση με το πρόβλημα και μάλιστα αν κάποια από αυτές παραμείνει στην τελική βέλτιστη λύση, σημαίνει ότι το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση Χρησιμεύουν μόνο και μόνο για να κατασκευαστεί ο αρχικός πίνακας simplex 16
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (5/13) Οι περιορισμοί παίρνουν την εξής μορφή: 0,3x 1 + 0,2x 2 1e 1 + α 1 = 15 0,05x 1 + 0,25x 2-1e 2 + α 2 = 9 x 2-1e 3 + α 3 = 20 Η αρχική λύση τώρα είναι η εξής: (x 1,x 2,e 1,e 2,e 3,α 1,α 2,α 3 )=(0,0,0,0,0,15,9,20) 17
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (6/13) Για να είμαστε σίγουροι ότι οι τεχνητές μεταβλητές δεν πρόκειται να βρίσκονται στη βέλτιστη λύση κάθε μία από αυτές πρέπει να προστίθεται στην αντικειμενική συνάρτηση πολλαπλασιαζόμενη επί ένα πολύ μεγάλο θετικό αριθμό Με τον τρόπο αυτό η συνεισφορά της στο κόστος θα είναι πολύ μεγάλη ανά μονάδα αύξησής της και επομένως λογικά η μέθοδος simplex θα αποφύγει την είσοδό της στη βέλτιστη λύση 18
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (7/13) Τυποποιημένη μορφή Minimize z = 1,5x 1 + 2,5x 2 + 0e 1 + 0e 2 + 0e 3 + Μα 1 + Μα 2 + Μα 3 Με περιορισμούς: 0,3x 1 + 0,2x 2 1e 1 + α 1 = 15 0,05x 1 + 0,25x 2-1e 2 + α 2 = 9 x 2-1e 3 + α 3 = 20 x 1, x 2, e 1, e 2, e 3, α 1, α 2, α 3 0 19
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (8/13) 1 ος τρόπος επίλυσης προβλημάτων ελαχιστοποίησης Ίδιος με τον τρόπο επίλυσης προβλημάτων μεγιστοποίησης με τις εξής διαφορές: Σε ένα πίνακα simplex ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης η σειρά c j -z j καθορίζει ποια θα είναι η εισερχόμενη μεταβλητή, επιλέγοντας εκείνη τη μεταβλητή, η οποία μειώνει με το μεγαλύτερο δυνατό ρυθμό την αντικειμενική συνάρτηση 20
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (9/13) 1 ος τρόπος επίλυσης προβλημάτων ελαχιστοποίησης Ίδιος με τον τρόπο επίλυσης προβλημάτων μεγιστοποίησης με τις εξής διαφορές: Άρα επιλέγεται εκείνη η μεταβλητή που έχει το μικρότερο αρνητικό στοιχείο στη σειρά c j -z j Ο αλγόριθμος σταματάει όταν όλα τα στοιχεία στη σειρά c j -z j είναι θετικά ή μηδέν, οπότε και δεν υπάρχει περιθώριο βελτίωσης (μείωσης) της αντικειμενικής συνάρτησης 21
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (10/13) 1 ος τρόπος επίλυσης προβλημάτων ελαχιστοποίησης Βασικά χαρακτηριστικά 1. Η βάση αρχικά αποτελείται από τις τεχνητές μεταβλητές 2. Κάθε τεχνητή μεταβλητή που βγαίνει από τη βάση απαλείφεται από τον πίνακα simplex, δηλαδή αφαιρείται η στήλη που αντιστοιχεί σε αυτή 22
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (11/13) 1 ος τρόπος επίλυσης προβλημάτων ελαχιστοποίησης Βασικά χαρακτηριστικά 3. Οι τιμές στις σειρές της στήλης «Πηλίκο» υπολογίζονται όταν ο συντελεστής της εισερχόμενης μεταβλητής στην αντίστοιχη σειρά είναι θετικός 4. Αν είναι αρνητικός (ή μηδέν) βάζουμε παύλα (-) 23
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (12/13) 2 ος τρόπος επίλυσης προβλημάτων ελαχιστοποίησης Βασικά χαρακτηριστικά 1. Πολλαπλασιάζουμε την αντικειμενική συνάρτηση με -1 και επιλύουμε το αντίστοιχο πρόβλημα μεγιστοποίησης 2. Από εκεί και πέρα η μεθοδολογία είναι ίδια με αυτή που ακολουθούμε για την επίλυση προβλημάτων μεγιστοποίησης 24
Επίλυση προβλήματος ελαχιστοποίησης (13/13) Τυποποιημένη μορφή Maximize -z = -1,5x 1-2,5x 2-0e 1-0e 2-0e 3 - Μα 1 - Μα 2 - Μα 3 Με περιορισμούς: 0,3x 1 + 0,2x 2 1e 1 + α 1 = 15 0,05x 1 + 0,25x 2-1e 2 + α 2 = 9 x 2-1e 3 + α 3 = 20 x 1, x 2, e 1, e 2, e 3, α 1, α 2, α 3 0 25
Τέλος Υποενότητας 1
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 27
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: 29
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Επιχειρησιακή Έρευνα. Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος)». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/document/document.php?course=deapt1 19. 30
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 31