Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Τα σύγχρονα συστήματα επικοινωνίας σε πολύ μεγάλο ποσοστό διαχειρίζονται σήματα ψηφιακής μορφής, δηλαδή, σήματα που δημιουργούνται από ακολουθίες δυαδικών ψηφίων. Τα περισσότερα σήματα στην πράξη είναι αναλογικά. Η μετάδοση των σημάτων αυτών σε ψηφιακή μορφή απαιτεί τα αναλογικά αυτά σήματα να μετατραπούν σε ψηφιακά. Η διαδικασία της μετατροπής αναλογικών σημάτων σε ψηφιακά ονομάζεται αναλογική σε ψηφιακή μετατροπή A/D nlog o igil convrsion ή κωδικοποιήσης κυματομορφής. Υπάρχουν δύο βασικές τεχνικές κωδικοποιήσης κυματομορφής, παλμοκωδική διαμόρφωση και η διαμόρφωση δέλτα.
Παλμοκωδική Διαμόρφωση PCM Η Παλμοκωδική διαμόρφωση Puls Co Moulion PCM είναι το απλούστερο σχήμα κωδικοποιήσης κυματομορφής. Ένας παλμοκωδικός διαμορφωτής παλμών αποτελείται από τρία βασικά μέρη: ένα δειγματολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. Σ Υ Σ Τ Η Μ Α PC M Δειγματολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής x xn xn 4 5 6 7 8 9 3 3 n 4 5 6 7 8 9 3 3 n Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-3
Ψηφιακός Διαμορφωτής - Αποδιαμορφωτής Επειδή σχεδόν όλα τα κανάλια επικοινωνίας που συναντάμε στην πράξη είναι ικανά να μεταδίδουν ηλεκτρικά σήματα κυματομορφές. k Ψηφιακός διαμορφωτής Κανάλι r u Ψηφιακός αποδιαμορφωτής Σεραφείμ Καραμπογιάς k u Δυαδική ακολουθία Αναλογικό σήμα r Αναλογικό σήμα Δυαδική ακολουθία b b b 3 b b b 3 Ο πρωταρχικός ρόλος του ψηφιακού διαμορφωτή είναι να απεικονίζει τις δυαδικές ακολουθίες σε κυματομορφές σήματος. Ο ψηφιακός διαμορφωτής μπορεί απλώς να απεικονίζει το δυαδικό ψηφίο στην κυματομορφή s και το δυαδικό ψηφίο στην κυματομορφή s. Στο άλλο άκρο της λήψης ενός ψηφιακού συστήματος επικοινωνίας, ο ψηφιακός αποδιαμορφωτής επεξεργάζεται τις αλλοιωμένες από το κανάλι διαβιβασμένες κυματομορφές και εκτιμά το διαβιβασμένο δυαδικό ψηφίο. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-4
Διαμόρφωσης Παλμών κατά Πλάτος Puls Ampliu Moulion PAM g Ψηφιακός διαμορφωτής b g Ψηφιακός διαμορφωτής b g g b g b Ψηφιακός διαμορφωτής b b 3b k g k όπου k k, εκπομπή του, εκπομπή του Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-5
Το ισοδύναμο χαμηλοπερατό σήμα βασικής ζώνης γράφεται γενικά ως Σεραφείμ Καραμπογιάς Επειδή η ακολουθία πληροφορίας {α n } είναι τυχαία, η υ είναι μία συνάρτηση δείγμα μίας τυχαίας διαδικασίας V όπου Α είναι τυχαία ακολουθία με τιμές α, α,, α Μ σε ένα μιαδικό σύστημα. Η μέση τιμή της τυχαίας διαδικασίας, V είναι n E [ A] g n n n g n όπου α n είναι η ακολουθία τιμών και αντιστοιχούν στα σύμβολα πληροφορίας της πηγής, και g είναι κατάλληλα επιλεγμένος παλμός. Όπου m A = k E V V n A g A g n m n E n n g n n k P k η μέση τιμή της τυχαίας ακολουθίας A. Παρατηρούμε ότι η μέση τιμή της είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-6
Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας, V είναι R V, E V V E [ ] m n m n m g n g Ενγένει, υποθέτουμε ότι η ακολουθία πληροφορίας {α n } είναι στατική υπό την ευρεία έννοια με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R A n = E[ m n + m ] επομένως R V, R m n g n g m n m m A n R m g n g n m A Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι περιοδική συνάρτηση. R, R, επομένως η τυχαία διαδικασία V είναι κυκλοστατική. V V Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-7
5 F AR, XX XX Σεραφείμ Καραμπογιάς Η φασματική πυκνότητα ισχύος, V, της κυκλοστατικής τυχαίας διαδικασίας, V, προσδιορίζεται αφού πρώτα βρεθεί η χρονική μέση τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης R V + τ,, για μία περίοδο Τ, και στη συνέχεια υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourir της μέσης χρονικής τιμής της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Η χρονική μέση τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι R τελικά V R V, m Τ Τ m m R m g n g n m n n Τ Τ R m g g m R m g nτ+ nτ+ g R V R m Rg m m m Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-8
5-9 Ο μετασχηματισμός Fourir της χρονικής μέσης τιμής της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, δηλαδή, η φασματική πυκνότητα ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος είναι R V V m g m R m R m g m R m R Αν είναι η φασματική πυκνότητα ισχύος της ακολουθίας πληροφορίας {α n }, δηλαδή, ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας πληροφορίας. m m m R m m R και G είναι ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της g. Επίσης G είναι η απόκρισης συχνότητας του φίλτρου εκπομπής έχουμε G V Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων
Η φασματική πυκνότητα ισχύος, V, της κυκλοστατικής τυχαίας διαδικασίας, V είναι λοιπόν V G Για να ελέγξουμε τη μορφή της φασματικής πυκνότητας του μεταδιδόμενου σήματος πρέπει να σχεδιασθούν κατάλληλα τα φασματικά χαρακτηριστικά του φίλτρου εκπομπής, G, και τα φασματικά χαρακτηριστικά της ακολουθίας πληροφορίας {α n },. Αν τα σύμβολα πληροφορίας στην ακολουθία { n } είναι αμοιβαία ασυσχέτιστα τότε όπου [ ] m E R m m m,, m m είναι η διακύμανση των συμβόλων πληροφορίας. m R m m m m m Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-
Το περιοδικό σήμα m δ m m δ m Αν η μέση τιμή m =, η φασματική πυκνότητα είναι π s Συνεχές τμήμα του φάσματος m m m m π Η φασματική πυκνότητα ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος υ όταν η ακολουθία συμβόλων πληροφορίας είναι ασυσχέτιστη είναι G m m m V G G δ m m m δ ms αναπτύσσεται σε σειρά Fourir Επομένως η φασματική πυκνότητα μπορεί να εκφραστεί ως m m m δ m m Διακριτό τμήμα του φάσματος V G Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-
Όταν το g είναι ο ορθογώνιος παλμός του σχήματος g A Ο μετασχηματισμός Fourir είναι και η φασματική πυκνότητα ενέργειας είναι G G sin π π π A π A π G sin A Ορθογώνιος παλμός g. A sinc Φασματική πυκνότητα ενέργειας G του g. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-
Δίνεται η δυαδική ακολουθία {b n } που αποτελείται από ασυσχέτιστες δυαδικές ± τυχαίες μεταβλητές μηδενικής μέσης τιμής και μοναδιαίας διακύμανσης. Δημιουργούμε τα σύμβολα n = b n + b n τα οποία και μεταδίδουμε. Να καθοριστεί η φασματική πυκνότητα ισχύος του διαμορφωμένου σήματος. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας {α n } είναι R Eb b b b m E n nm n n nm nm,,, m m αλλιώς Η φασματική πυκνότητα ισχύος του σήματος εισόδου είναι m R m cos 4cos m και η αντίστοιχη φασματική πυκνότητα ισχύος του διαμορφωμένου σήματος είναι V G 4 G cos π Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-3
4 Φασματική πυκνότητα ισχύος της ακολουθίας πληροφορίας. V 4 G Φασματική πυκνότητα ισχύος του αντίστοιχου διαμορφωμένου σήματος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-4
Το Φάσμα Ισχύος ενός Σήματος Διαμορφωμένου Φέροντος Αν υ είναι το σήμα βασικής ζώνης ενός ψηφιακά διαμορφωμένου σήματος, το αντίστοιχο ζωνοπερατό σήμα είναι u = υ cosπ c Σήμα βασικής ζώνης m u m Φέρον cos c Ζωνοπερατό σήμα Διαμόρφωση κατά πλάτος ενός ημιτονοειδούς φέροντος από σήμα βασικής-ζώνης. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-5
Περιγραφή στο χρονικό πεδίο n g b b Σεραφείμ Καραμπογιάς n όταν bn ng n όπου n όταν bn g 3 b Διαμόρφωση παλμών κατά πλάτος - Το σήμα βασικής ζώνης g u c cos c Αλλαγή φάσης u cos c 3 Διαμόρφωση παλμών κατά πλάτος - Το ζωνοπερατό σήμα Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-6
Το Φάσμα Ισχύος ενός Σήματος Διαμορφωμένου Φέροντος Αν υ είναι το σήμα βασικής ζώνης ενός ψηφιακά διαμορφωμένου σήματος, το αντίστοιχο ζωνοπερατό σήμα είναι u = υ cosπ c και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας U=V cosπ c είναι R U, E U U EV V cosπ cosπ R V c, cos π cosπ Η μέση τιμή του R U, + τ για μία περίοδο διάρκειας δίνει R U RV cosπ Η φασματική πυκνότητα ισχύος του ζωνοπερατού σήματος είναι U F c R U 4 V c c V c c c Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-7
Η διαμόρφωση κατά πλάτος του φέροντος από τις κυματομορφές βασικής ζώνης ολισθαίνει το φάσμα του σήματος βασικής ζώνης κατά c U FRU V 4 V c V c W W U W 4 W c W c c W W c c W β Φάσματα σημάτων α βασικής ζώνης και β διαμόρφωμένου κατά πλάτος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 5-8 c
Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα Σε ένα σύστημα επικοινωνίας, κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος b, ένα σήμα γνωστής μορφής g φτάνει στο δέκτη. Το σήμα αυτό έχει μολυνθεί από θόρυβο, γνωστής φασματικής πυκνότητας ισχύος ω. u r u n y u n n Τα προσαρμοστικά φίλτρα χρησιμοποιούνται για την ανίχνευση των παλμών αυτών. Επιδιώκεται η μεγιστοποίηση του λόγου / τη στιγμή στιγμή απόφασης u E 5-9
u u u h U U U n n n h Το σήμα μηνύματος στην έξοδο του φίλτρου είναι u F U και η μέση ισχύς του θορύβου στην έξοδο του φίλτρου είναι E έτσι ο λόγος σήμα προς θόρυβο U U τη στιγμή λήψης της απόφασης, γράφεται 5-
y x y x, * Το εσωτερικό γινόμενο δύο σημάτων ορίζεται ως Το μέτρο ή norm ενός σήματος ισούται με το εσωτερικό γινόμενο του σήματος με τον εαυτό του. x x x x x x *, Ανισότητα του chwrz, ή * B A B A * επίσης ισχύει Η ισότητα ισχύει όταν B * A c Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-
5- ο λόγος σήμα προς θόρυβο U U μπορεί να γραφεί ως A B αν θεωρήσουμε U
U U B A B A * Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-3 U
* βέλτ U C η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν, δηλαδή, B * A C ή * βέλτ U C Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-4 U U
* βέλτ U C B * A C U U η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν, δηλαδή, ή * βέλτ U C Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-5
* βέλτ X C Για την περίπτωση λευκού θορύβου έχουμε ω = Ν / οπότε * βέλτ X k * * X x F Γνωρίζουμε ότι τότε είναι X x F * * F X x και έτσι η κρουστική απόκριση του προσαρμοσμένου φίλτρου στο σήμα x παρουσία προσθετικού λευκού Gussin θορύβου είναι * βελτ x k h Γενικά αν το σήμα είναι x και ο θόρυβος έχει φασματική πυκνότητα ισχύος ω τότε η απόκριση συχνότητας του προσαρμοσμένου φίλτρου στο σήμα x είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-6
Η κρουστική απόκριση του προσαρμοσμένου φίλτρου στο πραγματικό σήμα x παρουσία προσθετικού λευκού Gussin θορύβου είναι Εφαρμογή: Να βρεθεί το προσαρμοσμένο φίλτρο για το σήμα x παρουσία προσθετικού λευκού Gussin θορύβου x A h βελτ k x x A x A h βελτ k A h βελτ k x ka 5-7
h βελτ k A h βελτ k x ka Γνωρίζουμε ότι,, F sinc ω sin και αν x F X τότε είναι F x X Έτσι η απόκριση συχνότητας του βέλτιστου φίλτρου είναι βελτ k sin A 5-8
h βελτ k A h βελτ k x ka Για να είναι το φίλτρο αιτιατό πρέπει Το διάγραμμα του συστήματος το οποίο υλοποιεί το φίλτρο είναι ή Είσοδος Καθυστέρηση Έξοδος 5-9
για τη στιγμή δειγματοληψίας = έχουμε X x X y E Αν y είναι η έξοδος του προσαρμοσμένου φίλτρου στο σήμα x και ο θόρυβος έχει φασματική πυκνότητα ισχύος ω να βρεθεί ο λόγος σήμα προς θόρυβο στην έξοδο του φίλτρου. X X Y * X * X X X Y Ο μετασχηματισμός Fourir του σήματος εξόδου είναι X Y y Με αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir προσδιορίζεται ο σήμα εξόδου Σεραφείμ Καραμπογιάς 5-3
και για τη φασματική πυκνότητα του θορύβου στην έξοδο έχουμε η ισχύς του θορύβου στην έξοδο είναι P n X EX Το R εξόδου είναι απλά ο λόγος της ισχύος του σήματος P s προς την ισχύ του θορύβου P n, δηλαδή, P s y s EX εξόδου P P s n E X E X E X 5-3
Τέλος Ενότητας 5-3
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. 5-33
Σημειώματα 5-34
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση διαθέσιμη εδώ. 5-35
Σημείωμα Αναφοράς Copyrigh Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Επεξεργασία στοχαστικών σημάτων. Ψηφιακή μετάδοση αναλογικών σημάτων.». Έκδοση:.. Αθήνα 5. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://opncourss.uo.gr/courss/di3. 5-36
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Criv Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] hp://crivcommons.org/licnss/by-nc-s/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 5-37
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 5-38