ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ, ΓΖ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΒΖ και ΓΕ είναι ίσα. β) Το τρίγωνο ΕΜΖ είναι ισοσκελές. Α Z E Β Μ Γ [1]
2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ).Προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ=ΓΕ αντίστοιχα. α). Να αποδείξετε ότι ΒΕ=ΓΔ. β). Αν ΔΖ και ΕΗ κάθετες στην ευθεία φορέα του ΒΓ να αποδείξετε ότι ΔΖ=ΕΗ [2]
3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΔ, ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών του Β και Γ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ. [3]
4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Παίρνουμε στη βάση ΒΓ τμήματα ΒΔ=ΓΕ και φέρνουμε ΔΖ κάθετη στην ΑΒ και ΕΗ κάθετη στην ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΕΗ είναι ίσα. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. [4]
5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρνουμε ΓΔ κάθετη στην ΑΓ και ΒΕ κάθετη στην ΑΒ και παίρνουμε ΒΕ=ΓΔ. Από Ε και Δ φέρνουμε τις κάθετες στην ΒΓ, ΕΖ και ΔΗ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα β) τα τρίγωνα ΒΕΖ και ΓΔΗ είναι ίσα. [5]
6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρνουμε ΒΔ κάθετη στην ΒΓ και ΓΕ κάθετη στην ΒΓ και παίρνουμε τα τμήματα ΒΔ=ΓΕ στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ είναι ίσα. [6]
7. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε σημείο Κ και στην πλευρά ΑΓ σημείο Λ ώστε ΑΚ=ΑΛ. Αν Μ είναι το μέσο της βάσης ΒΓ να δείξετε ότι : α). Τα τρίγωνα ΚΒΜ και ΜΛΓ είναι ίσα. β). Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές. [7]
8. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ)και Δ,Ε,Ζ τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ,ΒΓ αντίστοιχα.. Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΔΒΖ και ΕΖΓ είναι ίσα β) το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές. γ) Αν ΑΒ=8cm και ΒΓ=4cm να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΔΕΖ. [8]
9. Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ,ΓΔ και ΑΒ>ΓΔ. Να φέρετε τα ύψη ΔΕ και ΓΖ του τραπεζίου α) να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΑΕ και ΓΒΖ β) να συγκρίνετε τα τμήματα ΑΕ και ΒΖ γ) να δείξετε ότι ΑΕ=(ΑΒ-ΓΔ)/2 [9]
10. Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ και Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ, ΒΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι : α). Η ΜΝ περνάει από τα μέσα Κ, Λ των διαγωνίων του τραπεζίου. β). Το τμήμα ΚΛ της ΜΝ που περιέχεται μεταξύ των διαγωνίων είναι ίσο με ΚΛ=(ΑΒ-ΓΔ)/2. [10]
11. Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και χορδή του ΑΒ η οποία δεν περνάει από το κέντρο Ο. Φέρνουμε την ΟΚ κάθετη στην ΑΒ η οποία τέμνει τον κύκλο στο Μ. Φέρνουμε την ΜΝ κάθετη στήν ΑΟ. Να δείξετε ότι ΜΝ =ΑΒ/2 [11]
12. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Αν ΒΔ,ΓΕ είναι τα ύψη του και Η το σημείο τομής τους. Να αποδείξετε ότι : ΒΔ=ΓΕ Το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. Τα τρίγωνα ΒΗΕ και ΓΗΔ είναι ίσα. [12]
13. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ φέρουμε την διχοτόμο ΑΔ και πάνω σε αυτή παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι : α) ΒΜ=ΓΜ β) Γωνία ΒΜΑ = Γωνία ΓΜΑ γ) Η ΜΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΒΜΓ [13]
14. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ και παίρνουμε σ αυτή ένα τυχαίο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΓΜ είναι ίσα. β. Το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές. [14]
15. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με (ΑΒ = ΑΓ) και το τμήμα ΑΜ είναι ύψος του. Δίνεται επίσης ότι ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. β. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. γ. Το τμήμα ΑΜ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΔΑΕ. [15]
16. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να δείξετε ότι : ι) ιι) Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ είναι και διάμεσος. ιιι) Το σημείο Δ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές ΑΒ, ΒΓ (Δηλ. αν ΔΚ ΑΒ και ΔΛ ΑΓ τότε ΔΚ=ΔΛ) [16]
17. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ προς το μέρος του Α και παίρνουμε τμήματα ΑΕ, ΑΔ αντίστοιχα, ώστε ΑΕ = ΑΔ. Αν Η το μέσο της ΒΓ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΗΕ είναι ισοσκελές. [17]
18. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) έστω Μ το μέσο της ΒΓ. Πάνω στις ίσες πλευρές θεωρούμε τμήματα ΑΚ, ΑΛ τέτοια ώστε ΑΚ = ΑΛ. Να δείξετε ότι ΜΚ = ΜΛ. [18]
19. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Με πλευρές τις ΑΒ, ΑΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΘ. Αν ΑΜ η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ να δείξετε ότι : α). Τα τρίγωνα ΑΜΕ και ΑΜΘ είναι ίσα. β). Η ΜΑ βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετη της ΕΘ. γ). Τα τρίγωνα ΒΓΖ και ΒΓΔ είναι ίσα. [19]
20. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να φέρετε τη διάμεσο ΑΜ και τις αποστάσεις ΒΔ, ΓΕ των κορυφών Β, Γ από την ΑΜ. Να δείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ. [20]
21. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ κατά τμήματα ΒΔ = ΑΒ και ΓΕ = ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι τα Δ, Ε ισαπέχουν από τη ΒΓ. [21]