ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: α. (α+8) β. (-) γ. (γ+k) δ. (+γ) ε. (3k-5λ) ζ. (5/κ - 4/λ) η. (/3-χ/4) θ. (χ - 3/χ) ι. (χ/3+3ψ/4) κ. (3χ+χ/) λ. (χ+8)(χ-8) μ. (4χ-1)(4χ+1) ν. (χ-3ψ)( χ+3ψ) ξ. (κ-) 3 ο. (μ+4) 3 π. (3χ-) 3 ρ. (α-3β) 3 σ) (α+3β) 3. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις: α. (α+β) + (α-β) + (α+β)(α-β) β. (χ-1)(χ+)(χ-3) + (χ-1) - 3χ(χ+) γ. (χ-) 3 + (3χ-)(3χ+) - (χ+1) 3 δ. (4χ-3ψ) + (3χ-4ψ) - (5χ-ψ)(5χ+ψ) ε. (χ+3ψ) +(3χ-ψ) (χ+3ψ)(3χ-ψ) ζ. χ(χ-1)-χ(3-ψ)-(χ-3)(χ+4)-(χ-ψ) 3.Να αποδείξετε ότι: i). α4 α3 α α 5 ii) iii) 5 4 3, iv) v)α3β 3α β3α β α β 4αβ 3α β vi) vii) y y 5 y y y viii) 3y y 3 13 y 6y 4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 3 α) 6 y 1y 15y, β) 3 y y 3 y y, γ) a 3 a 6 δ) ε) a y ay, ζ) y 3y 6 5y θ) 5 y 10y 5 y 4y y 4 3 5, η) y vy v, ι) 4 3y 3 4y μ) 1 1 1, ν) τ) y 1, π), κ) y y z, ρ) 4 1, λ) 9 1y 4y 1, σ) 3 4, 5. Για ποιες τιμές του ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: 3 α), β), γ), δ) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α) , β) 5 6, γ)

2 7. Να γίνουν σι πράξεις: α) , β) Να γίνουν οι πράξεις: α) γ) :, β) : :, δ) : Να γίνουν οι πράξεις : α) β) y y y y y 1 : 1 1 : 1, y y y y, γ) , δ) y y 1 1 y 10. Να λυθούν σι εξισώσεις: α) , β) ε) 6 9 0, ζ) , η) η) , θ) 1, λ) , ν) 3 1 κ) μ) 0, γ) 5 6 0, δ) , ζ) ,, ι), λ) Να λυθούν οι εξισώσεις: α) , β) γ) 0, δ) , ε) ) Να λύσετε την εξίσωση ) Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση και να εξετάσετε αν έχει τις ίδιες λύσεις με την παραπάνω 1 3 εξίσωση. 1 ( 1) 13. Α. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: A B A B. Αν Α, Β και Γ οι παραστάσεις του ερωτήματος Α, να δείξετε ότι η εξίσωση έχει λύσεις B 3 6 τις 1 1 και 4. Γ. Αν α η θετική ρίζα της παραπάνω εξίσωσης και β η αρνητική της ρίζα, να λυθεί το σύστημα (Σ): 3. a - -

3 14. Δίνονται οι παραστάσεις: A, B, Γ 1 i) Να λυθεί η εξίσωση Β=0 ii) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις Α, Β, Γ A iii) Να λυθεί η εξίσωση = 3 B 15. Α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 3 1 και B 1 1 Β. Να λύσετε την εξίσωση A B Δίνεται η παραβολή ψ=3χ -5χ-. Να βρεθούν: α) Οι συντεταγμένες της κορυφής Κ. β) Η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή της. γ) Ο άξονας συμμετρίας της. δ) Τα σημεία τομής της με τους άξονες. 17. Δίνεται η παραβολή ψ=λχ +(κ-1)χ+6. Να προσδιοριστούν τα κ, λ αν γνωρίζετε πως η παραβολή για χ=5/ παίρνει ελάχιση τιμή ψ= -1/4 18. Να λυθούν τα συστήματα: y 4 y 1 4 3y y Α) Β) 0 3 y y 3 8 4y 1 y3 1 1 Γ) y 3y Δίνεται το σύστημα ( y) 5 3( y 1) 1 y α) Να αποδείξετε ότι το παραπάνω σύστημα παίρνει την μορφή β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα y y Δίνονται οι παραστάσεις: 1 1, Α1. Να αποδείξετε ότι 5 και 1. y Α. Να λύσετε το σύστημα: 3y - 3 -

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην πλευρά ΒΓ παίρνουμε τμήμα ΒΔ, στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΓΕ και στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε τμήμα ΑΖ, ώστε ΒΔ = ΓΕ = ΑΖ. Να δείξετε ότι: Α. Τρίγωνο ΒΔΖ = Τρίγωνο ΔΕΓ Β. ΔΖ = ΔΕ.. Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ=ΒΓ και ΑΜ=ΝΓ Α. Εξηγήστε γιατί Α Γ Β. Να αποδείξετε ότι ΒΜ=ΒΝ Γ. Δείξτε ότι ο λόγος ομοιότητας των τριγώνων ΑΝΒ και ΒΜΓ είναι λ=1. 3. Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ//ΒΓ. 1. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια.. Να αποδείξετε ότι Αν το τρίγωνο ΑΔΕ έχει εμβαδόν 0 cm, τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, οι διχοτόμοι των γωνιών ˆB και ˆ, ΒΔ και ΓΕ αντίστοιχα, τέμνονται στο σημείο Ο.Αν και τότε : Α) Να δειχτεί ότι τα τρίγωνα ΒΔΓ=ΒΕΓ είναι ίσα. Β) Να δειχτεί ότι τα τρίγωνα ΒΔΚ=ΓΕΛ είναι ίσα. Γ) Να δειχτεί ότι τα τρίγωνα EΒO και ΕΒΓ είναι όμοια. 5. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και η ΑΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας ˆ. Αν Κ τυχαίο σημείο πάνω στην ΑΔ, i) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΚΓ είναι ίσα. ii) Να δικαιολογήσετε γιατί το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές

5 6. Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=10 cm και 0 A 50. Στις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε σημεία Κ και Λ ώστε ΑΚ=ΑΛ=4 cm και Μ είναι το μέσο της ΒΓ. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΒΜ και ΛΜΓ είναι ίσα. Κ Α 0 50 Λ β) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΑΒΓ είναι όμοια και να βρεθεί ο λόγος ομοιότητας τους. γ) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδό 50 cm να υπολογισθεί το εμβαδό του Β Μ Γ 7. Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (με ΑΒ ΑΓ ) και στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΑΒ και ΑΓ, προς το μέρος των Β και Γ, παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ, που είναι ίσα: ΒΔ ΓΕ. Α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα. Β) Να αποδείξετε ότι Δ Ε και ΒΕ ΓΔ. Γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΒΓΕ είναι ίσα. 8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ είναι η διχοτόμος του. Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΕ τέτοιο ώστε ΑΕ=ΑΒ Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ είναι ίσα. Β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΒΕ είναι ισοσκελές. Γ. Να αποδείξετε ότι η ΑΔ ΒΕ Α 9. Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ//ΒΓ και ΑΔ = 6, ΔΒ = 4, ΔΕ = 9 και ΒΓ = + 1 (α) Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια (β) Να υπολογιστεί το 4 Δ 6 9 Ε Β + 1 Γ 10. Στο διπλανό σχήμα θεωρούμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ και Ε το σημείο τομής των ΒΓ και ΔΑ. Αν Ζ το μέσο της ΑΕ και Η το μέσο της ΕΓ και ΑΒ = ΔΓ: Α. Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ κα ΓΔΕ είναι ίσα. Β. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ισοσκελές, και επιπλέον ότι το τμήμα ΖΗ είναι παράλληλο στο ΑΓ. Γ. Αν επιπλέον τα μήκη ΒΖ = 10 cm και ΑΓ = 0 cm, να βρείτε την περίμετρο του τετραπλεύρου ΑΖΗΓ

6 11. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 5cm, ΑΓ = 1cm, ΓΔ = 6cm. Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΓΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. Β. Να υπολογίσετε τα, y και να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. Γ. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών των δύο τριγώνων. 1. Αν η γωνία ω είναι αμβλεία και 1, Να αποδείξετε ότι:, Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α. Αν και, να υπολογισθούν: 5 α. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας β. Η τιμή της παράστασης (180 ) Β. Έστω οι παραστάσεις 3 14 και 3 ( 3) α. Να αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης Α είναι θετική. β. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω, ισχύει ότι Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει ότι (ημω-4) +συν ω=13 α) Να βρείτε το ημω. β) Αν το ημίτονο της γωνίας ω είναι ημω=1/, 1. να βρείτε το συνω και την εφω. να βρείτε την τιμή της παράστασης Κ= ημ(180-ω)+ 3 4 συνω- 3 εφ(180-ω) 15. Να αποδειχθούν οι ισότητες: A) 1, Β) Γ) 1 1, Δ) 3 3, Ε) εφ ωημ ω εφ ω ημ ω Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι : 3 cm, 1 cm και 30, να βρεθεί η πλευρά α και η γωνία Β του τριγώνου. 17. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α = 0, γ 10 και Γˆ Να υπολογίσετε : α ) τις γωνίες Α και Β, β) την πλευρά β 18. Στο διπλανό σχήμα έχουμε 5 3cm, 5cm και η γωνία ˆ 10 (α) Να υπολογίσετε τη γωνία ˆ. (β) Να υπολογίσετε τη γωνία ˆ. (γ) Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ

7 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΩΡΙΑΣ 1. Α) Να αποδείξετε την ταυτότητα ( α+β) = α + αβ + β. Β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) (α β) = α β β) (α β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ +β 3 γ) Η εξίσωση α = 0 έχει δυό λύσεις = a ή = - a δ) Αν Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης α + β + γ = 0, α 0 τότε αν Δ = 0, η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις.. Α) Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες: α) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία,τότε είναι ίσα. β) Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. γ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία,τότε θα έχουν και την τρίτη τους γωνία ίση. δ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία,τότε θα έχουν και την τρίτη τους πλευρά ίση. 3.Έστω η εξίσωση ου βαθμού a 0, (α 0) και Δ η διακρίνουσά της. Στον παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσεις καθεμιά από τις περιπτώσεις της Στήλης Α, με ένα μόνο συμπέρασμα της Στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β α Η (1) έχει μία τουλάχιστον λύση β. 0. Η (1) έχει δύο άνισες λύσεις γ Η (1) έχει μία διπλή λύση δ Η (1) δεν έχει πραγματικές λύσεις 4. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oy τοποθετούμε τη γωνία ω έτσι ώστε ω = XOM, όπου Μ ένα σημείο με συντεταγμένες (,y) και ρ=om= ψ όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. α) Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω, συνω, εφω της γωνίας ω συναρτήσει των συντεταγμένων του σημείου Μ και του ρ. β) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γωνία ÔM ωˆ Να αποδείξετε ότι 1 γ) Αν η γωνία ω είναι αμβλεία τότε να συμπληρώσετε με το σύμβολο < ή > ή = τα εξής: ( i) ημω.0 (ii) συνω..0 (iii) εφω α. Πότε δυο τρίγωνα είναι όμοια; β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: 1.Καθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας... από τις πλευρές της γωνίας..σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες της βάσης του είναι Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές... μια προς μια και την...γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα. 4.Καθε σημείο της... ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του 5. Αν δυο τρίγωνα έχουν μια πλευρά ίση και τις... στην πλευρά αυτή γωνίες... μια προς μία, τότε είναι ίσα

8 6. Α. (α) Ποια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο ; (β) Ποια αλγεβρική παράσταση λέγεται πολυώνυμο ; (γ) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια ; Να γράψετε και ένα παράδειγμα. (δ) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται αντίθετα ; Να δώσετε και ένα παράδειγμα. B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α) Κάθε σταθερό μονώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. (β) Το άθροισμα δύο ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά. (γ) Το πηλίκο δύο μονωνύμων είναι πάντα μονώνυμο. Γ. Το αποτέλεσμα των πράξεων στην παράσταση (χ + ψ) (χ ψ) είναι μονώνυμο ή πολυώνυμο ; Ποιος ο βαθμός του ως προς τη μεταβλητή χ ; 7. A. Να διατυπώσετε τα 3 κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α) Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν δύο πλευρές τους μία προς μία ίσες. (β) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες, μία προς μία, είναι πάντα ίσα. (γ) Δύο όμοια τρίγωνα είναι ίσα, αν έχουν λόγο ομοιότητας λ=1. Γ. Είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 8. Α) Τι πρέπει να ισχύει ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα α, β να είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα γ, δ; Β) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ώστε να προκύψουν γνωστές προτάσεις της Γεωμετρίας: i) Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε ii) Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε αυτή θα διέρχεται από iii) Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι.. προς την και ίσο με το.της. 9. Να διατυπώσετε τον Νόμο Ημιτόνων και Συνημιτόνων ( να γίνει και σχήμα και να γραφούν και οι σχέσεις ) 10. α) Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μία ευθεία, να δείξετε ότι θα ορίσουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει. β) Αν από το μέσο μιας πλευρά ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία...προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το... της τρίτης πλευράς του. γ) Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα... δύο πλευρών τριγώνου είναι... προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το... της. δ) Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην... ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το... της υποτείνουσας Καλή επιτυχία στις εξετάσεις!!! Τέλοοοοοοοος - 8 -