ρπεα εμτων αματών 2014 ΓΕΟ ΗΕΡΗΟ ΕΟ ΓΕΩΕΡΑ Θμα 4ο
Στο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος, η κάθετη από το μέσο Μ της ΒΓ τέμνει την προέκταση της διχοτόμου ΑΔ στο σημείο Ε. Αν Θ, Ζ είναι οι προβολές του Ε στις ΑΒ, ΑΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΕΒΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5) β) Τα τρίγωνα ΘΒΕ και ΖΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 8) γ) ΑΓΕ ˆ ΑΒΕ ˆ 180 ο + = (Μονάδες 12)
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με, το ύψος του ΑΔ και σημείο Ε στην ΔΓ ώστε ΔΕ=ΒΔ. Το σημείο Ζ είναι η προβολή του Γ στην ΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) ii. ΓΑΕ ˆ 10 ο =. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΖΓΕ. (Μονάδες 9)
Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και στο εσωτερικό του θεωρούμε τα σημεία Γ, Δ ώστε να ισχύει ΑΓ= ΓΔ= ΔΒ. Επίσης θεωρούμε σημείο Ο εκτός του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έτσι ώστε να ισχύουν ΟΓ=ΑΓ και ΟΔ=ΔΒ. α) Να αποδείξετε ότι: i. η γωνία ˆ ΓΟΔ είναι 60 0 (Μονάδες 9) ii. οι γωνίες ΟΑΓ ˆ, ΟΒΔ ˆ είναι ίσες και κάθε μια ίση με 30 0. (Μονάδες 9) β) Αν Μ το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, να αποδείξετε ότι 2ΟΜ=ΟΑ. (Μονάδες 7)
Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) είναι ΓΔ= 2ΑΒ. Επίσης τα Ζ, Η, Ε είναι τα μέσα των ΑΔ, ΒΓ και ΔΓ αντίστοιχα. Ακόμη η ΖΗ τέμνει τις ΑΕ, ΒΕ στα σημεία Θ, Ι αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10) β) Να δείξετε ότι, τα σημεία Θ, Ι είναι μέσα των ΑΕ, ΒΕ αντίστοιχα. (Μονάδες 5) γ) Να δείξετε ότι ΖΗ = 3 2 ΑΒ. (Μονάδες 10)
Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο, και έστω ΑΒ μια διάμετρος του, Γ το μέσο του ενός ημικυκλίου του και Δ τυχαίο σημείο του άλλου. Στην προέκταση της ΔΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΒΕ=ΑΔ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ είναι ίσα. (Μονάδες 8) ii. Η ΓΔ είναι κάθετη στην ΓΕ. (Μονάδες 8) β) Να αιτιολογήσετε γιατί, στην περίπτωση που το σημείο Δ είναι το αντιδιαμετρικό του Γ, η ΓΕ είναι εφαπτομένη του κύκλου. (Μονάδες 9)
Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α ˆ + Γ ˆ = 2Β ˆ και έστω ΑΔ ύψος και ΒΕ διχοτόμος του τριγώνου που τέμνονται στο Ζ. α) Να αποδείξετε ότι: i. ii. ˆΒ 60 ο = και ΑΖ=ΒΖ. (Μονάδες 10) 3 Α = ΒΖ (Μονάδες 8) 2 β) Αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο ΑΖΕ είναι ισόπλευρο, να υπολογίσετε τις άλλες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 7)
Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά (Α, Β, Γ, Δ, Θ, Ε, Μ, Η, Κ, Λ, Ζ). Αν το σημείο Θ, είναι μέσο των τμημάτων ΑΔ και ΒΓ ενώ το σημείο Ε είναι μέσο των τμημάτων ΓΖ και ΔΗ, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΓΗΖΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 10) β) Τα σημεία Β, Δ, Ζ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 9) γ) Το τετράπλευρο ΑΓΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 6)
Δίνεται ευθεία (ε) και δυο σημεία Α, Β εκτός αυτής έτσι ώστε η ευθεία ΑΒ να μην είναι κάθετη στην (ε). Φέρουμε ΑΔ, ΒΓ κάθετες στην (ε) και Μ, Ν μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. α) Αν τα Α, Β είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την (ε) i) να εξετάσετε αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την απάντησή σας: 1) ΑΔ < ΒΓ (Μονάδες 4) 2) ΑΔ = ΒΓ. (Μονάδες 4) ii) να εκφράσετε το τμήμα ΜΝ σε σχέση με τα τμήματα ΑΔ, ΒΓ στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6) β) Αν η ευθεία (ε) τέμνει το τμήμα ΑΒ στο μέσο του Μ να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου ΑΓΒΔ (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο) και να δείξετε ότι τα Μ, Ν ταυτίζονται. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9+2)
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που τέμνονται στο σημείο Η και το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι i. ΜΔ=ΜΕ (Μονάδες 10) ii. Η ευθεία ΑΗ τέμνει κάθετα τη ΒΓ και ότι AH = Γ, όπου Γ η γωνία του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΗ. (Μονάδες 10)
Δύο κύκλοι (Κ,ρ), (Λ,R) τέμνονται σε δύο σημεία Α, Β. Αν Γ και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στους δύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι: α) ο AB Γ = 90 (Μονάδες 5) β) τα σημεία Γ, Β, Δ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10) γ) το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ,Λ,Γ,Δ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 10)
Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τις προβολές Α, Β, Γ, Δ των κορυφών του Α, Β, Γ, Δ αντίστοιχα, σε μια ευθεία ε. α) Αν η ευθεία ε αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράμμου στο ίδιο ημιεπίπεδο και είναι ΑΑ =3, ΒΒ =2, ΓΓ =5, τότε: i. Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου του παραλληλογράμμου από την ε είναι ίση με 4. (Μονάδες 8) ii. Να βρείτε την απόσταση ΔΔ. (Μονάδες 9) β) Αν η ευθεία ε διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ, ΔΔ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες 8)
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Τα τμήματα ΓΖ και ΒΖ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα σημεία Γ και Β αντίστοιχα. Αν το τμήμα ΘΗ είναι κάθετο στο τμήμα ΑΖ στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 7) β) Το τετράπλευρο ΑΓΖΒ είναι ρόμβος. (Μονάδες 8) γ) Το τετράπλευρο ΒΓΗΘ είναι τραπέζιο, με ΒΘ = ΒΖ και ΘΗ = 2 ΒΓ. (Μονάδες 10)
Οι κύκοι (Κ, ) και (, 3) φάοαι ωικά ο ηίο Α. Μία θία φάαι ωικά και ο ύο κύκο α ηία Β και αίοιχα και ι η οκαη η ιακο Κ ο ηίο Ε. Φο αό ο ηίο Κ αάηο ήα η ο ι ο ήα ο. α) α αοί όι ο άο ΒΚ ίαι οθοώιο. (Μοά 9) β) α αοί όι η ωία Κ ίαι 30. (Μοά 8) ) α αοί όι ο ήα Ε=6, όο η ακία ο κύκο (Κ, ). (Μοά 8)
ίαι οθοώιο ίωο ΑΒ ( ) και η ιχοόο ο Β. Αό ο φο και οοάο Ζ ο ηίο ο οοίο η θία Ε ι η οκαη η ΒΑ. α αοί όι: α) Το ίωο ΑΒΕ ίαι ιοκ. (Μοά 6) β)τα ίωα ΑΒ και ΒΕΖ ίαι ία. (Μοά 6) ) Η θία Β ίαι οκάθη ω ηάω ΑΕ και Ζ. (Μοά 6) )Το άο ΑΕΖ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 7)
ίαι ίωο ΑΒ (ΑΒ < Α) και η ιχοόο ο Α. Φο αό ο Β κάθη η Α ο ι η Α ο Ε και η ά Α ο Η. Α Μ ίαι ο ο η ά Β, α αοί όι: α) Το ίωο ΑΒΗ ίαι ιοκ. (Μοά 9) β) ΕΜ//Η (Μοά 8) ) ΕΜ=(Α-ΑΒ)/2 (Μοά 8)
Έω ΑΒ ίωο και α ύη ο ο αιοιχού ι και αίοιχα. ίαι η ακόοθη όαη: Π: Α ο ίωο ΑΒ ίαι ιοκ ΑΒ=Α, ό α ύη ο αιοιχού ι ί ο ίαι ία. α) α ά α ιχύι η όαη Π αιιοοώα η αάηή α (Μοά 10) β) α ιαώ η αντίστροφη όαη η Π και α αοί όι ιχύι. (Μοά 10) ) α ιαώ η όαη Π και η αντίστροφή της ω ιαία όαη. (Μοά 5)
ίαι οία ωία xoy και ύο οόκοι κύκοι (Ο, 1 ) και (Ο, 2 ) 1 < 2, ο ο η Oχ α ηία Κ, Α και η O α, Β αίοιχα. α αοί όι: α) Α = ΒΚ. (Μοά 8) β) Το ίωο ΑΡΒ ίαι ιοκ, όο Ρ ο ηίο οή ω Α και ΒΚ. ) Η ΟΡ ιχοοί η (Μοά 8) xoy. (Μοά 9)
α) α αοί όι ο ίωο κοφ α α ώ ιοκού ιώο ίαι ιοκ. (Μοά 8) β) α ιαώ και α αοί αάοη όαη ια i. ιόο ίωο. (Μοά 8) ii. οθοώιο και ιοκ ίωο. (Μοά 9)
ίαι αιο ΑΒ A = =90, =2ΑΒ και =3. Αό ο Β φο κάθη η ο ι η Α ο ηίο Κ και η ο Ε. Είη φο η ΑΕ ο ι η Β ο ηίο. α αοί όι: α) =45 (Μοά 8) β) Β=ΑΕ (Μοά 9) 1 ) Κ=. (Μοά 8) 4
Έω ααηόαο ΑΒ. Α α ηία Ε και Ζ ίαι α α ω ώ ο ΑΒ και αίοιχα, α αοί όι : α) Το άο ΕΒΖ ίαι ααηόαο. (Μοά 8) β) ΑΔ=ΒΖ (Μοά 8) ) Οι Ε και ΒΖ ιχοοού η ιαώιο Α ο ααηοάο ΑΒ. (Μοά 9)
Σο οθοώιο ααηόαο ΑΒ ίαι Φο Ε Α. 30 και Ο ο κο ο. α) α αοί όι η ωία χωίαι αό η Ε και η ιαώιο Β ι ί ωί. (Μοά 13) β) Φο κάθη η Α ο ηίο Ο η οοία ι η οκαη η Α ο Ζ. α ί όι α ίωα ΑΖΟ και ΑΒ ίαι ία. (Μοά 12)
Έω όι Ε και Ζ ίαι α α ω ώ ΑΒ και ααηοάο ΑΒ αίοιχα. Α ια ο ααηόαο ΑΒ ιο ιχύι ΑΒ>Α, α ά α ίαι αηθί ή όχι οι ακόοθοι ιχιοί: Ισχυρισμός : Το άο ΕΒΖ ίαι ααηόαο. Ισχυρισμός 2: ΑΔ= Β. Ισχυρισμός : Οι Ε και ΒΖ ίαι ιχοόοι ω ααι ωιώ ΔαΒ. α) Ση ίωη ο θωί όι κάοιο ιχιό ίαι αηθή α ο αοί. (Μοά 16) β) Ση ίωη ο κάοιο ιχιό ίαι αηθή, αβί η χη ω ιαοχικώ ώ ο ααηοάο ώ α ίαι αηθή. α αιιοοή η αάηή α. (Μοά 9)
Έω ο κάθ θί ο οαι ο Ο και χαίο ηίο Μ ο ιο ο αήκι ι θί. α) Α ίαι ο ικό ο Μ ω ο η και ο ικό ο ω ο η, α αοί όι: I. (Μοά 6) II. Τα ηία Μ, Ο και ίαι θιακά. (Μοά 8) III. Το ίωο ίαι οθοώιο. (Μοά 6) Β) Α ίαι ο ικό ηίο ο ω ο η, ι ίο ααηόαο ίαι ο ; α αιιοοή η αάηή α. (Μοά 5 )
ίαι οθοώιο ΑΒ και ω αό αό, καακάο α ιόα ίωα ΑΒΕ, ΒΖ, Η, ΑΘ. α) α αοί όι ο άο ΕΖΗΘ ίαι όβο. (Μοά 15) β) Α ο αχικό άο ΑΒ ίαι άωο, ό ο ΕΖΗΘ ι ίο ααηόαο ίαι; ικαιοοή η αάηή α. (Μοά 10)
Θωού θία () και ο ηία Α και Β κό αή, α οοία βίκοαι ο ίιο ηίο χη η () ι ώ, η θία ΑΒ α η ίαι κάθη η (). Έω Α και Β α ικά ηία ω Α και Β αίοιχα ω ο η θία (). α) Α η οκάθο ο ΑΒ ι η θία () ο ηίο Κ, α αοί όι ο Κ αήκι και η οκάθο ο Α Β. (Μοά 10) β) α αοί όι ο άο ΑΒΒ Α ίαι αιο. (Μοά 8) ) α βί η χη ω θιώ ΑΒ και η θία () ώ ο άο ΑΒΒ Α α ίαι οθοώιο. α αιιοοή η αάηή α. (Μοά 7)
ίαι αιο ΑΒ (ΑΒ//) η ωία ίη 30 και ω Κ, α α ω ιαωίω ο. Οι η αάη ο Α και Β οκιό οαι κάθα ο ηίο Ε. α αοί όι: α) ΑΒ=2ΑΕ (Μοά 10) β) Κ=Α (Μοά 10) ) Σ οια ίωη ο ΑΒΚ ίαι ααηόαο; α αιιοοή η αάηή α. (Μοά 5)
Θωού οθοώιο ίωο ΑΒ ( και ο ύο ο ΑΗ. Έω και Ε α ικά ηία ο Η ω ο ι θί ΑΒ και Α αίοιχα. α) α αοί όι: I. ΑΗ=Α=ΑΕ. (Μοά 6) II. Το ίωο ΕΗ ίαι οθοώιο (Μοά 6) III. Τα ηία Ε, Α και ίαι θιακά. (Μοά 6) β) Τα ίωα ΑΒ και ΕΗ ίαι ία; Α αι, α ο αοί. Α όχι, κάω αό οι αχικ οοθι θα οού α ίαι ία; α αιιοοή η αάηή α. (Μοά 7)
ίαι ίωο ΑΒ B =2, και η ιχοόο Β η ωία B. Αό ο ο Μ η Α φο αάηη η ιχοόο Β ο ι η ά Β ο. α αοί όι: α) Το ίωο Β ίαι ιοκ. (Μοά 5) α) Το ίωο Μ ίαι ιοκ. (Μοά 10) β) ΑΒ (Μοά 10)
Σ κύκο κο Ο θωού α ία όα ΑΒ και Α, ο καθα ίο 120. Έω και Ε α α ω όω ΑΒ και Α αίοιχα. α αοί όι: α) Το ίωο ΑΒ ίαι ιόο. (Μοά 8) β) Τα ίωα ΑΖ και ΑΗΕ ίαι ία και α οοί ι ωί ο. (Μοά 10) ) Η χοή Ε ιχοοίαι αό ι χο ΑΒ και Α. (Μοά 7)
ίοαι οι ακόοθ οάι Π1 και Π2: Π: Α α ααηόαο ίαι όβο, ό οι αοάι ω ααι ώ ο ίαι ί. Π: Α οι αοάι ω ααι ώ ό ααηοάο ίαι ί, ό ο ααηόαο ίαι όβο. α) α ά α ιχύο οι οάι Π1 και Π2 αιιοοώα ήω η αάηή α. (Μοά 20) β ) Ση ίωη ο και οι ύο οάι ιχύο, α ι ιαώ ω ια ιαία όαη. (Μοά 5)
ίαι ίωο ΑΒ και ω Κ, α α ω ώ ο ΑΒ και Α αίοιχα. α) Θωού χαίο ηίο Μ σο εσωερικό ο ριγώο και, Ε α ικά ο Μ ω ο Κ και αίοιχα. α αοί όι Ε//Β. (Μοά 15) β) Ση ίωη ο ο σηείο Μ είαι ο έσο η ά Β, και, Ε α ικά ο Μ ω ο Κ και αίοιχα. α αοί όι α ηία, Α και Ε ίαι θιακά. (Μοά 10)
Το άο ΑΒ ο αακάω χήαο ίαι όβο. Θωού και. α αοί όι: α) Το ίωο ΖΑΕ ίαι ιοκ. (Μοά 6) β) Η θία Α ίαι οκάθο ο ήαο ΖΕ. (Μοά 9) ) Α Μ και α α ω ώ Α και ΑΒ αίοιχα, α αοί όι ο άο ΖΜΕ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 10)
ίαι όβο ΑΒ =120 0. Έω όι ΑΕ και ΑΖ ίαι οι αοάι ο ηίο Α ι και Β αίοιχα. α) α αοί όι: i. Τα ηία Ε και Ζ ίαι α α ω ώ και Β αίοιχα. (Μοά 8) ii.. (Μοά 8) β) Α Μ και α α ω ώ Α και ΑΒ αίοιχα, α αοί όι ο άο ΕΜΖ ίαι οθοώιο ααηόαο. (Μοά 9)
Σο ιοκ ίωο ΑΒ (ΑΒ=Α) φο ι ιαο Β και Ε. Μία θία αάηη η βάη Β ι ι ΑΒ και Α α Ζ και Η αίοιχα και ι ιαο Β και Ε α ηία Θ και Κ αίοιχα. α αοί όι: α) ΒΖ=Η. (Μοά 8) β) α ίωα ΖΒΘ και ΗΚ ίαι ία. (Μοά 9) ) ΖΚ=ΗΘ. (Μοά 8)
ίαι κό άο ΑΒ = και =. α αοί όι: α) Το ίωο Α ίαι ιοκ. (Μοά 9) β) Οι ιαώιοι ο αύο ΑΒ οαι κάθα. (Μοά 6) ) Το άο ο χι ια κοφ α α ω ώ ο ΑΒ ίαι οθοώιο. (Μοά 10)
Σο κό άωο ΑΒΕΖ ιχύο α ή: =, = και =. α) α οοί ο άθοια + +. (Μοά 8) β) Α οι ΑΖ και Ε οκιό οαι ο Η και οι ΑΒ και οκιό οαι ο Θ, α αοί όι: i. Οι ωί Α και Η ίαι ααηωαικ (Μοά 10) ii. Το άο ΑΘΗ ίαι ααηόαο. (Μοά 7)
ίαι κύκο (Ο, R) ιάο ΑΒ και ο θί 1, 2 φαό ο κύκο α άκα η ιαο ΑΒ. Έω όι, ια ίη θία φάαι ο κύκο α ηίο ο Ε και ι ι 1 και 2 α και αίοιχα. α) Α ο ηίο Ε ίαι ο ο ο όο ΑΒ, α αοί όι: i. Το άο ΑΒ ίαι αιο. (Μοά 8) ii. = Α+Β. (Μοά 8) β) Α ο ηίο Ε βίκαι ο ο ο όο ΑΒ, α αοί όι ο άο ΑΒ ίαι οθοώιο. Ση ίωη αή α κφά η ίο ο οθοωίο ΑΒ ω άηη η ακία R ο κύκο. (Μοά 9)
Σο άωο ΑΒ οοάο Ο ο κο ο και θωού χαίο ηίο Ε ο ήαο Ο. Φο η κάθη αό ο Β η ΑΕ, ο ι ο ήα ΑΟ ο Ζ. α αοί όι: α) Οι ωί ω και φ ο αακάω χήαο ίαι ί. (Μοά 6) β) ΒΖ=ΑΕ και Ζ=ΒΕ (Μοά 12) ) Το ήα ΕΖ ίαι κάθο ο ΑΒ. (Μοά 7)
Θωού ο ηία Α και Β α οοία βίκοαι ο ίιο ο ω ο ια θία (), οια ώ η θία ΑΒ ίαι κάθη η (). Έω Α ο ικό ο Α ω ο η θία (). α) Α η Α Β ι η θία () ο ηίο Ο, α αοί όι: i. Η θία () ιχοοί η ωία. (Μοά 6) ii. Οι ηιθί ΟΑ και ΟΒ χηαίο ί οί ωί η θία () (Μοά 6) β) Α Κ ίαι α άο ηίο άω η θία (), α αοί όι: i. = (Μοά 6) ii. +> + (Μοά 7)
Σο άωο ΑΒ οκίο η ά ΑΒ καά ήα Β=ΑΒ και η ά Β καά ήα Μ=Α. α) α αοί όι: i. =Μ (Μοά 7) ii. Μ (Μοά 10) β) Α Ε ο ικό ηίο ο ω ο η θία Μ, α αοί όι ο άο ΜΕ ίαι άωο. (Μοά 8)
Έω όι ο κύκο (Ο, ) φάαι ω ώ ο ιώο ΡΕ α ηία Α, και Β. α) α αοί όι: I. =+ (Μοά 6) II. = (Μοά 8) β) Α Α=ΒΕ, α αοί όι I. Το ίωο ΡΕ ίαι ιοκ. (Μοά 6) II. Τα ηία Ρ, Ο και ίαι θιακά. (Μοά 5)
Θωού κύκο κο Ο και ωικό ηίο ο Ρ. Αό ο Ρ φο α φαόα ήα ΡΑ και ΡΒ. Η ιακική θία ΡΟ ι ο κύκο ο ηίο. Η φαόη ο κύκο ο ι α ΡΑ και ΡΒ α ηία και αίοιχα. α αοί όι: α) ο ίωο Ρ ίαι ιοκ. (Μοά 10) β) Α= Β. (Μοά 8) ) η ίο ο ιώο Ρ ίαι ίη ΡΑ+ ΡΒ. (Μοά 7)
ίαι ιοκ ίωο ΑΒ και ο ύο ο Α. Σο Α θωού ηίο Η οιο ώ ΗΑ=ΗΒ. Έω όι Ε ίαι ο ηίο οή η ΒΗ η Α. Φο η ΑΖ κάθη η ΒΕ, η οοία ι η ά Β ο Θ. α) α αοί όι: i. Τα ίωα ΗΒ και ΗΖΑ ίαι ία. (Μοά 6) ii. Θ=ΘΖ. (Μοά 6) iii. Η θία ΘΗ ίαι οκάθο ο ήαο ΑΒ. (Μοά 6) β) Ποιο αό α ηία ο χήαο ίαι ο οθόκο ο ιώο ΑΗΒ ; α ικαιοοή η αάηή α. (Μοά 7)
Σ ιοκ αιο ΑΒ (ΑΒ//) ίαι ΑΒ=Α. α) α αοί όι η Β ίαι ιχοόο η ωία. (Μοά 7) β) α οιοί η θη ό ηίο Ε, ώ ο άο ΑΒΕ α ίαι όβο. (Μοά 10) ) Α ιο ίαι ωία ΒΑ=120 και οι ιαώιοι ο όβο οαι ο ηίο Ο, α οοί ι ωί ο αύο ΕΟΒ. (Μοά 8)
ίαι ίωο ΑΒ ΑΒ<Α. Έω Αx η ωική ιχοόο η ωία A. α) α αοί όι: i. ˆ ˆ ˆ ˆ 180, όο 2 2 ˆ και ˆ αιάο ι ωικ ωί ω ˆ, ˆ αίοιχα. (Μοά 10) ii. Η ωική ιχοόο η ωία ι η οκαη η ά Β (ο ο ο ο Β) ηίο Ζ. (Μοά 8) β) Α ο ίωο ΑΒ ίαι οθοώιο ο Α και 15, α αοί όι Β=2ΑΒ. (Μοά 7)
ΘωοΝαποΝΑΓΔ,ΝοοΝΝ ˆ ˆ 90, φον. 1 4 1 αν ένππο,ν 3 α)ναναποννονποναδνανοοοέννννννννννννν )ΝαΝαποΝΝοΝωοΝΓΝαΝοοοΝαΝοέ (ονζ) (ον10) )ΝΑΝ,ΝΝαΝαΝαΝωΝΝαΝΑΓΝαοα, αναποννναγναναπνονον ονοναονένννννννννννννννννννννν (ον9)
ίαι κύκο (Ο, R) ιάο ΑΒ και θί 1, 2 φαό ο κύκο α άκα η ιαο ΑΒ. Θωού θία φαοη ο κύκο ηίο ο Ε, η οοία ι ι 1 και 2 α και αίοιχα. α) α αοί όι: i. Το άο ΑΒ ίαι αιο. (Μοά 6) ii. = Α + Β (Μοά 7) iii. Το ίωο Ο ίαι οθοώιο. (Μοά 7) β) Α η ωία ΑΕ ίαι 60 ο και η Ο ι ο κύκο (Ο, R) ο ηίο Κ, α αοί όι ο Κ ίαι ο ο Ο. (Μοά 5)
Σ ααηόαο ΑΒ ωία Α αβία, ιχύι όι ΑΒ=2Α. Τα ηία Ε και Ζ, ίαι α ω ώ ο ΑΒ και αίοιχα. Αό ο φο η Η κάθη η οκαη η Β. α αοί όι: α) Το άο ΑΕΖ ίαι όβο. (Μοά 8) β) Το ίωο ΕΖΗ ίαι ιοκ. (Μοά 9) ) Το ήα ΗΕ, ίαι ιχοόο η ωία Ζ. (Μοά 8)
ίαι ιοκ ίωο ΑΒ (ΑΒ=Α) και ΑΜ ο ύο ο η ά Β. Ση οκαη ο ΑΜ θωού ήα Μ=ΑΜ. Ση οκαη ο Β ο ο ο ο θωού ήα =Β. α αοί όι: α) Το άο ΑΒ όβο. (Μοά 8) β) Το ίωο Α ίαι ιοκ. (Μοά 8) ) Το ηίο ίαι ο βαύκο ο ιώο Α. (Μοά 9)
ίαι ίωο ΑΒ ωία Α ίη 120 και ωία Β ίαι ίη 45 ο. Ση οκαη η ΒΑ ο ο Α, αίο ήα Α = 2ΑΒ. Αό ο φο η κάθη η Α ο η ι ο ηίο Κ. α αοί όι: α) Η ωία ΑΚ ίαι ίη 30 ο. (Μοά 6) β) Το ίωο ΚΑΒ ίαι ιοκ. (Μοά 6) ) Α Ζ ο ο η Α, ό =90 ο. (Μοά 6) ) Το ηίο Κ αήκι η οκάθο ο ήαο Β. (Μοά 7)
ίαι χαίο ίωο ΑΒ και η ιάό ο ΑΜ. Έω όι ίαι ο ο η ΑΜ οιο ώ Β = και ωία = 120 ο. 2 α) α οοί ι ωί ο ιώο ΒΜ. (Μοά 5) β) α αοί όι ο ίωο Β ίαι οθοώιο. (Μοά 6) ) α αοί όι α ίωα ΑΒ και Μ ίαι ία. (Μοά 6) ) Α ο ηίο Κ ίαι η οβοή ο η Β, α αοί όι 2ΜΚ=Α. (Μοά 8)
ίαι οθοώιο ααηόαο ΑΒ. Αό η κοφή Α φο ΑΕΒ. Έω Κ, α α ω ώ ΑΒ και Α αιοίχω, ό: α) α αοί όι: ο i. ΚΕ ˆ 90. (Μοά 8) ii. Κ Α. (Μοά 8) 2 ο ) Α ΒΑ ˆ 30, α αοί όι Κ=Β. (Μοά 9)
ίαι οθοώιο ΑΒ κο Ο και ΑΒ > Β, Α=2Β. Ση οκαη η ά Α (ο ο Α) αίο ηίο Ε ώ Α=ΑΕ. α) α αοί όι: i. Το άο ΑΕΒ ίαι ααηόαο. (Μοά 8) ii. Το ίωο ΕΒ ίαι ιόο. (Μοά 9) β) Α η ΕΟ ι η ά ΑΒ ο ηίο Ζ, α αοί όι ΖΕΒ. (Μοά 8)
ίαι κύκο (Ο,R) ιάο Β. Θωού ηίο Α ο κύκο και χιάο ο ίωο ΑΒ. H οκαη η ΑΟ ι ο κύκο ο ηίο Ζ. Φο ο ύο ο Α, η οκαη ο οοίο ι ο κύκο ο ηίο Ε. α) α αοί όι: i. Ζ=ΑΒ=ΒΕ (Μοά 8) ii. Το άο ΒΕΖ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 7) ο β) Α ˆ 30, α αοί όι η ίο ο αίο ΒΕΖ ίαι ίη 5R, όο R η ακία ο κύκο. (Μοά 10)
ίαι άωο ΑΒ. Έω Ε ο ικό ηίο ο Β ω ο ο και Ζ ίαι ο ο η Α. Η οκαη η ι η ΑΕ ο Η. α αοί όι: α) Η ΑΒ 2 (Μοά 8) β) Τα ίωα ΑΗ και Ζ ίαι ία. (Μοά 9) ) Η Ζ ίαι κάθη η ΑΕ. (Μοά 8)
ίαι αιο ΑΒ ( ΑΒ // ) Αˆ 90 ˆ ο, = 2ΑΒ και Βˆ 3ˆ. Φο ΒΕ ο ι η ιαώιο Α ο Μ. Φο η ΑΕ ο ι η ιαώιο Β ο. α αοί όι: ο α) ˆ 45. (Μοά 6) β) Το άο ΑΒE ίαι ααηόαο. (Μοά 6) β) 1 Μ. (Μοά 7) 4 ) ΑΕ Β. (Μοά 6)
ίαι ηικύκιο ιαο ΑΒ και ύο χο ο Α και Β, οι οοί οαι ο ηίο Ε. Φο EZ α αοί όι: AB. α) Οι ωί Α και Β ίαι ί (Μοά 7) β) Τα άα ΑΕΖ και ΕΖΒ ίαι άια. (Μοά 9) ) Η ΕΖ ίαι ιχοόο η ωία ˆ Ζ. (Μοά 9)
ίαι ααηόαο ΑΒ Ο ο κο ο. Αό η κοφή φο ο ήα Κ κάθο η Α και η οκαή ο ο ο Κ θωού ηίο Ε, ώ ΚΕ= Κ. α αοί όι: Β α) ΕΟ. (Μοά 8) 2 β) Η ωία ίαι οθή. (Μοά 8) ) Το άο ΑΕΒ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 9)
ύο κύκοι (Ο, 1 ), (Κ, 2 ) φάοαι ωικά ο. Μια θία () φάαι ο ύο κύκο α ηία Α, Β αίοιχα. Η κοιή φαοη ω κύκω ο ι η () ο Μ. α αοί όι: α) Το Μ ίαι ο ο ΑΒ. (Μοά 7) β) ) ΟΜΚ ˆ 90 ΑΒ ˆ 90 0 (Μοά 9) 0 (Μοά 9)
Έω κύκο (Ο, ) και Ε ο ο ο όο ο Β. Μια θία () φάαι ο κύκο ο Ε. Οι οκάι ω ΟΒ, Ο ο η θία () α ηία Ζ και Η αίοιχα. α αοί όι : α) Β//ΖΗ (Μοά 5) β) ΟΖ=ΟΗ (Μοά 5) ) Α Β ο η ΟΖ i. α αοί όι ΖΟΗ ˆ ΒΕΖ ˆ (Μοά 8) 4 ii. α οοί ι ωί ο ιώο ΖΟΗ. (Μοά 7)
ίαι άο ΑΒ Α=Β. Α Ε,,Ζ,Κ,,Μ ίαι α α ω ΑΒ, Β,, Α, Β και Α αίοιχα, α αοί όι: α) Το άο ΕΜΖ όβο. (Μοά 8) β) Η ΕΖ ίαι οκάθο ο θύαο ήαο Μ. (Μοά 7) ) ΚΕ=Ζ (Μοά 5) ) Τα θύαα ήαα Κ, Μ, ΕΖ ιχοαι αό ίιο ηίο. (Μοά 5)
Έω Α, Β, θιακά ηία ΑΒ=2Β. Θωού ο ο Μ η ΑΒ. Πο ο ίιο ηιίο καακάο α ιόα ίωα ΑΒ, ΒΕ. α αοί όι: α) Το άο ΑΕΒ ίαι αιο (Α//ΒΕ). (Μοά 9) β) Τα ίωα ΜΒ, ΕΒ ίαι ία. (Μοά 8) ) Το άο ΜΒΕ ίαι άιο. (Μοά 8)
ίαι ααηόαο ΑΒ. Θωού ο ο Μ η ά Α και Ε κάθο αό η κοφή η θία ΜΒ (Ε ΜΒ). Η αάηη αό η κοφή η θία ΜΒ (x // MB) ι ι Β και Ε α ηία, Ζ αίοιχα. α αοί όι: α) Το άο ΜΒ ίαι ααηόαο. (Μοά 7) β) Το ηίο Ζ ίαι ο ο θάο ήαο Ε. (Μοά 9) ) Ε=. (Μοά 9)
ίαι οώιο ίωο ΑΒ. Καακάο ωικά ο ιώο α ιόα ίωα ΑΕΒ, Α. Οοάο Ζ ο ηίο οή ω θάω ηάω Β, Ε. α αοί όι: α) Τα ίωα ΑΕ και ΑΒ ίαι ία και α ά α ύη ω ίω ωιώ (Μοά 10) β) Τα άα ΑΖ, ΑΖΒΕ ίαι άια. (Μοά 10) ) Η ωία ˆ ΒΖ ίαι 120 0. (Μοά 5)
ίοαι οώιο ίωο ΑΒ, ΒΕ,Ζ, α ύη αό ι κοφ Β, αίοιχα και Η ο οθόκο ο ιώο. Είη ίοαι αμ,, Κ, α ω θάω ηάω ΑΒ, Α, Η, ΒΗ αίοιχα. α) α αοί όι: i. Μ=Κ (Μοά 6) ii. Κ=Μ= ΑΗ 2 (Μοά 6) iii. Το άο ΜΚ ίαι οθοώιο. (Μοά 6) 0 β) Α ο Ο ίαι ο ο η Β, α αοί όι ο ΜΟΚ ˆ 90. (Μοά 7)
ίαι οθή ωία ˆ xoy =90 0 και Α,Β ηία ω ηιθιώ Οy, O, ΟΑ=ΟΒ. Η () ίαι θία ο ιχαι αό η κοφή Ο και αφήι ι ηιθί O, O ο ίιο ηιίο. Η κάθο αό ο ηίο Α η () η ι ο και η κάθο αό ο ηίο Β η () η ι ο Ε. α αοί όι: α) Τα ίωα ΟΑ και ΟΕΒ ίαι ία. (Μοά 7) β) Α+ΒΕ=Ε. (Μοά 7) ) Μ= Ε 2 ΑΒ., όο Μ ίαι ο θύαο ήα ο ώι α α ω Ε και (Μοά 7) ) Το ίωο ΜΕ ίαι οθοώιο ιοκ. (Μοά 4)
Θωού ιόο ίωο ΑΒ και α ηία και Ε ω ώ ΑΒ και Α αίοιχα, ώ α ίαι Α=Ε. Έω Ο ο ηίο οή ω και ΒΕ. α) α αοί όι: i. ΒΕ ˆ Α ˆ. (Μοά 10) 0 ii. ˆ 120. (Μοά 10) β) α ά α ο άο ΑΕΟ ίαι άιο. α αιιοοή η αάηή α. (Μοά 5)
ίαι ο άωο ΑΒ. Ση ιαώιο Α θωού ηία, Ο, Η ώ. Α Ε, Θ και Ζ α α ω ώ, ΑΒ και Β αίοιχα α αοί όι: α) Το άο ΟΖΕ ίαι άωο. (Μοά 7) β). (Μοά 8) 4 ) Το άο ΘΖΗ ίαι οθοώιο ααηόαο, 2. (Μοά 10)
Θωού α οθοώιο ίωο ΑΒ ( ˆΑ 90 ο ), α α, Ε, Ζ ω ώ ο και ο ύο ο ΑΚ. Έω Θ ίαι ο ηίο οή ω ΑΖ και Ε. α) α αοί όι: i. Το άο ΑΖΕ ίαι οθοώιο. (Μοά 8) ii. Θ = ΘΕ = 4 (Μοά 7) ) Α ιο ίαι ωία ˆΓ =30 ο, i. α βί η ωία. (Μοά 5) ii. α αοί όι Κ = 4. (Μοά 5) Θ Κ Γ
Σ αιο ΑΒ (ΑΒ//) ιχύι ΑΒ+=Α. Α η ιχοόο η ωία Α ι η Β ο Ε και η οκαη η ο Ζ, α αοί όι: α) Το ίωο ΑΖ ίαι ιοκ. (Μοά 7) β) Το Ε ίαι ο ο η Β (Μοά 10) ) Η Ε ίαι ιχοόο η ωία ο αίο. (Μοά 8)
ίαι αιο ΑΕΒ, Α//ΒΕ, ο οοίο ιχύι όι ΑΒ=Α+ΒΕ, και Ο ο ο η Ε. Θωού ηίο Ζ η ΑΒ οιο ώ ΑΖ=Α και ΒΖ=ΒΕ. Α ωία ΔΑΖ ˆ φ, α) α κφά η ωία ΑΖ άηη η φ. (Μοά 8) β) α κφά η ωία ΕΖΒ άηη η φ. (Μοά 8) ) α αοί όι οι ΟΑ και ΟΒ ίαι οκάθοι ω ηάω Ζ και ΖΕ αίοιχα. (Μοά 9)
ίαι ααηόαο ΑΒ, ΑΒ > Α. Θωού ηία Κ,, ω Α και ΑΒ αίοιχα ώ ΑΚ = Α. Έω Μ ο ο ο Κ και η οκαη ο ΑΜ (ο ο Μ) ι η ο ηίο Ε. α αοί όι: α) Α =Ε. (Μοά 8) β) Β + Ε = ΑΒ. (Μοά 10) ) 2. (Μοά 7)
ίαι ααηόαο ΑΒ ΑΒ = 2 Β, η ωία Α αβία και Μ ο ο η. Φο κάθη η Α ο ηίο Α, η οοία ι η Β ο Η. Α η οκαη η ΗΜ ι η οκαη η Α ο Ε, α αοί όι: α) Η ΑΜ ίαι ιχοόο η ωία ΑΒ. (Μοά 9) β) Τα ήαα ΕΗ, ιχοοούαι. (Μοά 8) ). (Μοά 8)
ίαι οώιο ίωο ΑΒ και ο ωικό ο χηαίοαι α άωα ΑΒΕ και ΑΖΗ. α αοί όι: α) (Μοά 8) β) Ε = ΒΗ (Μοά 9) ) Η Ε ίαι κάθη η ΒΗ. (Μοά 8)
ίαι οθοώιο ίωο ΑΒ η ωία Α οθή, και χαίο ηίο η ά ΑΒ. Έω Κ, Μ, α α ω, Β, Β αίοιχα. α αοί όι: α) Το άο ΚΜ ίαι ααηόαο. (Μοά 8) β) Το άο ΑΚΜ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 9) ) Η ιάο ο αίο ΑΚΜ ίαι ίη. (Μοά 8) 2
ίαι ααηόαο ΑΒ η ωία ο Β α ίαι ίη 70 ο ο ΑΕ. Έω Ζ ηίο η Β ώ ΒΕ = ΕΖ. και ο ύο α) α αοί όι ο άο ΑΖ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 8) β) α οοί ι ωί ο αίο ΑΖ (Μοά 9) ) Α Μ ο ο ο Β, α αοί όι ΕΜ =. (Μοά 8) 2
ίαι οθοώιο ίωο ΑΒ 90 και 30. Φο ο ύο ο Α και η ιάό ο ΑΜ. Αό ο φο κάθη η θία ΑΜ, η οοία η ι ο Ε. α αοί όι: α) Το ίωο ΑΜΒ ίαι ιόο. (Μοά 8) β) ΜΕ=Μ=Β/4 (Μοά 9) ) Το ΑΕ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 8)
ίαι ίωο ΑΒ ΑΒ < Α. Φο η ιχοόο ο ΑΚ και χαίο ηίο η Ε φο θία κάθη η ιχοόο ΑΚ, η οοία ι ι ΑΒ και Α α ηία Ζ και αίοιχα και η οκαη η Β ο ηίο Η. α αοί όι: α) 90. (Μοά 7) 2 β) ΖΚ = Κ. (Μοά 8) ). (Μοά 10) 2
ίαι άο ΑΒ ΑΒ = Α και Β =. Α Ε ο ηίο οή ω οκάω ω ΒΑ και και Ζ ο ηίο οή ω οκάω ω Α και Β α αοί όι: α) Η Α ίαι ιχοόο η ωία Β. (Μοά 7) β) Ζ = Ε (Μοά 9) ) ΕΖ // Β (Μοά 9)
α) Σ οθοώιο ΑΒ θωού Κ,, Μ, α α ω ώ ο ΑΒ, Β,, Α αίοιχα. α αοί όι ο άο ΚΜ ίαι όβο. (Μοά 15) β) Σ α άο ΑΒ α α Κ,, Μ, ω ώ ο ΑΒ, Β,, Α αίοιχα ίαι κοφ όβο. Το άο ΑΒ, ι α ίαι αααίηα οθοώιο; α κηιώ η θική ή αηική α αάηη. (Μοά 10)
Εκό ιώο ΑΒ καακάο άωα ΑΒΕ και ΑΖΗ. Α Μ ο ο ο Β και ηίο η οκαη η ΑΜ οιο ώ ΑΜ = Μ, α αοί όι: α) = ΑΕ. (Μοά 10) β) 0ι ωί Α και ΕΑΗ ίαι ί. (Μοά 10) ) Η οκαη η ΜΑ (ο ο Α) ι κάθα η ΕΗ. (Μοά 5)
ο ίοι κύκοι (Ο, ) και (Κ,) φάοαι ωικά ο ηίο Ε. Α ΟΑ και ΟΒ ίαι α φαόα ήαα αό ο ηίο Ο ο κύκο (Κ,) α αοί όι: α) ΑΕ = ΒΕ. (Μοά 9) β) 30. (Μοά 8) ) Το άο ΑΚΒΕ ίαι όβο. (Μοά 8)
α) Σ ιοκ αιο ΑΒ θωού Κ,, Μ, α α ω ώ ο ΑΒ, Β,, Α αίοιχα. α αοί όι ο άο ΚΜ ίαι όβο. (Μοά 13) β) Σ α άο ΑΒ α α Κ,, Μ, ω ώ ο ΑΒ, Β,, Α αίοιχα ίαι κοφ όβο. ια α χηαίαι όβο ο ΑΒ ι α ίαι ιοκ αιο; α αιιοοή ήω η θική ή αηική αάηή α. (Μοά12)
α) Σ όβο ΑΒ θωού Κ,, Μ, α α ω ώ ο ΑΒ, Β,, Α αίοιχα. α αοί όι ο άο ΚΜ ίαι οθοώιο. (Μοά 13) β) α αοί όι α α ω ώ ό οθοωίο ίαι κοφ όβο. (Μοά 12)
ίαι ιοκ ίωο ΑΒ ΑΒ = Α και Α, ΒΕ α ύη ο. α αοί όι: α) Β =2 Ε. (Μοά 6) β). (Μοά 7) 2 ) Το άο ΑΕΒ ίαι άιο. (Μοά 6) ). (Μοά 6)
ίαι ιοκ ίωο ΑΒ ΑΒ = Α, χαίο ηίο Μ η βάη ο Β και ο ύο ο ΒΗ. Αό ο Μ φο κάθ Μ, ΜΕ και ΜΘ ι ΑΒ, Α και ΒΗ αίοιχα. α αοί όι: α) Το άο ΜΕΗΘ ίαι οθοώιο. (Μοά 9) β) ΒΘ = Μ (Μοά 9) ) Το άθοια Μ+ΜΕ=BH. (Μοά 7)
ίαι ίωο ΑΒ Α > ΑΒ και, Ε, Ζ α α ω ώ ο Β, Α, ΑΒ αίοιχα. Α η ιχοόο η ωία Β ι η ΖΕ ο ηίο Μ και η οκαη η Ε ο ηίο, α αοί όι: α) Το άο ΖΕΒ ίαι ααηόαο. (Μοά 7) β) Τα ίωα ΒΖΜ και ΜΕ ίαι ιοκή. (Μοά 10) ) ΒΖ + Ε = (Μοά 8)
ίαι ίωο ΑΒ, ΑΜ ιάό ο και Κ ο ο ο ΑΜ. Α η οκαη η ΒΚ ι η Α ο ηίο, και ίαι ο ο ο, α αοί όι: α) Το ηίο ίαι ο ο Α. (Μοά 9) β) (Μοά 9) ) ΒΚ = 3Κ (Μοά 7)
ίαι ίωο ΑΒ Β = 2Α. Έω ΑΜ ιάο ο ΑΒ και Κ, α α ω Μ και ΑΒ αίοιχα. α αοί όι: α). (Μοά 7) β) Μ = ΜΚ. (Μοά 9) ) Η ΑΜ ίαι ιχοόο η ωία. (Μοά 9)
ίαι άο ΑΒ ΑΒ = και Μ,, Κ α α ω Α, Β, Β αίοιχα. Α οι οκάι ω ΑΒ και ο η οκαη η Μ α ηία Ε και Ζ αίοιχα α αοί όι: α) ΜΚ = Κ. (Μοά 13) β). (Μοά 12)
ίαι ααηόαο ΑΒ και η οκαη η Α θωού ηίο Ε οιο ώ Ε = ώ η οκαη η ΑΒ θωού ηίο θωού ηίο Ζ οιο ώ ΒΖ = Β. α) α αοί όι: i.. (Μοά 10) ii. α ηία Ζ,, Ε ίαι θιακά. (Μοά 10) β) Έα αθηή ια α αοίι όι α ηία Ζ,, Ε ίαι θιακά α ο αακάω οιό. «Έχο: οαι αό η ΖΕ) και (ω ό κό και ι α αά η ω ααήω Ε και Β ο ). (ω ό αά ω ααήω Ε και Β ο οαι αό η Όω 180 (ω άθοια ω ωιώ ο ιώο Ε). Άα ύφωα α οηούα: 180. Οό α ηία Ζ,, Ε ίαι θιακά.» Όω ο καθηηή ι α άθο ο οιό αό. α βί ο άθο ο κκιο οιό. (Μοά 5)
ίαι οθοώιο ίωο ΑΒ η ωία Α οθή. Φο η ιάό ο ΑΜ και χαίο ηίο Κ αή φο κάθη η ΑΜ η οοία ι ι ΑΒ και Α α ηία και Ε αίοιχα. Α Η ίαι ο ο ο Ε α αοί όι: α). (Μοά 8) β). (Μοά 9) ) Η θία ΑΗ ι κάθα η Β. (Μοά 8)
ΘΕΜΑ ίοαι οθοώια ίωα ΑΒ και Β Β και Α αίοιχα. α αοί όι: 90, 90 και Μ, α α ω α) ΑΜ = Μ. (Μοά 10) β) Η Μ ίαι κάθη η Α. (Μοά 10) ). (Μοά 5)
ίαι ιοκ ίωο ΑΒ ΑΒ = Α και, Ε α α ω ώ ο ΑΒ και Α αίοιχα. Ση οκαη η Ε (ο ο Ε) θωού ηίο ώ Ε = ΑΕ και η οκαη η Ε (ο ο ) θωού ηίο Κ οιο ώ Κ = Α. α αοί όι: α) Κ = Ε. (Μοά 6) β) Τα ίωα ΑΚΒ και Α ίαι οθοώια. (Μοά 9) ) Τα ίωα ΑΚΒ και Α ίαι ία. (Μοά 10)
Θωού κύκο κο Ο, ιάο Β. Αό ηίο Α ο κύκο φο η φαοη () ο ιαο κύκο ο ιώο. Αό α ηία Β και φο α ήαα Β και Ε κάθα η θία (). α) α αοί όι ΒΑ και Α ίαι ιχοόοι ω ωιώ και αίοιχα. (Μοά 8) β) Α ΑΖ ίαι ύο ο ιώο, α αοί όι. (Μοά 8) ) α αοί όι. (Μοά 9)
ίοαι ο αάη θί () και (), και ια ίη ο ι ι α ηία Α και Β αίοιχα. Θωού ι ιχοόο ω ό και ί α αά η ωιώ ο χηαίοαι, οι οοί οαι ηίο. Α Μ ίαι ο ο ο ΑΒ, α αοί όι: α) Η ωία ΒΑ ίαι οθή. (Μοά 9) β) 2 (Μοά 8) ) Μ // (Μοά 8)
ίαι οθοώιο ίωο ΑΒ η ωία Α οθή και Μ χαίο ηίο η ά Β. Φο ι ιχοόο ωιώ ΒΜΑ και ΑΜ οι οοί ο ι ΑΒ και Α α ηία και Ε αίοιχα. α) α αοί όι, η ωία ΜΕ ίαι οθή. (Μοά 12) β) Α Κ ο ο ο Ε, α αοί όι ΜΚ = ΚΑ (Μοά 13)
ίαι οθοώιο ίωο ΑΒ η ωία Α οθή και ΑΜ η ιάό ο. Αό ο Μ φο ΜΚ κάθη η ΑΒ και Μ κάθη η Α. Α, Ρ ίαι α α ω ΒΜ και Μ αίοιχα, α αοί όι: α) (Μοά 7) β) Η ΜΚ ίαι ιχοόο η ωία ΜΑ. (Μοά 9) ) ΑΜ = Κ + Ρ. (Μοά 9)
ίαι άωο ΑΒ και ό αού ιόο ίωο ΜΒ. Α η οκαη η ΑΜ ι η Β ο ηίο Ε, α αοί όι: α) 15. (Μοά 8) β) Τα ίωα ΑΕ και Ε ίαι ία. (Μοά 8) ) Η Ε ίαι ιχοόο η ωία Μ. (Μοά 9)
ίαι αιο ΑΒ ΑΒ// και ΑΒ = Α + Β. Α η ιχοόο η ωία ι η ΑΒ ο ηίο Μ, α αοί όι: α) Το ίωο ΑΜ ίαι ιοκ. (Μοά 8) β) Το ίωο ΜΒ ίαι ιοκ. (Μοά 9) ) Η Μ ίαι ιχοόο η ωία ο αίο. (Μοά 8)
ίαι ιοκ ίωο ΑΒ ΑΒ = Α και ηίο η οκαη η Β. Αό ο φο Κ κάθη η ΑΒ και Ε κάθη η οκαη η Α. Αό ο ηίο φο Η κάθη η ΑΒ και Ζ κάθη η Κ. α αοί όι: α) H ωία Ζ ίαι ίη η ωία Β. (Μοά 4) β) Η ίαι ιχοόο η ωία ΖΕ. (Μοά 4) ) Το ίωο ΖΕ ίαι ιοκ. (Μοά 9) ) Κ Ε = Η (Μοά 8)
ίαι ίωο ΑΒ Α και ΑΕ αίοιχα η ωική και η ωική ιχοόο η ωία Α (, Ε ηία η θία Β). Φο ΒΖ κάθη η Α και ΒΗ κάθη η ΑΕ και θωού Μ ο ο ο. α αοί όι: α) Το άο ΑΖΒΗ ίαι οθοώιο. (Μοά 5) β) Η ωία ΗΖΑ ίαι ίη η ωία ΖΑ. (Μοά 6) ) Η θία ΗΖ ιχαι αό ο Μ. (Μοά 6) ). (Μοά 8) 2
ίαι ίωο ΑΒ ΑΒ < Α, η ιχοόο ο Α και θία () αάηη αό ο Β ο η Α. Αό ο ο Μ η Β φο θία αάηη η Α η οοία ι η Α ο ηίο Ζ, η θία () ο ηίο και η οκαη η ΒΑ ο ηίο Ε. α αοί όι: α) Τα ίωα ΑΕΖ και ΒΕ ίαι ιοκή. (Μοά 8) β) Β =Ζ. (Μοά 9) ) ΑΕ=Α-Β. (Μοά 8)
ίαι ιόο ίωο ΑΒ και η οκαη η Β (ο ο Β) θωού ηίο οιο ώ Β = Β, ώ η οκαη η Β (ο ο ) θωού ηίο Ε οιο ώ Ε = Β. Φο η κάθη η Ε ο ηίο Ε, η οοία ι η οκαη η Α ο Ζ. α) α οοί ι ωί ω ιώω ΑΕ και ΒΑ. (Μοά 8) β) α αοί όι η Ζ ίαι οκάθο ο ΑΕ. (Μοά 12) ) α αοί όι ΑΒ//Ζ. (Μοά 5)
ίαι ίωο ΑΒ και οι ιάοί ο Α, ΒΕ και Ζ. Ποκίο ο ήα ΖΕ (ο ο Ε) καά ήα ΕΗ = ΖΕ. α αοί όι: α) Το άο ΕΗΒ ίαι ααηόαο. (Μοά 8) β) Η ίο ο ιώο ΑΗ ίαι ίη ο άθοια ω ιαω ο ιώο ΑΒ. (Μοά 9) ) Οι θί ΒΕ και Η ιχοοού ο ήα Ζ. (Μοά 8)
ίαι οθοώιο αιο ΑΒ ( 90 ) Β = = 2ΑΒ και Κ, α α ω Β και. Η αάηη αό ο Κ ο η ΑΒ ι η Α ο Ζ. α αοί όι: α) Β = 2 Ζ. (Μοά 8) β) Το άο ΖΚ ίαι όβο. (Μοά 9) ) 90. (Μοά 8)
ίαι ιοκ ίωο ΑΒ (ΑΒ = Α), και χαίο ηίο Μ η ά Β. Αό ο ηίο Μ φο θία κάθη η ά Β ο ι ι θί ΑΒ και Α α ηία Ε και Θ αίοιχα. Α Α και ΑΗ α ύη ω ιώω ΑΒ και ΑΘΕ αίοιχα, α αοί όι: α) 90. (Μοά 8) β) Το ίωο ΑΘΕ ίαι ιοκ. (Μοά 8) ) ΜΘ+ΜΕ = 2Α. (Μοά 9)
ίαι κύκο κο Ο και ο η αιιαικά ηία ο Α και Β. Φο ι φαό ο κύκο α ηία Α και Β οι οοί οαι ο ηίο. Φο ίη και α ύη Α και ΒΕ ο ιώο ΑΒ α οοία οαι ο ηίο Η. α αοί όι: α) Το ίωο ΒΗΑ ίαι ιοκ. (Μοά 8) β) Το άο ΟΒΗΑ ίαι όβο. (Μοά 9) ) Τα ηία Ο, Η, ίαι θιακά. (Μοά 8)
ίαι ίωο ΑΒ και η οκαη η Β (ο ο Β) θωού ηίο οιο ώ Β =ΑΒ ώ η οκαη η Β (ο ο ) θωού ηίο Ε οιο ώ Ε = Α. Α οι ωικοί ιχοόοι ω ωιώ Β και ο ι Α και ΑΕ α ηία Κ και αίοιχα, και η Κ ι ι ΑΒ και Α α ηία Μ και αίοιχα, α αοί όι: α) Τα ηία Κ και ίαι α ω Α και ΑΕ αίοιχα. (Μοά 8) β) Τα ίωα ΚΜΑ και Α ίαι ιοκή. (Μοά 9) ) Κ = 2 (Μοά 8)
ίαι ααηόαο ΑΒ και Μ ο ο η ά. Φο κάθη η ΑΜ ο ηίο η Μ, η οοία ι η θία Α ο ηίο Ρ και η Β ο Σ. α αοί όι: α) Ρ = Σ. (Μοά 8) β) Το ίωο ΑΡΣ ίαι ιοκ. (Μοά 8) ) ΑΣ = Α + Σ. (Μοά 9)
ίαι ίωο ΑΒ και Ε ο ο η ιαο Β. Ση οκαη η ΑΕ θωού ηίο Ζ οιο ώ ΕΖ=ΑΕ. α αοί όι: α) Το άο ΑΒΖ ίαι ααηόαο. (Μοά 8) β) Το άο ΒΖ ίαι ααηόαο. (Μοά 8) ) Το ηίο Θ ίαι βαύκο ο ιώο ΒΖ. (Μοά 9)
ίαι ιόο ίωο ΑΒ και ο ύο ο Ε. Ση οκαη η Β (ο ο Β) θωού ηίο οιο ώ Β = ΖΘ // Β:. Α η θία Ε ι η Α ο Ζ και 2 α) α αοί όι ο ίωο ΒΕ ίαι ιοκ και ο ίωο ΑΘΖ ίαι ιόο. (Μοά 10) β) α οοί ι ωί ο ιώο ΘΕΖ. (Μοά 5) ) α αοί όι ΑΕ = 2 ΘΖ. (Μοά 5) ) α αοί όι 3ΑΒ = 4ΘΒ. (Μοά 5)
Σ ια θία () θωού ιαοχικά α ηία Α, Β, ι ώ ΑΒ = 2 Β και ο ίιο ηιίο θωού ιόα ίωα ΑΒ και ΒΕ. Α Η ίαι ο ο ο Α και η θία Ε ι η θία () ο ηίο Ζ α αοί όι: α) Το άο ΒΗΕ ίαι οθοώιο. (Μοά 8) β) Το ίωο ΖΕ ίαι ιοκ. (Μοά 8) ) Το άο ΗΕΑ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 9)
ίαι ααηόαο ΑΒ και Κ ο ηίο οή ω ιαωίω ο. Φο ΑΗ κάθη η Β και η οκαη η ΑΗ (ο ο Η) θωού ηίο Ε οιο ώ ΑΗ = ΗΕ. α αοί όι: α) Το ίωο ΑΚΕ ίαι ιοκ. (Μοά 7) β) Το ίωο ΑΕ ίαι οθοώιο. (Μοά 9) ) Το άο ΒΕ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 9)
ίαι οθοώιο ίωο ΑΒ η ωία Α οθή και ο Α και ηίο Ε η οκαη η ΑΒ οιο ώ ΒΕ = Β. 2. Φο ο ύο α) α οοί ι ωί ο ιώο ΒΕ. (Μοά 9) β) α αοί όι: i. BE = 2 (Μοά 8) ii. ΑΕ = (Μοά 8)
ίαι ίωο ΑΒ ωί Β και οί και, Μ και Ε α α ω ώ ο ΑΒ, Α και Β αίοιχα. Σι οκάθ ω ΑΒ και Β και κό ο ιώο ΑΒ θωού ηία Ζ και Η αίοιχα, οια ώ Ζ = 2 και ΕΗ =. 2 α) α αοί όι: i. Το άο ΒΜΕ ίαι ααηόαο. (Μοά 5) ii. Τα ίωα ΖΜ και ΕΜΗ ίαι ία. (Μοά 10) β) Α α ηία Ζ,, Ε ίαι θιακά, α αοί όι η ωία Α=90 ο. (Μοά 10)
ίαι οθοώιο ίωο ΑΒ (A=90 o ). Φο η ιάο ο ΑΜ η οοία οκίο (ο ο ο ο Μ) καά ήα Μ = ΑΜ. Θωού θία Κ κάθη η Β, η οοία ι η ιχοόο η ωία Β ο Ε. α αοί όι: α) Το άο ΑΒ ίαι οθοώιο (Μοά 8) α) 90 2 (Μοά 8) β) Ε = Β (Μοά 9)
Σο αακάω άο ΑΒ ιχύο:,, και ΑΒ. α) α αοί όι α ίωα ΑΟΒ και Ο ίαι ιοκή. (Μοά 8) β) α αοί όι ο άο ΑΒ ίαι αιο. (Μοά 8) ) Α ιο ιχύι όι =3ΑΒ και Κ, α α ω ιαωίω Β και Α αίοιχα, α αοί όι ο άο ΑΒΚ ίαι οθοώιο ααηόαο. (Μοά 9)
ίαι οθοώιο ίωο ( 90 ) και 30 Μ και α α ω ώ Β και ΑΒ αίοιχα. Έω όι η οκάθο η ά Β ι η Α ο ηίο Ε. α) α αοί όι: i) η ΒΕ ίαι ιχοόο η ωία. (Μοά 6) ii). (Μοά 6) 2 iii) η ΒΕ ίαι οκάθο η ιαο ΑΜ. (Μοά 7) β) Α Α ίαι ο ύο ο ιώο ο ι η ΒΕ ο Η, α αοί όι α ηία Μ, Η και ίαι θιακά. (Μοά 6)
Αό ωικό ηίο Ρ ό κύκο κο Ο φο α φαόα ήαα ΡΑ, ΡΒ και η ιακική θία ΡΟ ο ι ο κύκο α ηία και αίοιχα. Η φαοη ο κύκο ο ηίο ι ι οκάι ω ΡΑ και ΡΒ α ηία Ε και Ζ αίοιχα. α αοί όι: α) B (Μοά 8) β) ΕΑ=ΖΒ (Μοά 9) ) Το άο ΑΒΖΕ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 8)
ίαι ίωο ΑΒ ΑΒ<Β και η ιχοόο ΒΕ η ωία B. Α ΑΖ ΒΕ, όο Ζ ηίο η Β και Μ ο ο η Α, α αοί όι : α) Το ίωο ΑΒΖ ίαι ιοκ. (Μοά 7) β) Μ//Β και Μ = B 2 (Μοά 10) ) B E, όο B η ωία ο ιώο ΑΒ. (Μοά 8) 2
Σο αακάω χήα ίαι ίωο ΑΒ, η ιχοόο Βx η ωία Β ο ιώο ΑΒ και η ιχοόο Βy η ωική ωία Β. Α και Ε ίαι οι οβο η κοφή Α ο ιώο ΑΒ η Βx και Βy αίοιχα, α αοί όι: α) Το άο ΑΒΕ ίαι οθοώιο. (Μοά 7) β) Η θία Ε ίαι αάηη ο η Β και ιχαι αό ο ο Μ η Α. (Μοά 10) ) Το άο ΚΜΒ ίαι αιο και η ιάό ο ίαι ίη όο α=β. (Μοά 8) 3, 4
Σ ααηόαο ΑΒ θωού ηία Ε, Ζ, Η, Θ ι ΑΒ, Β,, Α αίοιχα, ΑΕ=Η και ΒΖ=Θ. α αοί όι: α) Το άο ΑΕΗ ίαι ααηόαο. (6 οά) β) Το άο ΕΖΗΘ ίαι ααηόαο. (10 οά) ) Τα ήαα Α, Β, ΕΗ και ΖΘ ιχοαι αό ο ίιο ηίο. (9 οά)
ίαι ααηόαο ΑΒ και ηία Κ, η ιαωίο ο Β, οια ώ α ιχύι ΒΚ=Κ=. α) α αοί όι ο άο ΑΚ ίαι ααηόαο. (Μοά 10) β) α αοί όι, α ο αχικό ααηόαο ΑΒ ίαι όβο, ό και ο ΑΚ ίαι όβο. (Μοά 8) ) Ποιά ι α ίαι η χη ω ιαωίω ο αχικού ααηοάο Α, ώ ο ΑΚ α ίαι οθοώιο. α αιιοοή η αάηή α. (Μοά 7)
ίαι ααηόαο ΑΒ και ω Ο ο ηίο οή ω ιαωίω Α και Β. Φο η ΑΕ κάθη η ιαώιο Β. Εά Ζ ίαι ο ικό ο Α ω ο η ιαώιο Β, ό α αοί όι: α) Το ίωο ΑΖ ίαι ιοκ. (Μοά 7) β) Ζ = 2ΟΕ. (Μοά 9) ) Το ΒΖ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 9)
ίαι ααηόαο ΑΒ. Ση οκαη η ά ΑΒ αίο ήα ΒΕ=ΑΒ και η οκαη η ά Α ήα Ζ=Α. α) α αοί όι: i. Τα άα ΒΕ και ΒΖ ίαι ααηόαα. (Μοά 7) ii. Τα ηία Ε, και Ζ ίαι θιακά. (Μοά 9) β) Α Κ και ίαι α α ω ΒΕ και Ζ αίοιχα, ό Κ// Β και = 3 ΔΒ. 2 (Μοά 9)
ίαι ιοκ ίωο ΑΒ ΑΒ = Α και ο ύο ο ΑΜ. Φο Μ κάθη η Α και θωού Η ο ο ο ήαο Μ. Αό ο Η φο αάηη η Β η οοία ι ι ΑΜ και Α α ηία Κ και Ζ αίοιχα. α αοί όι: α) ΗΖ = 4 (Μοά 9) β) ΜΖ // Β (Μοά 8) ) Η θία ΑΗ ίαι κάθη η Β. (Μοά 8)
Έω ίωο ΑΒ και Α η ιχοόο η ωία Α, ια η οοία ιχύι Η Ε ίαι ιχοόο η ωία ΑΒ και η Ζ αάηη η ΑΒ. α αοί όι:. α) Τα ήαα Ε και Α ίαι αάηα. (Μοά 9) β) Το ίωο ΕΑ ίαι ιοκ. (Μοά 8) ) Τα ήαα Α και ΕΖ ιχοοούαι. (Μοά 8)
ίαι ο ίωο ΑΒ ωία Β=60 ο. Φο α ύη Α και Ε ο οαι ο Η. Φο ΚΖ ιχοόο η ωία ΕΗΑ και ΘΗ κάθο ο ύο Α. α αοί όι: α) ια ο ήα ΖΕ ιχύι ΖΗ=2ΕΖ. (Μοά 9) β) Το ίωο ΘΖΗ ίαι ιόο. (Μοά 8) ) Το άο ΘΗΚΒ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 8)
ίαι κύκο κο Ο και ακία. Έω ηίο Α ωικό ο κύκο και α φαόα ήαα ΑΒ και Α ώ α ιχύι 60. Έω όι η φαόη ο κύκο ο ι ι ΑΒ και Α α Ε και Ζ αίοιχα. α αοί όι: α) Το άο ΑΒΟ ίαι άιο ΟΑ=2ΟΒ. (Μοά 6) β) Το ίωο ΑΕΖ ίαι ιόο. (Μοά 6) ) 2 (Μοά 7) ) Το άο ΕΖΒ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 6)
ίαι κύκο (Ο, ) και Α ια ιάό ο. Θωού ι χο Α=Β. Έω Κ και α α ω χοώ και Β αίοιχα. α αοί όι: α) Οι χο ΑΒ και ίαι αάη. (Μοά 6) β) Το άο ΑΒ ίαι οθοώιο ααηόαο. (Μοά 6) ) Η Β ίαι ιάο ο κύκο. (Μοά 7) ) Το άο ΟΚ ίαι οθοώιο ααηόαο. (Μοά 6)
Σι x' και Ax ωία Λ x 'Ax θωού ηία Β και ώ ΑΒ=Α. Οι κάθ ι Αx και Αx α ηία Β και αίοιχα, οαι ο. Α οι ηιθί Ay και Az χωίο η ωία Λ x 'Ax ι ί ωί και ο ι Β και α ηία Ε και Ζ αίοιχα, α αοί όι: α) Το ίωο Δ EAZ ίαι ιοκ. (Μοά 8) β) Το αήκι η ιχοόο η ωία Λ x 'Ax. (Μοά 8) ) Οι ωί Β και Α ίαι ί. (Μοά 9)
Σ ίωο οι ιχοόοι ω ωιώ και οαι ο. Η ωική ιχοόο η Β ι η οκαη η ο Ε. ίαι όι 70 2 α) α οοί ι ωί ο ιώο. (Μοά 8) β) α αοί όι ο άο ΑΒΕ ίαι αιο. (Μοά 9) ) α αοί όι ο ίωο ΒΕ ίαι ιοκ (Μοά 8)
Έω οθοώιο ίωο 90. Ση ά Β θωού α ηία Κ, Μ, ώ. Α α ηία και Ε ίαι α α ω ώ ΑΒ και Α αίοιχα, α αοί όι: α) Το άο ΕΚ ίαι ααηόαο. (Μοά 13) 3 β) Η ιάο ο αίο ΚΑΜ ιούαι 8. ( Μοά 12)
Έω ιοκ αιο ΑΒ (ΑΒ//) 2 και. 2 Φο η ιχοόο η ωία, η οοία ι ο ο Κ και η κάθη αό ο Κ ο ο Β ο ι ο Μ. α) α οοί ι ωί ο ΑΒ. (Μοά 10) β) α αοί όι: i. Το άο ΑΒΚ ίαι όβο. (Μοά 8) ii. Το ηίο Μ ίαι ο ο ο Β. (Μοά 7)
Έω άωο ΑΒ και Μ ο ο η ά Α. Ποκίο ο ήα Α (ο η ά ο Α)καά ήα Α=. Φο α ήαα Μ και Β και 2 θωού α α ο Κ και αίοιχα. α αοί όι: α) Το άο ΜΒ ίαι ααηόαο. (Μοά 8) β) Το άο ΑΚ ίαι ααηόαο. (Μοά 9) ) Το άο ΑΜΚ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 8)
Έω κύκο κο Ο και ύο κάθ ακί ο ΟΒ και Ο. Έω Α ο ο ο όο Β. Αό ο Α φω κάθ ι ακί ΟΒ και Ο ο ι ο α και Ε αίοιχα. Οι οκάι ω Α και ΑΕ ο ο κύκο α ηία Ζ και Η αίοιχα. α αοί όι: α) ΑΖ=ΑΗ. (Μοά 4) α) Το ΑΟΕ ίαι οθοώιο. (Μοά 7) β) Τα ηία Ζ και Η ίαι αιιαικά. (Μοά 7) ) Το άο ΒΗΖ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 7)
ίαι ίωο ΑΒ, ΑΚ ιχοόο η ωία Α. Ση οκαη η ΑΚ θωού ηίο ώ. Η αάηη αό ο ο η ΑΒ ι ι Α και Β α Ε και Ζ αίοιχα. α αοί όι: α) Το ίωο ΑΕ ίαι ιοκ. (Μοά 6) β) Η ΕΚ ίαι οκάθο η Α. (Μοά 6) ) Τα ίωα ΑΚΒ και ΚΖ ίαι ία. (Μοά 7) ) Το άο ΑΖΒ ίαι ααηόαο. (Μοά 6)
ίαι ίωο ΑΒ. Ση οκαη ο ύο ο ΑΚ θωού ηίο ώ. Έω, Μ, α α ω ώ ΑΒ, Α και Β αίοιχα. α αοί όι: α) Το ίωο ΑΒ ίαι ιοκ. (Μοά 7) β) Το άο ΒΚ ίαι όβο. (Μοά 9) ) (Μοά 9)
Θωού ίωο ΑΒ και ι οκαθο 1, 2 ω ώ ο ΑΒ και Α, οι οοί οαι ο ο Μ η Β. α) α αοί όι: i. Το ίωο ίαι οθοώιο ii. iii. 90. (Μοά 5) Το άο ΑΜΚ ίαι οθοώιο ααηόαο., όο Θ ο ηίο οή ω ΑΜ και Κ. 4 ) Α ηίο η Β οιο ώ (Μοά 7) (Μοά 6), α αοί όι ο άο ΚΘΒ 4 ίαι ααηόαο. (Μοά 7)
ίαι αιο ΑΒ //, 4 και 2. Θωού ηίο Ζ η, ώ. Α η ωία ίαι 60 0 και ΒΕ ο ύο ο αίο, α αοί όι: α) Το άο ΑΒΕ ίαι ααηόαο. (Μοά 8) β) Το ίωο ΖΑΕ ίαι ιόο. (Μοά 8) ) Τα ίωα ΑΖ και ΑΕ ίαι ία. (Μοά 9)
ίαι ιοκ αιο ΑΒ και ΒΖ κάθα ι ιαώι Β και Α αίοιχα. α αοί όι: // και Α= Β =ΑΒ. Φο ήαα ΑΕ α) Τα ηία Ζ και Ε ίαι α ω ιαωίω Α και Β αίοιχα. (Μοά 5) β) ΑΕ =ΒΖ. (Μοά 8) ) Το άο ΑΕΖΒ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 7) ) Η Β ίαι ιχοόο η ωία. (Μοά 5)
ίαι ααηόαο ΑΒ οιο ώ α φο η κάθη η Α ο κο ο Ο, αή ι η οκαη η Α ηίο Ε οιο ώ Ε=Α. α αοί όι: α) Το ίωο ΑΕ ίαι ιοκ. (Μοά 7) β) Το άο ΒΕ ίαι ααηόαο. (Μοά 9) ) Το ίωο ΒΟ ίαι ιοκ. (Μοά 9)
ίαι ιόο ίωο ΑΒ. Ση οκαη η Β (ο ο ) θωού ήα. Α Μ, Κ και ίαι α α ω ώ Β, ΑΒ και Α αίοιχα ό: α) α οοί ι ωί ο ιώο ΒΑ. (Μοά 7) β) α αοί όι: i) Το άο ΚΜ ίαι ιοκ αιο η άη βάη ιάια αό η ική. (Μοά 8) ii) Το ίωο ΚΜ ίαι οθοώιο. (Μοά 10)
ίαι άο ΑΒ και ο ιαο ο κύκο (Ο, ) ώ η ιαώιο ο Β α ίαι ιάο ο κύκο. Η ωία Β ίαι ιάια η ωία και οι ΑΒ και Β ίαι ί. Φο κάθη η Β ο Ο, η οοία ι ι Α και α Ε και Ζ αίοιχα. α) α οοί ι ωί ο αύο ΑΒ. (Μοά 6) β) α κί α ίωα ΑΒ και Β. (Μοά 6) ) α αοί όι ο άο ΑΒΟ ίαι όβο. (Μοά 7) ) α αοί όι ο άο ΑΒΟΕ ίαι άιο κύκο. (Μοά 6)
ίαι ιόο ίωο ΑΒ. Μ βάη η ΑΒ καακάο ιοκ ίωο ΑΒ, κό ο ιώο ΑΒ, ωία Η ω ώ Α και Α αίοιχα. 120. Θωού α α Ζ και α) α αοί όι η ίαι οκάθο ο ΑΒ. (Μοά 8) β) Α η ι η ΑΒ ο Θ, α αοί όι η ωία ίαι οθή. ) Α η ΖΚ ίαι η κάθη η ΑΒ αό ο ηίο Ζ, α αοί όι (Μοά 9). 4 (Μοά 8)
ίαι ιοκ αιο ΑΒ (ΑΒ//) και Ο ο ηίο οή ω ιαωίω ο. Η Α ίαι κάθη η Α και η Β ίαι κάθη η Β. Θωού α α Μ, Ε και Ζ ω, Β και Α αίοιχα. α αοί όι: α) ΜΕ=ΜΖ. (Μοά 6) β) Η ΜΖ ίαι κάθη η Α. (Μοά 6) ) Τα ίωα και ίαι ία. (Μοά 7) ) Η ΟΜ ίαι οκάθο ο ΕΖ. (Μοά 6)
ίαι ιόο ίωο και α α, Ε και Μ ω ΑΒ, Α και Β αίοιχα. Ση οκαη ο Μ (ο ο ) θωού ήα Ζ=Μ. α αοί όι: α) Τα ίωα και ίαι ία. (Μοά 6) β) Το άο ΖΑΜ ίαι ααηόαο. (Μοά 6) ) Τα ήαα ΖΕ και Α οαι κάθα και ιχοοούαι. (Μοά 7) ) Η ΒΖ ίαι κάθη η ΖΑ. (Μοά 6)
ίαι ίωο ΑΒ<Α. Φο ήα Β κάθο η ΑΒ και και ήα Ε κάθο η Α. Θωού α α Ζ και Θ ω Α και ΑΕ καθώ και η ιχοόο Α η ωία. α) α αοί όι. (Μοά 9) β) Α Κ χαίο ηίο η ιχοόο Α, α αοί όι ο Κ ιαχι αό α α Ζ και Θ. (Μοά 9) ) Α ο Κ ίαι ηίο η ιχοόο Α οιο ώ ΚΖ=ΑΖ, α αοί όι ο άο ΑΖΚΘ ίαι όβο. (Μοά 7)
ίαι οώιο ιοκ ίωο ΑΒ=Α. Φο ήα Α κάθο η ΑΒ και ήα ΑΕ κάθο η Α Α=ΑΕ. Θωού α α Ζ, Η και Μ α α ω Β, Ε και Β αίοιχα. α) α αοί όι: i. Τα ίωα ii. Το ίωο και ίαι ία. (Μοά 7) ίαι ιοκ. (Μοά 6) iii. Η ΑΜ ίαι οκάθο ο ΖΗ. (Μοά 7) β) Έα αθηή κίοα α ίωα «1. Α=Α αό υόθση 2. Α=Α υρς ισοσος ριώου 3. = ως ααορυφή και α α ή: Άρα α ρίωα ίαι ίσα χοας ο υρς ίσς μια ρος μια αι η ριχόμη ωία ίση». Ο καθηηή ί όι αή η ύη ιχι άθο οί α ο οίι; (Μοά 5)
Έω ιοκ ίωο 120. Φο ηιθία Αx κάθη η Α ο Α, η οοία ι η Β ο. Έω ο ο ο ΑΒ και Κ ο ο ο. α αοί όι: α) Το ίωο ίαι ιοκ (Μοά 8) β) 2 (Μοά 8) ) // (Μοά 5) ) ΑΚ=2 (Μοά 4)
Έω οθοώιο ίωο 90 και 60. Η ιχοόο η ωία ι η Α ο Ζ. Τα ηία Μ και Κ ίαι α α ω ΒΖ και Β αίοιχα. Α ο ήα ίαι κάθο η ιχοόο Β α αοί: α) Το ίωο ίαι ιοκ. (Μοά 6) β) Το άο ΑΜΚΖ ίαι όβο. (Μοά 6) ) ) 2 (Μοά 7) (Μοά 6)
Έω ίωο ιάο ΑΜ οια ώ ΑΜ=ΑΒ. Φο ο ύο ο ΑΚ και ο οκίο (ο ο Κ) καά ήα ΑΜ (ο ο Μ) καά ήα ΜΕ=ΑΜ. α αοί όι:. Ποκίο η ιάο α) και 2 (Μοά 7) β) Το άο ΑΒΕ ίαι ααηόαο. (Μοά 6) ) Το άο ΑΒΜ ίαι όβο. (Μοά 6) ) Η οκαη η Μ ι ο Α ο ο ο Ζ. (Μοά 6)
Έω κύκο κο Ο και ιάο Κ. Έω Α ηίο ο κύκο ώ η ακία ΟΑ α ίαι κάθη η Κ. Φο ι χο. Έω και Ε α ηία οή ω οκάω ω ΑΒ και Α αίοιχα η θία η ιαο Κ. α αοί όι: α) Η ωία ΒΑ ίαι 120 ο. (Μοά 7) β) Τα ηία Β και ίαι α ω Α και Α αίοιχα. (Μοά 9) ). (Μοά 9)
Θωού ιοκ ίωο ΑΒ, και η θία η ωική ιχοόο η ωία Α. Η κάθη η ά ΑΒ ο Β ι η ο Κ και η θία Α ο Ζ. Η κάθη η ά Α ο ι η ο και η θία ΑΒ ο Ε. α) α αοί όι: i. AZ=AE (Μοά 8) ii. ΑΚ=Α (Μοά 9) β) Έα αθηή κοιώα ο χήα, ιαύω η άοη όι η ΑΘ ίαι ιχοόο η ωία Α ο ιώο ΑΒ, όο Θ ο ηίο οή ω ΚΖ και Ε. Σφωί η ααάω κη ο αθηή ή όχι; ικαιοοή ήω η αάηή α. (Μοά 8)
Έω ααηόαο ΑΒ Ο ο ηίο οή ω ιαωίω ο και Κ ο ο ο. Ποκίο ο ήα ΟΚ καά ήα ιαώιο Α ο Θ. α αοί όι:. Η ΒΖ ι η α) Τα ήαα Ο και ΒΖ ιχοοούαι. (Μοά 8) β). (Μοά 9) ) Τα ίωα και ίαι ία. (Μοά 8)
Έω ιοκ ίωο. Ποκίο ο Β (ο ο ) καά ήα. Φο ι ιαο ΑΕ και Ζ ο ιώο οαι ο Θ. Το ΒΘ οκιόο, ι ο Α ο Κ και ο Α ο Η. α αοί όι: α) Το ΖΚΕ ίαι ααηόαο. (Μοά 9) β). (Μοά 9) ) ΑΗ=2ΖΘ. (Μοά 7) ο
Έω κύκο κο Ο και ιάο ΑΒ. Φο χοή η. Αό ο φο ο ήα Ε κάθο η. α αοί όι: // Κ ο ο α) Το άο ΚΟΕ ίαι ααηόαο. (Μοά 8) β) ). (Μοά 12) 2. (Μοά 5)
Έω οθοώιο ίωο 90 και, Ε και α α ω ΑΒ, Α και Ε αίοιχα. Σο ήα Β θωού ηία Κ και ώ. α αοί όι: α) 2 και και 2. (Μοά 10) β) Το άο ΕΚ ίαι ααηόαο 2. ) (Μοά 8) (Μοά 7) 4
Έω ίωο ( ), Α ο ύο ο και Μ ο ο ο ΑΒ. Η οκαη η Μ ι η οκαη η Α ο ηίο Ε ώ α αοί όι:. α). (Μοά 8) β) 2. (Μοά 10) ) Ε<Α. (Μοά 7)
Έω ίωο, Α η ιχοόο η ωία Α και Μ ο ο η ΑΒ. Η κάθη αό ο Μ η Α ι ο Α ο Ε. Η αάηη αό ο Β ο Α ι η οκαη η Α ο Κ και η οκαη η ΕΜ ο α αοί όι: α) Τα ίωα ΑΕΜ, ΜΒ και ΑΒΚ ίαι ιοκή. (Μοά 15) β) Το άο ΑΒΕ ίαι ααηόαο. (Μοά 10)
Έω οθοώιο ίωο ΑΒ ( 90 ). Μ ιάο η ά ο Α φο κύκο ο ι η οίοα Β ο. Αο ο φο φαόο ήα ο οοίο ι η ΑΒ ο Μ. α αοί όι: α) (Μοά 9) β) Το ίωο ίαι ιοκ. (Μοά 9) ) Το Μ ίαι ο ο ο ΑΒ. (Μοά 7)
Έω ιοκ ίωο ( ) και Α ιάο. Σο ήα Α θωού χαίο ηίο Κ αό ο οοίο φο α ήαα ΚΖ και ΚΕ κάθα ι ΑΒ και Α αίοιχα. α) α αοί όι: i.. (Μοά 6) ii. Το ίωο ίαι ιοκ. (Μοά 6) iii. Το άο ΖΕΒ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 7) β) Έα αθηή ο (αi.) ώηα ω η ή αάηη: «Το μήμα Α ίαι ιάμσος ση βάση ισοσος άρα ος αι ιχοόμος ου ριώου ίαι ισοσς. αι μσοάθος ου. Οό αι ο ρίωο Τα ρίωα, χου 1. 2. ιή ΑΚ ιχοόμος ης 3. ως ιαφορς ίσω ωιώ ισοσώ ριώω. Άρα α ρίωα ίαι ίσα βάση ου ριηρίου ωία Πυρά ωία.» Ο καθηηή ί όι η αάηή ο ίαι ιή. α ηώ η αάηη ο αθηή ώ α ικαοοιί ο κιήιο ωία Πά- ωία ιαηώα ι ΒΚ και Κ. (Μοά 6)
ίαι ίωο ΑΒ ΑΒ < Α και ο ύο ο ΑΗ. Α, Ε και Ζ ίαι α α ω ΑΒ,Α και Β αίοιχα, α αοί όι : α) ο άο ΕΖΗ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 8) β) οι ωί ΗΖ και ΗΕΖ ίαι ί. (Μοά 8) ) οι ωί ΕΖ και ΕΗΖ ίαι ί. (Μοά 9)
ίοαι α οθοώια ίωα ΑΒ ( = 90 o ) και Β ( 90 ) (όο Α και καωθ η Β) και ο ο Μ η Β. α αοί όι: α) ο ίωο ΑΜ ίαι ιοκ. (Μοά 9) β) 2 (Μοά 9) ) (Μοά 7)
ίαι ίωο ΑΒ ΑΒ<Α και η ιχοόο ο Α. Ση ά Α θωού ηίο Ε οιο ώ ΑΕ = ΑΒ. α αοί όι : α) α ίωα ΑΒ και ΑΕ ίαι ία. (Μοά 7) β) η θία Α ίαι οκάθο ο ήαο ΒΕ. (Μοά 9) ) α ο ύο αό η κοφή Β ο ιώο ΑΒ ι η Α ο Η ό η θία ΕΗ ίαι κάθη η ΑΒ. (Μοά 9)
Έω ιοκ ίωο ΑΒ (ΑΒ = Α) και Μ ο ο η Β. Φο Β =ΑΒ ( Α, καωθ η Β ). Nα αοί όι: α) ΑΜ // (Μοά 6) β) η Α ίαι ιχοόο η ωία ˆ. (Μοά 7) ) ˆ ˆ 45 (Μοά 7) 2 ) Α < 2 ΑΒ (Μοά 5)
ίαι οώιο ίωο ΑΒ ΑΒ<Α. Αό ο Β φο κάθη η ιχοόο ΑΜ η ωία Α, η οοία ι η ΑΜ ο Η και η Α ο. Ση οκαη η ΑΗ θωού ηίο Ζ οιο ώ ΑΗ = ΗΖ και ω Θ ο ο η ά Β. α αοί όι: α) ο άο ΑΒΖ ίαι όβο. (Μοά 9) β) ο άο ΗΒΖΘ ίαι αιο. (Μοά 9) ) η ιάο ο αίο ΗΒΖΘ ίαι ίη. (Μοά 7) 4
Σο αακάω χήα φαίοαι οι θι ο χάη χωιώ Α, Β,, και Ε και οι όοι ο α ο. Το χωιό Ε ιαχι αό α χωιά Β, και ίη αό α χωιά Α και. α) α αοί όι: i. η αόαη ω χωιώ Α και Β ίαι ίη η αόαη ω χωιώ και. (Μοά 5) ii. α οι όοι ΑΒ και χο αόηα α οκαθού, α αοί όι αοκίαι α αηθού. (Μοά 5) iii. α χωιά Β και ιαχο αό ο όο Α. (Μοά 8) β) α οιοί ωικά ο ηίο ο όο Α ο ιαχι αό α χωιά Α και. (Μοά 7)
ίαι ααηόαο ΑΒ ΑΒ > Α και οι ιχοόοι ω ωιώ ο ΑΡ, ΒΕ, Σ και Τ (όο Ρ, Ε η και Σ, Τ η ΑΒ) οαι α ηία Κ,, M και N όω φαίαι ο αακάω χήα. α αοί όι: α) ο άο ΕΒΤ ίαι ααηόαο. (Μοά 7) β) ο άο ΚΜ ίαι οθοώιο. (Μοά 8) ) // ΑΒ (Μοά 5) ) = ΑΒ Α (Μοά 5)
ίαι ίωο ΑΒ ΑΒ < Α, αο κύκο κο Ο. Θωού ο ο Μ ο κοώιο όο Β και ο ύο Α ο ιώο ΑΒ. α αοί όι: α) ΑΜ ίαι ιχοόο η ωία ΑΟ. (Μοά 8) β) (Μοά 9) ) (Μοά 8)
Έω ΑΒ οθοώιο ΑΒ>Β οιο ώ οι ιαώιοί ο α χηαίο ωία 60. Αό ο φο Μ κάθη η Α. α) α αοί όι: i. ο ηίο Μ ίαι ο ο ΑΟ όο Ο ο κο ο οθοωίο. (Μοά 8) ii. ΑΜ= 1 Α (Μοά 7) 4 β) Α αό ο φο κάθη η Β, α αοί όι ο Μ ίαι ιοκ αιο. (Μοά 10)
Σ οθοώιο ίωο ΑΒ ( 90 ) φο η ιχοόο ο Α. Eω Κ και Ρ οι οβο ο ι ΑΒ και Α αίοιχα. Η κάθη η Β ο ηίο ι η ά Α ο Ε και η οκαη η ά ΑΒ (ο ο Β) ο ηίο Ζ. α) α αοί όι: i. (Μοά 8) ii. Ε=Β (Μοά 8) β) α οοί η ωία Ζ (Μοά 9)
Σ οθοώιο ίωο ΑΒ ( 90 0 ) χο όι 0 30. Φο ο ύο ΑΗ και η ιάο ΑΜ ο ιώο ΑΒ. Αό η κοφή Β φο κάθη η ιάο ΑΜ, η οοία η ι ο ηίο Ε όω φαίαι ο αακάω χήα. α αοί όι: α) Ε, (Μοά 7) 2 β) ΑΗ=ΒΕ, (Μοά 7) ) ο άο ΑΗΕΒ ίαι άιο, (Μοά 6) ) ΕΗ//ΑΒ. (Μοά 5)
ίαι οώιο ίωο ΑΒ αο κύκο (Ο,R). Έω ηίο ο όο ΑΒ οιο ώ Β Β. α) α αοί όι Α Α. (Μοά 8) β) Έω Η ο οθόκο ο ιώο ΑΒ. α αοί όι ο άο ΑΒΗ ίαι ααηόαο. (Μοά 9) ) Α Μ ο ο η Β, α αοί όι ΟΜ=. (Μοά 8) 2
ίαι ίωο ΑΒ και η ιάό ο Α. Έω Ε, Ζ και Η ίαι α α ω Β, Α και Α αίοιχα. α) α αοί όι ο άο ΕΖΗ ίαι ααηόαο. (Μοά 10) β) α βί η χη ω ώ ΑΒ και Β ο ιώο ΑΒ, ώ ο ααηόαο ΕΖΗ α ίαι όβο. (Μοά 10) ) Ση ίωη ο ο ίωο ΑΒ ίαι οθοώιο (η ωία Β οθή), α βί ο ίο ο ααηοάο ΕΖΗ. (Μοά 5)