α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M"

Ξενία Αλεβιζόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Απαντήσεις Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο τρίγωνο AB Γ είναι MN = //. Οµοίως στο τρίγωνο Β Γ είναι EZ = // οπότε EZ = // ΜΝ δηλαδή το MNZE είναι παραλληλόγραµµο. α. Έστω K, Λ, M, N τα µέσα των διαγωνίων και των δύο απέναντι πλευρών. Στο τρίγωνο Οµοίως στο τρίγωνο οπότε είναι MK = // ΛΝ δηλαδή το Λ AB Γ είναι MK = // Λ N = // MKN είναι παραλληλόγραµµο. AB α.4 Στο τρίγωνο AB Γ είναι M // AB (1) και Μ = () M Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M () και ZE = (4) α) από τις (1), () έχουµε ότι EZ // AB β) από τις (), (4) έχουµε ότι AB = 4ZE α.5 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // Στο τρίγωνο ABZ από το µέσο έχουµε παράλληλη την Κ προς τη BZ, οπότε K µέσο της AZ α.6 Έστω Z το µέσο της AB και H το σηµείο τοµής των Ε και B Γ. Στο τρίγωνο AB Γ είναι Z Ε //. Στο τρίγωνο EZ από το µέσο B έχουµε παράλληλη την BH προς τη EZ, οπότε H µέσο της E

2 5 Απαντήσεις α.7 Είναι AE = // ZΓ άρα το AE ΓΖ είναι παραλληλόγραµµο. Στο τρίγωνο ABH από το µέσο E έχουµε παράλληλη την E Θ προς τη AH, οπότε Θ µέσο της BH ή B Θ = ΘΗ Οµοίως στο τρίγωνο ΘΓ από το µέσο Z έχουµε παράλληλη την HZ προς τη ΘΓ, οπότε H µέσο της Θ ή H = ΘΗ. Άρα H = ΘΗ = BH α.8 Φέρνουµε MZ // BE. Στο τρίγωνο BE Γ από το µέσο M έχουµε παράλληλη την MZ προς τη BE, οπότε Z µέσο της E Γ ή ΓΖ = ΖΕ. Στο τρίγωνο AMZ από το µέσο έχουµε παράλληλη την Ε προς τη MZ, οπότε E µέσο της AZ ή AE = ΖΕ. Άρα ΓΕ = ΑΕ α.9 Το τρίγωνο ABZ είναι ισοσκελές διότι η AE είναι ύψος και διχοτόµος. Άρα το E θα είναι µέσο της BZ. α) Στο BZ Γ είναι EM // ΓZ (ενώνει τα µέσα) άρα και EM // β) Είναι EM = ΓΖ = ΑΖ = ΑΓ ΑΒ διότι AB = AZ γ) Αφού EM // θα είναι A EM = A Γ = ως εντός εκτός κι επί τα αυτά. α.10 Φέρνουµε τη διαγώνιο Β. Στο τρίγωνο ΓΒ έχουµε ΖΕ // Β, άρα και ZH // Ο. Στο τρίγωνο OΓ από το µέσο Z έχουµε παράλληλη την ZH προς τη Ο, οπότε H µέσο της O Γ. ηλαδή ΓΟ ΓΗ = = α.11 Είναι Ζ = Γ = AB = AE = AE Επίσης είναι και Ζ // ΑΕ οπότε στο τρίγωνο ΜΑΕ το τµήµα EZ θα ενώνει τα µέσα των πλευρών. (Βλέπε και µεθοδολογία του αντίστοιχου µαθήµατος) α.1 Προεκτείνουµε την B η οποία τέµνει την A Γ στο σηµείο E. Το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές διότι η A είναι ύψος και διχοτόµος. Άρα το θα είναι µέσο της BE. α) Στο ΒΕΓ αφού, M µέσα των πλευρών οπότε Μ // ΕΓ άρα και Μ // ΑΓ β) Είναι M = ΓE = + ΑE = ΑΓ + ΑΒ διότι AB = AE γ) Στο τρίγωνο ABE από το µέσο έχουµε παράλληλη την Z προς την AE, οπότε Z µέσο της AB. Εποµένως η Μ διχοτοµεί την AB.

3 Απαντήσεις 5 β Βαρύκεντρο και ορθόκεντρο τριγώνου β.1 α) Είναι BE = // Γ άρα το BE Γ θα είναι παραλληλόγραµµο, άρα B Γ, Ε διχοτοµούνται οπότε το Z θα είναι µέσο της. β) Στο τρίγωνο Β Γ είναι Ζ, ΓΟ διάµεσοι, οπότε το σηµείο H θα είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου, άρα ΓΗ = ΟΗ 1 4 γ) Είναι AH = AO + OH = ΓΟ + ΟΗ = ΓΗ + ΓH = ΓΗ = ΓΗ β. Στο τρίγωνο ΒΕΓ είναι BA, EK ύψη οπότε το σηµείο Ρ θα είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου. Εποµένως και το ύψος από την κορυφή Γ θα διέρχεται από το Ρ δηλαδή ΓΡ ΒΕ β. Έστω Κ, Ρ τα σηµεία τοµής των AM και AN αντίστοιχα µε την διαγώνιο Β. Στο τρίγωνο A Γ είναι O, AM διάµεσοι, οπότε το σηµείο K θα είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου. Οµοίως και στο τρίγωνο Α το Ρ θα είναι βαρύκεντρο. Από τις ιδιότητες του βαρύκεντρου έχουµε: O BO Κ = και ΒΡ =, όµως Ο = ΒΟ, άρα Κ = ΒΡ. Κ BΡ Κ BΡ Κ Τέλος KO = και PO = οπότε K Ρ = KO + OP = + = = Κ ηλαδή Κ = ΚΡ = ΡΒ β.4 Έστω, E, Ζ τα µέσα των πλευρών AB, A Γ και αντίστοιχα. Φέρνουµε τις διαµέσους AZ, BE και Γ οι οποίες τέµνονται στο βαρύκεντρο Θ. Η διάµεσος AZ τέµνει την πλευρά Ε του τριγώνου ΕΖ στο σηµείο K. Το AEZ είναι παραλληλόγραµµο γιατί AE // Ζ και Α // ΕΖ οπότε οι διαγώνιοί του θα διχοτοµούνται. Εποµένως το K θα είναι το µέσο της Ε, δηλαδή η ZK θα είναι διάµεσος στο τρίγωνο ΕΖ. Οµοίως δείχνουµε ότι ΕΛ, Μ είναι διάµεσοι στο ΕΖ άρα το Θ θα είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου.

4 54 Απαντήσεις β.5 Έστω Β = µ β, ΓΕ = µ γ και Θ βαρύκεντρο. Είναι ΒΘ = µ β και ΓΘ = µ γ άρα ΒΘ = ΓΘ Επίσης 1 Θ = µ β και Θ µ γ E = άρα Θ = EΘ Τέλος είναι B ΘE = Γ Θ ως κατακορυφήν, οπότε τα τρίγωνα ΒΘΕ και ΓΘ είναι ίσα (Π-Γ-Π). Άρα BE = Γ εποµένως και AB = β.6 α) Είναι Θ βαρύκεντρο στο τρίγωνο Α και Λ βαρύκεντρο στο τρίγωνο ΒΘΓ. 1 Εποµένως ΘΛ = Θ και Θ = A, άρα ΘΛ = A 9 BΘ β) Στο τρίγωνο ΒΘΓ είναι K = // (µέσα των πλευρών) BΘ Επίσης ΘΕ = (βαρύκεντρο) οπότε K = // ΕΘ, ΘΕΚ παραλληλόγραµµο. β.7 Φέρνουµε τη διάµεσο ΓΕ και τη ΖΗ ΓΚ Το K είναι βαρύκεντρο του Α άρα KE = ΓΚ Επίσης στο τρίγωνο Κ Γ είναι ΖΗ = // (µέσα των πλευρών) Οπότε ΚΕ = // ΖΗ δηλαδή ΚΕΗΖ παραλληλόγραµµο, άρα ΕΗ // ΚΖ β.8 Φέρνουµε τη BM η οποία ενώνει τα µέσα των πλευρών του τριγώνου ΕΓ οπότε ΒΜ // ΕΓ Έστω ΑΑ' ΕΓ. Τότε ΑΑ' ΒΜ, δηλαδή η AA ' είναι φορέας ύψους του τριγώνου ΑΒΜ. Επίσης φορείς υψών του ίδιου τριγώνου είναι οι MM' AB και Β ΑΓ. Άρα θα διέρχονται από το ίδιο σηµείο (ορθόκεντρο) του τριγώνου ΑΒΜ δηλαδή συντρέχουν.

5 Απαντήσεις 55 γ Ιδιότητες ορθογωνίου τριγώνου ΑΒ γ.1 Είναι Ε = = cm (ενώνει τα µέσα των πλευρών) Επίσης είναι Ε // ΑΒ, όµως AB οπότε και E. ΓE Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓ θα είναι Μ =. Όµως ΓΕ = ΒΕ = 5 cm, άρα Μ =,5 cm γ. Έστω M το µέσο της B Γ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο B Γ είναι Μ = ως διάµεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Οµοίως στο τρίγωνο BE Γ είναι ΕΜ =, άρα Μ = ΕΜ γ. Είναι Αφού είναι ΕΖ = (ενώνει τα µέσα των πλευρών) Β = 0 Οπότε EZ = θα είναι ΑΓ =. ΑΒ γ.4 α) Είναι M Λ = // οπότε ΜΛ = // ΑΚ, άρα το AK ΛΜ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο, αφού είναι παραλληλόγραµµο µε µία ορθή γωνία. β) Είναι KM = (ενώνει τα µέσα των πλευρών) και ΑΛ = (διάµεσος στην υποτείνουσα) εποµένως KM + ΑΛ = γ.5 Είναι Ε = // Ε = // ΑΓ ZE = // εποµένως το A ΓΕΖ είναι παραλληλόγραµµο. Επίσης αφού Β = 0 θα είναι ΑΓ = = ΓΕ άρα το παραλληλόγραµµο A ΓΕΖ αφού έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες θα είναι ρόµβος.

6 56 Απαντήσεις γ.6 Στο τρίγωνο AEB η Ε είναι ύψος και διάµεσος άρα το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές µε ΑΕ = ΕΒ Όµως EB =, άρα AE = οπότε η γωνία A θα είναι ορθή. γ.7 Αφού είναι Β = Γ και B διχοτόµος, άρα = Γ (1) Επίσης αφού B // ΜΕ θα είναι = MEΓ () Από (1), () έχουµε ότι Γ = MEΓ δηλαδή ME = MΓ. Όµως M Γ =. Άρα στο τρίγωνο ΑΕΓ είναι ΜΕ = οπότε A EΓ = γ.8 Αφού A // θα είναι B K A = B AK = 0 άρα το τρίγωνο ΑΒΚ θα είναι ισοσκελές και αφού η ΒΛ είναι διάµεσος, θα είναι διχοτόµος και ύψος. Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο AB Λ AB Γ αφού A = 0 θα είναι ΒΛ = = ΑΒ γ.9 α) Είναι Ε = διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου Α Β και Ζ = διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου Α Γ οπότε τα τρίγωνα ΑΖΕ και ΖΕ είναι ίσα ( Ε = ΑΕ, Ζ = ΑΖ και ΕΖ κοινή) άρα E Z A = 90 EZ β) Είναι M = διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου EZ, αλλά ΕΖ = γιατί ενώνει τα µέσα των πλευρών, άρα M = 4 = γ.10 Είναι E ZΓ = E Z + E Z ( ZΓ εξωτερική του τριγώνου) Άρα E Z Γ E Z = E Z (1) Ακόµη ZE // AB οπότε E Z Γ = B Επίσης αφού είναι Ε διάµεσος στο ορθογώνιο Α Γ E το τρίγωνο ΕΓ θα είναι ισοσκελές, οπότε E Z = Γ αρά από την (1) E Z = B Γ 90

7 Απαντήσεις 57 γ.11 Είναι M A = M AB A B (1) Επίσης ΑΜ = = MB αφού είναι διάµεσος στο ορθογώνιο τρίγωνο δηλαδή το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισοσκελές, άρα M A B = B () Τέλος Γ = A B () ως οξείες γωνίες µε κάθετες πλευρές. Άρα η (1) µε τις (), () γίνεται M A = B Γ γ.1 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗΒ η HE είναι διάµεσος στην AB υποτείνουσα οπότε HE = = EB, άρα H1 = B. Οµοίως στο ορθογώνιο τρίγωνο Θ είναι Θ = B1 και επειδή Θ = Θ1, έχουµε Θ 1 = B1. Έτσι είναι H 1+ Θ1 = B + B1 = 90 Άρα στο τρίγωνο ΘΣΗ θα είναι και Σ = 90, δηλαδή ΘΖ ΕΗ γ.1 Τα τρίγωνα ΒΖΜ και ΑΜ είναι ίσα ( AM = BΜ, και A M = BM Z ) άρα ΒΖ = Α. Επίσης B M A = 10 άρα B M Z = 60, οπότε = M B Z = 0 Ακόµη το τρίγωνο MZ είναι ισοσκελές µε M = ΜΖ και άρα M Z = 0 Z = (1) Ζ M = (). Από (1), () έχουµε M Z = MB Z άρα ΒΖ = Ζ γ.14 Είναι Επίσης Άρα θα είναι A K = Γ+ Γ A A K + B+ B A = A K + B+ A K Γ = A K = A A K = Γ+ A A K + B+ =, οπότε αφού A = A K Γ 180 B Γ = 10, άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΑ είναι Α = ΑΚ

8 58 Απαντήσεις γ.15 Φέρνουµε την ΟΓ ΚΒ, τότε στο ορθογώνιο ΑΟ είναι = ΟΑ = ρ και εποµένως K Γ = ΚΒ = ρ ρ = ρ Στο ορθογώνιο τρίγωνο OK Γ είναι ΚΓ = ρ και OK = 4ρ δηλαδή OK ΚΓ =. Άρα Γ O K = B 0 και B K O = 60 Όµως οι γωνίες A O K και K O είναι παραπληρωµατικές, ως εντός κι επί τα αυτά παραλλήλων, άρα A OK = 10 γ.16 Εφόσον MN // KB αρκεί να αποδείξουµε ότι ΑΛ ΚΒ και έστω O το σηµείο τοµής των ΑΛ και KB. Από την ισότητα των τριγώνων AKB και A Λ προκύπτει ότι A Λ = AKB οπότε στο τρίγωνο AKO έχουµε K A O + A K O = K A O + A Λ = 180 = 90 και εποµένως A OK = 90, δηλαδή ΑΛ ΚΒ γ.17 Αν είναι M το µέσο της EZ θα δείξουµε ότι το M ισαπέχει από τα Β, οπότε θα ανήκει στη µεσοκάθετο της Β που είναι η ΑΓ. Πράγµατι το τρίγωνο ΒΖΕ είναι ορθογώνιο στη B και η BM είναι διάµεσος προς την υποτείνουσα, EZ άρα BM = (1). Το τρίγωνο ΕΖ είναι ορθογώνιο ( E Z = 90 ) και η Μ διάµεσος προς την υποτείνουσα EZ, άρα θα EZ είναι και Μ = (). Από τις (1) και () ισχύει ΜΒ = Μ Εργασία 1 Λ Σ Σ 4 Σ 5 Σ 6 Β 7 Α 8 Β γ, β, δ 11 Στο ισόπλευρο τρίγωνο.

9 Απαντήσεις 59 1 Είναι ΜΑ = = ΜΒ = ΜΓ οπότε ο κύκλος ( Μ, ΜΒ) διέρχεται από τα Α και Γ 1 Έστω M µέσο της AB, τότε στο τρίγωνο ΑΒ το E είναι µέσο της Α οπότε είναι Ζ, M µέσα των B Γ Β ΜΕ = //. Στο τρίγωνο Α ΑΓ, ΒΑ, άρα ZM = // < ME + MZ = + Β Β Στο τρίγωνο MEZ όµως ισχύει EZ < + = 14 Όταν είναι Οµοίως όταν E Γ και Α τότε το M είναι µέσο της ΑΓ E A και B τότε το M είναι µέσο της Α B Φέρνουµε την EZ // AB, τότε είναι Z1 = B = Γ, άρα το τρίγωνο EZ Γ είναι ισοσκελές, οπότε το A ΖΕ είναι παραλληλόγραµµο γιατί ΕΖ = // Α. Εποµένως το µέσο M της Ε θα είναι και µέσο της AZ. Ο γεωµετρικός τόπος του µέσου M της AZ όταν το Z κινείται στη B Γ είναι η σταθερή ευθεία K Λ Αντίστροφα, αν M τυχαίο σηµείο της ΛΚ, η AM τέµνει τη στο Z. Οι παράλληλες ZE και Z προς τις AB και A Γ αντίστοιχα, σχηµατίζουν παραλληλόγραµµο Α ΖΕ, δηλαδή Α = ΖΕ = ΕΓ. Επειδή AZ, Ε διαγώνιοί του, θα διχοτοµούνται, άρα η Ε διέρχεται από το µέσο Μ της AZ 15 α) Το A Ε Ζ είναι ορθογώνιο (έχει ορθές γωνίες) άρα θα έχει ίσες διαγωνίους. β) Έστω K η τοµή των AM, EZ Z 1+ A 1 = 90 Στο τρίγωνο KZA, αρκεί να αποδείξουµε ότι Είναι AM = = MΓ οπότε το ΜΑΓ ισοσκελές άρα A1 = Γ (1) Ακόµη τα τρίγωνα ZAE και ΑΕ είναι ίσα, άρα Z1 = 1. Αλλά B = 1 ως οξείες µε κάθετες πλευρές άρα Z1 = B (). Προσθέτουµε (1)+() A 1+ Z1 = Γ+ B = 90 γ) Έστω Λ η τοµή των ΑΜ, Ζ. Αρκεί να αποδείξουµε ότι ΒΛ // ΕΖ ή αρκεί ότι το ΒΛΖΕ είναι παραλληλόγραµµο. Επειδή όµως Z Λ // ΕΒ, αρκεί να αποδείξουµε ότι ΖΛ = ΕΒ, το οποίο ισχύει διότι τα τρίγωνα ΑΖΛ και ΕΒ είναι ίσα. B

Σχετικά έγγραφα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και