Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα : Βέλτιστος δέκτης για ψηφιακά διαμορφωμένα σήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Βασικά αξιώματα και ιδιότητες της πιθανότητας Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής cuulaive diibuio ucio CDF μίας τυχαίας μεταβλητής X ορίζεται ως F X x P X x Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας pobabiliy deiy ucio PDF μίας τυχαίας μεταβλητής X ορίζεται ως η παράγωγος της F X x, X x dfx x d x Για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, συνηθίζεται να ορίζουμε τη συνάρτηση πιθανότητας μάζας pobabiliy a ucio PMF, η οποία ορίζεται ως {p i } όπου p i = PX = x i..
Ιδιότητες της Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανομής x F X Η F X x είναι μη φθίνουσα F X x df X df x X x P x X x dx x xdx x li x F X x και li x F X x F X x FX x αν x x P x X x F x F X X x Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3
Ιδιότητες της Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας F X x x X για κάθε x F X df X x X x x P X x xdx x x P X x x dfx x d x X xdx x dx dp x x x x X x F x F X X x x x F X P X x x dx x X d x X x dfx x x dx X x x Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4 P x X dp x dp x X x dx X x x dx Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας dx
Η αναμενόμενη τιμή ή μαθηματική ελπίδα μιας τυχαίας μεταβλητής X ορίζεται ως E[ X ] X x x X dx Η E[X-E[X] ] καλείται διακύμανση vaiace της τυχαίας μεταβλητής X. Η διακύμανση είναι ένα μέτρο της διασποράς της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της X περί τη μέση τιμή. Η διακύμανση δηλώνεται ως σ X και η τετραγωνική της ρίζα, σ X ονομάζεται τυπική απόκλιση adad deviaio. Αν X και Y είναι δύο τυχαίες μεταβλητές τότε η E[X Y] ονομάζεται συσχέτιση coelaio των X και Y. Η E[X X Y Y ] καλείται συμμεταβολή covaiace των X και Y. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-5
Σημαντικές Τυχαίες Μεταβλητές Σεραφείμ Καραμπογιάς Ομοιόμορφη Τυχαία Μεταβλητή Η συνάρτηση κατανομής της ομοιόμορφης τυχαίας μεταβλητής είναι FX x a b x F X x ba, x, a ba, a x x b a x b Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ομοιόμορφης τυχαίας μεταβλητής είναι x X b a a b x X x, a x b ba, αλλιώς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-6
Η Gauia Τυχαία Μεταβλητή Η συνάρτηση κατανομής της Gauia τυχαίας μεταβλητής, σ είναι FX x, 84, 5 F X x x e d 59, σ σ x Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Gauia τυχαίας μεταβλητής είναι x X,67 x X x e σ σ x Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-7
Η συνάρτηση κατανομής της Gauia τυχαίας μεταβλητής για = και σ =,,, δηλώνεται με Φx και δίνεται από τη σχέση x x P X x e d Η συνάρτηση Q του Macu ορίζεται ως Q y PX y e dx X x e x Q y Σεραφείμ Καραμπογιάς y x y x Παρατηρούμε ότι Qx = Φx και για μία Gauia μεταβλητή με μέση τιμή και διακύμανση σ, σ ισχύει P X x Q x Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-8
Διάφορες παρουσιάσεις της συνάρτησης Q δίνονται σε μορφή εύχρηστων πινάκων ή διαγραμμάτων. y Qy Q y Qy y, 5,e-,4 8,975e-3 4,8 7,933e-7, 4,67e-,5 6,96e-3 4,9 4,798e-7, 4,74e-,6 4,66e-3 5,,8665e-7,3 3,88e-,7 3,4669e-3 5,,698e-7,4 3,4458e-,8,555e-3 5, 9,9644e-8,5 3,853e-,9,8658e-3 5,3 5,79e-8,6,745e- 3,,3498e-3 5,4 3,33e-8,7,496e- 3, 9,676e-4 5,5,8989e-8,8,85e- 3, 6,873e-4 5,6,77e-8,9,846e- 3,3 4,834e-4 5,7 5,993e-9,,5865e- 3,4 3,369e-4 5,8 3,357e-9,,3566e- 3,5,36e-4 5,9,875e-9,,56e- 3,6,59e-4 6, 9,8658e-,3 9,68e- 3,7,779e-4 6, 5,334e-,4 8,756e- 3,8 7,348e-5 6,,83e-,5 6,687e- 3,9 4,896e-5 6,3,488e-,6 5,4799e- 4, 3,67e-5 6,4 7,7688e-,7 4,4565e- 4,,657e-5 6,5 4,6e-,8 3,593e- 4,,3345e-5 6,6,557e-,9,876e- 4,3 8,5398e-6 6,7,4e-,,75e 4,4 5,45e-6 6,8 5,39e-,,7864e- 4,5 3,3976e-6 6,9,6e-,,393e- 4,6,4e-6 7,,798e-,3,74e- 4,7,38e-6 y Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-9
Βέλτιστος Δέκτης για Ψηφιακά Διαμορφωμένα Σήματα παρουσία Προσθετικού Λευκού Gauia Θορύβου Εκπεμπόμενο σήμα Κανάλι Λαμβανόμενο σήμα Θόρυβος Μοντέλο για τη λήψη σήματος μέσα από AWG κανάλι. Το λαμβανόμενο σήμα στο διάστημα μπορεί να εκφραστεί ως, Ο Δέκτης βασίζεται στην παρατήρηση του και αποφασίζει ποια από τις Μ δυνατές κυματομορφές μεταδόθηκε. Ο Δέκτης επιθυμούμε να είναι βέλτιστος υπό την έννοια ότι ελαχιστοποιεί την πιθανότητα σφάλματος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-
Ο Δέκτης αποτελείται από δύο τμήματα τον Αποδιαμορφωτή σήματος και τον Φωρατή. Ο Αποδιαμορφωτής σήματος μετατρέπει την λαμβανόμενη κυματομορφή σε ένα Ν- διάστατο διάνυσμα =,,...,. Ο φωρατής βασιζόμενος στην παρατήρηση του διανύσματος αποφασίζει ποια από τις Μ δυνατές κυματομορφές μεταδόθηκε. Η υλοποίηση του αποδιαμορφωτή σήματος βασίζεται α στην χρήση συσχετιστών β στη χρήση προσαρμοστικών φίλτρων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-
Αποδιαμορφωτής Συσχέτισης Ο αποδιαμορφωτής συσχέτισης αναλύει το σήμα και το θόρυβο σε μια σειρά γραμμικά σταθμισμένων ορθοκανονικών συναρτήσεων βάσης {ψ }. Οι Ν συναρτήσεις βάσης {ψ } καλύπτουν το χώρο σημάτων. Αντίθετα δεν καλύπτουν το χώρο θορύβου. Λαμβανόμενο σήμα d d d Αποδιαμορφωτής συσχέτισης Προς φωρατή Δειγματοληψία = Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-
Κάθε συσχετιστής, από την συστοιχία των Ν συσχετιστών, υπολογίζει την προβολή του στις Ν συναρτήσεις βάσης {ψ }. d d d d d ή με τη μορφή διανυσμάτων Η τελευταία σχέση ισχύει για =,,,, δηλαδή, d Σεραφείμ Καραμπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3 Όπου το σήμα αναπαρίσταται από το διάνυσμα με συνιστώσες, =,,,. Οι τιμές των συνιστωσών αυτών εξαρτώνται από το ποιο σήμα, από τα M δυνατά σήματα μεταδόθηκε. Οι συνιστώσες του, δηλαδή, { }, είναι τυχαίες μεταβλητές που προκύπτουν από την παρουσία προσθετικού θορύβου.
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4 Το λαμβανόμενο σήμα μπορεί να εκφραστεί στο χρονικό διάστημα ως Είναι μία Gauia τυχαία διαδικασία θορύβου μηδενικής μέσης τιμής, που αντιπροσωπεύει τη διαφορά της αρχικής διαδικασίας θορύβου και της προβολής της στις συναρτήσεις βάσεις {ψ }. Ο όρος, ο οποίος ορίζεται ως o όπως θα δούμε δεν επηρεάζει την απόφαση για το ποιο σήμα μεταδόθηκε έτσι η απόφαση βασίζεται εξ ολοκλήρου στις συνιστώσες σήματος και θορύβου των συσχετιστών = h +, =,,,.
Επειδή τα σήματα { } είναι νομοτελειακά, οι συνιστώσες του διανύσματος είναι επίσης νομοτελειακές. Οι συνιστώσες θορύβου { } είναι Gauia τυχαίες μεταβλητές με μέσες τιμές για όλα τα. E[ ] E[ ] d Οι συμμεταβολές των συνιστωσών θορύβου είναι Τελικά E[ ] E[ ] d d d E[ ] d d Οι Ν συνιστώσες θορύβου { } είναι ασυσχέτιστες Gauia τυχαίες μεταβλητές μηδενικής μέσης τιμής με την ίδια διακύμανση σ = /. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-5
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Gauia τυχαίας μεταβλητής με μέση τιμή και διακύμανση σ είναι x X x e Οι Ν προβολές του σήματος λήψης, στις συναρτήσεις βάσης, δηλαδή, το -διάστατο διάνυσμα λήψης = [,,, ], η διανυσματική αναπαράσταση του μεταδιδόμενου σήματος = [,,, ] και οι Ν προβολές του θορύβου λήψης, στις συναρτήσεις βάσης = [,, ] συνδέονται με τη ή με τη μορφή διανυσμάτων Οι Ν συνιστώσες θορύβου { } είναι ασυσχέτιστες Gauia τυχαίες μεταβλητές μηδενικής μέσης τιμής με την ίδια διακύμανση σ = /, επομένως η συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής = [,,, ],, είναι i i / e i i Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-6
Αν μεταδόθηκε το -στο σήμα, οι έξοδοι των συσχετιστών { } = { } +{ } είναι Gauia τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή E[ ] E[ ] E[ ] E[ ] E[ ] και με την ίδια διακύμανση επομένως οι υποσυνθήκη συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών,,, είναι e,,,, M,,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-7
Επειδή οι Ν συνιστώσες θορύβου { } είναι ασυσχέτιστες Gauia τυχαίες μεταβλητές και στατιστικά ανεξάρτητες και οι Ν συνιστώσες του διανύσματος λήψης { } θα είναι στατιστικά ανεξάρτητες. Επομένως η συνδυασμένη υποσυνθήκη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του διανύσματος λήψης είναι M,,,, όπου M e,,,,,,, M,,,, exp exp επομένως Σεραφείμ Καραμπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-8
Για την τυχαία διαδικασία και τις εξόδους των συσχετιστών { } παρατηρούμε E E E E E j j j E j j j E E j d E j j d είναι ασυσχέτιστες. Επειδή η τυχαία διαδικασία και οι τυχαίες μεταβλητές { } είναι Gauia τυχαίες μεταβλητές είναι και στατιστικά ανεξάρτητες. Συνεπώς η τυχαία διαδικασία δεν περιέχει πληροφορία που να είναι σχετική με την απόφαση για το ποια κυματομορφή σήματος μεταδόθηκε. Με άλλα λόγια όλη η σχετική πληροφορία περιέχεται στις εξόδους { } των συσχετιστών. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-9
Παράδειγμα Δίνεται ένα 4-αδικό PAM σύστημα, όπου ο βασικός παλμός είναι g. Ο προσθετικός θόρυβος είναι λευκός Gauia μηδενικής μέσης τιμής. g A Ο παλμός σήματος οι 4-δικές κυματομορφές σήματος PAM είναι A g,,,3,4 3A A 3 A 4 M= 4 κυματομορφές σήματος PAM. 3A Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-
A d A d g g E Η ενέργεια του ορθογώνιου παλμού g είναι αλλιώς,, g A Η συνάρτηση βάσης ψ είναι Η έξοδος του αποδιαμορφωτή συσχέτισης είναι d d d d d Υποθέτοντας ότι μεταδόθηκε η, αντικαθιστώντας το = + έχουμε Σεραφείμ Καραμπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-
ο όρος θορύβου έχει μέση τιμή Ε[] = και διακύμανση E E d d d d d d d Η υποσυνθήκη συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητα της δειγματοληπτημένης εξόδου είναι 4 e 3 3 E b E b E b 3 E b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-
Ένα φίλτρο του οποίου η κρουστική απόκριση είναι h =, όπου το σήμα είναι περιορισμένο στο διάστημα, καλείται προσαρμοσμένο φίλτρο στο σήμα. h A A A Σήμα Το σήμα Κρουστική απόκριση φίλτρου προσαρμοσμένου στο y d y Η απόκριση του προσαρμοσμένου φίλτρου στο σήμα είναι η συνάρτηση αυτόσυσχέτισης του σήματος Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης y είναι άρτια συνάρτηση ως προς, η οποία μεγιστοποιείται για =. Αποδεικνύεται ότι y E 3 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3 A
Οι δειγματοληπτημένες, τη χρονική στιγμή =, έξοδοι των προσαρμοσμένων φίλτρων είναι ίδιες με τις τιμές { } που λαμβάνονται από τους Ν συσχετιστές του αποδιαμορφωτή συσχέτισης, πράγματι, y y Η έξοδος του -στου προσαρμοσμένου φίλτρου είναι y h d d και η δειγματοληπτημένη τιμή της τη χρονική στιγμή = είναι y d,,,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4
Αποδιαμορφωτής Προσαρμοσμένων Φίλτρων Αντί της συστοιχίας των Ν συσχετιστών χρησιμοποιούμε συστοιχία από Ν κατάλληλα γραμμικά φίλτρα d d d Δειγματοληψία = Αποδιαμορφωτής συσχέτισης Λαμβανόμενο σήμα Αποδιαμορφωτής πρασαρμοσμένων φίλτρων Δειγματοληψία = Προς φωρατή Οι κρουστικές αποκρίσεις των Ν φίλτρων επιλέγονται ως h, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-5
Ιδιότητες των Προσαρμοσμένων Φίλτρων Εάν ένα σήμα διαβρώνεται από AWG, το φίλτρο με κρουστική απόκριση προσαρμοσμένη στο σήμα μεγιστοποιεί το SR εξόδου τη χρονική στιγμή =. d h d h d h y συνιστώσα σήματος συνιστώσα θορύβου Σεραφείμ Καραμπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-6 y y d h d h y Τη χρονική στιγμή δειγματολήπτησης =, έχουμε Ο λόγος SR εξόδου ορίζεται ως y E y S ou
ενέργεια της κρουστικής απόκρισης h φασματική πυκνότητα ισχύος του θορύβου Η διακύμανση του θορύβου στην έξοδο του φίλτρου ο παρονομαστής του λόγου είναι d d h h E y E d d h h d h Σεραφείμ Καραμπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-7 Έτσι ο λόγος SR εξόδου γράφεται ως y E y S ou d h d h d h d h Η συνιστώσα του σήματος τη χρονική στιγμή δειγματολήπτησης =, είναι d h y
Η ανισότητα Cauchy-Schwaz για δύο σήματα g και g, πεπερασμένης ενέργειας, είναι g g d g d g d όπου η ισότητα ισχύει όταν g = C g για οποιαδήποτε αυθαίρετη σταθερά C. S ou h d h d d h d h d Παρατηρούμε ότι ο λόγος ou είναι προσαρμοσμένο στο σήμα. S μεγιστοποιείται όταν h = C, δηλαδή, όταν το h Το μέγιστο SR εξόδου που επιτυγχάνεται με το προσαρμοσμένο φίλτρο είναι S ou E d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-8
Το μέγιστο SR εξόδου που επιτυγχάνεται με το προσαρμοσμένο φίλτρο είναι λοιπόν S ou E Παρατηρούμε ότι το SR εξόδου εξαρτάται από την ενέργεια της κυματομορφής και όχι από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-9
Μελέτη του Προσαρμοσμένου Φίλτρου στο Πεδίο Συχνότητας j j j h j e d e d e d e h H Η απόκριση συχνότητας του προσαρμοσμένου φίλτρου είναι j e S H * Τελικά Σεραφείμ Καραμπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3 Το προσαρμοσμένο φίλτρο έχει απόκριση συχνοτήτων φασματική απόκριση που είναι ίση με το συζυγές μιγαδικό του φάσματος του μεταδιδόμενου σήματος πολλαπλασιασμένο επί τον παράγοντα φάσης e -jπ, ο οποίος αντιπροσωπεύει την καθυστέρηση δειγματολήπτησης κατά.
S H Y Το φάσμα της εξόδου του προσαρμοσμένου φίλτρου είναι Y S H H * j S e S * j S e S j e και η έξοδος του προσαρμοσμένου φίλτρου είναι y F H Y S e e j d e j j d Δειγματοληπτώντας την έξοδο του προσαρμοσμένου φίλτρου τη χρονική στιγμή =, παίρνουμε y S d Paeval d y E Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3
Η φασματική πυκνότητα ισχύος του θορύβου στην έξοδο του προσαρμοσμένου φίλτρου είναι S ou H S και η συνολική ισχύς του θορύβου είναι i H P S ou H d H d d H * j S e Paeval E S d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3
Η ισχύς του σήματος στην έξοδο του προσαρμοσμένου φίλτρου είναι y P E τελικά η συνολική ισχύς του θορύβου είναι P E Σεραφείμ Καραμπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-33 P P Ο λόγος SR στην έξοδο του προσαρμοσμένου φίλτρου είναι ou S E E E
Παράδειγμα Για την μετάδοση πληροφορίας μέσα από ένα AWG χρησιμοποιούνται τα Μ = 4 διορθογώνια σήματα A A A A Επιλέγουμε τις συναρτήσεις βάσεις,, αλλιώς,, αλλιώς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-34
Η συναρτήσεις βάσης είναι,, αλλιώς,, αλλιώς Οι κυματομορφές των δύο προσαρμοσμένων φίλτρων είναι h,, αλλιώς h,, αλλιώς h h Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-35
Λαμβανόμενο σήμα Προς φωρατή Αν μεταδοθεί το, είναι y A Οι κυματομορφές δειγματοληπτούνται τη χρονική στιγμή =, και έχουμε A και y y Το διάνυσμα που σχηματίζεται από τις εξόδους των προσαρμοσμένων φίλτρων τη χρονική στιγμή δειγματολήπτησης παρουσία θορύβου είναι οι αποκρίσεις των δύο προσαρμοσμένων φίλτρων απουσία θορύβου, 3 y A A, E, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-36 E E,
Το διάνυσμα που σχηματίζεται από τις εξόδους των προσαρμοσμένων φίλτρων τη χρονική στιγμή δειγματολήπτησης παρουσία θορύβου είναι, A, E, όπου = y και = y είναι οι συνιστώσες θορύβου στις εξόδους των προσαρμοσμένων φίλτρων, y d και Η μέση τιμή των συνιστωσών θορύβου είναι y d E E y E d E d, και η διακύμανσή τους είναι E y E d d d d d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-37
Παρατηρούμε ότι ο λόγος S για το πρώτο προσαρμοσμένο φίλτρο h είναι ou S ou E E Ανάλογα προκύπτει ότι οι τέσσερις δυνατές έξοδοι των προσαρμοσμένων φίλτρων, οι οποίες αντιστοιχούν στα τέσσερα δυνατά μεταδιδόμενα σήματα είναι, E,, E, E,, E, E, E,, E,, E Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-38
Ο αστερισμός του Παραδείγματος είναι E,, E E,, E, E Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-39
Αν η διακύμανση του θορύβου είναι μεγαλύτερη τότε έχουμε E,, E E,, E, E Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4
Το λαμβανόμενο διάνυσμα είναι άθροισμα δύο διανυσμάτων, του, του διανύσματος αναπαράστασης του μεταδιδόμενου σήματος, και του, του διανύσματος θορύβου. Οι συνιστώσες θορύβου είναι ανεξάρτητες με την ίδια μέση τιμή και διακύμανση /. Η κατανομή του διανύσματος θορύβου στο διανυσματικό χώρο έχει σφαιρική συμμετρία. Το λαμβανόμενο διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα σφαιρικό νέφος με κέντρο το. Κέντρο, E E,, E E, Παράδειγμα αστερισμού σήματος και νέφος θορύβου Η πυκνότητα του νέφους είναι μεγαλύτερη στο κέντρο και ελαττώνεται καθώς απομακρυνόμαστε από αυτό και ακολουθεί την Gauia κατανομή. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση..
Σημείωμα Αναφοράς Copyigh Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες. Βέλτιστος δέκτης για ψηφιακά διαμορφωμένα σήματα». Έκδοση:.. Αθήνα 5. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://opecoue.uoa.g/coue/di4/.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Ceaive Coo Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] hp://ceaivecoo.og/licee/by-c-a/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.