Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Transcript

1 Συστήματα Αναμονής Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Αυτή η ενότητα πραγματεύεται το ζήτημα των τυχαίων μεταβλητών (τ.μ.). 4

5 Περιεχόμενα ενότητας (1/3) Εισαγωγή. Παράδειγμα πειράματος τύχης. Τι είναι τυχαία μεταβλητή. Συνάρτηση κατανομής. Ταυτοτικά κατανεμημένες ή ισόνομες τυχαίες μεταβλητές. Διακριτές τυχαίες μεταβλητές - κατανομές. 5

6 Περιεχόμενα ενότητας (2/3) Πυκνότητα πιθανότητας. Σύνδεση πυκνότητας πιθανότητας και συνάρτησης κατανομής. Διωνυμική κατανομή. Γεωμετρική κατανομή και κατανομή Poisson. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές - κατανομές. Ομοιόμορφη κατανομή και κανονική κατανομή. 6

7 Περιεχόμενα ενότητας (3/3) Αρνητική εκθετική κατανομή. Κατανομή γάμμα. Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών. 7

8 Εισαγωγή Πείραμα τύχης. Συχνά: Δε μας απασχολεί ο δειγματοχώρος. Μπορεί να είναι μη αριθμιτικό σύνολο. Μας απασχολεί ένα σύνολο η απεικόνιση των στοιχείων του δειγματοχώρου. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. 8

9 Παράδειγμα πειράματος τύχης (1/2) Αν ρίξουμε δύο νομίσματα: Ο δειγματοχώρος θα είναι: Έστω ότι μας ενδιαφέρει ο αριθμός των Κ που εμφανίζονται. Συμβολίσουμε αυτό τον αριθμό με X. Τότε: Αν έχουμε ΚΚ: X = 2. Αν έχουμε ΚΓ ή ΓΚ: X = 1. Αν έχουμε ΓΓ: X = 0. 9

10 Παράδειγμα πειράματος τύχης (2/2) Σε κάθε δειγματοσημείο: Αντιστοιχούμε έναν πραγματικό αριθμό. Συνάρτηση X: Πεδίο ορισμού. Δειγματοχώρος. Πεδίο τιμών. Το υποσύνολο {0,1,2} των πραγματικών αριθμών. 10

11 Τι είναι τυχαία μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ. Συνάρτηση με: Πεδίο ορισμού. Δειγματοχώρος Ω. Πεδίο τιμών. Υποσύνολο πραγματικών αριθμών. X : Ω -> R. 11

12 Συνάρτηση κατανομής Έστω μία τυχαία μεταβλιτή X. Ορίζουμε τη συνάρτηση κατανομής της μεταβλητής Χ ως εξής: 12

13 Ταυτοτικά κατανεμημένες ή ισόνομες τυχαίες μεταβλητές (1/2) Έστω δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ: Αν ισχύει FX = FΥ: Τότε οι μεταβλητές Χ και Υ αναφέρονται ως ταυτοτικά κατανεμημένες ή ισόνομες. 13

14 Ταυτοτικά κατανεμημένες ή ισόνομες τυχαίες μεταβλητές (2/2) Ιδιότητες: Αύξουσα. Συνεχής από δεξιά για όλα τα x R

15 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές - κατανομές Tυχαία μεταβλητή X. Ονομάζεται διακριτή όταν: Διαθέτει πεπερασμένο πλήθος τιμών. Ή αριθμήσιμο σύνολο τιμών. Κάθε τιμή του συνόλου τιμών έχει θετική πιθανότητα. 15

16 Πυκνότητα πιθανότητας Η πυκνότητα πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X δίδεται από τον τύπο: Επίσης, ισχύει ότι: 16

17 Σύνδεση πυκνότητας πιθανότητας και συνάρτησης κατανομής Η σύνδεση της πυκνότητας πιθανότητας και της συνάρτησης κατανομής μίας τυχαίας μεταβλητής Χ πραγματοποιείται σύμφωνα με τους παρακάτω τύπους: 17

18 Διωνυμική κατανομή Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή, με παραμέτρους n και p όταν ισχύει: 18

19 Γεωμετρική κατανομή και κατανομή Poisson Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή, με παράμετρο r όταν ισχύει: Αντίστοιχα, ακολουθεί την κατανομή Poisson όταν ισχύει: 19

20 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές - Tυχαία μεταβλητή X. κατανομές (1/2) Ονομάζεται συνεχείς όταν: Το πλήθος τιμών της είναι μη αριθμήσιμο σύνολο S και ισχύει: 20

21 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές - κατανομές (2/2) Συχνά υποθέτουμε ότι υπάρχει μία μη αρνητική πραγματική συνάρτηση f X (x) για τη οποία ισχύει: Επιπλέον έχουμε: Καθώς επίσης για όσα x η fx(x) είναι συνεχείς ισχύει: 21

22 Ομοιόμορφη κατανομή και κανονική κατανομή Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη ομοιόμορφη κατανομή, με παραμέτρους α και β όταν ισχύει: Αντίστοιχα, μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή, με παραμέτρους μ και σ όταν ισχύει: 22

23 Αρνητική εκθετική κατανομή Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την αρνητική εκθετική κατανομή, με παράμετρο λ > 0 όταν ισχύει: 23

24 Κατανομή γάμμα Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα, με παραμέτρους α > 0 και β > 0 όταν ισχύει: 24

25 Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών (1/3) Μέση τιμή ή μαθηματική ελπίδα: Επιπλέον, αν υπάρχει πραγματική συνάρτηση g, τέτοια ώστε Y = g(x), η τιμή της τυχαίας μεταβλητής Υ δίνεται από τον τύπο: 25

26 Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών (2/3) Διασπορά: Ανισότητα του Tchebichev. Ορίζει ότι για οποιονδήποτε θετικό αριθμό c ισχύει: 26

27 Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών (3/3) Ροπογεννήτρια: Ιδιότητες: 27

28 Βιβλιογραφία 1. Στοχαστικές ανελίξεις, Δάρας Τρύφων Ι., Σύψας Παναγιώτης Θ., Εκδόσεις Ζήτη Πελαγία & Σια Ο.Ε. 2. Ουρές Αναμονής, Φακίνος Δημήτρης, Εκδόσεις Σ. Αθανασόπουλος & ΣΙΑ Ο.Ε. 3. Πιθανότητες, τυχαίες μεταβλητές και στοχαστικές διαδικασίες, Παπούλης Αθανάσιος, Pillai S. Unnikrishna, Εκδόσεις Α. Τζιόλα & ΥΙΟΙ Α.Ε. 28

29 Τέλος Ενότητας

30 Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Αγγελική Σγώρα. «Συστήματα Αναμονής». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 30

31 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 31

32 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 32