615 АВС гурвалжны багтаасан тойргийн төв нь О. ( А>90 ) AL биссектрисийн үргэлжлэл нь багтаасан тойргийг F цэгт огтолно. OA радиус ВС талыг Е цэгээр огтолно. АН нь уг гурвалжны өндөр ба АН AF3 ÐAEH30 бол FOEL дөрвөн өнцөгтийн талбай ба AEL гурвалжны талбайн харьцааг ол. : CF ба FB нумууд тэнцүү CFFB COOB CKKB FO ^ CB AH//FO ÐKEO30 ÐKOE90 30 60 ÐAOF180-60 10 ÐOAFÐOFA 30 ÐHAE60 sin 30 AEL AOF SAOF AOAF sin 303 R x SAEL SFOELSAOF-SAEL 3 AE ALLEx sin 30 SFOELSAOF-SAEL 5 болно. 616 АВС гурвалжны багтаасан тойргийн төв нь О. (ÐА > 90 ) хамгийн урт нум буюу ВС нумын дундаж цэг F. OA радиус ВС талыг Е цэгээр, AF хөвч нь P цэгээр огтолно. АН нь уг гурвалжны өндөр ба 3 3 бол OEРF дөрвөн өнцөгтийн талбай ба APH гурвалжны талбайн харьцааг ол. 3 4 AE EO 3 3 3 3 Þ болно. 93
617 ABC гурвалжны АС тал нь 3, ВАС өнцөг нь 30, гурвалжинг багтаасан тойргийн радиус бол АВС гурвалжны талбай 3-аас бага болохыг батал. 4. AB диаметр нь байх тойргийн хөвч бол < 4 гэдгийг баталья. 4 болог. Тэгвэл АВ эь диаметр, ÐС 90, АВС гурвалжин тэгш өнцөгтэй байна. sin (R багтаасан тойргийн радиус) учраас байна. Тийм бол 4 9 16. Иймээс < 4. Эндээс sin Ð < 43 3 618 ABC гурвалжны АВ тал нь 4, САВ өнцөг нь 60, гурвалжинг багтаасан тойргийн радиус. бол С оройгоос АВ руу буулгасан өндөр -аас бага болохыг батал. CD нь ABC гурвалжны өндөр, R багтаасан тойргийн радиус байг. Тэгвэл sin, < гэдгийг баталья. байна. гэж үзье. Тэгвэл АВС гурвалжин тэгш өнцөгтэй байх ба 4,. учраас байх боломжгүй.
619 ABC гурвалжины AB тал нь 5, CAB өнцөг нь 30, гурвалжинг багтаасан тойргийн радиус байна. ABC гурвалжины талбай 5-оос бага болохыг батал. АС тал нь хамгийн урт хөвч буюу гурвалжны диаметртэй тэнцүү гэж үзье. Тэгвэл гурвалжин тэгш 4 өнцөгтэй байх ба байна. Эндээс 5 буюу 5- той тэнцүү байна. 60 ABC гурвалжины AB тал нь 4, CAB өнцөг нь 30, гурвалжинг багтаасан тойргийн радиус 3 байна. С оройгоос АВ талд буулгасан өндөр 3-аас бага болохыг батал. С оройгоос АВ талд буулгасан өндөр гурвалжин тэгш өнцөгтэй үед хамгийн их утгатай буюу СВ-тэй тэнцүү байна. Энэ үед 3 буюу 3-аас багагүй байна.
61 Тойрогт багтсан зөв гурвалжин өгөгдөв. Энэ тойргийн хөвч -той тэнцүү, түүний төвөөс хөвч хүртэлх зай 3 бол зөв гурвалжны периметрийг ол. AP О-тойргийн төв R-радиус, PQ-дурын хөвч, F-энэ хөвчийн дундаж. Тэгвэл OFP тэгш өнцөгт гурвалжинд R OPOFFP9110 R10 гэж гарна. Хэрэв а өгөгдсөн тойрогт багтсан зөв гурвалжны тал бол аr sin 60 10 30 иймээс P330 болно. 6 Зөв зургаан өнцөгтийг багтаасан тойргийн хөвч 4-тэй тэнцүү. Тойргийн төвөөс хөвч хүртэлх зай 5 бол зөв зургаан өнцөгтийн талбайг ол. О-тойргийн төв, R - радиус, PQ - дурын хөвч, M энэ хөвчийн дундаж. Tэгвэл OMP тэгш өнцөгт гурвалжнаас r OPOMMP549 r 9 гэж гарна. OC-г а-гаар тэмдэглэе. ОСD зав гурвалжин учир OC DC a байна. НОС тэгш өнцөнт гурвалжин учир 9 6 тэнцэтгэлийг бичиж, нөхцлүүдийг орлуулж бодвол гэж олдоно. Ингэхээр Эндээс SABCDEF 9 6 58 3 болно. болно.
63 Тойрогт багтсан квадрат өгөгдөв. Энэ тойргийн дурын хөвч -той тэнцүү,тойргийн төвөөс хөвч хүртэлх зай 3-тай тэнцүү бол квадратын талыг ол. ABBCCDDAa AC-диаметр О-тойргийн төв, R-радиус, PQ-дурын хөвч, F-энэ хөвчийн дундаж. Тэгвэл OFP тэгш өнцөгт гурвалжинд R OP OF FP 9 1 10 R 10 АС10 теорем болно. ADDCAC Пифагорын aa40 гэж гарна. ашиглавал a0 a 5 гэж олдоно. 64 Зөв зургаан өнцөгтийг багтаасан тойргийн хөвч 3, төвөөс хөвч хүртэлх зай 0,5 бол зургаан өнцөгтийн талаас тойргийн төв хүртэлх зайг ол. О-тойргийн төв, R-радиус, PQ-дурын хөвч, M-энэ хөвчийн дундаж. Тэгвэл OMP тэгш өнцөгт гурвалжинд R OP OM MP 0,5,5,5 гэж гарна. АВО гурвалжнаас ОН-ийг олбол ОН ОВ АВ R
65 Тойрогт багтсан ABCD гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд Е цэгт огтлолцоно. BD диагональ нь ABC өнцгийн биссектрис, BD нь 5, CD нь 15 болох эь мэдэгдэж байгаа бол BE-г ол. BD нь ABC өнцгийн биссектрис учир ÐABD ÐDBC. Өгөгдсөн нөхцлөөс DBC гурвалжинг DEC гурвалжинтай төсөөтэйг тодорхойлж болно. Тиймээс 9 BE 5 9 16 66 Тойрогт багтсан MNPQ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн МР диагональ нь NMQ өнцөгийн биссектрис бөгөөд NQ диагональтай Т цэгт огтлолцоно. МТ 5 TP 4 бол NP-г ол. NPT ба NPM гурвалжинууд төсөөтэй. Эндээс Þ 36 Þ NP 6
67 ABCD тэгш өнцөгтийн талбай 48 ба диагональ нь 10-тай тэнцүү.тэгш өнцөгт оршиж байгаа хавтгай дээр OBOD13 байхаар О цэгийг авсан. О цэг ба түүнээс хамгийн хол орших тэгш өнцөгтийн орой хүртэлх зайг ол. Тэгш өнцөгтийн талуудыг х, у-ээр (x<y) тэмдэглэе. AB CD x AD BC y. х у 100 байна. х у 48 Бодлогын нөхцөлөөс Энэ системээс хabcd6 yadbc8 болно. О ба С цэг BD шулууны талд оршиж байгаа гэж үзье. Тэгш өнцөгтийн диагоналиудын огтлолцолын цэгийг М гэж ÐDBCα тэмдэглэе. ÐOBDÐODBβ гэж тэмдэглэе. BCD, OMB тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас sin ÐСВО cos cos cos cos sin sin sin cos олдоно. Косинусын теором ёсоор OCBCBO-BC BOcos( 13 гэж ) 64169 8 эндээс OC 7 O ба C цэгүүд BD шулууны нэг талд оршиж байгаа тохиолдолд мөн адилхан. 68 4 талтай квадрат өгөгдөв. Квадратын хавтгай дээр OB10 OD6 байхаар О цэгийг сонгож авав. ОВ вектор ба О цэг ба түүнээс хамгийн хол орших квадратын орой -оор үүсгэгдсэн вектор хоёрын хоорондох өнцөгийг ол. : DB3 3648 ÐDBC45 болно. cos ÐBOC ÐOBD Эндээс ÐOBC 45 гэж тэмдэглэе. sin cos байна. байна. 45 OC116 OC9 байна. sin arcsin
69 ABCD тэгш өнцөгтийн талбай 48, диагональ нь 10-тай тэнцүү. Уг тэгш өнцөгтийн хавтгай дээр OBOD61 байхаар О цэгийг авав. О цэгээс түүнтэй хамгийн ойр орших тэгш өнцөгтийн орой хүртэлх зайг ол. Тэгш өнцөгтийн талуудыг х, у-ээр (x<y) тэмдэглэе. ABCDx бодлогын х у 100 байна. Энэ системээс х у 48 нөхцөлөөс хabcd6 yadbc8 гэж олно. О ба А цэг BD шулууны 1 талд оршиж байгаа гэж үзье. Ð DBC учир косинусын теорем ёсоор cos 90 36 61 661 sin гэж тэмдэглэе. sin гэж олдоно. Ð sin гурвалжнаас Ð гурвалжнаас sin cos Ð cos 90 97 661 байна. OBD буюу болно. 630 8 талтай ABCD квадрат өгөв. ОВ10 OD 6 байхаар Оцэгийг квадратын орших хавтгай дээр авав. ОВ вектор ба О цэг ба түүнд хамгийн ойр орших квадратын орой хоёроос үүсэх вектор хоёрын хооронд үүсэх өнцөг ол. DB64 64188 ÐАBD45 болно. ÐAOB ÐOBDb ÐOBA 45 гэж тэмдэглэе. cos ÐOBA45 cos 45 Эндээс OA40 Þ OA10 Þ sin Þ sin
631 Тойрог багтаасан тэгш өнцөгт гурвалжны периметр нь 36-тай тэнцүү. Гипотенуз нь шүргэлтийн цэгээр :3 харьцаатай хуваагдсан бол гурвалжны талуудыг ол. М,Н,К цэгүүд харгалзан АВ, ВС, АС талуудын тойрогтой шүргэлцсэн цэгүүд, О багтсан тойргийн төв, r түүний радиус. ВМх гэж тэмдэглэе. Тэгвэл ВНВМх, АКАМ3х болно. Пифагорын теоремоор (хr) (3xr) 5x энэ АВАСВС Þ тэгшитгэлээс rx болно. Бодлогын нөхцөл ёсоор АВВСАС5х3х4х1х36 Þ х3 BC9 AC1 AB 15 гэж олдоно. 63 Тойргийг багтаасан тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд гипотенуз нь шүргэлтийн цэгүүдээр 5 ба 1 той тэнцүү хэсгүүдэд хуваагдана. Уг гурвалжны талбаыг ол. М,Н,К харгалзан АВ, ВС, АС талуудын шүргэлтийн цэгүүд. Бодлогын нөхцөл ёсоор АМАК1, МВВН5, СКОН-квадрат учраас СНСКr байна. Пифагорын теорем ёсоор АВВССА Þ (5r)(1r)17 гэж гарна. Энэ тэгшитгэлээс r3 гэж олдоно. Эндээс гурвалжны талбай SABC 60 гарна.
633 Периметр нь 30-тай тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжинд тойрог багтсан.катетуудын аль нэг ньшүргэлтийн цэгээр тэгш өнцөгийн оройгоос :3 харьцаатай хувагдсан бол гурвалжны талуудыг ол. Тойргийн төвийг О-гоор, АВ, ВС, АС талуудтай шүргэлтийн цэгүүдийг харгалзан М,Н, К-ээр тэмдэглэе. Тойргийн радиус r, СНх-ээр тэмдэглэвэл ВНВМ3х СНСКх болно. х АКАМ 15-5х Бодлогын гэж теоремоор АВВССА нөхцөл олдоно. ёсоор Пифагорын (3х15-5х)(5х)(х15-5х) (30-х)5х(30-3х) эмхэтгээд тэгшитгэлийг бодвол х1 байна. Эндээс талуудыг олбол СН ВС5, АВ 13, СА1 гэж олдоно. 634 Тэгш өнцөгт гурвалжинд тойрог багтсан. Катетуудын аль нэг нь шүргэлтийн цэгээр тэгш өнцөгийн оройгоос 6 ба 10 тэнцүү хэрчмүүдэд хувагдсан бол гурвалжны талбайг ол. СНСК6, ВНВМ10 АМАКх гэж үзвэл Пифагорын теорем ёсоор (х10)16(6х) Тэгшитгэл зохиож бодвол х4 байна. SABC 40
635 Радиус нь 13 тойрогт дианогалиуд нь харилцан перипендикуляр дөрвөн өнцөгт багтаажээ. Нэг диагональ нь 18, тойргийн төвөөс диагоналиуд огтлолцох цэг хүртэлх зай 46 бол дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол. BD 18 BE ED BE ED AF FC BE 9 OEB тэгш өнцөгт гурвалжинаас ЕО-г олж болно. Пифагорын 96 88 8 байна. AC-г олохын тулд 169 8 161. Эндээс FC-г олно. 1 169 81 88 теоремоор 161 1 161 9 8 161 9 8 ADC гурвалжины талбайг олохын тулд эхлээд KD өндрийг ольё. 9 8 1 161 9 8 161 9 8 161 9 8 161 9 8 18161 болно. 636 Радиус нь 6, О цэгт төвтэй тойрогт ABCD дөрвөн өнцөгт багтсан байна. Түүний диагоналиуд харилцан перипендикуляр бөгөөд К цэгт огтлолцоно. AC ба BD-гийн төв нь харгалзан E ба F цэгүүд байна. ОК хэрчим 5-тай, OEKF дөрвөн өнцөгтийн талбай 1-той тэнцүү. ABCD дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол. 1 OEKF дөрвөн өнцөгтөөс EO a, EK b гэж авч үзвэл ОВ 6 OK 5 5 гэсэн систем зохиож, a 3, b 4 гэж 1 олно. EK 4 болно. 36 9 7. АС-г ольё. 36 16 0 учир 1 1 0 байна. 1 0 7 4 0 7 4 1 0 7 4 0 7 4 0 7 4 0 7 4 0 7 1 15
637 ABCD дөрвөн өнцөгтийн BD диагональ нь энэ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойргийн диаметр нь байна. Хэрэв BD, AB 1, ÐABD : ÐDBC 4 : 3 бол АС диагоналийг ол. R нь тойргийн радиус болог. R BD учир sin sin 105 sin 60 45 sin 60 cos 45 cos 60 sin 45 байна. 638 ABCD дөрвөн өнцөгтийн AD тал нь энэ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойргийн диаметр нь болно. Хэрэв AD 6, BD 33, ÐBAC : ÐCAD 1 : 3 бол BC талыг олно уу. R тойргийн радиус AD R 6 Þ R 3 BC R SinÐBAC ABD тэгш өнцөнт гурвалжингаас: sin 4 4 60 учир Иймээс 15 буюу ÐBAC 15 болно. sin 15 sin 45 30 3 sin 45 cos 30 sin 30 cos 45 6 6
639 ABCD дөрвөн өнцөгтийн AC диаметр нь энэ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойргийн диаметр нь болно. Хэрэв AC 4, СD, ÐBAC : ÐCAD : 3 бол BD диагоналийг олно уу. R тойргийн радиус AC R 4 учир R ADC тэгш өнцөгт гурвалжингаас sin 3 харьцааг бичиж болно. Эндээс 3 45 ба 15 томьёогоор sin гэж sin олдоно. болох ба орлуулбал sin 30 45 4 sin 30 cos 45 sin 45 cos 30 4 4 6 гэж олдоно. 640 ABCD дөрвөн өнцөгтийн BC тал нь энэ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойргийн диаметр нь болно. Хэрэв BC 8, BD 4, ÐDCA : ÐACB : 1 бол AB талыг олно уу. 8 4 АВ талыг олохын тулд эхлээд ВСА өнцгийг ольё. DBC тэгш өнцөгт гурвалжингаас sin 3 харьцааг бичнэ. Эндээс 3 45 ба sin 15 болно. томьёонд орлуулж бодвол sin 15 байна. 4 sin 45 30 8 sin 45 cos 30 sin 30 cos 45 8 8 6 гэж олдоно.
641 АВС гурвалжингийн А нь тэгш өнцөг, В нь 30 байв. Түүнд 3 радиустай тойрог багтжээ. С оройгоос тойрог АВ катеттай шүргэлэх шүргэлтийн цэгээс хүртэлх зайг ол. О-тойргийн төв, M, N нь АВ, АС катетуудтай тойргийн шүргэлцсэн цэг. AMON нь r талтай квадрат ÐOCN ÐACB30 гэж гарна. ONC тэгш өнцөгт гурвалжнаас Пифагорийн теоремоор cos 30 3 3 3 3 3 3 3 3 15 63 64 а талтай ABCD квадратад CD талыг нь Е цэгээр шүргэдэг тойрог багтжээ. Тойрог АЕ шулуунтай огтлолцдог цэгүүдийг холбосон хөвчийн уртыг ол. РЕ-уртыг нь олох хөвч, М тойрог АD-тэй шүргэж буй цэг байг. АЕ Шүргэгч огтлогчийн теорем ёсоор АМАЕ АР а а а РЕ РЕ а болно.
643 Адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус. Хурц өнцгийн оройгоос түүний эсрэг талд байх катетыг багтсан гурвалжин шүргэж байгаа цэг хүртэлх зайг ол. AB, AC катетуудийн тойрогтой шүргэлцсэн цэгүүдийг харгалзан M, N гэж тэмдэглэе. AM AN r. Пифагорын теоремоор буюу 4 Эндээс Тэгшитгэлийг бодож Type equation here.а-г олбол: байна. Дахин Пифагорын теорем ашиглаж 4 4 Эндээс МС-г 7 4 байна. олбол 644 АВС тэгш өнцөгт гурвалжинд тойрог багтсан. А өнцөг нь 90, АВ катет нь а урттай, багтсан тойргийн радиус r, АС катетийн шүргэлтийн цэг D бол BD шулуунтай тойрог огтлолцсон цэгүүдийг холбосон хөвчийн уртыг ол. О - багтсан тойргийн төв, F- АВ-гийн шүргэлтийн цэг, D DB тойрогтой огтлолцсон цэг, олох хөвч DEx AFOD нь r талтай квадрат болно. Иймээс ADOFr BD Шүргэгч огтлогчийн теорем ёсоор BFBЕ BD x
645 Нэгж радиустай тойрогт багтсан ABCDE таван өнцөгтийн хувьд AB ÐABE45 ÐEBD30 BCCD гэж мэдэгдэж байгаа бол таван өнцөгтийн талбайг ол. АЕ R sin 45 EAB тэгш өнцөгт гурвалжин гэдгээс ÐА90 ВЕ тойргийн диаметр учир ВЕ ÐBDE 90 BD BE cos 30 3 ÐDCB10 CK нь DCB гурвалжны өндөр болог СК Иймээс SDCB 1 SBDE Иймд SABCDE SABE SBDE SDCB1 genden0611@yahoo.com болно.