Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 5: Εφαρμογές Βελτιστοποίησης Βελτιστοποίηση της Απόδοσης Βιομηχανικών Διαδικασιών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 3
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης creative commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκεινται σε άλλου τύπου άδειες χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 4
Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι η παρουσίαση μιας μεθόδου για τον καθορισμό των ονομαστικών στοιχείων και της δομής μιας εγκατάστασης ισχύος, η οποία εξυπηρετεί στη μόνιμη κατάσταση κάποιο μεταβλητό φορτίο με τη βέλτιστη δυνατή απόδοση. Συγκεκριμένα, επιχειρείται να δοθεί ένα σχήμα λειτουργίας στη μόνιμη κατάσταση το οποίο θα οδηγεί σε αύξηση του βαθμού απόδοσης μιας βιομηχανικής διαδικασίας για μια ευρεία περιοχή λειτουργίας, δηλαδή για μια ευρεία περιοχή ζητούμενης ισχύος 5
Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Μοντέλο της διαδικασίας σε μόνιμη κατάσταση Βέλτιστη επιλογή του μεγέθους των παράλληλων διατάξεων Ταυτόχρονη παράλληλη λειτουργία των επιμέρους μονάδων 6
Εισαγωγή Εικόνα 5.1 Οποιαδήποτε εγκατάσταση ισχύος είναι σχεδιασμένη να αποδίδει το μέγιστο βαθμό ισχύος κοντά στο ονομαστικό σημείο λειτουργίας της. Όσο απομακρύνεται η λειτουργία από την ονομαστική λειτουργία τόσο ο βαθμός απόδοσης n μειώνεται και ακολουθεί καμπύλες της μορφής της Εικ. 5.1. 7
Εισαγωγή Εικόνα 5. Για τη βελτιστοποίηση του βαθμού απόδοσης στη μόνιμη λειτουργία προτείνεται ο διαχωρισμός της εγκατάστασης σε δύο παρόμοιες εγκαταστάσεις διαφορετικής ονομαστικής ισχύος. Ανάλογα με το επιθυμητό σημείο λειτουργίας χρησιμοποιείται είτε η μικρότερη (χαμηλές ισχείς λειτουργίας) είτε η μεγαλύτερη (μεγαλύτερες ισχείς) είτε και οι δυο μαζί παράλληλα (ακόμα μεγαλύτερες ισχείς). Έτσι, η λειτουργία στη μόνιμη κατάσταση θα βρίσκεται κοντύτερα στα ονομαστικά σημεία λειτουργίας των εγκαταστάσεων. 8
Εισαγωγή Προβλήματα που πρέπει να λυθούν για την παράλληλη λειτουργία: Ανάπτυξη γενικού μαθηματικού μοντέλου για το βαθμό απόδοσης εγκατάστασης Για δεδομένη εύρος λειτουργίας πρέπει να γίνεται κάθε φορά κατάλληλος διαχωρισμός της λειτουργίας Επιμέρους προβλήματα παράλληλου διαχωρισμού: Το εύρος λειτουργίας ξεκινά από το μηδέν μέχρι κάποιο μέγιστο ή υπάρχει κάποιο ελάχιστο κάτω από το οποίο δεν έχουμε ζήτηση; Στο προκαθορισμένο εύρος λειτουργίας υπάρχει πάντα η ίδια πιθανότητα ζήτησης για οποιοδήποτε σημείο ή όχι; 9
Μοντέλο διαδικασίας στη μόνιμη κατάσταση Θεωρείται ο βαθμός απόδοσης έχει τη μορφή του Σχήματος 5.1. Με σκοπό την ανεξαρτητοποίηση των καμπυλών βαθμού απόδοσης από τη συγκεκριμένη ονομαστική τιμή της εγκατάστασης, θα γίνει χρήση των ημιανηγμένων καμπυλών του βαθμού απόδοσης ως προς τα ονομαστικά τους μεγέθη, δηλαδή n f P, όπου η ονομαστική ισχύς εγκατάστασης. P P N N Έτσι το μέγιστο παρουσιάζεται πάντα στο σημείο με τετμημένη 1. Παρακάτω αναπτύσσονται μοντέλα που περιγράφουν το βαθμό απόδοσης σε δύο περιπτώσεις: a) Οι καμπύλες βαθμού απόδοσης είναι ακριβώς ίδιες, b) Διαφοροποιούνται μερικά ως προς το μέγιστο. 10
Εικόνα 5.3 Μοντέλο διαδικασίας στη μόνιμη κατάσταση I. Ίδιες ημιανηγμένες καμπύλες βαθμού απόδοσης. P P B n nb f fb PN PBN '' Αφού υπάρχει μέγιστο, f c με c 0. ' Άρα f c 1x, x P PN. Έτσι f cx c x d. Σημεία της καμπύλης τα x, n 0,0 και x, n 1,0.95 Τελικά f 1.9x 0.95x και αντίστοιχα f 1.9x 0.95x. B B B 11
Εικόνα 5.4 Μοντέλο διαδικασίας στη μόνιμη κατάσταση II. Διαφοροποιημένες ημιανηγμένες βαθμού απόδοσης. καμπύλες Ίδια διαδικασία με πριν Τελικά f 1.8x 0.9x και f 1.9x 0.95x B B B. 1
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων I. Λειτουργία υπό ομοιόμορφη πιθανότητα ζήτησης από 0 μέχρι κάποιο μέγιστο (ίδιες ημιανηγμένες καμπύλες βαθμού απόδοσης). Ανάγουμε τη μια καμπύλη στην άλλη, υποθέτοντας ότι ισχύει P N kp με 0k 1, και παίρνουμε τη συνολική καμπύλη. BN Έτσι, επιλέγοντας ως τετμημένη x τη x P P έχουμε P P x P P BN B BN 0 x x c c BN 13
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων Εικόνα 5.5 Προκύπτει ότι και f 1.9x 0.95x. Στο σημείο 1.9 0.95 f x x k k B B B x c έχουμε f fb οπότε καταλήγουμε ότι ισχύει k k c x ή ck ( ) ή k k 1 k 1 c Βέλτιστη λύση προβλήματος αν βελτιστοποιήσουμε το εμβαδό της διαφοράς μετά των δύο συναρτήσεων στο διάστημα 0 xc. 14
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων Το εμβαδό δίνεται από το ολοκλήρωμα c 1.9 0.95 0.95 h f f dx c c c c 0 3 3... 0.95 Αντικαθιστώντας το B k έχουμε 19cc1 h 30 Μεγιστοποίηση του εμβαδού h 0 c 1 0 c Άρα c 0.5 k 3k 3 15
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων II. Λειτουργία υπό ομοιόμορφη πιθανότητα ζήτησης από α>0 μέχρι κάποιο μέγιστο (ίδιες ημιανηγμένες καμπύλες βαθμού απόδοσης). Ανάγουμε τη μια καμπύλη στην άλλη, υποθέτοντας ότι ισχύει P N kp με 0k 1, και παίρνουμε τη συνολική καμπύλη. BN Καταλήγουμε πάλι στις ίδιες σχέσεις για f,, ck ( ) και k. Η βέλτιστη λύση του προβλήματος δίνεται αν θελήσουμε να βελτιστοποιήσουμε το εμβαδό της διαφοράς μεταξύ των δύο συναρτήσεων στο διάστημα xc. c 1.9 0.95 0.95 h f f dx c c c c k 3k 3 3 3 3 3 B... 0.95 f B 16
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων Εικόνα 5.6 Αντικαθιστώντας το k έχουμε 3 3 c c c 19 1 3 h 30c Ελαχιστοποίηση του εμβαδού h c 0 c 4 c 3 3 3 c 4 3 0 Το είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης αλλά εξαιρείται, οπότε λαμβάνουμε το 3 ου βαθμού πολυώνυμο 3 c 1 c c 4 0 Η πραγματική ρίζα του παραπάνω πολυωνύμου, δίνεται από γνωστούς τύπους. 17
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων Πίνακας 5.1 Εικόνα 5.7 Δίνοντας τιμές στο παίρνουμε τιμές για τη θέση του σημείου στον άξονα x και επομένως και για το k. Πρέπει να ισχύει k c 1 b. c 18
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων III. Λειτουργία υπό ομοιόμορφη πιθανότητα ζήτησης από α>0 μέχρι κάποιο μέγιστο (διαφοροποιημένες ημιανηγμένες καμπύλες βαθμού απόδοσης). Ανάγουμε τη μια καμπύλη στην άλλη, υποθέτοντας ότι ισχύει PN kpbn με 0k 1, και παίρνουμε τη συνολική καμπύλη. 1.8 0.9 Καταλήγουμε στις σχέσεις f x x και f. B 1.9xB 0.95xB k k 1.8k1.9k Στο σημείο x c έχουμε f. fb x c k 0.9k 0.95k Ελαχιστοποίηση του εμβαδού ανάμεσα στις δύο συναρτήσεις στο διάστημα xc. c... h f f dx B 19
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων Εικόνα 5.85.. 0
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων Πίνακας 5. Εικόνα 5.9 Αντίστοιχα με την περίπτωση ΙΙ, Δίνονται τιμές στο παίρνουμε τιμές για τη θέση του σημείου c στον άξονα x και επομένως και για το k. Πρέπει να ισχύει k c 1 b. 1
III. Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων Εισαγωγή πιθανοτικού μοντέλου ζήτησης από α>0 μέχρι κάποιο μέγιστο (ίδιες ημιανηγμένες καμπύλες βαθμού απόδοσης). Ανάγουμε τη μια καμπύλη στην άλλη, υποθέτοντας ότι ισχύει PN kpbn με 0k 1, και παίρνουμε τη συνολική καμπύλη. 1.8 0.9 Καταλήγουμε στις σχέσεις f x x και f. B 1.9xB 0.95xB k k Επιπλέον, επιλέγεται η ακόλουθη μορφή πιθανοτικής καμπύλης Επιλέγεται να ισχύει ότι k c 0.8. e x0.8 x0.8 g x e x 0.8 x 0.8
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των Εικόνα 5.10 παράλληλων διατάξεων Το σκιαγραφημένο εμβαδό τώρα υπολογίζεται ως c x0.8 h e f fbdx... Στη συνέχεια ελαχιστοποιείται το εμβαδό, κάνοντας χρήση του αναπτύγματος σε σειρά Taylor.. 3
Βέλτιστη επιλογή μεγέθους των παράλληλων διατάξεων Πίνακας 5.3 Εικόνα 5.11 Αντίστοιχα με την περίπτωση ΙΙ, Δίνονται τιμές στο παίρνουμε τιμές για τη θέση του σημείου c στον άξονα x και επομένως και για το k. Πρέπει να ισχύει k c 1 b. 4
Ταυτόχρονη παράλληλη λειτουργία των δύο επιμέρους μονάδων Η προσδιδόμενη ολική ισχύς δίνεται ως Θεωρώντας μηδενική δυνατότητα υπερφόρτισης, θεωρούμε τις εξής συνθήκες λειτουργίας για οποιοδήποτε ζητούμενο φορτίο α) Για P P λειτουργία της μονάδος Α 0 L N β) Για P P P λειτουργία της μονάδος Β N L BN P P P γ) Για P P P ταυτόχρονη λειτουργία των δύο μονάδων BN L L,max Η εξυπηρέτηση του ζητούμενου φορτίου γίνεται ως.... B P P P Ο συνολικός βαθμός απόδοσης της εγκατάστασης ορίζεται ως P L L N BN n P P L.. 5
Ταυτόχρονη παράλληλη λειτουργία των δύο επιμέρους μονάδων Η μέγιστη συνολική ονομαστική ισχύς δίνεται ως Επιπλέον, για τις ημιανηγμένες καμπύλες βαθμού απόδοσης της κάθε εγκατάστασης θα ισχύει n Έτσι, ισχύει ότι f P P N P P. P P P L,max N BN P. B P PB P.., οπότε n nnbpl n n. n P n P B Για τη βέλτιστη κατανομή του φορτίου ζήτησης, θέλουμε να βελτιστοποιήσουμε το βαθμό απόδοσης n., το οποίο γίνεται φτιάχνοντας τη Lagrangian του συστήματος nnbpl LP, PB, P PB PL όπου λ ο παράγοντας nbp npb Lagrange n B f P P B BN P B B B 6
Ταυτόχρονη παράλληλη λειτουργία των δύο επιμέρους μονάδων Tο μέγιστο της L βρίσκεται εκεί όπου μηδενίζονται οι πρώτες παράγωγοι της ως προς P και P B. L L n Ισχύει ότι L P n P P Μετά από πράξεις L και από τη =0, P ' PL P nb f B P N P P n P ' L B B BN f P n n n P n P Παρατηρούμε ότι τα δεύτερα μέλη από τις παραπάνω σχέσεις είναι ίσα. Θεωρώντας παρόμοιες μονάδες Α και Β, ισχύει ότι n n ' ' και f f. B L B B B P n n n P n P L B B B B 7
Ταυτόχρονη παράλληλη λειτουργία των δύο επιμέρους μονάδων Έτσι, προκύπτει σαν βέλτιστη λύση η παρακάτω κατανομή η εξής P P B P P N BN ή αντίστοιχα P k B Άρα, τελικά παίρνουμε τη βέλτιστη κατανομή P P k 1 PL και PB P k 1 k 1 L Συμπερασματικά, στην παραπάνω περίπτωση με όμοιες μονάδες Α και Β, η βέλτιστη κατανομή φορτίου για παράλληλη λειτουργία γίνεται ανάλογα προς στις ονομαστικές δυνατότητες της κάθε μονάδος. 8
Τέλος Ενότητας
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Όλα τα σχήματα, οι εικόνες και τα γραφήματα που παρουσιάστηκαν σε αυτήν την ενότητα προέρχονται από τις πανεπιστημιακές σημειώσεις με τίτλο «Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση», Αντώνης Θ. Αλεξανδρίδης, εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών. 30
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. 31
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αντώνιος Αλεξανδρίδης. «Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση. Ενότητα 5». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/ee888. 3
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 33