=3 kg που κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα

ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ 1. Σφαίρα μάζας m 1 =1kg που κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου u 1 =8m /s συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλη σφαίρα μάζας m 2 =3 kg που κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου u 2 =4m /s. a. Να υπολογίσετε τις ταχύτητες των δυο σφαιρών μετά τη σύγκρουση b. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας μάζας m 2. c. Συμβιβάζεται το αποτέλεσμα του δεύτερου ερωτήματος με το γεγονός ότι η σύγκρουση των δυο σφαιρών είναι ελαστική; 1. 24/340,,, 10m/ s,,,2m/ s,,, 18 j ] 2. Δυο σφαίρες Α και Β με μάζες m 1 και m 2 αντίστοιχα κινούνται με ταχύτητες u 1 και u 2 =5m/ s, όπως στο σχήμα, και συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Κατά την κρούση όλη η κινητική ενέργεια της σφαίρας Α μεταβιβάζεται στη σφαίρα Β, ενώ η επί τοις εκατό αύξηση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Β είναι Π= 44. Να υπολογίσετε: a. Τις ταχύτητες u 1 ' και u 2 ' των δυο σφαιρών μετά την κρούση. b. Την ταχύτητα u 1 της σφαίρας Α πριν την κρούση c. Το λόγο m 1 m 2 των μαζών των δυο σφαιρών. [1.26/340,,,0,,,6m/ s,,,1/11 ] 3. Σφαίρα Α μάζας m 1 που κινείται με ταχύτητα u 1 =4m/ s συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλη αρχικά ακίνητη σφαίρα Β μάζας m 2. Η ταχύτητα της σφαίρας Β μετά την κρούση είναι u 2 ' =6m/ s. Να υπολογίσετε: a. Το λόγο m 1 m 2 των δυο σφαιρών b. Την ταχύτητα της σφαίρας Α μετά την κρούση c. Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Α που μεταβιβάστηκε κατά την διάρκεια της κρούσης στη σφαίρα Β. 1. 27/341,,,3/1,,,2m /s,,,75 ] 4. Σφαίρα Α μάζας m 1 κινείται με ταχύτητα u 1 και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλη σφαίρα Β μάζας m 2 που είναι αρχικά ακίνητη. ' ' a. Να υπολογίσετε τις ταχύτητες u 1 και u 2 των δυο σφαιρών μετά την κρούση σε συνάρτηση με την ταχύτητα u 1 και με τον λόγο λ= m 1. m 2 b. Να υπολογίσετε τον λόγο K ' 1 ' των κινητικών ενεργειών των δυο σφαιρών μετά την K 2 κρούση σε συνάρτηση με το λόγο λ. c. Για ποια τιμή του λ, ολόκληρη η κινητική ενέργεια της σφαίρας Α μεταβιβάζεται στη Β; [1.30 /341,,, λ 1 λ+1 u 1,,, 2λ λ+1 u 1,,, λ 1 2,,, λ=1] 4λ 5. Ένα σωμάτιο a εκτοξεύεται από πολύ μακριά με αρχική ταχύτητα u 0 =10 6 m /sec προς ένα ακίνητο πρωτόνιο, το οποίο είναι ελεύθερο να κινηθεί. Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 1

a. Ποιες είναι οι ταχύτητες των δυο σωματίων, όταν πλησιάσουν στην ελάχιστη μεταξύ τους απόσταση; b. Πόση είναι η ηλεκτροστατική δυναμική ενέργεια του συστήματος των δυο σωματίων, όταν βρίσκονται στην ελάχιστη μεταξύ τους απόσταση; c. Ποιες είναι οι ταχύτητες των δυο σωματίων, όταν θα έχουν απομακρυνθεί τόσο, ώστε να μην αλληλεπιδρούν μεταξύ τους; d. Δίνονται m a =4m p,m p =1,6 10 27 kg. Οι βαρυτικές αλληλεπιδράσεις θεωρούνται αμελητέες. [1.31 /342,,,8 10 5 m /sec,,,6,4 10 16 j,,,6 10 5 m /sec,,,1,6 10 6 m /sec ] 6. Τρεις σφαίρες με μάζες m 1 =m 2 =m και m 3 =2m είναι ακίνητες πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, έτσι ώστε τα κέντρα μάζας τους να βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνουμε στην πρώτη σφαίρα ταχύτητα μέτρου u 1 =3m/sec με κατεύθυνση προς τη δεύτερη σφαίρα. Να υπολογίσετε: a. Τις τελικές ταχύτητες των τριών σφαιρών b. Το κλάσμα της κινητικής ενέργειας της πρώτης σφαίρας που μεταφέρεται στις άλλες δυο. Όλες οι κρούσεις να θεωρηθούν μετωπικές και ελαστικές. [1.32 /342,,, 1m/ s,,,0,,,2m/ s,,,8/9] 7. Σώμα με μάζα m 1 =1 kg κινείται προς ακίνητο σώμα μάζας m 2 =2 kg. Όταν η απόσταση των δυο σωμάτων είναι x= 1,3 m, το μέτρο της ταχύτητας του είναι u 0 =7m/ s. Τα δυο σώματα συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης καθενός από τα δυο σώματα με το δάπεδο είναι μ=0,5, να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της ταχύτητας του πρώτου σώματος πριν την κρούση b. Τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων μετά την κρούση c. Τον ρυθμό παραγωγής θερμότητας εξαιτίας της τριβής ολίσθησης μεταξύ του πρώτου σώματος και του δαπέδου, αμέσως μετά την κρούση. d. Το διάστημα που θα διανύσει το δεύτερο σώμα μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10 m/s 2. [1.33 /342,,,6m /s,,, 2m /s,,,4m /s,,,10 j/ s,,,1,6 m ] 8. Για το επόμενο σχήμα Δίνονται ότι: u 1 =6m /s,l= 1,6m και ότι m 2 =2m 1 και ότι η κρούση είναι μετωπική και ελαστική. Να υπολογίσετε: a. Την ταχύτητα της m 2 αμέσως μετά την κρούση b. Την μέγιστη γωνία εκτροπής του νήματος c. Τη σχέση των μαζών των δυο σφαιριδίων ώστε η μέγιστη γωνία εκτροπής του νήματος του εκκρεμούς Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 2

από την αρχική κατακόρυφη θέση του να είναι η μεγαλύτερη δυνατή. Δίνεται g=10 m/s 2 [1.34/342,,,4m/ s,,,60 0,,,m 1 =m 2 ] 9. Σφαίρα m 1 κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα u 1 =10 m/s και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με σφαίρα m 2 η οποία κρέμεται ακίνητη στην άκρη νήματος μήκους l= 0,5 m που είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. μετά την κρούση η δεύτερη σφαίρα μόλις διαγράφει τον εστιγμενο κύκλο όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε: a. Την ελάχιστη ταχύτητα της δεύτερης σφαίρας στο ανώτερο σημείο του εστιγμενου κύκλου, ώστε το νήμα να είναι τεντωμένο. b. Την ταχύτητα της δεύτερης σφαίρας αμέσως μετά την κρούση c. Τον λόγο m 1 /m 2 των σφαιρών. Δίνεται g=10 m/s 2 [1.35 /343,,, 5 m/s,,,5m/ s,,,1/3 ] 10. Σφαίρα μάζας m 1 =1kg κρέμεται με νήμα μήκους l= 1,25 m από ακλόνητο σημείο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, και την εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα κάτω με αρχική ταχύτητα u 0 =5 3m/ s. Στο κατώτερο σημείο της τροχιάς της, η σφαίρα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σώμα μάζας m 2, που είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. μετά την κρούση, η πρώτη σφαίρα επανέρχεται στην αρχική της θέση όπου το νήμα ήταν οριζόντιο, ενώ το δεύτερο διανύει διάστημα x= 5m πάνω στο δάπεδο μέχρι να σταματήσει λόγω της τριβής. Να υπολογίσετε: a. Την ταχύτητα της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. b. Την τιμή της μάζας m 2. c. Τον συντελεστή τριβής του σώματος με το δάπεδο. Δίνεται g=10 m/s 2 [1.37 /344,,, 5m/ s,,,3kg,,, μ= 0,25 ] 11. Δυο σφαιρίδια Σ 1 και Σ 2 έχουν μάζες m 1 και m 2 αντίστοιχα και κρέμονται από δυο σημεία με νήματα ίσου μήκους l= 1,5m, ώστε στη θέση ισορροπίας τα νήματα να είναι κατακόρυφα και τα σφαιρίδια να εφάπτονται. Ανυψώνουμε το σφαιρίδιο Σ 1 σε ύψος h και όταν το αφήνουμε ελεύθερο, αυτό συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το σφαιρίδιο Σ 2. Μετά την κρούση το σφαιρίδιο Σ 1 ανυψώνεται σε ύψος h 1 =20cm προς την ίδια κατεύθυνση με την αρχική του ανύψωση, ενώ το Σ 2 ανυψώνεται σε ύψος h 2 =45cm. Να υπολογίσετε: a. Τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σφαιριδίων αμέσως μετά την κρούση b. Το λόγο m 1 m 2 των μαζών τους c. Το ύψος h d. Το κλάσμα της αρχικής δυναμικής ενέργειας του σφαιριδίου Σ 1 που μεταβιβάστηκε στο σφαιρίδιο Σ 2 κατά την κρούση. Δίνεται g=10 m/s 2 [1.38 /344,,, 2m/ s,,,3m /s,,,3 /7,,,1,25 m,,,21/25] Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 3

12. Σώμα Α μάζας m 1 =1 kgr κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου u 1 =5m /s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλο ακίνητο σώμα Β μάζας m 2 =4kgr. Το σώμα Β είναι στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k= 400 N /m, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχωμα. Η διεύθυνση κίνησης του κέντρου μάζας του σώματος Α ταυτίζεται με τον άξονα του ελατηρίου. Να υπολογίσετε: a. Τις ταχύτητες των δυο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση b. Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου c. Το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος Β την στιγμή που σταματάει στιγμιαία. [1.39 /344,,, 3m/ s,,,2m/ s,,,0,2 m,,, 80 kgrm/s ] 13 Δυο σφαίρες αμελητέων ακτινών με μάζες m 1 =m 2 =m αφήνονται διαδοχικά να πέσουν από το ίδιο ύψος h 1 =18m επί οριζόντιου επιπέδου. Οι σφαίρες κινούνται επάνω στην ίδια κατακόρυφο. Αφήνεται πρώτα η σφαίρα μάζας m 1 και μετά η σφαίρα μάζας m 2. Η σφαίρα μάζας m 1 προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα επάνω. μόλις αποχωρισθεί από το επίπεδο, συγκρούεται μετωπικά με την κατερχόμενη σφαίρα μάζας m 2. Να βρεθεί το ύψος h 2, στο οποίο θα φτάσει η σφαίρα μάζας m 2. Να θεωρηθεί ότι όταν οι σφαίρες συγκρούονται, έχουν διανύσει την ίδια κατακόρυφη απόσταση h 1 από το σημείο εκκίνησης. Όλες οι κρούσεις είναι ελαστικές και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 1990). [1. 40/345,,,18 m ] 14. Σφαίρα μάζας m 1 =1 kg είναι δεμένο με σχοινί μήκους l= 0,8 m και ισορροπεί με το σχοινί σε κατακόρυφη θέση. Εκτρέπουμε τη σφαίρα, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, και στη συνέχεια την αφήνουμε ελεύθερη. Όταν η σφαίρα επανέρχεται στην κατώτερη θέση της, συγκρούεται με σώμα Σ μάζας m 2 =3 kg, που είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Μετά την κρούση, η σφαίρα ανακλάται και ανέρχεται σε ύψος h= 0,2 m, ενώ το σώμα Σ ολισθαίνει πάνω στο επίπεδο και σταματάει αφού διανύσει διάστημα x= 1m. να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας, αμέσως πριν την κρούση b. Το μέτρο της τάσης του σχοινιού, αμέσως μετά την κρούση c. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ, αμέσως μετά την κρούση d. Τον συντελεστή τριβής ολίσθησης του σώματος Σ με το οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται g=10 m/s 2. [1.64 /352,,,4m/s,,,15 N,,,2m/ s,,, μ= 0,2] Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 4

15. Στην κορυφή πλάγιου επιπέδου, γωνίας φ=30 0, στερεώνεται διαμέσου ιδανικού ελατήριου σώμα μάζας m 2 =3 kg και το σύστημα ισορροπεί πάνω στο πλάγιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από τη βάση του πλάγιου επιπέδου εκτοξεύεται προς τα πάνω σώμα μάζας m 1 =1 kg με αρχική ταχύτητα u 0 που έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατήριου. Η αρχική απόσταση των δυο σωμάτων είναι s= 0,5 m. Τα δυο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. μετά την κρούση το σώμα μάζας m 2 εκτελεί α.α.τ. και η απομάκρυνση του από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από την εξίσωση x= 0,1 ημ 10 t (S.I.). Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m 2, αμέσως μετά την κρούση b. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m 1, αμέσως πριν την κρούση c. Το μέτρο της ταχύτητας u 0 d. Τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατήριου, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος μάζας m 2. Δίνεται g=10 m/s 2. Τριβές δεν υπάρχουν. [1.81/359,,,1m /s,,,2m /s,,,3m /s,,,3,375 j ] 16. Ιδανικό ελατήριο είναι τοποθετημένο στη βάση πλάγιου επιπέδου, γωνίας φ=30 0, με το κατώτερο άκρο του μόνιμα στερεωμένο. Στο ελεύθερο άκρο του ελατήριου είναι στερεωμένο σώμα μάζας m 2 =4kg και το σύστημα ισορροπεί. Από την κορυφή πλάγιου επιπέδου κινείται προς τα κάτω σώμα μάζας m 1 =1kg με αρχική ταχύτητα μέτρου u 0 =4m /s, η οποία έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατήριου. Το σώμα m 1 διανύει επάνω στο πλάγιο επίπεδο διάστημα s=2m και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το σώμα μάζας m 2. μετά την κρούση η μέγιστη επιπλέον συσπείρωση του ελατήριου είναι x= 0,2 m. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m 1, αμέσως μετά την κρούση b. Τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων, Ακριβώς μετά την κρούση c. Τη σταθερά του ελατήριου d. Τη μέγιστη τιμή της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα μάζας m 2. Δίνεται g=10 m/s 2. Τριβές δεν υπάρχουν. [1.83/359,,,6m /s,,, 3,6m/ s,,,2,4 m/ s,,,576 N /m,,,135,2 N ] 17. Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ=30 0 στερεώνεται δια μέσου ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας m 2 =3 kg και το σύστημα ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Η σταθερά του ελατηρίου είναι K= 300 N /m. Από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου κινείται προς τα επάνω σώμα μάζας m 1 =1 kg με αρχική ταχύτητα, η οποία έχει τη διεύθυνση του ελατηρίου και μέτρο u 0 =5m/ s. Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 5

Η αρχική απόσταση των δυο σωμάτων είναι s= 0,9m. Τα δυο σώματα συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά. Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m 1 ελάχιστα πριν την κρούση. β. Το ποσοστό επί τοις εκατό της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m 1 στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας m 2 κατά την κρούση. γ. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος μάζας m 2 μετά την κρούση. δ. Το χρονικό διάστημα από τη στιγμή της σύγκρουσης και μέχρι τη στιγμή που το ελατήριο έχει για πρώτη φορά τη μέγιστη δυναμική του ενέργεια. Δίνεται g=10 m/s 2. Τριβές δεν υπάρχουν. 18. Σώμα Α μάζας m= 1,5 kg αφήνεται να ολισθήσει χωρίς τριβή από την κορυφή Δ κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R=1,8 m. Στο χαμηλότερο σημείο Γ του τεταρτοκυκλίου το σώμα Α συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Β διπλάσιας μάζας Μ, το οποίο κρέμεται από αβαρές νήμα μήκους l= 1,6 m. Αν γνωρίζετε ότι g=10 m/s 2, να υπολογίσετε: α. Τη δύναμη που δέχεται το σώμα Α από το τεταρτοκύκλιο λίγο προτού συγκρουστεί με το σώμα Β β. Σε ποιο σημείο Ζ του τεταρτοκυκλίου θα σταματήσει στιγμιαία το σώμα Α κατά την επιστροφή του, μετά την κρούση; γ. Την μέγιστη γωνιακή εκτροπή του νήματος από την κατακόρυφο δ. Την τάση του νήματος στη θέση της μέγιστης γωνιακής εκτροπής. [ 45N,,,0,2 m,,,60 0,,,15 N ] 19. Σώμα με μάζα m 1 =1kg κινείται προς ακίνητο σώμα μάζας m 2 =2 kg. Όταν η απόσταση των δυο σωμάτων είναι x= 1,3 m, το μέτρο της ταχύτητας του είναι u 0 =7m/ s. Τα δυο σώματα συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης καθενός από τα δυο σώματα με το δάπεδο είναι μ=0,5, να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της ταχύτητας του πρώτου σώματος πριν την κρούση b. Τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων μετά την κρούση c. Τον ρυθμό παραγωγής θερμότητας εξαιτίας της τριβής ολίσθησης μεταξύ του πρώτου σώματος και του δαπέδου, αμέσως μετά την κρούση. d. Το διάστημα που θα διανύσει το δεύτερο σώμα μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10 m/s 2 20. Τα σώματα Σ1 και Σ2, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ1 είναι δεμένο στη μία άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου, είναι ακλόνητα στερεωμένη. Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά 0,2m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το Σ2 ισορροπεί στο οριζόντιο επίπεδο στη θέση που αντιστοιχεί στο φυσικό μήκος l 0 του ελατηρίου. Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 6

Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ1 κινούμενο προς τα δεξιά συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ2. Θεωρώντας ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά κίνησης την προς τα δεξιά, να υπολογίσετε α. την ταχύτητα του σώματος Σ1 λίγο πριν την κρούση του με το σώμα Σ2. β. τις ταχύτητες των σωμάτων Σ1 και Σ2, αμέσως μετά την κρούση. γ. την απομάκρυνση του σώματος Σ1, μετά την κρούση, σε συνάρτηση με το χρόνο. δ. την απόσταση μεταξύ των σωμάτων Σ1 και Σ2 όταν το σώμα Σ1 ακινητοποιείται στιγμιαία για δεύτερη φορά. Δεχθείτε την κίνηση του σώματος Σ1 τόσο πριν, όσο και μετά την κρούση ως απλή αρμονική ταλάντωση σταθεράς k. Δίνεται π=3,14 21. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και προσκρούει σε ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας m 2 =2kg. Η κρούση των δυο σωμάτων είναι κεντρική και ελαστική. Μετά την κρούση, το σώμα Σ 1 κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και σταματά σε απόσταση d= 1,6 m από το σημείο της σύγκρουσης. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ καθενός από τα δυο σώματα και του οριζοντίου επιπέδου είναι μ=0,5. Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ 1, αμέσως μετά την κρούση β. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ 1, τη στιγμή που συγκρούεται με το σώμα Σ 2 γ. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ 2 τη χρονική στιγμή που το μέτρο της ταχύτητας που απέκτησε αμέσως μετά την κρούση υποδιπλασιάζεται δ. Το λόγο Q 1 Q 2, όπου Q 1 και Q 2, τα ποσά θερμότητας που παράχθηκαν λόγω της τριβής κατά την ολίσθηση των δυο σωμάτων Σ 1 και Σ 2, αντίστοιχα, μετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g=10 m/s 2. 22. Η σφαίρα m1 =3kg εκτοξεύεται με ταχύτητα u 1 =25 m s εναντίον μιας άλλης αρχικά ακίνητης σφαίρας μάζας m 2 =2kg και κάθετα σε κατακόρυφο τοίχο. Τριβές δεν υπάρχουν και όλες οι κρούσεις είναι κεντρικές και ελαστικές a. Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας μάζας m 1 μετά την κρούση b. Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας μάζας m 2 μετά την κρούση c. Ποια είναι η μεταβολή της ορμής της πρώτης σφαίρας, ποια της δεύτερης και ποια του συστήματος κατά την κρούση; d. Πιστεύετε ότι θα γίνει και τρίτη κρούση των δυο σφαιρών; [ 5 m s, 30 m s, 60 kg m s, 60kg m s, όχι] 23. Σφαίρα Σ 1 μάζας m 1 κινείται με ταχύτητα v 1 =6m/s και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με m 1 αρχικά ακίνητη Σφαίρα Σ 2 μάζας m 2. Ο λόγος των μαζών των δυο σφαιρών είναι = 1 m 2 2. a. Να βρείτε τις ταχύτητες των δυο σφαιρών μετά την κρούση b. Να υπολογίσετε το λόγο K 1 κρούση ' K 2 ' των κινητικών ενεργειών των δυο σφαιρών μετά την Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 7

c. Ποια θα έπρεπε να είναι η τιμή του λόγου m 1 m 2 έτσι ώστε: i. Όλη η κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ 1 να μεταβιβάζεται με την κρούση στη Σφαίρα Σ 2 ; ii.η μισή κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ 1 να μεταβιβάζεται με την κρούση στη Σφαίρα Σ 2 ; [ 2 m s,,,4 m s,,, 1 8,,,1] 24. Ένα σώμα Α μάζας m 1 =1kg κινείται σε λεία οριζόντια επιφάνεια με σταθερή ταχύτητα v 1 =6m/s. Το σώμα Α συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Β, το οποίο συνδέεται μέσω ελατηρίου σταθεράς k=50n/m με το επίσης ακίνητο σώμα Γ. Το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ο άξονας του είναι οριζόντιος και βρίσκεται στην προέκταση της ταχύτητας του σώματος Α. Τα σώματα Β και Γ έχουν μάζες m 2 =m 3 =2kg. Να υπολογίσετε: a. Τις ταχύτητες των σωμάτων Α και Β αμέσως μετά την κρούση b. Τη μέγιστη συσπείρωση την οποία θα υποστεί το ελατήριο c. Τις ταχύτητες των σωμάτων Β και Γ τη στιγμή που το ελατήριο επανέρχεται για πρώτη φορά στο φυσικό του μήκος [ 2 m s,,,4 m,,,2 2 s 5 m,,,0 m s,,,4 m s ] 25. Σώμα Α μάζας m 1 =2kg κινείται τη χρονική στιγμή t=0 με ταχύτητα v 0 =10m/s πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0,2 και έχει απόσταση d=9m από δεύτερο σώμα Β μάζας m 2 =3kg, το οποίο είναι ακίνητο. Κάποια στιγμή t 1 το σώμα Α συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Β. Αν g=10m/s 2, να υπολογίσετε: a. Την στιγμή t 1 κατά την οποία γίνεται η κρούση b. Το ποσοστό της αρχικής ενέργειας του σώματος Α που μεταβιβάζεται στο σώμα Β κατά την κρούση c. Το ποσό θερμότητας που εκλύεται κατά την κίνηση του σώματος Α μέχρι να σταματήσει d. Την απόσταση των σωμάτων Α και Β τη στιγμή που και τα δυο έχουν σταματήσει την κίνηση τους. [1s,,,61,44%,,,38,56 j,,,10, 88m] 26. Σώμα μάζας m 1 κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου u 1 =15m/ s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2. Το σώμα μάζας m 1 κινείται αντίρροπα μετά την κρούση με ταχύτητα μέτρου u 1 ' =9m/ s. α. Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών m 1 /m 2 β. να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος m 2 αμέσως μετά την κρούση γ. να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m 1 που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας m 2 κατά τη διάρκεια της κρούσης δ. έστω ότι τη στιγμή t 1 κατά τη διάρκεια της κίνησης των σωμάτων μετά την κρούση, τα σώματα έχουν ίσες κατά μέτρο ορμές. Να βρεθεί τη στιγμή t 1 η απόσταση μεταξύ των σωμάτων. Δίνεται ότι τα σώματα παρουσιάζουν τριβές με το οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή μ=0,1 και επίσης g=10 m/s 2. Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 8

1. Από τη βάση πλάγιου επιπέδου, το οποίο έχει μήκος s= 2,9 m και κλίση φ=30 0, ολισθαίνει προς τα επάνω σώμα Α μάζας m 1 και αρχικής ταχύτητας u 0 =6m/sec. Όταν έχει διανύσει διάστημα s 1 =2m, το σώμα συγκρούεται με δεύτερο ακίνητο σώμα Β μάζας m 2. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται από την κρούση ολισθαίνει στο πλάγιο επίπεδο και φτάνει στην κορυφή του με μηδενική ταχύτητα. Να υπολογίσετε: ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ a. Την ταχύτητα του σώματος Α, αμέσως πριν την κρούση b. Την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση c. Τον λόγο m 1 /m 2 των μαζών των σωμάτων Α και Β d. Το κλάσμα της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Α, το οποίο χάθηκε κατά την κρούση. Τριβές δεν υπάρχουν. Δίνεται g=10 m/s 2. [1. 47/347,,,4m/ s,,,3m/ s,,,3/3,,,1/9] 2. Σώμα μάζας m 1 =2 kgr κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου u 1 =8m /s και συγκρούεται μετωπικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 =6 kgr. Η μεταβολή της ορμής του πρώτου σώματος κατά τη διάρκεια της κρούσης έχει μέτρο Δp 1 =18kgrm/ s. a. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του κάθε σώματος αμέσως μετά την κρούση b. Να δικαιολογηθεί ότι η κρούση ήταν ανελαστική c. Να υπολογιστεί η θερμότητα που παράχθηκε κατά την κρούση. [1.48/347,,, 1m/ s,,,3m /s,,,36 j ] 3. Δυο σώματα Α και Β με μάζες m 1 =2 kg και m 2 =3 kg είναι ακίνητα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, σε απόσταση x= 5,5 m το ένα από το άλλο. Δίνουμε στο σώμα Α ταχύτητα u 0 =6m/ s με κατεύθυνση προς το σώμα Β. Τα δυο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Α καθώς και του συσσωματώματος που προκύπτει από την κρούση με το οριζόντιο επίπεδο είναι μ=0,1. Να υπολογίσετε: a. Την ταχύτητα του σώματος Α τη στιγμή που συναντάει το σώμα Β b. Το διάστημα που θα διανύσει το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει. c. Το λόγο της θερμότητας που παράχθηκε κατά την κρούση προς τη θερμότητα που θα παραχθεί λόγω της τριβής κατά την ολίσθηση του συσσωματώματος και μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10 m/s 2. [1.52 /348,,,5m /s,,,2m,,,3/2 ] 4. Δυο σώματα Α και Β με μάζες m 1 =5 kg και m 2 =1,8kg είναι ακίνητα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, σε απόσταση d= 2m μεταξύ τους. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των σωμάτων Α και Β με το οριζόντιο επίπεδο είναι μ=0,4. Βλήμα μάζας m= 0,2 kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα u 0, προσπίπτει στο σώμα Α, εξέρχεται από αυτό με ταχύτητα u= 100 m/s και στη συνέχεια σφηνώνεται στο σώμα Β. Μετά τη διέλευση του βλήματος από το σώμα Α, το σώμα αυτό διανύει διάστημα x 1 =2m μέχρι να σταματήσει. Να υπολογίσετε: a. Την ταχύτητα του σώματος Α, αμέσως μετά την κρούση Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 9

b. Την ταχύτητα u 0 του βλήματος c. Την τελική απόσταση των δυο σωμάτων d. Τη συνολική θερμότητα που παράχθηκε κατά τη διάρκεια του φαινομένου. Δίνεται g=10 m/s 2. [1.53/349,,,4m /s,,,200 m/ s,,,12,5 m,,,4000 j ] 5. Σώμα μάζας M= 4,5 kg Αφήνεται να πέσει από ορισμένο ύψος. Μετά από χρόνο t= 2s ένα βλήμα μάζας 0,5kg, που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, σφηνώνεται στο κέντρο μάζας του σώματος με ταχύτητα μέτρου u 0. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα κινείται προς τα πάνω και φτάνει στο ίδιο ύψος από το οποίο αφέθηκε το σώμα. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση b. Το μέτρο της ταχύτητας u 0 του βλήματος. c. Το κλάσμα της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάθηκε κατά την κρούση d. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. Δίνεται g=10 m/s 2. [1.55/349,,,20 m/ s,,,380 m/ s,,,36 /37,,, 1000 j/ s ] 6. Από την κορυφή πλάγιου επιπέδου ύψους h= 1,8 m και γωνίας κλίσης φ=30 0 Αφήνεται να ολισθήσει σώμα μάζας m 1 =1kg. Στη βάση του πλάγιου επιπέδου το σώμα συναντά λείο οριζόντιο επίπεδο, στο οποίο και κινείται μέχρις ότου συγκρουστεί πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 4 kg. Το συσσωμάτωμα κινούμενο συναντά και συσπειρώνει ιδανικό οριζόντιο ελατήριο σταθεράς K=500 N / m, το οποίο έχει μόνιμα στερεωμένο το ένα του άκρο. Η ευθεία κίνησης του συσσωματώματος ταυτίζεται με τον άξονα του ελατηρίου. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης στο πλάγιο επίπεδο είναι μ= 3, να βρείτε: 4 a. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος m 1 στη βάση του πλάγιου επιπέδου b. Το ποσοστό επί τοις εκατό της ελάττωσης της αρχικής ενέργειας του σώματος μάζας m 1 κατά την ολίσθηση του στο πλάγιο επίπεδο c. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος μετά την κρούση d. Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου. Δίνεται g=10 m/s 2 [1.59 /351,,,3m /s,,,75%,,,0,6 m/s,,,0,06 m] 7. Ένα ξύλινο σώμα μάζας M= 1 kg είναι δεμένο στο ένα άκρο νήματος μήκους l= 0,9 m. Βλήμα μάζας m= 100 gr, κινείται με ταχύτητα u 1 =60 m/s, διαπερνά το ξύλο και βγαίνει από αυτό με ταχύτητα u 2. Μετά την κρούση το σώμα ανυψώνεται σε ύψος h= 0,45 m. Να υπολογίσετε: a. Την ταχύτητα του ξύλου, αμέσως μετά την κρούση b. Το μέτρο u 2, της ταχύτητας του βλήματος αμέσως μετά την διέλευση του από το ξύλο Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 10

c. Το ρυθμό μεταβολής της ορμής του ξύλου τη στιγμή που φτάνει στο μέγιστο ύψος του. Δίνεται g=10 m/s 2. [1.62 /352,,,3m/s,,,30 m/s,,, 5 3 kgm/s 2 ] 8. Ένα ξύλινο σώμα μάζας M= 1,9 kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l= 0,8 m και ισορροπεί με το νήμα σε κατακόρυφη θέση. Βλήμα μάζας m=100 gr κινούμενο με ταχύτητα u 0 σφηνώνεται στο κέντρο μάζας του σώματος. Μετά την κρούση, το συσσωμάτωμα διαγράφει κυκλική τροχιά και όταν το νήμα γίνεται οριζόντιο, η δύναμη που ασκεί το τεντωμένο νήμα στο συσσωμάτωμα έχει μέτρο T= 22,5 N. Να βρείτε: a. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος, όταν το νήμα γίνεται οριζόντιο b. Το μέτρο της ταχύτητας u 0 του βλήματος πριν την κρούση c. Τη μηχανική ενέργεια του συστήματος που χάθηκε κατά την κρούση. Δίνεται g=10 m/s 2. 1. 63/352,,,3m/ s,,,100 m/ s,,,475 j ] 9. Σφαίρα μάζας m 1 =1kg είναι δεμένο με σχοινί μήκους l= 0,8 m και ισορροπεί με το σχοινί σε κατακόρυφη θέση. Εκτρέπουμε τη σφαίρα, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, και στη συνέχεια την αφήνουμε ελεύθερη. Όταν η σφαίρα επανέρχεται στην κατώτερη θέση της, συγκρούεται με σώμα Σ μάζας m 2 =3 kg, που είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Μετά την κρούση, η σφαίρα ανακλάται και ανέρχεται σε ύψος h= 0,2 m, ενώ το σώμα Σ ολισθαίνει πάνω στο επίπεδο και σταματάει αφού διανύσει διάστημα x= 1m. να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας, αμέσως πριν την κρούση b. Το μέτρο της τάσης του σχοινιού, αμέσως μετά την κρούση c. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ, αμέσως μετά την κρούση d. Τον συντελεστή τριβής ολίσθησης του σώματος Σ με το οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται g=10 m/s 2. [1.64 /352,,,4m/s,,,15 N,,,2m/ s,,, μ= 0,2] 10. Δυο σώματα Α και Β με μάζες m 1 =1 kg και m 2 =2,98 kg είναι κρεμασμένα με σχοινιά, ώστε να βρίσκονται το ένα κοντά στο άλλο και τα κέντρα μάζας τους να βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας m= 20 gr που κινείται οριζόντια διαπερνά το σώμα Α και, όταν βγαίνει από αυτό, σφηνώνεται στο σώμα Β. Η ευθεία κίνησης του βλήματος διέρχεται από τα κέντρα μάζας των δυο σωμάτων. Αμέσως μετά τις δυο κρούσεις, το σώμα Α έχει ταχύτητα V 1 =4m/ s, ενώ το σώμα Β ανυψώνεται σε ύψος h= 20 cm πάνω από τη θέση ισορροπίας του. Να υπολογίσετε: a. Την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση του βλήματος με το σώμα Β b. Την ταχύτητα του βλήματος, όταν βγαίνει από το σώμα Α Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 11

c. Την ταχύτητα του βλήματος πριν συγκρουστεί με το σώμα Α d. Σε ποια από τις δυο κρούσεις η θερμότητα που παράγεται είναι μεγαλύτερη; Δίνεται g=10 m/s 2. [1.65 /353,,,2m /s,,,300 m/s,,,500 m/s,,,q 1 >Q 2 ] 11. Ξύλινο σώμα μάζας M= 2 kg είναι δεμένο στο ένα άκρο νήματος, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο Ο. Η απόσταση του κέντρου μάζας του σώματος από το σημείο Ο είναι l= 72 cm. Ένα βλήμα μάζας m= 20 gr και οριζόντιας ταχύτητας μέτρου u προσκρούει στο σώμα, το διαπερνά και εξέρχεται από αυτό με ταχύτητα u. Αν το σώμα μόλις εκτελεί 2 ανακύκλωση, να υπολογίσετε: a. Το μέτρο V της ταχύτητας του σώματος, αμέσως μετά την κρούση b. Το μέτρο u της ταχύτητας του βλήματος, αμέσως πριν από την κρούση. [1.66 /353,,,6m/s,,,1200 m/s ] 12. Δυο ξύλινοι κύβοι, μάζας M= 1,9 kg ο καθένας, ισορροπούν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, σε μικρή απόσταση ο ένας από τον άλλο. Ένα βλήμα μάζας m= 0,1kg, που κινείται οριζόντια, στη διεύθυνση που ορίζουν τα κέντρα μάζας των δυο κύβων, με ταχύτητα μέτρου u 0 =430 m s, διαπερνά τον ένα κύβο και σφηνώνεται στον άλλο. Μετά την κρούση ο δεύτερος κύβος ολισθαίνει καλύπτοντας διάστημα s 2 =14,4 m, πριν σταματήσει και πάλι. Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του κύβου με το επίπεδο μ=0,5 και g=10 m 2. Να βρεθούν s α. Το διάστημα που διάνυσε ο πρώτος κύβος μετά την κρούση β. Η μεταβολή της ορμής του βλήματος κατά τη διέλευση του από τον πρώτο κύβο γ. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που έγινε θερμότητα κατά τις κρούσεις 13. Σώμα μάζας Μ=300g κρέμεται από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=15n/m και ισορροπεί. Το άνω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. βλήμα μάζας m=300g κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου u= 2 3 m και σφηνώνεται στο σώμα. Αν g=10m/s s 2, να υπολογίσετε: a. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια κατά την κρούση b. Τη μέγιστη ανύψωση του συσσωματώματος από τη θέση της κρούσης και το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει c. Την περίοδο της ταλάντωσης και τον ελάχιστο χρόνο, από τη στιγμή της κρούσης, που χρειάζεται το συσσωμάτωμα για να ξαναπεράσει από το σημείο της κρούσης d. Τη μέγιστη τιμή, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος, i. Της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης ii.της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου e. το ρυθμό μεταβολής, αμέσως μετά την κρούση i. της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος ii.της βαρυτικης δυναμικής ενέργειας iii. της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου. [50%,,,0,2 m,,,0,4 m,,,0,4 πs,,, 2π 15 s,,,1,2 j,,,4,8 j,,, 3 3 j s,,,6 3 j s,,, 3 3 j s ] Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 12

14. Μια σφαίρα όπλου μάζας m= 0,02 kg κινείται οριζόντια και σφηνώνεται σ ένα κομμάτι ξύλου, μάζας M= 0,98 kgr που είναι δεμένο στην άκρη κατακόρυφου νήματος μήκους l= 0,9 m, αμελητέου βάρους. Μόλις το βλήμα σφηνωθεί, το ξύλο εκτρέπεται, με αποτέλεσμα το νήμα να υποστεί μέγιστη απόκλιση 60 0. Να βρεθούν a. Η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση b. Η ταχύτητα του βλήματος πριν την κρούση c. Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση, ως ποσοστό της αρχικής μηχανικής ενέργειας του συστήματος. Δίνεται g=10 m s 2. [ 3 m s, 150 m s, 98%] 16. Δυο ξύλινοι κύβοι, μάζας M= 1,9 kg ο καθένας, ισορροπούν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, σε μικρή απόσταση ο ένας από τον άλλο. Ένα βλήμα μάζας m= 0,1kg, που κινείται οριζόντια, στη διεύθυνση που ορίζουν τα κέντρα μάζας των δυο κύβων, με ταχύτητα μέτρου u 0 =430 m s, διαπερνά τον ένα κύβο και σφηνώνεται στον άλλο. Μετά την κρούση ο δεύτερος κύβος ολισθαίνει καλύπτοντας διάστημα s 2 =14,4 m, πριν σταματήσει και πάλι. Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του κύβου με το επίπεδο μ=0,5 και g=10 m s 2. Να βρεθούν a. Το διάστημα που διάνυσε ο πρώτος κύβος μετά την κρούση b. Η μεταβολή της ορμής του βλήματος κατά τη διέλευση του από τον πρώτο κύβο c. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που έγινε θερμότητα κατά τις κρούσεις [10m, 19 m s, 97,4%] 17. Μια σφαίρα από πλαστελίνη μάζας m 1 =3kg, αφήνεται να πέσει. Όταν διανύσει διάστημα h= 0,45 m, συναντά άλλη σφαίρα από πλαστελίνη, μάζας m 2 =3 kg, που ισορροπεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200 N. Οι δυο σφαίρες συγκρούονται πλαστικά. m Να βρεθούν a. Να βρεθεί το πλάτος απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σύστημα b. Ο χρόνος καθόδου του συσσωματώματος μετά την κρούση c. Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας, λίγο πριν την κρούση, που έγινε ενέργεια της ταλάντωσης d. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής και της κινητικής ενέργειας του συσσωματωματος όταν, μετά την κρούση, έχει κατεβεί κατά x 1 =0,15 m. Δίνεται g=10 m s 2 [ 0,3 m, π 3 15 s, 66,7%, 0.] 18. Ένα βλήμα μάζας m=50gr κινείται με ταχύτητα v=200m/s και σφηνώνεται σε σώμα με μάζα Μ=950gr που είναι ακίνητο σε οριζόντιο τραπέζι. Το σώμα είναι στερεωμένο στη μια άκρη ελατηρίου σταθεράς k=2475n/m. Αν η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου μετά την κρούση είναι d=0,2m, να βρείτε: a. Την ταχύτητα V του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση b. Την απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση c. Τον συντελεστή τριβής του συσσωματώματος με το οριζόντιο επίπεδο d. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος. i. Που χάνεται κατά την κρούση ii.που μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια κατά την ολίσθηση στο επίπεδο, μέχρι που το συσσωμάτωμα να σταματήσει στιγμιαία Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 13

iii. Που μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, όταν το ελατήριο έχει τη μέγιστη συσπείρωση του. Δίνεται ότι g=10m/s 2. [10 m,,,950 j,,,0,25,,,95%,,,0,05%,,,4,95 ] s Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 14

ΠΛΑΓΙΑ ΚΡΟΥΣΗ 1. Δυο σφαίρες Α και Β με μάζες m και 2m κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητες u 1 και u 2 που είναι κάθετες μεταξύ τους. Οι σφαίρες συγκρούονται πλαστικά και μετά την κρούση η ταχύτητα του συσσωματώματος έχει μέτρο V=10m/ s και σχηματίζει γωνία θ=60 0 με την ταχύτητα u 1. Να υπολογίσετε: a. Τα μέτρα των ταχυτήτων των σφαιρών Α και Β πριν την κρούση b. Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάνεται κατά την κρούση. 15 [1.67 /354,,,15 m/ s,,, 3 2 m/s,,,46,7 ] 2. Δυο σώματα με μάζες m 1 =1 kg και m 2 =3 kg κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητες u 1 =30m/s και u 2 =10 3m/s, αντίστοιχα. Τα σώματα κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις και κάποια στιγμή συγκρούονται πλαστικά. Να βρείτε: a. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος που προκύπτει από την κρούση b. Την απώλεια ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση. [1.68 /324,,,15 m/ s,,,θ=60 0,,,450 j ] 3. Δυο σφαίρες με μάζες m 1 =1kg και m 2 =2kg κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητες που έχουν μέτρα u 1 30 m/ s και u 2 15m/ s και σχηματίζουν γωνία φ=60 0. Οι σφαίρες συγκρούονται πλαστικά. Να βρείτε: a. Το μέτρο και τη διεύθυνση της ταχύτητας του συσσωματώματος που προκύπτει από την κρούση b. Το κλάσμα της μηχανικής ενέργειας του συστήματος που χάνεται κατά την κρούση. [1.69 /354,,,10 3 m/ s,,,30 0,,,1/3] Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 15

ΚΡΟΥΣΗ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ 1. Ομογενής ράβδος ΟΑ, μήκους l= 1,2 m και μάζας M= 2 kg, είναι κατακόρυφη και μπορεί να στρέφεται χωρίς Τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ανώτερο άκρο Ο της ράβδου. βλήμα μάζας m= 0,02 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου u 0, διαπερνά ακαριαία τη ράβδο στο κέντρο μάζας της και εξέρχεται από αυτή με οριζόντια ταχύτητα μέτρου u 0. μετά την κρούση η μέγιστη γωνία 2 εκτροπής της ράβδου από την αρχική κατακόρυφη θέση της είναι φ= 90 0. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου αμέσως μετά την διέλευση του βλήματος b. Το μέτρο u 0 της ταχύτητας του βλήματος πριν τη διέλευση του από τη ράβδο c. Το μέτρο της στροφορμης της ράβδου, όταν η γωνία εκτροπής της από την αρχική κατακόρυφη θέση της είναι θ=60 0. Δίνονται ότι I cm = 1 12 Ml2 και g=10 m/s 2. 2. Ομογενής ράβδος ΑΓ, μήκους L=1,5 m και μάζας M=3kg, ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο Γ της ράβδου συνδέεται με τον τοίχο με οριζόντιο σχοινί. [1.92 /363,,,5 rad/ s,,,800 m/ s,,,2,4 2 kgm 2 /s ] a. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το σχοινί στη ράβδο b. κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα της. Να υπολογίσετε: i. Το ρυθμό μεταβολής της στροφορμης της ράβδου τη στιγμή που κόβουμε το νήμα ii.το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου τη στιγμή που γίνεται κατακόρυφη c. Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, ένα βλήμα μάζας m= 0,1 kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα u 0 σφηνώνεται ακαριαία στο κατώτερο άκρο Γ της ράβδου. Αν η ράβδος αμέσως μετά την κρούση παραμένει ακίνητη, να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας u 0. Δίνονται I cm = 1 12 Ml2 και g=10 m/s 2 και ημθ= 4 5,συνθ= 3 5. [1.95 /364,,,20 Ν,,,18 kgm 2 / s 2,,,4 2rad / s,,,60 2 m/ s] Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 16

3. Ράβδος ΟΑ, μήκους L=1,2 m και μάζας M= 3 kg, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς Τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. η ράβδος φέρεται σε οριζόντια θέση και αφήνεται ελεύθερη. Όταν η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, το κατώτερο τμήμα της συγκρούεται με ένα σώμα Σ μικρών διαστάσεων, μάζας m=1 kg. αμέσως μετά την κρούση η ράβδος παραμένει ακίνητη, ενώ το σώμα Σ κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς Τριβές και συναντά το ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατήριου σταθεράς K= 400 N /m, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Η ευθεία κίνησης του σώματος Σ ταυτίζεται με τον άξονα του ελατήριου. a. Να υπολογίσετε: i. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου τη στιγμή που γίνεται κατακόρυφη, ελάχιστα πριν συγκρουστεί με το σώμα Σ ii.το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση iii. Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατήριου b. Να δικαιολογήσετε, αν η κρούση της ράβδου με το σώμα Σ είναι ελαστική η ανελαστική. Δίνονται I cm = 1 12 Ml2 και g=10 m/s 2 [1.96 /364,,,5 rad/ s,,,6m /s,,,0,3m,,,ελαστικη] 4. Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ=6kg, ακτίνα R=0,5m και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Το σώμα Σ 1 μάζας m 1 =2kg είναι δεμένο σε αβαρές νήμα το οποίο είναι τυλιγμένο γύρω από τη τροχαλία. Σώμα Σ 2 μάζας m 2 =6kg ισορροπεί στη κορυφή κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς K=400N/m. Η αρχική απόσταση των 2 σωμάτων (σχήμα) είναι h=2m. Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ 1. Α. Να υπολογιστούν : α) το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κατέρχεται το Σ 1. β) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφαρμής της τροχαλίας καθώς κατέρχεται το Σ 1. γ) το μέτρο της ταχύτητας του Σ 1 ελάχιστα πριν από την κρούση με το Σ 2. Β. Τα σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά ενώ την ίδια στιγμή κόβεται το νήμα. Nα υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) το πλάτος της α.α. ταλάντωσης του συσσωματώματος. γ) την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος αμέσως μετά τη κρούση. Δίνονται : ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το 1 2 κέντρο μάζας της cm MR και g=10m/s 2. 2 Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 17

5. Ομογενής ράβδος μάζας m 1 =0,3 kg και μήκους l= 1m ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, εξαρτημένη στο πάνω άκρο της από οριζόντιο άξονα, γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται ελευθέρα. Ένα βλήμα παιδικού όπλου, μάζας m 2 =0,1 kg κινούμενο οριζόντια, σφηνώνεται στο κάτω άκρο της ράβδου. αποτέλεσμα της κρούσης είναι να εκτραπεί η ράβδος από την κατακόρυφη θέση κατά μέγιστη γωνία ϕ= 60 0. Να βρεθούν a. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου αμέσως μετά την κρούση b. Η ταχύτητα του βλήματος πριν την κρούση c. Το ποσό της θερμότητας που παράχθηκε κατά την κρούση. Δίνονται g=10 m s 2 50=7, I cm = 1 12 m 1 l 2. [ 3,5 rad s, 7 m s, 1,225j] Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 18

ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER 1. Ένα αυτοκίνητο Α κινείται με σταθερή ταχύτητα u 1 =30m/s προς ένα σταθμευμένο αυτοκίνητο Β. Ο συναγερμός του αυτοκινήτου Β εκπέμπει ηχητικά κύματα μήκους κύματος λ= 0,25 m. a. Ποια είναι η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει ο συναγερμός του αυτοκινήτου Β; b. Ποια είναι η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται Ένας επιβάτης του αυτοκινήτου Α, όταν αυτό πλησιάζει προς το αυτοκίνητο Β; c. Ποιο είναι το μήκος κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται ο επιβάτης του αυτοκινήτου Α, όταν αυτό έχει προσπεράσει και απομακρύνεται από το αυτοκίνητο Β; Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u= 340 m/ s. [ 2. 12/422,,,1360 Hz,,,1480 Hz,,,0,25 m] 2. Δυο περιπολικά έχουν σειρήνες που οι συχνότητες των ήχων που εκπέμπουν διαφέρουν κατά Δf= 240 Hz. Με τις σειρήνες τους σε λειτουργία, τα περιπολικά κινούνται με ταχύτητες του ίδιου μέτρου u s =20m/s και πλησιάζουν από αντίθετες κατευθύνσεις προς έναν ακίνητο παρατηρητή. a. Με ποια διαφορά συχνοτήτων αντιλαμβάνεται τους ήχους των δυο σειρήνων ο παρατηρητής; b. Αν ο βαρύτερος από τους δυο ήχους που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής έχει συχνότητα f 1 =245 Hz, ποιος είναι ο λόγος των μηκών κύματος των δυο ήχων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής; Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u= 340 m/ s. [ 213/422,,,255 Hz,,,100/49 ] 3. Αμαξοστοιχία διέρχεται από ένα σταθμό με σταθερή ταχύτητα. Η σειρήνα της αμαξοστοιχίας έχει χαρακτηριστική συχνότητα f s. Όταν η Αμαξοστοιχία πλησιάζει στο σταθμό, η συχνότητα f 1 του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής διαφέρει κατά Δf= 99 Hz από τη συχνότητα f 1. Να υπολογίσετε: a. Την ταχύτητα της αμαξοστοιχίας. b. Την τιμή της συχνότητας f s της σειρήνας της αμαξοστοιχίας. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u= 340 m/ s. [ 215/423,,,30 m/ s,,,540 Hz ] 4. Ένα περιπολικό με τη σειρήνα του σε λειτουργία κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα u s =20m/s, ανάμεσα σε δυο ακίνητους παρατηρητές Α και Β. Ο παρατηρητής Α ακούει ήχο συχνότητας f A =425 Hz, ενώ ο παρατηρητής Β ακούει ήχο βαρύτερο από αυτόν που ακούει ο παρατηρητής Α. a. Το περιπολικό κινείται προς τον παρατηρητή Α η προς τον παρατηρητή Β; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. b. Ποια είναι η συχνότητα του ήχου της σειρήνας που θα άκουγε καθένας από τους δυο παρατηρητές, αν το περιπολικό σταματούσε να κινείται; c. Ποια είναι η συχνότητα του ήχου που ακούει ο παρατηρητής Β, όταν ο παρατηρητής Α ακούει ήχο συχνότητας f A =425 Hz ; Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u= 340 m/ s. [ 216/423,,,400 Hz,,,377,8 Hz ] 5. Ένας παρατηρητής Α στέκεται στην άκρη ενός ευθύγραμμου δρόμου και παρατηρεί ένα περιπολικό αυτοκίνητο και ένα όχημα της πυροσβεστικής, που κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Το περιπολικό, που προπορεύεται, κινείται με σταθερή ταχύτητα u 1 =40m/ s και η σειρήνα του εκπέμπει ήχο συχνότητας f 1 =1900 Hz. Το όχημα της πυροσβεστικής, που ακολουθεί, κινείται με σταθερή ταχύτητα u 2 =20 m/ s και η σειρήνα του εκπέμπει ήχο Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 19

συχνότητας f 2. Όταν ο παρατηρητής Α βρίσκεται μεταξύ των δυο οχημάτων, ακούει τους ήχους που προέρχονται από τις δυο σειρήνες με την ίδια συχνότητα. Να υπολογίσετε: a. Την συχνότητα f 2 του ήχου που εκπέμπει η σειρήνα του οχήματος της πυροσβεστικής. b. Τη συχνότητα του ήχου που ακούει ο παρατηρητής Α, όταν βρίσκεται μεταξύ των δυο οχημάτων. c. Τη συχνότητα με την οποία ο οδηγός του οχήματος της πυροσβεστικής ακούει τον ήχο της σειρήνας του περιπολικού. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u= 340 m/ s. [ 226/426,,,1600 Hz,,,1700 Hz,,,1800 Hz ] 6. Σώμα μάζας M= 0,3 kg έχει στο πάνω μέρος του προσαρμοσμένο διαπασών μάζας m= 0,1 kg, το οποίο παράγει ήχο συχνότητας f s =1806 Hz. Το σώμα είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς K=160 N / m και μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο τραπέζι. Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά x= 20cm και όταν το αφήνουμε ελεύθερο, το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Να υπολογίσετε: a. Τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης b. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σώματος c. Τη μέγιστη και την ελάχιστη συχνότητα του ήχου που ακούει Ένας ακίνητος παρατηρητής Α, ο οποίος βρίσκεται σε κάποια απόσταση από το τραπέζι και έχει το αυτί του στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου. d. Σε ποιες θέσεις βρίσκεται το σώμα, όταν ο ήχος που εκπέμπει το διαπασών στις θέσεις αυτές γίνεται αντιληπτός από τον παρατηρητή με συχνότητα f A =1806 Hz ; Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u= 340 m/ s. [ 2. 34/ 429,,,20 rad /s,,,4m/s,,,1827,6 Hz,,,1785 Hz ] 7. Σώμα μάζας m= 0,1 kg, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο T=π /5sec και πλάτος Α, αποτελεί πηγή αρμονικών ηχητικών κυμάτων συχνότητας f s =688 Hz. Τη χρονική στιγμή t= 0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, ενώ στη θέση x =+ A/2 η κινητική ενέργεια του σώματος είναι K=0,6 j. a. Να υπολογίσετε την τιμή του πλάτους Α της ταλάντωσης του σώματος b. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο c. Ένας παρατηρητής πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα u A προς το σώμα πηγή των ηχητικών κυμάτων, κινούμενος στη διεύθυνση ταλάντωσης του σώματος και έχοντας το αυτί του στην προέκταση της ευθείας κατά μήκος της οποίας ταλαντώνεται το σώμα. Αν η μικρότερη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι f min =700 Hz, να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας u A. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u= 340 m/ s. [ 2. 35/429,,,0,4 m,,, u= 4 συνπt,,,10 m/s ]. Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 20

8. Στην οροφή ερευνητικού εργαστηρίου είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο σταθερής k=60 N / m, στο άλλο άκρο του οποίου στερεώνουμε σώμα μάζας m 1 =17 kg. Το σύστημα ισορροπεί. Παρατηρητής εκτοξεύει, από απόσταση h= 2,2m, κατακόρυφα προς τα πάνω σώμα μάζας m 2 =3 kg με ταχύτητα u 0 =12m/s. Το σώμα m 2 έχει ενσωματωμένη σειρήνα η οποία εκπέμπει συνεχώς ήχο συχνότητας f s =700 Hz. Α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής λίγο πριν την κρούση των δυο σωμάτων. Β. Η κρούση που επακολουθεί είναι πλαστική και γίνεται με τρόπο ακαριαίο. Να βρεθεί η σχέση που περιγράφει την απομάκρυνση x της ταλάντωσης του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Θεωρείστε ως στιγμή μηδέν t=0 την στιγμή της κρούσης και ως θετική την φορά προς τα πάνω. Γ. Η σειρήνα δεν καταστρέφεται κατά την κρούση. Να βρεθεί η σχέση που δίνει τη συχνότητα f A την οποία αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε συνάρτηση με τον χρόνο μετά την κρούση Δ. Να βρεθεί ο λόγος της μέγιστης συχνότητας προς την ελάχιστη συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u= 340 m/ s και g=10 m/s 2. [680 Hz,,, x= 1 ημ 3t+ π 6,,,340 340 3συν 3t+ π 700,,, 340 3 6 340 3 ] 9. Σώμα μάζας m 1 κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου u 1 =15m/ s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2. Κάθε σώμα φέρει ανιχνευτή συχνοτήτων αμελητέας μάζας. Σε σημείο Σ, όπως φαίνεται στο σχήμα, υπάρχει ακίνητη πηγή που εκπέμπει συνεχώς ήχο σταθερής συχνότητας f s =1700 Hz, έτσι ώστε η πηγή και οι δυο ανιχνευτές να βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ευθεία. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι u= 340 m/ s. α. το σώμα μάζας m 1 μετά την κρούση κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου 9m/ s. Προσδιορίστε το λόγο των μαζών m 1 /m 2 των δυο σωμάτων. β. να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος m 2 αμέσως μετά την κρούση γ. να βρείτε τις συχνότητες που καταγράφουν οι ανιχνευτές αμέσως μετά την κρούση δ. κατά την κίνηση τους τα σώματα παρουσιάζουν τριβή με το οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή μ=0,1. Προσδιορίστε την χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της κίνησης και των δυο σωμάτων, κατά την οποία ο ανιχνευτής του σώματος m 1 καταγράφει συχνότητα κατά 25 Hz μεγαλύτερη της αντίστοιχης του ανιχνευτή του σώματος m 2. Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 21

Να θεωρήσετε ότι οι ανιχνευτές δεν καταστρέφονται κατά την κρούση και επίσης το σώμα μάζας m 1 δεν συγκρούεται με την πηγή. Δίνεται g=10 m/s 2. u 2 ' 6m/ s,,, f 1 =1745Hz,,, f 2 =1670 Hz,,,t 1 =5s] [ m 1 /m 2 =1/4,,, Επιμέλεια Νικόλαος Μανδουλίδης Φυσικός 22