א. 1. משוואות מגלים מגלים ולומדים א. משוואות וזהויות מיינו את השוויונות שלפניכם לשלוש הקבוצות: שוויונות שמתקיימים לכל ערך של אות, שוויונות שאינם מתקיימים, שוויונות שמתקיימים רק לערכים מסוימים של האות. הסבירו את קביעותיכם. א = 47 17 30 ב = 0.75 1_ 1_ 2 : ג a + b = b + a ד a 6 a = 4 a 10 4 ה = 5 3 15 : ו a b = b a ז = 1 2 1_ 3 ח b + 3 + 5 b = 10 b 2 ט = 12 3 a 2 + י = 60 30 2 יא x + 1 = x 3 יב z + 4 z = 7 z 3 טז + 3 b b + 3 + 5 b = 7 2 טו = 5 x : 40 יד = 3 1 t יג = 10 2 : z 4 יח b 0 = b יז = 20 x 40 לומדים משוואה היא שוויון שיש בו משתנה שמתקיים לערכים מסוימים של המשתנה. משתנה במשוואה נקרא נעלם, כי צריך למצוא את ערכו. פתרון משוואה הוא כל ערכי הנעלם, שבהצבתם במשוואה השוויון מתקיים. דוגמאות למשוואות: 3 x + 8 = x + 10,4 z = 12,10 = y + 1 כדי לפתור את המשוואה = 11 5 + y מחפשים את ערכי הנעלם, y כך שיתקיים שוויון מספרי. אם = 6 y, השוויון = 11 5 6 + מתקיים, לכן 6 הוא פתרון המשוואה. אם = 7 y, השוויון = 11 5 7 + אינו מתקיים, ולכן 7 אינו פתרון המשוואה. משימות א איזה מבין המספרים 13 14, ו- 15 הוא פתרון המשוואה = 21 7 + x? ב איזה מבין המספרים 16 15, ו- 17 הוא פתרון המשוואה 5 x = 12? ג איזה מספר מבין המספרים 6,20 ו- 18 הוא פתרון המשוואה = 56 2 + x?3 בכל סעיף ה חליפו את הריבוע באות כרצונכם. האם קיבלתם משוואות? א = 84 50 + ב + 56 3 = 116 ג = 20 152 ד 150 = 300 ה 2 = 170 + 500 1 2 253
3 פתרו את המשוואות. א = 3 x + 2 ב = 4 x + 2 ג = 5 x + 2 ד = 6 x + 2 4 פתרו את המשוואות. א = 10 3 x ב = 9 3 x ג = 8 3 x ד = 7 3 x 5 פתרו את המשוואות. א = 7 2 + x ב = 11 x + 4 ג = 29 x + 11 ד = 32 6 + x 6 פתרו את המשוואות. א = 20 3 + x ב = 17 4 x ג = 17 x + 9 ד = 9 2 x ה = 12 x + 11 ו = 8 13 x 7 פתרו את המשוואות. א = 26 21 + x ב = 21 x + 14 ג = 37 x + 19 ד = 34 8 + x בכל סעיף המספרים b, a ו- c שונים מ-. 0 הסבירו לפי אילו תכונות השוויונות (2) ו- (3) מתקבלים מהשוויון (1). 8 (1) c a : b = ג ב (1) c a b = א (1) c a = b + a = c b (2) a = c : b (2) b = a c (2) b = a : c (3) b = c : a (3) c = a b (3) 9 פתרו את המשוואות. א = 4 2 : x ב = 2 8 : x ג = 12 5 : x ד = 5 3 : x x 6 x 7 ח 2 = x 3 ז 2 = x 5 ו 4 = ה 7 = 10 פתרו את המשוואות. א = 9 3 x ב = 8 2 x ג = 10 5 x ד = 21 7 x x ה = 9 3 : x ו 8 = 2 x ז = 10 5 : x ח 21 = 7 11 לפניכם שוויונות שתמיד מתקיימים. 2 + 3 = 3 + 2 3 1_ 2 + 3_ = 1.25 2 52 = 47 + 5 1 4 3 30 = 90 6 b + 0 = b 5 15 4 = 60 4 2 x + 3 x + 5 x = 10 x 9 12 a 6 a = 6 a 8 4 z + 4 z = 8 z 7 א באילו מהשוויונות יש משתנים? ב הסבירו מדוע שוויונות אלה תמיד מתקיימים. ג כתבו שלושה שוויונות )שיש בהם משתנה אחד או כמה משתנים(, שיתקיימו בהצבת כל מספר במקום המשתנים. 254
בסרטוט שלפניכם הנקודות O A, ו- B נמצאות על אותו ישר. מצאו את מידת הזווית α. כתבו שלוש משוואות המתאימות לאיור שלפניכם. 13 12 x α 50º 7 9.5 A O B א. 2. זהויות לומדים זהות היא משוואה שבה כל מספר שנציב במקום הנעלם, יהיה פתרון המשוואה. בעזרת זהויות אפשר לבטא חוקים וכללים, ובעזרת חוקים וכללים אפשר לקבל זהויות נוספות. דוגמאות: הזהות a + b = b + a מבטאת את חוק החילוף בחיבור. c, a b הם זהויות. b כללים הקשורים לשברים, כגון d נוסחאות בגאומטריה יכולות להיחשב כזהויות. d = a c למשל, נוסחת היקף המלבן b) p = 2 (a + היא זהות. מקבלים את הזהות a + 4 b = 4 b + 5 a 5 בעזרת חוק החילוף של החיבור. מקבלים את הזהות + 6 x (x + 2) = 3 3 בעזרת חוק הפילוג של הכפל מעל החיבור. מקבלים את הזהות x) = 12 x (4 3 בעזרת חוק הקיבוץ של הכפל. משימות מצאו את הזהויות. נמקו את קביעותיכם. א a = 9 a 9 ב = 11 3 + x ג t + 4 = 4 + t ד = 0 z z 4 4 ה b + 4 + 5 = 9 + b ו = 63 c ז = 18 y 3 6 ח 0) (x x x 1 = 1 לפניכם משוואות שונות. אילו מהן הופכות לשוויונות נכונים בהצבת כל מספר במקום המשתנים? 4 t + 6 + 3 t = 13 t ג a + b 2 = a + 2 2 ב b א (x + y) = 7 x + 7 y 7 x + 3 x = 5 x 2 ו ה (a + a) = 4 a 2 ד 2 (a 0, b 0) a 2 a 2 b אילו מבין השוויונות שלפניכם הופכים לשוויונות נכונים בהצבת כל מספר במקום המשתנים? א = 3 a 0 ב = 0 b 0 ג + 2 b b + 1 = 5 5 ד = 0 b 4 ה z = 3 z + 4 z 7 ו a = 3 a a 2 14 15 16 255
בכל סעיף כתבו לפי אילו חוקים מתקיימת הזהות. א x + 17 x = 17 x + 5 x 5 ב x = 9 5 x 45 ג + 72 x (x + 6) = 12 12 לפניכם זהות המייצגת את חוק הפילוג של הכפל מעל החיבור..a (b + c) = a b + a c א הציבו = 5 a b = 7, ו-.c = x האם השוויון מתקיים לכל? x ב הציבו = 12 a b = x, ו- = 20.c האם השוויון מתקיים לכל? x ג האם + 21 x (x + 6) = 15?15 הסבירו את תשובתכם. פתרו את התרגילים. )כל המשתנים שונים מ- 0.( צמצמו את התוצאות במידת האפשר. דוגמה: 10 a 9 4 a 9 = 10 a 4 a 9 = 6 a 9 = 2 a 3 c 2 x 3 2 x = c 3 2 x 2 א = x 3 x + 7 ב = x x + 3 a ג = y 9 y 3 ד = x x b a 2 b 2 + c 2 = ח 4 c 5 + 7 c 5 ז = 5 4 a 3 2 ו = a 4 4 a + 4 ה = a 4 17 18 19 פיצוחים הכלל שלפניכם מייצג דרך לחישוב חיבור או חיסור של שברים. (b, k 0) a (b, k 0) a k b + c b = a k b c b = a k b + k c k b = a + k c k b k b k c k b = a k c k b א באילו מקרים משתמשים בכלל זה? ב קבעו ערכים למשתנים, ותנו דוגמאות. 20 5 א. 3. פתרון משוואות מגלים המאזניים שבאיור מאוזנים. בכל מעוין רשום מספר יחידות. אבאילו פעולות, לדעתכם, נשמר האיזון? 1 הפחתת 2 יחידות מכל צד. 2 הוספת 6 יחידות לכל צד. 3 הפחתת 2 יחידות מצד ימין והוספתן לצד שמאל. 4 הסרת כדור מכל צד. 5 הסרת כדור מימין והסרת שני כדורים משמאל. ב מהו המשקל של כדור אחד? 2 2 256
לומדים שתי משוואות נקראות משוואת שקולות, אם יש להן אותם משתנים ואותם פתרונות. דוגמאות: המשוואות = 11 1 z 4 ו- = 12 z 4 הן משוואות שקולות, כי יש להן אותו משתנה )z( ואותו פתרון (3). המשוואות = 7 5 x ו- = 7 5 y הן משוואות שאינן שקולות, כי מופיעים בהן משתנים שונים. המשוואות = 22 y + 15 ו- = 22 y + 5 הן משוואות שאינן שקולות, כי יש להן פתרונות שונים. באחת מהן הפתרון הוא (17), ובאחרת הפתרון הוא 7. כדי לפתור משוואה כותבים את המשוואה הנתונה כמשוואה פשוטה יותר, השקולה לנתונה, על-ידי שימוש בתכונות השוויון ובחוקי פעולות החשבון. למעשה, כדי לפתור את המשוואות שנדון בהן בפרק זה, "מבודדים" באחד האגפים* את כל האיברים שיש בהם נעלם, ואת האיברים שאין בהם נעלם "מרכזים" באגף האחר. כדי לבדוק אם המספר שהתקבל הוא אכן פתרון המשוואה, יש להציב את המספר במשוואה במקום הנעלם ולבדוק אם השוויון מתקיים. * אין חשיבות לאגף שמרכזים בו את הנעלם. דוגמאות לתכונות השוויון וחוקי פעולות הוספה של אותו מספר בו-זמנית לשני אגפי המשוואה הפחתה של אותו מספר בו-זמנית משני אגפי המשוואה כפל או חילוק של שני האגפים באותו מספר השונה מ- 0 שימוש בתכונות של החיבור )חוק החילוף וחוק הקיבוץ( שימוש בחוק הפילוג של הכפל מעל החיבור והחיסור הערות אפשר גם "לנחש" את הפתרון, אך עדיף לעבוד בשיטתיות. בכל מקרה, חשוב לבצע בדיקה. נוח לכתוב מימין למשוואה את הפעולה שבוצעה, כדי לעקוב אחרי תהליך הפת רון. 257
דוגמאות לפתרון משוואות: 3 x 4 = 9 3x : 4 = 9 4 3x : 4 4 = 9 4 3x = 36 : 3 x = 12 4 z 1 = 11 + 1 4 z 1 + 1 = 11 + 1 4 z = 12 4 z : 4 = 12 : 4 : 4 z = 3 בדיקה: בדיקה: 3 12 4 = 9 4 3 1 = 12 1 = 11 8(y + 1) = 24 : 8 y + 1 = 3 1 y = 2 8(y + 1) = 24 8y + 8 = 24 8 8 y + 8 8 = 24 8 8 y = 16 : 8 y = 2 בדיקה: בדיקה: 8 (2 + 1) = 8 3 = 24 או 8 (2 + 1) = 8 3 = 24 משימות 21 המאזניים שבאיור מאוזנים. 100 גר' 100 גר' 200 40 גר' גר' א איזו פעולה נדרשת כדי שיהיו רק אגסים על המגש השמאלי? באילו פעולות נדרשות כדי לדעת את משקלו של כל אגס? א 22 מצאו את משקל הספר בכל איור. ב ג 1 2 2,500 ק"ג ק"ג 3 גר' ק"ג 1 ק"ג 5 ק"ג 258
כמה ריבועים יש במעטפה, אם ידוע שמספר הריבועים שמימין שווה למספר הריבועים שמשמאל? 23 24 מהו האיור המתאים למשוואה = 28 16 + x 3? x 3 16 28 א ב x 16 3 28 x x x 16 28 ד x x x ג 16 28 לכל אחד מהאיורים האחרים כתבו משוואה מתאימה, ופתרו אותה. פתרו את המשוואות. א = 8 3 + x ב = 4 1 x ג = 6 5 + x ד = 10 8 x ה = 6 3 + x ו = 2 4 x 25 26 לפניכם זוגות של משוואות שקולות. באיזו פעולה השתמשו כדי לכתוב את משוואה (1) כמשוואה (2)? א = 14 x 2 (1) ב = 15 2 x (1) ג = 15 2 : x (1) (2) x = 30 (2) x = 17 (2) x = 7 פתרו את המשוואות. א = 35 5 + x 3 ב = 47 17 + y 5 ג = 47 27 + y 5 ד = 16 5 y 3 ה 7 y 8 = 17 ו + 7 y 6 = 55 27 לפניכם זוגות של משוואות. האם המשוואות שקולות? אם כן, באיזו פעולה השתמשו כדי לכתוב את משוואה (1) כמשוואה (2)? 28 5 8 (1) ד = 5 x 8 5 (1) א = 42 2 x 5 (1) ב = 42 2 + x 5 (1) ג = 5 x (2) 8 x = 40 (2) 5 x = 40 (2) 5 x = 40 (2) 5 x = 40 259
בכל סעיף הסבירו באיזו מהמשוואות הפתרון גדול יותר, ובדקו את תשובתכם על-ידי חישובים. א 5 40 = 120 + x ב 10 9 = 5 x x 25 = 9 10 x + 20 = 40 5 29 פתרו את המשוואות, וציינו באיזו דרך פתרתם אותן. x + 1 א = 7 2 + x ב = 3 1 + x ג + 2 x = 2 ד 2 3 = 2 ה = 6.5 2.5 + x ו = 3.4 1 + x ז = 7.1 x + 7.1 ח = 5.6 2.8 + x 30 פשטו את הביטויים על-ידי כינוס איברים דומים, ופתרו את המשוואות. א + 30 t = t + t + 69 ב = 11 4 x 3 ג = 11 3 c c + 4 3 ד = 130 b b + 9 4 ה = 140 y y + 7 + 5 2 דוגמה: x + 8 + 2 x + 2 x + 7 = 35 כינוס איברים דומים: 5 x + 15 = 35 5 x = 20 x = 4 31 32 פתרו את המשוואות. א = 1 2 1 + x ב = 3 3 2 + x ג 4 3 = 2 4 1 + x ד 7 5 = 9 7 2 + x פתרו את המשוואות. א = 6.3 2.2 x ב = 7.3 6.1 x ג = 7.25 2.25 x ד = 0.75 0.25 x 33 פתרו את המשוואות. א = 26 x 4 ב = 46 x 8 ג = 37 x 5 ד = 66 x 12 34 לפניכם זוגות של משוואות שקולות. בכל זוג ציינו באילו חוקי פעולות חשבון או תכונות שוויון השתמשו. דוגמה: תכונות השוויון: חילוק שני אגפי המשוואה באותו מספר השונה מ- 0 תכונות השוויון: הוספת אותו מספר לשני אגפי המשוואה 7 (x 1) = 21 1 x 1 = 3 2 x = 3 + 1 = 4 3 35 א = 20 5) + (x 2 (1) ב = 20 4) (y 2 (1) ג = 15 2 x (1) (2) x = 17 (2) 2 y 8 = 20 (2) 2 x + 10 = 20 2 3 (1) ו = 15 2) (x 3 (1) ד = 4 2 + x 2 (1) ה = 20 y (2) x 2 = 5 (2) 2 y = 60 (2) x = 1 260
מצאו את המספר החסר. 5 7 = (6 + ) א 25 = 5 4 ב 21 5 7 = 20 ג 12 = 4 3 ד 25 + בכל סעיף כתבו משוואה מתאימה להיגד, ופתרו אותה. אאם מוסיפים 8 למספר, b מקבלים 28. בארבע פעמים המספר a שווה ל- 28. גכאשר מחסרים 5 מהמספר, c מקבלים 28. דאם מחלקים את המספר d בשתיים, מקבלים 28. זכרו! אפשר לקבל שברים שווים על-ידי הרחבה. 36 37 בכל אחד מהסעיפים כתבו אם המשפט נכון או לא-נכון, ונמקו את תשובתכם. א המספר 0 הוא פתרון המשוואה = 0 y 16. ב המספר 2 1 הוא פתרון המשוואה = 20 t 40. ג למשוואה = 20 1 x 3 ולמשוואה 1 x 3 = 20 יש פתרון זהה. ד למשוואה = 51 z z + z + ולמשוואה = 402 x יש פתרון זהה. ה המספר 1 הוא פתרון המשוואה = 4 x 4. 9 38 פיצוחים לפניכם "ריבועי קסם". בכל "ריבוע קסם" סכום המספרים בטור, בשורה ובאלכסון שווה. מצאו את המספרים. 39 a + 13? a 1 10 + a 16? 2 13? a + 7 a + 8 a + 5? 10 11 8? a + 3 a + 4 a + 9? 6 7 12?? a + 11? 4? 14? משימות נוספות בעמודים 279. - 277 261
ב. ממילים לאלגברה ב. 1. משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים לומדים אפשר לבטא קשרים ועובדות מתמטיות בעזרת משתנים. קובעים מה מייצגות האותיות, ו"מתרגמים את המצב" על-ידי שימוש באותיות. דוגמאות: אם האות a מייצגת תאריך בחודש, "מתרגמים" את "היום שאחריו" על-ידי הקשר + 1 a. אם האות m מייצגת את מספר התלמידים בכיתה, מספר התלמידים ביום שבו שני תלמידים חסרים, הוא 2 m. אם האות p מייצגת מחיר של קילוגרם אחד של משמש, המחיר של שלושה קילוגרמים וחצי של משמש הוא p 3.5. אם האות a מייצגת את ספרת היחידות של מספר, והאות b מייצגת את ספרת העשרות של המספר, המספר הוא b + a 10. משימות בחדר היו p אנשים. ארבעה אנשים יצאו מהחדר. א מה מייצגת האות? p ב איך הייתם מייצגים בעזרת p את מספר האנשים שנשארו? גמהם הערכים האפשריים של p? באוטובוס היו b אנשים. כאשר הגיע האוטובוס לתחנה, ירדו ממנו 8 אנשים, ועלו 6 אנשים. א האם הערך של b יכול להיות 1,000? 30? 5? נמקו את תשובותיכם. ב יצגו בעזרת b את מספר האנשים באוטובוס )כולל הנהג(, כאשר האוטובוס יצא מהתחנה. בבית המלון "אביב-אביב" מתקיים כנס של משפטנים. באולם "דוד" נוכ חים a משתתפים, באולם "יונתן" נוכ חים b משתתפים. א האם הערך של a יכול להיות מיליון? 200? 40.5? נמקו את תשובותיכם. ב מהו מספר המשתתפים בשני האולמות יחד? ג 8 אנשים עברו מאולם "דוד" לאולם "יונתן". מהו מספר המשתתפים בכל אולם אחרי המעבר שלהם? מחיר חבילת שוקולד הוא. 12 א מהו המחיר של 5 חבילות? של c חבילות? ב האם הערך של c יכול להיות 4? 4.5? 1,000? נמקו את תשובותיכם. 40 41 42 43 262
מחיר חבילת שוקולד הוא m. אמהו המחיר של 5 חבילות? של c חבילות? 44 ב האם הערך של m יכול להיות 4? 4.5? 1,000? נמקו את תשובותיכם. 45 יונה בת a שנים. אחותה רחל קטנה ממנו ב- 3 שנים. בטאו את הגיל של רחל בעזרת. a 46 גבריאל בן b שנים. שמשון מבוגר מגבריאל ב- 5 שנים. בטאו את הגיל של שמשון בעזרת. b 47 היום נעמי בת c שנים. בטאו בעזרת c את הגיל של נעמי בעוד עשר שנים. 48 היום צופיה בת d שנים. בטאו בעזרת d את הגיל של צופיה בשנה שעברה. עזרא, תלמיד תיכון, מחלק עיתונים מוקדם בבוקר. תמורת חלוקה של 30 עיתונים הוא מקבל 40 שקל. א ביום ראשון חילק עזרא 160 עיתונים. מה הייתה משכורתו בשקלים? בחרו את הביטוי הנכון, וסיימו את החישוב. 49 30 : 40 160 4 40 : 30 160 3 30 40 : 160 2 40 30 : 160 1 ב ביום שני הוא חילק t עיתונים. בטאו בעזרת t את שכרו של עזרא ביום זה. ג ביום שלישי הוא קיבל n שקלים. בטאו בעזרת n את מספר העיתונים שחילק עזרא ביום זה. א בקופסה 16 חבילות הפתעה. מחיר כל קופסה הוא 80 שקלים. מה מחירה של חבילת הפתעה אחת? ב המשתנה a מייצג את מספר חבילות ההפתעה בקופסה. מחיר כל קופסה הוא 80 שקלים. בטאו בעזרת a את המחיר של חבילות ההפתעה. ג המשתנה a מייצג את מספר חבילות ההפתעה בקופסה, והמשתנה b מייצג את המחיר של כל קופסה. בטאו בעזרת a ו- b את המחיר של חבילות ההפתעה. 50 א אורכו של שדה מלבני גדול מרוחבו ב- 10 מ'. מהו רוחב השדה, אם אורכו הוא 35 מטר? ב אורכו של שדה מלבני גדול מרוחבו ב- b מ'. בטאו את רוחב השדה, אם אורכו הוא 100 מטר. 51 א רוחבו של שדה מלבני קטן מאורכו ב- 25 מ'. מהו היקף השדה, אם נתון שאורכו 80 מטר? ב רוחבו של שדה מלבני קטן מאורכו ב- k מ'. בטאו את היקף השדה, אם אורכו 80 מטר. 52 263
מוטי קבע תור לרופא השיניים באחד מימי חמישי בחודש אוקטובר וסימן את התור בלוח החודשי, אך ספל קפה נשפך והכתים את הלוח. 53 חודש אוקטובר ראשון שני שלישי רביעי חמישי שישי שבת 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 17 16 15 14 13 12 11 24 23 22 21 20 19 18 31 30 29 28 27 26 25 אמהם התאריכים האפשריים לפגישה? איך מצאתם אותם? במהם התאריכים של ימי שישי באותו חודש? גמהו הקשר בין שני ימי שישי רצופים? האם קיים קשר כזה בין שני ימי ראשון רצופים באותו חודש? דנניח כי האות a מייצגת תאריך בחודש )מספר יום בחודש(. האם הערך של a יכול להיות 15? 1? 35? ההתאריך b בחודש חל ביום ראשון. )b הוא מספר טבעי קטן מ- 21.( כ תבו בעזרת b את התאריך של יום ראשון שאחריו. והתאריך c בחודש חל ביום רביעי. )המשתנה c הוא מספר טבעי קטן מ- 21.( כ תבו בעזרת c את התאריך של יום שני שאחריו. זמדוע, לפי דעתכם, המשתנים b ו- c מייצגים מספרים הקטנים מ- 21? ח התאריך m בחודש חל ביום חמישי בשבוע. )המשתנה m הוא מספר טבעי בין 1 ל- 25.( איזה יום בשבוע הוא + 2 m? איזה יום בשבוע הוא 5 m? ב. 2. התאמת ערכי המשתנים מגלים בארנק a מטבעות של, 10 b מטבעות של 5 ו- c מטבעות של ( 1 a b, ו- c מספרים טבעיים(. א כתבו ביטוי אלגברי לייצוג סכום הכסף שבארנק. ב האם במקום a ובמקום b אפשר להציב אותו מספר טבעי? אם כן, תנו דוגמה. אם לא, נמקו את קביעתכם. ג האם במקום המשתנים b, a ו- c אפשר להציב כל מספר? אם כן, תנו דוגמה. אם לא, נמקו את קביעתכם. 264
לומדים בעזרת ביטויים אלגבריים אפשר לתאר לא רק שרשרת של חישובים, אלא גם מצבים ותכונות של מספרים. במקרה זה ערכי המשתנים צריכים להתאים לתנאי המשימה. חשוב לציין מהו סוג המספרים שאפשר להציב במקום המשתנים. דוגמאות: אם האות k מייצגת את מספר האנשים שבחדר, האוהבים גלידות, k לא יכול להיות, 81.5 כי מספר אנשים הוא מספר טבעי. אם הביטוי a + b 10 מייצג מספר דו-ספרתי, הערכים האפשריים של a ושל b.9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 הם הספרות משימות ספרת היחידות של מספר דו-ספרתי היא 5. כתבו ביטוי אלגברי לייצוג כל המספרים המתאימים, אם המשתנה a מייצג את ספרת העשרות. מהם הערכים האפשריים של המשתנה? 54 55 במספר תלת-ספרתי ספרת היחידות היא, a ספרת העשרות היא, b וספרת המאות היא. c א אילו ערכים של, a של b ושל c מתאימים לכל אחד מהמספרים שלפניכם? 584, 774, 808, 999, 230 ב כתבו ביטוי אלגברי לייצוג מספר תלת-ספרתי בעזרת המשתנים b, a ו-.c דוגמה: במספר 342 c = 3 b = 4 a = 2 נהוג לבחור באותיות m, n, k כדי לייצג בחרו אות כרצונכם, שתשמש משתנה. כתבו ביטוי אלגברי לייצוג כל הכפולות של 7 בעזרת האות שבחרתם. במקום המשתנה כתבו מספר טבעי, וו דאו שקיבלתם כפולה של 7. מספרים טבעיים. 56 ידוע ששטח מלבן שווה למכפלה של אורכי צלעותיו. א מהו שטח מלבן שאורכי צלעותיו הם 5 ס"מ ו- 2 ס"מ? ב מהו שטח מלבן שאורכי צלעותיו הם 3.5 ס"מ ו- 2 ס"מ? ג מהו שטח מלבן שאורכי צלעותיו הם a ס"מ ו- b ס"מ? 57 ד מהו שטח מלבן שאורכי צלעותיו הם c ס"מ ו- d מ'? ציינו את יחידת השטח. בחרו את האות n כמשתנה. כתבו בעזרת משתנה זה ביטוי אלגברי לייצוג כל המספרים הזוגיים. במקום המשתנה כתבו מספר טבעי, וו דאו שקיבלתם מספר זוגי. 58 265
כתבו ביטוי אלגברי לייצוג כל המספרים האי-זוגיים מגלים ולומדים זכרו! )בעזרת האות (. n במקום המשתנה כתבו מספר טבעי, וו דאו שקיבלתם מספר אי-זוגי. רק מספרים טבעיים הם זוגיים או אי-זוגיים. 59 ח שבו על מספר. כפלו אותו ב- 2, הוסיפו למכפלה 6, חלקו את הסכום ב- 2, וחסרו מהתוצאה את המספר שבחרתם. האם קיבלתם 3 כתוצאה סופית? הסבירו את החישוב. )רמז: השתמשו בביטוי אלגברי.( 60 61 איך נתאר את כל המספרים הגדולים מ- 3, בעזרת המשתנה? a )המשתנה a מייצג מספר גדול מ- 0.( במשימות, 63-62 המשתנה x מייצג מספר גדול מ- 0. 62 איך נתאר את כל המספרים הגדולים מ- a, בעזרת המשתנה? x 63 איך נתאר את כל המספרים הקטנים מ- a 3, בעזרת המשתנה? x פיצוחים לפניכם ביטויים אלגבריים ותיאורים מילוליים. התאימו כל ביטוי לתיאור שלו. ציינו מהם הערכים האפשריים של המשתנים. 2 a א ריבוע של מספר 1 3 b ב מספר אי-זוגי 2 a 2 ג מספר זוגי 3 2 n + 1 ד עוקב של כפולה של 3 4 3 a + 1 ה כפולה של 3 5 5 x 1 ו שני מספרים זוגיים סמוכים 6 a ו- a + 1 ז מספר קודם לכפולה של 5 7 + 2 n 2 ו- n 2 ח מספר והעוקב שלו 8 64 65 לפניכם סרטוט של קטעים בציון אורכם. A a B 3 C 3 D א מה מייצגת האות? a ב כתבו ביטוי אלגברי המבטא את אורך הקטע AC בעזרת המשתנה. a ג כתבו ביטוי אלגברי המבטא את אורך הקטע AD בעזרת המשתנה. a ד אם 8 ס"מ = a, מהו אורך הקטע? AC מהו אורך הקטע? AD 266
66 המשתנים p ו- r הם מספרים טבעיים. הקטעים שלפניכם מייצגים סכום של מספרים טבעיים. א בכל קטע קבעו אם אורכו הוא מספר זוגי או מספר אי-זוגי או אי-אפשר לדעת. A p p r r B C p p p + 1 D G p p + 1 F ב האם סכום של שני מספרים עוקבים הוא מספר זוגי או מספר אי-זוגי? נמקו את תשובתכם. בחדר היו a אנשים, והגיעו עוד שלושה אנשים. כמה אנשים יש בחדר עכשיו? )בחרו באפשרות המתאימה.( 67 א 3 a ב a 3 1 ג a 3 ד + a 3 המשתנה m מייצג את גילי. אחי צעיר ממני בשנתיים. איזה מהביטויים האלגבריים שלפניכם מייצג את גילו של אחי? א : 2 m ב 2 m ג m 2 ד + m 2 68 על כל אחד משלושה מדפים מונחים ספרים. מספר הספרים על המדף הראשון הוא. x מספר הספרים על המדף השני גדול ממספר הספרים על המדף הראשון ב- 7. מספר הספרים על המדף השלישי קטן ממספר הספרים על המדף הראשון ב- 9. 69 א כתבו ביטויים אלגבריים המייצגים את מספר הספרים על כל מדף. ב האם על המדף הראשון יכולים להיות שני ספרים? הסבירו את קביעתכם. גמהו הערך הקטן ביותר של? x 70 בני משפחת כהן קנו שולחן ב- m שקלים. 300 שקל שולמו במזומן, והיתר בתשלומים. א כתבו ביטוי אלגברי לייצוג הסכום ששולם בתשלומים. ב על-סמך הנתונים, מה יכול להיות מחיר השולחן? 250 שקל 301 שקל 800 שקל הסבירו מדוע פסלתם אפשרויות אחרות. 267
ב. 3. פתרון שאלות מילוליות מגלים תלמידות חטיבת הביניים החליטו לתרום כסף לספריית בית אבות. התלמידות של כיתה ז' תרמו 150 יותר מהתלמידות של כיתה ח'. כמה כסף תרמו תלמידות כיתה ח', אם ידוע שתלמידות כיתה ז' תרמו? 1,275 אמה צריך למצוא בשאלה? בבחרו אות כרצונכם, וסמנו באמצעותה את המבוקש )את מה שצריך למצוא(. גכתבו משוואה מתאימה, פתרו אותה, ובדקו את תשובתכם. דאיך כתבתם את המשוואה? איך בדקתם את התשובה? לומדים השלבים לפתירת שאלה מילולית. שלב א': קוראים את השאלה. שלב ב': מנתחים את הנתונים. בודקים מה נתון, ומה צריך למצוא )המבוקש(. שלב ג': מייצגים את המבוקש באות. האות תהיה הנעלם במשוואה. שלב ד': כותבים משוואה המתאימה לנתונים. שלב ה': פותרים את המשוואה. שלב ו': בודקים אם הפתרון נכון, על-ידי הצבתו במשוואה, ומוודאים כי הפת רון מתאים לתנאי השאלה. שלב ז': כותבים תשובה לשאלה. דוגמה: מספר המכוניות שעברו ברמזור גדול ממספר האופנועים ב- 15. ידוע כי ברמזור עברו 20 מכוניות. כמה אופנועים עברו ברמזור? נתון מספר המכוניות; צריך למצוא את מספר האופנועים. למשל, האות x תייצג את מספר האופנועים שעברו ברמזור. לפיכך מספר המכוניות שעברו ברמזור הוא (x + 15), כי מספר המכוניות גדול ממספר האופנועים ב- 15. ידוע כי מספר המכוניות שעברו ברמזור הוא 20, לכן אפשר לכתוב את המשוואה = 20 x + 15. 15 + x 15 = 20 15 x = 20 15 x = 5 בדיקה: = 20 5,15 + ואכן, 20 גדול מ- 15 ב- 5. תשובה: ברמזור עברו חמישה אופנועים. 268
משימות 71 בעל חנות כובעים הזמין 38 כובעים נוספים על המלאי הקודם. יש לו כעת 76 כובעים. האות x מייצגת את מספר הכובעים שהיה במלאי. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? x א = 76 38 + x ב = 76 38 x ג = 76 x 38 ד = 76 38 לפניכם רשימה של משפטים ורשימה של משוואות. בכל משוואה האות מייצגת מספר לא-ידוע. מצאו לכל משפט את המשוואה שלו. 72 1 כאשר מחסרים שלוש מפעמיים מספר, מקבלים שלוש. א = 24 x 3 2 שלוש פעמים גובהו של החלון שווה לארבעה מטרים. ב 4 n + n = 3 2 3 סבתא שילמה 24 תמורת מספר ורדים שמחיר כל אחד מהם הוא. 3 ג = 3 3 n 2 4 הסכום של 3 ושל חצי ממספר שווה להפרש בין אותו מספר לבין 4. ד = 4 x 3 אם מחסרים 9 ממספר, התוצאה המתקבלת היא 8. האות n מייצגת את המספר. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? א = 8 n 9 ב = 8 9 n ג = 9 n 8 ד = 9 8 n סכום שני מספרים הוא 96. אחד המספרים גדול מהמספר האחר ב- 20. האות n מייצגת את המספר הגדול. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? א = 96 20) + +(n n ב = 96 n + 20 ג n n 2 = 96 ד = 96 20) (n n + סכום שני מספרים הוא 96. אחד המספרים גדול מהמספר האחר פי שניים. האות n מייצגת את המספר הקטן. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? 2 n + n = 96 ד = 96 2 n n ג n + n 2 א = 96 n + 2 ב = 96 סכום שני מספרים הוא 96. אחד המספרים גדול מהמספר האחר פי שניים. האות n מייצגת את המספר הגדול. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? 2 n + n = 96 ד = 96 2 n n ג n + n 2 א = 96 n + 2 ב = 96 רננה בת 15. היא צעירה מאחותה שרה ב- 3 שנים. האות a מייצגת את גילה של שרה. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? 1 3 ד = 15 3 a א = 15 a 3 ב = 15 3 + a ג = 15 a 73 74 75 76 77 סכום הגילים של ארבעה אחים הוא 38 שנים. הבכור גדול מהשני בשנתיים, השני גדול מהשלישי ב- 3 שנים, והשלישי גדול מהצעיר בשנתיים. א לפניכם ייצוג הגיל של הילדים. מהו הגיל של כל ילד? ב כתבו דרך אחרת למציאת הפתרון, כאשר הנעלם הוא גיל הבכור. הצעיר 78 269
79 אלכל אחת מהסכמות כתבו ביטוי אלגברי המבטא את ערך הקטע AB בעזרת. x A B 5 C 3 A x C 5 B 2 x x x x x 1 x A B A x מ"ר B 5 5 A x B 5 C 4 D C בקבעו בכל סעיף מהו הערך של, x אם = 20.AB בכל אחת מהשאלות 84-80 מצאו מהו המבוקש, יצגו אותו באות, כתבו משוואה מתאימה, ופתרו אותה. לאחר מכן כתבו דרך אחרת למציאת הפתרון ללא שימוש במשוואה. דוגמה: מחיר המחשב עלה ב-, 540 וכעת הוא נמכר ב-. 4,790 מה היה מחירו המקורי של המחשב? המבוקש: מחיר המחשב לפני עליית המחיר. האות x תייצג את המחיר לפני עליית המחיר. מחיר המחשב אחרי העלייה הוא (540 + x), שהם, 4,790 לכן משוואה מתאימה היא = 4,790 540 + x. פתרון המשוואה: = 4,250 540 4790 = x תשובה: המחיר המקורי של המחשב היה. 4,250 אפשר לכתוב את פתרון המשוואה כך: x +540 = 4790 540 x = 4790 540 x = 4250 דייג דג כמה דגים. לאחר שהוא החזיר ארבעה דגים למים, נותרו לו שלושה עשר דגים. כמה דגים דג הדייג? 80 אחרי הנחה של 4.50 שילם יונה 41.5 תמורת ספר שקנה. מה היה המחיר של הספר לפני ההנחה? 81 במהלך הכנס עברו 28 אנשים מאולם "יסמין" לאולם "ורד". אחרי ההעברה נמצאים באולם "ורד" 330 אנשים. כמה אנשים היו באולם "ורד" לפני ההעברה? 82 בתחרות שח-מט לאה שיחקה 24 פעמים. מספר הניצחונות גדול ממספר ההפסדים פי שלושה. כמה הפסדים היו ללאה? 83 הילל הלך שליש מהדרך מביתו לתחנה, ונותר לו ללכת עוד 500 מטר. מהו המרחק בין הבית לתחנה? 84 270
משקלם של בקבוק ופקק ביחד הוא 100 גרם. משקל הבקבוק גדול ממשקל הפקק ב- 90 גרם. א סמנו ב- a את משקל הפקק. כתבו בעזרת a ביטוי אלגברי למשקל הבקבוק. בכתבו משוואה המתאימה לנתונים. גמהו משקל הפקק? מהו משקל הבקבוק? ד רונית מצאה את הפתרון לסעיף הקודם בדרך אחרת. בהתחלה היא סימנה ב- b את משקל הבקבוק וכתבה ביטוי אלגברי המתאים למשקל הפקק. כתבו איך, לדעתכם, פתרה רונית את השאלה. במגרש חניה חונים 100 כלי רכב - מכוניות ואופנועים. מספר המכוניות גדול ממספר האופנועים ב- 30. א סמנו ב- x את מספר האופנועים שבמגרש החניה. כתבו בעזרת x ביטוי אלגברי למספר המכוניות שבמגרש החניה. בכתבו משוואה המתאימה לנתונים. גכמה אופנועים וכמה מכוניות חונים במגרש? באיור שלפניכם מתואר "מובייל" שתלויים בו פירמידות, תיבות, כדור וקובייה. עקרון ה"מובייל" הוא שכל "קומה" דומה לנדנדה מאוזנת. א מהו המשקל של הפירמידה? במהו המשקל של הכדור? גמהו המשקל של הקובייה? 85 86 87 60 גר' הצורה שלפניכם מורכבת מריבוע קטן ששטחו 4 יחידות שטח, וממלבן שמידותיו הן 3 יחידות אורך ו- x יחידות אורך. x 88 3 4 א כתבו ביטוי אלגברי לשטח הצורה. ב שטח הצורה הוא 22 יחידות שטח. מהו אורך המלבן? הסבירו איך מצאתם אותו. 89 מידות של מלבן הן 3 ס"מ ו- x ס"מ. היקף המלבן הוא 10 ס"מ. מהו האורך של? x דבורה מכינה משלוח של 200 חוברות לחנות. בשתי חבילות אותו מספר חוברות ובחבילה השלישית 80 חוברות. מהו מספר החוברות בכל אחת מהחבילות? 90 פיצוחים 91 ביום בו התקיים מופע באולם, כל אחד מתלמידי כיתות ז' העביר שלושה כסאות לאולם. בסך-הכל התלמידים העבירו 180 כסאות. באותו יום חסרו ארבעה תלמידים מכיתות ז'. כמה תלמידים יש בכיתות ז'? 271
ב. 4. שאלות סכום והפרש מגלים בכל אחת מהשאלות המילוליות... א ציינו מה מייצג הנעלם; ב כתבו משוואה המתאימה לנתונים, ופתרו אותה; גבדקו את תשובתכם. 1 מספר אחד גדול ממספר אחר פי שלושה. סכום שני המספרים הוא 72. מהם המספרים? 2 מספר אחד גדול ממספר אחר פי שלושה. ההפרש בין שני המספרים הוא 72. מהם המספרים? 3 ההפרש בין שני מספרים הוא 15. אחד המספרים גדול מהמספר האחר פי ארבעה. מהם המספרים? לומדים כאשר נתונים סכום או הפרש של שני מספרים, עדיף לסמן את המספר הקטן כנעלם. ברוב המקרים, כאשר נתונים מכפלה או מנה של שני מספרים, עדיף לסמן את המספר הקטן כנעלם. דוגמאות: ישי מבוגר מראובן פי חמישה. סכום הגילים שלהם הוא 18. מהו הגיל של כל ילד? אם הנעלם y הוא הגיל של ישי, הגיל של ראובן הוא 5 y, והמשוואה המתאימה היא = 18 5. y + y אם הנעלם x הוא הגיל של ראובן, הגיל של ישי הוא x 5, והמשוואה המתאימה היא = 18 x. x + 5 המשוואה השנייה פשוטה יותר. תשובה: ראובן בן 3 שנים. x + 5 x = 18 6 x = 18 x = 3 בעזרת הצבה מוצאים את הגיל של ישי: = 15 3 5. בדיקה: = 18 15.3 + ההפרש בין שני מספרים הוא 24. סכום שני המספרים הוא 88. מהם המספרים? המשתנה x הוא המספר הקטן. אפשר לבטא את המספר הגדול כך: x 88 או כך: + 24 x. לפי הבחירה כותבים משוואה מתאימה. שתי המשוואות שקולות. זכרו! אם, a b = c מתקיים a = c + b וגם b = a c 272
אפשרות ב' + 24 x x + 24 + x = 88 2 x + 24 = 88 24 2 x = 88 24 2 x = 64 :2 x = 32 בדיקה: = 88 32 32 + 24 + לכן המספר הגדול שווה ל: = 56 24 32 + (88 x) x = 24 אפשרות א' x 88 88 x x = 24 88 2 x = 24 +2 x 88 = 24 + 2 x 24 88 24 = 2 x 64 = 2 x :2 32 = x בדיקה: = 24 32 56 = 32 32) (88 לכן המספר הגדול שווה ל: = 56 32 88 תשובה: המספרים הם 32 ו- 56. משימות דוגמה: שירלי מבוגרת מאסתר פי שלושה. סכום הגילים הוא 24. בת כמה אסתר? בת כמה שירלי? א נסמן ב- x את הגיל של אסתר, לכן הגיל של שירלי הוא x 3. ב המשוואה: = 24 x x + 3 4 x = 24 x = 6 אסתר בת 6, ושירלי בת 18. ג בדיקה: = 24 6.18 + בכל אחת מהשאלות 103-92 אציינו מה מייצג הנעלם; בכתבו משוואה המתאימה לנתונים, ופתרו אותה; גבדקו את תשובתכם. מיכל סידרה את 160 הספרים שלה בארון ועל מדף. מספר הספרים שבארון גדול ממספר הספרים שעל המדף פי שלושה. כמה ספרים סידרה מיכל על המדף? 92 מחיר שמלה גבוה ממחיר כובע פי ארבעה. שרה שילמה 540 תמורת הכובע והשמלה יחד. מהו מחיר השמלה? מהו מחיר הכובע? 93 94 ההפרש בין שני מספרים הוא 15. אחד מהמספרים גדול מהמספר השני פי 4. מהם המספרים? 273
אם נכפיל ב- 6 את גילה של סמדר, ונחסר מהמכפלה את גילו של אחיה בן החמש, נקבל את גילו של אביהם. האב בן 43. בת כמה סמדר? 95 96 סכום שני מספרים הוא 27. מספר אחד הוא חצי מהמספר השני. מהם המספרים? יונה קנה חולצה ומכנסיים. המכנסיים יקרים מהחולצה ב-. 50 יונה שילם בסך הכול. 190 מה מחיר החולצה, ומה מחיר המכנסיים? 97 תכולתו של סיר היא שני ליטרים. אפשר למלא אותו אם מרוקנים לתוכו בקבוק מים גדול ובקבוק מים קטן. ההפרש בין התכולות של שני הבקבוקים הוא 1 ליטר בדיוק. מה התכולה של כל בקבוק? 98 99 מחירו של בקבוק יין הוא. 29.6 היין יקר מהבקבוק הריק ב-. 29 מהו מחיר הבקבוק הריק? 100 סכום שני מספרים עוקבים הוא 55. מצאו את המספרים. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את הסכום של שלושה מספרים עוקבים, כאשר המשתנה x הוא המספר הקטן ביותר. 101 כתבו ביטוי אלגברי המבטא את הסכום של שלושה מספרים עוקבים, כאשר המשתנה x הוא המספר הגדול ביותר. 102 103 סכום של שלושה מספרים עוקבים הוא 36. מצאו את המספרים. איך מצאתם אותם? פיצוחים בגינה הייתה ערמה של גזרים. הארנבות אכלו שתי חמישיות מהגזרים, והארנב הקטן אכל 3 גזרים. בסך הכול נאכלו 17 גזרים. כמה גזרים היו בערמה? היקף של מלבן הוא 42 מטר. אורך המלבן קטן מפעמיים רוחבו ב- 3 מטרים. מהן מידות המלבן? 104 105 משימות נוספות בעמודים 280. - 279 274
מיומנויות בשאלות מילוליות רבות אנחנו נדרשים למצוא מספר נתונים. המשוואה מסייעת במציאת הנתונים החסרים. נכתוב את המשוואה בשלבים. דוגמה: סבתא הזמינה לקראת ארוחת שבת משפחתית 36 פ רות מסוגים שונים: מלונים, תפוזים ותפוחים. מספר התפוחים גדול ממספר המלונים פי 5. מספר התפוזים שווה לחצי ממספר התפוחים והמלונים יחד. כמה תפוזים, תפוחים ומלונים קנתה סבתא? א הבנת נתוני השאלה ב בחירת הנעלם ג ניתוח הנתונים הנתונים: סך כל הפרות, קשרים בין כמויות הפרות. המבוקש: כמויות התפוזים, התפוחים והמלונים. נייצג את מספר המלונים באות. x "מספר התפוחים גדול ממספר המלונים פי 5." לכן הביטוי המתאים הוא x 5. "מספר התפוזים שווה לחצי ממספר התפוחים והמלונים יחד." 1 מספר התפוחים והמלונים יחד הוא, x + 5 x כלומר x.6.3 x, כלומר 6 x 2 מספר התפוזים הוא 2 ד כתיבת המשוואה בסך הכול "סבתא קנתה 36 פ רות". המשוואה המתאימה: = 36 x. x + 5 x + 3 ה פתירת המשוואה ו תשובה 9 x = 36 x = 36 : 9 x = 4 את ערך ה- x שהתקבל נציב בביטויים שכתבנו. ביטוי הצבה תשובה מספר המלונים x 4 4 מספר התפוחים x 5 4 5 20 מספר התפוזים x 3 4 3 12 4 + 20 + 12 = 36 ז בדיקה 275
מוכנים להמשיך? ציינו מהן התשובות הנכונות. א ב ג כן לא אי-אפשר לדעת האם = 3 x הוא פתרון המשוואה?x + 9 = 2 x + 6.1 384 6 0.6.2 מהו פתרון המשוואה : d 48 =?8 להוסיף 17 לחסר 17 לחסר 32 איזו פעולה צריך לבצע בשני האגפים של המשוואה + x 17 = 32 כדי "לבודד" את הנעלם? לשני האגפים משני האגפים משני האגפים.3 על-ידי איזו פעולה אפשר לפתור את המשוואה? y 5 = 11 יש לחסר 5 משני האגפים יש להוסיף 5 לשני האגפים יש להוסיף 11 לשני האגפים.4 5 125 20.5 מהו פתרון המשוואה = 25 5 a? 80 18 2.6 מהו פתרון המשוואה 10 b = 8? 144 10 2.25.7 מהו פתרון המשוואה = 18 8 : t? 9 22 8.8 מהו פתרון המשוואה = 7 f 15? 32 ס"מ 320 ס"מ 5 ס"מ מידותיו של מלבן הן 8 ס"מ ו- y ס"מ. שטח המלבן הוא 40 סמ"ר. מהו הערך של? y.9 10 ס"מ 6 ס"מ 7.5 ס"מ מידותיו של מלבן הן 5 ס"מ ו- t ס"מ. היקף המלבן הוא 30 סמ"ר. מהו הערך של? t.10 276
תרגילים נוספים משוואות 106 המספר 3 הוא פתרון של חלק מהמשוואות שכאן. מצאו את המשוואות. א = 8 5 + x ב x 4 = 6 ג 3 x = 9 ד : x 4 = 5 ה x 2 = 4 + 10 ו x + 2 x 3 = 15 107 פתרו את המשוואות. א = 12 x + 3 ב = 12 x + 4 ג = 12 x + 5 ד = 12 x + 6 ה = 9 2 x ו = 23 9 x ז = 45 6 x ח = 35 7 x 108 פתרו את המשוואות. x 2 3 7 = 4 4 2 2 = 3 5 1 x ד 7 א = 4 3 1 x ב 4 1 = 1 4 3 x ג 5 109 פתרו את המשוואות, ובדקו את תשובותיכם על-ידי הצבה. א = 112 x + 16 ב = 43 28 + x ג = 62 5 + x ד = 18 7 x ה = 283 201 x ו = 50 37 x 110 פתרו את המשוואות. א = 112 x + 112 ב = 0 36 x ג = 48 48 + x ד = 0 85 x ה = 4 4 + x ו = 0 x 34 ז = 15 x 15 ח = 0 x 17 פתרו את המשוואות. 3 7 ג 10 = x 5 1 ד 15 = x ב 8 = x 5 2 ג 10 = x א 6 = x 4 1 ב 8 = x פתרו את המשוואות. x ד 5 = 9 ג = 12 4 : x ב = 51 x 17 א = 18 x 3 111 112 113 בנו שלוש משוואות מהמספרים 60 20, ומהנעלם, x ופתרו אותן. דוגמה: x = 997 נבחר ב- = 4 x 4 = 997 + 4 x = 997 + 4 x = 1001 בכל סעיף בחרו מספר כרצונכם במקום העיגול, ופתרו את המשוואה. א = 17 + x ב = 27 x + ג = 32 x ד = 80 x 114 277
תרגילים נוספים פשטו את האגף השמאלי של כל משוואה באמצעות כינוס איברים דומים, ולאחר מכן פתרו את המשוואה. א = 9 x x + 2 ב = 9 x x 2 ג = 9 x x 2 5 ד = 9 x x 4 5 115 מצאו את המספר החסר. 3 4 = 18 = 4 3 ד 5 + 12 = 7 5 ג 5 + 20 30 3 ב א ) + (6 = 7 21 116 אם מחסרים 7 ממספר, מקבלים 8. האות t מייצגת את המספר המבוקש. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? א = 7 8 t ב = 8 7 t ג = 8 + 7 t - ד = 8 7 t - 117 בכל סעיף בחרו את האות n כמייצגת את המספר המבוקש. כתבו משוואה מתאימה לתיאור, ופתרו אותה. א אם מוסיפים 8 למספר, התוצאה היא 29. ב אם מחסרים 5 מפעמיים מספר, התוצאה היא 25. ג אם מוסיפים 100 למספר, התוצאה היא שלוש פעמים המספר. 118 119 אם מחסרים 20 ממכפלת מספר ב- 8, מקבלים את הסכום של 30 ושל מכפלת המספר ב- 3. בכל סעיף כתבו משוואה מתאימה. א סכום שני מספרים עוקבים הוא 45. האות m מייצגת את המספר הקטן מבין השניים. בסכום שני מספרים עוקבים הוא 45. האות y מייצגת את המספר הגדול מבין השניים. גסכום שלושה מספרים עוקבים הוא 57. האות x מייצגת את המספר הקטן ביותר מבין השלושה. דסכום שלושה מספרים עוקבים הוא 57. האות x מייצגת את המספר הגדול ביותר מבין השלושה. הסכום שלושה מספרים עוקבים הוא 57. האות x מייצגת את המספר האמצעי מבין השלושה. 120 121 סרטטו איור מתאים לשאלה, כתבו משוואה מתאימה, ופתרו אותה. "יש פקק בכביש תל-אביב ירושלים, שלושה קילומטרים לפני שער הגיא." יעקב נמצא באותו כביש, שבעה קילומטרים לפני שער הגיא. כמה ק"מ נותרו ליעקב עד הפקק? 278
תרגילים נוספים פתרו כל שאלה מילולית בעזרת משוואה מתאימה. דוגמה: 122 אחרי שדני קנה מתנה ב-, 25 נותרו לו. 85 כמה כסף היה לדני לפני הקנייה? המבוקש: סכום הכסף לפני הקנייה. נסמן ב- x את סכום הכסף לפני הקנייה. אחרי הקנייה נותרו לו 25( )x, שהם, 85 לכן המשוואה המתאימה לשאלה היא = 85 25 x. פתרון המשוואה: = 85 + 25 x x = 110 בדיקה: נציב 110 במקום x במשוואה המקורית. השוויון = 85 25 110 מתקיים. תשובה: לדני היו 110 לפני הקנייה. א לפני שבע שנים היה שמשון בן 6. מה הגיל של שמשון עכשיו? ב רוחבו של מלבן קטן מאורכו בחמישה סנטימטרים. מהו אורך המלבן, אם ידוע שרוחבו הוא שנים עשר סנטימטרים? ג אבי קנה CD שמחירו. 95 לאחר הקנייה נותרו לו. 30 כמה כסף היה לאבי? ד בעל חנות מוכר קומקום במחיר. 112 הרווח שלו הוא. 58 כמה שילם בעל החנות תמורת הקומקום? ה ורד צריכה להקליד 78 עמודים. נותרו לה 12 עמודים להקלדה. כמה עמודים כבר הוקלדו? y + = 12 30 123 לפניכם כרטיסים. א כתבו בעזרתם משוואות שונות. בכל משוואה השתמשו בסימן פעולה אחד ובכל כרטיס אחר פעם אחת בלבד. ב פתרו את המשוואות שכתבתם. שאלות מילוליות A y מ' 3 מ' B 124 שטח המלבן המקווקו הוא 36 מ"ר. מהו אורך המלבן?ABCD 4 מ' D C 279
תרגילים נוספים 125 מספר אחד גדול ממספר אחר פי ארבעה. מהם המספרים, אם ההפרש ביניהם הוא 81? 126 אם כופלים מספר ב- 8 ומוסיפים למכפלה 12, התוצאה היא 52. מהו המספר? אימא שילמה 157 תמורת שלוש חולצות זהות ושתי חגורות שמחיר כל אחת מהן הוא. 35 מה מחירה של כל חולצה? 127 128 הסכום של שני מספרים עוקבים הוא 33. מצאו את המספרים. 129 הסכום של שני מספרים עוקבים הוא 53. מהם המספרים? 130 הסכום של שלושה מספרים עוקבים הוא 333. מהם המספרים? הסכום של ארבעה מספרים זוגיים עוקבים )למשל, 8( 6, 4, 2, הוא 100. מצאו את המספרים. איך מצאתם אותם? 131 132 הסכום של ארבעה מספרים עוקבים זוגיים הוא 60. מצאו את המספרים. איך מצאתם אותם? 133 האם כל מספר אי-זוגי הוא סכום של שני מספרים עוקבים? נמקו את תשובתכם. 134 האם 55 יכול להיות סכום של שלושה מספרים עוקבים? אורכי הצלעות של משולש הם מספרים עוקבים. א מצאו את אורכי הצלעות, אם היקף המשולש הוא 24 מטר. ב מצאו את אורכי הצלעות, אם היקף המשולש הוא 300 מטר. 135 136 יצחק מבוגר מבנו יעקב ב- 27 שנים, וצעיר מאביו אברהם ב- 32 שנה. סכום הגילים של כולם הוא 140 שנה. מהו הגיל של כל אחד מהגברים? 280
ממשיכים בתרגול 137 "כוורת פסקל" בנויה כך: בכל שורה )פרט לשורת דוגמה: 18 הבסיס( מספר האבנים קטן ב- 1 ממספר האבנים 2 7 5 11 6 שבשורה שמתחתיה. המספר הרשום בכל אבן הוא סכום המספרים המופיעים בשתי האבנים שמתחתיה. לפניכם "כוורת פסקל". א כתבו משוואה בעזרת הנעלם a. ב מצאו את הערך של a. 21 ג בדקו את תשובתכם בעזרת משוואה אחרת. 5 11 a 10 4 פסקל היה פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי מהמאה ה- 1623( 17.)1667 - ב- 1653 הוא חקר את תכונות המשולש הידוע כ"משולש פסקל" הבנוי לפי עיקרון הדומה לבניית הכוורת שאנו מציגים כאן. A x 138 לפניכם איור. א הסבירו איך מוצאים את שטח המלבן.ABCD ב כתבו שני ביטויים אלגבריים לשטח המלבן התחתון. ג כתבו משוואה המתאימה לביטויים שכתבתם. ד בחרו מספר חיובי, ובדקו את תשובתכם על-ידי D 10 C B 4 הצבתו במקום. x 139 בחדר 20 אנשים. מספר האנשים המרכיבים משקפיים קטן ב- 10 ממספר האנשים שאינם מרכיבים משקפיים. א סמנו ב- x את מספר האנשים שאינם מרכיבים משקפיים. כתבו בעזרת x ביטוי אלגברי למספר האנשים המרכיבים משקפיים. ב כתבו משוואה המתאימה לנתונים. ג כמה אנשים המרכיבים משקפיים נמצאים בחדר? 140 גילה ורינה חושבות כל אחת על מספר אחר. סמנו ב- x את המספר של גילה וב- y את המספר של רינה. א גילה מוסיפה 5 למספר שלה וכופלת את התוצאה ב- 4. כתבו ביטוי אלגברי לחישוב של גילה. ב רינה כופלת את המספר שלה ב- 2. כתבו ביטוי אלגברי לחישוב של רינה. ג גילה ורינה קיבלו אותה תוצאה. כתבו משוואה המתאימה לעובדה זו. ד האם אפשר לדעת מהם המספרים של גילה ושל רינה? ה התוצאה שקיבלו גילה ורינה, היא 60. מצאו את המספרים של גילה ושל רינה. 281
ממשיכים בתרגול אורכי הצלעות של משולש ABC נתונים על-ידי הביטויים האלה:.BC = 4,AB = x 1,CA = x + 1 141 היקף המשולש הוא 14 ס"מ. מהם אורכי הצלעות? איזה משולש יתקבל? היקף משולש שווה-שוקיים הוא 25 ס"מ. אורך אחת הצלעות הוא 10 ס"מ. מהם אורכי שלוש הצלעות של המשולש? שימו לב, ישנם שני פתרונות שונים לשאלה. 142 הגדילו בשבעה מטרים כל צלע של ריבוע. עתה היקף הריבוע הוא 108 מטר. מה היה אורך הצלע של הריבוע המקורי? 143 בארנק של מר כהן יש בסך הכול חמישה מטבעות של, 1 ויש גם מטבעות של. 2 בארנק שלו יש בסך הכול. 21 כמה מטבעות של 2 יש למר כהן? 144 בארנק של גב' לוי יש בסך הכול שישה מטבעות של, 2 ויש גם מטבעות של. 5 בארנק שלה יש בסך הכול. 37 כמה מטבעות של 5 יש לגב' לוי? 145 בארנק של מר ישראל יש בסך הכול שלושה מטבעות של, 5 ויש גם מטבעות של 50 אגורות. בארנק שלו יש בסך הכול. 18.5 כמה מטבעות של 50 אגורות יש למר ישראל? 146 בכל סעיף כתבו משוואה מתאימה לשאלה, ופתרו אותה. א בגן ציבורי שני ארגזי חול: אחד בצורה של משולש שווה-צלעות ואחד בצורת ריבוע. צלע המשולש שווה לצלע הריבוע. כל ארגז מוקף גדר. אורך שתי הגדרות ביחד הוא שבעה מטרים. מהו אורך צלע הריבוע? 147 בבגן ציבורי שני ארגזי חול: אחד בצורה של משולש שווה-צלעות ואחד בצורת ריבוע. צלע המשולש שווה לצלע הריבוע. כל ארגז מוקף גדר. אורך הגדר סביב הריבוע גדול מאורך הגדר סביב המשולש בשבעה מטרים. מהו אורך צלע הריבוע? פיצוחים 148 בחצר המשק תרנגולות וכבשים. בחצר 30 ראשים ו- 86 רגליים. מהו מספר התרנגולות? 282
מה למדנו? משוואה היא שוויון שיש בו משתנה )או משתנים(. המשתנה במשוואה נקרא נעלם. למשוואה יש כל התכונות של השוויון. לעתים קרובות המשוואה היא שוויון שמתקיים רק בערכים מסוימים של המשתנה. משמעות פתירת משוואה היא מציאת הפתרון שלה. פתרון משוואה הוא כל ערכי הנעלם )או הנעלמים( שבהצבתם במשוואה השוויון מתקיים. שתי משוואות בעלות אותו משתנה ואותו פתרון הן משוואות שקולות. זהות היא שוויון שמתקיים בהצבת כל מספר במקום המשתנה. בעזרת זהויות אפשר לבטא חוקים וכללים. מהשימוש בחוקים ובכללים מתקבלות זהויות נוספות. כדי לפתור משוואה "מבודדים" את המשתנה באחד משני האגפים, ומרכזים את המספרים באגף האחר על-ידי "פעולות מותרות" המבוססות על חוקי פעולות החשבון ועל תכונות השוויון. שימוש בפעולות המותרות מוביל למשוואה השקולה לנתונה, כלומר למשוואה שפתרונה הוא פתרון של המשוואה המקורית. שלבים לפתירת שאלות מילוליות בעזרת משוואה מזהים את המבוקש. בוחרים אות לייצוג הנעלם )המבוקש או נתון לא-ידוע אחר(. כותבים משוואה מתאימה בעזרת ביטוי אלגברי. פותרים את המשוואה. בודקים את התוצאה בעזרת הצבת הפתרון במשוואה. אם הנעלם שמצאנו הוא המבוקש, כותבים את התשובה. אם לא, מחשבים את הנתון המבוקש, וכותבים את התשובה. בשאלות סכום והפרש של מספרים עדיף לסמן את המספר הקטן כנעלם. ברוב השאלות של כפל ושל חילוק כדאי לסמן את המספר הקטן כנעלם. 283
היסטוריה מתמטיקה בסין המתמטיקה בסין התפתחה במשך תקופה ארוכה באופן עצמאי, ללא קשר להתפתחות התרבות באגן הים התיכון. מעט מאוד ידוע על המתמטיקה בסין. ב- 1983, כאשר ארכיאולוגים פתחו קבר בז 'אנ גג 'י א ש אן שבמחוז הוביי, התגלה החיבור "ס ו אן ש ו ש וה" שפירושו "כתבים על התחשבנות". החיבור כתוב על 190 רצועות במבוק, ובו כ- 7,000 תווים. משערים שזו העדות הכתובה הקדומה ביותר הידועה, העוסקת במתמטיקה. מעדויות כתובות ידוע שהקבר נחתם בשנת 186 לפנה"ס, בתחילת שושלת האן המערבית. ספר אחר, מפורסם יותר, הוא "ג 'יו ג 'אנ ג ס ואן ש ו" שפירושו "תשעה פרקים של אמנות המתמטיקה", והוא פרי מחקריהם של מספר דורות של מלומדים החל מן המאה השנייה לפנה"ס ועד למאה הראשונה לספירה. כותרת הספר מופיעה על שני לוחות ארד משנת 179 לספירה, אך סבורים שהספר הופיע בתקופה מוקדמת יותר. בספר כתובות שיטות כלליות לפתרון בעיות מעשיות, והוא סייע רבות להתפתחות המתמטיקה העתיקה באזורי קוריאה ויפן. להלן מספר דוגמאות של בעיות המופיעות בכתבים הסיניים. בכלוב אחד כלואים יחד שפנים ועופות פסיון. בסך הכול יש שם 35 ראשים ו- 94 כמה בעלי-חיים יש מכל סוג? רגליים. מספר מסוים של סינים רכשו מספר פריטים. אילו היה כל אדם משלם 8 ליאנג, היה נותר עודף של 3 אילו היה כל אחד משלם 7 ליאנג, היה נוצר חוסר של 4 ליאנג. מהו מחיר הפריטים שנרכשו? בעיה של סאן סואן צ'ינג: אישה רחצה כלים במי הנהר. שאל אותה הפקיד הממונה על טיב מי הנהר: "מדוע יש לך כל-כך הרבה כלים?" השיבה: "מפני שערכנו מסיבה בבית." "מה היה מספר האורחים?" התעניין הפקיד. "אינני יודעת," אמרה האישה, "אבל כל שניים חלקו צלחת אורז, כל שלושה חלקו צלחת מרק, כל ארבעה חלקו צלחת עוף, ובסך הכול יש לי 65 צלחות." מה היה מספר האורחים? תמורת תרנגול משלמים חמישה מטבעות, תמורת תרנגולת משלמים שלושה מטבעות, ותמורת שלושה אפרוחים משלמים מטבע אחד. אם נקנו 100 עופות ב- 100 מטבעות, כמה עופות מכל סוג נקנו? אדם גנב סוס, ולאחר שרכב עליו 37 מיילים סיניים, גילה בעליו של הסוס את דבר הגנבה ויצא למרדף. ליאנג. לאחר שעבר 140 מיילים סיניים, כאשר היה במרחק 23 מיילים מן הסוס הגנוב, הוא ויתר על המרדף וחזר לביתו. לו היה ממשיך במרדף, לאחר כמה מיילים היה תופס את הגנב? 284