No part of this book may be reproduced by any mechanical, photographic, or electronic process, transmitted or otherwise copied for public or private

Transcript

1 כל הזכויות שמורות למחברים uthors All rights reserved to the 009 אין להעתיק, לצלם, או לתרגם את הספר או כל חלק ממנו בצורה כל שהיא או באמצעים אלא באישור בכתב מבעלי זכויות לרבות הקלטה ואיחסון במאגרי מידע, כלשהם, היוצרים. No prt of this book m be reproduced b n mechnicl, photogrphic, or electronic process, trnsmitted or otherwise copied for public or privte use, whithout written permission from the uthors.

2 צוות המחברים: ד"ר פיטר סמובול מר אלכס ברוורמן מר יפים קיז'נר ראש הצוות המתודי: ד"ר פיטר סמובול עורכת לשונית: ולדימיר פרלמן

3 מהדורה ראשונה תשס"ט

4 תוכן עניינים מבוא פרק I משוואות אלמנטאריות ויישומיהן פרק II סימני התחלקות פרק III מספרים ראשוניים ומספרים פריקים 7 פרק IV שברים פרק V אחוזים פרק VI מספרים מכוונים, חזקות 8 פרק VII מערכת צירים 6 פרק VIII תבנית מספר. תבנית פסוק פרק IX פעולות עם תבניות מספר משוואה.פתרון של משוואה.משוואות עם נעלם אחד ממעלה ראשונה ומשוואות ששקולות להן 7 פרק X פרק XI קליידיוסקופ: בעיות העמקה 6 פרק XII בעיות אתגר 67 פרק XIII מטלות חקר 69 תשובות 79 הגדרות חשובות 96

5 מבוא למורים הספר כתוב גם בשבילכם עמיתינו! אנו מאמינים ומקווים כי החומר שנכלל בספר יכול להיות נדבך חשוב ומוסיף לתהליך הלמידה, גם עבור התלמיד וגם עבור המורה וגם כן ימצא מקום בספרייה האישית שלכם. ייחודו של הספר אותו אנו מציגים, הינו התרגילים היוקרתיים והעמוקים שנראה לנו כי תמיד חסרים בספרים שכיום נמצאים בשוק. לדעתנו הספר מצמצם את החסר! פיתחנו מספר תרגילים בסגנון מיוחד ומתאים לרוב התלמידים. כל התרגילים מחולקים לשתי רמות המתחילים מהרמה הבינונית כשלכל התרגילים יש תשובות. כמו כן, ניתן גם לקבל פתרונות מלאים מצוות מפתחי הספר. חשוב לציין, כי הנושאים של הספר מתואמים לתכנית הלימודים של משרד החינוך עבור כיתת ז'. כמו כן, הספר כולל התייחסות גם לנושאים אשר באופן רשמי נכללים בחומר הלימוד של כיתות נמוכות יותר כדי לתת אפשרות להרחבת היישום של התרגילים כמו תרגילים לעבודה עצמית,תשתית לעבודות חקר והכנה לתחרויות. צוות המחברים מצפה שספר זה יסייע לכם בבחירת חומרי הלימוד ויקנה ביטחון בפתרון בעיות שונות. מאחלים עבודה נעימה ופורייה. להורים האם אפשר לעזור לילד לאהוב ללמוד,לפתור תרגילים ברצון ולהנות מסיפוק בזכות מציאת פתרונות? שאלות אלה ואחרות שואל כל הורה. אנחנו חושבים שכן! חלק מהתשובות ניתנות בספר זה. לדעתנו, הספר יכול להוות כלי,אשר בעזרתו כל הורה יכול להתוות לו ולילדיו את הדרך אל אהבת המדע. ההורה מוזמן לבחור מספר תרגילים ומונחים בסיסיים בכדי לבנות גישה מסוימת ומתאימה. בספר ישנו חלק עיוני לכל נושא וכ- 700 תרגילים. מאחלים לכם סובלנות והנאה מתמטית ומדעית.

6 6 לתלמידים איך אפשר לעזור לעצמך לפתח כישורים מתמטיים. סור להגביל את עצמך מראש, לרמה מסוימת של ידע. צריך תמיד לעבוד ברמות גבוהות ואף יותר. תמיד יש לזכור, ש "אף אחד בחיים עדיין לא הגיע לכוכב הצפון, אך רבים הכוכבים המכוונים לדרך הנכונה". ולכן, עבודה מאומצת וארוכת-טווח על בעיה אחת קשה למדי, חשיבה עליה למשך יומיים עד חמישה ויותר, יעילה להתפתחות השכלית שלך (אפילו במקרה של כישלון), יותר מאשר עשרה ניצחונות על תרגילים שגרתיים ופשוטים.. אם החלטת לפתח לעצמך ביסודיות כישורים מתמטיים, אנו ממליצים לך להיאחז בעקרונות הבאים. עיקרון. "עיקרון ההתמדה" בלי להשקיע לא תוציא דג אפילו מבריכה. מאמנים של אצנים למרחקים גדולים טוענים, שבשביל שספורטאי יגיע לתוצאות גבוהות, עליו לרוץ מדי שבוע לא פחות מאשר ק"מ. לימודים רציניים לא יותר פשוטים מריצות ארוכות. כבר בשנות לימודכם בבית הספר, סביר שתפגשו עם בעיות שתיאלצו לפתרם במשך שעה וחצי-שעתיים. ויכול להיות, שהזמן הזה לא יספיק לכם להתעמק בשורש תנאי הבעיה; אל תופתעו מכך, הרי שבכדי להסתגל לחדש יש להשקיע זמן רב. לפעמים עדיף להניח לבעיה ולחזור אליה רק אחרי זמן-מה. בשביל לפתור בעיה קשה במיוחד- יש לבצע מספר ניסיונות, ולחזור אליה שוב ושוב. אז כמה זמן כדאי להשקיע בעבודה עצמית? אנו ממליצים על 0- שעות בשבוע. עיקרון. "עיקרון הכתיבה הנקייה וספר עזר" בן אדם יכול לגלות את כישוריו,רק מתוך רצון להשתמש בהם. סנקה הצעיר לעיתים קרובות נדמה, שהעיקר-זה הרעיון הנמצא בבסיס פתרון הבעיה. אך ניסוח הפתרון באופן מסודר, כתיבתו במחברת ונימוק מדויק של כל שלב בפתרון, כל אלה נראים לנו מיותרים והקפדה עליהם היא בזבוז זמן. הדעה הזו היא מסוכנת ומזיקה. בכל תחום, ובפרט במדע, קיימת עבודה שגרתית, שבלעדיה התחום אינו מתקיים. לא צריך להסתכל מראש על הדרישות לתצורת הפתרון כעל אמתלות מרגיזות. רשימת פתרון בעיות בצורה מסודרת ונקייה הכרחית ממספר סיבות.

7 7 ראשית-כל, חובה לסגל לעצמך הרגלי כתיבה, ז"א להביע בצורה מדויקת, ולפי היכולת בקצרה, את מחשבותיך על הנייר שנית, בזמן כתיבת פתרון הבעיה, אתם פעם נוספת מתעמקים בה ואולי תוכלו לראות פרטים חדשים ואפילו דרך פשוטה יותר לפתרון. כמו כן, ההרגל לכתיבה מסודרת ומדויקת תחנך אתכם לארגון עצמי. איך לכתוב בצורה נקייה? להלן המלצתנו. לכתיבה נקייה השתמשו במחברת משבצות עבה. בכותרת רשמו תאריך ומספר בעיה. ז"א מספר רץ של הבעיה, שהתחיל לרוץ מתחילת עבודתכם העצמאית. בשוליים כתבו את שם המקור, ממנו נלקחה הבעיה. העתיקו את נתוני הבעיה למחברתכם- רק כך תבטיחו את האפשרות לחזור לבעיה מורכבת ומעניינת גם אחרי זמן ממושך. כתבו את פתרון הבעיה בצורה מדוקדקת עם כל הביסוסים וההוכחות. בכתיבת פתרון בעיה גיאומטרית חובה לצייר שרטוט. אם תעקבו אחר עצותינו, אחרי זמן מה תהפכו להיות בעלי אוסף בעיות פתורות על ידיכם, וכמו אספן אמיתי, תשמחו עם כל פריט חדש שנוסף לאוסף שלכם- תשמחו מבעיה מספר, מספר 0 וכך הלאה.. פתאום יופיעו חגים אישיים שלכם, "יובל בעיות פתורות"," הבעיה ה- 00 " ומילניום במקרה של 000 בעיות פתורות.. כל בעיה שנפתרה על ידיכם באופן עצמאי, מגבירה את הפוטנציאל האינטלקטואלי שלכם, וכשמספר הבעיות הפתורות יעבור את ה- 00, אתם לבטח תשימו לב לכך, לא רק בפתירת בעיות מתמטיות בבית הספר. חוץ מהאסתטיקה שבניסוח התשובות, אנו מציעים לכם את עיקרון "ספר העזר". הספרון הזה ישרת אתכם בכתיבת עובדות מתמטיות מעניינות לכם, נוסחאות, משפטים ורעיונות מתמטיים, שיופיעו בזמן הכרות עם חומר תיאורטי חדש או בזמן פתרון בעיות. בספר העזר יאספו לא רק ה"גילויים" האישיים שלכם, אלא גם שיטות נפרדות, מנהגים, גישות שונות, מתודיקות בסיסיות לפתרון בעיות. בספר העזר שלכם יהיה הרכב אלגוריתמים כלליים, ז"א כללים שעל פיהם תוכלו לפעול בפתירת בעיות סטנדרטיות כמו גם בפתירת בעיות לא סטנדרטיות. היתרון של ספר העזר שלכם על ספרי הדרכה רגילים, הוא שהמידע שבספרון נוסח באופן מובן יותר לכם, לא יהיה בו דבר מיותר, שכן אתם בעצמכם אספתם את החומר שבו וארגנתם את צורת הכתיבה בו. אפילו העבודה הכרוכה בהכנת ספר עזר שכזה היא יעילה ביותר, מפני שלא רק תצטרכו להבין כל נוסחה, כל מנהג, כל נושא, אלא גם להבין לעומק את יחסי הגומלין והאחדות הלוגית שבין תחומי המתמטיקה השונים. כמובן, שכל נוסחה, וכל מנהג טכני, לפני תפיסת מקומם בספר העזר שלכם, צריכים להוכיח עצמם באופן מובהק בשטח.

8 8 עקרון. "עקרון הצפרדע הנמרץ" הקשיים מעוררים אצל האדם כישורים, הנחוצים לו בכדי להתגבר על הקשיים א. פיליפס משל מאוד ידוע הוא על שני הצפרדעים. שני צפרדעים הגיעו למרתף ונפלו לכד מלא בשמנת. מצבם של הצפרדעים נראה חסר סיכוי, ואחת מהן החליטה לא לבזבז כוח לשווא ולא להיאבק, היא צנחה אל התחתית-אל מותה. הצפרדע השניה התנהגה בצורה שונה לגמרי. מהרגע הראשון היא החלה להלחם על חייה ולהיאבק, להתפרע, הכל בכדי להציל את חייה. כוחותיה החלו כבר להיגמר, כשהרגישה תחת כפות רגליה גוף מוצק- הייתה זו חמאה שאותה יצרה מתוך השמנת בעזרת תנועותיה. הצפרדע נחה לזמן מה על החמאה הקשה- וקפצה אל מחוץ לכד. עצתנו היא: אם הבעיה "לא נפתרת" והיא נראית קשה עד ייאוש, לפני שתיכנעו, תיזכרו במשל על שני הצפרדעים. עקרון. "עקרון הססגוניות (ריבוי צורות)" פתרון בעיות מזכיר לי את חיפוש העכברון בערמת האבנים. אפשר לפעול בשני אופנים:. לזרוק אבנים, למצוא את העכבר ולתפוס אותו.. אך גם אפשר לפעול בדרך שונה: להסתובב מהר סביב הערמה, לחפש אולי יצא קצה זנבו של העכברון. מקרה של הזדמנות- אל תחמיץ אותה! נפולאון ד. פויה, מתמטיקאי ומורה הונגרי ידוע, סבר כי עדיף לפתור בעיה אחת בדרכים שונות, מאשר מספר בעיות נפרדות. למצב הזה נקרא עקרון הססגוניות (ריבוי צורות). בעצם, אם הצלחנו לפתור בעיה בכמה דרכים שונות, היתרונות והחסרונות של כל דרך נהיות מובנות לנו, אפשר להשוות את היקפי העבודה, הקושי והיעילות של כל שיטה. כך נוכל לראות את הבעיה מנקודות מבט שונות בכל היקפה.

9 9 עיקרון. "עיקרון הלמידה העצמית" מה, שהייתם צריכים להמציא באופן עצמאי, משאיר בתוך ההבנה שלכם שביל, ג. שתוכלו להשתמש בו פעם נוספת, אם זה נחוץ. ליטנברג. פתגמים לעיתים קרובות מאוד, לא פחות קל להבין בשלמות פתרון של מישהו אחר מאשר לפתור את הבעיה באופן עצמאי. מלבד זאת, למדען זוהי עבודה יומיומית, חלק גדול מזמנו הולך בעבודת ביקורת על סיגול תוצאות, המתקבלות ממומחים אחרים, בעבודה עם עורכים של כתבי עת ועם מונוגרפים. צריך להרגיל את עצמך לעבוד בצורת משטר של למידה עצמית. אם הבעיה "לא נפתרת" הרבה זמן- במקרה כזה תצטרכו לשבת ולנסות להבין, עם עפרון ביד, את פתרון הבעיה הזו או בעיה דומה לה, של המחבר או המורה, בשלבים נפרדים. כל שלב בפתרון- הוא צעד לוגי ויישומי. לאחר מכן, כשהבעיה מובנת לחלוטין, כתבו אותה במחברת, סמנו אותה בכוכבית, כדי שאחרי זמן-מה תוכלו לחזור אליה. אם תמצאו לנכון, תוסיפו גם את הרעיונות הבסיסיים והנוסחאות שבבעיה אל ספר העזר שלכם. עיקרון 6. "עיקרון היצירה" כל בעיה שפתרתי בעצמי הפכה לדוגמה, שהשתמשתי בה בהמשכיות לפתרון בעיות אחרות. פנה דקארט. "דיון על השיטה" אם אתם רוצים להיאחז בעיקרון הזה בזמן עבודתכם, אתם צריכים לא רק להבין את הרעיון, המונח בנתוני הבעיה, אלא גם לנסות לתרגל את הרעיון, להלביש אותו בבגדים שונים, במילים אחרות, לנסות לנסח על בסיס הרעיון בעיות חדשות. יכול להיות מאוד, שלא תוכלו לפתור את הבעיה החדשה בעצמכם. בהיסטורית המתמטיקה זה דבר שכיח ביותר, ועדיין יש בעיות, שנוסחו לפני מעל 00 שנים, אך לא נפתרו ע"י אף אחד, למרות שהמוחות המבריקים ביותר ניסו לפתרם. חוץ מזה, הבעיה שהומצאה על ידיכם, היא כנראה "קצה הקרחון" של בעיה גדולה וכללית יותר. עם פתירת בעיה, יש לשאול את עצמנו, האם אפשר להכליל את התוצאה? תיאור גרפי של הפעולות שעלינו לנקוט נראה כך: בעיה חדשה חקירת נתוני הבעיה פתירת הבעיה ניסיון של הכללת התוצאה להדגיש את הרעיון המוסתר הנמצא בנתוני הבעיה בתוך הפתרון חיפושאחר מקומות נוספים בהם אפשר להשתמש ברעיון ניסוח בעיות חדשות.

10 0 לא קל ליישם את עקרון היצירה, במיוחד לא בהתחלה. אך לשאוף לקיומו הוא צעד הכרחי. העקרונות הנ"ל מזמן הוכיחו את עצמם בלימוד תלמידי בית ספר. הם כמובן, לא מתיימרים לשלמות, אך אנו עומדים על המלצתנו להיעזר בהם. ולסיום יש לתת עוד עצה אחת. פתחו את הבקיאות, התרבות הכללית. ספרות אומנותית, מוזיקה, סרט, טלוויזיה- אלו בטח לא כל החוליות בשרשרת הפיתוח האינטלקטואלי של האישיות. מאוד חשוב להכיר ביוגרפיות של אנשים ידועים במדע, לעקוב אחר היסטוריית היווצרותם של מדענים, ואופן חשיבתם. נדגיש את העצה האחרונה בעזרת דוגמה: מדען אקדמאי ידוע מאוד הוא אוטו יולייביץ' שמידט, בגיל הוא כתב תוכנית לכל משך חייו: הנער ציין לפרטי פרטים אילו ספרים יקרא, באילו תורות ישלוט, אילו בעיות יפתור. כאשר חישב, כמה זמן יצטרך בכדי לבצע את התוכנית במלואה, התברר כי הוא יצטרך 900 שנים. עם הרבה עצב, שמידט צמצם את התוכנית אך עדיין התברר כי יזדקק ל- 00 שנים. שמידט צמצם את התוכנית פעם נוספת- וקבל 0 שנים. הוא תכנן את חייו לדקות, עבודה על גבול האפשרי, עד למותו, אך הוא נפטר בגיל 6, בעצם הוא קיים את התוכנית ל- 0 השנים, והכפיל את הנורמה של בן אדם רגיל פי. אנו ממליצים לכם לקרוא בעיון את הספר של ב. פקליס, ממנה אתם תלמדו הרבה דברים חשובים: על "רפלקס המטרה", ועל תיאוריית העול הגבולי, ואיך לפתח כישורים אישיים יסודיים. בהצלחה! צוות המחברים

11 פרק I: משוואות אלמנטאריות ויישומיהן כדאי לזכור:. הגדרה: שוויון עם נעלם אחד או כמה נעלמים נקרא משוואה. פתרון המשוואה - הוא מציאת ערך אחד של נעלם (או מספר ערכים) שאם מציבים אותו/ם במקום הנעלם מקבלים שוויון מספרי. 9 - במקרה הזה הוא המחובר הראשון, הוא המחובר השני ו- 9 הוא הסכום. - במקרה הזה 7 הוא המחוסר, 6 הוא המחסר ו- הוא ההפרש במקרה הזה הוא הכופל הראשון, 6 הוא הכופל השני ו- היא מכפלה. 8 : 7 - במקרה הזה 8 הוא המחולק, 7 הוא המחלק ו- היא מנה. אלגוריתמים בסיסיים לפתרון: (אלגוריתם - אוסף של שלבים בסדר מסויים שעל פיהם ההצלחה מובטחת) כדי למצוא את המחובר הנעלם, יש לחסר את המחובר השני מהסכום ,. כדי למצוא את המחוסר, צריך לחבר להפרש את המחסר. 8 8, 7 7, 0 כדי למצוא את המחסר, צריך לחסר ההפרש. מהמחוסר את 0 0 :, : 8 8, 6 : 8 6 : 8; כדי למצוא את הכופל הנעלם, צריך לחלק את המכפלה בכופל השני. כדי למצוא מחולק, צריך לכפול את המנה במחלק. כדי למצוא מחלק, צריך לחלק את המחולק במנה.

12 מ. רמה. מצא את הנעלם: 8 0 א. 8 ו. 67 ב. 6 ז. k ג. 8 6 ח. : m ד. 9 ט ה. : n י.. מצא את הנעלם: 0 6 : b 6 ( ) 69 א. ו. ( ): 7 ב. 00 ) ( ז. 00 ( 8) 7 ג. 7 ח. ( z) : 7 [ ( 0 ) ] ד. 7 : ) ( ה. ט. י. מחובר ראשון שווה ל- 807, ומחובר שני גדול ממנו ב- 009 צאו את הסכום.. נתונים שלושה ארגזים המכילים בתוכם סוכר. בארגז הראשון יש 9 ק"ג של סוכר,בארגז השני ב- 7 ק"ג יותר מהארגז הראשון ובארגז השלישי ב- 9 ק"ג יותר מאשר בארגז השני. כמה ק"ג סוכר יש בשלושת הארגזים?. אורך מלבן שווה ל- 7 ס"מ רוחב המלבן קצר ב- 68 ס"מ מאורכו. מצאו את היקף. המלבן.

13 ( ): ( 7 b) 8 8 ( : ) ( 9 ) : ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) רמה מצאו את הנעלם: ( 78) 69 ( ) 000 ( 0 8) 7 7 : ( ) 9 : ( ): 76 א. ב. ג. ד. ה. מצאו את הנעלם: א. ו. ז. ח. ט. י : : : 0 ב. ג. ד. ה. ו. ז. המרחק בין שתי תחנות רכבת שווה ל- 8 ח. ט. י. יא. יב. יג. יד. ק"מ. שתי רכבות יוצאות אחת לקראת השנייה בו זמנית. אחת מהן עברה 88 ק"מ עד נקודת המפגש. כמה עברה הרכבת השנייה עד נקודת המפגש? מצאו את ההפרש בין המספר הארבע- ספרתי הקטן ביותר ובין המספר התלת-ספרתי הגדול ביותר. היקפו של משולש שווה שוקיים שווה ל- 0 הבסיס שווה ל- ס"מ. ס"מ. מצא את אורך השוק, אם אורך מצאו איזו ספרה מסתתרת מאחורי כל אות. (לאותיות שונות מתאימות ספרות שונות). BUS BUT BUG מצאו את כל הפתרונות האפשריים: מצא איזה מספר צריך להציב במקום הכוכביות כדי שיתקיים שוויון בתרגילים הבאים. ) ) ).6

14 פרק :II סימני התחלקות b או כדאי לזכור : סימון "התחלקות": טענה " מתחלק ב- b" ניתן לרשום בצורה. מכאן והלאה כאשר נכתוב "מספר מתחלק" נתכוון לחילוק ללא שארית! מספר מתחלק ב-, אם ורק אם הוא מסתיים ב- 0, 6,, או 8. חשוב לדעת: מספר שמתחלק ב- נקרא זוגי ומספר שלא מתחלק ב- נקרא אי-זוגי! מספר מתחלק ב-, אם ורק אם שתי הספרות האחרונות שלו מהוות מספר דו- ספרתי שמתחלק ב-. מספר מתחלק ב-, אם ורק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-. מספר מתחלק ב- 9, אם ורק אם סכום ספרותיו מתחלק ב- 9. מספר מתחלק ב-, אם ורק אם הוא מסתיים ב- או ב- 0. מספר מתחלק ב- 7, אם ורק אם ההפרש בין המספר ללא ספרת האחדות ובין מכפלת הספרה הזו ב- מתחלק ב- 7. מספר מתחלק ב- 0, אם ורק אם הוא מסתיים ב- 0. מספר מתחלק ב-, אם ורק אם סכום ספרותיו משמאל לימין עם סימנים מתחלפים מתחלק ב מספר מתחלק ב-, אם ורק אם סכום המספר ללא ספרת האחדות ומכפלת הספרה הזו ב- מתחלק ב-. דוגמאות: 6 מתחלק ב- (כי הוא זוגי). כמו כן, הוא מתחלק ב- כי 6 מתחלק ב-. מתחלק ב- כי סכום ספרותיו 6 מתחלק ב-. 67 מתחלק ב- 9 כי סכום ספרותיו 678 מתחלק ב- 9. מתחלק ב- (כי הוא מסתיים ב- ). 70 מתחלק ב- 0 (כי הוא מסתיים ב - 0 ). ברור כי הוא גם מתחלק ב-. 7 מתחלק ב- 7 כי: 6 7-, ואז נבדוק האם 6 מתחלק ב- 7 : 6- מקבלים כי, M7 לכן גם המספר 7 מתחלק ב מתחלק ב- כי ואז ברור כי מתחלק ב מתחלק ב- כי: אז רואים כי 9 מתחלק ב

15 רמה. כמה מספרים דו-ספרתיים מתחלקים ב: ה) ב-? 0 ב, ב- ( ב- 9, ד, ( ב-, ב-... לחנות הביאו ארגזים עם תפוחים, 9 תפוחים בכל ארגז. האם יכול להיות שהביאו לחנות: 68 תפוחים 600 תפוחים תפוחים 9990 תפוחים? האם אפשר בעזרת הספרות 7 ו- 8 לכתוב מספר: שמתחלק ב- 0, שמתחלק ב- 9, שמתחלק ב-, ה) זוגי ו) אי-זוגי שמתחלק ב-, נתונים המספרים: 0, 969,007,0,778,0,7 מהמספרים הנתונים מתחלקים: ב-, ב-, ב- 0, ב-, ה) ב-, ו) ב-, אי. ז) ב-, ח) ב- 7? לו נתון המספר:* *. אילו ספרות צריך לכתוב במקום סימני * כך שהמספר הזה יתחלק גם ב- וגם ב- 9? (מצאו את כל הפתרונות האפשריים). נתון המספר: * *. אילו מספרים צריך לכתוב במקום סימני * כך שהמספר הזה יתחלק גם ב- וגם ב- 9? (מצאו את כל הפתרונות האפשרוית). האם קיים מספר דו-ספרתי המתחלק גם ב-, גם ב-, גם ב- וגם ב- 7? כמה מספרים דו-ספרתיים מתחלקים גם ב- 9 וגם ב-? כמה מספרים תלת-ספרתיים מתחלקים ב- 0? 0. כמה מספרים תלת-ספרתיים מתחלקים גם ב- 00 וגם ב-?

16 6 רמה כמה מספרים דו-ספרתיים אינם מתחלקים ב- וגם אינם מתחלקים ב-? 7 כמה מספרים הקטנים מ- 00 מתחלקים ב- ולא ב-? ידוע שהמספר **7 מתחלק ב- ולא מתחלק ב- 90. מצא את המספר. ידוע שהמספר **7 מתחלק ב- 98 ולא מתחלק ב- 96. מצא את המספר יש להוסיף למספר שתי ספרות אחת משמאל ואחת מימין ולקבל מספר ** המתחלק ב-. מצאו את כל המספרים המתאימים.כמה מספרים שונים ניתן לקבל? 6. מצאו את המספר הטבעי הגדול ביותר שמתחלק ב- 6 המורכב מ- 0 ספרות, כאשר כל ספרה מופיעה בו פעם אחת בלבד. 7. מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר שמתחלק ב- 6 ש, מורכב מ- 0 הספרות, כאשר כל ספרה מופיעה בו פעם אחת בלבד. 8. יש להוסיף למספר 0 שתי ספרות אחת משמאל ואחת מימין ולקבל מספר *0* המתחלק ב- 7. מצאו את כל המספרים המתאימים. 9. האם קיים מספר דו-ספרתי המתחלק גם ב-, גם ב-, גם ב- 8 וגם ב-? 6 0. כמה מספרים דו-ספרתיים מתחלקים גם ב- וגם ב-?

17 7 כדאי לזכור: פרק :III מספרים ראשוניים ומספרים פריקים מספר טבעי הוא מספר השייך לקבוצת המספרים 6,,,,,,.... ניתן לומר כי מספרים טבעיים הינם מספרים שבעזרתם ניתן למספר (ראשון, שני, שלישי וכו'). נהוג לסמן קבוצה זו באות N. המספר 0 אינו מספר טבעי. המספר מתחלק בעצמו וב- או אפשר לומר כי יש לו שני מחלקים. מספר 9 מתחלק בעצמו, ב- וב- (יש לו שלושה מחלקים). למספר 8 יש 6 מחלקים:.8,9,6,,, מספר טבעי נקרא ראשוני אם יש לו רק שני מחלקים שונים: והמספר עצמו. מספר טבעי נקרא פריק אם יש לו יותר מ- מחלקים המספר לא נחשב כפריק וגם לא נחשב כראשוני. המספר 7 הוא מספר ראשוני, המספרים 9 ו- 8 הם פריקים. פירוק למחלקים ראשוניים המספר 0 הוא מספר פריק כי ברור שהוא מתחלק ב- 0. לכן ניתן לרשום:. 0 0 ו- 0. המספרים ו- 0 גם כן פריקים ואז אפשר לרשום: 7 0 וכל הגורמים הם מספרים ראשוניים. לכן מקבלים כי 7. 0 בדרך כלל את הגורמים הכופלים רושמים בסדר עולה: 7 כל מספר פריק אפשר לפרק למכפלה של מספרים ראשוניים! המספר הטבעי הגדול ביותר שבו מתחלקים ללא שארית מספרים ו- b נקרא המחלק.b ו- המשותף הגדול ביותר של (gcd), gretest common divisor דוגמא נמצא את המחלק המשותף הגדול ביותר של המחלקים של.,,8,6,,,, : המחלקים של :,,,6,9,8 8 ו- 8 ז"א GCD(8,) תשובה : GCD(8,)6

18 8 נמצא את המחלק המשותף הגדול ביותר של ו-. המחלקים של המחלקים של.,,8,6,,,, :.,7,, : תשובה : GCD(,) רואים כי המחלק המשותף היחיד של המספרים הנ"ל הוא (הוא גם המחלק המשותף הגדול ביותר). מספרים טבעיים נקראים זרים אם המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם שווה ל-. הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של (lcm) lowest common multiple ו- b נקרא מספר טבעי הקטן ביותר המתחלק גם ב- וגם ב- b. דוגמא : הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של ו- שווה ל-, 8 ז"א LCM(,)8

19 9 רמה הוכיחו כי המספרים:, ב (, 0, 97 הם פריקים. קיבעו אילו מבין המספרים הבאים הם פריקים ואילו לא: 0.,,, האם שטח המלבן יכול להיות מספר ראשוני אם ידוע כי אורכי צלעותיו הם מספרים ראשוניים? פרקו את המספרים, 9, 8, למכפלה של מספרים ראשוניים. מצאו את כל המחלקים של המספר: 80, 9, 90,. 8 מצאו (אם אפשר) את כל המספרים הדו-ספרתיים שפירוקם לגורמים ראשוניים יהיה בעל: מספרים ראשוניים זהים, מספרים ראשוניים זהים, מספרים ראשוניים זהים, מספרים ראשוניים זהים, ה) 6 מספרים ראשוניים זהים, ו) 7 מספרים ראשוניים זהים. מצאו את המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים: 80,0,0,67 0,70 ה).,0, מצאו את הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של המספרים: 8,6, 99,8,7 ה).60,8, האם המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים 000 ו- 00 מתחלק ב- 0? מצאו אותו

20 0 רמה ארנב עובר בקפיצה אחת מרחק של 7 ס"מ, שפן עובר בקפיצה אחת מרחק של 60 ס"מ. כמה קפיצות נדרשות מכל אחד מהם בכדי לעבור מרחק זהה? האם מספר המתחלק ב- 69 מתחלק גם ב? מצאו את המחלק המשותף הגדול ביותר ואת הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של המספרים 0 ו- 60. א. מצאו מספר דו-ספרתי בעל מספר מקסימאלי של גורמים ראשוניים שונים. ב. מבין הגורמים הראשוניים השונים שמצאתם בסעיף א' - מצאו שני מספרים שונים כך שאחד מהם יהיה המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם והשני יהיה המחולק המשותף הקטן ביותר שלהם. שטח ריבוע מסומן על ידי עמודים שנמצאים במרחק של מ' אחד מהשני. את העמודים הנ"ל החליפו בעמודים חדשים הנמצאים במרחק של 0 מ' זה מזה. מהו המספר הטבעי שמהווה את היקף הריבוע הקטן ביותר? מהו המחלק המשותף הגדול ביותר של המספר הדו-ספרתי הגדול ביותר והמספר הדו-ספרתי הקטן ביותר? האם אפשר להגיד את אותו הדבר לגבי מספרים תלת- ספרתיים? האם אפשר להגיד את אותו הדבר לגבי מספרים n -ספרתיים? הוכח כי המספרים ו- הם זרים

21 ה ) כדאי לזכור: א. ב. פרק :IV שברים שבר בו המונה קטן מהמכנה נקרא שבר אמיתי ושבר בו המונה גדול או שווה למכנה נקרא שבר מדומה. שבר בו יש גם מספר שלם נקרא מעורב. אם אנחנו צריכים לחבר או לחסר שברים עם מכנים שווים אז אנו מחברים או מחסרים רק את (למשל:.( 7 המונים של השברים הנתונים ואת המכנה משאירים אותו הדבר נזכיר כי כל שבר ניתן להרחיב, זאת אומרת להכפיל מונה ומכנה במספר כלשהו חוץ מ- 0 מספר בו אנו כופלים נקרא גורם ההרחבה), למשל:. 8 ניתן לצמצם את השבר אם המונה והמכנה מתחלקים באותו המספר, למשל: : : לכל שני שברים אפשר למצוא מכנה משותף, למשל: וגם 0 בדרך כלל מוצאים את המכנה המשותף הקטן ביותר והוא שווה למחולק המשותף הקטן ביותר של המכנים בשברים הנתונים. 9 אם אנחנו צריכים לחבר או לחסר שברים עם מכנים שונים אז אנו מוצאים את המכנה המשותף ואחר כך מבצעים את החיבור או החיסור, למשל:. 0 אם אנחנו צריכים לכפול שני שברים אז אנו קודם כל רושמים את השברים כשברים פשוטים ואחר כך כופלים מונה במונה ומכנה במכנה, למשל: ועוד דוגמא חילוק של שבר אחד בשני, רושמים את השברים כשברים פשוטים. רושמים את ההופכי של השבר המחלק (הופכים בין המונה למכנה).

22 ג. כופלים את השבר המחולק בשבר ההופכי של המחלק. דוגמא: : : הצגה שונה של שברים נעשית באמצעות שבר עשרוני.השבר, למשל, מוצג בצורה 0. כשבר עשרוני. הנקודה המפרידה בין שני חלקיו של שבר הרשום בצורה כזו קרויה הנקודה העשרונית.משמאל לה נרשם חלקו השלם של המספר, ומימין לה נרשם חלק השבר של המספר. הספרה הראשונה מימין לנקודה מציינת את כמות העשיריות, הספרה השנייה מימין לה את כמות המאיות וכך הלאה. שבר עשרוני יכול להיות אינסופי. השבר הפשוט כלומר הספרה 9 חוזרת בו עד אינסוף. השבר הפשוט נכתב כשבר עשרוני...0., נכתב בצורה כאשר רצף הספרות 09 חוזר אינסוף פעמים. שבר כזה, שבו יש רצף של ספרות החוזר שוב ושוב קרוי שבר מחזורי. שבר מחזורי ניתן לרשום באופן הבא: (09), () רמה

23 : : ו מצאו מכנה משותף והשוו את השברים הבאים: ו- 8 ו- 7 9 ו- 6 חשבו ללא עזרת מחשבון: חשבו ללא עזרת מחשבון: : 7 8 חשבו ללא עזרת מחשבון: 7 8 חשבו ללא עזרת מחשבון: : 6.6 : : : חשבו ללא עזרת מחשבון: ( 0...7). : ( ). פתור את המשוואה: ה) ו) ז) 8 ח) : רמה

24 : : : ( ) 6. : 6. 7 : : חשבו ללא עזרת מחשבון: חשבו ללא עזרת מחשבון: חשבו ללא עזרת מחשבון: חשבו ללא עזרת מחשבון: (..7 ): : 6.6 : : (.7) פתור את המשוואה: 6.8 ה) 6. ).: (.6 0 : ו) : (0.7 ). בספר ישנם 0 עמודים. ביום הראשון אלכס קרא עמודים יותר מאשר ביום הראשון, ביום השלישי עוד מהספר. ביום השני ב ממה שנשאר. 0 כמה עמודים נותרו לו לקרוא? מכונית עברה בשעה ראשונה מהמסלול כולו. בשעה השנייה ממה שנשאר ובשעה השלישית היא סיימה את המסלול. מצאו את אורכו של המסלול כולו אם ידוע שבשעה השלישית היא עברה 0 ק"מ. תלמיד עבר מהמרחק מביתו ועד לבית הספר בו הוא לומד, ונותרו לו לעבור עוד 00 מ' עד למחצית הדרך. מהו המרחק מביתו ועד לבית ספרו?

25 % פרק V: אחוזים, כלומר 00 כדאי לזכור: אחוז אחד (כותבים %) זה שבר מהשוויון 0.0 % נובע כי % זה רק צורה אחרת לכתיבת השבר 0.0. כאשר מדברים על אחוז אחד של מספר כלשהו, מתכוונים למאית של המספר הזה. למשל: % של תלמידי בית הספר זה 00% של מספר המספר עצמו. דוגמאות: (או 0.0) מתוך כל התלמידים. 00 % % % %.0 00

26 6 רמה. 0% כתוב את האחוזים הבאים בעזרת שברים: ו) 00% ה) 7% % 0.% %.% ח) 7% ז). כתוב באחוזים: ה) 0. ז) ו) 0.7 ח) 80. () מצא את תמורת האחוז: 7% ( ) % מ-,68 0% מ- 6, ) ( מ- 88, 0% ( ). ( ) מצא כמה אחוזים הם: ( ) מ- 0, 8 ( ) 0 מ-,76 מ- 0.8, 7. ( )..6 מ- 76 מ במבחן היו 0 שאלות. פיטר פתר נכון 0 שאלות. יפים פתר נכון 0 שאלות. איזה ציון באחוזים קיבל כל תלמיד? כמה אחוזים מ- מהווים:?.7, 6,, 0 אגורות, אגורות, 60 אגורות, אגורה,.7.8 שלושה קלעים ירו למטרה. יוסף ירה יריות ופגע ב- 8 מהן. דן ירה יריות ופגע ב- מהן. אריאל ירה 7 יריות ופגע ב- מהן. חשב את אחוז הפגיעות של כל קלע. קבע מיהו הקלע הטוב ביותר? איך תשתנה מכפלה אם הגורם הראשון יוגדל ב- 0% והגורם השני יוקטן ב-?0%.9 חילקוסכום של 000 בין אנשים. הראשון קיבל % מהסכום. השני קיבל % מהסכום. השלישי קיבל את שאר הכסף. כמה כסף קיבל כל אחד? 0.משקל הצ'יפס מהווה % ממשקל תפוחי האדמה הטריים. כמה ק"ג צ'יפס ייוצרו מ- 0 ק"ג של תפוחי אדמה?

27 7 רמה. מירי עשתה דיאטה כל השנה. באביב היא רזתה ב- %, בקיץ היא שמנה ב- 0%, בסתיו היא רזתה ב- 0% ובחורף היא שמנה ב- 0%. האם מירי שמנה או רזתה בסוף כל השנה?. מצא מספר, שאם נחסר ממנו 0 הוא יקטן ב- 0%.. בכיתה יש 8 בנים והם מהווים 60% מכלל התלמידים (בנים ובנות) שבכיתה. כמה בנות לומדות בכיתה?. שדה ששטחו 60 דונם זרוע בתירס ב- % ב, שאר שטח השדה זרעו תפוחי אדמה. כמה דונם של השדה זרוע בתירס וכמה בתפוחי אדמה?. רכב נסע בכביש ועבר מרחק של % מכל הדרך, אחר כך בדרך העפר 0% מכל הדרך ושאר הדרך 0 ק"מ שוב בכביש. כמה ק"מ עבר האוטו? 6. בהכנת גביע השתמשו ב- 6 ק"ג כסף וב- ק "ג זהב. מהו אחוז הזהב בגביע? 7. כמה גרמים של מים צריכים להכנת תמיסה המכילה 0% של המלח ושיש בה 0 ג' של המלח? 8. מחיר של מוצר עלה ב- 0 % ואחר כך הוזל ב- 0 %. האם המחיר החדש, יקר יותר, זול יותר, או נותר ללא שינוי, נמקו את תשובתכם. 9. אופנוע יצא לדרך במהירות של קמ"ש. כעבור דקות יצא בעקבותיו רכב שנסע במהירות המהווה 0% ממהירות האופנוע. מצאו כעבור כמה זמן מאז שיצא האופנוע לדרך השיג אותו הרכב? 0. משה קנה ספר ב- 0% מהכסף שהיה ברשותו, ב- 0% מהכסף שנותר לו קנה מחברות וב- שנותרו לו לאחר שתי הרכישות הוא קנה מחק. כמה כסף היה למשה?

28 8 פרק :VI מספרים מכוונים, חזקות כדאי לזכור: הופעתם של מספרים מכוונים היסטוריונים טוענים שגילויים שונים במתמטיקה קשורים לחיי יומיום. לדוגמא - שברים הופיעו בעקבות חלוקת נכסים, מספרים שליליים בעקבות חובות של אנשים... מספר שמתאר את הנקודה על ציר המספרים, נקרא שיעור הנקודה (או קואורדינאטה של הנקודה). כך לדוגמה באיור הבא לנקודה K יש שיעור, ושיעור הנקודה N הוא ) (. נהוג לרשום את שיעור הנקודה באופן הבא:. N ( ), O 0 ( ), K( ) הסדר בין המספרים המכוונים: מספר מכוון הנמצא מימין למספר אחר, על ציר המספרים, גדול ממנו. לדוגמא: גדול מ- 0., (..., נקראים קבוצת המספרים המכוונים שהם לא שברים (...,,0,,,,, קבוצת המספרים השלמים. שני מספרים נקראים מספרים נגדיים אם הם נמצאים על ציר המספרים משני צידי המספר אפס ובמרחק שווה ממנו. ( ) לדוגמה: המספרים ו- הם מספרים נגדיים. כמו כן גם המספרים ו-. ( ) הגדרה: המרחק בין מספר שנמצא על ציר המספרים לבין אפס נקרא הערך המוחלט של המספר. ( 6.,, 0 סימון לערך מוחלט: (למשל: דוגמא:.. OK לדוגמה: OD,

29 9 אם נתון כי ערכו המוחלט של מספר מסוים שווה ל, אנחנו נוכל להצביע על שני מספרים על הציר אשר מקיימים את התנאי: ( ( ו.,,, ההגדרה הפורמאלית של ערך מוחלט היא: 0 < 0 שפירושה היא ערך מוחלט אינו משפיע על המספר האי-שלילי, לעומת זאת הוא הופך את המספר השלילי לחיובי ע"י הוספת סימן "מינוס" , 7 ( 7 ) 7, 0 0 דוגמא: חיבור של שני מספרים מכוונים נתבונן בשני מקרים: כאשר שני מחוברים הם בעלי אותו סימן במקרה זה אנו נחבר את הערכים המוחלטים של המספרים וסימן התוצאה יהיה זהה לסימן המחוברים. ( ) ( 7) ( 7 ) 0 0 (.) ( 7.) (. 7.) 0 דוגמא: ) כאשר שני מחוברים הם בעלי סימנים מנוגדים מחסרים מהמספר בעל הערך המוחלט הגדול את המספר בעל הערך המוחלט הקטן של שני המחוברים והתוצאה תקבל את הסימן של המחובר בעל הערך המוחלט הגדול יותר. ( ) ( 7) ( 7 ) ( ) ( ) ( ) דוגמא: חיסור בין שני מספרים מכוונים ( כדי לחסר מספר מכוון יש לחבר את המספר הנגדי שלו. דוגמא: ( ) ( 7) ( ) ( 7) ( 7 ) ( 6) ( 7) ( 6) ( 7) ( 7 6 )

30 0 השמטת סוגריים כלל: אם מחוץ לסוגריים מופיע סימן "מינוס" יש להשמיט את הסוגריים ולהחליף את הסימן של המספר שבתוך הסוגריים לסימן הפוך. אם מחוץ לסוגריים מופיע סימן "פלוס" יש להשמיט את הסוגריים ולשמור את הסימן של המספר שבתוך הסוגריים. דוגמא: ( ), (.)., ( ) מרחק בין שני מספרים מכוונים למציאת מרחק בין שני מספרים מכוונים יש לחסר את המספר הקטן מהמספר הגדול. מרחק בין המספרים הוא: () ו- (). ( ) ( ) 0 כמו כן, למציאת המרחק בין שני מספרים אפשר להשתמש בציר המספרים. כפל וחילוק של שני מספרים מכוונים בכפל /חילוק של שני מספרים בעלי אותו סימן יש לכפול /לחלק את הערכים המוחלטים שלהם והתוצאה תקבל סימן "פלוס". בכפל /חילוק של שני מספרים בעלי סימנים שונים יש לכפול/לחלק את הערכים המוחלטים שלהם והתוצאה תקבל סימן "מינוס". (.) ( ) (. ) (.) : ( ) (. : ) 0. דוגמא:, ( ) ( 7) 7 ( 6) : ( ) 6 :,

31 חזקות העלאה בחזקה היא פעולה מתמטית המהווה קיצור של פעולת הכפל: מעריך חזקה (בסיס החזקה). ה. מספר הוא בסיס החזקה והמספר הוא מעריך למשל 6 החזקה. מהגדרת פעולת העלאה בחזקה נובעות התכונות הבאות: חוקי חזקות, n m n m m, n כאשר מספר כלשהו, - מספרים טבעיים., n : m nm m, n, 0 כאשר מספר כלשהו, אך - מספרים טבעיים., 0 כאשר מספר כלשהו, אך 0. n n n, ( b) b, כאשר b מספרים כלשהם, n - מספר טבעי., n b n n b n, b 0, כאשר b מספרים כלשהם, אך - מספר טבעי., m n mn ( ) m, n כאשר מספר כלשהו, - מספרים טבעיים., n n n, 0 כאשר מספר כלשהו, אך - מספר טבעי. הערה: לחזקה קוראים ריבוע, למשל לביטוי קוראים "חמש בריבוע".

32 העלאה של מספרים מכוונים בחזקה כאשר נעלה מספר חיובי בחזקה בעלת מעריך כלשהו נקבל תוצאה חיובית. כאשר נעלה מספר שלילי בחזקה בעלת מעריך זוגי נקבל תוצאה חיובית. כאשר נעלה מספר שלילי בחזקה בעלת מעריך אי זוגי נקבל תוצאה שלילית. דוגמא:. ( ) 8, ( ), ( ) הוצאת שורש ריבועי ממספרים מכוונים שורש ריבועי ממספר חיובי זה מספר חיובי אשר ריבועו נותן את המספר עצמו (למשל: 7 9 ( שורש ריבועי ממספר שלילי אינו קיים בעולם המספרים הממשיים :.( אינו מוגדר, כי לא קיים ממשי, כך ש- ) ( ( 6) 6 6 חשוב לציין כי לכל מספר מתקיים: (למשל:

33 רמה. סמנו על ציר המספרים את המספרים הבאים: 8,., 0,,.,,,.,, C 7,, בבוקר נמדדה בעיר טמפרטורת אוויר של ב, צהריים עלתה הטמפרטורה ב- 6 מעלות ובערב היא שוב עלתה ב- מעלות. איזו טמפרטורה נמדדה בעיר בצהריים ובערב? מצאו את שיעורי הנקודות הבאות: M,I,V,A,H,E,L.. מהו המרחק בין המספרים( ( המספרים בין המספרים האלה? סדרו את המספרים הבאים לפי גודלם: ו-? כמה מספרים שלמים נמצאים על ציר 7,, 0,,.,,,,,, 6 חיובי ו- b, 7 נתון כי > b חיוביים ו- האם יתכן כי: ו- שליליים, חיובי ו- b ה) שלילי? ז) שלילי? b 0 b 0 ו) b.8 b.8 חשב: : : : : : 6 : ה) 8. מצאו מספרים אשר מקיימים: > 0 < ה) ו) (..) (.).9 חשבו ללא עזרת המחשבון: ) ( : 6 : ( ) 0.פתרו את המשוואות: ( : 0.). ( ) ה) ) ( : ו) ז) ) ( : ) ( :

34 רמה חשבו ללא עזרת מחשבון: : : ( 0.6 ) : ( 6.0) (.9) ( ) ( : ( 0) ) ( ) : 7 (.) פתרו את המשוואות הבאות: ה) 0 ו) ז) האם יכול להיות כי סכומם של מספרים קטן מאחד המחוברים? אם כן תנו דוגמה. האם יכול להיות כי סכומם של מספרים קטן מכל מחובר? אם כן תנו דוגמה. האם יכול להיות כי ההפרש של מספרים גדול מכל אחד מהמספרים האלה? אם כן תנו דוגמה. האם יכול להיות כי הפרש של מספרים קטן מכל אחד מהמספרים האלה? אם כן תנו דוגמה. ה) האם יכול להיות כי מכפלה של מספרים קטנה מכל אחד מהמספרים האלה? אם כן תנו דוגמה. ו) האם יכול להיות כי מכפלה של מספרים גדולה מכל אחד מהמספרים האלה? אם כן תנו דוגמה. ז) האם יכול להיות כי מנה של מספרים גדולה מכל אחד מהמספרים האלה? אם כן תנו דוגמה..

35 ח) האם יכול להיות כי מנה של מספרים קטנה מכל אחד מהמספרים האלה? אם כן תנו דוגמה. האם אפשר למצוא מספרים ו- כך שיתקיים: > >.6 האם אפשר למצוא מספר כך שיתקיים:.7 ה) ו) ז) מירי בחרה מספר דו-ספרתי שלא מתחלק ב- 0, הפכה את סדר ספרותיו וחישבה את ההפרש של שני המספרים האלה. מהו ההפרש הקטן ביותר שמירי יכולה לקבל? מהו ההפרש הגדול ביותר שמירי יכולה לקבל? הוכיחו כי המספר אינו מתחלק ב- 008 ללא שארית ( ) 0.השווה בין המספרים הבאים: ו-

36 6 פרק :VII מערכת צירים כאשר אנו מחפשים כתובת מסוימת אנו נעזרים במפה של העיר ומתקדמים בהתאם ברחובות. איך ימצאו את הדרך הנכונה מלחים? איך הם יוכלו להסביר היכן נמצא האי שהם גילו? 00 שנה לפני הספירה מדען יווני גיפארך הציע מערכת קואורדינאטות גיאוגרפיות, אשר אנו מכירים גם היום: אורך ורוחב. במאה ה אחרי הספירה מתמטיקאי ניקולה אורסם הגדיר בדומה למערכת קואורדינאטות גיאוגרפיות מערכת צירים במישור. אם השמות: אורך ורוחב הוא החליף ב" אבסציסה" ו- אורדינאטה. מערכת זו הובילה לשיטת קואורדינאטות ונבנה הקשר בין אלגברה לגיאומטריה. הישגים מרשימים בתחום זה מיחסים לרנה דקארט, מתמטיקאי צרפתי. לכבודו מערכת קואורדינאטות נקראת גם היום על שמו: מערכת דקארט. בחיי יום יום משתמשים הרבה במערכת זאת. לדוגמה: על כרטיס לתיאטרון מופיעים שני מספרים: אחד מהם שורה והשני טור. משבצות על לוח שחמט מסומנות גם הן ע"י שני פרמטרים: אות ומספר. כך גם במשחק צוללות. מערכת צירים. נבנה שני ישרים מאונכים זה לזה כך שנקודות המוצא בניהם יתלכדו. ציר אופקי נקרא ציר האבסציסות. הציר האנכי נקרא ציר האורדינאטות. ("אבסציסה ביוונית נקטע, אורדינאטה מסודר) - נקודה המוצא «ordintus» - - «bscissus» המשותפת נקראת ראשית הצירים.

37 7 נוריד מנקודה כלשהי במישור אנכים לצירים: OX ציר אופקי, OY ציר אנכי. נקרא למספר שנמצא בבסיס האנך על ציר ה X, שיעור ראשון של הנקודה (אבסציסה). נקרא למספר שנמצא בבסיס האנך על ציר ה Y, שיעור שני של הנקודה (אורדינאטה). לנקודה D שיעור ראשון הוא (אבסציסה) ושיעור שני הוא b (אורדינאטה). נהוג לכתוב את שמי השיעורים כזוג :,b) (, קודם שיעור ראשון ולאחר מכן שיעור שני. לנקודה M שיעור ראשון הוא (אבסציסה) ושיעור שני הוא 0. (אורדינאטה). לנקודה B שיעור ראשון הוא - (אבסציסה) ושיעור שני הוא 0 (אורדינאטה).

38 8 ( ) רמה. סמן במערכת צירים את הנקודות הבאות: A,, F(,0), E(0,), C(,), D(, ), B(, ), K(,) צייר במישור בעזרת מערכת צירים: (0:7) (-9;6) (0;-9) (9;6) (0;7). (-;9) (-9;) (6;-) (6;9) (-6;9) (-6;-) (9;) (;9) ( ;7) ( ; ) (; ) (;0) (0;) ( 6;) ( 6; ) (; ) (0;0) ( ;) ( 6;) ( 7; ) (; ) (0; ) ( ;) ( 7;) ( ; 6) (; ) (8;) ( ;) ( 7;) (-6;-6) (; ) (6;) ( ;) ( 6;) ( ; ) (; ) (;) ( ;6) ( ;) (0; ) (;-6) (0;) ( ;7) ( ;0) (; ) (7; 6) ( ;7) ( ;7). עין : ( ;6) (0; ) (; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; ) (0;) ( ;).

39 9 (;-) (-;8) (-;8) (8;) עין : (7;-) (-7;) (-0;) (7;-). (-;-) (-;0) (-;) (;). (-;) (-9;) (;) ( 7;) ( ; ) (; ) (6;) (;) ( 8;) ( ; ) (; ) (; ) (7;) ( 0;) ( ; ) (; ) ( ; ) (6;). ( 8;0) ( ; ) (; ) ( 6;0) ( 7;0) (0; ) (7;0) ( 8;) עין : ( 6; ) (0; ) (9;0) ( 6;) ( 7; ) ( 7; ) (; ) (; ) (0;) (9;) ( ;) ( ;) (9;). ( ; ) (; ) (8;) (;) ( ; ) (; ) (7;) (;) 6 (;7) (;0) ( ; ) ( ;) ( ;6) (;) (6;) ( ; ) ( 6;) (;7). ( ;) (; ) ( ; ) ( ;) עין : (;) (; ) ( ;) ( ;7) ( ;). 7 ( ; ) (; ) (8;7) ( ;6) ( 8; 6) (; ) (8;) (6;7) ( 7;) ( ; ) (6; ) (7; ) (7;) (;) (;) (0;) ( 6;) ( 7;) ( ; ) ( 7; 7). (9; ) (6;) ( ;) ( ;) ( 6; 8) (0; ) (8; ) (8;) (0;6) (0;) ( ;) ( ; ) ( ; ) ( ; ) (8;0) (0;8) ( ;) ( ; ) עין : (0; ) (9;8) ( ;) ( 9; ) ( ;). רמה. רשמו את השיעורים של כל הנקודות שיוצרות את הברבור (משבצת אחת יחידה אחת):

40 0 צייר במישור בעזרת מערכת צירים: (8;9) (;-7) (-;) (6;-) (7;8) (7;) (0;-8) (-;) (6;-) (8;9) (9;) (-7;-6) (-;6) (;) (9;7) (0;) (-;-) (-;0) (;) (0;6) (;) (-0;) (0;) (0;0) (0;) (;) (-8;) (0;) (0;) (6;7) (;) (-0;) (;0) (;) (;8) (;) (-8;) (;0) (;) (;). (;) (-;0) (-;0) (;0) עין : (;8) (-;) (-;) (6;) (;7) (-;) (0;) (6;7) (;) (-;) (;) (8;6) (7;9). (9;0) (-;) (;) (7;7) (8;-6) (-;) (7;). (8;7) (;) (-6;-6) (-7;) (;) כנף : (;7) (-7;-) (-;6) (;6) (-9;7) (;6) (-9;0) (-;7) (;) (-0;7) (;) (-;) (-;6) (;) (-9;6)

41 (;) (-;) (-9;) (;) (-0;) (;0) (-;) (-0;0) (6;) (-;) (0;-) (-;) (-9;8) (;) (-;) (0;-) (-;) (-;6) (7;) (-;) (-;-8) (-;-) (-6;) (-6;0) (-;8) (;0) (;) (6;9) (-;6). (-;-) (-7;) (;) (6;7) עין : (-6;-) (-7;) (;) (;6) (;). (-8;-) (-8;8) (;) (;6). (-6;-) (-8;) (;7) (;) (0;-) (7;-) (-7;-7) (-0;-) (;) (0;-) (6;-) (-8;-6) (-9;0) (8;) (7;-) (;-7) (-8;-) (-0;6) (;) (;) (;-) (-7;-) (-8;9) (6;8) (;) (;-) (-8;-) (-6;) (7;6) (;8) (-;-) (-;-) (-7;) (7;) (9;9) (-;-) (-6;) (-;0) (;) (;6) (0;-) (-8;-) (-8;) (8;0) (;) (0;-) (-9;-0) (-;) (;0) (;0) (-;-) (-9;-) (-;) (6;-) (;-) (-;-) (-0;-) (;). (;-) (;-) (-;-) (-9;-) (;-7) (8;-) (-;-) (-0;-) עיניים : (;-9) (9;-) (-;-) (-;-) (;-), (;-) (0;-) (-;-0) (-;-) (;-). (;-) (0;-) (-;-7) (-;-) (0;-) (9;-) (-6;-) (-;-) אף: (8;-0) (9;-) (-;-6) (-;-) (0;-0), (7;-8) (8;-) (-6;-7) (-;-0) (;-0). (9;-) (7;-) (-7;-6) (-0;-7) (;) (-;-) (-6;) (-;0) (9;) (6;) (-;-) (-6;) (-;) (9;) (7;) (-;-) (-7;) (;0) (6;) (6;0) (-;-0) (-9;) (;) (6;) (7;-) (-;-8) (-0;) (8;0) (;6) (;0) (-;-7) (-;) (6;8) (;7) (;-) (-;-6) (-;-) (;0) (7;6) (;-) (-;-) (-;-6) (;0) (8;)

42 (;-7) (-;-) (-;-8) (;7) (9;) (;-6) (-;-) (-;-7) (;8) (9;6) (;-) (-7;-6) (-;-6) (;6) (0;) (;-) (-8;-7) (-0;-) (;) (0;6) (;-) (;-) (-7;-9) (-;-) (-9;-) (-0;-) (;). (9;7) (7;9). (;-) (-6;-) (-0;0) (;0) (;-) (-7;-) (-9;) (;) (0;-) (-6;-) (-8;) (;) (-;-) (-7;-) (-6;) (;-) (0;-) (-8;-9) (-;) (;-) עין : (-;-7) (-0;-7) (0;) (;-) (-;-8) (-7;-) (;) (;-) (7;7). (-;-0) (-9;-) (0;) (;) (0;-) (-9;0) (-;) (;) (-;-) (-8;) (-;6) (;) 6 (;) (-;-6) (-;-) (-;0) (6;0) (7;) (-;-8) (-;-7) (-;-) (6;) (0;) (;-) (-;-0) (-;-) (7;0) (6;) (;-) (-;-) (-6;) (8;9) (;) (6;-) (0;-) (-;) (9;7) (;) (8;-) (;-0) (-;) (0;6) (;) (9;-6) (;-6) (-;) (0;7) (;) (0;-7) (;-) (-9;9) (;7) (;) (;-8) (-;-7) (-;0) (;6) (;) (;-8) (-;-9) (-0;) (;) (;0) (;-6) (-;-0) (-;) (.;.) (;0) (;-) (;-9) (-;) (;)

43 (;-) (;-) (;-8) (-;6) (0.;.) (;0) (0;-8) (;-6) (-;8) (0;) (;0) (6;-6) (;-) (-8;8) (9.;.) (;) (;-) (-;-) (-6;6) (9;) (;) (0;-7) (-;-) (-6;) (8.;.) (0;-) (;-0) (-8;-) (-;0) (8;). (-;-) (6;-) (-0;-) (0;) (-;-) (6;-6) (-;-9) (;9) עין : (-;-) (;-8) (-;-6) (;8) (7;7) (-;-) (;-9) (-;-) (;8) (7;8) (-;-) (;-9) (-;-) (;9) (8;7) (-;-) (9;-8) (-;-) (;) (7;7). (-;-6) (;-) (-;-) (;0) (-;-6) (;-) (-;-) (;) (-;-7) (;-) (-;0) (;0) (-;-6) (-;-) (-;-) (;) פרק :VIII תבנית מספר ותבנית פסוק. כדאי לזכור: הגדרה: תבנית מספר - ביטוי המכיל אות (או אותיות) ומספרים, כך שע"י הצבת מספרים במקום האותיות, נקבל שם של מספר. דוגמה: 6 קבוצת הצבה קבוצת כל המספרים שהצבתם בתבנית המספר נותנת מספר, נקראת קבוצת ההצבה של תבנית המספר. קבוצת ההצבה תכלול את כל המספרים פרט למספרים שהצבתם תיתן ביטוי חסר משמעות.

44 הגדרה o האותיות המופיעות בתבנית מספר נקראות משתנים. דוגמאות: קבוצת ההצבה של תבנית המספר: o היא כל המספרים. קבוצת ההצבה של תבנית המספר: היא כל המספרים פרט ל- 8 8 פשוט כותבים:, או. 8 o קבוצת ההצבה של תבנית המספר:. ± o קבוצת ההצבה של תבנית המספר הגדרה ± : 9, או ניתן גם לרשום: :. תבניות מספר שקולות שתי תבניות מספר, אשר הצבת מספר כלשהו בשתיהן, נותנת מספר זהה. דוגמה: הגדרה תבנית מספר שיש בה רק פעולות כפל, חזקה וחילוק, נקראת חד איבר. דוגמה: חד-איבר ניתן לפשט: ( ) ( ) ( ) 0 צורה זו של חד-איבר נקראת צורה סטנדרטית. המספר 0 נקרא מקדם ו- ו- - נעלמים. הגדרה הדרגה של חד-איבר שרשום בצורה סטנדרטית מוגדרת כסכום המעריכים של כל המשתנים. אם חד-איבר הוא מספר השונה מ- 0 אז דרגתו שווה ל- 0. (!) דרגה של חד- איבר 0 לא מוגדרת. דוגמאות:

45 שווה ל- 0. שווה ל-. 7 b o דרגה של חד-איבר o דרגה של חד-איבר o דרגה של חד-איבר 6 שווה ל- 0. הגדרה רב-איבר הינו סכום של חד-איברים. רב-איבר בעל שני מחוברים נקרא דו-איבר, רב-איבר בעל שלושה מחוברים נקרא תלת-איבר. כל חד-איבר הוא רב-איבר שמורכב ממחובר אחד בלבד. דוגמאות, 7, - רב-איבר שמורכב מחד-איברים: 7 o b, 6, b - b 6 רב-איבר שמורכב מחד-איברים: b - 6 רב-איבר שמורכב מחד-איבר אחד. צורה סטנדרטית של רב-איבר o o נתבונן ברב-איבר: רואים כי האיבר ראשון והאיבר האחרון בעלי אותם נעלמים (אותן אותיות). איברים כאלה נקראים איברים דומים, איברים ללא נעלמים (האיברים השלישי והחמישי) גם כן נחשבים איברים דומים. סכום איברים דומים אפשר להחליף בחד-איבר. פעולה זו נקראת כינוס איברים דומים. 6 7 נכנס איברים דומים ברב-איבר 8 ( 8 ) 7 ( 6) הגדרה רב-איבר שאין בו איברים דומים והוא מורכב מחד-איברים הרשומים בצורה סטנדרטית נקרא רב-איברים בצורה סטנדרטית. הגדרה דרגת חד-איבר הגדולה ביותר שנכנסה ברב-איבר שרשום בצורה סטנדרטית נקראת דרגת רב-איבר. דוגמאות - דרגת רב-איבר זה שווה ל- (רב-איבר רשום בצורה סטנדרטית) 7 o - רב-איבר זה לא רשום בצורה סטנדרטית, לכן נעשה 7 7 b b כינוס איברים דומים: o

46 - ואז רואים ( ) b b b b b b כי דרגת רב-איבר שווה ל-. 9 o o - דרגת רב-איבר זה שווה ל- (רב-איבר רשום בצורה סטנדרטית) דרגה של רב-איבר שמורכב רק ממספר שווה ל- 0, למשל דרגה של רב-איבר 8 שווה ל- 0. הגדרה טענה מתמטית שניתן לענות עליה אמת או שקר נקראת פסוק, אם הטענה היא נכונה, אומרים כי זה פסוק אמת אם הטענה היא לא נכונה, אומרי כי זה פסוק שקר o o o דוגמאות: הטענה: "המספר 8 גדול ממספר " ( > 8) היא פסוק אמת הטענה: "המספר 9 הוא מספר זוגי" היא פסוק שקר הטענה: הגדרה : 6 - היא פסוק אמת תבנית מספר ביטוי המכיל משתנה (או משתנים) ומספרים. אם נציב במקום המשתנה מספר, נקבל מספר. דוגמה: אם במקום משתנה בתבנית מספר נציב אז נקבל o הגדרה תבנית פסוק ביטוי שמכיל משתנים (נעלמים) כך שאם נציב במקומם מספרים נקבל פסוק (אמת או שקר). דוגמאות: נציב - תבנית פסוק. אם נציב במקום מספר נקבל פסוק שקר: נקבל פסוק אמת: > 8 - תבנית פסוק. אם נציב במקום o נציב מספר נקבל פסוק שקר: > 8 6 נקבל פסוק אמת: 6 > 8 ואם ואם > שלילי. - תבנית פסוק שמהווה פסוק אמת עבור כל כי תמיד מספר אי- o

47 7 z הצב בתבנית המספר רמה את המספרים הבאים וחשב: ז) ח) 0 ט) - י) ה) י ו). י z 0. 0.,, הצב בתבניות המספר הבאות ה) וחשב: ( ) ( ו) z) ( ) z z z z מצאו את קבוצת ההצבה של תבניות המספר הבאות:...

48 8 6 8 : 0. 7 ה) ו) ז) ח) קבעו אילו מבין הביטויים הבאים הם פסוקים ואילו לא: 6 > 7 < 8. סכום של מספרים טבעיים ה) ההפרש של מספרים זוגיים הוא מספר אי-זוגי ו) קבעו אילו מבין הביטויים הבאים הם פסוקי אמת ואילו פסוקי שקר: : ( b) ( b ) קבעו אילו מבין הביטויים הבאים הם פסוקי אמת ואילו פסוקי שקר: 79 b b : ) ( 0..6 רשמו פסוק אמת וגם פסוק שקר: עם נעלם אחד. עם שני נעלמים. עם שלושה נעלמים. ללא נעלמים רשמו את חד-איברים הבאים בצורה סטנדרטית: 7 אילו מבין תבניות המספר הבאות מהוות חד-איבר: ( b) b ו) 0 ה),, z א)( ( מצאו ערך של חד-איבר: z, כאשר:, 0.b כאשר: 0 b.,.כתיבה bc מתארת מספר שבו ספרת המאות שווה ל-, ספרת העשרות שווה. bc 00 כתבו את 0b ל- b וספרת היחידות שווה ל-, c כלומר c 00z bcdef 7 המספרים הבאים כרב-איברים: ה) bcd ו), 7.חשבו את הערך של רבי - האיברים הבאים: כאשר,

49 9, כאשר 0. 0.,, כאשר 0 0, b 0., c, כאשר 0. bc b c bc.כנסו את האיברים הדומים: כתבו בצורה סטנדרטית: b b ( ) ( ) 6 8 b b b ( ) 0 רמה מצאו את קבוצת ההצבה של תבניות המספר הבאות: : 8 z z z ה) ו) עבור אילו ערכים של המשתנה ז) ח) מקבלת תבנית המספר את הערך: עבור איזה 0 ה) מהווים הביטויים הבאים פסוקי אמת: ו) n...

50 6 ( n ) ( ) n 0 : n n קבעו אילו מבין הביטויים הבאים הם פסוקי שקר - מספר טבעי): n ). 0 n ( ) n n ( ) ( ) ( ) n ( ) n 7 n b מצאו n מצאו כזה שחד- האיבר כזה שחד- האיבר יהיה בעל דרגה. יהיה בעל דרגה.? m b 7 c איך ישתנה שטח של מלבן אם צלעותיו יוגדלו פי m m עבור איזה טבעי הביטויים הבאים הם פסוקי אמת: ( ) m 8 ( ) 6 m m 0 ( ) m m ( b) b ה) m m ) ( ו) ) ( ( ) m אורך מלבן שווה ל- ס"מ ורוחבו שווה ל- ס"מ. כתבו תבניות המספר המייצגות את היקף המלבן ואת שטח המלבן. קבעו איזה ביטוי הוא חד-איבר ואיזה ביטוי הוא רב-איבר. כתוב במקום P חד-איבר כך שאחרי כינוס איברים דומים לא יהיה איבר שמכיל P 0.b 0.7b 0.8b.89b.6b :b m, 0.מצאו מספרים n טבעיים כאלה שדרגת רב-איבר תהיה שווה ל- 6 (מצאו את כל האפשרויות!). m n פרק :IX פעולות עם תבניות מספר. 7 כדאי לזכור: מכפלה חד-איבר בחד-איבר כדי לכפול חד-איבר בחד-איבר צריך לכפול את המקדם של חד- האיבר הראשון במקדם של חד-האיבר השני ואת הנעלמים של חד-האיבר הראשון בנעלמים של חד-האיבר השני בהתאמה. דוגמאות: ( ) ( ) ( b b ) b ( ) ( ( ) ) 8 b b העלת חד-איבר בחזקה o o

51 רביא-דח תא הלענ הקזחב. :הקזחה תרדגה יפ לע תאז השענ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :ללכ לבקנ ( ) n n n b b רשאכ, n,יעבט רפסמ -,b.םהשלכ םירפסמ - רביא-דח תא הלענ הקזחב. :הקזחה תרדגה יפ לע בוש תאז השענ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :ללכ לבקנ ( ) mn n m רשאכ, n m,,םייעבט םירפסמ -.והשלכ רפסמ - :תואמגוד o ( ) ( ) ( ) ( ) b b b o ( ) ( ) ( ) 6 6 :םיירגוס תטמשהל םיללכ "" ןמיס שי םא לכ לש ןמיסה,םיירגוסה תא טימשהל ןתינ זא םיירגוסה ינפל.הנתשמ וניא םיירגוסב היהש יוטיב ןמיס שי םא "-",םיירגוסה תא טימשהל ןתינ זא םיירגוסה ינפל לכ לש ןמיסהו.ידגנה ןמיסל הנתשמ םיירגוסב היהש יוטיב.םימוד םירביא םיסנכמ םיירגוסה תטמשה ירחא תואמגוד o ( ) ( ) ( ) ( ) o ( ) ( ) ( ) ( ) o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

52 -בר לש רביא לכב רביאה -דח תא לופכל ךירצ רביא-ברב רביא-דח לופכל ידכ :ללכ.ורצונש תולפכמה תא םכסלו רביאה תואמגוד o ( ) ( ) o ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) c b c c b c c c b c :ללכ ( )( ) bd d bc c d c b לכב ןושארה רביאה-בר לש רביא לכ לופכל ךירצ רביא-ברב רביא-בר לופכל ידכ.רצונש םירביאה-דח תא םכסלו ינשה רביאה-בר לש רביא.רביא-ברכ םושרל רשפא דימת םירביא-בר תלפכמ לעב רביא-בר םא m לעב רביא-ברב םילפוכ םירביא n רביא-בר לבקנ זא םירביא לעב mn.םירביא תואמגוד o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o ( )( ) המר. :רביא-דחב רביא-דח ולפכ (א -ו n (ב m n -ו 0.9 n (ג, m m -ו (ד,8 bc c m -ו. :םייוטיבה תא וטשפ

53 m b b 6) ( ) ( ) ( p) p ( ה) ו) ז) p ( mnp ) 6 mn ( ) : ( 0.0 ) bcd bd ח) z ( ). העלו את חד- האיבר בחזקה: (. ) 0 ( b ) ( b) (.t ) ( ) m ( ) b c ה) פשטו: ו) ז) ח) ( ) ( ) 6 9 ( bc) bc ( b). 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) : bc) 0.bc) ( 0.c) ( 0 ( האם השוויונים הבאים מתקיימים לכל 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) פשטו ורשמו כרב-איבר בצורה סטנדרטית: ( c ) ( c) ( 0.c ( ( ) ( ) ( )., כאשר,, כאשר (.b b) (.9b b ). פשטו את הביטויים הבאים ומצאו את ערכם: (, כאשר ) ( ) (..6) (.8 0.) ( ) ( ), c) ( b c) ( b c ) ( b, כאשר c b 0., הוכיחו כי ערכם של הביטויים הבאים אינו תלוי בערכם של הנעלמים:

54 ( b) ( b) ( b b ) b ( 8 ) ( ) ( 9 6) ( 8) ( ) ( ) ( 8 ) ( 0 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) b ( b ) ( ) ( ) כפלו את הביטויים הבאים: ( ).9 ה) ו) (.6 ( ) ט) ). 0 ( 0. יא)( 7) ( 0. 7 ( cd b ) bc ( b ) ( b) ( 0..b ) ז) י) ח) b (.. ) י 0.כפלו את הביטויים הבאים: ( )( 7 9) c) ( c )( ( t 8) t 7)( ( )( ).רשמו את הביטויים הבאים כרב-איבר: ) ( )( ) b ( b )( ) b ( b )( b ה) ) c ( c c c c c )( ( )( ) n n n n ( )( ) ( 7 n n n n 9 7 )( 7 ).רשמו את הביטויים הבאים כרב-איבר: ( m m m m ) ( ) )( n n n n n ( )( ) רמה 6 7 האם קיים ב-? שלם כלשהו המקיים שרב-איבר יתחלק., m, מצאו מספרים טבעיים n כאלה שלכל ערכי רב- האיבר:. יקבל תמיד ערכים חיוביים, 6 m n

55 m n 7 יקבל תמיד ערכים שליליים, m n m יקבל תמיד ערכים חיוביים, ג ( 6 m n m תיירים הלכו ביום אחד יקבל תמיד ערכים שליליים. ק"מ, בכל יום למחרת הם הלכו פי- ק"מ יותר מאשר ביום הקודם. כמה ק"מ עברו התיירים במשך שבוע? בקיבוץ אחד גדלו ק"ג של פלפל, בקיבוץ השני ב- % פחות ובקיבוץ השלישי ב- 0 ק"ג פחות פלפל מאשר בשני הקיבוצים הראשונים. כמה ק"ג פלפל גדלו בשלושת הקיבוצים האלו? לאבא יש בולים, לאמא יש פי בולים יותר מאשר לאבא וב- 7 בולים יותר מאשר לבן, לבת יש ב- בולים פחות מאשר לבן. כמה בולים יש למשפחה זו? הוכיחו כי סכום מספרים טבעיים עוקבים אי-זוגיים מתחלק ב-. הוכיחו כי סכום 6 מספרים טבעיים עוקבים זוגיים מתחלק ב- 7. כתבו במקום חד-איבר כך שיתקבל שוויון: ( b).7. b A ( ) ( 0 0 ) 00 6 ( 0. ) 0., B, C A B C C B A A B C A B C נתון כי חשבו: ה) B C A ו) A B C.9 0.רוחבו של מלבן שווה ל- ס"מ ואורכו גדול פי 0 מרוחבו. מצאו את שטחו..אורך אקווריום (שצורתו תיבה) גדול פי. מרוחבו. גובהו של האקווריום שווה מאורכו. מהו נפח התיבה אם אורך התיבה? n, m ל-. הוכיחו כי עבור כל טבעיים: ) n ( n )( n ) ( n )( מתחלק ב- 0 ) n ( n )( n 6) ( n )( מתחלק ב-

56 6 ) n ( n )( מתחלק ב- n. ה) ( m n )( m מתחלק ב- 8 n ) ( m n )( m n ) ( m n מתחלק ב- )( m n 9) ( m n )( m n 9) פרק X: משוואה. פתרון של משוואה. משוואות עם נעלם אחד ממעלה ראשונה ומשוואות ששקולות להן כדאי לזכור: שוויונים שכוללים נעלם אחד (למשל ( נקראים משוואות עם נעלם אחד. הגדרה

57 הערך של הנעלם 7 שעבורו מתקיים השוויון נקרא פתרון של המשוואה (הערך של o כך שהשוויון הנ"ל יהיה פסוק אמת). לפתור משוואה פירושו דוגמאות המשוואה למצוא כל פתרונותיה או להוכיח שהפתרון לא קיים. היא בעלת פתרון אחד בלבד - המשוואה o. אם נציב 0,, היא בעלת פתרונות: ( )( ) 0 כל אחד משלושת המספרים האלה במשוואה נקבל 0. כל ערך אחר של נציב במשוואה לא ייתן את הפתרון 0. אותו למשוואה o מהערך של האגף השמאלי. אין פתרונות כי עבור כל o למשוואה ) 6 ( עבור כל ערך של הגדרה. o הערך של אגף ימין קטן באחד יש אינסוף פתרונות כי האגף השמאלי שווה לאגף הימני משוואות נקראות שקולות אם קבוצות הפתרונות שלהם מתלכדות. כלומר משוואות נקראות שקולות אם ורק אם יש להם אותם פתרונות או אין להם פתרונות בכלל. דוגמאות למשוואות ) ( )( יש אותם פתרונות: ו- 0 9 המשוואות האלה הן שקולות., כלומר ו- 6 המשוואות 6 ו- הן לא שקולות כי המשוואה היא בעלת o. ו- פתרון אחד והמשוואה היא בעלת שני פתרונות כללים ממשוואה הנתונה מקבלים משוואה שקולה אם:. מחסרים או מחברים מספר זהה לשני אגפי המשוואה, 8 8

58 אפשר לכפול/ לחלק את שני אגפי המשוואה במספר זהה ששונה מ- 0, למשל 8 8 ( ) 6 6 ניתן באגף כלשהו לבצע פעולה שקולה שלא משנה את קבוצת ההצבה של המשוואה (למשל השמטת סוגריים, כפל חד-איבר ברב-איבר וכו'), למשל:.. - ( ) נשים לב כי מאוד חשוב להקפיד על קבוצת ההצבה של המשוואה! נביא דוגמה: אם במשוואה נכתוב 0 במקום אז נקבל את המשוואה שזו משוואה שאינה שקולה למשוואה המקורית. פתרון של המשוואה שנייה אך זה אינו פתרון של המשוואה הראשונה כי עבור האגף השמאלי של המשוואה הראשונה הוא חסר משמעות. פעולות שמבובילות אותנו מהמשוואה המקורית למשוואה ששקולה לה נקראות פעולות שקולות ( ) ( ) 9 9 דוגמה: במשוואה זו ניתן להשמיט סוגריים: ניתן לראות כי 0 ולכן מקבלים: נכנס איברים דומים: נקבל כי: נחלק את שני אגפי המשוואה ב- ואז נקבל כי:

59 9 9 : 6 הגדרה - מספרים, - נעלם (או משתנה), b משוואות מסוג, b כאשר נקראות משוואות עם נעלם אחד ממעלה ראשונה. מספר ה דוגמאות נקרא מקדם והמספר b נקרא איבר חופשי b - משוואה ממעלה ראשונה ) b (, (, b b - משוואה ממעלה ראשונה ) ( 9, b 0 ) - משוואה ממעלה ראשונה 9 0 חשוב לדעת כי: ו- b מספר כלשהו אז פתרון המשוואה ו- 0 b אז אין פתרון למשוואה יהיה כי השוויון (פתרון יחי b 0 חסר משמעות, לכן פתרון b 0 אז 0 b o o o אם אם לכל וגם השוויון יהיה נכון עבור כל המשוואה הוא כל מספר כלשהו, כלומר למשוואה יש אינסוף פתרונות. לפעמים בעזרת פעולות שקולות אפשר להפוך משוואה שהיא לא מסדר ראשון ( )( ) ( 7) 0 למשוואה מסדר ראשון. דוגמאות אם נפתור את המשוואה: תחילה נפתח סוגריים (נבצע כפל בין רב-איברים): ( ) ( 6 7) נכנס איברים דומים באגף השמאלי: נחבר לשני אגפי המשוואה: נכנס איברים דומים באגף הימני ונקבל משוואה ממעלה ראשונה: פותרים משוואה ממעלה ראשונה: o

60 60 6 ו-, נפתור את המשוואה: תחילה נכפול את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף של השברים ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9 ) ( 9) ( 8 ) כלומר ב- : נפתח את הסוגריים: נכפול כל שבר ב- ונצמצם: נבצע את הכפל: נפתח את הסוגריים: נכנס איברים דומים באגף השמאלי: נחסר את משני אגפי המשוואה: ונקבל: o ( ) : 7 נחלק את שני אגפי המשוואה ב ) -)

61 ( 7) ( ) ( ) ( ) 6 (-) (8-0) ( 8) (- 0) נפתור את המשוואה: רואים כי למשוואה זו אין פתרון. נפתור את המשוואה: רואים כי למשוואה זו יש אינסוף פתרונות, וכל מספר הוא פתרון של המשוואה הזאת. o o רמה. עבור אילו מהמשוואות הבאות פתרון המשוואה הוא המספר :

62 ( )( ) ה) ו) ז) ח) ( )? ( ) 0 האם יש פתרונות למשוואה פתרו את המשוואות הבאות: ( ) ו) ז) ח) ט) י) ה) הרכיבו משוואה ממעלה ראשונה: בעלת פתרון יחיד ששווה ל- 0. בעלת אינסוף פתרונות. שאין לה פתרונות. פתרו את המשוואות הבאות: ו) 9 ה) פתרו את המשוואות הבאות: ( ) ה) ז) ו) ח) 6 פתרו את המשוואות הבאות: ) ( ( ) ( 0. 0.) (. ג)( ( ) ( 8 ) ( 6 0.) 8 7 ו) ( 0. ח) ). ( ה)( 0.7 (.) ז) ) ( ) 6 ( (.8 ) ( 0.6 ) 8. ט) י)

63 . י ) ( 7) (. 6 6 ( 8 יא)( ( ) ( ) ( )( ) 6( ) ( )( 6) ( )( ) ( ) ( )( ) 8 פתרו את המשוואות הבאות: ו) ( 8) ( )( ח) ) 6( ) 6 0 ( 7 )( ) ( )( 8) ( 8) ג ( ( )( ה) ) 6 ( )( ז)( ( 6) ( ) פתרו את המשוואות הבאות: ( ) 0. ה). ז) 0 7 ( ) ( ) 0 ד)( ( ) ( ו). ח) י) ט) ( ) ( ) י י 7 י 6 8 טו) י ( ).8.9 רמה שווים הביטויים הבאים ביניהם: ו- ) ( 6. עבור אילו ערכי ( )

64 6. פתרו את המשוואות הבאות: ( )( ) 0 00 ה) 0 ) ( )( ו) ה) ו). לאילו ערכי P המשוואות הבאות הן שקולות: ו- ( ) P P. מצאו את כל הערכים השלמים של המקדם 6. הינו מספר שלם. האם קיים ערך של נותנים את הסכום? אם ידוע כי פתרון המשוואה שעבורו ערכי הביטויים ) ) ( ( ו-.6 לאילו ערכי ( ) 7 המשוואות הבאות הן שקולות: ( ) 8 ו נעם ואודי קנו פיצות ושילמו. 0. כמה עולה כל פיצה אם ידוע כי אחת הפיצות יקרה ב-. מהשנייה? במשולש צלע אחת קטנה ב- ס"מ מהצלע השנייה וגדולה פי מהצלע השלישית. מצאו את צלעות המשולש אם היקפו שווה ל- 9 ס"מ..9 שלוש חברות קיבלו 6 מחשבים. החברה השנייה קיבלה ב- 0% יותר מחשבים מהחברה הראשונה והחברה השלישית קיבלה ב- 00 מחשבים פחות משתי החברות ביחד. כמה מחשבים קיבלה כל חברה? 0. לשלושה אחים יש 8 בולים. לנעם יש פי פחות בולים מאשר לאודי וב- בולים פחות מאשר לליאור. כמה בולים יש לנעם?. איזה סכום צריך להפקיד בבנק שנותן 0% ריבית שנתית, כדי שבתום שנים נקבל?. סירה שטה נגד כיוון זרם הנהר במשך שעתיים ו- 0 דקות, ובדרך חזרה עם כיוון זרם הנהר ב- 8 דקות מהר יותר. מצאו את מהירות הזרם אם מהירות הסירה במים עומדים שווה ל-. קמ"ש.. מצאו ארבע מספרים זוגיים עוקבים המקיימים: מכפלת שני המספרים הראשונים קטנה ב- ממכפלת שני המספרים האחרים. פרק :XI קליידיוסקופ: בעיות העמקה.

65 6 יש להציב את הספרות -8 בעיגולים הבאים כך שהמספר המתקבל בכל שורה, יהיה מספר ריבועי, ז"א חזקה ריבועית של מספר כלשהו, וסכום המספרים בטור האמצעי. יהיה שווה לסכום המספרים בשורה האמצעית. מצאו איזה מספר צריך להציב במקום הכוכבית כדי שיתקיים שוויון בתרגילים. הבאים: מצאו איזו ספרה מסתתרת מאחרי כל אות. לאותיות שונות מתאימות ספרות שונות.. AB 0 A BCC לפניכם מספר המורכב ממספרים זוגיים מ- עד ללא רווחים האם המספר מתחלק ב-? מתחלקת ב- 79. מצאו את כל המספרים שתבניתם. מצאו מספרים טבעיים שגדולים פי מספרת האחדות שלם. 6. האם יתכן שהערך SAL KADURSAL יתחלק ב- 000? 7. הוכיחו, שמספר מהצורה bbb מתחלק ב ידוע ש- p מספר ראשוני וגם > p..9 האם המספר p או p מתחלק ב-? האם המספר ± p זוגי? ידוע ש- p מספר ראשוני וגם > p..0 האם המספר p או p מתחלק ב-? האם המספר p או p מתחלק ב-? האם המספר הוא מספר ראשוני?

66 66.. מצאו שני שברים אחד שמכנהו 8 והשני שמכנהו כך שההפרש בין השבר הגדול לשבר הקטן יהיה מינימלי. חשבו ללא עזרת מחשבון:.. מחירו של עפרון הוא ועוד חצי ממחירו. כמה עולה עפרון? אם נגדיל את אורכו של מלבן נתון ב - 0% ונקטין את רוחבו ב- 0% האם ישתנה שטחו של המלבן, במידה וכן בכמה? בחוג מסויים משתתפים בנות ובנים.חלק של הבנים גדול מ- 9% של כלל המשתתפים. מהו המספר המינימלי של המשתתפים בחוג? המחירים במדינה ירדו ב- 0%.בכמה אחוזים יותר אפשר לקנות מוצרים אם המשכורת לא השתנתה? נתונים מספרים.A,B,C מספר A חיובי,מספר B שלילי ומספר C שווה ל- 0. מה הוא הסימן של הביטוי? AB AC BC.9.0. (חיובי, שלילי או אפס) האם ניתן להציג את המספר 0 כסכומם של מספרים חיוביים כך שמכפלתם גם תהיה שווה ל- 0? הציגו את המספרים מ- עד (כולל) באמצעות פעמים הספרה ופעולות החשבון (כולל פעולת העלאה בחזקה). פתרו את המשוואה: הוכיחו את הזהות: ( b )( u v ) ( u bv) ( v bu ). המספרים b מקיימים: b ו-.האם יכול להיות ש:? b...6 עליכם לחלק ל- ערמות שוות משקולות של,,,... גרם כל אחת. אב ובנו רצים במעגל סביב שדה משחק לאותו כיוון. האב רץ יותר מהר מבנו וכאשר הבן משנה את הכיוון הם נפגשים פי יותר ממה שלפני כאשר הם רצו לכיוון אחד. פי כמה מהירות של אבא גדולה ממהירות של בנו? בחצר נמצאים חתולים ותרנגולים. דני ספר 6 רגליים ו- ראשים. "כמה חתולים ותרנגולים נמצאים בחצר?" פרק XII בעיות אתגר

67 67. היקף של משולש שווה שוקיים שווה ל- 0 ס"מ. מצאו את אורך של שוק, אם אורך הבסיס קטן מהשוק של המשולש ב- ס. החלף כוכביות בספרות:. הוכיחו שהביטוי "מ. מתחלק ב- 0. הוכיחו שאם סכום של שלוש מספרים עוקבים טבעיים הוא אי זוגי,אז מכפלתם מתחלק ב-. האם קיימים מספרים טבעיים,b?,, b b b.6.7 שעבורם לא ניתן לצמצם כל אחד משברים הבאים כמה יש זוגות של מספרים שהמחלק המשותף הקטן שלהם שווה? 000 הוכח כי >.8.9. ידוע שחלק אנשים בלונדיניים בין בעלי עיניים כחולת גדול מחלק אנשים בלונדיניים בין כלל אכלוסיה. מה יותר גדול חלק בעלי עיניים כחולת בין אנשים בלונדיניים או חלק בעלי עיניים כחולת בכלל אכלוסיה? אמא נתנה לפיטר כסף לקנות 0 עפרונות. התברר שבחנות מבצע:בקנייה של 0 עפרונות משלמים ב- % פחות ובקנייה של עפרונות משלמים ב- 0% פחות. מה הוא מספר הגדול ביותר של עפרונות יכול לקנות פיטר? 0. במטווח תשלום כניסה הוא 00.לאחר ירייה שפגע במטרה לצלף מוסיפים 0% מהתשלום ומורדים ממנו 0% אם הוא מחטיא. האם סכום הכסף יכול להיות 80 ו- 9 אגורות? פתור את המשוואה. ( ( ( (...( 007 ( 008 ) )...)))) 0.. בקודקודי הקובייה כתובים מספרים מ- עד 8. על מקצועות הקובייה ערכי מוחלט של הפרש המספרים שבקודקודים. מה הוא המספר קטן ביותר של מספרים ניתן לכתוב על המקצועות? פתור משוואה פרות בצבע שחור-לבן ו- בצבע חום ב- ימים נותנים אותה כמות חלב כמו פרות בצבע שחור-לבן ו- בצבע חום ב- ימים. לאיזה צבע של פרות יבול יומי יותר גדול?. שני חברים A ו- B יוצאים בו זמנית מנקודה M לנקודה N.חבר השלישי C יוצא לקראתם מנקודה. N מרחק בין הנקודות הוא ק"מ.מהירות של שלשת החברים. שווה ל- 6 קמ"ש. לשני החברים A ו- B יש אופנוע אחדאשר נסוע במהירות קמ"ש.

68 68 חברים A ו- C מתחילים את תנועתם ברגל ו- B באופנוע. כאשר B ו- C נפגשים B ממשיך את דרכו ברגל ו- C באופנוע. לאחר מכאן כאשר A ו- C נפגשים C ממשיך את דרכו ברגל ו- A באופנוע. מתי צריך לצאת חבר C מנקודה N כדי שחברים A ו- B יגיעו ביחד לנקודה? N 6. בשנה ראשונה אכלוסיה של כפר מסוים גדלה ב- n תושבים. אותם הנתונים מהווים גידול ב- 00% כמה תושבים בכפר? תושבים ובשנה השנייה ב- 00 שנה הראשונה וב- %n שנה השנייה. 7. אם פיטר הולך לחנות ברגל וחזרה נוסע באוטובוס הוא נמצא בדרך. שעות. אם פיטר נוסע לשני כיוונים באוטובוס הוא נמצא בדרך 0 דקות. כמה זמן פיטר יהיה בדרך אם הוא לשני הכיוונים ברגל? 8. רכבת נוסעת במהירות קבועה ובמשך זמן t עברת ליד עמוד. באותה מהירות רכבת, ( אורך הרכב ת t t, עוברת גשר באורך t. עליך למצוא (לבטא בעזרת במשך זמן ומהירותה. 9. פיטר ואלכס רצים באצטדיון. פיטר רץ יותר מהר ועוקב את אלכס.לאחר מכאן שאלכס החליף את כיוון ריצה מספר המפגשים שלהם גדל פי-.פי כמה מהירות של פיטר גדולה ממהירות של אלכס? פרק XIII מטלות חקר משימת חקר : פענוח ספרות

69 ש: 69 משימה. יחזור ספרות בתרגילים עם פעולות "", "-" ו-" " במשימה זאת נחקור איך לשחזר ספרות בתרגילים עם פעולות "", "-" ו-" " ענו על כל אחת מהשאלות הבאות. לכל שאלה כתבו פתרון מלא, נמקו והסבירו את כל שלבי הפתרון. נסו למצוא פתרונות נוספים הציגו אותם עם הסברים ונימוקים. ארכיאולוגים מצאו מספר כתבי יד עתיקים, אך מספר ספרות היו משופשפים... תעזרו לארכיאולוגים: נסחו בעיית "שיחזור ספרות" חדשה ופתרו אותה משימה.: שיחזור ספרות בתרגילים עם פעולות " " (המשך) במשימה זאת נחקור איך לשחזר ספרות בתרגילים עם פעולות " "

70 70 ענו על כל אחת מהשאלות הבאות. לכל שאלה כתבו פתרון מלא, נמקו והסבירו את כל שלבי הפתרון. נסו למצוא פתרונות נוספים הציגו אותם עם הסברים ונימוקים. ארכיאולוגים מצאו מספר כתבי יד עתיקים, אך מספר ספרות היו משופשפים... תעזרו לארכיאולוגים: נסחו בעיית "שיחזור ספרות" חדשה (כפל) ופתרו אותה משימה.: שיחזור ספרות במקום אותיות במשימה זאת נפענח ביטוים עם אותיות נתון

71 7 ענו על כל אחת מהשאלות הבאות. לכל שאלה כתבו פתרון מלא, נמקו והסבירו את כל שלבי הפתרון. נסו למצוא פתרונות נוספים הציגו אותם עם הסברים ונימוקים. ארכיאולוגים מצאו מספר כתבי יד עתיקים, אך מספר ספרות היו משופשפים... תעזרו לארכיאולוגים: ארכיאולוגים מצאו מספר כתבי יד עתיקים, אך כל הספרות היו מוחלפות על ידי אותיות... תעזרו לארכיאולוגים (חשוב: ספרות שונות מסומנות באותיות שונות!!!): מצאו את הערכים המספריים של האותיות (אם אפשר) DANCE GRAPE FORCE TRACE PRICE 87 למה אין פתרון ל- 0 TIK? KIT נסחו "בעיית אותיות" חדשה ופתרו אותה. משימת חקר : סדרות עם חילופי סימן

72 7 במשימה זאת נחקור סדרות עם חילופי סימן ענו על כל אחת מהשאלות הבאות. עבור של אחת מהשאלות כתבו פתרון מלא, נימקו והסבירו את כל הציגו עם הסברים גם את הפתרונות הנוספים שלבי הפתרון. ניסו למצוא פתרונות נוספים. ונימוקים. א. א. א. א. שימו סימנים "" או"-" בביטוים הבאים למען לקבל 0 (אם זה לא אפשרי תסבירו מדוע): ± ± ±... ± ± ± ± ±... ± ± ± ± ±... ± ± ± ± ±... ± ± ± ± ±... ± ± ± ± ±... ± 6 ± 6 7 נסחו בעיה חדשה עם חילופי סימן ופתרו אותה. במשימה זאת נחקור סימני התחלקות משימת חקר : סימני התחלקות

73 7 ענו על כל אחת מהשאלות הבאות. עבור של אחת מהשאלות כתבו פתרון מלא, נימקו והסבירו את כל שלבי הפתרון. ניסו למצוא פתרונות נוספים. גם את הפתרונות הנוספים הציגו עם הסברים ונימוקים. סימני התחלקות נוספים:. מספר מתחלק ב- אם ורק אם המספר שיוצרות שתי ספרותיו הימניות מתחלק ב-. מספר מתחלק ב- אם ורק אם לאחר שמחסרים ומחברים לסירוגין את ספרותיו מתקבל מספר שמתחלק ב-. למשל, 9 מתחלק ב- שכן 9--. מתמטיקאי כתב חיבור על התחלקות ופתאום חתולו שפך דיו לדפים. תעזרו למתמטיקאי לברר אילו ספרות יש תחת כתמי הדיו:, אם ידוע כי מספר זה מתחלק ב-, אם ידוע כי מספר זה מתחלק ב-, אם ידוע כי מספר זה מתחלק ב- 98 ולא מתחלק ב מספר 0 -ספרתי הגדול ביותר המתחלק ב- 6 (בכל ספרה השתמשו רק פעם אחת בלב ה) - מספר 0 -ספרתי הקטן ביותר המתחלק ב- 6 (בכל ספרה השתמשו רק פעם אחת בלב ו) נסחו בעיית "התחלקות" חדשה ופתרו אותה. משימת חקר : בניות סרגל ומחוגה משימה.: בניות קטעים, וזוויות ומשולשים

74 7 במשימה זאת נחקור איך לבנות קטעים, זוויות ומשולשים בעזרת סרגל ומחוגה ענו על כל אחת מהשאלות הבאות. עבור של אחת מהשאלות כתבו פתרון מלא, נימקו והסבירו את כל שלבי הפתרון. ניסו למצוא פתרונות נוספים. גם את הפתרונות הנוספים הציגו עם הסברים ונימוקים. בגיאומטריה האוקלידית של המישור, בנייה בסרגל ובמחוגה היא בניה של עצמים גיאומטריים, כגון קטעיםבעליתכונות מוגדרות, הנעזרת בסרגל ומחוגה בלבד, המממשות את שלוש ההנחות הראשונות מבין חמש ההנחות של אוקלידס ב"יסודות:" הסרגל הגיאומטרי הוא כלי המאפשר יצירת קו ישר או קטע ארוך כרצוננו העובר דרך שתי נקודות נתונות. לסרגל אין יכולת מדידה (לא מסומנות עליו שנתות המציינות יחידות אורך), וההנחה היא שאי אפשר ליצור עם הסרגל לבדו שני ישרים מקבילים במרחק נתון זה מזה (כלומר, הסרגל הינו חד-צדדי) המחוגה הגיאומטרית מאפשרת להתוות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה אחת, ורדיוסו שווה למרחק שבין זוג נקודות נתונות.. בניית קטע נתון בקרן כדי לבנות קטע נתון ) ( בקרן ) m ), מעמידים את המחוגה בקודקוד הקרן (O) ומעבירים מעגל בעל רדיוס ששווה לאורך הקטע. OA קטע מבוקש. בניית זווית נתונה בקרן כלשהו כדי לבנות זווית נתונה בקרן kn) ( ) m ), מעמידים את המחוגה בקודקוד הזווית הנתונה ומעבירים מעגל בעל רדיוס כלשהו (A קודקוד הזווית ומרכז המעגל, M ו- L נקודות חיתוך המעגל עם קרני הזווית ( מעמידים את המחוגה בקודקוד הקרן (O) ומעבירים מעגל בעל רדיוס.AM נקודת החיתוך מעגל זה עם קרן m נסמן ב- B. מעבירים מעגל בעל רדיוס ML עם מרכזו בנקודה B. חיתוך המעגלים ייתן לנו נקודה COB C. - היא זווית המבוקשת.

75 ב, ה, 7 הוכיחו כי בניות הנ"ל הן נכונות (קטע וזווית). בנו משולש אם נתון:,b - צלעות המשולש, - α זווית שנמצאת בין שתי הצלעות האלה בנו משולש אם נתון: - צלע המשולש, -,α β זווית הסמוכות לצלע זו, b, בנו משולש אם נתון: c - צלעות המשולש ה) האם תמיד ניתן להרכיב משולש מ- קטעים נתונים? למה? ו) נסחו בעיית בנייה סרגל ומחוגה חדשה ופתרו אותה רקע היסטורי: יסודות הוא חיבור בן שלושה עשר חלקים, שנכתב על-ידי המתמטיקאי ההלניסטי אוקלידס בראשית המאה השלישית לפנה"ס.בספר מאורגנים באופן שיטתי הגדרות,אקסיומות ומשפטים בגיאומטריה תורת המספרים ובאלגברה בסיסית. "יסודות" הוא הספר הקדום ביותר מסוג זה ששרד עד ימינו, והייתה לו השפעה מכרעת על התפתחותם של הלוגיקה מתמטיקה והמדע בכלל. הספר נחשב לאחד הספרים המצליחים ביותר שנכתבו מאז ומעולם. משימה.: בניית חוצה זווית במשימה זאת נחקור איך לבנות חוצה זוויות בעזרת סרגל ומחוגה ענו על כל אחת מהשאלות הבאות. עבור של אחת מהשאלות כתבו פתרון מלא, נימקו והסבירו את כל הציגו עם הסברים גם את הפתרונות הנוספים שלבי הפתרון. ניסו למצוא פתרונות נוספים. ונימוקים..

76 76 בניית חוצה זווית של זווית נתונה כדי לבנות חוצה זווית של זווית הנתונה אנחנו קודם כל בונים את הזווית. אחר כך מעבירים מעגל ברדיוס כלשהו עם מרכזו בקודקוד הזווית. נקודות החיתוך של המעגל עם קרני הזווית נסמן ב- A ו- B. מעבירים מעגלים באותו רדיוס עם מרכזיהם ב- A ו- B. נסמן ב- C את נקודת החיתוך של מעגלים הנ"ל. נחבר נקודות O ו- C. OC חוצה זווית.AOB הוכיחו כי בניות הנ"ל הן נכונות. בנו זווית ישרה. בנו זווית 0. האם אפשר לבנות משולש אם נתונות זוויותיו? למה? ה) נסחו בעיית בנייה סרגל ומחוגה חדשה ופתרו אותה משימת חקר : בעיות מילוליות לא שגרתיות משימה.: הבנת הנקרא מתמטית במשימה זאת נחקור בעיות הבנת הנקרא מתמטית ענו על כל אחת מהשאלות הבאות. עבור של אחת מהשאלות כתבו פתרון מלא, נימקו והסבירו את כל שלבי הפתרון. ניסו למצוא פתרונות נוספים. גם את הפתרונות הנוספים הציגו עם הסברים ונימוקים. כדי לפתור בעיה מתמטית צריך קודם להבין את הנתונים! מחיר של עפרון הוא ועוד חצי מחירו. כמה עולה עפרון?

77 77 מירי, עינב, אלכס ודוד אכלו עוגיות. מירי אכלה יותר מכל אחד ואלכס אכל פחות מכל אחד. מי אכל יותר עוגיות בחורים או בחורות? בבאר יש איזשהו כמות של מים. כל יום כמות של מים מכפילה את עצמה. אחרי 0 ימים הבאר הוא מלא. אחרי כמה ימים הבאר היה חצי מלא? חילזון זוחל בעמוד בעל אורך 0 מטרים. במשך היום הוא עולה ב- מטרים ובלילה הוא יורד ב- מטרים. אחרי כמה ימים החילזון ישיג את שיא העמוד? ה) גיל של משפחת בת אנשים הוא. 8 לפני 6 שנים גיל של המשפחה היה 67. בן כמה הקטן ביותר במשפחה הזו? ו) נסחו בעיית "הבנת הנקרא חדשה" ופתרו אותה. משימה.: משחק מתמטי במשימה זאת נחקור משחק מתמטי ענו על כל אחת מהשאלות הבאות. עבור של אחת מהשאלות כתבו פתרון מלא, נימקו והסבירו את כל הציגו עם הסברים גם את הפתרונות הנוספים שלבי הפתרון. ניסו למצוא פתרונות נוספים. ונימוקים.

78 78 שודדים מחלקים ביניהם את 00 מטבעות הזהב. החלוקה הולכת לפי צורה הבאה. הראשון לוקח איזושהי ערימה של המטבעות והשני מחליט למי שייכת את הערימה הזו. החלוקה תיגמר כאשר מישהו יקבל 9 ערימות ואז שודד האחר יקבל את שאר המטבעות. השודד הראשון יכול לקחת ערימה כלשהי. האם יכול להיות שהמטבעות ייגמרו לפני שמישהו יקבל 9 ערימות. כמה מטבעות יכול לקבל השודד הראשון "בטוח" (לא תלוי במה שהשני אומר)? המציאו משחק מתמטי חדש ותנו אסטרטגיית לניצחון. תשובות פרק I רמה. 77 א. 90 ב.