Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα: Ασκήσεις για τις ενότητες 9 0 ( ίκτυα απωλειών μορφής γινομένου Προσέγγιση μειωμένου φορτίου) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Σελίδα 2

Περιεχόμενα. Σκοποί ενότητας... 5 2. Περιεχόμενα ενότητας... 5 3. Ασκήσεις για τις Ενότητες 9-0: ( ίκτυα απωλειών μορφής γινομένου Προσέγγιση μειωμένου φορτίου)... 7 Σελίδα 3

Σελίδα 4

. Σκοποί ενότητας Ο βασικός σκοπός αυτής της ενότητας είναι η παρουσίαση ασκήσεων για την κατανόηση της ύλης των ενοτήτων 9 και 0 της θεωρίας του μαθήματος Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης. Οι ασκήσεις που παρουσιάζονται καλύπτουν όλο το φάσμα της αντίστοιχης ύλης της θεωρίας, ενώ κάθε άσκηση συνοδεύεται από λεπτομερή περιγραφή της διαδικασίας επίλυσης. 2. Περιεχόμενα ενότητας Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζονται ασκήσεις, καθώς και οι λύσεις τους, για την κατανόηση: ) των δικτύων απωλειών μορφής γινομένου και 2) της προσεγγιστικής μεθόδου του μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα και δίκτυα απωλειών πολυδιάστατης τηλεπικοινωνιακής κίνησης. Σελίδα 5

Σελίδα 6

3. Ασκήσεις για τις Ενότητες 9-0: ( ίκτυα απωλειών μορφής γινομένου Προσέγγιση μειωμένου φορτίου) Άσκηση Θεωρείστε δύο κατηγορίες κίνησης των οποίων οι κλήσεις απαιτούν b και b 2 μονάδες εύρους, αντίστοιχα. Οι κλήσεις των κατηγοριών αυτών εξυπηρετούνται από ένα δίκτυο που αποτελείται από 3 ζεύξεις με χωρητικότητες C, C 2 και C 3 μονάδες εύρους ζώνης, αντίστοιχα. Να σχεδιάσετε το σύνολο καταστάσεων Ω αν γνωρίζετε ότι το σύνολο Ω δίνεται από την γενική σχέση: K Ω= n:0 nkbk C p, p,..., P kk p όπου: C p είναι η χωρητικότητα της ζεύξης p, Κ είναι ο αριθμός των κατηγοριών κίνησης, K p είναι το σύνολο των κατηγοριών κίνησης των οποίων οι κλήσεις εξυπηρετούνται από την ζεύξη p, δηλαδή K p k K : p και R k είναι η σταθερή διαδρομή (fixed route) των κλήσεων της κατηγορίας k στο = δίκτυο. R k Λύση Το σύνολο καταστάσεων Ω παρουσιάζεται στο σχήμα, όπου x είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που bk, ά p Rk δεν υπερβαίνει το x και bkp. Παρατηρούμε ότι το σύνολο Ω οριοθετείται από τρεις 0, ώ γραμμικούς περιορισμούς. n 2 C / b 2 n b + n 2 b 2 C n b 2 + n 2 b 22 C 2 N Ω n b 3 + n 2 b 23 C 3 C 3 / b 3 n Σχήμα : Σύνολο καταστάσεων Ω του δικτύου τριών ζεύξεων της Άσκησης. Σελίδα 7

Άσκηση 2 Θεωρείστε το δίκτυο δύο ζεύξεων του σχήματος 2. Η πρώτη ζεύξη έχει χωρητικότητα C = 4 μονάδες εύρους ζώνης (bandwidth units, b.u.) ενώ η δεύτερη C 2 = 5 b.u. Το δίκτυο εξυπηρετεί δύο κατηγορίες κίνησης. Οι κλήσεις της ης κατηγορίας απαιτούν b = b.u. από κάθε ζεύξη του δικτύου ενώ οι κλήσεις της 2 ης κατηγορίας απαιτούν b 2 = 2 b.u. μόνο από την δεύτερη ζεύξη του δικτύου. Στο δίκτυο αυτό εφαρμόζεται η πολιτική πλήρους διάθεσης του εύρους ζώνης. Επομένως, οι νέες κλήσεις μπλοκάρονται και χάνονται οποτεδήποτε δεν υπάρχει διαθέσιμο το εύρος ζώνης που απαιτούν. Να βρείτε τις δυνατές καταστάσεις n ( n, n2) του συνόλου Ω καθώς και τις αντίστοιχες κατειλημμένες χωρητικότητες j, j 2 των δύο ζεύξεων. η κατηγορία 2 η κατηγορία η κατηγορία C = 4 b.u. C2 = 5 b.u. 2 η κατηγορία Σχήμα 2: ύο κατηγορίες κίνησης που εξυπηρετούνται από δίκτυο δύο ζεύξεων. Λύση Με βάση την σχέση: Ω= n:0 nkbk C p p,..., P K kk p, καθώς και το γεγονός ότι j = 0,,C και j 2 = 0,,C 2, βρίσκουμε ότι το σύστημα αποτελείται από δυνατές καταστάσεις που παρουσιάζονται στον πίνακα. Πίνακας : Σύνολο δυνατών καταστάσεων και κατειλημμένων χωρητικοτήτων της Άσκησης 2 n n 2 j j 2 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 4 0 3 2 5 2 0 2 2 2 2 4 3 0 3 3 3 3 5 4 0 4 4 Σελίδα 8

Άσκηση 3 Θεωρείστε εκ νέου το δίκτυο της Άσκησης 2. Αν η άφιξη των κλήσεων κάθε κατηγορίας ακολουθεί μια διαδικασία Poisson και οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι εκθετικά κατανεμημένοι, τότε αποδεικνύεται ότι οι πιθανότητες P n P( n,..., n K ) εκφράζονται μέσω της ακόλουθης λύσης μορφής γινομένου []: Pn K n = G ak k () n k k! όπου G G(Ω) = n a n k K k k nk! είναι η σταθερά κανονικοποίησης, a k k είναι το προσφερόμενο φορτίο κίνησης (σε erl) των κλήσεων της κατηγορίας k και Ω= n:0 nkbk C p p,..., P Αν τα φορτία κίνησης είναι α = α 2 = erl, να υπολογιστούν: P n P( n, n ). α) Οι πιθανότητες 2 q j q( j, j ) β) Οι πιθανότητες 2 γ) Οι πιθανότητες απώλειας κλήσεως των δύο κατηγοριών κίνησης. δ) Η εκμετάλλευση (utilization) κάθε ζεύξης. K kk p k,. [] Z. Dziong, J. Roberts, Congestion probabilities in a circuit switched integrated services network, Performance Evaluation, Vol. 7, Issue 4, pp. 267-284, November 987. Λύση α) Βασιζόμενοι στον πίνακα της Άσκησης 2, υπολογίζουμε τους αριθμητές της () ως εξής: 0 0 0 0 2 ' a a2 ' a a2 ' a a2 a2 P (0,0), P(0,) a2, P (0,2) 0.5, 0! 0! 0!! 0! 2! 2 ' a a2 P(,) aa 2,!! 2 ' a a2 a2 P(, 2) a 0.5,! 2! 2 0 ' a a2 P(, 0) a,! 0! 2 0 ' a a2 a P (2, 0) 0.5, 2! 0! 2 3 3 ' a a2 aa2 P (3,), 3!! 3! 6 2 2 ' a a2 a P (2,) 0.5, 2!! 2 4 0 4 ' a a2 a P (4,0). 4! 0! 4! 24 3 0 3 ' a a2 a P (3,0), 3! 0! 3! 6 Επίσης: K n ' a k k GP( n, n2) 6.375. n n k nk! Σελίδα 9

Οπότε από την σχέση Pn (, n) 2 ' P n n2 (, ) υπολογίζουμε όλες τις πιθανότητες: G P(0,0) P(0,) P(,0) P(,) 0.568627 G 0.5 P(0,2) P(,2) P(2,0) P(2,) 0.078433 G P(3,0) P(3,) 0.0264379 6G P(4,0) 0.006535947 24G Θυμίζουμε ότι πρέπει να ισχύει: Pn (, n2). n β) Βασιζόμενοι στον πίνακα της Άσκησης 2 έχουμε: q(0,0) P(0,0) 0.568627, q(0,2) P(0,) 0.568627, q(0,4) P(0,2) 0.078433, q(,) P(,0) 0.568627, q(,3) P(,) 0.568627, q(,5) P(,2) 0.078433, q(2,2) P(2,0) 0.078433, q(2,4) P(2,) 0.078433, q(3,3) P(3,0) 0.0264379, q(3,5) P(3,) 0.0264379, q(4,4) P(4,0) 0.006535947 γ) Η πιθανότητα απώλειας κλήσεως της κατηγορίας κίνησης k δίνεται από την σχέση: P b k j P b p kp jp C p G q( j) όπου: G q( j), j b kp bk ά p R k και q( j ) q( j, j2). 0, ά Οι κλήσεις της ης κατηγορίας κίνησης μπλοκάρονται οποτεδήποτε δεν υπάρχει διαθέσιμη μία μονάδα εύρους ζώνης είτε στην η είτε στην 2 η ζεύξη. Οι κλήσεις της 2 ης κατηγορίας κίνησης μπλοκάρονται όταν δεν υπάρχουν διαθέσιμες δύο μονάδες εύρους ζώνης στην 2 η ζεύξη. Επομένως: Pb q(,5) q(3,5) q(4,4) 0. P q(0,4) q(,5) q(2,4) q(3,5) q(4,4) 0.26797 b 2 δ) Η εκμετάλλευση (utilization) κάθε ζεύξης υπολογίζεται από την σχέση: C p Up G qp ( ) όπου: qp ( ) q( j ). j jp Σελίδα 0

Υπολογίζουμε αρχικά τους όρους q p ( ): q () q(, 0) q(,) q(, 2) q(,3) q(, 4) q(,5) 0.392567 q (2) q(2, 0) q(2,) q(2, 2) q(2,3) q(2, 4) q(2,5) 0.568626 q (3) q(3, 0) q(3,) q(3, 2) q(3,3) q(3, 4) q(3,5) 0.05228758 q (4) q(4,0) q(4,) q(4, 2) q(4,3) q(4, 4) q(4,5) 0.006535947 q () q(0,) q(,) q(2,) q(3,) q(4,) 0.568627 2 q (2) q(0, 2) q(, 2) q(2, 2) q(3, 2) q(4, 2) 0.235294 2 q (3) q(0,3) q(,3) q(2,3) q(3,3) q(4,3) 0.8300649 2 q (4) q(0,4) q(,4) q(2, 4) q(3, 4) q(4, 4) 0.633985 2 q (5) q(0,5) q(,5) q(2,5) q(3,5) q(4,5) 0.04575 2 Άρα: U q () 2 q (2) 3 q (3) 4 q (4) 0.88888 U q () 2 q (2) 3 q (3) 4 q (4) 5 q (5) 2.35294 2 2 2 2 2 2 Άσκηση 4 Θεωρείστε την Άσκηση 3. Σκοπός της νέας άσκησης είναι ο υπολογισμός των q j q( j, j2), και κατ επέκταση των πιθανοτήτων απώλειας κλήσεως και της εκμετάλλευσης της ζεύξης, μέσω του παρακάτω αναδρομικού τύπου, γνωστού στην βιβλιογραφία ως Dziong-Roberts formula []:, if j 0 K q( j) kbkpq jb k, jp,..., Cp (2) jp k 0, otherwise όπου: b kp bk ά p R k, b k είναι η k-οστή γραμμή ενός (Κ x P) πίνακα με b k = (b k, b k2,..., b kp,, 0, ά b kp ). Στην περίπτωση μας, όπου οι κλήσεις της ης κατηγορίας χρησιμοποιούν και τις δύο ζεύξεις ενώ οι κλήσεις της 2 ης κατηγορίας μόνο την δεύτερη ζεύξη, ο (2 x 2) πίνακας έχει την μορφή b b2 b2 b 22 0 2. Σημειώνουμε ότι ο τύπος των Dziong-Roberts δίνει ακριβή αποτελέσματα (τα ίδια με εκείνα της λύσης μορφής γινομένου που παρουσιάστηκε στην Άσκηση 3), ενώ στην περίπτωση μόνο μιας ζεύξης συμπίπτει με τον γνωστό αναδρομικό τύπο των Kaufman-Roberts. [] Z. Dziong, J. Roberts, Congestion probabilities in a circuit switched integrated services network, Performance Evaluation, Vol. 7, Issue 4, pp. 267-284, November 987. Σελίδα

Λύση Σύμφωνα με την (2), έχουμε j = (j, j 2 ), b = (b, b 2 ) = (, ) και b 2 = (b 2, b 22 ) = (0, 2). Ξεκινώντας με την υπόθεση q(0,0)= και θεωρώντας μόνο την δεύτερη ζεύξη (υποθέτουμε p = 2 στην (2)) υπολογίζουμε αναδρομικά τις τιμές των q(0, j 2 ) για j 2 =,,5: 2 22 22 q(0,) a b q 0,b 2 q(0, ) 0.0 q(0,) 0.0 2 22 22 2 q(0,2) a b q 0,2 b 2 q(0,0) 2.0 q(0,2).0 2 22 22 3 q(0,3) a b q 0,3 b 2 q(0,) 0.0 q(0,3) 0.0 2 22 22 4 q(0, 4) a b q 0, 4 b 2 q(0,2) 2.0 q(0,4) 0.5 2 22 22 5 q(0,5) a b q 0,5 b 2 q(0,3) 0.0 q(0,5) 0.0 Επειδή b 2 = 2 b.u., είναι αναμενόμενο ότι q(0,)=q(0,3)=q(0,5) = 0.0. Παράλληλα, τονίζουμε ότι στους προηγούμενους υπολογισμούς δεν λάβαμε υπόψιν τις κλήσεις της ης κατηγορίας, αφού αυτές καταλαμβάνουν εύρος ζώνης και στις δύο ζεύξεις. Αυτό σημαίνει ότι q(,0) q(2,0) q(3,0) q(4,0) 0.0 (γιατί?). Θεωρούμε τώρα την πρώτη ζεύξη (υποθέτουμε δηλαδή p= στην (2)) και υπολογίζουμε αναδρομικά τις τιμές των q(j, j 2 ) για j =,,4 και j 2 =,,5 ως ακολούθως: q(,) ab q j b, j2 b2 a2b2q j b2, j2 b22 q(0,0) 0 q(, ).0 q(,).0 Στους επόμενους υπολογισμούς δεν λαμβάνουμε υπόψιν τον όρο ab q j b, j b = 0. q(, 2) ab q(0,) 0.0 q(, 2) 0.0 q(,3) ab q(0,2).0 q(,3).0 q(,4) ab q(0,3) 0.0 q(,4) 0.0 q(,5) ab q(0, 4) 0.5 q(,5) 0.5 2 q(2,) ab q(,0) 0.0 q(2,) 0.0 2 q(2,2) ab q(,).0 q(2, 2) 0.5 2 q(2,3) ab q(, 2) 0.0 q(2,3) 0.0 2 q(2, 4) ab q(,3).0 q(2, 4) 0.5 2 q(2,5) ab q(, 4) 0.0 q(2,5) 0.0 καθώς b 2 2 2 2 2 22 Σελίδα 2

3 q(3,) ab q(2,0) 0.0 q(3,) 0.0 3 q(3, 2) ab q(2,) 0.0 q(3, 2) 0.0 3 q(3,3) ab q(2, 2) 0.5 q(3,3) 0.6667 3 q(3,4) ab q(2,3) 0.0 q(3,4) 0.0 3 q(3,5) ab q(2, 4) 0.5 q(3,5) 0.6667 4 q(4,) ab q(3,0) 0.0 q(4,) 0.0 4 q(4,2) ab q(3,) 0.0 q(4,2) 0.0 4 q(4,3) ab q(3, 2) 0.0 q(4,3) 0.0 4 q(4, 4) ab q(3,3) 0.667 q(4, 4) 0.0468 4 q(4,5) ab q(3, 4) 0.0 q(4,5) 0.0 Η σταθερά κανονικοποίησης ισούται με (όπως και στην Άσκηση 3): G q( j) 6.375. Επομένως: q(,5) q(3,5) q(4, 4) Pb ( ) 0. G q j Pb P G j b pjpc p P b2 P b2 j p P b p 2 p jp C p 0.26797 q(0,4) q(,5) q(2,4) q(3,5) q(4,4) G q( j) G j C 4 U G q ( ) G q ( ) 0.8888 C2 5 2 2 2 U G q ( ) G q ( ) 2.3529 όπου: q () q(,0) q(,) q(, 2) q(,3) q(, 4) q(,5) 2.5 q (2) q(2,0) q(2,) q(2,2) q(2,3) q(2,4) q(2,5).0 q (3) q(3,0) q(3,) q(3,2) q(3,3) q(3,4) q(3,5) 3 q (4) q(4,0) q(4,) q(4,2) q(4,3) q(4,4) q(4,5) 24 Σελίδα 3

q () q(0,) q(,) q(2,) q(3,) q(4,).0 2 q (2) q(0, 2) q(, 2) q(2, 2) q(3, 2) q(4, 2).5 2 q (3) q(0,3) q(,3) q(2,3) q(3,3) q(4,3) 7 / 6 2 q (4) q(0,4) q(, 4) q(2, 4) q(3, 4) q(4, 4) 25 / 24 2 q (5) q(0,5) q(,5) q( 2,5) q(3,5) q(4,5) 2 / 3 2 Σημείωση: Μολονότι η (2) δίνει ακριβή αποτελέσματα ωστόσο παρουσιάζει υψηλή υπολογιστική πολυπλοκότητα της τάξης Ο(Κ p P C p μειωμένου φορτίου ιδιαίτερα στην περίπτωση μεγάλων δικτύων. ). Για τον λόγο αυτό, προτιμάμε την προσεγγιστική μέθοδο του Άσκηση 5 Θεωρείστε το δίκτυο της Άσκησης 3. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες απώλειας κλήσεως των δύο κατηγοριών κίνησης όταν εφαρμόσουμε την προσεγγιστική μέθοδο του μειωμένου φορτίου. Λύση Ορίζουμε ως Qpk Q την πιθανότητα απώλειας κλήσεως της κατηγορίας k= στην ζεύξη p=. Ισχύει ότι: l C Q C ; a, lk q( c) (3) ccb όπου: α l το προσφερόμενο φορτίο κίνησης της κατηγορίας κίνησης lk στην ζεύξη p =, Κ το σύνολο των κατηγοριών κίνησης που χρησιμοποιούν την πρώτη ζεύξη και q(c) η κανονικοποιημένη πιθανότητα να έχουμε c κατειλημμένες μονάδες εύρους ζώνης στην ζεύξη. Η ζεύξη p=2 χωρητικότητας C 2 = 5 μονάδων εύρους ζώνης εξυπηρετεί και τις δύο κατηγορίες κίνησης. Επομένως, ορίζουμε ως Q2 και Q22 την πιθανότητα απώλειας κλήσεως της κατηγορίας και της κατηγορίας 2 στην δεύτερη ζεύξη, αντίστοιχα. Ισχύει ότι: 2 2 l 2 C2 Q C ; a, lk q( c) (4) 22 2 l 2 cc2b C2 Q C ; a, lk q( c) (5) cc2b2 Στις σχέσεις (3)-(5) οι τιμές των q(c) υπολογίζονται μέσω του αναδρομικού τύπου των Kaufman- Roberts. Σελίδα 4

Ορίζουμε στην συνέχεια ως Lpk L την προσεγγιστική πιθανότητα να υπάρχουν λιγότερες από b μονάδες εύρους ζώνης στην ζεύξη p=, L 2 την προσεγγιστική πιθανότητα να υπάρχουν λιγότερες από b μονάδες εύρους ζώνης στην ζεύξη p=2 και L 22 την προσεγγιστική πιθανότητα να υπάρχουν λιγότερες από b 2 μονάδες εύρους ζώνης στην ζεύξη p=2. Είναι φανερό ότι L 2 = 0. Οι τιμές των L pk δίνονται από την σχέση: Lpk Qpk Cp; al Lxl, lkp, kkp, p,..., P xrl { p} (6) Το προσφερόμενο φορτίο κίνησης της κατηγορίας l= στην πρώτη ζεύξη δίνεται από την σχέση: l, p a L a L a L (7) l xl x 2 xrl { p} xr {} Ομοίως, το προσφερόμενο φορτίο κίνησης της πρώτης κατηγορίας στην δεύτερη ζεύξη υπολογίζεται ως εξής: l, p2 a L a L a L (8) l xl x xrl { p} xr {2} Τέλος, το προσφερόμενο φορτίο κίνησης της δεύτερης κατηγορίας στην δεύτερη ζεύξη είναι: l2, p2 a L a L a (9) l xl 2 x 2 xrl { p} xr2 {2} αφού οι κλήσεις της δεύτερης κατηγορίας χρησιμοποιούν μόνο την δεύτερη ζεύξη. Βασιζόμενοι στις (6)-(9), υπολογίζουμε τις πιθανότητες L, L 2 και L 22 ως εξής: L Q C ; a L2 (0) L2 Q2 C2 ; a L, a2 () L22 Q22 C2 ; a L, a2 (2) Στο σημείο αυτό ξεκινάμε τον υπολογισμό των L, L 2 και L 22 μέσω της τεχνικής των επαναλαμβανομένων αντικαταστάσεων: Αρχικά, L =.0, L 2 =.0 και L 22 =.0. Βήμα : Με βάση τις (0)-(2), έχουμε: L Q C ;0 0.0 ;0, 0.0 (αφού a L L Q C a 2 2 2 2 σύστημα) = 0.0 erl, δεν υπάρχουν κλήσεις της ης κατηγορίας στο Σελίδα 5

q(4) q(5) 0.5 L Q C ;0, a G q( c) 0.20 L 0.20. C2 22 22 2 2 22 cc2b2 G 2.5 Σημείωση: Για τον υπολογισμό του L 22 χρειάστηκε να υπολογίσουμε τα q(c) για την δεύτερη ζεύξη, με βάση τον αναδρομικό τύπο των Kaufman-Roberts, ο οποίος παίρνει την μορφή: cq(c) = α 2 b 2 q(c-b 2 ), c =,, 5 q(0) = q() = 0 2q(2) = α 2 b 2 q(2-2)=2 q(0) q(2)=.0 3q(3) = α 2 b 2 q(3-2)=2 q() q(3)=0.0 4q(4) = α 2 b 2 q(4-2)=2 q(2) q(4)=0.5 5q(5) = α 2 b 2 q(5-2)=2 q(3) q(5)=0.0 Άρα 5 G q( j) 2.5. j Βήμα 2: Βασιζόμενοι στις νέες τιμές των L = 0.0, L 2 = 0.0 και L 22 = 0.2 έχουμε: q(4) 0.04667 L Q C ; a G q( c) 0.0538 L 0.0538 C ccb G 2.70833 q(5) 0.675 L Q C ; a, a G q( c) 0.0574 L 0.0574 C2 2 2 2 2 2 cc2b G 6.38333 q(4) q(5).7667 L Q C ; a, a G q( c) 0.20 L 0.26893 C2 22 22 2 2 22 cc2b2 G 6.38333 Σημείωση: Για τον υπολογισμό του L χρειάστηκε να υπολογίσουμε τα q(c) για την πρώτη ζεύξη, με βάση τον αναδρομικό τύπο των Kaufman-Roberts, ο οποίος παίρνει την μορφή: cq(c) = α b q(c-b ), c =,, 4 q(0) = q() = 0 2q(2) = α b q(2-)=q(0) q(2)=0.5 3q(3) = α b q(3-)= q(2) q(3)=/6 4q(4) = α b q(4-)= q(3) q(4)=/24 Άρα 4 G q( j) 2.70833. j Σελίδα 6

Επίσης, για τον υπολογισμό των L 2, L 22 χρειάστηκε να υπολογίσουμε τα q(c) για την δεύτερη ζεύξη, με βάση τον αναδρομικό τύπο των Kaufman-Roberts, ο οποίος παίρνει την μορφή: cq(c) = α b q(c-b ) + α 2 b 2 q(c-b 2 ), c =,, 5 q(0) = q() = 0 2q(2) = α b q(2-) + α 2 b 2 q(2-2)=3 q(2)=.5 3q(3) = α b q(3-) + α 2 b 2 q(3-2)=3.5 q(3)=.6666 4q(4) = α b q(4-) + α 2 b 2 q(4-2)=4.6666 q(4)=.0466 5q(5) = α b q(5-) + α 2 b 2 q(5-2)=3.375 q(5)=0.675 Άρα 5 G q( j) 6.38333. j Βήμα 3: Βασιζόμενοι στις νέες τιμές των L = 0.0538, L 2 = 0.0574 και L 22 = 0.26893 έχουμε: L Q C ; a ( 0.0574) L 0.0092 L Q C ; a ( 0.0538), a L 0.0469 2 2 2 2 2 L Q C ; a, a ( 0.0538) L 0.2673 22 22 2 2 22 Σημείωση: Για τον υπολογισμό των L, L 2 και L 22 χρειάζεται να υπολογιστούν τα αντίστοιχα q(c), όπως έγινε στα προηγούμενα βήματα. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, σταματάμε στο βήμα 6 (καθώς οι τιμές των L, L 2 και L 22 είναι πολύ κοντά σε εκείνες του βήματος 5): L = 0.0095, L 2 = 0.0499 και L 22 = 0.26777. Πλέον, μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες απώλειας κλήσεως μέσω της σχέσης: Pb L,,..., k pk k K (3) prk P L L ( 0.00945)( 0.0499) 0.479 b 2 b2 22 22 P L L 0.26777 Οι τιμές αυτές είναι πολύ κοντά στις ακριβείς τιμές των Ασκήσεων 3, 4 ( P = 0. και =0.26797). b P b 2 Σελίδα 7

Άσκηση 6 ίνεται το τηλεφωνικό δίκτυο του σχήματος 3 με χωρητικότητες C =2, C 2 =3 και C 3 =4. Η κίνηση από το Α στο είναι α = erl και από το Β στο είναι α 2 = 0.5 erl. Να βρεθούν: ) O χώρος καταστάσεων και οι καταστάσεις απωλείας κλήσεως για κάθε ροή κίνησης (ροή Α και ροή Β ). 2) Οι πιθανότητες απωλείας κλήσεως για κάθε ροή κίνησης. 3) Οι πιθανότητες απωλείας κλήσεως για κάθε ροή κίνησης, με την προσεγγιστική μέθοδο του μειωμένου φορτίου (RLA). A C =2 C 2 =3 Γ C 3 =4 Δ B Σχήμα 3: Τηλεφωνικό δίκτυο τριών ζεύξεων. Λύση ) Αν x, x 2 είναι ο αριθμός των κλήσεων της ροής Α και Β αντιστοίχως, τότε, δεδομένου ότι κάθε τηλεφωνική κλήση καταλαμβάνει μονάδα χωρητικότητας ( trunk), πρέπει να ικανοποιούνται οι ακόλουθες ανισώσεις στο δίκτυο: x C x 2 x 2 C 2 x 2 3 x + x 2 C 3 x + x 2 4 Από τις εξισώσεις αυτές προκύπτει το σύνολο S των καταστάσεων: S={(0,0), (0,), (0,2), (0,3), (,0), (,), (,2), (,3), (2,0), (2,), (2,2)} Οι καταστάσεις απωλείας κλήσεως για κάθε ροή κίνησης έχουν ως εξής. Για την ροή Α : S Α ={(2,0), (2,), (,3), (2,2)} Οι καταστάσεις (2,0), (2,) είναι καταστάσεις απωλείας κλήσεως επειδή γεμίζει ο κλάδος ΑΓ. Η κατάσταση (,3) είναι κατάσταση απωλείας κλήσεως επειδή γεμίζει ο κλάδος Γ, και η κατάσταση (2,2) είναι κατάσταση απωλείας κλήσεως επειδή γεμίζουν και οι δύο κλάδοι της διαδρομής Α (ΑΓ, Γ ). Σελίδα 8

Για την ροή Β : S Α ={(0,3), (,3), (2,2)} Οι καταστάσεις (0,3) είναι κατάσταση απωλείας κλήσεως επειδή γεμίζει ο κλάδος ΒΓ. Η κατάσταση (2,2) είναι κατάσταση απωλείας κλήσεως επειδή γεμίζει ο κλάδος Γ και η κατάσταση (,3) είναι κατάσταση απωλείας κλήσεως επειδή γεμίζουν και οι δύο κλάδοι της διαδρομής Β (ΒΓ, Β ). Το σχήμα 4 δείχνει παραστατικά τις καταστάσεις του συστήματος (δικτύου) και τις καταστάσεις απωλείας κλήσεως για κάθε ροή κίνησης. Ροή ΒΔ (3,0) (2,0) Blocking ΑΔ Blocking ΒΔ (,0) (0,0) (,0) (2,0) Ροή ΑΔ Σχήμα 4: Σύνολο καταστάσεων του τηλεφωνικό δικτύου τριών ζεύξεων. (β) Οι πιθανότητες απωλείας κλήσεως για κάθε ροή κίνησης θα υπολογισθούν από τις καταστάσεις απωλείας κλήσεως. Για την ροή Α, Β Α = P(2,0) + P(2,) + P(,3) + P(2,2) Για την ροή Β, Β Β = P(3,0) + P(,3) + P(2,2) Από τις σχέσεις Β Α και Β Β είναι φανερό ότι Β Α > Β Β (όπως αναμενόταν, αφού η διαθέσιμη χωρητικότητα στην ροή Α είναι μικρότερη απ αυτήν της ροής Β ). Το διάγραμμα των καταστάσεων δείχνει ότι έχουμε μοντέλο μορφής γινομένου διότι μπορούμε πάντα να γυρίσουμε στην κατάσταση απ όπου ξεκινήσαμε. Άρα για το σύνολο όλων των καταστάσεων S υπολογίζουμε: G = + α 2 + α 22 /2 + α 23 /6 + α + α α 2 + α (α 22 /2) + α (α 23 /6) + α 2 /2 + (α 2 /2)α 2 + (α 2 /2)(α 22 /2) G = + /2 + /8 + /48 + + /2 + /8 + /48 + /2 + /4 + /6 = =97/48 = 4. Β A = (/2+/4+/48+/6)/G = (40/48)/(97/48) = 40/97 = 20.304 % Β Β = (/48+/48+/6)/G = (5/48)/(97/48) = 5/97 = 2.538 % Γενικά, η πιθανότητα μια ζεύξη (κλάδος) του δικτύου να είναι πλήρως κατειλημμένη έχει ως άνω όριο την τιμή Ε Cj (Σα k ) (Erlang B-Formula), όπου C j είναι η χωρητικότητα της ζεύξης j και Σα k είναι η Σελίδα 9

συνολική κίνηση (αθροιστικά) που προσφέρεται στην ζεύξη από k ροές κίνησης που περνούν απ αυτή. Αφού λοιπόν στο δίκτυο η ζεύξη ΑΓ έχει χωρητικότητα C = 2 και δέχεται κίνηση α = erl από την ροή Α, βρίσκουμε ότι Ε C (α ) = 20 %. Η ζεύξη Β έχει χωρητικότητα C 2 = 3 και από την ροή Β δέχεται κίνηση α 2 = 0.5 erl, βρίσκουμε ότι Ε C2 (α 2 ) =.266 %. Η ζεύξη Γ έχει χωρητικότητα C 3 = 4 και από τις ροές Α και Β δέχεται κίνηση α + α 2 =.5 erl, βρίσκουμε ότι Ε C3 (α +α 2 ) = 4.796 %. Για να προσεγγίσουμε ακριβέστερα τις απώλειες σε μια ζεύξη j πρέπει να μειώσουμε τα α k στην σχέση Ε Cj (Σα k ), έτσι ώστε να λάβουμε υπ όψιν τις απώλειες της κίνησης στις υπόλοιπες ζεύξεις (εκτός της j) από τις οποίες περνά μια ροή κίνησης. Αντικαθιστούμε λοιπόν τον όρο α k με το γινόμενο α k t k (j), όπου t k (j) είναι η πιθανότητα να υπάρχει διαθέσιμη τουλάχιστον μια μονάδα εύρους ζώνης σε κάθε ζεύξη της ροής της κίνησης, πλην της ζεύξης j. Αν λοιπόν L j είναι η προσεγγιστική πιθανότητα η ζεύξη j να είναι πλήρως κατειλημμένη, έχουμε: L j = Ε Cj (Σα k t k (j)) Υποθέτοντας ότι οι απώλειες είναι ανεξάρτητες από ζεύξη σε ζεύξη: tk j) L i (, όπου R k είναι το σύνολο των κλάδων (ζεύξεων) του δικτύου από τους οποίους περνά η κίνηση της ροής k. j C j j,..., J Kj i R j Άρα: L E Li Επικαλούμενοι ξανά την υπόθεση της ανεξαρτησίας των ζεύξεων, έχουμε την ακόλουθη προσέγγιση για τις απώλειες των κλήσεων της ροής k: L j, B k,..., k jrk Η προσεγγιστική αυτή μέθοδος καλείται μέθοδος του μειωμένου φορτίου (RLA - Reduce Load Approximation). Αν την εφαρμόσουμε στο δίκτυο θα έχουμε: irk j L = E C (α t Α ()), t Α () = -L 3 L 2 = E C2 (α 2 t B (2)), t B (2) = -L 3 L 3 = E C3 (α t Α (3) + α 2 t B (3)), t Α (3) = -L, t B (3) = -L 2 ηλαδή: L =E 2 ((-L 3 )), L 2 =E 3 (0.5(-L 3 )), (4) L 3 =E 4 ((-L )+0.5(-L 2 )) Και για να βρούμε τις απώλειες (την πιθανότητα απωλείας κλήσεως για κάθε ροή κίνησης) B = ( L )( L 3 ) B 2 = ( L 2 )( L 3 ) Προκειμένου να επιλύσουμε το σύστημα των ανωτέρω εξισώσεων, εφαρμόζουμε την ακόλουθη επαναληπτική μέθοδο. Σελίδα 20

Θέτουμε κατ αρχάς L =L 2 =L 3 =, με άλλα λόγια υποθέτουμε ότι η πιθανότητα να είναι σε κάθε ζεύξη είναι 00%. Οπότε από τις (4) προκύπτει: L = E 2 (0) = 0.0 L 2 = E 3 (0) = 0.0 L 3 = E 4 (0) = 0.0 (Και Β = Β 2 = ) Αντικαθιστούμε πάλι τις τιμές L, L 2, L 3 στις σχέσεις (4) και παίρνουμε: L = E 2 () = 0.20 L 2 = E 3 (0.5) = 0.03 L 3 = E 4 (.5) = 0.048 (Β = (-0.20)(-0.048)=0.2384 Β 2 = (-0.03)(-0.048) = 0.06) Αντικαθιστούμε πάλι τις τιμές L, L 2, L 3 στις σχέσεις (4) και παίρνουμε: L = E 2 (0.952) = 0.884 L 2 = E 3 (0.476) = 0.08 L 3 = E 4 (0.8+0.4935) = E 4 (.2936) = 0.03234 Αντικαθιστούμε πάλι τις τιμές L, L 2, L 3 στις σχέσεις (4), θέτοντας ως κριτήριο τερματισμού αυτής της επαναληπτικής διαδικασίας: οι επόμενες από τις προηγούμενες τιμές των L, L 2, L 3 να διαφέρουν λιγότερο από e=0.000. Καταχωρούμε όλες τις τιμές στον πίνακα 2. Πίνακας 2: Τιμές των L, L 2, L 3 της Άσκησης 6 L L2 L3 Κίνηση στην Κίνηση στην 2 Κίνηση στην 3 0 0 0 0 0 0 0.5.5 0.20 0.03 0.048 0.952 0.476.2936 0.884 0.08 0.03234 0.9676 0.4838.3059 0.9220 0.065 0.0339 0.9668 0.4834.309 0.999 0.063 0.03292 0.967 0.4835.302 0.9206 0.063 0.03293 Σελίδα 2

Τελικά: Β =-(-L )(-L 3 )=-(-0.9206)(-0.063)=-0.80794*0.98837= =0.286=2.86 % (αντί 20.304 %) B 2 =-(-L 2 )(-L 3 )=-(-0.063)(-0.03293)=-0.98837*0.96707= =0.04477=4.42% (αντί 2.538 %) Άσκηση 7 Θεωρείστε το δίκτυο τοπολογίας αστέρα του σχήματος 5, το οποίο εξυπηρετεί κλήσεις δύο κατηγοριών κίνησης με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά (,, b ) (5,,) και ( 2, 2, b2 ) (3,, 5), αντίστοιχα. Οι κλήσεις των δύο κατηγοριών κίνησης εισέρχονται στο δίκτυο από τους κόμβους, 2 και 3 και ακολουθούν τις σταθερές διαδρομές -5-2, -5-3, -5-4, 2-5-3, 2-5-4 και 3-5-4 (βλ. σχήμα 3). Αν η πολιτική διάθεσης του εύρους ζώνης του δικτύου είναι η πολιτική πλήρους διάθεσης να υπολογιστούν οι πιθανότητες απώλειας κλήσης των δύο κατηγοριών κίνησης σε όλες τις διαδρομές χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική μέθοδο του μειωμένου φορτίου και να συγκριθούν τα αναλυτικά αποτελέσματα με αποτελέσματα προσομοίωσης. C =90 b.u. 4 C 4 =20 b.u. 5 C 2 =00 b.u. 2 C 3 =0 b.u. 3 Σχήμα 5: ίκτυο τοπολογίας αστέρα. Λύση Στον πίνακα 2 παρουσιάζουμε τις πιθανότητες απώλειας κλήσης των δύο κατηγοριών κίνησης για τις διαφορετικές διαδρομές. Παρατηρούμε ότι τα αναλυτικά αποτελέσματα είναι πολύ κοντά στα αποτελέσματα της προσομοίωσης (μέσες τιμές 2 μετρήσεων με 95% διάστημα εμπιστοσύνης). Η γλώσσα προσομοίωσης που χρησιμοποιήθηκε είναι η SIMSCRIPT III [2]. Σελίδα 22

Πίνακας 2: Πιθανότητες απώλειας κλήσεως (%) για το δίκτυο τοπολογίας αστέρα. ιαδρομή Προσφερόμενο φορτίο Πιθανότητες απώλειας κλήσεως (%) κίνησης (erl) Αναλυτικά Προσομοίωση αποτελέσματα -5-2 5.0 5.74 5.65 ± 0. -5-3 5.0 4.65 4.63 ± 0.0-5-4 5.0 4.20 4.9 ± 0.09 2-5-3 5.0 2.49 2.36 ± 0.07 2-5-4 5.0 2.02.9 ± 0.07 3-5-4 5.0 0.89 0.73 ± 0.03-5-2 3.0 28.56 28.27 ± 0.27-5-3 3.0 23.76 23.49 ± 0.34-5-4 3.0 2.57 2.4 ± 0.28 2-5-3 3.0 3.83 3.20 ± 0.2 2-5-4 3.0.37 0.84 ± 0.24 3-5-4 3 5.40 4.63 ± 0.2 [2] SIMSCRIPT III, http://www.simscript.com/ Σελίδα 23

Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού ΕκδόσεωνΈργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.0. Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Ιωάννης Μοσχολιός, 205. Ιωάννης Μοσχολιός. «Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης, Ασκήσεις για τις ενότητες 9 0: ίκτυα απωλειών μορφής γινομένου Προσέγγιση μειωμένου φορτίου». Έκδοση:.0. Πάτρα 205. ιαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/ee772/. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια ιανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, ιεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. ιατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση ιατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό δεν κάνει χρήση εικόνων/σχημάτων/διαγραμμάτων/φωτογραφιών ή πινάκων από έργα τρίτων: Πηγές: [] Μ. Λογοθέτης, Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές, 2 η έκδοση, Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 202. Σελίδα 25

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστημίου Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σελίδα 26