Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος Kaufman Roberts

Transcript

1 Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

2 Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Παπασωτηρίου Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές Μιχαήλ Δ. Λογοθέτη Δεύτερη Έκδοση Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κατ' αρχήν σε τηλεπικοινωνιακούς μηχανικούς και μηχανικούς Η/Υ. Δεδομένης όμως της διεισδυτικότητας της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως στον γενικότερο επιστημονικό τομέα των μηχανικών, συνιστάται η γνώση του αντικειμένου του βιβλίου αυτού σ' όλους τους Ηλεκτρολόγους/Ηλεκτρονικούς Μηχανικούς και ιδιαιτέρως σε όλους όσους εξειδικεύονται στον τομέα των τηλεπικοινωνιακών δικτύων ή δικτύων υπολογιστών ως διαχειριστές, αναλυτές ή σχεδιαστές. Πρόθεση του συγγραφέα είναι το βιβλίο αυτό να αποτελέσει εγχειρίδιο μελέτης για προπτυχιακούς φοιτητές. Συνιστάται δε ως βασικό υπόβαθρο στους φοιτητές που ενδιαφέρονται να ακολουθήσουν μεταπτυχιακές σπουδές στους προαναφερθέντες τομείς. Copyrght 0 Α. Παπασωτηρίου & ΣΙΑ Ο.Ε. Μιχαήλ Δ. Λογοθέτης Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts

3 Σκοποί ενότητας Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης Απόδειξη του αναδρομικού τύπου aufma Roberts για τον υπολογισμό της πιθανότητας απωλείας κλήσεως Περιγραφή και ανάλυση της πολιτικής δέσμευσης εύρους ζώνης Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 3

4 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης Αναδρομικός τύπος aufma Roberts Πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης Παραδείγματα Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 4

5 Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης Σκοπός μας είναι ο υπολογισμός της πιθανότητας απωλείας κλήσεως τύπου, P b που φθάνει στο σύστημα και απαιτεί b μονάδες εύρους ζώνης. Η πιθανότητα αυτή δίνεται από την σχέση: Η μορφή της P για αυθαίρετα επιλεγμένο τρόπο διάθεσης των πόρων του συστήματος δίνεται από την σχέση: όπου: Pb P, B Ω : Ω B P G a a, /! a G G 3! Σημείωση: Η αρίθμηση συνεχίζεται από την ενότητα 7!! Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 5

6 Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης Η απόδειξη της σχέσεως γίνεται χρησιμοποιώντας την έννοια της σφαιρικής ισορροπίας που προκύπτει από το διάγραμμα μετάβασης των καταστάσεων μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας Κ διαστάσεων. Χάριν ευκολίας, θα θεωρήσουμε δύο κατηγορίες κίνησης Κ=. Συμβολίζουμε με λ, λ τους ρυθμούς άφιξης των κλήσεων και με μ, μ τους ρυθμούς εξυπηρέτησής τους. Στην κατάσταση ισορροπίας θεωρούμε ότι έχουμε κλήσεις της ης υπηρεσίας και κλήσεις της ης υπηρεσίας. Άρα η κατάσταση ισορροπίας περιγράφεται από το διάνυσμα = {, }. Επίσης:,,,,,,, Προκύπτουν τελικά τρία διαγράμματα καταστάσεων που απεικονίζονται στις επόμενες τρεις διαφάνειες! Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 6

7 7 Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης 3 Το πρώτο σχήμα εκφράζει την περίπτωση όπου δεν έχουμε απώλεια κλήσεων. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts Από την εξίσωση της σφαιρικής ισορροπίας, «Ρυθμός εισόδου» = «Ρυθμός εξόδου», προκύπτει: P P P P P 4

8 Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης 4 Το δεύτερο σχήμα εκφράζει την περίπτωση όπου έχουμε απώλεια κλήσεων της ης κατηγορίας. Από την εξίσωση της σφαιρικής ισορροπίας, «Ρυθμός εισόδου» = «Ρυθμός εξόδου», προκύπτει: P P P P 5 μ λ λ λ μ +μ Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 8

9 Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης 5 Το τρίτο σχήμα εκφράζει την περίπτωση όπου έχουμε απώλεια κλήσεων και των δύο κατηγοριών. Από την εξίσωση της σφαιρικής ισορροπίας, «Ρυθμός εισόδου» = «Ρυθμός εξόδου», προκύπτει: P P P 6 λ λ Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 9

10 0 Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης 6 Προκειμένου τώρα να εκφράσουμε τις εξισώσεις σφαιρικής ισορροπίας 4, 5 και 6 μέσω μιας μόνο εξίσωσης, εισάγουμε τους συμβολισμούς: Έχοντας ως δεδομένο την κατάσταση ={, }, οι παραπάνω συμβολισμοί δ εκφράζουν την πιθανή ύπαρξη των καταστάσεων. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts ύ ά 0 ύ ά 0,

11 Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης 7 Έχοντας τους συμβολισμούς δ μπορούμε να καταλήξουμε στην παρακάτω εξίσωση σφαιρικής ισορροπίας Ρυθμός εισόδου= Ρυθμός εξόδου: Μέσω της 7 καταλήγουμε στο παρακάτω διάγραμμα μετάβασης καταστάσεων Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts P P P 7 P P P P

12 Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης 8 Βάσει του προηγούμενου σχήματος, η τοπική ισορροπία εκφράζεται από την σχέση: P P,,...,, 8 Αποδεικνύεται τελικά ότι η πιθανότητα μονίμου καταστάσεως υπολογίζεται από την σχέση: a! P 9 a! που ικανοποιεί την και την εξίσωση σφαιρικής ισορροπίας 7. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts

13 Ανάλυση συστήματος πολυδιάστατης κίνησης 9 Παράδειγμα Εφαρμογή των σχέσεων, 3 Έστω σύστημα απωλειών με δύο κατηγορίες κλήσεων και έστω ότι στην κατάσταση ισορροπίας =, =. Αν b =, b =, C= και υποθέσουμε πολιτική πλήρους διάθεσης τότε ζητούμε να βρούμε την πιθανότητα P, όπου,. Λύση Επειδή: το σύνολο Ω περιέχει τις καταστάσεις: Άρα: C Ω = :0 b, b 0,, a a P!! a a a a a a a a a a a a 0! 0! 0!! 0!!! 0!!!! 0! Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts b 0, 0, 0,,,, 0,,, 0. 3

14 Αναδρομικός τύπος aufma Roberts Προκειμένου να υπολογίσουμε τις πιθανότητες απωλείας κλήσεων με κάποιο εύκολο τρόπο θεωρούμε αρχικά το σύνολο των καταστάσεων Ω = Ω : b = Το σύνολο αυτό εκφράζει τις καταστάσεις στις οποίες είναι κατειλημμένες ακριβώς γραμμές. Οι δυνατές καταστάσεις του συνόλου αυτού βρίσκονται πάνω στην διαγώνιο b= όπου = 0,,,,C βλ. σχήμα για κατηγορίες C b b= b=c =0,,C Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts C b 4

15 Αναδρομικός τύπος aufma Roberts Η πιθανότητα να έχουμε κατειλημμένες γραμμές στην κατάσταση ισορροπίας δίνεται από την σχέση: q P 0 Η πιθανότητα απωλείας κλήσεως P b μπορεί να εκφρασθεί και ως: P b b : C b Όταν οι κατειλημμένες γραμμές είναι = b > C b έχουμε απώλεια των κλήσεων τύπου. Άρα η P b μπορεί να εκφρασθεί και ως: P P b C Cb q b Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 0 q C 5

16 Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 3 Βλέπουμε επομένως ότι ο υπολογισμός της πιθανότητας P b έγκειται στην εύρεση ενός αναδρομικού τύπου για τον υπολογισμό του q. Για τον σκοπό αυτό κάνουμε τις παρακάτω σκέψεις. Θεωρούμε αρχικά ότι η P b μπορεί να γραφεί ως: P b a a a * 3 όπου α το προσφερόμενο φορτίο κίνησης των κλήσεων τύπου και α * το φορτίο κίνησης που διεκπεραιώνεται από το σύστημα. Έχοντας αρχικά ορίσει ως τον αριθμό των κλήσεων τύπου στην κατάσταση ισορροπίας, τότε από τις ιδιότητες του φορτίου κίνησης, το φορτίο κίνησης α που διεκπεραιώνεται από το σύστημα είναι η μέση τιμή του. Επομένως: * b E a P a 4 Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 6

17 Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 4 Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό μέλος της 4 με b και παίρνοντας το άθροισμα για =,,, προκύπτει η μέση τιμή των κατειλημμένων γραμμών του συστήματος, E. E Από τον ορισμό της μέσης τιμής: b E 5 C 0 E q 6 Επίσης: E a P b a Cb P a q 7 0 Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 7

18 8 Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 5 Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό και δεξιό μέλος της 7 επί b και παίρνοντας το άθροισμα για =,..., έχουμε: Λόγω της 5, εξισώνουμε το αριστερό μέλος της σχέσεως 8 με το αριστερό μέλος της 6, και προκύπτει τελικά η αναδρομική σχέση 9 για τον υπολογισμό των q, γνωστή και ως αναδρομικός τύπος των aufma Roberts: όπου τα q πρέπει να κανονικοποιηθούν διαιρώντας με. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts C b C b a b q q a b b E αλλού για για 0,..., 0 C b b q a q 9 C q 0

19 Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 6 Στο σημείο αυτό είναι δελεαστικό να ερμηνεύσουμε την 9 ως μια εξίσωση ισορροπίας μιας διαδικασίας γέννησης θανάτου, όπου λ q b είναι ο ρυθμός γέννησης των κλήσεων τύπου και μ q ο ρυθμός θανάτου τους. Θέτουμε την ποσότητα ˆ ως τον αριθμό των κλήσεων τύπου που βρίσκονται στο σύστημα με δεδομένο ότι οι κατειλημμένες γραμμές είναι. Διαισθητικά περιμένουμε να ισχύει ότι: q b ˆ q Πράγματι μπορεί να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση: a q b E q 30 Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 9

20 Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 7 Η 30 μπορεί να εκφραστεί γραφικά μέσω του παρακάτω σχήματος. Μέσω της 30 αποδεικνύεται και η ύπαρξη της 9. Πράγματι πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της 30 επί b και παίρνοντας το άθροισμα για =,,, προκύπτει ότι: a b q b b E q E b q q 3 λ -b E /μ Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 0

21 Πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης Σκοπός της πολιτικής δέσμευσης εύρους ζώνης truk/badwdth reservato polcy είναι η εξισορρόπηση των πιθανοτήτων απωλείας κλήσεως των διαφορετικών υπηρεσιών, όταν από κοινού μοιράζονται τους πόρους ενός συστήματος εξυπηρέτησης. Η εξισορρόπηση αυτή επιτυγχάνεται με το να δεσμεύσουμε εύρος ζώνης προς όφελος των κλήσεων εκείνων των υπηρεσιών που έχουν υψηλές απαιτήσεις εύρους ζώνης. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts

22 Πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης Πρακτικός κανόνας: Για να βρούμε πόσο εύρος ζώνης πρέπει να δεσμεύσουμε από κάθε υπηρεσία ώστε να εξισορροπήσουμε πλήρως τις πιθανότητες απωλείας κλήσεως μεταξύ των υπηρεσιών, θα πρέπει για κάθε υπηρεσία οι μονάδες εύρους ζώνης ανά κλήση μιας υπηρεσίας + το εύρος ζώνης που δεσμεύεται από την υπηρεσία, το άθροισμα αυτό, να είναι το ίδιο για κάθε υπηρεσία. Π.χ., αν έχουμε 3 υπηρεσίες με απαιτήσεις b =, b =5 και b 3 =0, τότε οι παράμετροι της πολιτικής δέσμευσης εύρους ζώνης που εξισώνουν τις πιθανότητες απωλείας κλήσεως των υπηρεσιών είναι t=9, t=5 και t3=0 truks. Δηλαδή είναι σαν να λέμε ότι οι τρεις υπηρεσίες θα έχουν την ίδια πιθανότητα απωλείας κλήσεως, διότι έχουν τις ίδιες τελικά απαιτήσεις εύρους ζώνης ανά κλήση b +t=b +t=b 3 +t3= 0 truks. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts

23 Πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης 3 Ο αναδρομικός τύπος των aufma Roberts σχέση 9 πρέπει να διατυπωθεί έτσι ώστε να μπορεί να ληφθεί υπ όψη η πολιτική δέσμευσης του εύρους ζώνης που εφαρμόζουμε για να εξισορροπήσουμε την πιθανότητα απωλείας κλήσεως μεταξύ των διαφορετικών υπηρεσιών. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε τα εξής σύμβολα: : το πλήθος των διαφορετικών υπηρεσιών. : κατηγορία υπηρεσιας =,,,. b : το απαιτούμενο εύρος ζώνης ανά κλήση της υπηρεσίας. α : προσφερομένη κίνηση από την υπηρεσία. t : το εύρος ζώνης που δεσμεύεται εις βάρος των κλήσεων της υπηρεσίας. C: η χωρητικότητα του συστήματος σε εύρος ζώνης. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 3

24 4 Πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης 4 Μέσω των 3, 33 υπολογίζουμε προσεγγιστικά τις πιθανότητες απωλείας κλήσεως για σύστημα δέσμευσης εύρους ζώνης. όπου Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts αλλού για για 0,..., 0 C b q b a D q 3 για 0 για όπου t C t C b b D 3α 0 - t b b C q G P 33 C q G 0

25 Παραδείγματα Παράδειγμα Έστω ένα σύστημα με C = 5 μονάδες εύρους ζώνης το οποίο εξυπηρετεί δύο κατηγορίες κίνησης με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: b =, α = erl, b =, α = 0.5 erl. α Να σχεδιάσετε το σύνολο καταστάσεων Ω, β Να σχεδιάσετε την μονοδιάστατη αλυσίδα Markov με τις καταστάσεις = 0,,5 και γ Να υπολογίσετε τις πιθανότητες απωλείας κλήσεων των δύο κατηγοριών κίνησης. δ Για ποιες τιμές των παραμέτρων δέσμευσης εύρους ζώνης επιτυγχάνεται εξισορρόπηση των πιθανοτήτων απωλείας κλήσεων; ε Με βάση το ερώτημα δ να υπολογίσετε την κοινή πιθανότητα απωλείας κλήσεων των δύο κατηγοριών κίνησης. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 5

26 Παραδείγματα Λύση α Ω β λ λ λ λ λ λ λ = 0 = = μ y μ y λ λ = 3 = 4 = 5 μ μ y 5 y 3 μ y 4 λ μ y μ y 3 μ y 4 μ y 5 Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 6

27 Παραδείγματα 3 γ Μη κανονικοποιημένα q μέσω της σχέσης 9: q0=, q=, q = 0.75, q3= 0.466, q4 = 0.979, q5=0.085 G = σταθερά κανονικοποίησης Κανονικοποιημένα q: Οι προηγούμενες τιμές διαιρούνται με G q0=0.90, q=0.90, q = 0.765, q3= 0.09, q4 = , q5= Πιθανότητες απωλείας κλήσεων μέσω της σχέσης : P b = q5 = P b = q4+q5=0.080 Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 7

28 Παραδείγματα 4 δ Με βάση τον κανόνα b +t=b +t, προκύπτει ότι t = και t = 0. ε Μη κανονικοποιημένα q μέσω της σχέσης 3: q0=, q=, q = 0.75, q3= 0.466, q4 = 0.979, q5=0.047 G = σταθερά κανονικοποίησης Κανονικοποιημένα q: Οι προηγούμενες τιμές διαιρούνται με G q0= , q= , q = 0.08, q3= 0.3, q4 = 0.058, q5=0.04 Πιθανότητες απωλείας κλήσεων μέσω της σχέσης 33: P b = P b = q4+q5= Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 8

29 Παράδειγμα 3 Παραδείγματα 5 Έστω τρεις υπηρεσίες, s, s, και s 3 με προσφερόμενο φορτίο κίνησης 0.5, 0.33 και 0. erl, και απαιτήσεις σε εύρος ζώνης b =, b =3 και b 3 = 5 truks, αντιστοίχως. Οι υπηρεσίες εξυπηρετούνται από 8, ή 9,..., ή εξυπηρετητές. Με χρήση των 9, και 3, 33 λαμβάνουμε την γραφική παράσταση μεταβολής της πιθανότητας απωλείας κλήσεως κάθε υπηρεσίας, με ή χωρίς την πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης στην περίπτωση αυτή δεσμεύονται 3, και 0 truks εις βάρος των s, s, και s 3, αντιστοίχως, συναρτήσει της μεταβολής του αριθμού των εξυπηρετητών του συστήματος Πιθανότητα απωλείας κλήσεως TR S 3 S S Αριθμός εξυπηρετητών Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 9

30 Τέλος Ενότητας

31 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστημίου Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 3

32 Σημειώματα Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 3

33 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.00. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 33

34 Σημείωμα Αναφοράς Copyrght Πανεπιστήμιο Πατρών, Μιχαήλ Λογοθέτης. «Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης. Αναδρομικός τύπος aufma Roberts». Έκδοση:.0. Πάτρα 05. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 34

35 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creatve Commos Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] c sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 35

36 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 36

37 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση του ακόλουθου έργου: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες/Πίνακες [] Μιχαήλ Λογοθέτης, Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές, η έκδοση, Παπασωτηρίου, 0 Θεωρία Τηλεπικ. Κίνησης Ενότητα 8: Αναδρομικός τύπος aufma Roberts 37