Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Εκδοση 1.0 διαθέσιμη στο σύνδεσμο http://www.math.ucla.edu/ ynm/lectures/g.pdf Σημείωμα αναφοράς Copyright 2015. Γιάννης Μοσχοβάκης.«Θεωρία Συνόλων». Εκδοση: 1.1. Αθήνα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.uoa.gr/courses/math24/ Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Οχι Παράγωγα Εργα, Μη Εμπορική Χρήση 4.0[1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Εκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο«σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: πουδενπεριλαμβάνειάμεσοήέμμεσοοικονομικόόφελοςαπότηχρήσητουέργου,γιατο διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος(π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Θεωρία Συνόλων Διατήρηση σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων(εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

ýý ý ýý ý ¾ ÖÑÐÓº ¹ N ¾º¾½ ÒØÓÖ R ºº ¹ ¾ º ÖÑÐÓ ÖÑÐÓ ºº ý º µ Π R È Π ¹ Ü(È) Ç Ü(Ç) = 0º ø º ÖØ ¹ º ý º ý º ý Π R È Ü(È) Π R

Π º Ü( ) Ü() Ü() º ÖÑÐÓ ¹ º º º½º ÇÖÖ ÔÖµº µ º (Ü Ý) Ü Ý ººµ {0 1} = {1 0} (0 1) (1 0)º ÇȽµ (Ü Ý) = (Ü Ý ) Ü = Ü & Ý = Ý ÇȾµ = {(Ü Ý) Ü & Ý } º (Ü Ý) ÇȽµ ÇȾµ ÖÑÐÓº º¾º º ÃÙÖØÓÛ ÇȽµ ÇȾµº (Ü Ý) = {{Ü} {Ü Ý}} ¹½µ ýº ÇȽµº = º ý Ü = Ý {Ü Ý} = {Ü Ü} = {Ü} (Ü Ý) = {{Ü} {Ü}} = {{Ü}} (Ü Ý ) Ü = Ý º (Ü Ý ) = {{Ü }} {{Ü}} Ü = Ü Ý = Ü = Ü = Ý º ý Ü Ý (Ü Ý) {Ü} {Ü Ý} {Ü } {Ü Ý } (Ü Ý ) {Ü} = {Ü } {Ü Ý} = {Ü Ý } Ü = Ü Ý = Ý º ÇȾµº ý Ü & Ý {{Ü} {Ü Ý}} ó ¹¾µ

º = {Þ ( Ü )( Ý )[Þ = (Ü Ý)]} ý ÁÁÁµº ¹¾µ Ü Ý {Ü} {Ü Ý} ( ) {Ü} {Ü Ý} P( ) {{Ü} {Ü Ý}} P( ) (Ü Ý) P(P( )) = P(P( ))º (Ü Ý) ÇȽµ ÇȾµ ÃÙÖØÓÛ º¾ ÇȽµ ÇȾµº º º º ô ÈÖ(Þ) ( Ü)( Ý)[Þ = (Ü Ý)] { Ü ( Ý)[Þ = (Ü Ý)] ÈÖ(Þ) Ö Ø(Þ) = Þ ô ËÓÒ(Þ) = { Ý ( Ü)[Þ = (Ü Ý)] ÈÖ(Þ) Þ ÈÖ(Þ) Þ = (Ö Ø(Þ) ËÓÒ(Þ)) ºº ºº (Ü Ý Þ) = (Ü (Ý Þ)) (Ü Ý Þ Û) = (Ü (Ý Þ Û)) = (Ü (Ý (Þ Û))) = ( ) ¹ µ ¹µ ¹µ ºº (Ò+1)¹ Ò¹ º ºº º Ü Ý Þ Ü Ý Þ (Ü Ý Þ) = (Ü Ý Þ ) Ü = Ü & Ý = Ý & Þ = Þ ºº ÓÒØ ÙÒÓÒµº { } ( ) º = = { } ¹µ

¼ {} { } º½º º = ({ } ) ({} ) º½ º º ºº º º ÃÙÖØÓÛ º ÖÐØÓÒµ ¹ º Ê Ü Ý Ü Ý º ºº ÜÊÝ Ü Ý = {} = { } Ü Ý Ý Üº º ºº º ¹ Ê º Ê(Ü Ý) ÜÊÝ (Ü Ý) Ê Ü = Ý Ü & Ý & Ü = Ý Ü Ü & & Ü ó ¼

º ½ = = {(Ü Ý) Ü = Ý} = {(Ü ) P() Ü } = {( ) P() P() } ºº º = W º ¹ º ¹ µ º º ³ ¹ ºº = µ = º ºº º ½µ Ê ( ) Ê (Ü Ý) (Ü Ý) Ê º ³ ¹ º½ºµ ¾µ È È º È = {(Ü Ý) È(Ü Ý)} º½¼º º º È È È È ( Ü )[ÜÈ Ü] ( Ü Ý )[ÜÈ Ý Ý È Ü] ( Ü Ý Þ )[[ÜÈ Ý & Ý È Þ] ÜÈ Þ] Ö ÜÚ ÝÑÑØÖ ØÖÒ ØÚºµ È ÕÙÚÐÒ ÖÐØÓÒµ ý º Ü Ü Ü Ý Ý Ü [Ü Ý & Ý Þ] Ü Þ ½

¾ º½½º º {(Ü Ý) Ü = Ý } {(Ü Ý) Ü Ý } º Ü Ý Ü = Ý [Ü & Ý ] º½¾º º ô º Ü [Ü ] = {Ý Ü Ý} 7 Ü [ ] = {[Ü ] P() Ü } ¹µ ¹µ º [Ü ] Ü Ü Ý Ü Ý [Ü ] = [Ý ] Ü Ý [Ü ] [Ý ] = ¹µ ¹½¼µ [ ] ¹ [ ] = º ý E = E Ü Ý ( E)[Ü & Ý ] [ ] = Eº ýº [Ü ] Ü [Ü ]º ý Ø Ü & Ü Ý Ø Ý Ø Ý & Ü Ý Ø Ü Ü Ý ( Ø )[Ø Ü Ø Ý] [Ü ] = [Ý ] ý ¹µ ¹½¼µº ø º ý Ü Ý Ý Þ E Ü Ý Ý Þ Ý E = Ü Þº º½ º º ¹ º½½º 7 [Ü ] Ü º ¾

º (Ü) Ü º¾º ¹ º ý Ê ¹ º ¹ Ê(Ü Ý Þ) (Ü Ý Þ) Ê ¹ º º½º º µ : ¹ ( ) ( Ü )(!Ý )[(Ü Ý) ] ( Ü )( Ý )[(Ü Ý) ] (Ü Ý) & (Ü Ý ) Ý = Ý ý º¾ Ü : (Ü) = Ý (Ü Ý) = Ü (Ü ) ( ) = { : } ý ÁÁÁµº = { P( ) ( Ü )(!Ý )(Ü Ý) } ºº (Ü) = Ü = Ü

ºº Á = ( ) Á : Á Á º Á Á Á = {Ü ( Á)[Ü ]} Á = {Ü ¹½½µ ( Á)[Ü ]} Á Á Á = { : Á Á ( Á)[() ]} ¹½¾µ º ( ) = { ( ) ½¹½} ( ) = { ( ) } ( ) = ( ) ( ) µ Ö ØÖØÓÒµ : = {(Ü Ý) Ü } ¹½ µ ¹ ÙÒØÓÒ() ( )( )[ ( )] ¹½µ º ø : ÙÒØÓÒ()º º½º º ÓÑÒ() = {Ü ( Ý)[(Ü Ý) ]} ÁÑ() = {Ý ( Ü)[(Ü Ý) ]} ÁÑ() : ÓÑÒ()

º ÙÒØÓÒ() : ÓÑÒ() ÁÑ() º½º º ý : {(Ü Ý) (Ü) = Ý} º (Ü Ý) = (Ü + Ý) 2 (Ü Ý) = Ü 2 + 2ÜÝ + Ý 2 º ý º½ 8 = ( )[ : ] ( ) ( )[ : ] ( ) & º½º º = P() = P() ¹ º º½º º = = = = ( ) = ( ) º½º ÒØÓÖº º ÒØÓÖ ½ ³ ¹ ³ º ³ ³ Ü º 8 º

º º ÒØÓÖº º Ü ³ º ô ÒØÓÖ = = = ÒØÓÖ Ü Ù Ü Ü Ù Ü º ÒØÓÖ ¹ µ º ÒØÓÖº ÒØÓÖ E { E} º ø ¹ ÒØÓÖ ³ º ÒØÓÖº º¾¼º ý

º ½µ ¾µ µ = = = E { E} ½¾¼ß ¼ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ý º ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ ½¾ º ¹ ½µ µ = ý ¹ º º¾½º º µ ½µ µ ¾µº ¹ ÖÒÐ ÒÙÑÖ µ µ µ Ö() Ö ( )[ = ] º¾¾º º = = ¾µ º µ + = = = = = ( ) = ( ) 9 Á = {( Ü) Á Á Ü } Á = Á ºº + º 9 ¹ Π º

0 = = ¹½µ = = º 1 = {0} 2 = {0 1} ¹½µ ¹ º º¾ º º + = = + º¾º º 1 = 2 1 = 2 1 + 1 = 2 + 2 1 1 = 2 2 1 1 = 2 2 º¾º º ö ¹ ¹ = º (+) = ¹½µ º¾ (( ) ) = ( ) ( ) ¹½µ º ½µ ¹½µ µ ³ ó ¾µ ÚÓÒ ÆÙÑÒÒ = = µ º º¾º º ý ¹ = = = ¹½µ ½µ º½º

º + ( + ) = ( + ) = ( ) ½µ º½ = ( ) = ( + ) + ³ º¾º º Ã Ä Å Ã (Ä Å) = (à Ä) Å º¾º º ¹½µ Ã Ä Å Ä Å = ((Ä Å) Ã) = (Ä Ã) (Å Ã) ø µ Á = Á ¹¾¼µ ( ) Á º ³ ( ) µ º¾º º = ( ) Á ¹ : Á [Á] () = ( Á) ýº ý µ E = { Á} = [Á] Ï Á = {( Û) Á Ï Û = } ¹¾¼µ ý µ º º ¼º ØÖÙØÙÖ Ø µº ¹ ¹ T ½º T º ¾º T T º º E T T E T º

¼ T \ º ¹ ºº ºº ³ ¹ ºº ¹ ¹ º µ Í = ( S) ¹¾½µ = Ð(Í) Í S ¹ Öѵ 10 ͺ ( T ) T º Í = ( ( )) ¹¾¾µ : º ¹ µ ¹¾¾µ Í = ( ) ¹¾ µ Ò¹ (Ò + 1)¹ º º ø º ¹ ( T ) ºº Í Ð(Í) Ü Í Ü Ð(Í) ¹¾µ Í Ð(Í) ºº ¹¾µ 10 S ( S) º º ¼

º ½ µ ¹ ( S) µ Ü ( S) ¹¾µº º¾ ¹ ÃÙÖØÓÛ º ý ÏÒÖ º ܺ½º ÏÒÖµ ÇȽµ ÇȾµ º½ (Ü Ý) = {{ {Ü}} {{Ý}}} ܺ¾º ÇȽµ ÇȾµ º½ (Ü Ý) = {{0 Ü} {1 Ý}} 0 1 ¹½µº º (0 0) (0 1) (1 1) (1 0) µ Ü = Ý Ü Ýº ܺ º (( ) ) = ( ( )) ܺº ÒØÓÖ ¾º¾½ P()º ܺº ( ) É : É Ü Ý (Ü) = (Ý) ¹¾µ ¹¾µ ý ¹¾µ ¹¾µ É º º½¾ [ ] (Ü [Ü ]) º ½

¾ É É ºº ܺº : Ü Ý (Ü) = (Ý) [Ü ] [] º ܺº ô Ü 0 ( ) (Ü 0 ) = (Ü 0 ) ( ) : ( ) ( ) º ܺº ô Ü 0 Ü 1 º ¹ ( ) ( ) (Ü 0 ) = (Ü 0 ) & (Ü 1 ) = (Ü 1 ) ܺº ô : Ü Ý (Ü) (Ý) ô É º : É É º = (Ü) = ((Ü)) : É º ܺ½¼º (Ü ) + 0 = 0 = 0 1 = ܺ½½º + ( + ) = ( + ) + + = + ¾

º ܺ½¾º ( ) = ( ) = ( + ) = + ܺ½ º P() = 2 º ܺ½º 0 = 1 1 = 2 = ܺ½º ( ) = (+) = ( ) = ܺ½º + + ( 0) = 0 ø º + = + ܺ½º = ( ) = ܺ½º ý + = {} = {} ܺ½º Á = Á ܺ¾¼º = 0 = 0 = 0 Á = 0 ( Á)[ = 0] ¹¾µ ý ¹¾µ ý ºµ

ܺ¾½º ÖÑÐÓ º¾ = ¾º ¹ N ¹ Nº ¾ºº º ½º º Ò : º Ò¹ Ò¹ º ý ܺ¾¾º ý Ò = Òº ܺ¾ º ý Ò Òº ܺ¾º Á Òº Á ( Ü)[Ü Á {Ü} Á] Ò¹ ý º º ܺ¾º ý Ò¹ Ø {Ø} Ò¹ º º : {Ø} {Ø} {Ø} Øó (Ø) = Øó º ËÖĐÓÖ¹ÖÒ ØÒ ¾º¾ º ¹ ÖÑÐÓµ ³ º ܺ¾º ý = = º º ô : = É = \ [] []º T = { É [] }

º [] [Ì] ºº ËÖĐÓÖ¹ÖÒ ØÒ ÖÑÐÓº Ì = T T É [Ì] Ì º Ì = É [Ì]ó = Ì ([] \ [Ì]) Ì ([] \ [Ì]) µ º ܺ¾º ËÖĐÓÖ¹ÖÒ ØÒ ¹ ܺ¾º º ý : : = [] [] [] =