ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ:

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΡΕΣΣΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΘΕΜΑ: «Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗΝ ΣΤ ΤΑΞΗ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΊΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ : ΤΑΞΙΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Θεσσαλονίκη, ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2008

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΡΕΣΣΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΘΕΜΑ: «Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗΝ ΣΤ ΤΆΞΗ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΎ ΣΧΟΛΕΊΟΥ ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΊΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ: ΤΑΞΙΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Θεσσαλονίκη, ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2008

ΠΕΡΙΛΗΨΗ...3 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...3 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ...10 2.1.Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ...10 2.2. ΤΑ ΕΙΔΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ...12 2.3. ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ...13 2.4. ΤΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ΜΕΡΗ ΤΟΥ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ...14 2.5. ΟΙ ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ PIAGET ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟ...16 2.6. ΜΕΛΕΤΕΣ ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ ΜΕ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΠΟΥ ΕΞΕΦΡΑΣΕ Ο PIAGET...19 2.7. Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΑ ΠΑΙΔΙΑ...20 2.8. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ...22 2.9. ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ...24 2.10. Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΊΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ...26 2.11. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ...28 2.12. ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ...30 2.13. ΛΑΘΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ...33 2.14. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΕΠΙΔΟΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΚΑΘΩΣ ΛΥΝΟΥΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ...34 2.14.1. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΠΟΥ ΣΧΕΤΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ...35 A. ΔΟΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ... 35 B. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ... 35 2.14.2. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΚΕΝΤΡΩΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΤΉ...37 Α. ΗΛΙΚΙΑ... 37 Β. ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ... 37 Γ. ΤΟ ΦΥΛΟ... 38 Δ. ΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΟΤΗΤΕΣ... 39 2.15. ΜΕΛΕΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ...40 2.16. ΑΤΥΠΗ ΓΝΩΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ...42 Η ΕΡΕΥΝΑ ΜΑΣ...50 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ...50 3.1. ΣΚΟΠΟΣ...50 3.2. ΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ...50 3.3. ΜΕΘΟΔΟΣ...51 3.4. ΟΙ ΦΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ...52 4. Α. ΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ...53 4. 1. ΣΥΝΤΑΞΗ ΑΡΧΙΚΟΥ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ...53 4.2. Η ΠΙΛΟΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ...56 4.3. ΤΟ ΤΕΛΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΗΣ ΠΡΩΤΗΣ ΦΑΣΗΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ...59 4.4. ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ...62 4.5. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Α ΦΑΣΗΣ ΚΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ...67 4.5.1. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 - ΠΙΝΑΚΑΣ 0 &1...67 4.5.2. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2...71 4.5.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3....75 4.5.4 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4....80 4.5.5. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5...85 4.5.6. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6...88 4.6. ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΣΥΝΕΝΤΕΎΞΕΩΝ...92 4.7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...94 4.7.1.ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΤΥΠΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ....94 4.7.2. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΕΠΙΔΟΣΗ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ...97 4.7.3. ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΟΙ ΟΠΟΙΟΙ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ...100 4.7.4. ΤΑ ΣΥΧΝΟΤΕΡΑ ΛΑΘΗ ΠΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΝΤΑΙ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ...101 4.7.5. ΑΛΛΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ....102 5. Β ΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ...103 1

5.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΣΤΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΣΤ ΤΑΞΗΣ... 103 5.2. ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ... 104 5.3.ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ... 105 5.4. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 106 5.5. ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ... 106 5.6. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ... 109 5.7. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ... 110 5.8. ΣΥΜΠΕΡΆΣΜΑΤΑ... 111 6. Γ ΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 114 6.1. ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΦΥΛΛΟΥΕΡΓΑΣΙΑΣ... 114 6.2. ΣΥΛΛΟΓΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ... 118 6.3. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ... 120 6.4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ... 123 6.4.1. ΑΣΚΗΣΗ 0... 123 6.4.2. ΑΣΚΗΣΗ 1... 126 6.4.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2ο... 129 6.4.4. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3ο... 136 6.4.5. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4ο... 141 6.4.6.ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5ο... 147 6.4.7. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6ο... 151 6.4.8. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7ο... 156 6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Γ ΦΑΣΗΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 164 7. Δ ΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 168 7.1. ΣΎΓΚΡΙΣΗ Α ΚΑΙ Γ ΜΈΡΟΥΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 168 7.1.1. ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Α ΜΕΡΟΣ- ΑΣΚΗΣΗ 0 Γ ΜΕΡΟΣ... 168 7.1.2. ΠΙΝΑΚΑΣ 0 Α ΜΕΡΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Γ ΜΕΡΟΣ... 170 7.1.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Α ΜΕΡΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Γ ΜΕΡΟΣ... 172 7.1.4. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Α ΜΕΡΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Γ ΜΕΡΟΣ... 174 7.1.5. ΠΡΌΒΛΗΜΑ 3 & 5 Α ΜΕΡΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Γ ΜΕΡΟΣ... 176 7.1.6. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6 Α ΜΕΡΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 Γ ΜΕΡΟΣ... 180 8. ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 183 8.1. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΕΠΊΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ... 183 8.2. ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ... 185 8.3. ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΕΠΙΔΟΣΗ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ... 186 9. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΣΕ ΠΑΙΔΙΑ ΤΗΣ ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟ... 186 9.1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΤΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ... 187 9.2. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ... 188 9.3. ΠΡΟΤΆΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΩΝ... 190 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 192 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 203 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ... 205 2

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί μια μελέτη της έννοιας της αναλογίας στην Στ τάξη του δημοτικού σχολείου. Κύριος στόχος μας ήταν η διαμόρφωση μιας διδακτικής πρότασης μέσω της επίλυσης προβλήματος. Στο πρώτο μέρος της μελέτης διερευνήσαμε τις άτυπες στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά για να λύσουν προβλήματα αναλογιών, τον τρόπο που σκέφτονται και αν αυτός περιέχει αναλογικό συλλογισμό. Στο δεύτερο μέρος μελετήσαμε το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών και το σχετικό περιεχόμενο των σχολικών εγχειριδίων. Στο τρίτο μέρος μελετήσαμε τις επιδράσεις της διδασκαλίας της έννοιας στον τρόπο σκέψης των παιδιών και στις στρατηγικές επίλυσης που χρησιμοποιούν. Με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης διαμορφώσαμε τη διδακτική μας πρόταση. Η έρευνα πραγματοποιήθηκε σε 124 μαθητές/τριες σχολείων της Δυτικής Θεσσαλονίκης το σχολικό έτος 2007-08. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι τα παιδιά μπορούν να αναπτύξουν αναλογικό συλλογισμό και να λύσουν προβλήματα αναλογιών πολύ πριν διδαχθούν την έννοια της αναλογίας. Η διδασκαλία της έννοιας περιορίζει τη σκέψη των παιδιών τα οποία χρησιμοποιούν τις στρατηγικές που διδάχθηκαν μηχανικά και μόνο σε συγκεκριμένο τύπο προβλημάτων επίλυσης. Λέξεις κλειδιά: αναλογικός συλλογισμός, προβλήματα αναλογιών, στρατηγικές 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα ζήτημα που απασχολεί τη μαθηματική εκπαίδευση είναι το ζήτημα του περιεχομένου των σχολικών μαθηματικών όπως και το είδος των ικανοτήτων και δεξιοτήτων που επιδιώκονται μέσα από τη διδασκαλία των μαθηματικών. Το περιεχόμενο των σχολικών μαθηματικών έγινε πολλές φορές αιτία διαμάχης και πολλές φορές δίχασε τόσο τους μαθηματικούς όσο και τους ερευνητές της μαθηματικής εκπαίδευσης. Το περιεχόμενο λοιπόν των σχολικών μαθηματικών έγινε αντικείμενο μεταρρυθμίσεων οι οποίες κινήθηκαν ανάμεσα στην ανάπτυξη δεξιοτήτων και στην ανάπτυξη της κατανόησης. Σε άλλες περιπτώσεις δόθηκε έμφαση στις δεξιότητες ενώ σε άλλες στην κατανόηση και την μαθητοκεντρική μάθηση (Κολέζα, 2006). 3

Τα παραδοσιακά προγράμματα σπουδών των μαθηματικών βασίζονταν στην αντίληψη ότι τα μαθηματικά είναι ένα σύνολο κανόνων και διαδικασιών, οι οποίοι αν εφαρμοστούν σωστά, οδηγούν σε μια μοναδική, σωστή λύση. Θεωρούσαν ότι η γνώση μπορεί να μεταφερθεί από τον εκπαιδευτικό στα παιδιά μέσω της γραπτής ή λεκτικής επικοινωνίας. Η προϋπάρχουσα γνώση των παιδιών, ταυτιζόταν με την τυπική γνώση που έπρεπε τα παιδιά να αποκτήσουν σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών των προηγούμενων τάξεων. Οι γνώσεις παρουσιάζονταν σειριακά από την απλή στη σύνθετη. Η συμμετοχή των παιδιών περιοριζόταν στο να εστιάζουν την προσοχή τους στον εκπαιδευτικό και στο να εκτελούν εργασίες εξάσκησης. Ο δάσκαλος αποτελούσε εξ ολοκλήρου την πηγή γνώσης των μαθηματικών. Η διδασκαλία ξεκινούσε με μια επανάληψη της ύλης που καλύφθηκε την προηγούμενη μέρα και με τον έλεγχο εργασιών που είχαν ανατεθεί για το σπίτι. Στη συνέχεια ο δάσκαλος εξηγούσε τη νέα έννοια που βρισκόταν στην επόμενη σελίδα του βιβλίου. Στόχος του ήταν να μάθουν τα παιδιά να εκτελούν συγκεκριμένες εργασίες. Τα παιδιά γνώριζαν μαθηματικά, όταν ήταν σε θέση να ακολουθούν κάποιες διαδικασίες, να κάνουν κάποιες πράξεις (πολλές φορές χωρίς να αντιλαμβάνονται αυτό που κάνουν) και να απαντούν σε συγκεκριμένες ερωτήσεις. Η διδασκαλία ήταν επικεντρωμένη στη διαδικαστική γνώση, δηλαδή τη γνώση η οποία, σύμφωνα με τη Δεσλή, (2006), αφορά μια σειρά δεξιοτήτων που σχετίζονται με το χειρισμό κανόνων και αλγόριθμων. Η εννοιολογική γνώση η οποία αφορά τη γνώση των σχέσεων που συνδέουν έννοιες, είχε παραμεληθεί. Η μαθηματική εκπαίδευση δεν άφηνε συνήθως περιθώρια διαπραγματεύσεων, δε δημιουργούσε ευκαιρίες για ανακάλυψη σχέσεων, δεν ενδιαφερόταν για προσωπικές εμπειρίες. Στερούσε, έτσι, από τα παιδιά τη δυνατότητα να δημιουργήσουν, να δοκιμάσουν, να απορρίψουν ή να επαληθεύσουν υποθέσεις, να αισθανθούν ευχαρίστηση από την ενασχόλησή τους με τα μαθηματικά και να μοιραστούν εμπειρίες τους με άλλα παιδιά ή με τον εκπαιδευτικό. (Τρέσσου, 1997) Η διδασκαλία των μαθηματικών είχε συνδεθεί με την εκμάθηση δεξιοτήτων, κανόνων και με την εφαρμογή τους σε συγκεκριμένο τύπο προβλημάτων μέσα από τη συνεχή εξάσκηση και επανάληψη. Ήταν επικεντρωμένη στην «εργαλειακή κατανόηση», δηλαδή στην αυτοματοποιημένη και μηχανιστική χρήση δεδομένων σε βάρος της «συσχετιστικής κατανόησης», η οποία αφορά την κατανόηση αρχών και περιεχομένου. Η συσχετιστική κατανόηση επιτρέπει στα παιδιά να αντιληφθούν το είδος και το σκοπό των 4

ενεργειών τους και είναι περισσότερο αποτελεσματική και προσαρμόσιμη σε νέες καταστάσεις. (Skemp, 1976). Παρέχει μια σειρά από σημαντικά οφέλη όπως: Παρέχει εσωτερική επιβράβευση. Ενισχύει τη μνήμη. Βοηθά στην εκμάθηση νέων εννοιών. Βελτιώνει τις δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων. Βελτιώνει στάσεις και πεποιθήσεις. Τα παιδιά δεν αναγνώριζαν τη χρησιμότητα των μαθηματικών γνώσεων που διδάσκονταν στο σχολείο και αποτύγχαναν να τις μεταφέρουν σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής. Οι σύγχρονες αντιλήψεις υποστηρίζουν ότι η μαθηματική γνώση συνδέεται με την κοινωνία, τον πολιτισμό, τις εφαρμογές στην καθημερινή ζωή και ακολουθεί μια σταδιακή ανάπτυξη οικοδομώντας ένα τρόπο σκέψης που βοηθά στην ερμηνεία και κατανόηση του κόσμου. Η γνώση δεν προσλαμβάνεται παθητικά, αλλά κατασκευάζεται δυναμικά από το ίδιο το άτομο. Τα σύγχρονα αναλυτικά προγράμματα στοχεύουν: Στην κατανόηση και όχι στην απομνημόνευση. Στην ανάπτυξη τόσο της εννοιολογικής όσο και της διαδικαστικής γνώσης. Στη δημιουργία προϋποθέσεων για την ενεργό συμμετοχή των παιδιών. Στη δημιουργία ευκαιριών ώστε τα παιδιά να αναπτύξουν δικές τους στρατηγικές επίλυσης προβλήματος. Στην ανάπτυξη ικανοτήτων επίλυσης προβλήματος (ικανότητα αξιολόγησης και διαχείρισης πληροφοριών, κριτική σκέψη, μαθηματικό συλλογισμό, στρατηγικές επίλυσης προβλήματος). Ένας από τους βασικούς στόχους της σύγχρονης μαθηματικής εκπαίδευσης είναι η διερεύνηση του τρόπου με τον οποίο οι μαθητές/τριες διδάσκονται και μαθαίνουν μαθηματικά. Πολλοί ερευνητές, μεταξύ των οποίων και εκείνοι της ρεαλιστικής εκπαίδευσης ( Van den Heuvel-Panhuizen, 2001), υποστηρίζουν ότι οι στόχοι της μαθηματικής εκπαίδευσης πρέπει να αφορούν κυρίως συγκεκριμένα ερωτήματα όπως: Πώς 5

μαθαίνουν τα παιδιά; Πώς πρέπει να διδάξουμε ή πώς πρέπει να οργανώσουμε ένα εκπαιδευτικό περιβάλλον, ώστε να βελτιστοποιήσουμε τη μάθηση των παιδιών; Οι σύγχρονες αντιλήψεις για τη διδασκαλία των μαθηματικών βασίζονται στη θεωρία της «οικοδόμησης της γνώσης», η οποία στηρίζεται στις παρακάτω δύο γενικές αρχές (νοn Glaserfeld, 1991): Η γνώση δεν προσλαμβάνεται παθητικά, αλλά οικοδομείται δυναμικά από το υποκείμενο που μαθαίνει. Η μάθηση έχει προσαρμοστικό χαρακτήρα, δηλαδή το υποκείμενο δεν ανακαλύπτει µια προϋπάρχουσα πραγματικότητα, αλλά οργανώνει τον εμπειρικό του κόσμο. Σε μια τέτοιου είδους διδασκαλία τα παιδιά οικοδομούν τη δική τους γνώση και κατανόηση βασιζόμενα σε δικές τους εμπειρίες, ιδέες και γνώσεις μέσα από την επίλυση προβλήματος. Αναλαμβάνουν πρωτοβουλίες, ερευνούν, ανταλλάσσουν απόψεις με τους συμμαθητές τους, συζητούν τρόπους αντιμετώπισης προβλημάτων, δοκιμάζουν δικές τους ιδέες και αιτιολογούν τις απαντήσεις τους. Οι άτυπες γνώσεις των παιδιών αποτελούν τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να οικοδομηθούν οι νέες έννοιες και διαδικασίες. Οι Nunes, Carraher, και Schliemann, (1993), τονίζοντας πόσο σημαντική είναι η άτυπη γνώση των παιδιών, σε έρευνα τους έδειξαν ότι σημαντικές μαθηματικές έννοιες είναι δυνατόν να εμφανίζονται και να καλλιεργούνται χωρίς την καθοδήγηση που προσφέρεται από την τυπική εκπαίδευση, (Δεσλή, 2006). Διάφορες διαπολιτισμικές μελέτες έχουν δείξει ότι άτομα που δεν έχουν πάει στο σχολείο λύνουν μαθηματικά προβλήματα με διαφορετικούς τρόπους από αυτούς που διδάσκονται στο σχολείο(reed &Lave, 1981). Έχει επίσης παρατηρηθεί ότι το ίδιο άτομο λύνει διαφορετικά ένα πρόβλημα στο σχολικό περιβάλλον από ότι στην καθημερινή ζωή. Το πολιτισμικό περιβάλλον σε όλες ανεξαιρέτως τις κοινωνίες προσφέρει στα παιδιά πλήθος μαθηματικών δραστηριοτήτων οι οποίες λειτουργούν ως δομικά στοιχεία για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης και γνώσης τους.. Είναι σημαντικό να διερευνούμε τις άτυπες γνώσεις των παιδιών πριν τη διδασκαλία, ώστε να τα βοηθήσουμε στη συνέχεια μέσα 6

από κατάλληλες δραστηριότητες-προβλήματα να οικοδομήσουν τη νέα γνώση, (Δεσλή, 2006). Ο Vygotsky, (1988), τονίζει ότι ο σχηματισμός εννοιών πραγματοποιείται κάθε φορά κατά τη διαδικασία της επίλυσης ενός προβλήματος που αντιμετωπίζει το παιδί. Μόνο ως αποτέλεσμα της επίλυσης αυτού του προβλήματος προκύπτει η έννοια. Ο Brousseau, (1997) υποστηρίζει ότι: Οι μαθηματικές έννοιες αναδεικνύονται μέσα από κατάλληλες καταστάσεις προβλήματα. Για την προσέγγιση μιας έννοιας είναι απαραίτητο να μελετηθεί το εννοιολογικό της πεδίο, δηλαδή, το σύνολο των καταστάσεων και προβλημάτων μέσα στο οποίο η έννοια λειτουργεί και ολοκληρώνει το νόημά της. Η επίλυση προβλημάτων δεν αποτελεί μόνον έναν από τους στόχους των μαθηματικών, αλλά και ένα σημαντικό μέσο μάθησης μαθηματικών εννοιών. Πολλές έννοιες και διαδικασίες διδάσκονται καλύτερα μέσω της επίλυσης προβλημάτων. Ο Vergnaud, (1982), τονίζει ότι το πρόβλημα κατέχει αποφασιστικό ρόλο στην οικοδόμηση των γνώσεων και διαπιστώνει ότι η λύση του προβλήματος είναι η πηγή και το κριτήριο μάθησης. Η Laborde, (1987), εξετάζοντας το ρόλο του προβλήματος στην οικοδόμηση των μαθηματικών εννοιών αναφέρει ότι η γέννηση των μαθηματικών εννοιών πηγάζει πολύ συχνά από ένα σύνολο προβλημάτων για τα οποία αποτελεί ένα αποτελεσματικό όργανο επίλυσης. Οι Hiebert, et al. (1997, 25), σημειώνουν: «Πεποίθηση μας είναι ότι, αν θέλουμε να καταλαβαίνουν οι μαθητές και οι μαθήτριες τα μαθηματικά, θα ήταν χρησιμότερο να δούμε την κατανόηση μόνο ως απόρροια της διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων παρά ως άμεσο αντικείμενο διδασκαλίας». Το πρόβλημα δεν αποτελεί κριτήριο επιτυχίας της μάθησης, ούτε κίνητρο για τη δραστηριοποίηση του μαθητή, αλλά αποτελεί το µέσο της μάθησης, το μηχανισμό μέσα από τον οποίο θα αναδειχθεί µια μαθηματική έννοια ή διαδικασία και θα αποκτήσει συγκεκριμένο περιεχόμενο για το μαθητή. Η γνώση των μαθηματικών έρχεται ως αποτέλεσμα της επίλυσης προβλημάτων από τα παιδιά. Οι μαθηματικές ιδέες απορρέουν από την εμπειρία της επίλυσης προβλημάτων και όχι από τα στοιχεία που πρέπει να 7

διδαχθούν πριν από την επίλυση. Έτσι τα παιδιά μαθαίνουν μαθηματικά κάνοντας μαθηματικά. Πολλές φορές η διδασκαλία μιας έννοιας γίνεται με τη χρήση συγκεκριμένου είδους προβλημάτων. Έτσι παρατηρείται το φαινόμενο τα παιδιά να μην μπορούν να εφαρμόσουν τα μαθηματικά που μαθαίνουν στο σχολείο σε ένα πρόβλημα διαφορετικού περιεχομένου ή σε ένα διαφορετικό περιβάλλον. Όσο περισσότερο απέχει το περιβάλλον μάθησης από το περιβάλλον στόχο, τόσο λιγότερες πιθανότητες υπάρχουν να πραγματοποιηθεί αποτελεσματικά η μετάβαση της γνώσης από το ένα περιβάλλον στο άλλο. Παιδιά που φαίνεται να είναι σε θέση να εκτελέσουν υπολογισμούς σε ένα πρόβλημα που αναφέρεται σε συγκεκριμένη κατάσταση αποτυγχάνουν όταν το πρόβλημα αυτό μεταφερθεί σε ένα λιγότερο οικείο περιβάλλον π.χ. μπορούν εφαρμόζοντας μηχανιστικά μια πολλαπλασιαστική διαδικασία να υπολογίσουν το 40% του 80, ωστόσο αποτυγχάνουν να υπολογίσουν πόσο θα ωφεληθούν αγοράζοντας ένα προϊόν στο οποίο γίνεται έκπτωση 40% (Δεσλή, 2006). Για να κατανοήσουν οι μαθητές και οι μαθήτριες μια μαθηματική έννοια θα πρέπει να μελετήσουν, κατά το δυνατόν, το σύνολο των καταστάσεων και προβλημάτων στα οποία εφαρμόζεται η έννοια. Η αποσπασματική και μονόπλευρη κατανόηση μιας μαθηματικής έννοιας εμπεριέχει τον κίνδυνο να δημιουργήσει στους μαθητές/τριες «εμπόδια», δηλαδή, αντιλήψεις και ερμηνείες που περιορίζουν την πλήρη κατανόηση και χρήση της. Οι μαθηματικές δραστηριότητες που πραγματοποιούνται στο σχολείο είναι αποτελεσματικές όταν έχουν νόημα για τα παιδιά. Τα παιδιά είναι αναγκαίο να καταλαβαίνουν για ποιο λόγο τις κάνουν, ποιος είναι ο σκοπός και που θα τους είναι χρήσιμες. Τα παιδιά γοητεύονται να μαθαίνουν μαθηματικά, όταν μπορούν να συνδέουν τις μαθηματικές γνώσεις, διαδικασίες, ικανότητες και έννοιες με ρεαλιστικές, πραγματικές καταστάσεις στις οποίες μπορούν να «δουν» και να αισθανθούν, πώς και γιατί εκτελούνται συγκεκριμένοι μαθηματικοί υπολογισμοί. (Δεσλή, 2006, στο Nunes, Bryant,2007). Επιβάλεται, λοιπόν, το περιεχόμενο και η διδασκαλία των μαθηματικών να έχουν ως στόχο την ενίσχυση της ικανότητας των παιδιών να χρησιμοποιούν δημιουργικά τις μαθηματικές τους γνώσεις τόσο μέσα στο πλαίσιο του σχολείου, όσο και έξω από αυτό σε διαφορετικά πλαίσια. Αυτό θα επιτευχθεί όταν το παιδί καταλάβει τι δηλώνουν συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες που διδάσκεται, ποιες είναι οι σταθερές που τις διακρίνουν, πώς συνδέονται μεταξύ τους, πότε χρησιμοποιούνται και ποιες είναι οι προεκτάσεις τους. (Nunes, Bryant, 2007). 8

Στην παρούσα μελέτη θα ασχοληθούμε με την έννοια της αναλογίας στην Στ τάξη του Δημοτικού σχολείου, όπως αυτή διαμορφώνεται μέσα από τη διδασκαλία, από το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών και το περιεχόμενο των σχολικών εγχειριδίων. Στόχος μας είναι να διατυπώσουμε μια διδακτική πρόταση μέσα από την επίλυση προβλήματος. Για να φτάσουμε στη διδακτική πρόταση, αρχικά, θα διερευνήσουμε τις άτυπες γνώσεις των παιδιών για την έννοια. Θα διερευνήσουμε τις δυνατότητες των παιδιών να λύνουν προβλήματα αναλογιών και να αναπτύσσουν αναλογικό συλλογισμό βασιζόμενα στις άτυπες γνώσεις τους. Τα ευρήματα θα μας βοηθήσουν να αποφασίσουμε, αν μπορούμε να αναπτύξουμε μια διδακτική πρόταση με την επίλυση προβλήματος βασιζόμενοι στις γνώσεις που έχουν τα παιδιά και στις στρατηγικές που χρησιμοποιούν. Θα μελετήσουμε τον τρόπο που τα παιδιά σκέφτονται, αναπτύσσουν συλλογισμό, τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν σε διαφορετικές καταστάσεις προβλήματος, καθώς και τους παράγοντες που επηρεάζουν την επιλογή στρατηγικής και την επίδοση τους. Στη συνέχεια, θα μελετήσουμε το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών, τους στόχους που θέτει, τη γνώση που προωθεί καθώς και το περιεχόμενο των νέων σχολικών εγχειριδίων των μαθηματικών. Θα διερευνήσουμε με ποιο τρόπο παρουσιάζεται σε αυτά η έννοια της αναλογίας, το είδος της γνώσης (διαδικαστική, εννοιολογική) που προωθείται, τα είδη των προβλημάτων που χρησιμοποιούνται για την παρουσίαση της έννοιας, τις στρατηγικές που προτείνονται για την επίλυση των προβλημάτων αναλογιών. Κατόπιν θα μελετήσουμε πως επιδρά η διδασκαλία της έννοιας στις προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών. Πώς διαμορφώνονται οι στρατηγικές επίλυσης στα προβλήματα αναλογιών. Κατά πόσο τα παιδιά επηρεάζονται από τη διδασκαλία, αν έχουν κατανοήσει την έννοια, αν μέσα από τις λύσεις που δίνουν αναπτύσσουν αναλογικό συλλογισμό, αν μπορούν να μεταφέρουν τη γνώση τους για την έννοια σε διαφορετικές καταστάσεις προβλήματος. Θα διερευνήσουμε επίσης τα λάθη που κάνουν όταν λύνουν προβλήματα αναλογιών και τους παράγοντες που επηρεάζουν την επίδοσή τους. αφορούν: Με βάση τα αποτελέσματα της έρευνας θα διατυπώσουμε τις προτάσεις μας που θα Το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών. Τη διδακτική προσέγγιση της έννοιας. 9

Το περιεχόμενο των σχολικών εγχειριδίων. 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 2.1.Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Ο ρόλος των αναλογιών είναι πολύ ισχυρός στην επικοινωνία, στην αναζήτηση και στη μεταφορά ιδεών. Το δεύτερο αιώνα π.χ. ο στωικός φιλόσοφος Κρίσιππος χρησιμοποίησε τα κύματα του νερού για να αναφερθεί στη φύση του ήχου. Στην αρχαία Ελλάδα ο Εύδοξος ο Κνίδιος (περίπου 400-350 π.χ.), πρότεινε μια θεωρία των αναλογιών για να εξηγήσει πώς τα ασύμμετρα μεγέθη μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη γεωμετρία. Το 1630, ο Γαλιλαίος χρησιμοποίησε τη γνώση για την τροχιά του φεγγαριού ως βάση για να διατυπώσει τη θεωρία ότι η γη κινείται. Χρησιμοποιούμε τις αναλογίες σε πολλούς τομείς της καθημερινής μας ζωής, στις επιχειρήσεις και την πολιτική, στην επιστημονική σκέψη, στο εργαστήριο και στην επίλυση προβλημάτων της καθημερινής ζωής. (Holyoak & Thagard, 1995). Στα μαθηματικά σύμφωνα με το Χαλάτση, η αναλογία είναι μια δήλωση της ισότητας δύο λόγων, π.χ. α/β=γ/δ. Σε μια τέτοιου είδους αναλογία αναφερόμαστε λέγοντας πως οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα α και β είναι ανάλογοι των αριθμών που αντιστοιχούν στα γ και δ (έχουν τον ίδιο λόγο). Οι αριθμοί α, β, γ και δ, ονομάζονται όροι της αναλογίας και αντίστοιχα πρώτος, δεύτερος, τρίτος και τέταρτος όρος. Οι όροι α και δ ονομάζονται άκροι όροι της αναλογίας και οι όροι β και γ μέσοι όροι της αναλογίας. Αν οι μέσοι όροι ανταλλάξουν τη θέση τους η αναλογία διατηρείται, το ίδιο συμβαίνει αν οι άκροι όροι ανταλλάξουν τη θέση τους. (Χαλάτσης, 1999). Παρά το ότι οι περισσότεροι άνθρωποι δε γνωρίζουν τον μαθηματικό ορισμό των αναλογιών, τις χρησιμοποιούν σε διάφορες καταστάσεις της καθημερινής ζωής. Χρησιμοποιούν λόγους και αναλογίες κάθε φορά που υπολογίζουν την ταχύτητα, την πυκνότητα, την κατανάλωση καυσίμων ανά χιλιόμετρο, κάθε φορά που κάνουν σμίκρυνση ή μεγέθυνση, ή όταν έχουν να υπολογίσουν τα υλικά μιας συνταγής. Παρά την ευρεία εφαρμογή των αναλογιών στην καθημερινή ζωή, στα μαθηματικά, τις επιστήμες και την εκπαίδευση, η έννοια της αναλογίας είναι μια δύσκολη έννοια. Εκτεταμένες έρευνες που πραγματοποιήθηκαν από το 1985 (Hart, 1994; Tourniaire & Pulos, 1985), αποκάλυψαν ότι η επίλυση προβλημάτων αναλογιών είναι ένα από τα πολύ δύσκολα καθήκοντα για τους 10

μαθητές/τριες. Επίσης, πολλοί ενήλικες αντιμετωπίζουν δυσκολίες όταν ασχολούνται με προβλήματα λόγων και αναλογιών. Μια δυσκολία η οποία προκύπτει για τους λόγους και τις αναλογίες είναι ότι ο λόγος δύο μεγεθών αποτελεί ουσιαστικά ένα δείγμα σύγκρισης των μέτρων τους και επομένως διαφοροποιείται εννοιολογικά από την έννοια του κλάσματος και την έννοια του ρητού αριθμού. Έτσι, λοιπόν, ενώ η μαθηματική έκφραση του λόγου είναι παρόμοια με αυτή του κλάσματος, διαφέρει εννοιολογικά από αυτό. Η διαφοροποίηση αυτή γίνεται φανερή και από τις αριθμητικές πράξεις και τις σχέσεις που είναι δυνατό να οριστούν μεταξύ των λόγων δυο μεγεθών. Παράδειγμα αποτελεί η πράξη της πρόσθεσης η οποία δεν ισχύει μεταξύ των λόγων δυο μεγεθών όπως έχει ορισθεί για τα κλάσματα και τους ρητούς. Αν η σχέση αγοριών προς τα κορίτσια σε μια σχολική τάξη είναι 8/12 και σε μια άλλη σχολική τάξη είναι 6/12, τότε δεν μπορούμε να πούμε ότι στις δυο τάξεις ο λόγος αγοριών προς τα κορίτσια είναι 8/12+6/12=14/12. Η σχέση αγοριών προς τα κορίτσια στις δυο τάξεις θα είναι 14/24, γιατί οι τάξεις θα έχουν μαζί 14 αγόρια και 24 κορίτσια. Αντίστοιχα η ισότητα δυο λόγων α/β=γ/δ, γνωστή ως αναλογία, δηλώνει την ισοδυναμία δυο σχέσεων μεταξύ μέτρων μεγεθών και όχι το ταυτόσημο δύο συμβολικών εκφράσεων (όπως στην περίπτωση των κλασμάτων). Σύμφωνα με την Gentner (1989), η αναλογία είναι αντιστοίχηση γνώσης από ένα πεδίο που ονομάζεται βάση, σε ένα άλλο πεδίο το στόχο. Αυτό σημαίνει ότι ένα σύστημα σχέσεων που ισχύουν μεταξύ των στοιχείων της βάσης ισχύουν αντίστοιχα και μεταξύ των στοιχείων του στόχου. Η αναλογία είναι ένας τρόπος να εστιάσουμε στις συσχετιστικές ομοιότητες, ανεξάρτητα από τα αντικείμενα στα οποία είναι ενσωματωμένες αυτές οι σχέσεις. Για να είναι επιτυχής μια αναλογία θα πρέπει να υπάρχει κάποιου είδους ομοιότητα ανάμεσα στη βάση και το στόχο. Τα τελευταία χρόνια η επιστημονική κοινότητα δείχνει μια ιδιαίτερη προσοχή στην ομοιότητα και την αναλογία. Αυτό συμβαίνει εξαιτίας της συνειδητοποίησης ότι η ανθρώπινη σκέψη είναι συνδεδεμένη με συγκεκριμένη γνώση και επηρεάζεται από το περιβάλλον στο οποίο λαμβάνει χώρα. Η μάθηση δεν πραγματοποιείται με την συνεχή προσθήκη νέας γνώσης, ούτε και με την εφαρμογή των ίδιων λογικών κανόνων για την εξαγωγή συμπερασμάτων. Η μάθηση σχετίζεται με την ικανότητα που έχει το άτομο να αναγνωρίζει την άμεσα σχετιζόμενη γνώση, η οποία υπάρχει ήδη στη μνήμη του, έτσι ώστε 11

αυτή η γνώση να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως πεδίο εκκίνησης για να μάθει κάτι νέο. (Vosniadou, & Ortony, 1989). Η αναλογία βρίσκεται στον πυρήνα της ανθρώπινης γνώσης και είναι στενά συνδεδεμένη με τη γενική ικανότητα αναπαράστασης. Ως γενική έννοια η αναλογία είναι η ικανότητα συλλογισμού μέσα σε συσχετιστικά πλαίσια και η δημιουργία συσχετισμών και σχέσεων. Ένας τέτοιου είδους συλλογισμός ονομάζεται αναλογικός συλλογισμός (Gentner & Rattermann, 1991; Hofstadter, 2001). Παρά τις δυσκολίες που παρουσιάζει ως έννοια, η αναλογία είναι μια από τις πιο ενδιαφέρουσες πλευρές της μαθηματικής σκέψης των παιδιών και δημιουργεί μεγάλες προκλήσεις. Ο Goswami, (2001), υποστηρίζει ότι ακόμα και παιδιά ενός και δύο ετών επιδεικνύουν ικανότητα αναλογικού συλλογισμού όταν χρησιμοποιούν οικείες καταστάσεις που έχουν κατανοήσει για να δομήσουν νέα γνώση. Σε έρευνα των Hatano και Inagaki s (1997), οι πεντάχρονοι Elliot και James εφάρμοσαν τις γνώσεις τους για το ανθρώπινο σώμα για να ερμηνεύσουν πώς λειτουργούν τα δένδρα. Για να το πετύχουν αυτό συσχέτισαν την κυκλοφορία του νερού μέσα στα δένδρα με την κυκλοφορία του αίματος. Τα τελευταία χρόνια οι ερευνητές ξεπερνώντας τις θέσεις του Piaget άρχισαν να ερευνούν τον αναλογικό συλλογισμό και στις μικρότερες ηλικίες (Hatano και Inagaki s, 1997, στο English, 2004). 2.2. ΤΑ ΕΙΔΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ O Kahney, (1997), διακρίνει τρία είδη αναλογιών: τις ποσοστιαίες αναλογίες, τις γεωμετρικές αναλογίες και τις αναλογίες ανθρώπων - μερών. Μια ποσοστιαία αναλογία είναι μια αναλογία της μορφής Α : Β :: Γ : Δ όπου το Α είναι για το Β ότι το Γ είναι για το Δ. Οι δυο πρώτοι όροι της αναλογίας αποτελούν το χώρο της αναλογίας, ενώ οι όροι Γ:Δ μαζί αποτελούν το εύρος της αναλογίας. Τέλος, οι τρεις πρώτοι όροι μαζί (Α:Β::Γ) ονομάζονται μίσχος της αναλογίας, ενώ ο τελευταίος όρος (Δ ) ονομάζεται όρος συμπλήρωσης ή λύσης. Ένας τρόπος για να βρούμε τον (Δ) όρο της αναλογίας είναι να ανακαλύψουμε τη σχέση δεύτερου επιπέδου, η οποία λειτουργεί ως σύνδεσμος μεταξύ των σχέσεων πρώτου επιπέδου που εμφανίζονται μεταξύ του χώρου και του εύρους της αναλογίας. Η διεργασία που μας οδηγεί στην ανακάλυψη μιας τέτοιας σχέσης είναι ο αναλογικός συλλογισμός. 12

Οι γεωμετρικές αναλογίες είναι ένας τύπος ποσοστιαίων αναλογιών και εμφανίζονται συχνά στα τεστ νοημοσύνης. Η δομή είναι ίδια με αυτή των λεκτικών αναλογιών, αλλά αυτές έχουν για στοιχεία τους γεωμετρικά σχήματα. Οι αναλογίες αυτές έχουν ένα διαπολιτισμικό χαρακτήρα γιατί μπορούν να επιλυθούν ανεξάρτητα από τη γνώση που έχει αποκτηθεί. Οι αναλογίες ανθρώπων και μερών αποτελούνται από γραμμικά σχέδια ανθρώπων που παρουσιάζουν διαφορά μεγέθους, μορφής, φύλου, χρώματος ή σκίασης. 2.3. ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ Σύμφωνα με τη Λογική, συλλογισμός είναι μια διαδικασία της σκέψης με την οποία καταστρώνεται μια σειρά αλληλένδετων προτάσεων-κρίσεων για να αποδειχθεί η αλήθεια μιας απόφανσης. Υπάρχουν τρία κύρια είδη συλλογισμών: ο παραγωγικός, ο επαγωγικός και ο αναλογικός συλλογισμός. Ο παραγωγικός συλλογισμός έχει ως αφετηρία του το γενικό και αφηρημένο (έναν κανόνα, μια υπόθεση που θεωρείται γενικά αληθής) και ως κατάληξη το ειδικό και το συγκεκριμένο (μια ειδική περίπτωση). Ο επαγωγικός συλλογισμός έχει ως αφετηρία του το ειδικό και το συγκεκριμένο και ως κατάληξη το γενικό και αφηρημένο. Ο αναλογικός συλλογισμός έχει ως αφετηρία το μερικό και ως κατάληξη πάλι το μερικό. Ο αναλογικός συλλογισμός στηρίζεται στην ομοιότητα των αντικειμένων. (Παρασκευόπουλος, 1985). Κατά τη διαδικασία του αναλογικού συλλογισμού, οι άνθρωποι χτίζουν εννοιολογικές γέφυρες μεταξύ αντικειμένων και ιδεών που αλλιώς θα παρέμεναν στην εμπειρία ή στη σκέψη ως ξεχωριστές, διαχωρισμένες οντότητες. Σύμφωνα με τον Polya «η αναλογία διαποτίζει όλη μας τη σκέψη, την καθημερινή μας ομιλία και τα τετριμμένα συμπεράσματα, όπως και τους καλλιτεχνικούς τρόπους έκφρασης και τα υψηλότερα επιστημονικά επιτεύγματα». (Polya, 1957, 37). Το παιδί που περιγράφει το δωμάτιό του στους φίλους του ως «αχούρι», «σκουπιδότοπο», ή ο διάσημος επιστήμονας που οραματίστηκε τη μοριακή δομή της βενζίνης σαν ένα φίδι που αρπάζει την ουρά του, διατυπώνουν και οι δύο αναλογικό συλλογισμό. Μέσω αυτής της αναλογικής διαδικασίας προχωρούμε σε συνειρμούς, κατασκευάζουμε θεωρίες, βγάζουμε συμπεράσματα, οδηγούμαστε στην κατανόηση και εμπλουτίζουμε αφηρημένες έννοιες με συγκεκριμένες. (Vosniadou, 1989). 13

Ο αναλογικός συλλογισμός έχει ερευνηθεί ιδιαίτερα από τους γνωστικούς ψυχολόγους ως ένα πρωτότυπο παράδειγμα του επαγωγικού συλλογισμού. 2.4. ΤΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ΜΕΡΗ ΤΟΥ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ Οι θεωρητικοί της ψυχομετρίας (Spearman, Burt, Raven, Miller), της ψυχολογίας (Tyler, Glaser, Sternberg, Whiteley) και της τεχνητής νοημοσύνης (Carbonell, Schank) έχουν υποστηρίξει ότι ο αναλογικός συλλογισμός είναι μια κεντρική διαδικασία της σκέψης. (Kahney, 1997). Οι περισσότερες από τις θεωρίες του αναλογικού συλλογισμού κάνουν αναφορά σε επίπεδα συλλογισμού. Τέτοιες θεωρίες είναι των Gentner & Toupin (1986), Inhelder & Piaget (1958), Sternberg (1977). Σύμφωνα με τις Gentner & Toupin, (1986), οι οποίες εξέτασαν το βαθμό εννοιολογικής και αντιληπτικής κατανόησης της ομοιότητας που υπάρχει μεταξύ των όρων των αναλογιών, υπάρχουν δυο είδη σύγκρισης. Συγκρίσεις υψηλής ομοιότητας προκύπτουν όταν τα άτομα διαμορφώνουν συσχετισμούς μεταξύ αντικειμένων, ανθρώπων ή γεγονότων που φαίνονται σχετικά όμοια. Αντίθετα, οι συγκρίσεις χαμηλής ομοιότητας απαιτούν από τα άτομα να οδηγούνται σε σχέσεις μεταξύ αντικειμένων, ανθρώπων ή γεγονότων, που έχουν μικρή ομοιότητα. Για παράδειγμα, όταν ένα μικρό παιδί λέει ότι το λεμόνι είναι όπως ο ήλιος, εννοεί ότι οι επιφάνειες τους έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό, δηλαδή το λεμόνι είναι στρογγυλό και κίτρινο όπως ο ήλιος που έχει δει στις φωτογραφίες. Το παραπάνω αποτελεί ομοιότητα υψηλής αντίληψης και διευκολύνει τον αναλογικό συλλογισμό. Αν το ίδιο παιδί ισχυριζόταν ότι το δέντρο είναι όπως οι άνθρωποι, γιατί έχουν τα κλαδιά που μοιάζουν με χέρια και χρειάζονται και αυτά νερό και τροφή, θα κατασκεύαζε σχέσεις που είναι λιγότερο δομικά προφανείς. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί χαμηλής ομοιότητας συλλογισμός και αντιπροσωπεύει μια πιο σύνθετη μορφή αναλογικού συλλογισμού. Οι Inhelder & Piaget (1958), υποστηρίζουν ότι κατά τον αναλογικό συλλογισμό αναπτύσσονται δύο είδη σχέσεων. Οι σχέσεις αυτές μπορεί να είναι σχέσεις κατώτερης τάξης (πρώτης τάξης), οι οποίες είναι συσχετισμοί που διατηρούνται μέσα στην ίδια εννοιολογική κατηγορία, ή σχέσεις ανώτερης τάξης (δεύτερης τάξης), οι οποίες απαιτούν από το άτομο να συσχετίσει εννοιολογικά δυο διαφορετικές κατηγορίες. Για παράδειγμα όταν δίδεται στο παιδί να συμπληρώσει μια λεκτική αναλογία όπως φωλιά : πουλί : : σπίτι : 14

; το παιδί αρχικά πρέπει να αντιληφθεί τη σχέση μεταξύ φωλιάς και πουλιού, η οποία είναι ότι τα πουλιά ζουν σε φωλιές, μια τέτοια σχέση οι Inhelder & Piaget την ονομάζουν κατώτερης τάξης σχέση. Το παιδί θα πρέπει στη συνέχεια να σχηματίσει τη σχέση μεταξύ φωλιάς και σπιτιού, η οποία είναι μεγαλύτερων απαιτήσεων, γιατί οι δυο αυτοί όροι αντιπροσωπεύουν δυο ξεχωριστές έννοιες. Μια τέτοιου είδους σχέση, οι Inhelder & Piaget την ονομάζουν ανώτερης τάξης σχέση. Τελικά το παιδί πρέπει να αναγνωρίσει ότι η φωλιά και το σπίτι είναι και τα δυο κατοικίες παρόλο που είναι για διαφορετικά πλάσματα. O Sternberg (1977), αφού επεξεργάστηκε το μοντέλο διεργασιών του Spearman, στο οποίο είχαν διαμορφωθεί τρεις σημαντικές διεργασίες: η κατανόηση της εμπειρίας (κωδικοποίηση), η αναγωγή των συσχετίσεων (η προσπάθεια εύρεσης σχέσης μεταξύ των δυο πρώτων όρων μιας αναλογίας) και η συναγωγή των συσχετίσεων (η διεργασία κατά την οποία η σχέση μεταξύ των όρων Α και Β εφαρμόζεται αυτόματα στον όρο Γ), κατέληξε στη θέση ότι τα συστατικά στοιχεία του αναλογικού συλλογισμού είναι έξι: η κωδικοποίηση, η επαγωγή, η χαρτογράφηση, η εφαρμογή, η αιτιολόγηση και η απόκριση. Στις αναλογίες του τύπου Α : Β :: Γ : Δ, όταν παρουσιάζεται ο πρώτος όρος πρέπει κανείς να κωδικοποιήσει το ερέθισμα, να ανακαλέσει σχετικές με αυτό πληροφορίες από τη μακρόχρονη μνήμη και να αποθηκεύσει κάποιες από αυτές στη μνήμη εργασίας. Για παράδειγμα στην αναλογία Δικηγόρος : Πελάτης :: Γιατρός : Δ, ο λύτης όταν δει την λέξη «Δικηγόρος», την κωδικοποιεί και η πληροφορία ότι ο «Δικηγόρος είναι ένας επαγγελματίας που παρέχει νομικές συμβουλές», ανακαλείται από τη μακρόχρονη μνήμη και αποθηκεύεται στη μνήμη εργασίας. Στη συνέχεια, κατά την επαγωγή, αφού γίνει κωδικοποίηση και του όρου Β της αναλογίας, το άτομο βρίσκει και αποθηκεύει στη μνήμη εργασίας τη σχέση μεταξύ των όρων Α και Β της αναλογίας, π.χ. αφού κωδικοποιηθεί η λέξη πελάτης «ο Πελάτης είναι ένα πρόσωπο που χρησιμοποιεί τις υπηρεσίες του επαγγελματία», με την επαγωγή αποθηκεύεται στη μνήμη εργασίας η σχέση μεταξύ των όρων Δικηγόρος και Πελάτης της αναλογίας που μπορεί να έχει τη μορφή «ο Δικηγόρος παρέχει νομικές συμβουλές στον πελάτη». Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο τρίτος όρος (Γ), της αναλογίας και, αφού γίνει πάλι κωδικοποίηση του όρου αυτού, γίνεται η χαρτογράφηση, η οποία συνδέει το χώρο της αναλογίας με το εύρος της. Κατά τη χαρτογράφηση βρίσκουμε συνδέσεις μεταξύ δυο διαφορετικών περιοχών που ορίζονται από τους όρους Α και Γ. Στο προηγούμενο παράδειγμα, αφού γίνει κωδικοποίηση της λέξης Γιατρός, δηλαδή «Γιατρός είναι ο επαγγελματίας που παρέχει ιατρικές συμβουλές», γίνεται η διεργασία της χαρτογράφησης. Ακολουθεί η σύνδεση του όρου «Γιατρός» με τον όρο «Δικηγόρος της αναλογίας μέσω της 15

σχέσης «Οι Δικηγόροι και οι Γιατροί παρέχουν επαγγελματικές συμβουλές». Κατά τη διεργασία της εφαρμογής, αυτό που ουσιαστικά συμβαίνει είναι η εφαρμογή στον όρο Γ μιας ισόμορφης σχέσης προς αυτήν που έχει ήδη συναχθεί μεταξύ των δυο πρώτων όρων της αναλογίας έτσι ώστε να φτάσουμε στη λύση. Για παράδειγμα η σχέση μεταξύ «Δικηγόρου» και «Πελάτη» ήταν «παρέχει νομικές συμβουλές». Μια ισόμορφη σχέση που θα μπορούσε να εφαρμοστεί στον όρο «Γιατρός» θα ήταν «παρέχει ιατρικές συμβουλές στον ασθενή». Άρα ο τέταρτος όρος της αναλογίας θα ήταν η λέξη «Ασθενής». Η αιτιολόγηση κατά τον Sternberg, είναι η διεργασία της καλύτερης επιλογής στην περίπτωση που προτείνονται περισσότερες από μια λύσεις ή στην περίπτωση που το υποκείμενο έχει να επιλέξει ανάμεσα σε σωστό και λάθος. Τέλος, η απόκριση είναι η διεργασία αυτή που επιτρέπει στο λύτη να ανακοινώσει την απάντησή του. 2.5. ΟΙ ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ PIAGET ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟ Ένας από τους πρώτους ερευνητές που ασχολήθηκε με τον αναλογικό συλλογισμό ήταν ο Piaget. Ο Piaget και οι συνεργάτες του (Inhelder & Piaget, 1958, Piaget, Grize, Szeminska & Bang, 1977, Piaget & Inhelder, 1975), ερεύνησαν τα ποιοτικά και ποσοτικά χαρακτηριστικά των παιδιών και των εφήβων, όταν αυτοί ασχολούνται με προβλήματα που απαιτείται αναλογικός συλλογισμός. Χρησιμοποίησαν καταστάσεις, στις οποίες γραμμικές λειτουργικές σχέσεις διέπουν την αλληλεξάρτηση δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών. Στην εργασία των Inhelder & Piaget (1958), με τίτλο «Η ανάπτυξη της λογικής σκέψης από την παιδική ηλικία στην εφηβεία» χρησιμοποιήθηκαν τα πειράματα της «ισορροπίας ζυγού» και της «προβολής σκιών». Στο πρώτο πείραμα παρουσιάστηκε στα παιδιά ένας ζυγός και μια σειρά διαφορετικών βαρών. Τα παιδιά έπρεπε να δείξουν την ισορροπία του ζυγού όταν τοποθετούνταν σ αυτόν ίσα βάρη σε ίσες αποστάσεις και την ισορροπία του ζυγού όταν τοποθετούνταν σ αυτόν άνισα βάρη σε διαφορετικές αποστάσεις, ανακαλύπτοντας την αναλογική σχέση ανάμεσα στα βάρη και τα μήκη των βραχιόνων. Τα υποκείμενα της μελέτης πέρασαν από τρία στάδια ανάπτυξης του αναλογικού συλλογισμού (Δεσλή, 1994). Κατά το πρώτο στάδιο (3-7 ετών), ανακάλυψαν ποιοτικές σχέσεις, όπως έναν αρχικό τύπο συμμετρίας και σχέσης του βάρους με την απόσταση. 16

Στο δεύτερο στάδιο (7-11 ετών), ανακάλυψαν τη σχέση του τύπου κοντύτερα μεγαλύτερο βάρος, μακρύτερα - μικρότερο βάρος. Στο τρίτο στάδιο (12 ετών και μεγαλύτερα), έδωσαν γενικές απαντήσεις και μετακινήθηκαν από τις ποιοτικές σχέσεις στις αριθμητικές αναλογίες. Ανακάλυψαν επίσης την ισότητα των λόγων του βάρους με τους λόγους του μήκους των βραχιόνων (Δεσλή, 1994). Στο δεύτερο πείραμα που χρησιμοποιήθηκε και φέρει τον τίτλο «προβολή σκιάς», παρουσιάστηκε στα παιδιά μια σειρά από δαχτυλίδια διαφορετικής διαμέτρου τοποθετημένα σε μια βαθμολογημένη βάση σε διαφορετικές αποστάσεις από μια φωτεινή πηγή. Ο στόχος ήταν να προβάλουν ίσου μεγέθους σκιές χρησιμοποιώντας δυο δαχτυλίδια διαφορετικού μεγέθους μετακινώντας τα πάνω στη βάση. Για να συμβεί αυτό, το μεγαλύτερο δαχτυλίδι έπρεπε να τοποθετηθεί μακρύτερα από τη φωτεινή πηγή και το μικρότερο πιο κοντά σε αυτή. Τα αποτελέσματα ήταν τα ίδια με αυτά του πειράματος της «ισορροπίας ζυγού». (Δεσλή, 1994). Αναφορικά με τους Inhelder & Piaget (1958), ο αναλογικός συλλογισμός δίνει τη δυνατότητα να εγκαταστήσουμε μια σχέση ανάμεσα σε δύο άλλες σχέσεις. Τη σχέση αυτή ο Piaget την ονόμασε δεύτερης τάξης σχέση. Οι θεωρίες και οι έρευνές του επηρέασαν τις μετέπειτα έρευνες που ασχολήθηκαν με αυτό τον τύπο συλλογισμού. Το κύριο ενδιαφέρον του Piaget ήταν η ανάπτυξη της λογικής και της επιστημονικής συλλογιστικής. Μελέτησε την κατανόηση της έννοιας της αναλογικότητας από τους ανθρώπους στο πλαίσιο των επιστημονικών εννοιών. Οι έρευνες του σχετίζονταν με την έννοια της πιθανότητας, της ταχύτητας, και της μεγέθυνσης γεωμετρικών σχημάτων. Η βασική θέση του Piaget, ήταν ότι τα παιδιά δεν μπορούν να κατανοήσουν την έννοια της αναλογίας πριν φτάσουν στο στάδιο της τυπικής σκέψης. Οι έρευνές που διενήργησε τη δεκαετία του 1940-1950, τον οδήγησαν στο να υποστηρίξει ότι τα παιδιά, πριν από το στάδιο των τυπικών συλλογισμών, δεν μπορούν να κατανοήσουν την ισότητα δύο λόγων, ούτε να κάνουν συγκρίσεις λόγων με τρόπο ο οποίος να δείχνει ότι κατανοούν την έννοια της αναλογίας. Σε μικρότερες ηλικίες, όταν τα παιδιά συγκρίνουν δυο λόγους αναπτύσσουν προσθετικές συλλογιστικές και όχι πολλαπλασιαστικές οι οποίες είναι απαραίτητες. Όταν ο Piaget, ζήτησε από ένα παιδί τον Ger να μεγεθύνει ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 5 3 cm, αυτός σχεδίασε ένα ορθογώνιο 7 5, προσθέτοντας 2cm σε κάθε πλευρά γιατί η διαφορά των πλευρών ήταν 5-3=2. (Piaget & Inhelder, 1967, 367). 17

Σύμφωνα με την άποψη, λοιπόν, του Piaget τα παιδιά δεν μπορούν να δώσουν σωστές απαντήσεις σε προβλήματα αναλογικού συλλογισμού όταν βρίσκονται στο στάδιο της συγκεκριμένης σκέψης. Η άποψη αυτή μεταβλήθηκε αργότερα από την έρευνα των Piaget, Grize, Szeminska & Bang, (1977, πρώτη δημοσίευση 1968), όταν παιδιά που βρίσκονταν στο στάδιο της συγκεκριμένης σκέψης έλυσαν σωστά προβλήματα αναλογιών, τα οποία αναφέρονταν στην ποσότητα της τροφής που έπρεπε να δοθεί σε χέλια με διαφορετικό μήκος. Μετά από αυτό, ο Piaget μετέβαλε την ανάλυσή του για τον αναλογικό συλλογισμό, διατηρώντας όμως σταθερή τη θέση του σχετικά με τα στάδια ανάπτυξης των παιδιών. Υποστήριξε ότι ο πραγματικός αναλογικός συλλογισμός αφορά τις αντίστροφες αναλογίες. Έτσι, λοιπόν, τα παιδιά που βρίσκονται στο στάδιο των συγκεκριμένων συλλογισμών μπορούν να κατανοήσουν απλές ευθείες αναλογίες, αλλά αυτό δεν μπορεί να θεωρηθεί ως αυθεντικός αναλογικός συλλογισμός. O Piaget διέκρινε τρία στάδια στην ανάπτυξη του αναλογικού συλλογισμού: Στο πρώτο στάδιο (πρώιμο στάδιο), τα παιδιά μπορούν να κάνουν μόνο ποιοτικές αντιστοιχίες και ταξινομήσεις, και δεν μπορούν να αναγνωρίσουν δομικές ομοιότητες και στα δυο μέλη μιας αναλογίας. Στο δεύτερο στάδιο χρησιμοποιούν προσθετικές στρατηγικές στην επίλυση προβλημάτων αναλογιών ή λόγο 2:1. Στο τρίο στάδιο (ανώτερο στάδιο), η αναλογική σκέψη εφαρμόζεται ανεξάρτητα από αξίες, δεδομένα και λόγους. Τα παιδιά μπορούν να κατανοήσουν τις λογικές σχέσεις ανάμεσα στους τέσσερεις όρους της αναλογίας χρησιμοποιώντας ποσοτικούς συλλογισμούς. Το στάδιο αυτό συμπίπτει με το στάδιο των «τυπικών πράξεων», στην ηλικία των 11-13 ετών. (Karplus & Pulos, & Stage, 1983a). Η δουλειά του Piaget, επικεντρώθηκε στην επίτευξη του αναλογικού συλλογισμού από τα παιδιά και άφησε αναπάντητα πολλά ερωτήματα σχετικά με τους τρόπους με τους οποίους εφαρμόζεται ο αναλογικός συλλογισμός σε προβλήματα με διαφορετικά πλαίσια και σε προβλήματα όπου περιέχονται αριθμητικές σχέσεις. 18

2.6. ΜΕΛΕΤΕΣ ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ ΜΕ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΠΟΥ ΕΞΕΦΡΑΣΕ Ο PIAGET Ο Bryant (1974), άσκησε κριτική στις θέσεις του Piaget για τον αναλογικό συλλογισμό. Υποστήριξε ότι τα παιδιά μπορούν, πριν φτάσουν στο στάδιο της τυπικής σκέψης, να κάνουν συσχετίσεις ανάμεσα σε μεταβλητές. Ο Muller(1978) καθώς και οι Van den Brink και Streefland (1978), παρατήρησαν ότι τα μικρά παιδιά κάνουν κρίσεις σχετικά με αναλογικές σχέσεις σε κάποια πλαίσια. Οι Van den Brink και Streefland, παρατήρησαν πως, συζητώντας αυθόρμητα, τα μικρά παιδιά για εικόνες χρησιμοποιούν ένα φυσικό πλαίσιο σχέσεων αναλογικού μεγέθους, για να τις αξιολογήσουν. Μπορούν, για παράδειγμα, να επιχειρηματολογήσουν πως ένα στοιχείο σε μια εικόνα είναι αναλογικά πολύ μεγάλο αν συγκριθεί με ένα άλλο στοιχείο (Nunes & Bryant, 2007). Οι Brown και Muller (1976), συμφωνώντας με τη θέση του Bryant στην έρευνά τους με τα «τούβλα», απευθύνθηκαν σε παιδιά ηλικίας εννέα και δέκα ετών. Στο πείραμα τους, ζητήθηκε από τα παιδιά να διαλέξουν από τέσσερεις επιλογές που τους προσφέρθηκαν αυτήν η οποία ήταν παρόμοια με το δείγμα που τους υπέδειξαν. Το δείγμα περιείχε τρία κόκκινα και ένα πράσινο τούβλο. Σε δύο από τις επιλογές τα πράσινα τούβλα που υπήρχαν ήταν περισσότερα από τα κόκκινα. Οι επιλογές αυτές ήταν λάθος. Η τρίτη επιλογή περιείχε περισσότερα κόκκινα τούβλα και ήταν παρόμοια με το δείγμα, αλλά η αναλογία ήταν διαφορετική. Η τελευταία επιλογή ήταν μια αναλογική επιλογή στην οποία ο λόγος των κόκκινων προς τα πράσινα τούβλα ήταν όμοιος με αυτόν του δείγματος. Η πλειοψηφία των παιδιών (75%) επέλεξε την τρίτη ομάδα, αλλά κανένας δε διάλεξε την τέταρτη που περιείχε την αναλογική λύση. Δύο χρόνια αργότερα, ο Muller (1978), υποστηρίζοντας τη θέση του Bryant προχώρησε σε νέο πείραμα γνωστό ως «στήλη από καραμέλα» και «δίσκος από ζάχαρη». Στο δείγμα του υπήρχαν παιδιά πέντε, επτά, εννέα και ένδεκα ετών. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι τα μεγαλύτερα παιδιά μπορούν να φτάσουν σε αναλογικά συμπεράσματα. Οι Spinillo και Bryant (1991), για να στηρίξουν τον ισχυρισμό τους, ζήτησαν από παιδιά ηλικίας από πέντε έως οκτώ ετών να παρατηρήσουν μια εικόνα που έδειχνε ένα κουτί στο οποίο βρίσκονταν άσπρα και μπλε τουβλάκια σε συγκεκριμένη αναλογία. Στη συνέχεια, τους έδειξαν δύο κουτιά με τουβλάκια από τα οποία το πρώτο περιείχε την ίδια αναλογία άσπρων και μπλε τούβλων, ενώ το δεύτερο μια διαφορετική αναλογία. Για να διασφαλίσουν ότι τα παιδιά δεν κάνουν ένα αντιληπτικό ταίριασμα κουτιού και εικόνας, οι ερευνητές 19

τοποθέτησαν στα κουτιά τα τουβλάκια οριζόντια, ενώ στην αναπαράσταση της εικόνας ήταν τοποθετημένα κάθετα. Τα παιδιά ηλικίας επτά και οκτώ χρονών, με ορισμένους περιορισμούς, μπορούσαν να κάνουν αναλογικές κρίσεις και να επιλέξουν το σωστό κουτί. Ωστόσο, δεν είναι ακόμη ξεκάθαρο πώς θα πρέπει να ερμηνευτεί η επιτυχία των παιδιών σε προβλήματα όπως αυτό, τα οποία δεν περιλαμβάνουν ποσοτικοποίηση. Οι μελέτες του Piaget έγιναν αντικείμενο κριτικής και από άλλους ερευνητές. Οι Karplus, Pulos, & Stage, (1983b), σημειώνουν ότι στις μελέτες του ο Piaget, χρησιμοποίησε προβλήματα τα οποία ήταν δύσκολα για τα παιδιά, αφού εκτός από αναλογικό συλλογισμό απαιτούσαν και γνώσεις φυσικής. Ο Karplus, (1981), υποστηρίζει ότι η χαμηλή επίδοση των παιδιών στον αναλογικό συλλογισμό, που βρήκε ο Piaget, οφείλεται στον ασυνήθιστο τύπο προβλημάτων που χρησιμοποιήθηκαν και με τα οποία δεν ήταν εξοικειωμένα τα παιδιά και στον τρόπο με τον οποίο διατυπώνονταν τα ερωτήματα του προβλήματος. Το συμπέρασμά του στηρίχθηκε και στις μελέτες που ο ίδιος έκανε για τον αναλογικό συλλογισμό. Στο πρόβλημα που έθεσε με τίτλο «Mr Tall and Mr Short» παρατήρησε διαφορετικά αποτελέσματα από το ίδιο δείγμα παιδιών σε δύο διαφορετικές εκδοχές του ίδιου προβλήματος. Κατέληξε, λοιπόν, στο συμπέρασμα ότι η επίδοση των παιδιών στα προβλήματα που απαιτούν αναλογικό συλλογισμό εξαρτάται από το περιεχόμενο του προβλήματος και από το πόσο αυτό είναι σχετικό με την προηγούμενη εμπειρία των παιδιών. Η αναγνώριση ότι τα μικρά παιδιά είναι ικανά να συλλογίζονται σε υψηλότερα επίπεδα άνοιξε το δρόμο σε νέες περιοχές έρευνας. (Chen & Daehler, 1989; Goswami, 1992). Οι ερευνητές προσπάθησαν και προσπαθούν ακόμη και σήμερα να κατανοήσουν: α) ποιες είναι οι πιο ανεπτυγμένες μορφές συλλογισμού στις οποίες εμπλέκονται τα μικρά παιδιά και υπό ποιες συνθήκες, β) πώς είναι αυτοί οι συλλογισμοί και πώς μεταβάλλονται με το χρόνο. Στα πλαίσια των συγγραμμάτων για τη γνώση και τον αναλογικό συλλογισμό, οι ερευνητές αναφέρθηκαν στην εμφάνιση και ανάπτυξη του αναλογικού συλλογισμού.( Goswami, 1992, Holyoak & Thagard, 1995). 2.7. Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Η ανάπτυξη της ικανότητας αναλογικού συλλογισμού από τα παιδιά αποτέλεσε για πολλά χρόνια την αιτία συζητήσεων και διατύπωσης διαφορετικών απόψεων μεταξύ των ερευνητών. (Goswami, 1992; Piaget, 1952; Sternberg & Rifkin, 1979; Vosniadou 1989). Τα 20

τελευταία χρόνια δημιουργήθηκε η πεποίθηση ότι τα παιδιά έχουν την ικανότητα να σκέφτονται αναλογικά και αναγνωρίστηκε η σπουδαιότητα ενός τέτοιου συλλογισμού στην επίλυση προβλημάτων και την ανακάλυψη νέας γνώσης. ( Goswami, 1992; Holyoak & Thagart, 1995). Πολλοί ερευνητές, που ασχολήθηκαν με τον αναλογικό συλλογισμό στην πρώτη σχολική ηλικία κατέληξαν στην διαπίστωση ότι τα μικρά παιδιά μπορούν να συλλογιστούν αναλογικά. ( Alexander, Wilson, et al, 1987; Alexander, White & Daugherty, 1997; Holyoak & Thagard, 1995; White & Alexander, 1986). Επιπλέον η έρευνα του Alexander και των συναδέλφων του έδειξε ότι ο αναλογικός συλλογισμός των μικρών μαθητών βελτιώνεται με το χρόνο και με τις συγκεκριμένες οδηγίες που δίδονται από τους ερευνητές ή από τους δασκάλους στην τάξη. ( Alexander White, Haensly, & Crimmins - Jeanes, 1987; Alexander, Wilson, et al., 1987). Η κυριαρχία της θεωρίας του Piaget, ο οποίος ισχυρίστηκε ότι η αποτυχία των μικρών παιδιών κατά την επίλυση προβλημάτων αναλογιών οφείλεται στην ανικανότητά τους να αναπτύξουν λογικό συλλογισμό για σχέσεις ανώτερης τάξης, απέτρεψε έρευνες σ αυτόν τον τομέα. Έτσι ο συλλογισμός μέσω αναλογιών θεωρήθηκε κατοπινή ικανότητα που προκύπτει γύρω στα 11-12 χρόνια. Πριν από την ηλικία αυτή θεωρείται ότι τα παιδιά βασίζονται σε κατώτερης τάξης συλλογισμούς για να λύσουν προβλήματα αναλογιών. Οι περισσότερες από τις νεότερες μελέτες, οι οποίες υποστήριξαν αυτή την άποψη της ανάπτυξης αναλογικού συλλογισμού, απέτυχαν να εξετάσουν εάν τα παιδιά είχαν την απαιτούμενη εννοιολογική βάση ώστε να λύνουν προβλήματα αναλογιών. (Sternberg & Rifkin, 1979). Οι Gentner & Toupin, (1986), σε μελέτη τους για τον τρόπο συλλογισμού των παιδιών όταν αυτά λύνουν προβλήματα αναλογιών, διατύπωσαν την άποψη ότι οι δυσκολίες των παιδιών δεν οφείλονται στην αδυναμία τους να κάνουν συλλογισμούς ανώτερης τάξης. Πολλές από τις μελέτες αναλογικής επίλυσης προβλημάτων κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα παιδιά ή οι μεγαλύτεροι μαθητές/τριες συχνά δυσκολεύονταν να ανακαλύψουν δομικές ομοιότητες μεταξύ των προβλημάτων με διαφορετικά χαρακτηριστικά πλαισίου. Αυτό συμβαίνει γιατί οι μαθητές/τριες πολλές φορές έχουν την τάση να εστιάζουν την προσοχή τους σε επιφανειακά χαρακτηριστικά, παρά σε δομικές ιδιότητες που παρουσιάζουν τα προβλήματα. (Chi, Feltovich, & Glaser, 1981; Silver, 1981; Stavy & Tirosh, 1993). Με την ανάπτυξη, τα παιδιά εμφανίζουν τάσεις προς το συσχετισμό και ικανότητες να επισημαίνουν δομικές σχέσεις, προχωρούν, δηλαδή, από την επεξεργασία επιφανειακών χαρακτηριστικών προς μια επεξεργασία υψηλότερης τάξης συσχετισμών και ομοιοτήτων. (Gentner, 1988). 21

Η έλλειψη γνώσης είναι ακόμη ένας παράγοντας που πρέπει να λάβουμε υπόψη μας. Ακόμα και αν τα μικρά παιδιά γνωρίζουν τη σχέση μιας αναλογίας, μπορεί να μην καταφέρουν να λύσουν τη συγκεκριμένη αναλογία (με τον τρόπο που αναμένει ο πειραματιστής) γιατί μπορεί να μη συνειδητοποιούν ότι πρέπει να αναζητήσουν συσχετιστικές ομοιότητες ή μπορεί να μη γνωρίζουν τι να κάνουν μ αυτές. (English, 1997). Ερευνητές οι οποίοι συμπεριέλαβαν στις μελέτες τους πλαίσια που ήταν περισσότερο οικεία στα παιδιά όπως παιχνίδια, ιστορίες προβλήματα, αινίγματα και γρίφους κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα μικρά παιδιά μπορούν να κάνουν συλλογισμούς υψηλότερης τάξης. (Chen, Yanowitz & Daehler, 1995; Goswami & Brown, 1989). Τα παιδιά ανταποκρίνονται θετικά και σε εκπαιδευτικές μελέτες. Αυτές οι μελέτες έδειξαν ότι ακόμα και παιδιά που αρχικά κρίθηκαν ως μη ικανά να προβούν σε αναλογικό συλλογισμό, ήταν ικανά να λύσουν ποικιλία προβλημάτων αναλογιών μετά από αρκετές παρεμβάσεις που εστίασαν στα βασικά συστατικά συλλογισμού αυτών των προβλημάτων, όπως κωδικοποίηση, επαγωγή, χαρτογράφηση και εφαρμογή. Η επεξεργασία αυτών των στοιχειωδών μερών ήταν προφανής όχι μόνο στη συνολική απόδοση των παιδιών σε γεωμετρικές και αριθμητικές αναλογίες, που ήταν διαφορετικές από αυτές που χρησιμοποιούνταν κατά την εκπαίδευσή τους, αλλά και στις εξηγήσεις του τρόπου σκέψης τους. (White & Alexander, 1986; White & Caropreso, 1989). Οι παραπάνω μελέτες έρχονται σε αντίθεση με τις θέσεις του Piaget ότι τα παιδιά μπορούν να κάνουν αναλογικούς συλλογισμούς μετά την ηλικία των 11 ετών. 2.8. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο μαθηματικός συλλογισμός θεωρείται ως η ικανότητα να αντιληφθούμε τις βασικές ιδιότητες των αντικειμένων ή συμβόλων, να συσχετίσουμε ή να συνδέσουμε αντικείμενα ή σύμβολα με τις αφηρημένες έννοιες που δηλώνουν και να αναγνωρίσουμε και να χρησιμοποιήσουμε τα πλαίσια και τις σχέσεις μεταξύ διαφόρων αντικειμένων, συμβόλων και εννοιών. (English & Halford, 1995). Ο όρος μαθηματικός συλλογισμός χρησιμοποιείται συχνά τα τελευταία χρόνια και έχει γίνει το επίκεντρο πολλών μελετών. Πριν απ αυτό, το ενδιαφέρον των ερευνητών 22

εστιαζόταν στη λύση μαθηματικών προβλημάτων και στις στρατηγικές που χρησιμοποιούνταν. (Shoenfeld,1992). Η παραδοσιακή άποψη ότι ο μαθηματικός συλλογισμός σχετίζεται με υψηλές υπολογιστικές και αναλυτικές ικανότητες (Sternberg, 1991), έχει αναθεωρηθεί για να ταιριάζει με μεθόδους που είναι σημαντικές στη σημερινή εποχή που βασίζεται στη γνώση. Αυτές οι μέθοδοι περιλαμβάνουν συγκέντρωση στοιχείων, ανάλυση δεδομένων, εικασίες, κατασκευή επιχειρημάτων, σχεδιασμό και «νομιμοποίηση» λογικών συμπερασμάτων και απόδειξη υποθέσεων. (NCTM, 2000; Webb, & Peressini, 1999). Τέτοιες μέθοδοι διευκολύνουν συγκεκριμένους τρόπους σκέψης, όπως υποθέσεις, αναλογίες χώρου, κριτική και δημιουργική σκέψη, καθώς και παραγωγικό και επαγωγικό συλλογισμό. (English & Halford, 1995). Ο ορισμός του Russell (1999), για το μαθηματικό συλλογισμό απεικονίζει αυτή την άποψη. Σύμφωνα με αυτόν ο μαθηματικός συλλογισμός είναι κυρίως σχετικός με την ανάπτυξη, αιτιολόγηση και τη χρήση μαθηματικών γενικεύσεων που οδηγούν σε ένα δίκτυο μαθηματικής γνώσης. Η αναλογία βρίσκεται στον πυρήνα της ανθρώπινης γνώσης και είναι στενά συνδεδεμένη με την γενική ικανότητα αναπαράστασης (Hofstadter, 2001) Ο αναλογικός συλλογισμός είναι βασικός στην κατανόηση και εφαρμογή των μαθηματικών και ο μαθηματικός συλλογισμός θα έπρεπε να υιοθετηθεί εμπλέκοντας τους μαθητές/τριες σε εξερεύνηση, αναπαράσταση, δημιουργία υποθέσεων, εξήγηση και αιτιολόγηση. (Stiff, & Curcio, 1999) Η αναλογικότητα εμπεριέχει μια περιοχή του μαθηματικού συλλογισμού που ιστορικά προκαλεί δυσκολίες στους περισσότερους μαθητές/τριες. Η σχέση του μαθηματικού με τον αναλογικό συλλογισμό έγινε αντικείμενο μελέτης πολλών ερευνητών. Οι Buehl και Alexander, (2004), αναφέρουν ότι η ανάπτυξη του αναλογικού συλλογισμού συμβάλλει στην ανάπτυξη του μαθηματικού συλλογισμού και αντίστροφα. Η Nabors (2003), υποστηρίζει ότι ο αναλογικός συλλογισμός μπορεί να ιδωθεί ως ένα είδος μαθηματικού συλλογισμού που παρέχει μια αίσθηση συμμεταβολής και πολλαπλασιαστικής σύγκρισης. Ωστόσο, τα αποτελέσματα της μελέτης της έδειξαν ότι ένα 23